数学期望(均值)、方差和协方差的定义与性质
概率论与数理统计 --- 第四章{随机变量的数字特征} 第一节：数学期望
这个数能否作为 X的平均值呢？
若统计100天,
可以想象, 若另外统计100天, 车工小张不出废品, 这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27. 一般来说, 若统计n天 ,
(假定小张每天至多出三件废品)
又设飞机机翼受到的正压力W 是V 的函数 : W kV 2 ( k 0, 常数), 求W 的数学期望.
解: 由上面的公式
1 1 2 E (W ) kv f (v )dv kv dv ka a 3 0
2 2
a
例7 设二维连续型随机变量（X , Y）的概率密度为
A sin( x y ) 0 x , 0 y f ( x, y) 2 2 0 其它 (1)求系数A , ( 2)求E ( X ), E ( XY ).
x f ( x )x
i i i
i
阴影面积近似为
这正是:
f ( xi )xi
x f ( x )dx
的渐近和式.
小区间[xi, xi+1)
定义: 设X是连续型随机变量, 其密度函数为 f (x), 如果积分: xf ( x )dx
概率论
绝对收敛, 则称此积分值为X的数学期望, 即:
2. 设二维连续型随机变量 (X, Y) 的联合概率密度为 f (x, y), 则： E ( X )
E (Y )
xf X ( x )dx
yfY
( y )dy
xf ( x , y )dxdy,
数学期望与方差的运算性质
数学期望与方差的运算性质教程一：复习公式离散随机变量(),(,)(,)(,)(,)i j ij i j ij i jP X Y a b p Eh X Y h a b p ==→=∑连续随机变量()()()2,~,(,)(,),R f x y Eg g x y f x y dxdy ξηξη→=⎰⎰二：期望运算性质()E aX bY c aEX bEY c ++=++应用例题、袋中装有m 个不同色小球，有返回取球n 次，出现X 种不同颜色，求EX 解答：用i X ⎧=⎨⎩１第ｉ颜色球在n次取球中出现０第ｉ颜色球在n次取球中没出现，则 m X X X ++= 1由于()()1101,111,n ni i P X P X m m ⎛⎫⎛⎫==-==-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()111/ni EX m =--，()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--==++=∑=n m i i m m m EX X X E EX 11111三、协方差：若,EX EY θμ==，()()cov(,)X Y E X Y θμ=--⎡⎤⎣⎦称为随机变量X 、Y 的协方差.covariance()()cov(,)X Y E X Y θμ=--⎡⎤⎣⎦()()()()()()()()()()()EYEX XY E XY E XY E Y E X E XY E E Y E X E XY E Y X XY E ⨯-=-=+--=+--=+-+-+=+--=θμθμθμμθθμθμθμθμθμθμ 例题：害虫一生产卵个数X 服从参数为λ的Ｐｏｉｓｓｏｎ分布，若每个卵能孵化成下一代的概率都是p ，假定害虫后代个数为Y ，求cov(,)X Y 解答：(,)()()(1)!ii jj j i j i e P X i Y j P X i P Y j X i C p p i λλ-≥-=======-!(1)(1)!!()!!()!i ij i j j i j e i e p p p p i j i j j i j λλλλ----=-=--- 000(,)(1)!()!iij i ji j i i j e EXY ijP X i Y j ij p p j i j λλ-∞∞-=≤======--∑∑∑∑000(,)(1)!()!iij i j i j i i j e EX iP X i Y j i p p j i j λλ-∞∞-=≤======--∑∑∑∑000(,)(1)!()!iij i j i j i i j e EY jP X i Y j j p p j i j λλ-∞∞-=≤======--∑∑∑∑ clearclcsyms i j p lamda positiveEXY=symsum(symsum(i*j*exp(-lamda)*lamda^i/gamma(j+1)/gamma(i-j+1)*p^j*(1-p)^(i-j),j,0,i),i,0,inf)EX=symsum(symsum(i*exp(-lamda)*lamda^i/gamma(j+1)/gamma(i-j+1)*p^j*(1-p)^(i-j),j,0,i),i,0,inf)EY=symsum(symsum(j*exp(-lamda)*lamda^i/gamma(j+1)/gamma(i-j+1)*p^j*(1-p)^(i-j),j,0,i),i,0,inf)cov=simple(EXY-EX*EY);covEXY =p*lamda*(lamda+1)EX =lamdaEY =lamda*pcov =lamda*p可以看到，协方差不为０例题：P180 3.4.8()[0,1][0,2],~(,)1/3()(,)f x y x y I x y ξη⨯=+，求(238)Var X Y -+ syms x y positivemoment1=int(int((2*x-3*y+8)*1/3*(x+y),x,0,1),y,0,2);moment2=int(int((2*x-3*y+8)^2*1/3*(x+y),x,0,1),y,0,2);Var=moment2-moment1^2Var =245/81协方差计算公式()()()(),cov(,)EX a EY b X Y E X EX E Y EY E X a E Y b ===--=-- ()()()()E XY aY bX ab E XY aE Y bE X ab =--+=--+()E XY ab ba ab =--+()()()E XY E X E Y =-注： Ｙ＝Ｘ时得到什么公式？例题：若随机变量,X Y 独立，求它们的协方差解答：,EX EY θμ==，因为,X Y 独立，所以X Y θμ--、也相互独立 ()()()()cov(,)0X Y E X Y E X E Y θμθμ=--=-⨯-=⎡⎤⎣⎦注：相互独立随机变量协方差为０的逆命题不成立，如，假定随机变量~(1,1)X U -，则显然2cov(,)0X X =，但是2X X 、不独立四、协方差和方差性质１：协方差是方差推广，方差是特殊协方差cov(,)()X X Var X =，cov(,)0X c =，cov(,)cov(,)X Y Y X = 1111cov(,)cov(,)m n m ni i j j i j i j i j i j c X d Y c d X Y =====∑∑∑∑ 特殊地11111()cov(,)cov(,)m m m m mi i i i j i i i i j Var X X X X X =======∑∑∑∑∑111cov(,)cov(,)cov(,)m m m i j i j i i i j i j i X X X X X X ===≠⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑1cov(,)()mi j i i j i X X Var X =≠⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑∑11cov(,)()m m i j i i i j i X X Var X ==≠⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑∑∑12cov(,)()mi j i i j i X X Var X =>=+∑∑特别地121212()()()2cov(,)Var X X Var X Var X X X +=++121212112212()cov(,)cov(,)cov(,)Var X X X X X X X X X X X X -=--=-+-- 11122122cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)X X X X X X X X =+-+-+-- 11122122cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)X X X X X X X X =+-+-+-- 1122122()cov(,)cov(,)cov(,)Var X X X X X X X =----1121222()cov(,)cov(,)cov(,)Var X X X X X X X =--+1212()()2cov(,)Var X Var X X X =+-这个结论说明，一般，和的方差并不等于方差之和定理：若随机变量1,,n X X 相互独立，则111()2cov(,)()()nn n i i j i i i i i j i Var X X X Var X Var X ===>=+=∑∑∑∑。
协方差公式性质证明过程_期望方差协方差及相关系数的基本运算
协方差公式性质证明过程_期望方差协方差及相关系数的基本运算期望（Expected Value）是概率论与数理统计中的重要概念之一，表示随机变量的平均值。
设X是一个随机变量，其概率密度函数为f(x)，则X的期望定义为：E(X) = ∫xf(x)dx方差（Variance）是测量随机变量离其期望的平均距离的指标。
设X是一个随机变量，其期望为μ，则X的方差定义为：Var(X) = E((X-μ)²) = E(X²) - (E(X))²协方差（Covariance）衡量两个随机变量之间的线性相关性。
设X和Y为两个随机变量，其期望分别为μX和μY，则X和Y的协方差定义为：Cov(X, Y) = E((X-μX)(Y-μY)) = E(XY)-μXμY相关系数（Correlation Coefficient）是用来刻画两个随机变量之间相关关系的指标，它是协方差标准化的结果。
设X和Y为两个随机变量，其协方差为Cov(X, Y)，则X和Y的相关系数定义为：ρ(X, Y) = Cov(X, Y) / (√(Var(X)) * √(Var(Y)))现在我们来证明协方差的一些性质。
性质1：Cov(X, X) = Var(X)证明：Cov(X, X) = E((X-μX)(X-μX)) = E((X-μX)²) = Var(X)性质2：Cov(X, Y) = Cov(Y, X)证明：Cov(X, Y) = E((X-μX)(Y-μY)) = E((Y-μY)(X-μX)) = Cov(Y, X)性质3：Cov(aX, Y) = aCov(X, Y)，其中a为常数证明：Cov(aX, Y) = E((aX-μ(aX))(Y-μY)) = E(a(X-μX)(Y-μY)) =aE((X-μX)(Y-μY)) = aCov(X, Y)性质4：Cov(X, Y + Z) = Cov(X, Y) + Cov(X, Z)证明：Cov(X, Y + Z) = E((X-μX)(Y+Z-μ(Y+Z))) = E((X-μX)(Y-μY+Z-μZ))=E((X-μX)(Y-μY))+E((X-μX)(Z-μZ))= Cov(X, Y) + Cov(X, Z)性质5：Cov(aX + b, Y) = aCov(X, Y)，其中a和b为常数证明：Cov(aX + b, Y) = E((aX + b - μ(aX + b))(Y-μY)) = aE((X-μX)(Y-μY)) = aCov(X, Y)性质6：Cov(X + Y, Z) = Cov(X, Z) + Cov(Y, Z)证明：Cov(X + Y, Z) = E(((X + Y)-μ(X + Y))(Z-μZ)) = E((X-μX)(Z-μZ) + (Y-μY)(Z-μZ))=E((X-μX)(Z-μZ))+E((Y-μY)(Z-μZ))= Cov(X, Z) + Cov(Y, Z)以上就是协方差的一些性质的证明过程。
第四章方差与协方差
随机变量的数学期望(均值), 它体现了随机 变量取值的平均水平, 是随机变量的一个重要的 数字特征.
但是在很多场合, 仅仅知道平均值是不够的.
例如, 某零件的真实长度为a, 现在用甲、乙 两台仪器各测量10次, 并将测量结果 X 用坐标上的 点表示如图：
测量结果的 均值都是 a
为此需要引进另一个数字特征, 用它来度量 随机变量在其中心 (即均值) 附近取值的离散程度 (或集中程度). 这个数字特征就是: 方差.
我们该用怎样的量去度量这种偏离程度呢?
X − E(X) ? E[ X − E(X) ] ? E{ [ X − E(X) ]2 }
E[ | X − E(X) | ] ?
若 X 的取值比较集中, 则方差较小； 若 X 的取值比较分散, 则方差较大 .
如: 据以往记录, 甲乙两射手命中环数 X、Y 的分布律为
X
6
7
8
9
10
0.1
P 0.1 0.2 0.4 0.2 可以算出:
及
Y
6
7
8
9
10
0.2
P 0.2 0.2 0.2 0.2
8.0, 6 0 . 1 7 0 . 2 8 0 . 4 9 0 . 2 10 0 . 1 E (X) E ( Y ) 8 . 0 , 两人命中环数的平均水平相同, 从中看不出两人射击技术的 高低; 2 1 )20 .2 ( 2 )20 .1( ( X ) E {[ X E ( X )] } 但 D
一、方差( variance )的定义
随机变量 X 的平方偏差 [ X − E(X) ]2 的均值
E { [ X E ( X ) ]}
期望 方差 标准差
期望方差标准差期望、方差和标准差是统计学中常用的概念，它们在描述和分析数据分布特征时起着重要作用。
在本文中，我们将对这三个概念进行深入探讨，帮助读者更好地理解它们的含义和用途。
首先，让我们来了解一下期望。
期望是描述随机变量平均取值的概念，它可以简单地理解为随机变量的平均值。
在数学上，期望值可以通过对随机变量的所有取值进行加权平均来计算，其中每个取值的权重由该取值发生的概率决定。
期望值的计算可以帮助我们了解随机变量的集中趋势，对于评估随机变量的平均水平具有重要意义。
接下来，我们来讨论方差。
方差是衡量随机变量离散程度的指标，它可以反映随机变量取值的波动情况。
在数学上，方差的计算是通过随机变量的每个取值与期望值的差的平方进行加权平均得到的。
方差值越大，表示随机变量的取值波动越大，反之则表示波动越小。
方差在统计分析中具有重要作用，它可以帮助我们评估随机变量的稳定性和波动程度。
最后，让我们来谈谈标准差。
标准差是方差的平方根，它也是衡量随机变量离散程度的重要指标。
与方差相比，标准差更容易理解和解释，因为它的数值与随机变量的原始数据具有相同的量纲。
标准差的计算可以帮助我们更直观地理解随机变量取值的波动情况，对于比较不同随机变量的离散程度也非常有帮助。
综上所述，期望、方差和标准差是统计学中非常重要的概念，它们在描述和分析数据分布特征时具有重要作用。
期望可以帮助我们了解随机变量的平均水平，方差和标准差则可以帮助我们评估随机变量的离散程度。
通过深入理解这三个概念，我们可以更好地进行数据分析和统计推断，为实际问题的解决提供有力的支持。
希望本文对读者能够有所帮助，如果您对期望、方差和标准差还有其他疑问或者需要进一步了解，欢迎随时与我们联系，我们将竭诚为您解答。
方差协方差均值
方差协方差均值是统计学中的基本概念，它们描述了数据分布的离散程度和相关程度。
在某些情况下，这些概念可能会对数据分析和决策制定产生重要影响。
首先，我们来了解一下方差（Variance）和协方差（Coefficient of Variation）。
方差描述了一组数据值与其平均值之间的离散程度，通常用希腊字母σ2表示。
如果一组数据的变化范围很大，则该组的方差可能较高。
相反，如果数据相对较稳定，则方差较低。
在某些情况下，方差可用于评估风险或不确定性。
协方差描述了两组数据之间的相关程度。
它表示每个数据点与其平均值之间的差异的平均值。
如果两组数据具有相同的方向变化趋势，则它们之间的协方差为正；如果两组数据相反方向变化，则协方差为负。
协方差的绝对值表示了两组数据之间的相关程度的强度。
如果绝对值较大，则说明两组数据之间的相关性较强；如果绝对值较小或接近于零，则说明两组数据之间可能没有明显的相关性。
均值（Mean）是描述一组数据集中趋势的统计量，通常用数学符号μ表示。
均值可以反映数据的分布情况，因为它是所有数据点的平均值。
在决策过程中，均值可用于评估某个方案或选择的结果的平均水平或效果。
将方差、协方差和均值结合起来，我们可以更好地理解数据的分布和相关性，以及如何根据这些信息做出决策。
例如，在风险评估中，我们可以使用方差和协方差来评估投资组合的风险水平，并确定如何分散风险以获得更好的回报。
在市场研究中，我们可以使用协方差和均值来评估不同市场趋势之间的相关性，并确定如何调整研究策略以获得更好的结果。
然而，需要注意的是，方差、协方差和均值并不是万能的统计指标。
它们都有其局限性，需要与其他统计指标和方法结合使用，以获得更全面和准确的数据分析结果。
此外，不同的应用场景可能需要不同的统计指标和方法来评估数据和决策制定过程。
因此，在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的统计指标和方法来进行分析和决策。
总之，方差、协方差和均值是统计学中的基本概念，它们描述了数据的分布和相关性，并可用于评估决策制定过程中的平均水平或效果。
数学期望方差协方差
31
解：设Z表示该种商品每周所得的利润，则
若Y X 1000Y , Z g( X ,Y ) 500(X Y ), 若Y X
24
i 1 j 1
定理：设Z 是随机变量X , Y的函数： Z h( X , Y ) h是连续函数 ,
若二元连续型随机变量 X , Y 的概率密度为f ( x, y)，
则有E ( Z ) E (h( X , Y ))
h( x, y) f ( x, y )dxdy
2 e x 2e2 x , x 0, 因此，密度函数为f M ( x) x 0. 0,
由上例，E (M ) xf M ( x)dx
0
2 xe
0
x
dx x2e2 x dx
0
2 1 3 . 2 2
15
例：某厂生产的电子产品,其寿命(单位:年)服从指 数分布,概率密度函数为
解：N的分布函数为FN ( x) 1 (1 F ( x))2 ,
2 e2 x , x 0, 因此，密度函数为f N ( x) x 0. 0,
由上例，E ( N ) E (min( X , Y )) 1 . 2
14
M的分布函数为FM ( x) (F ( x))2 ,
3 ( 1 1) 3 4 5 5
30
例：
某商店经销某种商品，每周进货量X与需求量Y 是相互独立的随机变量，且都服从在区间[10,20] 上均匀分布。商店每售出一单位商品可获利1000元； 若需求量超过进货量，商店可从他处调剂供应， 这时每单位商品可获利500元；试计算此商店经销 该种商品每周所获得利润的数学期望。
期望，方差，均值以及均方差
期望，⽅差，均值以及均⽅差 ⼀组数求期望（均值），不是对每个数求均值，⽽是第⼀轮是将元素以及重复次数整理出来， ⼆轮才是将求元素的均值：1import numpy as np23 arr = np.array([1, 3, 1, 4])4 arr = arr.reshape(2, 2)5print(arr)6print(arr.mean())78 mean = 1*(2/4) + 3*(1/4) + 4*(1/4)9print(mean) 如上，可以看到mean的值和arr.mean是⼀致的。
重复的元素其实只是会计算⼀次。
概率中的讲的元素也是特征元素（重复的元素只算⼀个特征元素）；这是按照概率定义那种⽅式来计算（元素*概率再求和），需要⾸先计算出来概率；这⾥关键要区别“事件”和样本；对于arr ⽽⾔，它⾥⾯的元素就是样本；⽽概率定义中公式则是事件，即不重复的元素（1,3,4）。
另外⼀种算法就是直接求和取平均值：1import numpy as np2 arr = np.array([1,2,3,4])3 sum = 04for i in arr:5 sum += i6 mean_manual = sum / len(arr)7print("manual mean: ", mean_manual)8print("numpy mean: ", arr.mean())910 arr2 = arr.reshape(-1, 2)11print("axis=1:",arr2.mean(axis=1))12print("axis=0:", arr2.mean(axis=0))>>> output:manual mean: 2.5numpy mean: 2.5axis=1: [1.5 3.5]axis=0: [2. 3.]另外关于axis=0和axis=1见下⾯的解释。
关于covariancematrix（协方差矩阵）的理解
关于covariancematrix （协⽅差矩阵）的理解
1,离散随机变量的X
的数学期望：
2,⽅差:
研究随机变量与其均值的偏离程度，记为
:
对于离散的：
3,均⽅差,
标准差：
4,
协⽅差的定义：
对于⼀般的分布，直接代⼊E(X)之类的就可以计算出来了，但真给你⼀个具体数值的分布，要计算协⽅差矩阵，根据这个公式来计算，还真不容易反应过来。
这⾥⽤⼀个例⼦说明协⽅差矩阵是怎么计算出来的吧。
记住，X 、Y 是⼀个列向量，它表⽰了每种情况下每个样本可能出现的数。
⽐如给定
则X 表⽰x 轴可能出现的数，Y 表⽰y 轴可能出现的。
注意这⾥是关键，给定了4个样本，每个样本都是⼆维的，所以只可能有X 和Y 两种维度。
所以E
⽤中⽂来描述，就是：
协⽅差(i,j)=（第i列的所有元素-第i列的均值）*（第j列的所有元素-第j列的均值）
这⾥只有X,Y两列，所以得到的协⽅差矩阵是2x2的矩阵，下⾯分别求出每⼀个元素：
所以，按照定义，给定的4个⼆维样本的协⽅差矩阵为：
最后,协⽅差矩阵都是⽅阵，它的维度与样本维度有关（相等）。
摘⾃: https:///qq_23869697/article/details/80610361
https:///chezhai/article/details/56842517。
工程数学概率 第三章(一)
求：一次游戏平均得多少钱？
机动
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解： 假设做了n次游戏，
每次平均得：
当n很大时，
定义1 定义1 设离散型随机变量X 的分布律为
P{X = xk } = pk , (k =1 2,3,L , )
若级数
∑x p 绝对收敛 ，
k= 1 k k
∞
∞
则称此级数的和为X 的数学期望 数学期望。 数学期望 简称期望或均值 期望或均值，记为 E(X). 期望或均值 即 E(X) = ∑xk pk
0 0
1 = ≠ E(X)E(Y) 3
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三、数学期望的性质 1. 设C 是常数，则E(C )=C ; 2. 若C 是常数，则E(CX ) = CE(X ); 3. E(X +Y) = E(X) + E(Y) 证明: 设 ( X.Y) ~ f ( x, y)
∞∞
E(X +Y) = ∫ ∫ (x + y) f (x, y)dxdy
第三章 随机变量的数字特征
一、数学期望 二、方差 三、协方差和相关系数 四、矩和协方差矩阵
第一讲 数学期望
一 、数学期望的概念 二、随机变量函数的数学期望 三、数学期望的性质
第三章
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一、数学期望的概念
引例： 引例：某人参加一个掷骰子游戏，规则如下： 掷得点数 获得(元) 1点 1 2,3点 2 4,5,6点 4
∞
−∞
−∞
推广： 推广： [∏Xi ] = ∏E(Xi ) （当Xi 独立时） E
例1、 、 任意掷5颗骰子，X—5颗骰子出现的点数之和,求E(X). 解：
概率论与数理统计第四章
)
(
)
(
)
,
(
Y
D
X
Dபைடு நூலகம்
Y
X
Cov
xy
=
r
=4[E(WV)]2-4E(W2)×E(V2)≤0
01
得到[E(WV)]2≤E(W2)×E(V2). →(8)式得到证明.
02
设W=X-E(X),V=Y-E(Y),那么
03
其判别式
由(9)式知, |ρ xy|=1 等价于 [E(WV)]2=E(W2)E(V2). 即 g(t)= E[tW-V)2] =t2E(W2)-2tE(WV)+E(V2) =0 (10) 由于 E[X-E(X)]=E(x)-E(X) =0, E[Y-E(Y)]=E(Y)-E(Y) =0.故 E(tW-V)=tE(W)-E(V)=tE[X-E(X)]-E[Y-E(Y)]=0 所以 D(tW-V)=E{[tW-V-E(tW-V)]2}=E[(tW-V)2]=0 (11) 由于数学期望为0,方差也为0,即(11)式成立的充分必要条件是 P{tW-V=0}=1
随机变量X的数学期望是随机变量的平均数.它是将随机变量 x及它所取的数和相应频率的乘积和.
=
(1)
)
2
3
(
)
(
-
=
ò
µ
µ
-
dx
x
x
E
j
x
可见均匀分布的数学期望为区间的中值.
例2 计算在区间[a,b]上服从均匀分布的随机变量 的数学期望
泊松分布的数学期望和方差都等于参数λ.
其他
02
f(x)=
01
（4-6）
03
（4）指数分布
数学期望的六个公式
数学期望的六个公式数学期望是一个概念，用于描述概率实验或随机变量的预期值，被广泛应用于统计学，信息论，投机策略和把数字概念应用于实际问题的其他领域。
数学期望有六个公式，它们是总和期望，乘积期望，定义期望，方差公式，协方差公式和零期望公式。
首先，总和期望公式定义为任何给定的两个事件X和Y的期望相加的结果，即E(X+Y) = E（X）+ E（Y）。
这意味着，如果一个随机变量X的期望值为3，而Y的期望值为4，那么X和Y的总和期望就为7。
其次，乘积期望公式定义为任何给定的两个事件X和Y的期望相乘的结果，即E（XY）=E（X）×E（Y）。
乘积期望不仅用于双重期望，而且还用于多重期望。
同样，如果一个随机变量X的期望值为3，而Y的期望值为4，那么X和Y的乘积期望就为12。
接下来是定义期望，即定义期望公式，它定义为分布的期望的加权平均值，其中每个可能的值X在函数f（x）上有不同的权重。
这个公式可以用来求解可能的联合分布的任何期望。
下一个是方差公式，即方差公式，它定义为一个随机变量与其期望之间的偏离度量，并且可以用来衡量概率分布的扩散程度。
方差公式可以表达为Var（X）= E（X-E（X）），记作σ2。
然后是协方差公式，也称为协方差矩阵，它定义为两个随机变量之间的度量，它表示两个随机变量之间的关系。
它可以用来衡量两个变量之间正负相关性，并且可以用来检测金融数据中的关联性。
协方差公式可以表达为Cov（X，Y）= E（XY）-E（X）E（Y），记作σxy。
最后，是零期望公式，它定义为任意离散变量的期望是0，即E （X）= 0。
它常用于信号处理，表示非零值时没有偏移。
以上就是数学期望的六个基本公式。
数学期望在统计学，信息论，投机策略和其他应用概率的领域都有广泛的应用，有助于我们对概率分布的理解和分析。
方差、标准差和协方差三者之间的定义与计算
⽅差、标准差和协⽅差三者之间的定义与计算理解三者之间的区别与联系，要从定义⼊⼿，⼀步步来计算，同时也要互相⽐较理解，这样才够深刻。
⽅差⽅差是各个数据与平均数之差的平⽅的平均数。
在概率论和数理统计中，⽅差（英⽂Variance）⽤来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。
在许多实际问题中，研究随机变量和均值之间的偏离程度有着很重要的意义。
标准差⽅差开根号。
协⽅差在概率论和统计学中，协⽅差⽤于衡量两个变量的总体误差。
⽽⽅差是协⽅差的⼀种特殊情况，即当两个变量是相同的情况。
可以通俗的理解为：两个变量在变化过程中是否同向变化？还是反⽅向变化？同向或反向程度如何？你变⼤，同时我也变⼤，说明两个变量是同向变化的，这是协⽅差就是正的。
你变⼤，同时我变⼩，说明两个变量是反向变化的，这时协⽅差就是负的。
如果我是⾃然⼈，⽽你是太阳，那么两者没有相关关系，这时协⽅差是0。
从数值来看，协⽅差的数值越⼤，两个变量同向程度也就越⼤，反之亦然。
可以看出来，协⽅差代表了两个变量之间的是否同时偏离均值，和偏离的⽅向是相同还是相反。
公式：如果有X,Y两个变量，每个时刻的“X值与其均值之差”乘以“Y值与其均值之差”得到⼀个乘积，再对这每时刻的乘积求和并求出均值，即为协⽅差。
⽅差，标准差与协⽅差之间的联系与区别：1. ⽅差和标准差都是对⼀组(⼀维)数据进⾏统计的，反映的是⼀维数组的离散程度；⽽协⽅差是对2组数据进⾏统计的，反映的是2组数据之间的相关性。
2. 标准差和均值的量纲（单位）是⼀致的，在描述⼀个波动范围时标准差⽐⽅差更⽅便。
⽐如⼀个班男⽣的平均⾝⾼是170cm,标准差是10cm,那么⽅差就是10cm^2。
可以进⾏的⽐较简便的描述是本班男⽣⾝⾼分布是170±10cm，⽅差就⽆法做到这点。
3. ⽅差可以看成是协⽅差的⼀种特殊情况，即2组数据完全相同。
4. 协⽅差只表⽰线性相关的⽅向，取值正⽆穷到负⽆穷。
利⽤实例来计算⽅差、标准差和协⽅差样本数据1：沪深300指数2017年3⽉份的涨跌额（%）, [0.16,-0.67,-0.21,0.54,0.22,-0.15,-0.63,0.03,0.88,-0.04,0.20,0.52,-1.03,0.11,0.49,-0.47,0.35,0.80,-0.33,-0.24,-0.13,-0.82,0.56]1. 计算沪深300指数2017年3⽉份的涨跌额（%）的⽅差# Sample Date - SH000300 Earning in 2017-03datas = [0.16, -0.67, -0.21, 0.54, 0.22, -0.15, -0.63, 0.03, 0.88, -0.04, 0.20, 0.52, -1.03, 0.11, 0.49, -0.47, 0.35, 0.80, -0.33, -0.24, -0.13, -0.82, 0.56]mean1 = sum(datas)/len(datas) # result = 0.0060869565217391355square_datas = []for i in datas:square_datas.append((i-mean1)*(i-mean1))variance = sum(square_datas)/len(square_datas)print(str(variance))# result = 0.25349338374291114# 当然如果你使⽤了numpy，那么求⽅差将会⼗分的简单：import numpy as npdatas = [0.16, -0.67, -0.21, 0.54, 0.22, -0.15, -0.63, 0.03, 0.88, -0.04, 0.20, 0.52, -1.03, 0.11, 0.49, -0.47, 0.35, 0.80, -0.33, -0.24, -0.13, -0.82, 0.56] variance = np.var(datas)print(str(variance))# result = 0.2534933837432. 计算沪深300指数2017年3⽉份的涨跌额（%）的标准差import math# Sample Date - SH000300 Earning in 2017-03datas = [0.16, -0.67, -0.21, 0.54, 0.22, -0.15, -0.63, 0.03, 0.88, -0.04, 0.20, 0.52, -1.03, 0.11, 0.49, -0.47, 0.35, 0.80, -0.33, -0.24, -0.13, -0.82, 0.56] mean1 = sum(datas)/len(datas)square_datas = []for i in datas:square_datas.append((i-mean1)*(i-mean1))variance = sum(square_datas)/len(square_datas)standard_deviation = math.sqrt(variance)print(str(standard_deviation))# result = 0.5034812645401129#当然如果你使⽤了numpy，那么求标准差将会⼗分的简单：import numpy as np# Sample Date - SH000300 Earning in 2017-03datas = [0.16, -0.67, -0.21, 0.54, 0.22, -0.15, -0.63, 0.03, 0.88, -0.04, 0.20, 0.52, -1.03, 0.11, 0.49, -0.47, 0.35, 0.80, -0.33, -0.24, -0.13, -0.82, 0.56] standard_deviation2 = np.std(datas, ddof = 0)print(str(standard_deviation2))# result =0.50348126454请注意 ddof = 0 这个参数，这个是很重要的，只是稍后放在⽂末说明，因为虽然重要，但是却⼗分好理解。
期望、方差协方差
随机变量的数字特征一、数学期望E（x)的性质：性质一：常数C，E（C)=C;性质二：X为随机变量，C为常数，则E(CX）=CE（X)；性质三：X，Y为随机变量，则E(X+Y)=E(X)+E(Y)；性质三：X,Y为相互独立的随机变量时，E（XY）=E（Ｘ）Ｅ（Ｙ）二、方差的性质：D(X)=E(X²）-[E(X)]²性质一：C为常数，则D(C)=0；性质二：X为随机变量，C为常数，则D(CX)=C²D(X)D(X±C)=D(X)性质三：X，Y为相互独立随机变量Ｄ（X±Y)=D(X)+D(Y)当X，Y不相互独立时：D(X±Y）=D(X)+D(Y)±2COV(X,Y);关于协方差COV（X+Y，X-Y)=D(X)-D(Y)的证明？证：由COV（X，Y）=E（XY）-E(X)E(Y) 得COV（Ｘ＋Ｙ，Ｘ－Ｙ）＝E[(X+Y)（X-Y)]-E（X+Y)E(X-Y) =E（X^2-Y^2）-{[E(X)+E(Y)][E(X)-E(Y)]}=E(X^2)-E(Y^2)-E(X)E(X)+E(Y)E(Y)=E(X^2)-E(X)E(X)-[E(Y^2)-E(Y)(Y)]=D(X)-D(Y)三、常用函数期望与方差：⑴（0-1）分布：①分布律：P{X=K}=p^k(1-p)^1-k,k=0,1,2...(0<p<1）②数学期望：p③方差：pq (q=1-p)⑵二项分布B（n,p):①分布律：P{X=K}=（n,k)p^k(1-p)n-k (k=0,1..n;n>=1,0<p<1,q=1-p)②数学期望：np③方差：npq⑶泊松分布π（λ）：①分布律：P{X=k}=(λ^k *e^(-λ))/k! (k=0,1,2...;λ>0)②数学期望：λ③方差：λ⑷均匀分布U（a,b):①分布律：f(X)=1/(b-a), a<x<b; f(X)=0,x∈其他值时②数学期望：（a+b）/2③方差：（b-a)²/12⑸指数分布E（λ）：①分布律：f(X)=λe^(-λ), X>0; f(X)=0, X≦0;②数学期望：1/λ③方差：1/λ²⑹正态分布N（μ，ρ²）①分布律：f(x)=1/﹙√2π *ρ)*e^(-(x-μ)²/(2ρ²)), (-∞<x<+∞,ρ>0)②数学期望：μ③方差：ρ²四、切比雪夫不等式：随机变量的数学期望E(x)与方差D(x)存在，则对于任意整数ε，不等式：P{|X-E(X)|≥ε}≤D(X)/ε²成立。
期望、方差、协方差、相关系数
期望、⽅差、协⽅差、相关系数
⼀、期望
在概率论和统计学中，数学期望（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。
它反映随机变量平均取值的⼤⼩。
线性运算：
推⼴形式：
函数期望：设f(x)为x的函数，则f(x)的期望为
离散函数：
连续函数：
注意：
函数的期望不等于期望的函数；
⼀般情况下，乘积的期望不等于期望的乘积；
如果X和Y相互独⽴，则E(xy)=E(x)E(y)。
⼆、⽅差
概率论中⽅差⽤来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。
⽅差是⼀种特殊的期望。
定义为：
⽅差性质：
1）
2）常数的⽅差为0；
3）⽅差不满⾜线性性质；
4）如果X和Y相互独⽴，则：
三、协⽅差
协⽅差衡量两个变量线性相关性强度及变量尺度。
两个随机变量的协⽅差定义为：
⽅差是⼀种特殊的协⽅差。
当X=Y时，
协⽅差性质：
1）独⽴变量的协⽅差为0。
2）协⽅差计算公式：
3）特殊情况：
四、相关系数
相关系数是研究变量之间线性相关程度的量。
两个随机变量的相关系数定义为：
相关系数的性质：
1）有界性。
相关系数的取值范围是，可以看成⽆量纲的协⽅差。
2）值越接近1，说明两个变量正相关性（线性）越强。
越接近-1，说明负相关性越强，当为0时，表⽰两个变量没有相关性。
《概率论与数理统计》知识点整理
《概率论与数理统计》知识点整理概率论与数理统计是数学中的一个重要分支，它研究随机现象发生的规律以及对这些规律的推断和决策问题。
在现代科学、金融、医学、工程等领域中都有广泛的应用。
下面是《概率论与数理统计》的一些重要知识点：一、概率论：1.概率的基本概念：随机试验、样本空间、事件、概率公理化定义等。
2.条件概率与概率的乘法定理：条件概率的定义、条件概率的乘法定理、独立事件的定义与性质等。
3.全概率公式与贝叶斯公式：全概率公式的推导与应用、贝叶斯公式的推导与应用等。
4.随机变量与概率分布：随机变量的定义与分类、概率分布的基本性质、离散型随机变量与连续型随机变量的概率分布等。
5.两随机变量函数的概率分布：随机变量的函数、数学期望的定义与性质、方差的定义与性质等。
6.多维随机变量及其分布：二维随机变量的概率分布、联合分布函数与边缘分布、条件分布等。
二、数理统计：1.统计数据的描述：数据的集中趋势度量（均值、中位数、众数）、数据的离散程度度量（极差、方差、标准差）、数据的分布形态度量（偏度、峰度）等。
2.参数估计：点估计的概念与方法、矩估计法、极大似然估计法、最小二乘估计法等。
3.假设检验：假设检验的基本概念、显著性水平与拒绝域、假设检验的步骤、单侧检验与双侧检验等。
4.统计分布：正态分布的性质与应用、t分布与χ²分布的概念与性质、F分布的概念与性质等。
5.方差分析与回归分析：方差分析的基本原理与应用、单因素方差分析、回归分析的基本原理与应用、简单线性回归分析等。
三、随机过程：1.随机过程的基本概念与性质：随机过程的定义、状态与状态转移概率、齐次性与非齐次性等。
2.马尔可夫链：马尔可夫链的定义与性质、状态空间的分类、平稳分布与极限等。
3.随机过程的描述：概率密度函数、概率生成函数、随机过程的矩、协方差函数等。
4.随机过程的分类：齐次与非齐次、连续与间断、宽离散与窄离散等。
概率论与数理统计(经管类)复习要点 第4章 随机变量的数字特征
第四章 随机变量的数字特征1. 把刻画随机变量某些方面特征的数值称为随机变量的数字特征，如期望、方差、协方差、相关系数等。
2. 随机变量的期望反映了随机变量取值的集中位置。
离散型随机变量的期望设离散型随机变量X 的分布律为P ｛X =x k ｝=p k ，k=1，2，…若级数∑ix i p i 绝对收敛（即级数∑i丨x i 丨p i 收敛），则定义X 的数学期望（简称均值或期望）为E （X ）=∑ix i p i注：当X 的可能取值为有限多个x 1，x 2，…，x n 时，E （X ）=∑=ni 1x i p i 当X 的可能取值为可列多个x 1，x 2，…，x n ，…时，E （X ）=∑∞=1i x i p i三种重要离散型随机变量的数学期望：3. 离散型随机变量函数的数学期望 设离散型随机变量X 的分布律为P ｛X =x k ｝=p k ，k=1，2，…令Y =g （X ），若级数∑∞=1k g （x k ）p k 绝对收敛，则随机变量Y 的数学期望为E （Y ）= E[g （X ）] =∑∞=1k g （x k ）p k4. 连续型随机变量的期望三种重要连续型随机变量的数学期望：5. 连续型随机变量函数的数学期望2017.4单解：6. 二维随机变量的期望二维随机变量函数的期望7. 期望的性质（1）常数的期望等于这个常数，即E （C ）=C ，其中C 为常数证明 常数C 作为随机变量，它只可能取一个值C ，即P ｛X =C ｝=1，所以E （C ）=C ⋅1=C（2）常数与随机变量X 乘积的期望等于该常数与随机变量X 的期望的乘积，即E （C X ）=C ⋅E （X ） （3）随机变量和的期望等于随机变量期望之和，即E （X +Y ）= E （X ）+ E （Y ） 推广：E （C 1X +C 2Y ）= C 1E （X ）+ C 2E （Y ），其中C 1，C 2为常数 一般地，设X 1，X 2，…，X n ，为n 个随机变量，则有E （∑=ni iX 1）=∑=ni iX E 1)(E （∑=ni ii X C 1）=∑=ni iiX E C 1)( 其中C i（i=1，2，…）为常数（4）两个相互独立的随机变量乘积的期望等于期望的乘积，即若X ，Y 是相互独立的随机变量，则E （XY ）= E （X ）E （Y ）由数学归纳法可证得：当X1，X2，…，X n相互独立时有E（X1，X2，…，X n）= E（X1）E（X2）…E（X n）2018.4单解：指数分布的期望值为 1，故E（X）= E（Y）=21，所以E（X Y）= E（X）E（Y）=412018.4计解：（1）平均收益率E（X）=1%×0.1+2%×0.2+3%×0.1+4%×0.3+5%×0.2+6%×0.1=3.6%（2）预期利润10×3.6%=0.36万元2017.10单解：E（-3X +2）=-3 E（X）+2=-3×51+2=572017.4填解：E（X+Y）= E（X）+ E（Y）=20×0.1+2=48. 方差反映了随机变量偏离中心——期望的平均偏离程度。
随机变量的数字特征——期望,方差以及协方差
例12: 设X ~ B(n , p), Y = eaX,求E（Y）。
解：
EY EeaX n eak P( X k)
k0
n
e
akC
k n
pk (1
p)nk
k0
n
C
k n
(e
a
p)k (1
p)nk
k0
(ea p (1 p))n
例13: 设X ~ U[0,], Y =sinX,求E（Y）。
g( xk )pk
k
绝对收敛，则Y 的数学期望存在，且
E(Y ) E[g( X )] g( xk ) pk
k
（2） 设X 为连续型随机变量, 其概率密度为 f (x)，且 Y= g(X)也是连续型随机变量。若
g( x) f ( x)dx
绝对收敛，则Y 的数学期望存在，且
E(Y ) E[g(X )] g(x) f (x)dx
2、几种常见离散型分布的数学期望
1） 两点分布 例3：设随机变量X服从参数为p 的两点分布，求EX
解： EX=0×(1-p)+1×p=p
2） 二项分布 例4：设随机变量X~B(n,p)，求EX 解： 易知 X 的概率分布为：
P( X k) Cnk pk (1 p)nk , k 0,1, , n
k!
E( X ) kP( X k)
k k e
k0
k0 k!
e
k 1
k0 (k 1)!
ee
例5 某人的一串钥匙上有n把钥匙，其中只有一把能 打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某一 把去开门. 若每把钥匙试开一次后除去，求打开门 时试开次数的数学期望.
解:设试开次数为X,
数学期望(均值)、方差和协方差的定义与性质
均值、方差和协方差的定义和基本性质1 数学期望（均值）的定义和性质定义：设离散型随机变量X 的分布律为{}, 1,2,k k P X x p k === 若级数1k k k xp ∞=∑绝对收敛，则称级数1k k k xp ∞=∑的和为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。
即()1k k k E X x p ∞==∑。
设连续型随机变量X 的概率密度为()f x ，若积分()xf x dx ∞−∞⎰ 绝对收敛，则称积分()xf x dx ∞−∞⎰的值为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。
即 ()()E X xf x dx ∞−∞=⎰ 数学期望简称期望，又称为均值。
性质：下面给出数学期望的几个重要的性质（1）设C 是常数，则有()E C C =；（2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有()()E CX CE X =；（3）设X 和Y 是两个随机变量，则有()()()E X Y E X E Y +=+，这一性质可以推广至任意有限个随机变量之和的情况；（4）设X 和Y 是相互独立的随机变量，则有()()()E XY E X E Y =。
2 方差的定义和性质定义：设X 是一个随机变量，若(){}2E X E X −⎡⎤⎣⎦存在，则称(){}2E X E X −⎡⎤⎣⎦为X的方差，记为()D X 或()Var X ，即性质：下面给出方差的几个重要性质（1）设C 是常数，则有()0D C =；（2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有()()2D CX C D X =，()()D X C D X +=；（3）设X 和Y 是两个随机变量，则有()()()()()()(){}2D X Y D X D Y E X E X Y E Y +=++−−特别地，若X 和Y 相互独立，则有()()()D X Y D X D Y +=+ （4）()0D X =的充分必要条件是以概率1取常数()E X ，即(){}1P X E X ==。
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均值、方差和协方差的定义和基本性质
1 数学期望（均值）的定义和性质
定义：设离散型随机变量X 的分布律为
{}, 1,2,k k P X x p k === 若级数
1k k k x
p ∞=∑
绝对收敛，则称级数1k k k x
p ∞=∑的和为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。
即
()1k k k E X x p ∞==∑。
设连续型随机变量X 的概率密度为()f x ，若积分
()xf x dx ∞−∞⎰ 绝对收敛，则称积分
()xf x dx ∞−∞⎰的值为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。
即 ()()E X xf x dx ∞
−∞=⎰ 数学期望简称期望，又称为均值。
性质：下面给出数学期望的几个重要的性质
（1）设C 是常数，则有()E C C =；
（2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有()()E CX CE X =；
（3）设X 和Y 是两个随机变量，则有()()()E X Y E X E Y +=+，这一性质可以推
广至任意有限个随机变量之和的情况；
（4）设X 和Y 是相互独立的随机变量，则有()()()E XY E X E Y =。
2 方差的定义和性质
定义：设X 是一个随机变量，若(){}2E X E X −⎡⎤⎣⎦存在，则称(){}2E X E X −⎡⎤⎣⎦为X
的方差，记为()D X 或()Var X ，即
性质：下面给出方差的几个重要性质
（1）设C 是常数，则有()0D C =；
（2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有
()()2D CX C D X =，()()D X C D X +=；
（3）设X 和Y 是两个随机变量，则有
()()()()()()(){}2D X Y D X D Y E X E X Y E Y +=++−−
特别地，若X 和Y 相互独立，则有()()()D X Y D X D Y +=+ （4）()0D X =的充分必要条件是以概率1取常数()E X ，即(){}1P X E X ==。
3 协方差的定义和性质
定义：量()(){}
E X E X Y E Y −−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦称为随机变量X 与Y 的协方差。
记为(),Cov X Y ，即
()()(){},Cov X Y E X E X Y E Y =−−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 性质：下面给出协方差的几个重要性质
（1）()(),,Cov X Y Cov Y X =
（2）()(),Cov X X D X =
（3）()()()(),Cov X Y E XY E X E Y =−
（4）()(),,,,Cov aX bY abCov X Y a b =是常数
（5）()()()1212,,,Cov X X Y Cov X Y Cov X Y +=+ 参考文献
[1]概率论与数理统计（第四版），浙江大学。