甘肃省兰州一中2019-2020学年高二上学期期中数学试卷 (有解析)

甘肃省兰州一中2019-2020学年高二上学期期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知a

A. ac2

B. 1

a >1

b

C. 1

c−a

<1

c−b

D. a2

2.已知在等差数列{a n}中，a3=5，a11=21，则S15的值为()

A. 225

B. 196

C. 256

D. 169

3.已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA

cosB =b

a

=√2，则该三角形的形状

是()

A. 直角三角形

B. 等腰三角形

C. 等边三角形

D. 钝角三角形

4.已知实数x，y满足约束条件{3x−y−3≤0

x−2y+4≥0

3x+4y+12≥0

，则z=2x−y的最大值为()

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

5.等差数列{a n}中，已知a1=1

3

，a2+a5=4，a n=31，则n为()

A. 50

B. 49

C. 48

D. 47

6.等比数列{a n}各项均为正数，a3a8+a4a7=18，则

A. 20

B. 36

C. 9

D. 15

2

7.已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n，其中n∈N∗，则a1+a2+⋯+a6=()

A. 15

B. 31

C. 63

D. 127

8.设A，B，C为△ABC的内角，则“AcosB”的()

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

9.已知关于x的不等式ax2−x+b>0的解集是(−1,−1

2)，则a

b

的值是()

A. 2

B. 1

2

C. −1

D. 1

10.在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则角A为()

A. 30°

B. 45°

C. 120°

D. 150°

11.已知a>0，b>0，若不等式3

a +1

b

≥m

a+3b

恒成立，则m的最大值为()

A. 9

B. 12

C. 18

D. 24

12.一个三角形的两个内角为45°和30°，如果45°角所对的边长是4，则30°角所对的边长为()

A. 2√6

B. 3√6

C. 2√2

D. 3√2

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.在△ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，若B=45°，C=60°，a=2(√3+1)，则

S△ABC=________．

14.已知正实数x，y满足xy+2x+y=4，则x+y+1的最小值为______ ．

15.关于x的方程x2−(2a−1)x+a2−2=0至少有一个非负实根的充要条件的a的取值范围是

__________．

16.已知圆的方程为x2+y2−6x−8y=0，则该圆过点(3,5)的最短弦长为______．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.求和：S n=x+x2+x3+⋯+x n．

18.已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cosB

cosC =−b

2a+c

．

(1)求角B；

(2)若b=√13，a+c=4，求边a．

19.已知数列{a n}满足a1=3，a n+1=2a n+(−1)n(3n+1)．

(1)求证：数列{a n+(−1)n n}是等比数列；

(2)求数列{a n}的前10项和S10．

20.已知p：x2−7x+10<0，q：x2−4mx+3m2<0，其中m>0．

(1)若m=4，且p∧q为真，求x的取值范围；

(2)若￢q是￢p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

21.桑基鱼塘是一种农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，准备购置一块1800平

方米的矩形地块，中间挖三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成池埂(阴影部分所示)，用来种植桑树，鱼塘周围的池埂宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为S平方米，其中a:b= 1:2．

(1)试用x，y表示S;

(2)若要使S最大，则x，y的值各为多少?

22.已知数列{a n}满足a1=1

4，(1−a n)a n+1=1

4

.令b n=a n−1

2

．

(Ⅰ)求证：数列{1

b n

}为等差数列；

(Ⅱ)求证：a2

a1+a3

a2

+⋯+a n+1

a n

4

．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：C

解析： 【分析】

本题主要考查不等式性质及其大小比较，属于基础题． 利用不等式性质和特殊值法求解即可． 【解答】

解：A. c =0时不成立； B . a <0，b >0时不成立；

C . ∵a c −b >0， ∴

1c−a

<

1c−b

.因此正确；

D . 取a =−3，b =−2时不成立． 故选C ．

2.答案：A

解析： 【分析】

本题考查的是等差数列的通项公式和前n 项和公式，属于容易题． 由题意建立方程组，即可得到a 1和d ，即可得到S 15． 【解答】 解：设公差为d ，

由题意，{a 3=a 1+2d =5a 11=a 1+10d =21，得{a 1

=1

d =2, 所以S 15=15×1+15×142

×2=225，

故选A ．

3.答案：A

解析：因为cosA

cosB =b

a ，由正弦定理得cosA

cosB =sinB

sinA ， 所以sin2A =sin2B ．

由b

a =√2，可知a ≠

b ，所以A ≠B ．