匀加速直线运动构件的动应力计算
南京工业大学材料力学材料力学冲击问题
2. 计算轴AB横截面上的最大切应力
任一横截面上的扭矩为：
TTd
MMdd
00..55ππ((kkNNmm)) 33
轴横截面上的最大扭转切应力为：
dmmaaxxWWTPdt
00..55ππ 110033NNmm 33
ππ 110000110033mm 33
22..6699110066PPaa 22..6699MMPPaa
总伸长。
解：⒈ 求杆内最大动应力
向心加速度为 an 2 x
到轴线距离为x处杆单位长度上的动载荷为
qd
(x)
A
g
2
x
因此，距轴线距离为x的截面上的轴力为
FNd
l
x qd (x)dx
l A 2 xdx A 2 (l 2 x2 )
xg
2g
FNd
A 2
2g
(l 2
x2)
相应的动应力为
d (x)
P
速度开始下降至0，同时弹簧变形达到最
h
P
大值 d 。
P
d
此时，全部（动）势能转化为应变能， 杆内动应力达最大值（以后要回跳）。就
以此时来计算：
•释放出的动能（以势能的降低来表示）
弹簧
T P(h d )
•增加的应变能，在弹性极限内
Ve
1 2
Pdd
根据力和变形之间的关系：Fd kd
F
Fd
Fd ：冲击物速度为0时，作用于杆之力。
d Kd st
通常情况下，Kd 1 。
•关于动荷系数 K d 的讨论:
1.若冲击物是以一垂直速度v 作用于构件上，则由 v2 2gh
可得：
v2
Kd 1
动应力
st
Fd =kd P
P
§13.4 冲击应力与变形的计算
五、水平冲击问题的动荷系数
v g st
2
2 d
.
v
P
水平冲击时的动荷系数
l
1 d v kd g st st
由此可见： 在冲击问题中，增大静变形 可以减小动荷系数，从而减小冲
d
.
P v=0
d
.
st
.
Fd =kd P
D A D A 2 v qd g 2 g 2
v
. .
t D O
. .
极限转速
2 [ ] g D
第十三章 动应力
§13.3
强迫振动时的应力计算
一、振动时的运动微分方程及其解 二、振动时的动荷系数
§13.3 强迫振动时的动应力计算
一、振动时的运动微分方程及其解
d kd st
d kd st
Fd kd P
d kd st
可见：解决冲击问题的关键是确定冲击动荷系数
§13.4 冲击应力与变形的计算
三、自由落体冲击问题的动荷系数
对于弹性系统：落体 + 杆件，根据能量守恒原理
V Ud
由于
1 1 d 1 1 d2 d P d P U d Fd d (kd P ) 2 2 st 2 2 st V P(h d )
g
于是
B c
§13.3 强迫振动时的动应力计算
二、振动时的动荷系数
最大动挠度：
d max st B
最小动挠度：
d min st B
假设：振动时材料服从胡克定律
匀加速直线运动揭示物体在匀加速直线运动中的特性与计算方法
匀加速直线运动揭示物体在匀加速直线运动中的特性与计算方法匀加速直线运动是物理学中的一个重要概念，它可以揭示物体在运动过程中的特性与计算方法。
本文将从定义匀加速直线运动的概念开始，逐步介绍匀加速直线运动的特性及其计算方法，以帮助读者更好地理解与应用这一知识。
一、定义与特性匀加速直线运动是指物体在相等时间间隔内速度变化相等的运动过程。
在匀加速直线运动中，物体的速度每个时间间隔增加（或减小）相同的大小。
例如，当一个汽车从静止状态开始加速，它的速度每秒增加相同的数值。
这说明了匀加速直线运动中速度变化是匀速的特点。
根据物理学的定义，匀加速直线运动中速度的变化率称为加速度，用符号"a"表示。
二、计算方法1. 速度与时间的关系在匀加速直线运动中，速度与时间的关系可以通过以下公式表示：v = u + at其中，v代表物体的末速度，u代表物体的初速度，a代表物体的加速度，t代表运动的时间。
2. 位移与时间的关系在匀加速直线运动中，位移与时间的关系可以通过以下公式表示：s = ut + 1/2at²其中，s代表物体的位移。
3. 速度与位移的关系在匀加速直线运动中，速度与位移的关系可以通过以下公式表示：v² = u² + 2as其中，v、u、a和s的含义同上。
三、实例分析为了更好地理解匀加速直线运动的特性与计算方法，我们来解析一个具体的实例。
假设一个物体从静止状态开始匀加速直线运动，初速度为0m/s，加速度为2m/s²。
求当时间为3秒时的速度和位移。
根据速度与时间的关系公式，代入相应数值计算得到：v = 0 + 2 × 3 = 6m/s根据位移与时间的关系公式，代入相应数值计算得到：s = 0 × 3 + 1/2 × 2 × 3² = 9m因此，当时间为3秒时，物体的速度为6m/s，位移为9m。
四、应用与拓展匀加速直线运动的特性与计算方法在物理学的研究与应用中有着广泛的应用。
工程力学动载荷
y
x
A
B
工程力学动载荷
例：重为P的重物从h处自由落下,冲击梁上的D点. 梁的EI及W均为已知.求:梁内max及梁中点处的挠度
h
A
CD B
P
A
CD B
yD=Pbx(l2-x2-b2)/6lEI
A
CD B
工程力学动载荷
h
A
CD B
P
A
CD B
1
A
B
工程力学动载荷
例 已知:重为G的重物以水平速度v冲击到圆形截面AB 梁的C点,EI已知. 求：σd max
解：水平冲击问题 ※确定动荷系数
静载时σmax出现于固定端A处
工程力学动载荷
图示钢杆的下端有一固定圆盘,盘上放置弹簧.弹簧在1kN 的静载荷作用下缩短0.0625cm.钢杆的直径d=4cm,l=4m许 用应力 =120Mpa,E=200GPa.若重为15kN的重物自由落下, 求其许可高度H.又若没有弹簧,许可高度H将等于多大？
注意：上面的论述是对等截面杆而言的，不能用于变截面杆的 情况。
工程力学动载荷
三、变截面杆同等截面杆的比较：
如图所示：一变截面杆，一等截面杆，同样受到重量 为Q，速度为v的重物的冲击，试比较它们的动应力。
根据机械能守恒定律，可求得两杆的冲击载荷分别为：
工程力学动载荷
于是两杆的冲击应力分别为： (a)
上升。若只考虑工字钢的重量而不计吊索自重，试求吊索的
动应力，以及工字钢在危险点的动应力d,max 欲使工字钢中的 d,max 减至最小，吊索位置应如何安置？
2m 4m 4m 2m
ACB a
(a)
z y
初中物理中的匀加速直线运动问题解析
初中物理中的匀加速直线运动问题解析匀加速直线运动是初中物理中重要的内容之一，它描述了物体在恒定加速度作用下在直线上的运动情况。
本文将对匀加速直线运动问题进行深入解析，探讨其基本概念、公式和应用。
一、基本概念匀加速直线运动指的是物体在相等时间间隔内速度的变化量相等的运动。
其中，匀加速度是指物体速度的增量与时间的比值，用加速度a 表示。
在匀加速直线运动中，物体做匀减速运动时，加速度a的值为负数。
二、基本公式在匀加速直线运动中，有以下几个重要的公式：1. 速度公式：v = u + at其中，v为末速度，u为初速度，t为时间，a为加速度。
2. 位移公式：s = ut + 0.5at²其中，s为位移。
3. 速度与时间的关系式：v² = u² + 2as该公式用于计算起点速度、终点速度、加速度和位移之间的关系。
4. 时间与位移的关系式：s = (u + v) t / 2该公式用于计算起点速度、终点速度、位移和时间之间的关系。
以上公式是匀加速直线运动问题中最基本的公式，掌握了这些公式可以较为准确地计算出物体在运动过程中的各个参数。
三、应用举例下面通过一些具体的问题举例，进一步解析匀加速直线运动问题的应用。
例题1：一个物体以12 m/s的初速度做匀减速运动，加速度为2m/s²，求它在经过4秒时的速度和位移。
解析：根据题目所给的信息可知，初速度u=12 m/s，加速度a=-2m/s²，时间t=4 s。
利用速度公式可求得物体在4秒时的速度：v = u + atv = 12 + (-2) × 4 = 12 - 8 = 4 m/s利用位移公式可求得物体在4秒时的位移：s = ut + 0.5at²s = 12 × 4 + 0.5 × (-2) × 4² = 48 - 16 = 32 m所以，在经过4秒时，物体的速度为4 m/s，位移为32 m。
匀加速直线运动的公式及推导公式
匀加速直线运动的公式及推导公式哎呀呀，这可难倒我啦！我只是个小学生，什么匀加速直线运动的公式及推导公式，对我来说简直就像天上的星星一样遥远和神秘！
老师在课堂上讲的时候，我感觉自己的脑袋都要变成浆糊啦！那什么加速度、初速度、时间、位移，一堆堆的概念，就像一群调皮的小猴子在我脑子里上蹿下跳，让我根本抓不住头绪。
比如说，那个匀加速直线运动的基本公式v = v₀ + at ，v 是末速度，v₀是初速度，a 是加速度，t 是时间。
这到底是怎么来的呀？我就一直在想，这就好比我跑着去追前面的小伙伴，一开始我跑的速度就是初速度，然后我越跑越快，加速度就像是后面有人在推我，让我加速跑，跑了一段时间t 之后，我最后的速度就是末速度。
可是这跟公式有啥关系呢？
还有那个位移公式s = v₀t + 1/2at² ，这更是让我摸不着头脑。
位移不就是我跑的距离嘛，怎么会有这么复杂的公式呢？这就好像我在一个大大的迷宫里，怎么也找不到出口。
我问同桌：“你能明白这些公式吗？”同桌摇摇头说：“我也晕着呢！”然后我又去问学习好的班长，班长倒是给我讲了一通，可我还是似懂非懂。
我就想啊，这匀加速直线运动的公式怎么就这么难呢？难道是故意来考验我们这些小学生的吗？我要是能一下子就明白该多好！
不过，我可不会轻易放弃！我要多做练习题，多问问老师和同学，我就不信搞不懂这些公式！我一定要把它们拿下，让它们乖乖地被我掌握在手中！。
动应力计算
E v Eh Ud 1 1 48EI E h Ph d U d Pd d 3 d d 2 2 L 3 1 48EI 2 PL 1 2 h d d Ph d 3 d 2 L 48EI 2 1 2 d st h d 2
第九章
第一节
第二节 第三节 第四节 第五节 第六节
动荷载
概述
交变应力
构件作等加速直线运动或等速转动时的 动应力计算 构件在受迫振动时的应力计算 构件在受冲击时应力和变形的计算 交变应力下材料的疲劳破坏、疲 劳极限 钢结构构件及其连接的疲劳计算
2001.07
东南大学远程教育
第一节
几个概念
概述
１．静载—①荷载增加缓慢，再从零增加到某值，保持P不变或变动很小 ②加载过程中引起构件内各质点的加速度很小而忽略 ２．动载—①P随时间而改变（地震、风等、海浪冲击海浪冲击海洋平台 ②作加速运动或作匀速转动的流中构件的惯性力也是一种动载。 例如起重机吊物，机械中的飞轮 ３．动应力—在动载作用下，构件内的应力
可知，杆内各点处的惯性力是 个分布力系，为此，可用线分 布力集度q d 来度量惯性力的大 小。
m
x
P
m
Nx
惯性力集度 q d为单位长度杆的质量与加速度 的乘积，即
A 1 A qd g g
2001.07 东南大学远程教育
第二节 构件作等加速直线运动 或等速转动时的动应力计算
讨论对象
作等加速直线运 动或等速转动的构件 受冲击荷载作用的构件和强迫振动的构件的动应力计算 交变应力作用下的构件的疲劳破坏和疲劳强度校核
2001.07
匀加速直线运动6个公式
匀加速直线运动6个公式匀加速直线运动（uniformlyacceleratedlinearmotion）是指运动物体在匀加速直线上所行进的一种运动状态。
它是一种弹簧弹跳运动，在一段时间内的位移距离是等比数列，而且每段时间就相等，即每段时间位移量都不变，这种运动状态也被称为“定时定距运动”。
二、匀加速直线运动的6个公式1、匀加速直线运动的速度公式：v=v0+at其中，v为单位时间内运动物体沿直线运动的速度，v0为初始速度，a为加速度，t为运动中物体运动的时间。
2、匀加速直线运动的位置公式：S=S0+v0t+at其中，S为单位时间内物体沿直线运动的位置，S0为初始位置，v0为初始速度，a为加速度，t为运动中物体运动的时间。
3、匀加速直线运动的路程公式：S=v0t+at其中，S为单位时间内物体沿直线运动的路程，v0为初始速度，a为加速度，t为运动中物体运动的时间。
4、匀加速直线运动的加速度公式：a=2(S-S0)/t其中，a为加速度，S为单位时间内物体沿直线运动的位置，S0为初始位置，t为运动中物体运动的时间。
5、匀加速直线运动的时间公式：t=√(2(S-S0)/a)其中，t为运动中物体运动的时间，S为单位时间内物体沿直线运动的位置，S0为初始位置，a为加速度。
6、匀加速直线运动的初始速度公式：v0=2(S-S0)/t其中，v0为初始速度，S为单位时间内物体沿直线运动的位置，S0为初始位置，t为运动中物体运动的时间。
三、匀加速直线运动的物理意义匀加速直线运动的6个公式有助于我们更好地理解物体在直线运动过程中的物理运动规律。
从公式中可以看出，加速度的正负决定了位移的增减，运动的时间越长，物体的速度越大，并且路程S=v0t+at 与时间t正相关，当时间变化时，物体的路程也随之改变。
四、匀加速直线运动的实际应用匀加速直线运动的6个公式可以应用于实际工程中，例如在研究小球落下运动，研究安全带急刹车时移动物体的位置变化、研究航空发动机推力对飞机加速减速的影响等都有应用。
第13章动应力
有
FP y
F
st
y
C t
y
PP
Fc y
g
y cy
y
B
P
st
故有 令
P g
y cy P
st
y
Fc sin
t
n cg 2P
，0
g
st
得到
y
2ny
2 0
y
Fc g P
sin
t
§13.3 强迫振动时的动应力计算
一、振动时的运动微分方程及其解
y
2ny
2 0
y
Fc g P
sin
t
在小阻尼(n 0)情况下，上述微分方程的解为：
最小变形位置
A
t
B
C P Fc
最大变形位置 l 静平衡位置
A
F
st
y
C t
y
PP
Fc y
B
g
y cy
y
§13.3 强迫振动时的动应力计算
一、振动时的运动微分方程及其解
电动机沿铅垂方向的运动微分方程(由动静法)：
P g
y
cy
F
P
Fc
sin
t
0
A
利用
st
y
Fl 3 48 EI z
st
Pl 3 48 EI z
一、匀加速直线运动构件的动应力计算
取研究体
动荷轴力：
FNd
P Ax
P Ax
a g
1
a g
(P
Ax)
静荷轴力： FNst P Ax
动荷系数：
kd
FNd FNst
1
构件作匀速转动时的动应力计算
将
qd
A
2g
D2 , ds
D d
2
代入上式并积分，得
FNd
1 2
π A D2
0 2g
D sind
2
AD2 2
4g
目录
动荷载\构件作匀速转动时的动应力计算
因此，圆环横截面上的正应力为
d
FNd A
D2 2
4g
v2
g
式中：v D 为圆环中心线上各点的速度。
2
于是，圆环的强度条件为
d
g
v2
由此可知，匀速转动圆环横截面上的动应力与容重 和圆环中 心线上各点速度的平方的乘积成正比，而与圆环横截面面积A无关。 因此，增加横截面面积A并不能改善圆环的强度。为了保证圆环转 动时不致因强度不足而破坏，应限制圆环转速。Βιβλιοθήκη 为。由理论力学知，当圆环匀速转
动时，圆环上各点只有法向加速度an。 又因为圆环壁很薄，可近似地认为
环内各质点的法向加速度的大小相
等，其值为
目录
动荷载\构件作匀速转动时的动应力计算
an
D 2
2
于是，沿圆环周向中心线均匀分布的惯性力集度为
qd
A
g
an
A
2g
D 2
在圆环上任取一微段ds，则其相应 的惯性力为
力学
动荷载\构件作匀速转动时的动应力计算
构件作匀速转动时的动应力计算
构件作匀速转动时的动荷载问题，同样可利用动静法来研究。
下面用匀角速转动的圆环为例来分析匀角速转动构件的动应力计算 问题。
一均质薄壁圆环（如图）绕着
通过环中心且垂直于圆环平面的轴
以匀角速度旋转。设环的平均直径
为D，横截面面积为A，材料的容重
材料力学-动荷载和交变应力
应变能
Ve
＝
1 2
Fd d
Fd
＝
EA l
d
应变能
Ve
＝
1 2
Fd d
令 C＝ EA l
被冲击构件的 刚度系数
Fd ＝ C d
W
vh
d
EA l
将 W 以静荷载的方式作用于冲击点处
被冲击构件沿冲击方向的静变形为 st
W ＝ C st
C
＝
W st
Fd ＝
W st
d
能量守恒方程
d2 － 2 st d － 2 st h ＝ 0
对疲劳破坏的解释与构件的疲劳破坏断口是吻合的
光滑区 —— 裂纹扩展区 粗糙区 —— 最后突然
断裂形成的
构件的疲劳破坏，是在没有明显预兆的情况下 突然发生的，往往会造成严重的事故。
§13-5 交变应力的特性与疲劳极限
应力循环
应力每重复变化一次
一个应力循环
s
重复的次数 —— 循环次数
r s ＝ min
构件中各质点以变速运动时，构件就承受动荷载 的作用。
构件由动荷载引起的应力和变形 动应力 动变形
静荷载作用下服从虎克定律的材料，在动荷载作用下， 只要动应力不超过材料的比例极限，虎克定律仍然成立。
构件内的应力随时间作周期性交替变化
交变应力
在交变应力的长期作用下： 即使是塑性很好的材料、最大工作应力远低于
仍服从虎克定律。
冲击过程中不考虑波动效应，不计声、热能损失。
一、竖向冲击问题
重为 W 的物体，从高度 h 处自由下落 到杆的顶端。
变形最大时：Fd 、d 、sd
冲击物在冲击前后动能和势能的改变 等于被冲击构件所获得的应变能。
构件作匀加速直线运动时的动应力计算
动荷载\构件作匀加速直线运动时的动应力计算 【解】 1）求吊索的动应力。由型钢规格表查得28a号工字钢
每单位长度重量qst=43.4 kg/m9.8m/s2=425.32N/m。由动静法，将集 度吊为索q的d=拉q力gst 与a的它惯们性假力想和构工成字平钢衡本力身系重。量由q式st加K在d 工1字 钢ga 上动，荷这因样数，为
目录
动荷载\构件作匀加速直线运动时的动应力计算 【例10.1】 长l=10 m的28a号工字钢，用横截面面积
A=1.08×102 mm2的钢索起吊，并以匀加速度a=10 m/s2上升（如 图）。吊索本身的质量相对于工字钢的质量来说很小，可忽略不计。 试求吊索的动应力及工字钢在危险点处的动应力。
目录
目录
动荷载\构件作匀加速直线运动时的动应力计算
将吊索在离下端为x处截开，取重物和部分吊索为研究对象 （图b），其上作用的力有：轴力，重力W，吊索自重Ax及虚加的 惯性力（式中的g=9.8m/s2）。利用动静法，可列出平衡方程
X=0，
FNd
W
Ax W
Ax
g
a
0
目录
动荷载\构件作匀加速直线运动时的动应力计算
Y = 0， 2FNd－ql= 0
得
ql 859.1N/m 10 m
FNd 2
2
4295.5 N
因此，吊索中的动应力为
d
FNd A
4295.5N 1.08 102 mm2
39.77 MPa
目录
动荷载\构件作匀加速直线运动时的动应力计算 2）求工字钢在危险点处的动应力。绘制工字钢的弯矩图（图c）。
由图可见，最大弯矩Mdmax发生在工字钢中点横截面上，其值为 Mdmax=FNd×3m—q×5m×2.5m =(4295.5×3－859.1×5×2.5)N·m=2147.75N·m 目录
匀加速直线运动6个公式
匀加速直线运动6个公式匀加速直线运动是研究物理学中最重要的问题，它是介绍物体运动规律的重要基础。
匀加速直线运动的计算中包含6个公式，那么今天我们就来看看这6个公式是怎么样的。
首先，它们是物体受到重力作用时，经过一定时间t之后物体在水平方向上的相对位移公式：s = vt +at其中，s是相对位移，v是初速度，a是加速度。
第二个公式是物体受到重力作用时，经过一定时间t之后物体在垂直方向上的相对位移公式：s = vt +gt其中，s是相对位移，v是初速度，g是重力加速度。
第三个公式是物体受到重力作用时，经过一定时间t之后物体的最终速度公式：v = v + at其中，v是最终速度，v是初速度，a是加速度。
第四个公式是物体受到重力作用时，经过一定时间t之后物体在水平方向上的最终速度公式：v =v + 2as其中，v是最终速度，v是初速度，s是相对位移，a是加速度。
第五个公式是物体受到重力作用时，经过一定时间t之后物体的动能公式：E =mv其中，E是动能，m是物体的质量，v是速度。
第六个公式是物体受到重力作用时，经过一定时间t之后物体的势能公式：E = mgh其中，E是势能，m是物体的质量，g是重力加速度，h是物体相对垂直方向上的高度。
以上就是关于匀加速直线运动中“6个公式”的介绍。
从上述内容中可以了解到，这6个公式均与物体受到重力作用时的位移、速度、动能和势能有关，具有重要的理论和实践意义。
在实验研究中，我们可以根据这6个公式探索物体受到重力作用时的运动规律。
例如，可以通过测量物体受力前后的位移和速度，推出它的重力加速度。
也可以通过测量物体的动能和势能变化，计算出物体受力前后的动能变化，推出它的动能守恒定律。
此外，这6个公式还可以帮助我们更加深入地了解物理学中的许多概念，比如力、能量和动量等，为进一步学习物理学提供了重要理论基础。
总之，匀加速直线运动中的“6个公式”为我们研究物体运动规律提供了重要指导，对于深入理解物理学具有重要的意义。
运动学进阶匀变速直线运动的分析与计算
运动学进阶匀变速直线运动的分析与计算运动学进阶：匀变速直线运动的分析与计算运动学是物理学中的一个重要分支，研究物体的运动和运动规律。
在运动学中，匀速直线运动是最简单的一种形式，它的速度恒定且沿直线方向进行。
而在现实生活中，我们往往会遇到变速直线运动，其速度可以随时间的变化而变化。
本文将围绕匀变速直线运动展开分析与计算。
一、匀变速直线运动的定义匀变速直线运动是指物体在直线上运动且速度的变化率恒定的情况。
通常我们用直线上的位置随时间的变化来描述物体的运动。
对于匀变速直线运动，我们需要了解两个基本概念：位移和速度。
1.位移（s）：位移是指物体从一个位置到另一个位置之间的位置差。
我们通常用Δs来表示位移，它等于物体最终的位置减去初始位置。
2.速度（v）：速度是指物体在单位时间内所移动的位置差。
在匀变速直线运动中，速度的变化率保持恒定，我们用v表示物体的速度。
二、匀变速直线运动的数学描述对于匀变速直线运动，我们可以通过数学关系来描述物体的运动规律。
1.速度与时间的关系在匀变速直线运动中，物体的速度变化率是恒定的，通常用加速度（a）来表示。
由于加速度的定义是速度与时间的变化率，因此可以得到以下公式：v = a * t其中v为物体在时间t后的速度，a为加速度。
2.位移与时间的关系在匀变速直线运动中，位移与速度之间也存在着一定的关系。
位移等于速度乘以时间的积再除以2，即：s = v * t / 2其中s为物体在时间t后的位移。
三、匀变速直线运动的计算示例为了更加直观地理解匀变速直线运动的分析与计算，我们来看一个计算示例。
假设一辆汽车以10 m/s²的加速度匀变速度地行驶，已知最终速度是30 m/s，请问在10秒后汽车的位移是多少？首先，我们可以利用速度与时间的关系公式求得汽车在10秒后的速度：v = a * tv = 10 m/s² * 10 s = 100 m/s接着，我们可以利用位移与时间的关系公式求得汽车在10秒后的位移：s = v * t / 2s = 100 m/s * 10 s / 2 = 500 m所以，在10秒后汽车的位移为500米。
构件做匀加速直线运动或匀速转动时的应力计算
和吊索的惯性力
A ax
。应用动静法，由平衡
方程 Fy 0 ，得
FNd
P
Байду номын сангаас
Pa g
(A gx
A ax)
0
由此求得
FNd
(P
A
gx)
1
a g
式中， (P A gx) 为 a 0 时吊索在11截面上的内力，即静载荷作用下的内
力，以 FNj 表示，则有
FNd
FNj 1
a g
该截面上的动应力为
杆受到沿其长度均匀分布的惯性力和轴力 FNd ，如图 13-1（b）所示。由平
衡条件 Fx 0 可得
FNd qg x 0 由此求得
FNd qg x Aax
应用轴向拉伸时杆横截面上正应力公式，可求得 m m 横截面上的动应力 为
d
FNd A
ax
应力沿杆轴线按线性规律变化，如图 13-1（c）所示，最大动应力产生在杆
图13-5
解 轴与飞轮的角速度为
0
nπ 30
300π 30
rad/s
10π
rad/s
当飞轮与轴同时作均匀减速运动时，其角加速度为
1 0 (0 10π) rad/s π rad/s2
t
10 s
负号只是表示角加速度与角速度的方向相反（见图 13-5）。按动静法，在 飞轮上加上方向与角加速度相反的惯性力偶矩 Mg ，且有
面面积 A 无关。
设变形后的平均直径为 D ，则直径的改变量为
D D
而圆环的周向应变量为
d
π(D
)
πD
πD
D
于是有
dD
（13-7）
设材料仍满足胡克定律，因而有
匀加速直线运动6个公式
匀加速直线运动6个公式匀加速直线运动是指物体在单位时间内速度的改变量是相等的，也就是加速度恒定的情况下，物体在直线上做匀速直线运动。
在匀加速直线运动中，有许多重要的公式可以用来描述物体的运动状态和运动过程，本文将介绍六个关于匀加速直线运动的重要公式。
1.位移公式位移是指物体从起点到终点的位置变化，用Δx表示。
在匀加速直线运动中，位移和速度、时间以及加速度之间的关系可以用一下公式表示：Δx = v0t + (1/2)at^2其中，Δx表示位移，v0表示起始速度，t表示时间，a表示加速度。
这个公式的物理意义是：位移等于起始速度与时间的乘积再加上一半的加速度与时间的平方的乘积。
2.匀加速度方程匀加速度方程是描述匀加速直线运动的速度和时间之间关系的公式，它可以表示为：v = v0 + at其中，v表示末速度，v0表示起始速度，a表示加速度，t表示时间。
这个公式的物理意义是：末速度等于起始速度与加速度与时间的乘积之和。
3.末速度公式末速度是指物体在经过一段时间后的速度，用v表示。
在匀加速直线运动中，末速度和起始速度和加速度之间的关系可以用以下公式表示：v=v0+2aΔx其中，v表示末速度，v0表示起始速度，a表示加速度，Δx表示位移。
这个公式的物理意义是：末速度等于起始速度与二倍的加速度与位移的乘积之和。
4.时间公式时间是指物体运动所经过的时间，用t表示。
在匀加速直线运动中，时间和起始速度、末速度以及加速度之间的关系可以用以下公式表示：t=(v-v0)/a其中，t表示时间，v表示末速度，v0表示起始速度，a表示加速度。
这个公式的物理意义是：时间等于末速度与起始速度之差除以加速度。
5.加速度公式加速度是指单位时间内速度的改变量，用a表示。
在匀加速直线运动中，加速度和位移、时间以及起始速度之间的关系可以用以下公式表示：a=2(Δx-v0t)/t^2其中，a表示加速度，Δx表示位移，t表示时间，v0表示起始速度。
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解：（1）
P H
P d2
h
st
Pl E1 A1
=0.0425
mm
d1
d1
l
Kd 1
1 2H 218 st
d Kd st 15.42MPa
第十一章 动载荷
(2) 加橡皮垫 d2 = 0.15m, h= 20 mm,E2 = 8 MPa.
P H
st
Pl E1 A1
§11—2 惯性力问题
一、 匀加速直线运动构件的动应力计算
如图所示，一起重机绳索以等加速度 a 提升一等截面直
杆，直杆单位体积的重量（比重、重度）为γ，横截面面积
为 A，杆长为L，不计绳索的重量。求：杆内任意横截面的 动应力、最大动应力。
解：1、动轴力的确定
F a
FNd
Ax
ma
Ax
g
a
x
一薄壁圆环平均直径为 D，壁厚为 t，
以等角速度 ω绕垂直于环平面且过圆心的
平面转动，圆环的比重为 γ。求圆环横截
D
ω 面的动应力。
解：1、求动轴力
(1)
an
2R
2
D 2
qd
F
ma n
AL
g
2
D 2
(2)
qd
ma n L
ALan
gL
A
g
2
D 2
第十一章 动载荷
(3)
第十一章 动载荷
第十一章 动载荷
§11-1 动载荷概念和工程实例 §11-2 惯性力问题 §11-3 构件受冲击时的应力及强度计算 §11-4 提高构件抵抗冲击能力的措施 §11-5 构件的动力强度和冲击韧度
第十一章 动载荷
§11—1 动载荷概念和工程实例
一、静荷载的概念：
载荷不随时间变化（或变化极其平稳缓慢）且使 构件各部件加速度保持为零（或可忽略不计），此类 载荷为静载荷。
第十一章 动载荷
F
A
C
h
B
L/2
L/2
F
A
C
B
L/2
L/2
A、B支座换成刚度为 C 的弹簧
Kd 1
1 2h j
j
FL3 48EI
F 2
C
第十一章 动载荷
例题 11-2 已知：d1=0.3m, l = 6m, P=5kN, E1 = 10GPa, 求两种情 况的动应力。（1）H = 1m自由下落；（2）H =1m, 橡皮垫d2 = 0.15m, h= 20 mm,E2 = 8 MPa.
二、动载荷的概念：
载荷随时间急剧变化且使构件的速度有显著变化 （系统产生惯性力），此类载荷为动载荷。
例:起重机以等速度吊起重物，重物对吊索的作用为静载。 起重机以加速度吊起重物，重物对吊索的作用为动载。 旋转的飞轮、气锤的锤杆工作时、打桩均为动荷载作用。
第十一章 动载荷
三、动响应：
构件在动载荷作用下产生的各种响应（如应力、应变、位 移等），称为动响应。
Q(h d )
1 2
Fd d
1 2
EA 2d L
(d
Fd L EA
Fd
EA L
d
)
第十一章 动载荷
2d
2QL(h d ) EA
2st (h d ); 2d
2std
2sth
0
d (2st )
(2st )2 2
4(2sth)
第十一章 动载荷
三、冲击问题的简便计算方法
1、自由落体冲击 如图所示，L、A、E、Q、h 均为已知量，
求：杆所受的冲击应力。
解（1）冲击物的机械能：
Q
h
T V 0 Q(h d )
Fd L
Δd （2）被冲击物的动应变能
Ud
1 2
Fd d
d为被冲击物的最大变形量，Fd为冲击载荷
（3）能量守恒
Ph E2 A2
=0.75mm,
实验表明：在静载荷下服从虎克定律的材料，只要应力不超 过比例极限 ,在动载荷下虎克定律仍成立且 E静 = E动。
四、动载荷问题的分类：
（1）构件作等加速直线运动和等速转动时的动应力计算； （2）构件在受冲击和作强迫振动时的动应力计算； （3）构件在交变应力作用下的疲劳破坏和疲劳强度计算。
第十一章 动载荷
一个运动的物体（冲击物）以一定的速度，撞击另 一个静止的物体（被冲击构件），静止的物体在瞬间使 运动物体停止运动，这种现象叫做冲击。
二、冲击问题的分析方法：能量法
假设—— 1、被冲击构件在冲击荷载的作用下服从虎克定律； 2、不考虑被冲击构件内应力波的传播 3、冲击过程只有动能、势能、变形能的转换，无其它能量损失。 4、冲击物为刚体，被冲击构件的质量忽略不计；
F
b 解（1）、动荷系数
A
C
L/2
H Bh
L/2
Z Y
Kd 1
1 2H j
A
F
C
B
1
1
2H FL3
1
1
96HEI FL3
L/2
L/2
（2）、最大应力
1 FL
d max
K d j max
Kd
4 W
Z
48EI
（3）、最大挠度
d max
Kd jmax
Kd
FL3 48EI
st (1
2h 1 )
st
动荷系数——
Kd
d st
1
1 2h st
（4）动应力、动变形
Q Fd
h
Q
Δd
Δj
d
Kd
j
Kd
Q; A
L
QL
(Ld
Kd Lst
Kd
) EA
第十一章 动载荷
例题 11-1 图示矩形截面梁，抗弯刚度为 EI，一重为 F 的重物从 距梁顶面 h 处自由落下，冲击到梁的跨中截面上。 求：梁受冲击时的最大应力和最大挠度。
Y
0 2FNd
0
D 2
dqd
sin
qd D
dφ φ
FNd
1 2
qd
D
A 2 D 2
4g
2、动应力的计算
FNd
FNd
d
FNd A
2D2 v2 ; 4g g
(v R D) 2
第十一章 动载荷
§11—3 构件受冲击荷载作用a) g
Kd
(1
a g
)
d
Kd st
Kd——动荷系数；下标 st——受静荷载作用； 下标d——受动荷载作用。
FNd Kd FNj ; d Kd j ; Ld Kd Lj
4、强度计算
d max d
第十一章 动载荷
二、构件作等速转动时的动应力
FNd γa
FNd
Ax(1
a) g
FNd
ma
Ax
0
FNd
Ax(1
a) g
第十一章 动载荷
2、动应力的计算
Ax(1 a )
d
FNd A
g x(1 a )
A
g
3、最大动应力
x
L
d max
L(1
a g
)
a = 0时 d x st