数学期望(均值)、方差和协方差的定义与性质

均值、方差和协方差的定义和基本性质
1 数学期望（均值）的定义和性质
定义：设离散型随机变量X 的分布律为
{}, 1,2,k k P X x p k === 若级数
1k k k x
p ∞=∑
绝对收敛，则称级数1k k k x
p ∞=∑的和为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。

即
()1k k k E X x p ∞==∑。

设连续型随机变量X 的概率密度为()f x ，若积分
()xf x dx ∞−∞⎰ 绝对收敛，则称积分
()xf x dx ∞−∞⎰的值为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。

即 ()()E X xf x dx ∞
−∞=⎰ 数学期望简称期望，又称为均值。

性质：下面给出数学期望的几个重要的性质
（1）设C 是常数，则有()E C C =；
（2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有()()E CX CE X =；
（3）设X 和Y 是两个随机变量，则有()()()E X Y E X E Y +=+，这一性质可以推
广至任意有限个随机变量之和的情况；
（4）设X 和Y 是相互独立的随机变量，则有()()()E XY E X E Y =。

2 方差的定义和性质
定义：设X 是一个随机变量，若(){}2E X E X −⎡⎤⎣⎦存在，则称(){}2E X E X −⎡⎤⎣⎦为X
的方差，记为()D X 或()Var X ，即
性质：下面给出方差的几个重要性质
（1）设C 是常数，则有()0D C =；
（2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有
()()2D CX C D X =，()()D X C D X +=；
（3）设X 和Y 是两个随机变量，则有
()()()()()()(){}2D X Y D X D Y E X E X Y E Y +=++−−
特别地，若X 和Y 相互独立，则有()()()D X Y D X D Y +=+ （4）()0D X =的充分必要条件是以概率1取常数()E X ，即(){}1P X E X ==。

3 协方差的定义和性质
定义：量()(){}
E X E X Y E Y −−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦称为随机变量X 与Y 的协方差。

记为(),Cov X Y ，即
()()(){},Cov X Y E X E X Y E Y =−−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 性质：下面给出协方差的几个重要性质
（1）()(),,Cov X Y Cov Y X =
（2）()(),Cov X X D X =
（3）()()()(),Cov X Y E XY E X E Y =−
（4）()(),,,,Cov aX bY abCov X Y a b =是常数
（5）()()()1212,,,Cov X X Y Cov X Y Cov X Y +=+ 参考文献
[1]概率论与数理统计（第四版），浙江大学。