6-劳斯判据
劳斯判据的证明及应用
劳斯判据的证明及应用劳斯判据（Rayleigh's criterion）是描述两个正交振动的符合条件的充分必要条件。
它由英国物理学家勒克·埃尔斯利·劳斯（Lord Rayleigh）于1879年提出，并被广泛应用于光学、声学、信号处理等领域。
首先，我们来推导劳斯判据的证明。
假设有两列正交的振动，分别用x(t)和y(t)表示，其中t表示时间。
为了方便计算，我们可以将振动表示为复指数形式：x(t) = Re [ Xexp(iωt) ]和y(t) = Re [ Y exp(iωt) ]，其中X和Y是复振幅，ω是角频率。
我们定义振动的互强度（cross-intensity）为Ix,y(t) =x(t)y*(t)，其中y*表示y的复共轭。
根据定义，我们有：Ix,y(t) = Re [ X exp(iωt) Y* exp(-iωt) ] = Re [ XY* ]为了计算Ix,y(t)的平均值，我们需要对振动周期T进行时间平均：<Ix,y> = (1/T) ∫[0,T] Ix,y(t) dt将Ix,y(t)代入上式，并利用Euler公式（exp(iθ) = cosθ + isinθ）展开，可以得到：<Ix,y> = (1/T) ∫[0,T] Re [ XY* ] dt= (1/T) Re [ X∫[0,T] Y* dt ]= (1/T) Re [ X∫[0,T] Re [ Y* ] dt ]根据劳斯判据的定义，<Ix,y>=0，因此我们有：Re [ X∫[0,T] Re [ Y* ] dt ] = 0由于X是任意复振幅，我们可以独立地选取它的实部和虚部分别为1和0。
这样，上式可以简化为：Re [ ∫[0,T] Re [ Y* ] dt ] = 0我们知道，对于任意实函数f(t)，其实部的积分与f(t)的本征函数cos(ωt)正交。
∫[0,T] Re [ Y* ] dt = 0这就是劳斯判据的证明，根据这个证明，我们可以得到劳斯判据的应用。
劳 斯 判 据
图4-1 系统的结构图
1
K
系统的闭环传递函数为
(s)
C(s) R(s)
1
s
(s 1
1)(s K
2)
s3
K 3s2
2s
K
s (s 1)(s 2)
系统的闭环特征方程为
s3 3s2 2s K 0
劳斯判据
1.4 劳斯判据在系统分析中的应用
列出劳斯表为
s3
1
2
s2
3
K
s1 6 K 3
s0
D(s)
n
(s pj )
n1
n2
(s pl ) (s2 2k s k2 )
j 1
l 1
k 1
n1
将式（4-2）展成部分分式形式 C(s)
Al
n2
Bk
l1 s pl k 1 s2 2k s k2
（4-2） （4-3）
式中 Al —— C(s) 在闭环实极点 pl 处的留数；
Bk —— C(s) 在闭环复数极点 s k jk 1 2 处的留数。
方法一：用一个接近于零的很小的正数来代替这个零，并据其计算出劳斯表中的其 余各项。
方法二：用代入原方程，重新列出劳斯表，再用劳斯判据判断系统的稳定性。
劳斯判据
1.3 劳斯判据的特殊情况
【例 4-3】 已知系统的闭环特征方程为
s4 2s3 s2 2s 1 0
试用劳斯判据判断系统的稳定性。
在劳斯表第1列系数中，ε是接近
在零初始条件下，若闭环系统的输入信号 r(t) 在[0，) 上满足 r(t) N ，而在此输入信
号作用下的输出响应 c(t)
g( )r(t
)d
满足
劳斯判据总结范文
劳斯判据总结范文劳斯判据是在国际投资仲裁领域中一个重要的法律原则，它由国际法院在劳斯与墨西哥国之间的投资争端案件中首次提出。
劳斯判据的总结主要包括以下几个方面。
首先，劳斯判据确认了国际投资者享有的合法权益。
根据劳斯判据的规定，国际投资者在国外进行投资时，应当受到合理和公正的对待，其合法权益应当得到充分的保护。
这一原则保证了国际投资者在投资目的国享有合法权益的权利。
其次，劳斯判据强调了国家对外国投资者和其投资的责任。
根据劳斯判据的规定，国家承认其对外国投资者和其投资应当承担责任，不能恶意和歧视地干涉、阻碍投资者的合法权益。
同时，如果国家进行了不公正的行为或违反了国际法，国际投资者有权要求国家给予恢复损害的补偿。
此外，劳斯判据提供了对投资者国家非法行为的界定。
劳斯判据规定，国家如果对投资者和其投资进行了不公正的待遇或剥夺了其合法权益，就可以被认定为非法行为。
劳斯判据还对不公正待遇的具体界定提供了一些指导，例如，国家对投资者进行的歧视行为、违法的法案和政策等都可以被视为非法行为。
还有，劳斯判据确认了国际投资仲裁作为解决投资争端的有效机制。
根据劳斯判据的规定，国际投资者可以向国际仲裁机构提起诉讼，通过仲裁解决投资争端。
这一机制能够确保投资者相对独立、公正和效率的解决争端，对于维护投资者的权益具有重要意义。
最后，劳斯判据提供了一条救济机制，即“审慎投资原则”。
根据该原则，国际投资者在进行投资时应当审慎考虑投资的风险，并遵守目标国的法律和法规。
如果投资者没有尽到审慎义务，其请求补偿的权利可能会受到限制。
总而言之，劳斯判据是国际投资仲裁领域中的一项重要原则，旨在确保国际投资者的合法权益能够得到充分保护，并对非法行为提供了一个界定和救济机制。
这一判据的出现对于促进国际投资活动的发展和维护国际投资者权益具有重要意义。
对劳斯判据的浅略分析
对劳斯判据的浅略分析劳斯判据是一种用于解决材料失效问题的原则与方法。
它最早由英国工程师Peter E. L. Hugoniot在发表于1918年的一篇关于冲击波理论的论文中提出，之后被法国工程师主义者Henri Ludovic Chiendaux在1927年提出了数学表达形式以及严谨的证明。
劳斯判据的核心思想是材料在受到外部载荷作用时，应力和应变之间的关系可以用来评估材料的破坏状态，通过评估材料的破坏状态来确定材料的力学性能。
劳斯判据被广泛应用于材料力学、工程设计以及结构设计等领域，它为工程师提供了一种有效的方法来评估材料的强度和耐久性。
劳斯判据主要是通过应力和应变之间的关系来评估材料的破坏状态，具体来说，劳斯判据是通过比较材料的应力与其应变的比值与一定的临界值来判断材料是否会发生破坏。
如果材料在受到外部载荷作用时，应力与应变之间的比值超过了临界值，那么就表示材料会发生破坏。
劳斯判据的临界值是根据材料的性质和使用条件来确定的，通常来说，材料的强度越高，临界值就会相对越大。
劳斯判据对于材料的破坏状态进行评估的方法简单直观，因此被广泛应用于材料力学和工程设计的领域。
在工程设计中，工程师可以通过劳斯判据来评估材料在受到外部载荷作用时是否会发生破坏，从而选择合适的材料来设计结构。
在材料力学的研究中，劳斯判据也被用来评估材料的强度和耐久性，从而为材料的性能优化提供依据。
劳斯判据也存在一些局限性。
劳斯判据忽略了材料的微观结构对其破坏状态的影响，它只是通过应力和应变之间的关系来评估材料的破坏状态，而没有考虑材料内部的微观结构。
劳斯判据在某些特殊情况下可能会出现失效，例如在材料的非线性变形、非均匀应力分布和多轴应力状态等情况下，劳斯判据可能无法准确地评估材料的破坏状态。
在工程实践中，工程师需要在使用劳斯判据时考虑到这些局限性，综合考虑材料的实际工作条件和使用情况，以确保评估结果的准确性。
劳斯判据-特殊情况
在应用劳斯判据时，有可能会碰到以下两种特殊情况。
·劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零或没有余项，这种情况的出现使劳斯表无法继续往下排列。
解决的办法是以一个很小的正数来代替为零的这项，据此算出其余的各项，完成劳斯表的排列。
若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在S右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定。
如果第一列上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定。
例已知系统的特征方程式为试判别相应系统的稳定性。
解：列劳斯表
由于表中第一列上面的符号与其下面系数的符号相同，表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为不稳定。
·劳斯表中出现全零行
则表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。
这种情况，可利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行。
完成劳斯表的排列。
这些大小相等、径向位置相反的根可以通过求解这个辅助方程式得到，而且其根的数目总是偶数的。
例如，一个控制系统的特征方程为
列劳斯表
由于这一行全为0，用上一行组成辅助多项式
由上表可知，第一列的系数均为正值，表明该方程在S右半平面上没有特征根。
令
F(s)=0，
求得两对大小相等、符号相反的根，显然这个系统处于临界稳定状态。
对劳斯判据的浅略分析
对劳斯判据的浅略分析劳斯判据是流体力学中的一个重要概念，用于判断流体在流动过程中是否是层流或湍流状态。
该判据由德国物理学家约翰·瓦塞姆·劳斯在1851年提出，被广泛应用于流体力学的研究中。
劳斯判据的表达式为：Re = ρvl/μ其中Re表示劳斯数，ρ表示流体的密度，v表示流体的速度，l表示流体流动的特征长度，μ表示流体的黏度。
劳斯判据的计算结果可以代表流体流动的状态。
当劳斯数小于一定的阈值时，流体处于层流状态；当劳斯数大于一定的阈值时，流体处于湍流状态。
劳斯数越大，流体的湍流程度越高。
1. 与流体的性质有关：劳斯数的分子包括流体的密度、流速、特征长度等参数，分母为流体的黏度。
由于这些参数直接反映了流体的性质，因此劳斯判据与流体性质密切相关。
2. 对流动稳定性判断：劳斯判据可以用来判断流体流动的稳定性。
当劳斯数小于一定的阈值时，流体呈现出层流状态，流动较为稳定；当劳斯数大于一定阈值时，流体呈现出湍流状态，流动较为不稳定。
这对于一些工程应用非常重要，如管道输送流体、飞机机翼表面流动等。
3. 与流动问题的解析和计算有关：劳斯判据的使用可以简化流体力学问题的解析和计算。
通过计算劳斯数，可以快速判断流体流动的状态，从而决定采用哪种计算或解析方法。
对于层流问题，可以采用一些简化的假设和解析计算方法；而对于湍流问题，需要考虑湍流的复杂性，采用更加复杂的数值模拟和实验方法。
4. 与流体管道流动有关：劳斯判据在研究管道中的流体流动时得到广泛应用。
在工程中，管道输送流体是一种常见的情况，判断流体流动状态对于设计和优化管道系统至关重要。
劳斯判据的使用可以帮助工程师确定流体是否会出现湍流现象，从而选择合适的管道尺寸和流量控制方式。
5. 劳斯判据的局限性：劳斯判据是基于一些假设和近似推导得到的，因此其适用范围是有限的。
特别是在一些复杂的流动情况下，如多相流、非牛顿流体等，劳斯判据可能不能准确判断流动的状态。
对劳斯判据的浅略分析
对劳斯判据的浅略分析劳斯判据是经济学家劳伦斯·劳斯（Laurence J. Laurence）于1972年提出的一种经济指标，用以衡量一个国家的国际支付能力。
这一判据在国际经济领域被广泛运用，具有重要的参考价值。
以下将对劳斯判据进行浅略分析。
劳斯判据是以国际收支平衡为基础的一项指标，它主要通过比较一个国家的国际资产与国际负债的差额来衡量其国际支付能力。
如果一个国家的国际资产大于国际负债，意味着它能够充分支付其对外债务，并且还有余额用于对外投资。
反之，则说明该国的国际支付能力不足，可能会面临债务违约的风险。
劳斯判据的核心思想是“外债不超过可支配收入的限度”，这可以被理解为一个国家的债务应该是可持续的，不应该超过其可支配收入的水平。
如果一个国家的债务超过了其可支配收入的限度，那么它就可能陷入财政危机，甚至债务危机。
劳斯判据的应用有助于评估一个国家的国际支付能力和债务风险。
通过分析一个国家的国际资产和国际负债的比较，可以判断其是否存在债务问题，并进一步预测其未来的还款能力。
这对于国家债务管理和经济决策具有重要的指导意义。
劳斯判据也存在一些局限性。
它忽视了国际收支中一些非债务因素的影响，比如国际贸易和国际资本流动。
这些因素对于一个国家的经济稳定和外汇储备也具有重要的影响，但在劳斯判据中并未考虑。
劳斯判据并不直接考虑一个国家的经济实力和发展潜力。
一个发展中的国家可能在国际支付能力方面不如发达国家，但它的经济实力和潜力可能更高，未来可能会有更好的还款能力。
劳斯判据是一种衡量国际支付能力的重要指标，可以用于评估一个国家的债务风险和还款能力。
它也存在一些局限性，需要综合考虑其他因素来进行全面的分析和判断。
在实际应用中，可以将劳斯判据与其他指标结合起来，以更好地评估一个国家的经济状况。
34-6 劳斯稳定判据
第一列元素变号一次，有一个正根，系统不稳定 第一列元素变号一次，有一个正根，系统不稳定
《自动控制理论》
网址：
应用Routh判据分别研究一阶、 应用Routh判据分别研究一阶、二阶和三阶微分方程 Routh判据分别研究一阶
a0 s + a1 = 0 a0 s + a1s + a2 = 0 3 2 a0 s + a1s + a2 s + a3 = 0
s = z −σ1
把虚轴左移σ 1 。将上式代入系统的特 征方程式，得到z为变量的新特征方程式， 征方程式，得到z为变量的新特征方程式， 然后再检验新特征方程式有几个根位于新 σ 虚轴（垂直线s= 1 s=的右边。 虚轴（垂直线s=- ）的右边。如果所有根 均在新虚轴的左边（ 均在新虚轴的左边（新劳斯阵列式第一列 均为正数）， ），则说系统具有稳定裕量 σ1 均为正数），则说系统具有稳定裕量 。
(1)劳斯（Routh）判据 (1)劳斯（Routh） 劳斯
设系统的特征方程式为
a0 s n + a1s n−1 + a2 s n−2 + L + an−1s + an = 0
将上式中的各项系数， 将上式中的各项系数，按下面的格式排成劳斯表
s s s s s s s
n n−1 n− 2 n−3
a0 a1 b1 c1
《自动控制理论》
网址：
例5： D(s)=s5+ 3s4+ 12s3+20s2+35s+25=0
解：列劳斯表
s5 s4 s3 s2 s1 s0
1 3
16 3
12 20
35 25
5 0 10 25
6阶多项式劳斯–赫尔维茨判据
6阶多项式劳斯–赫尔维茨判据英文版6th Degree Polynomial Routh-Hurwitz CriterionIn the field of control theory, stability analysis is crucial for determining the behavior of dynamic systems. The Routh-Hurwitz criterion is a mathematical tool used to assess the stability of linear time-invariant systems. Specifically, it helps determine whether the roots of a system's characteristic equation—which govern its dynamic response—lie in the left half of the complex plane, indicating stability.For polynomial equations of lower degrees, the application of the Routh-Hurwitz criterion is relatively straightforward. However, as the degree of the polynomial increases, the complexity and computational requirements also increase. This article focuses on the application of the Routh-Hurwitz criterion to 6th-degree polynomials, which represent a significant challenge in control system design.The Routh-Hurwitz criterion involves constructing a tabular array known as the Routh array. This array is constructed by arranging the coefficients of the characteristic polynomial in a specific manner. The criterion states that if all the elements in the first column of the Routh array are positive, then the system is stable.For 6th-degree polynomials, the construction of the Routh array becomes more complex. The array now has six rows, with each row representing a specific coefficient of the polynomial. The elements of the array are obtained by calculating ratios and differences of the coefficients.Once the Routh array is constructed, it can be used to determine the stability of the system. If all the elements in the first column are positive, the system is stable. If any element is zero or negative, the system's stability cannot be determined solely based on the Routh-Hurwitz criterion. In such cases, further analysis, such as examining the signs of the remainingelements in the array or performing a root locus analysis, may be necessary.The application of the Routh-Hurwitz criterion to 6th-degree polynomials is crucial in control system design, especially when dealing with complex systems that exhibit higher-order dynamics. By carefully constructing the Routh array and analyzing its elements, engineers can gain valuable insights into the stability of these systems and make informed decisions about their design and operation.中文版6阶多项式劳斯–赫尔维茨判据在控制理论领域，稳定性分析对于确定动态系统的行为至关重要。
劳斯判据.ppt
a0 a2 a4
a6
b1
a1a2 a0a3 a1
a1 a3 a5 b1 b2 b3
a7
b2
a1a4 a0a5 a1
c1 c2 c3
b3
a1a6 a0a7 a1
一直计算到最后一行算完 为止。然后判断阵列中第一列 系数的符号，若全部>0,则系统
c1
b1a3 a1b2 b1
s1 s0
稳定；否则，第一列系数符号 改变的次数，就为特征方程在 右半s平面的根数。
3.2.2 系统稳定的充要条件
xi t
nt
xo t
t
t=0 t
Xi s
-
N s
＋
G1 s
G2 s
xo 0
t
xoi 0
X o s
X i s
-
N s
＋
G1 s
G2 s
X o s
Xo s N s
G2 s 1 G1 sG2 s
b0 sm a0 s n
b1sm1 a1sn1
bm1s bm an1s an
表明在 S 平面内存在两个大小相等、符 号相反的实根或一对共轭虚根
[S] 显然，这些根的 数目一定是偶数。
由该行的上一行元素来解决： （1）构成辅助多项式，并求导，用其系数 代替全为零的行； （2）可以利用辅助方程，解出这些特征根。
例：Ds s6 2s5 8s4 12s3 20s2 16s 16 0
e jt E j cos jt Fj sin jt
i 1
j k 1
若系统稳定，则 xo t |t 0
〈i 0， j 0 系统稳定的充要条件
i， j 对应闭环传递函数
特征根的实部
劳斯判据-特殊情况
在应用劳斯判据时，有可能会碰到以下两种特殊情况。
·劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零或没有余项，这种情况的出现使劳斯表无法继续往下排列。
解决的办法是以一个很小的正数来代替为零的这项，据此算出其余的各项，完成劳斯表的排列。
若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在S右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定。
如果第一列上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定。
例已知系统的特征方程式为试判别相应系统的稳定性。
解：列劳斯表
由于表中第一列上面的符号与其下面系数的符号相同，表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为不稳定。
·劳斯表中出现全零行
则表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。
这种情况，可利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行。
完成劳斯表的排列。
这些大小相等、径向位置相反的根可以通过求解这个辅助方程式得到，而且其根的数目总是偶数的。
例如，一个控制系统的特征方程为
列劳斯表
由于这一行全为0，用上一行组成辅助多项式
由上表可知，第一列的系数均为正值，表明该方程在S右半平面上没有特征根。
令F(s)=0，
求得两对大小相等、符号相反的根，显然这个系统处于临界稳定状态。
劳斯霍尔维茨定性判据
第三章控制系统的时域分析法劳斯-霍尔维茨稳固性判据稳固性是控制系统最重要的问题，也是对系统最大体的要求。
控制系统在实际运行中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载或能源的波动、环境条件的改变、系统参数的转变等。
若是系统不稳固，当它受到扰动时，系统中各物理量就会偏离其平衡工作点，并随时刻推移而发散，即便扰动消失了，也不可能恢恢复来的平衡状态。
因此，如何分析系统的稳固性并提出保证系统稳固的办法，是控制理论的大体任务之一。
常常利用的稳固性分析方式有：1. 劳斯－赫尔维茨（Routh－Hurwitz）判据：这是一种代数判据。
它是按照系统特征方程式来判断特征根在S平面的位置，来判断系统的稳固性.2. 根轨迹法：这是一种利用图解来系统特征根的方式。
它是以系统开环传递函数的某一参数为变量化出闭环系统的特征根在S平面的轨迹，从而全面了解闭环系统特征根随该参数的转变情形。
3. 奈魁斯特（Nyquist）判据：这是一种在复变函数理论基础上成立起来的方式。
它按照系统的开环频率特性肯定闭环系统的稳固性，一样避免了求解闭环系统特征根的困难。
这一方式在工程上是取得了比较普遍的应用。
4. 李雅普诺夫方式上述几种方式主要适用于线性系统，而李雅普诺夫方式不仅适用于线性系统，也适用于非线性系统。
该方式是按照李雅普诺夫函数的特征来决定系统的稳固性。
一、稳固性的概念稳固性的概念能够通过图3-31所示的方式加以说明。
考虑置于水平面上的圆锥体，其底部朝下时，咱们施加一个很小的外力（扰动），圆锥体会略微产生倾斜，外作使劲撤消后，通过若干次摆动，它仍会返回到原来的状态。
而当圆锥体尖部朝下放置时，由于只有一点能使圆锥体维持平衡，所以在受到任何极微小的外力（扰动）后，它就会倾倒，若是没有外力作用，就再也不能回到原来的状态。
因此，系统的稳固性概念为，系统在受到外作使劲后，偏离了最初的工作点，而当外作使劲消失后，系统能够返回到原来的工作点，则称系统是稳固的。
大学控制工程基础课程62劳斯稳定性判据
c1
1 b1
b1
2 b2
1 (
b1
0
2 b1)
2,
c2 0, c3 0
s3
1
3 0
s2
20
s1
3
2
0
0
s0
2
00
第一列中，符号改变两次， 所以系统不稳定，有两个 具有正实部的特征根。
说明： (1)第一列元素符号改变的次数为不稳定根的个数； (2)若第一列元素符号不改变，系统为临界稳定。
2、某行中所有元素为零，可用该行的上一行元素构
验证系统特征根的分布： 解辅助方程：
令F(s) s4 3s2 4 0
s2 4 s2 1 0 s1,2 2, s3,4 j
再令
D(s) F (s)
s6
s5
2
s4 3s3 7 s2 s4 3s2 4
4s
4
s2
s
1 令 0
s5,6
1 2
3 j,原方程的6个根中， 2
一个 2位于[s]右半平面，两个 j位于虚轴上，系统不稳定。
...
s1
s0
an2 an4 an3 an5 b2 b3 c2 c3
......
......
......
an6...... an7 ...... b4 ......
c4 ......
b1
1 an1
an an1
an2 an3
b2
1 an1
an an1
an4 an5
b3
1 an1
an an1
an6 an7
0 b3
c2Leabharlann 1 b11 b10 1 1 b3 30 30
劳斯判据-特殊情况
在应用劳斯判据时，有可能会碰到以下两种特殊情况。
·劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零或没有余项，这种情况的出现使劳斯表无法继续往下排列。
解决的办法是以一个很小的正数来代替为零的这项，据此算出其余的各项，完成劳斯表的排列。
若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在S右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定。
如果第一列上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定。
例已知系统的特征方程式为试判别相应系统的稳定性。
解：列劳斯表
由于表中第一列上面的符号与其下面系数的符号相同，表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为不稳定。
·劳斯表中出现全零行
则表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。
这种情况，可利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行。
完成劳斯表的排列。
这些大小相等、径向位置相反的根可以通过求解这个辅助方程式得到，而且其根的数目总是偶数的。
例如，一个控制系统的特征方程为
列劳斯表
由于这一行全为0，用上一行组成辅助多项式
由上表可知，第一列的系数均为正值，表明该方程在S右半平面上没有特征根。
令F(s)=0，
求得两对大小相等、符号相反的根，显然这个系统处于临界稳定状态。
劳斯判据
三、劳斯判据
根据稳定的充要条件来判别系统的稳定性， 需要求出系统的全部特征根。对于高阶系 统，求跟的工作量很大，因此，希望使用 一种间接判断系统特征根是否全部位于s左 半平面的代替方法。 劳斯和赫尔维茨分别于1877年和1895年独立 提出了判断系统稳定的代数判据，称为劳 斯-赫尔维茨稳定判据。
注意：该判据为稳定的必要条件，故通常用来判断系 统不稳定的情况，而不能判断系统稳定。
D( s) a0 s a1s
n
n 1
... an1s an 0
三、劳斯判据
2、劳斯判据（1977年由Routh提出的代数判据） ①系统的特征方程 D(s) a0 s n a1s n1 ... an1s an 0 各项系数均为正； ②按特征方程的系数列些劳斯表 s | a a a a a a a s | a a a a a a a b s | b b b b a a s | c c c a a a | a b b b b s | c c b b s |
三、劳斯判据
1、赫尔维茨判据 设线性系统的特征方程为 则使线性系统稳定的必要条件是：上式各项系数为正。 证明： D( s) a0 s n a1s n1 ... an1s an K (s p1 )( s p2 )...( s pn ) 若所有的特征根均在s平面左边，则有 p j 0 或者说 p j 0 ，那么他们的多项式相乘后，系数一定也大于零。
二、系统稳定的充要பைடு நூலகம்件
M ( s) b0 s m b1s m1 bm1s bm G( s) D( s) a0 s n a1s n 1 ... an 1s an 由于 (t ) 的拉氏变换为1，设 si (i 1,2....n)为特征根 n Ai M ( s ) 所以输出的拉氏变换为 C (s) 1 G(s) D( s) i 1 s si
(第12讲) 第五章 劳斯稳定性判据
a 0 s a1 s
n
n 1
a n 1 s a n 0
则该系统稳定的条件为： a. 特征方程的各项系数 a i ( i 0 , , n 1) 都不等于零； b. 特征方程的各项系数 a i 的符号都相同； 此两项为必要条件。
例 如 ： q s s 2 s s 4 s s 2s 8
2
s1 , 2
a1
a1 4 a 2 a 0
2
2a2
只有 a 2 , a 1 , a 0 都大于零，系统才稳定（负实根或实部 为负）。 对于三阶或以上系统，求根是很烦琐的。于是就有了以 下描述的代数稳定性判据。
06-7-20
控制系统的稳定性分析
13
5.3 代数稳定性判据
5.3.1 劳斯稳定性判据 设线性系统的闭环特征方程为：
B：对实际“小偏差线性化”的近似线性系统，偏差达到 一定范围之后，系统不再稳定。 2.稳定性指的是自由震荡之下的稳定性，即输入为零，系 统在初始偏差不为零时的稳定性；也即是讨论自由振荡是收敛 还是发散。
5.2 系统稳定的充要条件
设系统或环节的微分方程为：
y
(n)
( t ) a n 1 y
(m )
06-7-20 控制系统的稳定性分析 2
如果系统不稳定，就会在任何微小的扰动作用下偏离原 来的平衡状态，并随时间的推移而发散。
因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施， 是自动控制理论的基本任务之一。
其他：
一个反馈系统要么是稳定的，要么是不稳定的---绝对稳定性。 具有绝对稳定性的系统称为稳定系统； 若一个闭环系统是稳定的，还可以用相对稳定性来进一步衡 量其稳定程度。例如：飞机越稳定操作起来越困难。但是现代战 斗机的相对不稳定性导致的结果就是良好的可操纵性，因此战斗 机不如商业运输机飞行平稳，但是能够实现快速机动。
劳斯判据的三个步骤
劳斯判据的三个步骤嘿，朋友们！今天咱来聊聊劳斯判据的三个步骤，这可真是个有趣又重要的玩意儿呢！劳斯判据啊，就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开系统稳定性的大门。
你想想看，一个复杂的系统，就像一个神秘的大箱子，我们得找到正确的方法才能知道它里面到底稳不稳定。
第一步呢，就像是给这个大箱子做个初步的检查。
咱得把系统的特征方程写出来，这就好比是给箱子贴上一个标签，让我们知道它的身份。
可别小看这一步哦，要是这一步错了，那后面可就全乱套啦！就好比你出门找路，第一步方向都搞错了，那还能走到目的地吗？第二步呢，就是开始真正深入地研究这个大箱子啦！我们要根据特征方程列出劳斯表，这可有点像给箱子做一个详细的清单。
这里面的每一个数字、每一个符号都有它的意义呢！这一步可得细心再细心，就像给宝贝瓷器打包一样，不能有一点儿马虎。
第三步呀，就是根据劳斯表来判断系统的稳定性啦！这就像是根据清单来判断这个大箱子是不是安全可靠。
如果劳斯表中出现了特殊的情况，那可就像发现了箱子上有个小裂缝一样，得特别注意啦！你说这劳斯判据是不是很神奇？它就像是一个聪明的侦探，能从一堆复杂的数据中找出系统稳定的线索。
学会了它，咱就像是掌握了一门厉害的武功秘籍，在控制工程的世界里就能更加得心应手啦！比如说，在实际的工程应用中，我们要设计一个控制系统，那怎么知道这个系统会不会出问题呢？这时候劳斯判据就派上用场啦！它能帮我们快速地判断系统的稳定性，让我们提前做好准备，避免出现不必要的麻烦。
而且啊，这劳斯判据可不是什么高深莫测的东西，只要咱用心学，肯定能学会。
就像学骑自行车一样，一开始可能会摇摇晃晃，但只要多练习，就能骑得稳稳当当。
总之呢，劳斯判据的三个步骤可真的是非常重要啊！咱可不能小瞧了它。
学会了它，咱就能在控制工程的领域里畅游啦！大家加油学起来呀！。
对劳斯判据的浅略分析
对劳斯判据的浅略分析
劳斯判据是由英国统计学家劳斯（Karl Pearson）提出的一种判断经验分布是否适合
正态分布的方法。
其核心思想是通过比较经验分布的偏度（skewness）和峰度（kurtosis）与正态分布的对应统计量来判断。
偏度是描述数据分布形态的指标，可以用来判断数据是否偏向左侧或右侧。
偏度等于
0表示数据分布对称，大于0表示右偏，小于0表示左偏。
正态分布的偏度为0。
根据劳斯判据，如果经验分布的偏度和峰度与正态分布的对应统计量之间的差距较小，则可以认为经验分布与正态分布拟合较好。
劳斯判据也存在一些限制和局限性。
劳斯判据只适用于连续型随机变量或高度离散的
离散型随机变量。
对于其他类型的数据（如混合型分布或非参数分布），劳斯判据可能不
适用。
劳斯判据无法提供关于拟合程度的具体度量，只能给出拟合程度的相对判断。
在应
用劳斯判据时，需要结合其他方法进行进一步分析和判断。
劳斯判据对样本量的要求较高。
当样本量较小时，劳斯判据的结果可能不够可靠。
劳
斯判据对于正态分布的敏感性较高。
在样本量大且离散程度较大的情况下，劳斯判据可能
会将非正态分布误判为正态分布。
对劳斯判据的浅略分析
对劳斯判据的浅略分析劳斯判断标准，又称劳斯准则或劳斯法则，是指法国社会学家劳伦斯·朝鲁克于1934年提出的一种社会学研究方法和判断标准。
劳斯判断标准通过对社会现象进行观察和研究，进而得出相应的结论和判断。
他认为，一个社会中的不同阶层群体通过劳动、生活方式、文化差异等方面的表现和形式，都可以成为研究和判断的依据，从而更加深入地了解和把握一个社会的特点和发展趋势。
劳斯判断标准的核心观点是，社会现象和社会结构是相互关联和相互作用的，人们的行为和价值观念受到社会背景和社会环境的影响。
通过对不同社会群体的观察和研究，可以揭示出不同社会群体之间的异同和联系，深入了解社会的多样性和变动性。
劳斯判断标准的一大特点是注重对社会现象进行综合性的观察和研究。
他强调通过对社会现象的多维度观察，不仅要关注物质方面的差异，还要考虑到文化、意识形态等方面的不同。
这种综合性的观察和研究有助于更好地理解和解释社会现象和社会结构的本质。
另一个特点是劳斯判断标准的可操作性和实践性。
他提出通过对社会现象进行观察和分析，可以得出科学的结论和判断，为制定社会政策和社会改革提供科学依据。
这种科学的方法和研究结果可以用来指导社会实践，为社会问题的解决提供参考和启示。
劳斯判断标准也存在一些问题和局限性。
由于社会现象的多样性和复杂性，对不同社会群体的观察和研究存在一定的主观性和片面性。
无法避免地，研究者的个人认知和立场会影响到对社会现象的观察和解释，从而可能导致结论的局限性。
劳斯判断标准忽略了社会现象和社会结构之间的动态关系。
社会是一个不断变化和发展的系统，社会现象和社会结构的变化往往是相互作用和相互影响的结果。
只关注社会现象的表面现象，忽略了社会结构的演变和变动规律，可能导致对社会现象的误解和片面的判断。
劳斯判断标准忽视了文化差异和多元性。
社会的多样性和变动性反映了不同文化和价值观念的存在。
通过对不同文化和价值观念的观察和研究，可以更加全面地认识社会现象和社会结构的复杂性和多样性，避免将自身的观念强加于他人，做出片面和错误的判断。
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s6 1 3
劳
s5 2 s4 11
44 22
5 6 77
7
((61-1(064－)-/614=))//-228==1 2 劳斯表特点
斯 s3 0ε --88
表 s2 2+8/ε 7
s1 -8 -7ε/( 2+8/ε ）
1 右移一位降两阶
2 每两行个数相等，否则补0。 3 行列式第一列不动 4 次对角线减主对角线
t
t 4
sin(mt)
1
2m
sin(mt)
当系统在虚轴上只有简单极点 (含N=1) ，而 其他极点都在左半平面内时，系统将是临界稳定的。
此时，系统对特定的输入会出现无界输出，而 对大部分有界输入产生的是有界响应。例如，存在简 单虚轴极点时，系统对有界输入的响应是有界持续振 荡，但当输入为有界正弦信号且频率正好为虚根幅值 时，输出却是无界的。
一、基本概念
右图是塔科马峡谷 的首座大桥，开 通于1940年7月 1日。只要有风， 这座大桥就会晃 动。
4 个月之后，一 阵风吹过，引起 桥的晃动，而且 越来越大，直到 …….
同理，不要在桥上齐步走！
例3.1 麦克风和扬声器
语音 信号
麦克风
增大功率
扬声器
回音 信号
空气 媒介
减小距离
功放 信号
尖叫
一次方程: a1s a0 0
a1,a0同号，则系统稳定。
二次方程: a2s2 a1s a0 0
a1,a2,a0同号，则系统稳定。
三次方程: a3s3 a2s2 a1s a0 0
a0,a1,a2,a3均大于0，且a1a2>a3a0，则系统稳定。
情况一、首列均不为0； 情况二、首列出现0，但该行不全为0； 情况三、首列出现0，且该行全为0； 情况四、虚轴上有重根。 其中，情况一是重点。
用公式解释，留做练习！
归纳而言， LTIC系统绝对稳定的充要条件是
闭环系统所有的极点为负值或有负的实 部，或者说，闭环系统所有的极点都位于s平 面的左半平面。
i
k(t) ci
0
0
ci
t
0
i
ci
t0
t
稳定
临界稳定
发散
实根情况下系统的稳定性
j
j
j
0 k(t)
0
t0
t
0
t
衰减振荡－稳定 等幅振荡－临界稳定 发散振荡－不稳定
（3）系统不稳定的充分条件：劳思表第一列若出现小于0 的元素，则系统不稳定。且第一列元素符号改变的次数等 于系统正实部根的个数。
设特征方程为
a5s5 a4s 4 a3s3 a2 s 2 a1s a0 0 则Routh表为
s5
a5
a3
a1
s4
a
4
a2
a0
s3
a4a3 a5a2 a4
b1
共轭复根情况下系统的稳定性
注意： 由于模型的近似化，且系统的参数又处在不断 的微小变化中，所以，临界稳定实际上也应视为不稳定。
3-2 劳思稳定性判据
[判据] （1） 系统稳定的必要条件:特征方程中所有项的系数均大 于 0 （同号）；只要有1项等于或小于 0 ，则为不稳定系 统。
（2）系统稳定的充分条件：劳思表第一列元素均大于0 （同号） 。
a4a1 a5a0 a4
b2
0
s2
b1a2 a4b2 b1
c1
a0
s1
c1b2 b1a0 c1
d1
0
s0
a0
例3.2 s 4 2s3 3s2 4s 5 0 s4 1 3 5 s3 2 4 s2 1 5 s1 6 0 s0 5
则系统不稳定，且有两个正实部根。（即有2 个根在S的右半平面。）
平面。
如果系统在右半平面至少有一个极点，(某个 am 或 j 取负值), 或在虚轴上有重根，系统对任何输
入的响应都会是无界的。
例如，如果虚轴根 j 是二重根，对应的部
分分式分解应该为：
2
1 1
1 1
s2 2
2
4 s
j 2
s
j2 2
s2 2
而对应的系统脉冲响应为无界输出：
ypart
例3.1 麦克风和扬声器
R(s)
Y(s)
K
B(s) k
G(s)=K/（1-K*k） 拾音器正反馈
(a) K=5，k=0.1 1→10 1.5 →15 2 →20…
(b) K=5, k=0.2 1→∞
(c) K=10, k=0.1 1→∞
系统稳定性 (输入输出稳定性): 对任何有界输入产生有界输出的系统
成为稳定系统。
这种性质保证了系统的绝对稳定性。
对稳定系统而言，在稳定的前提下，还 可以讨论系统的相对稳定性。 民航客机就比战斗机更加稳定。
[理解]
绝对稳定
临界稳定
不稳定
2. 系统稳定的充要条件
闭环传递函数的一般形式为：
l
Ks zi
Gs Q
i 1 R
sN s j
s2 2ams (am2 m2 )
第三章 控制系统的时域稳定性
3-1 稳定性的基本概念 3-2 Routh—Hurwitz稳定性判据 3-3 Routh—Hurwitz稳定性判据
的应用
第六讲：控制系统时域稳定性
3-1 稳定性的基本概念 3-2 Routh—Hurwitz稳定性判据 3-3 Routh判据的应用
3-1 基本概念与结论
劳斯表情况一 例3.3、含参变量的例子：设系统特征方程为：
s3+s2+s+K=0; K不等于１或０
劳 s3 1 1
s2 1 K
斯 s1 1-K 0 表 s0 K
参数取值影响稳定性！
于是： Ｋ小于０，系统不稳定；
Ｋ大于１，系统不稳定；
Ｋ大于０且小于１时，系 统稳定。
例3.4 设系统特征方程为： 劳斯表情况二 s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0
s0 7
5 分母总是上一行第一个元素
8 再令正无穷小量ε趋近于6 一行可同乘或同除某正数
0，得到真正的劳斯表如下。7 第一列出现零元素时，
用正无穷小量ε代替。
系统稳定的必要条件: 特征方程各项系数 均大于零! 同号！ 有正有负一定不稳定! 缺项一定不稳定!
-s2-5s-6=0稳定吗？
系统稳定的充分条件:
j 1
m1
其中，系统的非零极点为： pj j 和 pm, pm am jm
当 N=0时, 系统脉冲响应的一般表达式为：
y
t
Q j 1
Aje jt
R m1
Bm
(1
m
)eamt
sin(mt
m
)
其中，Aj Bm 是依赖于系统参数的常值系数。
当
和
j
am取正值时，对任何有界输入， y(t)
都是有界的。此时，所有闭环极点都在s平面的左半
s6 1 3 s5 2 4 s4 1 2 s3 0 -8
s2 +∞ 7 s1 -8
s0 7
57 6 7
劳斯表第一列元素不变号!