【全国市级联考word】北京市朝阳区2018届高三二模数学(文)试题

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北京市朝阳区达标名校2018年高考二月仿真备考数学试题含解析

北京市朝阳区达标名校2018年高考二月仿真备考数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．ABC ∆ 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a c b A +=，则角B 的大小为（） A ．23π B ．3π C ．6π D ．56π 2．已知数列{}n a 满足11a =,1n n a a n --=(2n ≥),则数列{}n a 的通项公式n a =( ) A ．()112n n + B ．()1312n n - C ．2n n 1-+ D ．222n n -+3．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -内有一个内切球O ，过正方体中两条异面直线AB ，11A D 的中点,P Q 作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为（）A ．2 B ．21- C ．2D ．14．已知(cos ,sin )a αα=，()cos(),sin()b αα=--，那么0a b =是()4k k Z παπ=+∈的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均相等，侧棱1AA ⊥平面ABC ，过1AB 作平面α与1BC 平行，设平面α与平面11ACC A 的交线为l ，记直线l 与直线,,AB BC CA 所成锐角分别为αβγ，，，则这三个角的大小关系为( )A ．αγβ>>B ．αβγ=>C ．γβα>>D ．αβγ>=6．已知函数()cos(2)3f x x π=+，则下列结论错误的是( )A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 的图象关于点,0π⎛⎫⎪对称C ．函数()f x 在2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D ．函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度得到7．设a=log 73，13b log 7=，c=30.7，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．b a c <<8．若向量(0,2)m =-，(3,1)n =，则与2m n +共线的向量可以是（） A ．(3,1)-B ．(1,3)-C ．(3,1)--D ．(1,3)--9．大衍数列，米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数列中奇数项的通项公式为（）A ．22n n -B ．212n -C ．212n (-)D ．22n10． “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（） A ．56383B ．57171C ．59189D ．6124211．已知函数e 1()e 1x x f x -=+，()0.32a f =，()0.30.2b f =，()0.3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<12．下列函数中，值域为R 的偶函数是（） A ．21y x =+B ．x x y e e -=-C ．lg y x =D ．2y x =二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2018北京朝阳高三二模文科数学试题(含答案

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（文史类）2018．5（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{}2320A x x x =-+<，{}1B x x =≥，则=ABA ．(],2-∞B ．()1+∞，C ．()12，D ．[)1+∞， 2.计算()21i -=A.2iB. 2i -C. 2i -D. 2+i3.已知,x y 满足不等式组220101,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，，则3z y x =-的最小值是A.1B.3-C.1-D.72-4.在ABC △中，ππ1,,64a A B =∠=∠=，则c =A.5.“01a <<且01b <<”是“log 0a b >”A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6. 如图，角α，β均以Ox 为始边，终边与单位圆O 分别交于点A ，B ，则OA OB ⋅=A. sin()αβ-B. sin()αβ+C. cos()αβ-D. cos()αβ+7.已知定义在R 上的奇函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，且0a b +>，0b c +>，0a c +>，则()()()f a f b f c ++的值A ．恒为正B ．恒为负C ．恒为0D ．无法确定8.某校中国象棋社团组织比赛.采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分.若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次却比其他人都少.则本次比赛的参赛人数至少为 A. 5 B. 6 C. 7 D.8第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9.执行如图所示的程序框图，则输出的S = ．10.双曲线22143x y -=的焦点坐标是_________，渐近线方程是___________．11. 已知0,0x y >>，且满足4x y +=，则lg lg x y +的最大值为 .12. 已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是_________.13.在平面直角坐标系xOy 中，点P （不过原点）到x 轴，y 轴的距离之和的2倍等于点P 到原点距离的平方.则点P 的轨迹所围成的图形的面积是 .14. 如图，已知四面体ABCD 的棱AB //平面α，且AB =，其余的棱长均为1．四面体ABCD 以AB 所在的直线为轴旋转x 弧度，且四面体ABCD 始终在水平放置的平面α的上方．如果将四面体ABCD 在平面α内正投影面积看成关于x 的函数，记为()S x ，则函数()S x 的最小正周期为；()S x 的最小值为．俯视图三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15． (本小题满分13分)已知函数()2sin (sin cos )f x x x x a =+-的图象经过点(,1)2π，a ∈R ．（Ⅰ）求a 的值，并求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的最小值．16．(本小题满分13分)已知数列{}n a 的前n 项和2(,,*)n S pn qn p q n =+∈∈R N ，且143,24a S ==．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2n a n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．某市的一个义务植树点，统计了近10年栽种侧柏和银杏的数据（单位：株），制表如下：平均数；（Ⅱ）从统计的数据中，在栽种侧柏与银杏数量之差的绝对值不小于300株的年份中，任意抽取2年，恰有1年栽种侧柏的数量比银杏数量多的概率.18．(本小题满分14分)如图,在四棱锥P ABCD -中，△PBC 是等腰三角形，且3PB PC ==.四边形ABCD 是直角梯形，ABDC ，AD DC ⊥，5,4,3AB AD DC ===.（Ⅰ）求证：AB //平面PDC ；（Ⅱ）当平面PBC ⊥平面ABCD 时，求四棱锥P ABCD -的体积；（Ⅲ）请在图中所给的五个点,,,,P A B C D 中找出两个点，使得这两点所在直线与直线BC垂直，并给出证明．．.已知椭圆2222:1(0)x y W a b a b +=>>，其左顶点A 在圆22:4O x y +=上（O 为坐标原点）．（I ）求椭圆W 的方程；(II) 过点A 作直线AQ 交椭圆W 于另外一点Q ，交y 轴于点R .P 为椭圆W 上一点,且//OP AQ ，求证：2AQ AR OP⋅为定值.20． (本小题满分13分)已知函数()e xf x x =，()1g x ax =+，a ∈R .（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线()y g x =垂直，求a 的值；（Ⅱ）若方程()()0f x g x -=在(2,2)-上恰有两个不同的实数根，求a 的取值范围; （Ⅲ）若对任意1[2,2]x ∈-，总存在唯一的2(,2)x ∈-∞，使得21()()f x g x =，求a 的取值范围.北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试答案（文史类） 2018．5二、填空题（本题满分30分）三、解答题（本题满分80分） 15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据题意得2sin(sin cos )1222a πππ+-=，即2(10)1a +-=，解得1a =． ()2s i n (s i n c o sf x x x x =+- 22sin 2sin cos 1x x x =+-sin 2cos 2x x =-)4x π=-．由222242k x k πππ-+π≤-≤+π（k ∈Z ），得322244k x k ππ-+π≤≤+π，所以388k x k ππ-+π≤≤+π，所以函数()f x 的单调递增区间是3[,88k k k ππ-+π+π](∈)Z ．……………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知())4f x x π=-．当[0,]2x π∈时，2[,]444x ππ3π-∈-，所以sin(2)124x π-≤-≤．所以1()f x -≤≤ 所以当244x ππ-=-，即0x =时，()f x 取得最小值1-．……………13分 16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据题意得3,16424.p q p q +=⎧⎨+=⎩即3,4 6.p q p q +=⎧⎨+=⎩. 解得1,2.p q =⎧⎨=⎩ 所以22n S n n =+. 当2n ≥时，221(2)[(1)2(1)]21nn n a S S n n n n n -=-=+--+-=+．因为13211a ==⨯+也适合上式，所以21(*)n a n n =+∈N . ……………7分（Ⅱ）因为23121242n n n n b b +++==，且131228a b ===，所以数列{}n b 是以8为首项，4为公比的等比数列，所以8(14)8(41)143n nn T -==--．……………… 13分17. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）这10年中栽种银杏数量的中位数为3700株.设平均数为x ，则34003300360036003700420044003700+4200+4200=383010x +++++++=株.……… 4分（Ⅱ）根据表中数据，满足条件的年份有2009，2010，2011，2013，2014共5年.从这5年中抽取2年，有2009，2010；2009，2011；2009，2013；2009，2014；2010，2011；2010，2013；2010，2014；2011，2013；2011，2014；2013，2014共10种情况.设事件A 表示“任取2年，恰有1年栽种侧柏的数量比银杏的数量多”.则事件A 包括2009，2010；2009，2013；2009，2014；2010，2011；2011，2013；2011，2014共6种情况.所以63()==105P A . 答：任取2年，恰有1年栽种侧柏的数量比银杏的数量多的概率为35………………13分 18. （本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为ABDC ，又因为AB PDC ⊄平面，DC PDC ⊂平面，所以//AB 平面PDC ． ……3分（Ⅱ）取BC 中点F ，连接PF .又因为PB PC =，所以PF BC ⊥，又因为平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC平面ABCD =BC ，所以PF ⊥平面ABCD .在直角梯形ABCD 中，因为ABDC ，且AD DC ⊥，4,3AD DC ==，5AB =，所以BC =1=(35)4162ABCD S +⨯=梯形.又因为3PB =，BF ,所以2PF =.所以1132162333P ABCD ABCD V S PF -=⋅=⋅⋅=梯形.……………… 9分（Ⅲ）,A P 点为所求的点. 证明如下：连接,AF AC . 在直角梯形ABCD 中，因为AB DC ，且AD DC ⊥，4,3AD DC ==，所以5AC =.因为5AB =，点F 为BC 中点，所以AF BC ⊥. 又因为BC PF ⊥,AFPF F =，所以BC PAF ⊥平面.又因为PA PAF ⊂平面，所以PA BC ⊥.…………14分 19. （本小题满分14分）解：（I ）因为椭圆W 的左顶点A 在圆22:4O x y +=上，令0y =，得2x =±，所以2a =．，所以c e a ==，所以c =所以2221b a c =-=，所以W 的方程为2214x y +=．…………5分 (II)证明：设00(,)P x y ，易知00x ≠，有222200001,444x y x y 即+=+=，设(,)Q Q Q x y ，直线AQ 方程为00(2)y y x x =+，联立22001,4(2).x y y y x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩即 22222200000(4)161640x y x y x y x +++-=，即2222000440x y x y x ++-=，所以2024Q x y -+=-，即2024Q x y =-，所以，2200224244Q x y y +=-+=-. 故有：2022002(44)22=2Q x AQ AR AQ AR y OPOPx x x OP+⋅-⨯⋅=⋅==. …………14分. 20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意可知()(1)x f x x e '=+，(0)1f '=，因为曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线()y g x =垂直，所以1a =-.……………… 3分（Ⅱ）令()()()h x f x g x =-，(2,2)x ∈-.则()(1)e ,()(2)e 0x x h x x a h x x '''=+-=+>所以，()h x '在区间(2,2)-上单调递增.依题意，(2)0(2)0h h '-<⎧⎨'>⎩ ，解得221(,3e )e a ∈-.所以0(2,2)x ∃∈-，使得0()0h x '=，即00(1)e 0x x a +-=, 于是()h x 的最小值为0000()e 1x h x x ax =--.依题意，0(2)0(2)0()0h h h x ->⎧⎪>⎨⎪<⎩，，，因为000020000000()e 1e (1)e 1e 10x x x x h x x ax x x x x =--=-+-=--<,所以，解得22111(,e )e 22a ∈+-.……………… 8分（Ⅲ） ()(1)e x f x x '=+⋅，令()0f x '=，得1x =-.当(,1)x ∈-∞-时，()0f x '<，函数()f x 为减函数；当(12)x ∈-，时，()0f x '>，函数()f x 为增函数. 所以函数()f x 的最小值1(1)ef -=-. 又2(2)2e f =.显然当0x <时，()0f x <.令2()e ,1x t x x x =<-.则2()(2)e .x t x x x '=+令()0t x '=，得2x =-或0.所以()t x 在()2-∞-，内为增函数，在()21--，内为减函数. 所以max 24()(2)1et x t =-=<.所以2e 1x x <. 又1x <-，所以1e x x x>. 而当1x <-时，()11,0x ∈-，所以当(],1x ∈-∞-时，1(),0e f x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭；当(1,0)x ∈-时，1(),0e f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.(1) 当0a =时，()1g x =，符合题意； (2) 当0a >时，易得()[21,21]g x a a ∈-++.依题意2210212e a a -+≥⎧⎨+<⎩，，所以21,21e ,2a a ⎧≤⎪⎪⎨⎪<-⎪⎩所以此时102a <≤.(3) 当0a <，则()[2121]g x a a ∈+-+，，依题意2210212e a a +≥⎧⎨-+<⎩，，所以21,21e ,2a a ⎧≥-⎪⎪⎨⎪>-+⎪⎩所以102a -≤<. 综上11[,]22a ∈-. ……………13分。

2018北京市各城区二模数学(文科)分类汇编之数列含答案

2018市各城区二模数学（文科）分类汇编之数列含答案【西城二模】15．（本小题满分13分）在等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，111a b ==，22a b =，432a b +=．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n n a b +的前n 项和n S ．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．依题意，得21,2(13).d q d q +=⎧⎨++=⎩………………2分解得2,3,d q =⎧⎨=⎩或1,0.d q =-⎧⎨=⎩（舍去）………………4分所以21n a n =-，13n n b -=．………………6分（Ⅱ）因为1213n n n a b n -+=-+，………………7分所以21[135(21)](1333)n n S n -=++++-+++++………………9分[1(21)]13213nn n +--=+-………………11分 2312n n -=+．………………13分【海淀二模】（15）（本小题13分）已知等差数列{}n a 满足1223n n a a n +-=+ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和.15．（本小题13分）解：（Ⅰ）方法1：因为数列{}n a 是等差数列，所以212n n n a a a +++=. 因为3221+=-+n a a n n ，所以223n a n +=+. 所以，当3n ≥时，2(2)321n a n n =-+=-. 所以21(1,2,3,).n a n n =-=………………6分方法2：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为3221+=-+n a a n n ，所以21322527.a a a a -=⎧⎨-=⎩所以11+2537.a d a d =⎧⎨+=⎩所以112.a d =⎧⎨=⎩所以1(1)21(1,2,3,)n a a n d n n =+-=-=………………6分（Ⅱ）因为数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n n n a b -+=因为21n a n =-，所以12(21)n n b n -=--.设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则1(1242)[135(21)]n n S n -=++++-++++-12(121)122n n n -+-=-- 221n n =--所以数列{}n b 的前n 项和为221.n n --. ………………13分【东城二模】（15）（本小题13分）已知{}n a 是公差为2等差数列，数列{}n b 满足11b =，212b =，且1(1)n n n a b nb ++=．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求{}n b 的前n 项和n S ．（15）（共13分）解：（Ⅰ）因为1(1)n n n a b nb ++=，所以121(1)1a b b +=⨯．因为11b =，212b =，所以11a =．因为等差数列{}n a 的公差为2，所以21n a n =-，*n ∈N ．……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知21n a n =-．因为1(1)n n n a b nb ++=，所以11(21)12n n b n b n +==-+．所以数列{}n b 是首项为1，公比为12的等比数列．所以数列{}n b 的前n 项和n S 11()122[1()]1212nn -==--，*n ∈N ．……………13分【XX 二模】16.已知数列{}n a 的前n 项和2n S pn qn =+（p ，q ∈R ，*n ∈N ）且13a =，424S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n a n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【解析】解:（Ⅰ）∵数列{}n a 的前n 项和为2n S pn qn =+∴当1n =时,11a S p q ==+当2n ≥时,21(1)(1)n S p n q n -=-+-∴221()[(1)(1)]2nn n a S S pn qn p n q n pn q p -=-=---+-=+-检验1a p q =+符合2n a pn q p =+-∴数列{}n a 的通项公式为2n a pn q p =+-∵12(1)(2)2,()n na a p n q p pn q p p p +-=++--+-=∈R∴{}n a 是等差数列,设公差为d ∵143,24a S ==∴414342S a d ⨯=+解得2d = ∴数列{}n a 的通项公式为*3(1)221()n a n n n =+-⨯=+∈N（Ⅱ）由（Ⅰ）可知21n a n =+∴2122n a n nb +==设数列{}n b 的前n 项和为n T , 则12124242424n n nT -=⨯+⨯++⨯+⨯1212(4444)n n -=++++4(14)214n -=⨯- 8(41)3n -=所以数列{}n b 的前n 项和为8(41).3n n T -=【丰台二模】（16）（本小题共13分）已知数列{}n a 的前n 项和2=3n S n ，等比数列{}n b 满足11=3a b ，242b b a =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列21{}n b -的前n 项和n T ．（16）（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为23n S n =，所以113a S ==．…………………1分当2n ≥时，1n n n a S S -=-2233(1)n n =--63n =-．…………………3分因为当1n =时，16133a ⨯-==，…………………4分所以数列{}n a 的通项公式是63n a n =-．…………………5分（Ⅱ）设数列{}n b 的公比为q ．因为113a b =，所以11b =．…………………6分因为242b b a ⋅=，所以239b =．…………………8分因为2310b b q =>，所以33b =，且23q =．…………………10分因为{}n b 是等比数列，所以21{}n b -是首项为11b =，公比为23q =的等比数列．…………………11分所以212(1())131(31)1132n n nn b q T q --===---．即1(31)2nn T =-．…………………13分【昌平二模】 16.（本小题13分）已知数列{}n a 满足1211,2a a ==，数列{}n b 是公差为2的等差数列，且11n n n n b a a na +++=. （I ）求数列{}n b 的通项公式；（II ）求数列{}n a 前n 项的和n S . 16.（共13分）解：（Ⅰ）因为11n n n nb a a na +++=，所以1221b a a a += . 又因为1212a a =1，=, 所以11b =.所以数列{}n b 的通项公式是2-1n b n =. --------------------7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知2-1n b n =，且11n n n n b a a na +++=.所以11(21)n n nn a a na ++-+=，得到112n n a a += .所以数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列. 那么数列{}n a 前n 项和111()222112nn n S --==--.--------------------13分【顺义二模】15.（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且151, 3.a a =-=. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式;（Ⅱ）若数列{}n b 满足2n a n b =,求数列{}n b 的前n 项和.【房山二模】（15）（本小题13分）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =．问：5b 与数列{}n a 的第几项相等？解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ．因为432a a -=，所以2d =．又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =．所以42(1)22n a n n =+-=+(1,2,)n =．…………6分（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q ．因为238b a ==，3716b a ==，所以2q =，14b =．所以5154264b -=⨯=．由6422n =+得31n =．所以5b 与数列{}n a 的第31项相等．…………13分。

北京市朝阳区2018届高三上学期期末考试数学(文)试题含答案

北京市朝阳区2018届高三上学期期末考试数学(文)试题含答案北京市旭日区 2019-2020 学年度第一学期期末质量检测高三年级数学学科试卷（文史类）2018．1（考试时间120 分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40 分）和非选择题（共110 分）两部分第一部分（选择题共 40分）一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题给出的四个选项中，选出切合题目要求的一项．1.已知会合 A = { x | x( x - 2) < 0}， B = { x |ln x > 0}，则A I B是A．{}B．{x | x > 2} x | x > 0C．{}D．{x | 0 < x < 2} x |1 < x < 22．已知i 为虚数单位，设复数z知足z i 3 ，则 z =A．3B． 10C． 4D． 103．某便利店记录了 100 天某商品的日需求量（单位：件），整理得下表：日需求量 n1415161820频次0． 10． 20．30．20． 2试预计该商品日均匀需求量为A．16B．16.2C．16.6D．16.84．“sin2”是“ cos2 =0 ”的2A．充足而不用要条件 B ．必需而不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件5．以下函数中，是奇函数且在(0,1) 内是减函数的是① f (x)x31x x② f (x) （）③ f ( x)sin x ④f ( x)2 e xA．①③B．①④C．②③D．③④6．某四棱锥的三视图如下图，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为A．4B．4 3C．42D． 4 2 37．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题: 平面内到两定点距离之比为常数k （ k0 且 k 1 ）的点的轨迹是圆．后代将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A, B 间的距离为2，动点P与A，B距离之比为2，当 P,A,B不共线时，PAB 面积的最大值是A．2 2B． 2C． 2 2D．2338．如图，PAD 为等边三角形，四边形ABCD 为正方形，平面PAD平面 ABCD ．若点 M 为平面ABCD内的一个动点，且知足MP MC，则点 M 在正方形ABCD及其内P部的轨迹为A．椭圆的一部分B．双曲线的一部分A DC．一段圆弧MD．一条线段B C第二部分（非选择题共 110 分）开始二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共30 分．把答案填在答题卡上．9．履行如下图的程序框图，输出S 的值为．i=1 ， S=2 10．已知双曲线C的中心在原点，对称轴为坐标轴，它的一个焦点与抛物线y28x 的焦点S=i ·S重合，一条渐近线方程为x y0，则双曲线 C 的方程是．i=i+1uuur uuur11．已知菱形ABCD的边长为2，BAD 60o，则 AB BC．x y 40,否i>4?是12．若变量x， y 知足拘束条件5x y 4 0, 则x2y2的最小值为．输出Sx 5y 40,结束13．高斯说过，他希望能够借助几何直观来认识自然界的基本问题．一位同学遇到启迪，按以下步骤给出了柯西不等式的“图形证明”：a d a Ddcb CbAbc cd B a（ 1）左图矩形中白色地区面积等于右图矩形中白色地区面积；（ 2）左图暗影地区面积用a,b, c, d 表示为；（ 3）右图中暗影地区的面积为a2b2c2 d 2 sin BAD；（ 4）则柯西不等式用字母a,b, c, d 能够表示为ac bd 22b2 )(c2d2 ) ．( a请简单表述由步骤（3）到步骤（ 4）的推导过程：．14．如图，一位同学从P1处观察塔顶B及旗杆顶A，得仰角分别为和 90o.退后 l (单位 m)至点P2处再观察塔顶B，仰角变成本来的一半，设塔CB 和旗杆BA都垂直于地面，且C ，12CB的高为m；旗杆BA的高为m. P，P 三点在同一条水平线上，则塔（用含有和的式子表示）ABC P1P2三、解答题：本大题共 6 小题，共80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13 分）已知函数 f ( x) (sin x cos x)2cos2x ．（Ⅰ）求 f ( x) 的最小正周期；（Ⅱ）求证：当x0,时， f ( x)0 ．216．（本小题满分 13 分）已知由实数组成的等比数列{ a n} 知足 a1， a1 a3 a5．（Ⅰ）求数列 { a n } 的通项公式；（Ⅱ）求 a2a4a6...a2n．17．（本小题满分13 分）2017 年，世界乒乓球锦标赛在德国的杜赛尔多夫举行．整个竞赛出色纷呈，参赛选手显现出很高的竞技水平，为观众奉献了多场出色对决．图1（扇形图）和表 1 是此中一场关键竞赛的部分数据统计．两位选手在此次竞赛中击球所使用的各项技术的比率统计如图1．在乒乓球竞赛中，接发球技术是指回接对方发球时使用的各样方法．选手乙在竞赛中的接发球技术统计如表1，此中的前 4 项技术统称反手技术，后 3 项技术统称为正手技术．图 1选手乙的接发球技术统计表技术反手拧球反手搓球反手拉球反手拨球正手搓球正手拉球正手挑球使用次数202241241得分率55%50%0%75%41．7%75%100%表 1（Ⅰ）察看图1，在两位选手共同使用的8 项技术中，差别最为明显的是哪两项技术？（Ⅱ）乒乓球接发球技术中的拉球技术包含正手拉球和反手拉球．从表 1 统计的选手乙的所有拉球中任取两次，起码抽出一次反手拉球的概率是多少？（Ⅲ）假如仅从表 1 中选手乙接发球得分率的稳固性来看（不考虑使用次数），你以为选手乙的反手技术更稳固仍是正手技术更稳固？（结论不要求证明）18．（本小题满分 14 分）如图，在三棱柱 ABC A1 B1C1中，底面 ABC 为正三角形，侧棱AA1底面 ABC．已知 D是BC的中点， AB AA1 2 ．A1（Ⅰ）求证：平面AB1D平面 BB1C1C ；B1C1（Ⅱ）求证：A1C ∥平面 AB1D ；（Ⅲ）求三棱锥A1AB1D 的体积．AB DC 19．（本小题满分14 分）已知椭圆 C : x2y21(b0)的一个焦点坐标为(2,0) ．5b2b2（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）已知点 E(3,0)，过点 (1,0)的直线 l （与 x 轴不重合）与椭圆C交于M,N两点，直线 ME 与直线x 5订交于点 F ，试证明：直线FN 与 x 轴平行．20．（本小题满分13 分）已知函数f ( x)x cos xa ， a R ．（Ⅰ）求曲线yf ( x) 在点x处的切线的斜率；（Ⅱ）判断方程f (x)0（2f ( x)为f (x) 的导数）在区间0,1内的根的个数，说明原因；（Ⅲ）若函数F ( x)x sin xcos xax 在区间0,1内有且只有一个极值点，求a 的取值范围．北京市旭日区 2019-2020 学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷答案（文史类）2018.1一、（40 分）号答案1C 2B 3D4A 5A 6B 7A 8D二、填空（ 30 分）号91011 12 13 14ac bd ；两个要点：x 2 y 2（ 1）两中的暗影部l sin ;答案482821l cos 22分面相等；sin（ 2） | sin BAD |1 .三、解答（ 80 分） 15. （本小分 13 分）解：（Ⅰ）因f ( x) sin 2 x cos 2 x sin 2xcos2x1 sin 2x cos 2x2 sin(2 x) 1.4因此函数 f (x) 的最小正周期.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f ( x)2 sin(2 x4) 1 ．当 x0,， 2x[ , 4] ，24 4sin(2 x)[,1] ，422 sin(2 x) 1 [0,1] .4当 2x4, 即 x0 ， f ( x) 获得最小 0 ．4因此当 x0,， f ( x)0 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分216.（本小分 13 分）a1=2q2q4 ) 42.解：（Ⅰ）由可得 2(1a1a3 a5由数列各数，解得，.因此数列的通公式或.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分（Ⅱ）当，a2 a4 a6...a2n= 4(14n ) 4 (4n1)；143当，a2a4a6...a2n =(4)(14n ) 4(1 4n) . ⋯ 13 分14317.（本小分 13 分）解：（Ⅰ）依据所扇形的数据可知，差别最著的是正手搓球和反手球两技.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分（Ⅱ）依据表 1 的数据可知，手乙的反手拉球 2 次，分A,B,正手拉球 4 次，分a,b,c,d.从六次拉球中任取两次，共15 种果，分是: AB,Aa, Ab,Ac,Ad,Ba, Bb ，Bc, Bd, ab，ac, ad, bc, bd,cd.此中起码抽出一次反手拉球的共有9 种，分是:AB, Aa， Ab，Ac, Ad, Ba, Bb，Bc, Bd.从表 1 的手乙的全部拉球中任取两次，起码抽出一次反手拉球的概率93⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分P.155（Ⅲ）正手技更定 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分18.（本小分 14 分）（Ⅰ）明：由已知ABC 正三角形，且 D 是BC的中点，因此AD BC ．因棱AA1底面ABC ，AA1 // BB1，因此 BB1底面 ABC ．又因 AD底面 ABC ，因此BB1AD .而B1BI BC B ,因此 AD平面 BB1C1C ．因 AD平面 AB1 D ，因此平面 AB1D平面 BB1C1C ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（Ⅱ）明：接A1 B ， A1BI AB1E，接 DE．A1由已知得，四形 A1ABB1正方形， E A1B的中点.CB1因 D 是BC的中点，1因此 DE // AC1．EA 又因 DE平面 AB1D ，BD CAC1平面AB1D，因此 A1C ∥平面 AB1D ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知A1C ∥平面 AB1 D ，因此 A1与C到平面AB1D的距离相等，因此V A1AB1D VC AB1D．由及 AB AA1 2 ，得 BB12，且 S ACD3 2．因此VC AB1D VB1 ACD1S ACD BB11323，3323因此三棱 A1AB1 D 的体 V A1AB1 D3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分319.（本小分 14 分）c2,25, b2 1 .解：（Ⅰ）由意可知因此 aa25b2.因此 C 的方程x 2y 21.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分5（Ⅱ）①当直l 的斜率不存在，此 MNx . D (1,0) ，直 x 5 与 x 订交于点 G ，易得点 E(3,0) 是点 D (1,0) 和点 G(5,0) 的中点，又因 | MD | | DN | ，因此 |FG | |DN |.因此直 FN // x .②当直 l 的斜率存在，直 l 的方程 yk (x 1)(k0) ，M ( x 1 , y 1), N ( x 2 , y 2 ) .因点E(3,0) ，因此直 ME 的方程 yy 1 ( x 3) .x 1 3令 x5 ，因此 y Fx 1 y 1 (5 3) 2y1 .3x 1 3y k( x 1),5k 2 ) x 210k 2x 5(k21) 0.由5 y 2 消去 y 得 (1x 2 5然0恒建立 .因此 x 1x 210 k 2 , x 1 x 2 5(k 2 1) .5k 2 1 5k 2 1因 y 2y Fy 22 y 1 y 2 ( x 1 3) 2 y 1k( x 2 1)(x 13) 2k ( x 1 1)x 1 3x 1 3x 13k[ x 1 x 2 3( x 1 x 2 ) 5]k[ 5( k 21) 3 10k 2 5]5k21 5k2 1x 1 3x 1 35k k 2 1 6k 2 5k 2 10 ，5k21x 1 3因此 y 2y F .因此直FN // x .上所述，因此直FN // x .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分北京市朝阳区2018届高三上学期期末考试数学(文)试题含答案20. （本小分13 分）解：（Ⅰ） f (x)cos x xsin x . kππ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分f ().22（Ⅱ） g( x)f( x) ， g ( x)sin x(sin x x cos x)2sin x x cos x .当 x (0,1)， g ( x) 0 ，函数g( x) 减函数.又因 g(0) 10， g (1)cos1sin10,因此有且只有一个x0(0,1) ，使 g( x0 )0建立 .因此函数 g( x) 在区0,1 内有且只有一个零点，即方程 f ( x)0 在区0,1内有且只有一个数根 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分（Ⅲ）若函数在区内有且只有一个极点，因为，即在区内有且只有一个零点，且在两异号 .因当，函数减函数，因此在上，，即建立，函数增函数；在上，，即建立，函数减函数.函数在获得极大 f (x0 ) .当，然函数在区内有且只有一个零点，但在两同号，不足在区内有且只有一个极点的要求.因为，然.若函数在区内有且只有一个零点，且在两异号，只要足：. 即，解得.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分。

朝阳区2018学年度高三年级第二学期统一考试(一)

朝阳区2018学年度高三年级第二学期统一考试（一）数学学科测试（理工类）第I 卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{3,4},{2,3,5}A B ==，那么集合()U A Bð等于（）A.{1,2,3,4,5}B.{3,4}C.{1,3,4}D.{2,3,4,5}2. 设i 是虚数单位，复数tan 45z =-o sin 60i ×o ，则2z 等于（）A.74-B.14-C.74D.14+ 3. 若数列{}n a 是公比为4的等比数列，且12a =，则数列2{log }n a 是（） A.公差为2的等差数列 B.公差为lg 2的等差数列 C.公比为2的等比数列 D.公比为lg 2的等比数列4. 设a 为常数，函数2()43f x x x =-+. 若()f x a +为偶函数，则a 等于（）A.-2B. 2C. -1D.1 5. 已知直线a 和平面a ，那么//a a 的一个充分条件是（）A.存在一条直线b ，//,a b b a ÌB.存在一条直线b ，,a b b a ^^C.存在一个平面,,//a ββαβ⊂ D.存在一个平面,,a ββαβ⊥⊥6. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰十角三角形。

若该几何体的体积为V ，并且可以用n 个这样的几何体拼成一个棱长为4的正方体，则V ，n 的值是（） A ．2,32==n VB ．3,364==n V C ．6,332==n V D ．V=16，n=47．设 ,a b ÎR ，且(1)<0b a b ++，(1)<0b a b +-，则 ( )A.1a >B.1a <-C. 11a -<<D. ||1a > 8. 函数f (x )的定义域为D ，若对于任意12,x x D Î，当12x x <时，都有12()()f x f x £，则称函数()f x 在D 上为非减函数.设函数f (x )在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：○1(0)0f =； ○21()()32xf f x =； ○3(1)1()f x f x -=-. 则1()2010f 等于（） A.1128 B.1256 C. 1512 D.164第II 卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.某校为了解高三同学寒假期间学习情况，抽查了100名同学，统计他们每天平均学习时间,绘成频率分布直方图（如图）.则这100名同学中学习时间在6~8小时内的人数为 _______.10．如图，AB 为O 的直径，且8AB = ，P 为OA 的中点，过P 作O 的弦CD ，且:3:4CP PD =，则弦CD 的长度为 .A B11．给定下列四个命题：①“6x π=”是“1sin 2x =”的充分不必要条件；②若“p q ∨”为真，则“p q ∧”为真； ③若a b <，则22am bm <； ④若集合A B A = ，则A B ⊆.其中为真命题的是（填上所有正确命题的序号）.12．在二项式25()ax x -的展开式中，x 的系数是10-，则实数a 的值为 .13．已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为12,F F ，且它们在第一象限的交点为P ，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形.若110PF =，双曲线的离心率的取值范围为(1,2).则该椭圆的离心率的取值范围是 .14．在平面直角坐标系中，点集22{(,)|1}A x y x y =+≤，{(,)|4,0,,340}B x y x y x y =≤≥-≥，则（1）点集1111{(,)3,1,(,)}P x y x x y y x y A ==+=+∈所表示的区域的面积为_____；（2）点集12121122{(,),,(,),(,)}Q x y x x x y y y x y A x y B ==+=+∈∈所表示的区域的面积为 .三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)（本小题满分13分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且34C π=，sin 5A =. （Ⅰ）求sinB 的值；（Ⅱ）若5c a -=，求ABC ∆的面积.(16) （本小题满分13分）在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮. 现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲和乙每次投篮命中的概率分别是13，12.两人共投篮3次，且第一次由甲开始投篮. 假设每人每次投篮命中与否均互不影响.（Ⅰ）求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；（Ⅱ）若投篮命中一次得1分，否则得0分. 用ξ表示甲的总得分，求ξ的分布列和数学期望．(17) （本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，每个侧面均为正方形，D 为底边AB 的中点，E 为侧棱1CC 的中点.（Ⅰ）求证：CD ∥平面1A EB ；（Ⅱ）求证：1AB ⊥平面1A EB ；（Ⅲ）求直线1B E 与平面11AAC C 所成角的正弦值.(18)（本小题满分13分）已知函数322()(1)3mx f x ax b x =++-，, , m a b ∈R ．（Ⅰ）求函数()f x 的导函数()f x '；（Ⅱ）当1m =时，若函数()f x 是R 上的增函数，求z a b =+的最小值；（Ⅲ）当1a =，b =()f x 在(2, )+∞上存在单调递增区间，求m 的取值范围．(19)（本小题满分13分）已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点3(1, )2-，过点(2, 1)P 的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求直线l 的方程以及点M 的坐标；（Ⅲ）是否存在过点P 的直线1l 与椭圆C 相交于不同的两点,A B ，满足2PA PB PM ⋅= ？若存在，求直线1l 的方程；若不存在，请说明理由．（20）(本小题共13分)已知数列{}n a 中，11a =，21(0a a a =-≠且1)a ≠，其前n 项和为n S ，且当2n ≥时，1111n n n S a a +=-．（Ⅰ）求证：数列{}n S 是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）若4a =，令19(3)(3)nn n n a b a a +=++，记数列{}n b 的前n 项和为n T ．设λ是整数，问是否存在正整数n ，使等式13758n n T a λ++=成立？若存在，求出n 和相应的λ值；若不存在，请说明理由．（考生务必将第Ⅱ卷所有题目的答案写在答题卡上，在试卷上作答无效）朝阳区2018学年度高三年级第二学期统一考试（一）数学测试（理工类）答案一、选择题:二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）9．30 10．7 11．①，④12．1 13．12(,)3514．π；18π+.三、解答题:(15)解：（Ⅰ）因为34Cπ=，sin A=，所以cos A==由已知得4B Aπ=-.所以sin sin()sin cos cos sin444B A A Aπππ=-=-==.…………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知34Cπ=，所以sin C=且sin B=由正弦定理得sin Asin5ac C==.又因为5c a-=所以5c=，a=所以15sin522ABCS ac B∆===. …………………………13分(16) （Ⅰ）解：记 “3次投篮的人依次是甲、甲、乙” 为事件A .由题意，得122()339P A =⨯=．答：3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率是29． …………………… 5分（Ⅱ）解：由题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，则212125(0)323239P ξ==⨯+⨯⨯=，211121(1)323333P ξ==⨯⨯+⨯=，1122(2)33327P ξ==⨯⨯=，1111(3)33327P ξ==⨯⨯=．所以，x 的分布列为：x 的数学期望012393272727E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. …………… 13分(17) 解法一：证明：（Ⅰ）设11AB A B 和的交点为O ,连接EO ，连接OD .因为O 为1AB 的中点，D 为AB 的中点, 所以 OD ∥1BB 且112OD BB =.又E 是1CC所以 EC ∥1BB 且112EC BB =,所以 EC ∥OD 且EC OD =.所以，四边形ECOD 为平行四边形.所以EO ∥又CD ⊄平面1A BE ,EO ⊂平面1A BE ,则CD ∥平面1A BE . ………………5分 (Ⅱ) 因为三棱柱各侧面都是正方形，所以1BB AB ⊥，1BB BC ⊥. 所以1BB ⊥平面ABC .因为CD ⊂平面ABC ，所以1BB CD ⊥. 由已知得AB BC AC ==，所以CD AB ⊥, 所以CD ⊥平面11A ABB .由（Ⅰ）可知EO ∥CD ，所以EO ⊥平面11A ABB . 所以EO ⊥1AB .因为侧面是正方形，所以11AB A B ⊥.又1EO A B O = ，EO ⊂平面1A EB ，1A B ⊂平面1A EB ,所以1AB ⊥平面1A BE . ………………………………………10分（Ⅲ）解: 取11AC 中点F ，连接1, B F EF . 在三棱柱111ABC A B C -中，因为1BB ⊥平面ABC ，所以侧面11ACC A ⊥底面111A B C .因为底面111A B C 是正三角形，且F 是11AC 中点，所以111B F AC ⊥，所以1B F ⊥侧面11ACC A .所以EF 是1B E 在平面11ACC A 上的射影. 所以1FEB ∠是1B E 与平面11AAC C 所成角.111sin B F BE F B E ∠==…………………………………………14分解法二：如图所示，建立空间直角坐标系. 设边长为2，可求得(0,0,0)A ，(0,2,0)C 1(0,2,2)C ，1(0,0,2)A ，,0)B ，1B (0,2,1)E ，1,0)2D ，1,1)2O . （Ⅰ）易得，3,0)2CD =- ， 3(,,0)22EO =- . 所以CD EO = ，所以EO ∥CD .又CD ⊄平面1A BE ,EO ⊂平面1A BE ,则CD ∥平面1A BE . ………………5分（Ⅱ）易得，1,2)AB =，1,2)A B =- ，1(0,2,1)A E =-所以11110, 0AB A B AB A E ⋅=⋅= .所以1111, .AB A B AB A E ⊥⊥又因为111A B A E =A ，111,A B A E A BE ⊂平面，所以1AB ⊥平面1A BE . …………………………………………… 10分（Ⅲ）设侧面11AAC C 的法向量为(,,)x y z =n ,因为(0,0,0)A , (0,2,0)C ,1(0,2,2)C ，1(0,0,2)A ，所以1(0,2,0), (0,2,2)AC AC ==，1(,1)B E =-.由 10,0,AC AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得0,0.y y z =⎧⎨+=⎩解得0,0.y z ì=ïïíï=ïî 不妨令(1,0,0)=n ，设直线1B E 与平面11AAC C 所成角为α．所以111sin cos ,B E B E B Eα⋅=<>===⋅ n n n . 所以直线1B E 与平面11AAC C． ………………………14分 (18)（Ⅰ）解：22()2(1)f x mx ax b '=++-． …………………………………3分（Ⅱ）因为函数()f x 是R 上的增函数，所以()0f x '≥在R 上恒成立.则有2244(1)0a b ∆=--≤，即221a b +≤．设cos ,sin a r b r θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，01r ≤≤），则(cos sin )sin()4z a b r πθθθ=+=+=+.当sin()14πθ+=-，且1r =时，z a b =+取得最小值（可用圆面的几何意义解得z a b =+的最小值 ………………………8分（Ⅲ）①当0m >时，2()21f x mx x '=+-是开口向上的抛物线，显然()f x '在(2, )+∞上存在子区间使得()0f x '>，所以m 的取值范围是(0, )+∞．②当0m =时，显然成立．③当0m <时，2()21f x mx x '=+-是开口向下的抛物线，要使()f x '在(2, )+∞上存在子区间使()0f x '>，应满足 0, 12, 1()0,m m f m≥<-'-> 或0,12,(2)0. m m f <⎧⎪⎪-<⎨⎪'>⎪⎩解得102m -<≤，或3142m -<<-，所以m 的取值范围是3(, 0)4-．则m 的取值范围是3(, )4-+∞． …………………………………………13分(19)解：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由题意得22222191,41,2.a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎩解得24a =，23b =，故椭圆C 的方程为22143x y +=． ……………………4分（Ⅱ）因为过点(2, 1)P 的直线l 与椭圆在第一象限相切，所以l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为(2)1y k x =-+．由221,43(2)1,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得222(34)8(21)161680k x k k x k k +--+--=． ① 因为直线l 与椭圆相切，所以222[8(21)]4(34)(16168)0k k k k k ∆=---+--=. 整理，得32(63)0k +=. 解得12k =-．所以直线l 方程为11(2)1222y x x =--+=-+．将12k =-代入①式，可以解得M 点横坐标为1，故切点M 坐标为3(1, )2．……9分（Ⅲ）若存在直线1l 满足条件，设直线1l 的方程为1(2)1y k x =-+，代入椭圆C 的方程得22211111(34)8(21)161680k x k k x k k +--+--=．因为直线1l 与椭圆C 相交于不同的两点,A B ，设,A B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，所以222111111[8(21)]4(34)(16168)32(63)0k k k k k k ∆=---+--=+>．所以112k >-．又1112218(21)34k k x x k -+=+，21112211616834k k x x k --=+，因为2PA PB PM ⋅= ，即12125(2)(2)(1)(1)4x x y y --+--=，所以221215(2)(2)(1)||4x x k PM --+==．即 2121215[2()4](1)4x x x x k -+++=，所以222111111222111161688(21)445[24](1)3434344k k k k k k k k k ---+-++==+++，解得112k =±．因为,A B 为不同的两点，所以112k =. 于是存在直线1l 满足条件，其方程为12y x =． …………………………13分（20）（共14分）解：（Ⅰ）当2n ≥时，11+111111n n n n n n nS a a S S S S +-=-=---，化简得211(2)n n n S S S n -+=≥，又由1210,0S S a =≠=≠，可推知对一切正整数n 均有0n S ≠， ∴数列{}n S 是等比数列． ---------------- 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知等比数列{}n S 的首项为1，公比为a ，∴1n n S a -=．当2n ≥时，21(1)n n n n a S S a a --=-=-，又111a S ==，∴21,(1),(1),(2).n n n a a a n -=⎧=⎨-≥⎩----------8分（Ⅲ）当4,2a n =≥时，234n n a -=⨯，此时 22119934(3)(3)(343)(343)n n n n n n n a b a a ---+⨯⨯==++⨯+⨯+ 221213411(41)(41)4141n n n n n -----⨯==-++++，又111293(3)(3)8a b a a ==++， ∴213,(1)811,(2)4141n n n n b n --⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩++ 1138T b ==，当2n ≥时，1222212131111()()841414141n n n n T b b b ----=+++=+-++-++++ 171841n -=-+．若1n =，则等式13758n n T a λ++=为37858λ+=，52λ=不是整数，不符合题意．若2n ≥，则等式13758n n T a λ++=为11717841548n n λ---+=+⨯，15541n λ-=-+ λ 是整数，∴141n -+是5的因数．∴当且仅当2n =时，1541n -+是整数， ∴4λ=综上所述，当且仅当4λ=时，存在正整数2n =，使等式13758n n T a λ++=成立。

【全国市级联考】北京市朝阳区2018届高三二模数学(文)试题

【全国市级联考】北京市朝阳区2018届高三二模数学（文）试题第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|320A x x x =-+<，{}|1B x x =≥，则AB =（）A ．(2]-∞，B ．(1)+∞，C ．(12)，D ．[1)+∞，2.计算2(1)i -=（）A ．2iB ．2i -C ．2i -D ．2i +3.已知x ，y 满足不等式220101x y x y y --⎧⎪+-⎨⎪⎩，，≤≥≤则3z y x =-的最小值是（）A ．1B ．3-C ．1-D ．72- 4.在ABC △中，1a =，6A π∠=，4B π∠=，则c =（） AB5.“01a <<且01b <<”是“log 0a b >”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C.充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6.如图，角α，β均以Ox 为始边，终边与单位圆O 分别交于点A ，B ，则OA OB ⋅=（）A ．sin()αβ-B ．sin()αβ+ C.cos()αβ-D ．cos()αβ+7.已知定义在R 上的奇函数()f x 在[0)+∞，上单调递减，且0a b +>，0b c +>，，0a c +>，则()()()f a f b f c ++的值（）A ．恒为正B ．恒为负C.恒为0D ．无法确定8.某校象棋社团组织中国象棋比赛，采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分.若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为（）A ．4B ．5C.6D ．7第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.执行如图所示的程序框图，则输出的S = .10.双曲线22143x y -=的焦点坐标是；渐近线方程是 . 11.已知0x >，0y >，且满足4x y +=，则lg lg x y +的最大值为 .12.已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 .13.在平面直角坐标系xOy 中，点P （不过原点）到x 轴，y 轴的距离之和的2倍等于点P 到原点距离的平方，则点P 的轨迹所围成的图形的面积是．14.如图，已知四面体ABCD 的棱AB ∥平面α，且AB =1.四面体ABCD 以AB 所在的直线为轴旋转x 弧度，且始终在水平放置的平面α上方.如果将四面体ABCD 在平面α内正投影面积看成关于x 的函数，记为()S x ，则函数()S x 的最小值为；()S x 的最小正周期为．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知函数()2sin (sin cos )f x x x x a =+-的图象经过点(1)2π，，a ∈R . （1）求a 的值，并求函数()f x 的单调递增区间；（2）若当[0]2x π∈，时，求函数()f x 的最小值. 16.已知数列{}n a 的前n 项和2n S pn qn =+（p ，q ∈R ，*n ∈N ）且13a =，424S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n a n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .17.（1）根据表中数据写出这10年内银杏数列的中位数，并计算这10年栽种银杏数量的平均数；（2）从统计的数据中，在栽种侧柏与银杏数量之差的绝对值不小于300株的年份中，任意抽取2年，恰有1年栽种侧柏的数列比银杏数量多的概率.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PBC ⊥平面ABCD .PBC △是等腰三角形，且3PB PC ==.四边形ABCD 是直角梯形，AB DC ∥，AD DC ⊥，5AB =，4AD =，3DC =（1）求证：AB ∥平面PDC ；（2）当平面PBC ⊥平面ABCD 时，求四棱锥P ABCD -的体积；（3）请在图中所给的五个点P ，A ，B ，C ，D 中找出两个点，使得这两点所在的直线与直线BC 垂直，并给出证明.19.已知椭圆W ：22221x y a b+=（0a b >>，其左顶点A 在圆O ：224x y +=上（O 为坐标原点）.（1）求椭圆W 的方程；（2）过点A 作直线AQ 交椭圆W 于另外一点Q ，交y 轴于点R ，P 为椭圆W 上一点，且OP AQ ∥，求证：2AQ AROP ⋅为定值.20.已知函数()x f x xe =，()1g x ax =+，a ∈R .（1）若曲线()y f x =在点(0(0))f ，处的切线与直线()y g x =垂直，求a 的值；（2）若方程()()0f x g x -=在(22)-，上恰有两个不同的实数根，求a 的取值范围；（3）若对任意1[22]x ∈-，，总存在唯一的2(2)x ∈-∞，，使得21()()f x g x =，求a 的取值范围.。

2018年朝阳区高三语文二模试题及答案

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习语文学科测试2018.5（考试时间150分钟满分150分）本试卷共8页。

考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、本大题共8小题，共24分。

阅读下面的材料，完成1—8题。

材料一早在1980年，未来学家阿尔文·托夫勒便在《第三次浪潮》一书中将大数据称为“第三次科技浪潮的华彩乐章．．．．”。

从2009年起，“大数据”逐渐成为人们争相讨论的词汇之一。

如今，无论在自然科学还是在社会科学的研究项目中，都能看到大数据的身影。

有学者认为对不同的使用者来说，大数据的价值体现在不同的方面：对于投资人和创业者而言，大数据是热门的融资标签；对于大多数互联网公司或工程师来说，大数据意味着对一堆数据进行计算；对于消费者或者互联网用户来说，大数据是商家尽可能搜集的跟终端消费者相关的行为数据……有学者认为大数据的特点主要体现在以下四个方面：第一，大数据相较于传统数据来说，最大的区别体现在数据规模上，传统的大型数据集规模一般为TB级别，而大数据的规模则呈千倍级的增长，从TB跃升至PB。

第二，大数据不再是传统的结构化数据，而是包括网络日志、视频、图片和地理位置信息等多种类型的非结构化信息。

第三，大数据本身拥有海量信息，但信息必须通过分析才能实现从数据到价值的转变，而真正可用的数据可能只有很小一部分。

第四，大数据的采集、分析及时，流转快速，能保证大数据的新鲜和价值。

为什么人们对大数据如此关注？牛津大学互联网研究院教授维克托·迈尔·舍恩伯格和《经济学人》杂志数据编辑肯尼思·库克耶在其合著的畅销书《大数据时代：生活、工作与思维的大变革》中指出，大数据时代分析的信息量很多，在处理个别现象的数据时不用依赖随机采样。

大数据的出现改变了人们的思维方式，它让人们关注相关事物之间的关系，只需知道“是什么”，而不用知道“为什么”。

2018北京市各城区二模数学(文科)分类汇编之立体几何含答案

2018北京市各城区二模数学(文科)分类汇编之立体几何含答案D（Ⅱ）当平面PBC ⊥平面ABCD 时,求四棱锥P ABCD -的体积; （Ⅲ）请在图中所给的五个点,,,,P A B C D 中找出两个点,使得这两点所在的直线与直线BC 垂直,并给出证明．．. 解析:（Ⅰ）因为//AB CD ,CD ⊂平面PDC ,AB ⊄平面PDC 所以//AB 平面PDC（Ⅱ）在梯形ABCD 中,过点C 作CF AB ⊥于F ,取CD 中点E ,连接PE , 因为PC PB = 所以在PCB 中,PE BC ⊥,因为面PBC ⊥面ABCD ,面PBC 面=ABCD BC 所以PE ⊥面ABCD因为//CD AB ，AD CD ⊥,CF AB ⊥,5,4,3AB AD DC === 所以4,2CF BF ==在CFB 中,2225BC CF BF =+=222PE PE CE =-=因为()162ABCD AB DC S +==梯形所以13233P ABCD ABCD V S PE -==梯形取BC 的中点E ,连接PEEBFCAB 1C 1A 1因为PB PC =,所以PB BC ⊥,则2352PE =-= 因为平面PBC ⊥平面ABCD ,平面PBC 平面ABCD BC =,PB BC ⊥所以PB ⊥平面ABCD则四棱锥P ABCD -的体积为:1(35)4322323S +⨯=⨯⨯=（Ⅲ）点P 和点A ,连接AC 和AE则22345AC AB =+==,AE 平分BC ,所以AE BC ⊥ 又PE BC ⊥,PE ⊂平面PAE ,AE ⊂平面PAE ,AE PE E =所以BC ⊥平面PAE ,PA ⊂平面PAE ,所以BC PA ⊥ 即证点P 和点A 所在的直线PA 与直线BC 垂直.【东城二模】（18）（本小题14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AC BC ⊥，1AC BC CC ==，E ，F 分别为11A B ，BC 的中点．EDCBAP（Ⅰ）求证：1AC C F ⊥；（Ⅱ）求证：BE ∥平面11AC F ；（Ⅲ）在棱1CC 上是否存在一点G ，使得平面1B EG ⊥平面11AC F ？说明理由．（18）（共14分）解：（Ⅰ）在三棱柱111ABC A B C -中，因为侧棱垂直于底面，所以1CC ⊥平面ABC ．所以1CCAC⊥．因为AC BC ⊥，1CCBC C=，所以AC ⊥平面11BCC B ．因为1C F ⊂平面11BCC B ，所以1AC C F⊥．………5分HEBFCAB 1C 1A 1G EBFC1C 1A 1（Ⅱ）取11A C 中点H ，连结EH ，FH ．则EH∥11B C ，且1112EH B C =，又因为BF ∥11B C ，且1112BF B C =，所以EH ∥BF ，且EH BF =．所以四边形BEHF 为平行四边形．所以BE ∥FH ．又BE ⊄平面11AC F ，FH ⊂平面11AC F ，所以BE∥平面11AC F． ………10分（Ⅲ）在棱1CC 上存在点G ，且G 为1CC 的中点．连接1,EG GB ．在正方形11BB C C 中，因为F 为BC 中点，所以△11B C G≌△1C CF．所以11190C CF B GC∠+∠=︒．所以11B GC F ⊥．由（Ⅰ）可得AC ⊥平面11BB C C ，因为AC //11A C ，所以11A C ⊥平面11BB C C ．因为1B G ⊂平面11BB C C ，所以111ACB G⊥．因为1111ACC F C =，所以1B G ⊥平面11AC F ．因为1B G ⊂平面1B EG ，所以平面1B EG ⊥平面11AC F． (14)分【西城二模】（18．（本小题满分14分）如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，////⊥，G为AB的中AB CD EF，AB AD点．2AB=．====，4CD DA AF FE（Ⅰ）求证：//DF平面BCE；（Ⅱ）求证：平面BCF⊥平面GCE；（Ⅲ）求多面体AFEBCD的体积．18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为//=，CD EF，且CD EF所以四边形CDFE为平行四边形，所以//DF CE．……2分因为DF⊄平面BCE，……3分所以//DF平面BCE．……4分（Ⅱ）连接FG．因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD平面ABEF AB=，AD AB⊥，所以AD⊥平面ABEF，所以BF AD⊥．………………6分因为G为AB的中点，所以//=，EF BG，且EF BG=；//AG CD，且AG CD所以四边形AGCD和四边形BEFG均为平行四边形．所以//AD CG，所以⊥．………………7分BF CG因为EF EB=，所以四边形BEFG为菱形，所以BF EG⊥．………………8分所以BF⊥平面GCE．………………9分所以平面BCF⊥平面GCE．………………10分（Ⅲ）设BF GE O=．由（Ⅰ）得//DF平面GCE，DF CE，所以//由（Ⅱ）得//AD平面GCE，AD CG，所以//所以平面//AD F平面GCE，所以几何体AD F GCE-是三棱柱．………………11分由（Ⅱ）得BF ⊥平面GCE ．所以多面体AFEBCD的体积ADF GCE B GCEV V V --=+………………12分13GCE GCE S FO S BO∆∆=⋅+⋅4833GCE S FO ∆=⋅=．………………14分【海淀二模】（17）（本小题14分）如图，已知菱形AECD的对角线,AC DE交于点F，点E为的AB中点.将三角形ADE沿线段DE折起到PDE的位置，如图2所示.（Ⅰ）求证：DE⊥平面PCF；；（Ⅱ）证明：平面PBC⊥平面PCF；CFM平面PEN？若（Ⅲ）在线段,M N，使得平面//PD BC上是否分别存在点,存在，请指出点,M N的位置，并证明；若不存在，请说明理由.17．（本小题14分）（Ⅰ）证明：折叠前，因为四边形AECD为菱形，所以AC DE⊥；所以折叠后，,⊥⊥, DE PF DE CF又,,=⊂平面PCF，PF CF F PF CF所以DE⊥平面PCF…………………4分（Ⅱ）因为四边形AECD为菱形，所以//,DC AE DC AE=.又点E为AB的中点，所以//,DC EB DC EB=.所以四边形DEBC为平行四边形.所以//CB DE. 又由（Ⅰ）得，DE⊥平面PCF,所以CB⊥平面PCF. 因为CB⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面. …PCF………………9分（Ⅲ）存在满足条件的点,M N ,且,M N 分别是PD 和BC的中点.如图，分别取PD 和BC 的中点,M N . 连接,,,EN PN MF CM .因为四边形DEBC 为平行四边形，所以1//,2EF CN EF BC CN ==. 所以四边形ENCF 为平行四边形. 所以//FC EN .在PDE ∆中，,M F 分别为,PD DE 中点，所以//MF PE .又,EN PE ⊂平面,PEN PE EN E=,,MF CF ⊂平面CFM ,所以平面//CFM 平面PEN. …………………14分【昌平二模】 18.（本小题14分）如图，四边形ABCD 是正方形，平面ABCD ⊥平面ABEF，//,AF BE ,2,1AB BE AB BE AF ⊥===．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDE ；（Ⅱ）求证： //AC 平面DEF ；（III ）求三棱锥D -FEB 的体积. 18.（共14分）证明：（I ）因为正方形ABCD ,所以AC BD ⊥. 又因为平面ABEF ⊥平面ABCD , 平面ABEF 平面ABCD=AB ,,AB BE ⊥BE ⊂平面ABEF ,所以BE ⊥平面ABCD. 又因为AC ⊂平面ABCD. 故BE ⊥AC. 又因为BE BD B=，所以AC ⊥平面BDE.--------------------5分（II ）取DE 的中点G ，连结OG ,FG ，因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为BD 的中点．则OG //BE ，且12OG BE =．FEBOADCGFEBOADC由已知AF //BE ，且12AF BE=，则//AF OG 且AF OG =，所以四边形AOGF 为平行四边形，所以AO //FG ，即AC //FG ．因为AC ⊄平面DEF ，FG ⊂平面DEF ，所以AC //平面DEF ． --------------------10分（III ）因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形，平面ABEF 平面ABCD=AB ,所以//,AD BC AD AB ⊥.由（I ）知，BE ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD 所以BE AD ⊥ 所以AD ⊥平面BEF .所以11143323D BEF BEF V S AD BE AB AD -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=.--------------------14分【顺义二模】18. （本小题满分13分）如图,直三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为1,1,2AB AC BC ===,D 是BC 的中点.. （Ⅰ）求证:AD ⊥平面11B BCC ;（Ⅱ）求证:1//A B 平面1ADC ;（Ⅲ）求三棱锥11B ADC -的体积.【房山二模】（18）（本小题14分）如图1，正六边形ABCDEF 的边长为2，O 为中心，G 为AB 的中点.现将四边形DEFC 沿CF 折起到四边形11D E FC 的位置，使得平面ABCF ⊥平面11D E FC ，如图2.（Ⅰ）证明：1D F ⊥平面1E OG ；（Ⅱ）求几何体1E -OFAG 的体积；（Ⅲ）在直线AB 上是否存在点H ，使得1//D H 平面1E OG？如果存在，求出AH 的长；如果不存在，请说明理由.（18）（Ⅰ）证明:图（1）中OG CF ⊥∴图（2）中，OG CF ⊥又面11CD E F ABCF ⊥面，11CD E FABCF=CF面面11OG CD E F ∴⊥面111D F CD E F ⊂面1OG D F∴⊥O又为CF 的中点11OF//D E =∴，又111E D EF =∴四边形11E D OF 为菱形ADEF.O图1 图21EC1DA FOG11D F OE ∴⊥1OG OE =O11D F E OG∴⊥面…………5分（Ⅱ）图二中，过1E 作1E M FO ⊥，垂足为M111111OG CD E F E M CD E F E M OG⊥⊂∴⊥面，面OG FO O=11E M AGOF E M∴⊥∴面为1E -OFAG的高，12sin603E M=︒133322OFAG S =(1+2)=四1332V Sh ∴==…………10分（Ⅲ）过C 作,CH AB ⊥交AB 的延长线于点H//CH OG ∴= 又111//,OE CD CDCH C=11D CH//E OG∴面面1111D H D CH D H//E OG⊂∴面面四边形OGHC为矩形23GH=CO=AH=∴∴ …………14分1EBC1DAFOGMH。

2018年高三最新朝阳二模(文) 精品

北京朝阳区高三第二次统一考试数学（文史类）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共40分）参考公式：三角函数的和差化积公式正棱台、圆台的侧面积公式2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+l c c S )(21+'=台侧 2sin2cos 2sin sin βαβαβα-+=-其中c ′、c 分别表示上、下底面周长，l 表示2cos2cos2cos cos βαβαβα-+=+ 斜高或母线长.台体的体积公式2sin2sin2cos cos βαβαβα-+-=-h S S S S V )(31+'+'=台体其中S ′、S 分别表示上、下底面面积，h 表示高. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={（x ，y ）|y=|x |}，B={（x ，y ）|y=±x }（x ，y ∈R ），则A 与B 的关系（） A ．A B ⊂ B ．A B ⊃ C ．A=B D ．A B ⊆ 2．在等比数列{}31551,30,34,a a a a a a n 则若中=-=+等于（）A ．－8B ．8C ．±8D ．163．抛物线)0(242>=a ax y 上有一点M ，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为（）A ．x y 82=B ．x y 122=C ．x y 162=D ．x y 202=4．设βα,是不重合的两个平面，m 、n 是不重合的两条直线，能使βα//成立的成件是（） A ．αββα//,//,,n m n m 且⊂⊂ B ．n m n m //,,且βα⊂⊂C ．n m m n //,,且βα⊥⊥D ．n m m n //,//,//且βα 5．12cos12sinππ+的值为（）A ．33B ．43 C ．26 D ．366．已知椭圆12095:22=+y x C ，则它的离心率与准线方程是（）A ．3,35±==x e B ．5,53±==x eC ．5,515±==x e D ．3,43±==x e 7．若过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球的半径的一半，并且AB=BC=CA=3，则球面面积是（） A ．332πB ．48πC ．4πD ．16π8．设z 为复数，则|z |=1是zz 1+为实数的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．空间有10个点，其中有5个点共面（除此之外再无4点共面），以每4个点为顶点作一个四面体，一共可作个四面体（用数字作答）. 10．不等式13+≤+x x 的解集是 .11．已知圆01422:22=---+y x y x C ，它的圆心与半径分别是，圆心到直线01122=-+y x 的距离是 . 12．)20(sec 4csc )(22παααα<<+=f ，当αtg = 时，)(αf 的最小值为.13．一个圆台的母线长为5cm ，两底面圆的半径之比为1:4，侧面展开图扇环的圆心角为56π，则此圆台的侧面积为，体积为 .14．已知函数)(x f 是定义域为R 的偶函数，且它的图象关于直线x =2对称，则函数)(x f 的周期为，若2)63(-=f ，则)1(f = .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（本小题满分13分）已知函数).20(cos sin )(22π≤≤++=x a x x x f（1）求函数)(x f 的最大值；（2）当)(x f 的最大值等于23时，求a 的值. 解：（1）22cos cos 1)(a x x x f ++-=…………2分 .45)21(cos 22++--=a x ………………6分 .1cos 0,20≤≤∴≤≤x x π………………………………8分21cos =∴x 当时，函数)(x f 取最大值.452+a ………………10分（2）.21,41,234522±=∴==+a a a答：a 的值是.21±……………………13分16．（本小题满分13分）已知函数)2lg(2)(),1lg()(t x x g x x f +=+=（t 为参数）. （1）写出函数)(x f 的定义域和值域；（2）当]1,0[∈x 时，求函数)(x g 解析式中参数t 的取值范围；（3）当]1,0[∈x 时，如果)()(x g x f ≤，求参数t 的取值范围. 解：（1）函数)(x f 的定义域为),1(+∞-，值域为R.………………4分（2）]1,0[,02∈>+x t x .0>∴t ……………………7分（3）当⇔⎩⎨⎧+≤+>+⇔≤≤≤tx x t x x g x f x 2102)()(,10时 .)21()10(21max x x t x x x t -+≥⇔≤≤-+≥………………9分设,1,21,1,212-=≤≤+=-+=m x m x m x x U 则…………11分.281)41(222)1(2222++--=++-=--=∴m m m m m U当.1,)0(1max ===U x m 时 .1≥∴t ……………………13分17．（本小题满分14分）已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是正三角形，且A 1A 与底面相邻两边AB ，AC 所成的角都是45°.（1）求证：A 1A ⊥BC ；（2）求A 1A 与底面ABC 所成角的余弦值；（3）求平面A 1AB 与底面ABC 所成的二面角的正切值.（1）证明：过点A 1作A 1O ⊥平面ABC 于O ，过O 作OE ⊥AB 于E ，作OF ⊥AC 于F ，连结AO 并延长交BC 于D ，连结A 1E ，A 1F ，则有A 1E ⊥AB ，A 1F ⊥AC.……2分在Rt △A 1EA 和Rt △A 1FA 中，AF A AE A 11∠=∠，又A 1A 为公共边，EA A Rt 1∆∴≌.1FA A Rt ∆.AF AE =∴ 在Rt △AEO 和Rt △AFO 中，AE=AF ，AO 为公共边， AEO Rt ∆∴≌.AFO Rt ∆ .OAF OAE ∠=∠∴即AD 为BAC ∠的平分线.…………4分 ABC ∆ 为正三角形，.BC AD ⊥∴ ⊥O A 1 平面ABC ， ⊂BC 平面ABC ，A A BC 1⊥∴…………6分（2）解：由（1）知AO 为A 1A 在平面ABC 上的射影，AO A 1∠∴为A 1A 与平面ABC 所成的角.………………8分设︒=∠∆=45,,111AB A EA A Rt x A A 中在， 2x AE =∴.在.36,306021,x AO OAE AEO Rt =∴︒=︒⋅=∠∆中 .36cos ,111==∠∆A A AO AO A AO A Rt 中在A A 1∴与平面ABC 所成的角的余弦值为.36………………10分（3）解：由（1）可知EO A 1∠即为平面A 1AB 与底面ABC 所成二面角的平面角…11分由平面几何知识可求得21=∠EO A tg .∴平面A 1AB 与底面ABC 所成的二面角的正切值为2.………………14分 18．（本小题满分13分）设函数)(x f 的定义域为R +，当,0)(,1<>x f x 时且对于任意x ，+∈R y ，都有)()()(y f x f xy f +=成立；数列{}.1),)(21()(11=∈+-=+a N n a f a f a n n n 且满足（1）求)1(f 的值；（2）求证：当+∈R x 时，函数)(x f 是减函数；（3）求数列{}n a 的通项公式.n a18．解：（1）令.0)1().1()1()1(,1=∴+===f f f f y x 则………………3分（2）令).1()(.0)1()1()()1(,1xf x f f xf x f x x f x y -=∴==+=⋅=则……………5分设).()1()()()(,012121212x x f x f x f x f x f x x =+=->>则 ,112>x x由题设知：.0)()(.0)(1212<-∴<x f x f x xf+∴R x f 在)(上是减函数.……………………8分（3）由).2()(),21()(11+=+-=++n n n n a f a f a f a f 得…………10分 ).(2,211N n a a a a n n n n ∈=-+=∴++即∴数列}{n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，则12-=n a n .………13分 19．（本小题满分14分）某地区去年各季度某种农产品的价格如下表：今年某农贸公司计划按去年各季度每担售价的算术平均数m 元收购该农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点），计划可收购a 万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定征税率降低)0(≠x x 个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点. （1）根据题中条件写出m 的值；（2）写出税收y （万元）与x 的函数关系式；（3）要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围. 19．解：（1）m=200（元）………………4分（2）降低税率后的税率为)%10(x -，农产品的收购量为%)21(x a +万担，收购总金额 %)21(200x a +，……………………6分依题意：).100)(10)(2100(501)%10%)(21(200<<-+=-+=x x x a x x a y ……10分（3）原计划税收为).(20%10200万元a a =⋅ 依题意得：%,2.8320)10)(2100(501⨯≥-+a x x a ………………12分化简得，,100.242,084402<<≤≤-∴≤-+x x x x 又.20≤<∴x答：x 的取值范围是.20≤<x ……………………14分 20．（本小题满分13分）如图，已知两定点A （－c ，0），B （2c ，0）（c>0）.（1）在△AMB 中，求使∠MBA=2∠MAB 的顶点M 的轨迹方程，并画出方程的曲线；（2）自古代开始，数学家就想只用圆规和直尺三等分任意角，但一直没有成功.直到十九世纪，其不可能性才被Galois 的方程论证明.但是若利用所求方程的曲线、圆规和直尺，则我们可以三等分任意角。

2018年朝阳区二模-数学试卷及答案

2018年朝阳区二模-数学本试卷包括三道大题，共24小题，共6页，全卷满分120分.考试时间为120分钟. 注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内.2.答题前，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效.一、选择题（每小题3分，共24分）1.在0，-2，1这四个数中，最小的数是（A ）0.（B ）-2（C ）（D ）1.2.据国家统计局统计，我国2017年全年的棉花总产量约为5490000吨.将5490000这个数用科学计数法表示为（A ）65.4910⨯.（B ）654.910⨯.（C ）75.4910⨯.（D ）70.54910⨯.3.用6个完全相同的小正方体组成如图所示的立体图形，它的俯视图是（第3题）（A ）（B ）（C ）（D ）4.6a 可以表示为（A ）6a.（B ）23a a ⋅.（C ）32()a .（D ）122a a ÷.5.小明拿40元钱购买雪糕和矿泉水，已知每瓶矿泉水2元，每支雪糕1.5元，他买了5瓶矿泉水，x 支雪糕，则所列关于x 的不等式正确的是（A ）2 1.5540x +⨯<. （B ）2 1.5540x +⨯≤. （C ）25 1.540x ⨯+≥.（D ）25 1.540x ⨯+≤.6.等腰直角三角尺与直尺按如图位置摆放，且三角尺在直角顶点在直尺的一边上. 若 ∠1=35°，则∠2的度数是（A ）95° （B ）100° （C ）105° （D ）110°（第6题）（第7题）7.如图，直线l 是O 的切线，点A 为切点，B 为直线l 上一点，连接OB 交O 于点C ，D 是优弧AC 上一点，连接AD 、CD.若∠ABO=40°.则∠D 的大小是（A ）50°（B ）40°（C ）35°（D ）25°8.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边OA 在x 轴的正半轴上，OC 在y 轴的正半轴上，一次函数(0)y kx b k =+≠的图象经过点A ，且与边BC 有交点.若正方形的边长为2，则k 的值不可能是（A ）-2. （B ）32-. （C ）-1.（D ）12-. 二、填空题（每小题3分，共18分） 9.函数20181y x =-的自变量x 的取值范围是_________. 10.一元二次方程2310x x -+=根的判别式的值为_________.11.如图，AD//BE//CF ，直线1l 、2l 与这三条平行线分别交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F.若AB=4.5，BC=3，EF=2，则DE 的长度是_________.（第11题）（第12题）12.如图，在△ABC 中，∠B=70°.将△ABC 绕着点A 顺时针旋转一定角度得到''AB C ∆，使点B 的对应点'B 恰好落在边BC 上.若''AC B C ⊥，则'C ∠的大小是_______度.13.如图，正方形ABCD 内接于O ，Rt △OEF 的直角顶点与圆心O 重合.若AB ，则图中阴影部分图形的面积和为______（结果保留π）.（第13题）（第14题）14.如图，在平面直角坐标系中，等腰三角形ABC 的顶点A 在y 轴上，底边AB//x 轴，顶点B 、C 在函数(0)ky x x=>的图象上.若AC =，点A 的纵坐标为1，则k 的值为________. 三、解答题（本大题10小题，共78分）15.（6分）先化简，再求值2(1)2(1)(21)(21)a a a a a ---++-，其中a =16.（6分）在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字为1，2，7，这些卡片除数字不同外其余均相同.洗匀后，小强从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片.用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率.17.（6分）某同学准备购买笔和本子送给农村希望小学的同学，在市场上了解到某种本子的单价比某种笔的单价少4元，且用30元买这种本子的数量与用50元买这种笔的数量相同，求这种笔的单价.18.（7分）为了打通抚松到万良的最近公路，在一座小山的底部打通隧道.甲、乙两施工队按如图所示进行施工，甲施工队沿AC 方向开山修路，乙施工队在这座小山的另一边E 处沿射线CA 方向同时施工.从AC 上的一点B ，取∠ABD=155°，经测得BD=1200m ，∠D=65°，求开挖点E 与点B 之间的距离（结果精确到1m ）.【参考数据：sin 650.906︒=，cos 650.423︒=，tan 65 2.145︒=.】（第18题）19.（7分）为了传承中华优秀传统文化，某校组织八年级学生参加了“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分.为了更好地了解大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中若干名学生的成绩（成绩x 取整数，总分100分）作为样本进行整理，绘制如下不完整的条形统计图.汉字听写大赛成绩分数段统计表汉字听写大赛成绩分数段条形统计图（1）补全条形统计图.（2）这次抽取的学生成绩的中位数在________的分数段中；这次抽取的学生成绩在6070x ≤<的分数段的人数占抽取人数的百分比是_______.（3）若该校八年级一共有学生350名，成绩在90分以上（含90分）为“优”，则八年级参加这次比赛的学生中成绩“优”等的约有多少人？20.（7分）如图，在ABCD中，以点A为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别交边AD、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，以大于12MN长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线AP交边CD于点E，过点E作EF//BC交AB于点F.求证：四边形ADEF是菱形.（第20题）21.（8分）某社区准备进行“为了地球，远离白色污染”的宣传活动，需要制定宣传单，选择社区附近的甲、乙两家印刷社印刷，他们各自制作这种宣传单的费用y（元）与宣传单数量x（张）之间的函数图象如图所示，结合图象解答下列问题：（1）求甲印刷社制作这种宣传单每张的钱数.（2）当x>500时，求乙印刷社所需的费用y与x之间的函数关系式.（3）如果该社区在制作这种宣传单时，第一次印刷了800张宣传单，第二次印刷了1200张宣传单，直接写出该社区两次印刷这种宣传单共花费的最少钱数.（第21题）22.（9分）【感知】如图①，△ABC是等边三角形，CM是外角∠ACD的平分线，E是边BC中点，在CM 上截取CF=BE ，连接AE 、EF 、AF.易证：△AEF 是等边三角形（不需要证明）. 【探究】如图②，△ABC 是等边三角形，CM 是外角∠ACD 的平分线，E 是边BC 上一点（不与点B 、C 重合），在CM 上截取CF=BE ，连接AE 、EF 、AF.求证：△AEF 是等边三角形. 【应用】将图②中的“E 是边BC 上一点”改为“E 是边BC 延长线上一点”，其他条件不变.当四边形ACEF 是轴对称图形，且AB=2时，请借助备用图，直接写出四边形ACEF 的周长.图①图②备用图（第22题）23.（10分）如图，BD 是□ABCD 的对角线，AB ⊥BD ，BD=8cm ，AD=10cm ，动点P 从点D 出发，以5cm/s 的速度沿DA 运动到终点A ，同时动点Q 从点B 出发，沿折线BD —DC 运动到终点C ，在BD 、DC 上分别以8cm/s 、6cm/s 的速度运动.过点Q 作QM ⊥AB ，交射线AB 于点M ，连接PQ ，以PQ 与QM 为边作□PQMN.设点P 的运动时间为t(s)（t>0），□PQMN 与□ABCD 重叠部分图形的面积为2()S cm .（1）AP=_______cm （同含t 的代数式表示）. （2）当点N 落在边AB 上时，求t 的值. （3）求S 与t 之间的函数关系式.（4）连结NQ ，当NQ 与△ABD 的一边平行时，直接写出t 的值.24.（12分）定义：在平面直角坐标系中，过抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与y 轴的交点作y 轴的垂线，则称这条垂线是该抛物线的伴随直线.例如：抛物线21y x =+的伴随直线为直线1y =.抛物线212y x mx n =-++的伴随直线l 与该抛物线交于点A 、D （点A 在y 轴上），该抛物线与x 轴的交点为B(-1,0)和C （点C 在点B 的右侧）. （1）若直线l 是y=2，求该抛物线对应的函数关系式. （2）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）. （3）设抛物线212y x mx n =-++的顶点为M ，作OA 的垂直平分线EF ，交OA 于点E ，交该抛物线的对称轴于点F.①当△ADF 是等腰直角三角形时，求点M 的坐标.②将直线EF 沿直线l 翻折得到直线GH ，当点M 到直线GH 的距离等于点C 到直线EF 的距离时，直接写出m 的值.2018年九年级二模测试题·数学答案一、选择题（每小题3分，共24分）1．B 2．A 3．D 4．C 5．D 6．B 7．D 8．D 二、填空题（每小题3分，共18分）9．1x ≠ 10．5 11．3 12．50 13．1142π- 14．4 评分说明：第12题带单位可给分；第13题写成4π-2可得分．三、解答题（本大题10小题，共78分） 15．原式222212241a a a a a =-+-++-（3分） 23a =．（4分）当a =2315=⨯=．（6分）16．画出如下树状图：（4分）所以P （两次抽取的卡片上数字之和为偶数）59=．（6分）根据题意，列表如下：第一次 1 2 7第二次 1 2 7 1 2 7 1 2 7和 2 3 8 3 4 9 8 9 14（4分）所以P （两次抽取的卡片上数字之和为偶数）59=．（6分）评分说明：列树状图不写出结果不扣分．17．设这种笔单价为x 元．（1分）由题意，得30504x x =-．（4分）解得10x =．（5分）经检验10x =是原方程的解，且符合题意．（6分）答：这种笔的单价是10元． 18．∵∠ABD =155°，∠D =65°，∴∠AED =155°-65°=90°．（2分）在Rt △BDE 中，∠BED =90°，sin65BEBD︒=．（5分）∴BE =BD ·sin65°=1 200×0.906=1087.2≈1 087m ．（7分）答：开挖点E 离点B 的距离约为1 087m ．评分说明：（1）计算过程和结果中写成“=”或“≈”均不扣分．（2）计算过程加单位不扣分，结果不写单位不扣分．19．（1）如图．（2分）（2）8090x <≤（4分） 12%（5分）人数/人（第19题）（3）1535010550⨯=．（7分）答：该年级参加这次比赛的学生中成绩“优”等的约有105人． 20．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ，AB CD ．（1分） ∴DE AF ，∠AED =∠BAE ．（2分）∵EF BC ，∴ADEF ．（3分） ∴四边形ADEF 是平行四边形．（4分）∵AE 平分∠BAD ，∴∠DAE =∠BAE ． ∴∠AED =∠DAE ． ∴AD AE =．（6分） ∴□ADEF 是菱形．（7分）21．（1）755000.15÷=（元）．（2分）答：甲印刷社制作此种宣传单每张0.15元．（2）当500x >时，设乙印刷社所需的费用y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+．∵1500.151000÷=，∴直线y kx b =+经过点(1000,150)．（3分）由题意，得500100,1000150.k b k b +=⎧⎨+=⎩解得0.1,50.k b =⎧⎨=⎩∴0.150y x =+．（6分）（3）该社区印制两次这种宣传单共花费最少为290元．（8分）22．【探究】∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ，∠B =∠ACB =60°．（1分） ∴∠ACD =120°．∵CM 是外角∠ACD 的平分线， ∴1602ACF ACD ∠=∠=︒．∴∠B =∠ACF =60°．（2分）∵C F =BE ，∴△ABE ≌△ACF ．（4分） ∴AE =AF ，∠BAE =∠CAF ．（5分）∵∠BAC =60°，∴∠BAE +∠EAC =∠CAF +∠EAC ． ∴∠EAF =60°．（6分） ∴△AEF 是等边三角形．（7分）【应用】4（9分） 23．（1）（10-5t ）（1分）（2）如图①，4(105)85t t -=，∴23t =．（3分）（3）如图②，过点P 作PE ⊥BD 于点E ，则PE =3t ．当203t <≤时，23824S t t t =⋅=．如图③，过点P 作PE ⊥BD 于点E ，则PE =3t ，设PN 交AB 于点F ，则4(105)845PF t t =-=-．当112t <≤时，213(848)6122S t t t t t =⨯-+=+．如图④，当12t <≤时，24213272S t t =-+-．（7分）E N QPD CB （M ）AF A B （M ）CD PQNE图② 图③ 图④NQP DCBAMFG N QPD CB （M ）A 图①（4）25t =， 12t =，2t =．（10分）24．（1）由题意，得A 的坐标为(0,2)．∵抛物线经过点(10)B -，， ∴22,1(1)(1)0.2n m n =⎧⎪⎨-⨯-+⨯-+=⎪⎩ （2分）解得3,22.m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴该抛物线的对应的函数关系式为213222y x x =-++．（3分）（2）∵抛物线经过点(1,0)B -，∴21(1)(1)02m n -⨯-+⨯-+=． ∴12n m =+．将该抛物线配方，得22111()222y x m m m =--+++ ∴对称轴是直线x m =．∴点D 的坐标为1(2,)2m m +．（5分）（3）当0m >，且∠AFD =90°时，则△ADF 是等腰直角三角形．∴AD =2AE ． ∴122m m =+． ∴12m =．（6分） ∴当12m =时，211119()22228y =⨯++=．∴点M 的坐标为19(,)28．（7分）当102m -<<，∠AFD =90°时，则△ADF 是等腰直角三角形．∴AD =2AE ． ∴122m m -=+．∴16m =-．（8分）∴当16m =-时，2111125()()266272y =⨯-+-+=． ∴点M 的坐标为125(,)672-．（9分）当112m -<-≤时，EF>AE ．此时△ADF 不是等腰直角三角形．综上所述，点M 的坐标为19(,)28或125(,)672-．（4）0m =，1m =1m = （12分）。

2018届北京市朝阳区高三二模理数试题Word版含解析

2018届北京市朝阳区高三二模理数试题（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．+对应的点位于1．已知i为虚数单位，则复数z=i(12i)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】试题分析：因为，所以对应的点的坐标是，故选B．考点：1．复数的运算；2．复数在复平面内所对应的点．2．执行如图所示的程序框图，则输出的S值是A．23 B．31 C．32 D．63【答案】B【解析】第一次循环: ; 第二次循环:第三次循环:第四次循环:第五次循环:第六次循环:结束循环,输出选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 3．“0,0x y >>”是“2y xx y+≥”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】当时，由均值不等式成立。

但时，只需要,不能推出。

所以是充分而不必要条件。

选A.4．已知函数π()sin()(0)6f x x ＞=+ωω的最小正周期为4π，则A ．函数()f x 的图象关于原点对称B ．函数()f x 的图象关于直线π3x =对称 C ．函数()f x 图象上的所有点向右平移π3个单位长度后，所得的图象关于原点对称D ．函数()f x 在区间(0,π)上单调递增【答案】C 【解析】,所以不是奇函数, 图象不关于原点对称;时不是最值, 图象不关于直线对称; 所有点向右平移个单位长度后得为奇函数, 图象关于原点对称;因为,所以函数在区间上有增有减,综上选C.5．现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人，每人一张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有不同分法的种数为A ．12B ． 24C ．36D ． 48 【答案】D【解析】甲、乙分得的电影票连号有种情况,其余三人有分法,所以共有，选D.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为A. B. C. D.【答案】C【解析】三视图还原图形三棱锥，如下图：,所以最长边为，选C.7．已知函数log ,0,()3,40a x x f x x x >⎧⎪=⎨+-≤<⎪⎩(0a >且1)a ≠．若函数()f x 的图象上有且只有两个点关于y 轴对称，则a 的取值范围是A ．(0,1)B ．(1,4)C ．(0,1)(1,)+∞UD ．(0,1)(1,4)U 【答案】D 【解析】由题意得与有且仅有一个交点，当时，有且仅有一个交点；当时，需满足，因此的取值范围是，选D.点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路. 8．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”．某中学为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场传统文化知识的竞赛．现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐．规定：每场知识竞赛前三名的得分都分别为,,(,a b c a b c >>且,,)N a b c *∈；选手最后得分为各场得分之和．在六场比赛后，已知甲最后得分为26分，乙和丙最后得分都为11分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，则下列说法正确的是A ．每场比赛第一名得分a 为4B ．甲可能有一场比赛获得第二名C ．乙有四场比赛获得第三名D ．丙可能有一场比赛获得第一名【答案】C【解析】若每场比赛第一名得分为4，则甲最后得分最高为，不合题意；三人总分为，每场总分数为分，所以，因此甲比赛名次为5个第一，一个第三；而乙比赛名次有1个第一，所以丙没有一场比赛获得第一名，因此选C.即乙比赛名次为1个第一，4个第三，1个第二. 第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．双曲线22136x y -=的渐近线方程是，离心率是．【答案】 (1). (2).【解析】渐近线方程是 ,离心率为10．若平面向量(cos ,sin )a =θθ，(1,1)-b =，且a b ⊥，则sin 2θ的值是．【答案】【解析】由题意得11．等比数列{a n }的前n 项和为n S ．已知142,2a a ==-，则{a n }的通项公式n a = ， 9S = ．【答案】 (1).(2). 2【解析】12．在极坐标系中，圆2cos ρθ=被直线1cos 2ρθ=所截得的弦长为．【答案】【解析】由题意得圆，直线，所以交点为，弦长为13．已知,x y 满足,4,2.y x x y x y k ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩若2z x y =+有最大值8，则实数k 的值为．【答案】【解析】由图知直线过A 点时取最大值8，由得，所以点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.14．已知两个集合,A B ，满足B A ⊆．若对任意的x A Î，存在,i j a a B Î()i j ≠，使得 12i j x a a λλ=+（12,{1,0,1}λλ?），则称B 为A 的一个基集．若 {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A =，则其基集B 元素个数的最小值是．【答案】4三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在△ABC 中, 角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且b c =，2sin B A ．（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）若2a =，求△ABC 的面积．【答案】（1）（2）16．（本小题满分13分）从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该市中学生中的全体男生的平均身高；（Ⅲ）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在180 cm 以上的概率．若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取3人，用X表示身高在180 cm以上的男生人数，求随机变量X的分布列和数学期望EX．【答案】（1）（2）（3）【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间概率及所有小长方形面积之和为1得,解得．（2）根据平均数等于组中值与对应概率乘积的和得平均值,(3)先确定随机变量的取法:．再利用组合数求对应概率,列表可得分布列.最后根据数学期望公式求期望.试题解析：解：（Ⅰ）根据题意得：．解得．（Ⅱ）设样本中男生身高的平均值为，则．所以估计该市中学全体男生的平均身高为．（Ⅲ）从全市中学的男生中任意抽取一人，其身高在以上的概率约为．由已知得，随机变量的可能取值为．所以；；；．随机变量的分布列为因为~，所以．点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.17．（本小题满分14分）如图1，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，4,2AC BC ==，D E ,分别为边,AC AB 的中点，点,F G 分别为线段,CD BE 的中点．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使160A DC ∠=︒．点Q 为线段1A B 上的一点，如图2．（Ⅰ）求证：1A F BE ⊥；（Ⅱ）线段1A B 上是否存在点Q ，使得FQ 平面1A DE ？若存在，求出1AQ 的长，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）当1134A Q AB =时，求直线GQ 与平面1A DE 所成角的大小．【答案】（1）见解析（2）在线段上存在中点，使平面．且（3）图1图2BA 1FCED QG ABCDEFG【解析】试题分析：（1）先根据等腰三角形性质得．再由折叠中不变的垂直关系得，根据线面垂直判定定理得平面，即得．最后再根据线面垂直判定定理得平面，即得．（2）利用空间向量研究线面平行关系，即通过平面法向量与直线方向向量垂直进行研究，先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出平面法向量，利用向量数量积求直线方向向量与法向量夹角，最后根据平面法向量与直线方向向量数量积为零列式求解参数.（3）利用空间向量求线面角，仍是先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出平面法向量，利用向量数量积求直线方向向量与法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角之间互余关系列式求线面角大小.试题解析：解：（Ⅰ）因为，所以△为等边三角形．又因为点为线段的中点，所以．由题可知，所以平面．因为平面，所以．又，所以平面．所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，．设平面的一个法向量为，,，所以即令，所以，所以假设在线段上存在点，使平面．设，.又，所以．所以.则. 所以.解得，.则在线段上存在中点，使平面．且（Ⅲ）因为，又，所以．所以．又因为，所以．因为设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角为.18．（本小题满分13分）已知椭圆W：22221x ya b+=(0)a b>>的上下顶点分别为,A B，且点B(0,1)-．12,F F分别为椭圆W的左、右焦点，且12120F BF∠=．（Ⅰ）求椭圆W的标准方程；（Ⅱ）点M是椭圆上异于A，B的任意一点，过点M作MN y⊥轴于N，E为线段MN 的中点．直线AE与直线1y=-交于点C，G为线段BC的中点，O为坐标原点．求OEG∠的大小．【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）由顶点坐标得再在中利用椭圆几何条件得．（2）利用向量数量积研究的大小．先设，则得．求出直线与直线交点，得．再根据向量数量积得，根据代入化简得，即得．试题解析：解：(Ⅰ)依题意，得．又，在中，，所以．所以椭圆的标准方程为．(Ⅱ)设，，则，．因为点在椭圆上，所以．即．又，所以直线的方程为．令，得．又，为线段的中点，所以．所以，．因为，所以．．19．（本小题满分14分）已知函数2()e xf x x x =+-，2(),g x x ax b =++,a b ÎR ．（Ⅰ）当1a =时，求函数()()()F x f x g x =-的单调区间；（Ⅱ）若曲线()y f x =在点(0,1)处的切线l 与曲线()y g x =切于点(1,)c ，求,,a b c 的值；（Ⅲ）若()()f x g x ≥恒成立，求a b +的最大值．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）先明确函数定义域，再求函数导数，根据导函数符号确定单调区间，（2）由导数几何意义得切线斜率为，则得，.即得（3）不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题：先利用导数研究函数最值：当时，在上单调递增. 仅当时满足条件，此时；当时，先减后增，，再变量分离转化为，最后利用导数研究函数最值，可得的最大值．试题解析：解：（Ⅰ），则. 令得，所以在上单调递增. 令得，所以在上单调递减.（Ⅱ）因为，所以，所以的方程为.依题意，，.于是与抛物线切于点，由得.所以（Ⅲ）设,则恒成立.易得（1）当时，因为，所以此时在上单调递增.①若，则当时满足条件，此时；②若，取且此时，所以不恒成立．不满足条件；（2）当时，令，得由，得；由，得所以在上单调递减，在上单调递增.要使得“恒成立”，必须有“当时，”成立.所以.则令则令，得由，得；由，得所以在上单调递增，在上单调递减,所以，当时，从而，当时，的最大值为.综上，的最大值为.20．（本小题满分13分）各项均为非负整数的数列}{n a 同时满足下列条件： ①m a =1 ()N m ∈*；②1n a n ≤- (2)n ≥；③n 是12n a a a +++的因数（1n ≥）．（Ⅰ）当5=m 时，写出数列}{n a 的前五项；（Ⅱ）若数列}{n a 的前三项互不相等，且3≥n 时，n a 为常数，求m 的值；（Ⅲ）求证：对任意正整数m ，存在正整数M ，使得n M ≥时，n a 为常数．。

2018北京各城区高三二模数学(文)分类汇编--导数解答题

1 / 11
所以 h(b) h(1) 0 ，即 f (b)
1 f ( ) ，……………… 12 分
b
故 f (x) 最小值为 f ( 1) b
b ln b 1 ．……………… 13 分 b
【海淀二模】
（ 19）（本小题 13 分）
已知函数 f ( x) ( x a )eax , a R x
（Ⅰ）求 f ( x) 的零点；
…………６分
所以 f '( x)
2 2x a .
x
设直线 y x 1与曲线 y f ( x) 的切点为（ x0 , f ( x0 ) ），
3 / 11
2
所以 f '(x0 )
2x0 a
x0
2x02 ax0 2 x0
1 ，即 2 x02 (a 1)x0 2 0 .
又因为 f ( x0 ) 2ln x0 x02 ax0 2 x0 1，
2018 北京各城区高三二模数学（文）分类汇编
【西城二模】 19．（本小题满分 13 分）
已知函数 f ( x) ln x ax ，曲线 y f ( x) 在 x 1 处的切线经过点 (2, 1) ． x
-- 导数解答题
（Ⅰ）求实数 a 的值；
（Ⅱ）设 b
1 ，求
f ( x) 在区间
1 [ , b]
（ 19）（共 13 分）
解： f (x) 的定义域为 (0, ) ．
……… 1 分
（Ⅰ）当 a 3 时， f ( x) 2ln x x2 3x 2 ，
2
所以 f '(x)
2x 3
x
2x2 3x 2
.
x
令 f '(x)
2 x2 3x 2 0 ，得 2x2 3x 2 0 ， x

2018北京各城区高三二模数学(文)分类汇编--解析几何解答题

2018 北京各城区高三二模数学（文）分类汇编
【西城二模】 20．（本小题满分 14 分）
-- 解析几何解答题
已知椭圆
C：
x2 a2
y2 b2 1 (a b 0) 的离心率为
6 ，经过点 (0,1) ． 3
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）设直线 y x 与椭圆 C交于 A， B两点，斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 M ， N 两点，与直线 y x 交于点 P （点 P 与点 A， B ， M ， N 不重合）．
t3
t 3 t2 3
所以 | PA|| PB | 2
2
．……………… 10 分
22
22
2
因为 | PM |
( t x1 )2 ( t y1) 2
2
2
2 t x1 ，同理 | PN | 2
t 2 x2 ．
2
t
t
所以 | PM || PN | 2 2
Байду номын сангаас
x1
2
x2
t 2 t 3t 3t 2 3
2
4 22
4
t2 3 .
2k (x1 x2 ) m( x1 x2) 2 2m
4 km
2k 1
2k 2
m( x1
x2 )
2 2m
2 2m 1 2k 2 m(x1 x2)
22
m( 1
2k 2
x1 x2 )
y1( x2 2) y2 ( x1 2)=( kx1 m)( x2 2) ( kx2 m)( x1 2)
2kx1x2 m(x1 x2) 2k( x2 x1)
………………… 14 分
由
y x2

北京市朝阳区2018届高三上学期期末考试数学(文)试题(解析版)

北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测高三年级数学学科试卷（文史类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合，，则是A. B.C. D.【答案】C【解析】选C2. 已知为虚数单位，设复数满足，则=A. B. C. D.【答案】B【解析】选B3. 某便利店记录了100天某商品的日需求量（单位：件），整理得下表：试估计该商品日平均需求量为A. B. C. D.【答案】D【解析】估计该商品日平均需求量为选D4. “”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由或此时；但当不一定得到，故“”是“”的充分而不必要条件选A5. 下列函数中，是奇函数且在内是减函数的是①②③④A. ①③B. ①④C. ②③D. ③④【答案】A【解析】①是奇函数且在内是减函数②为偶函数；③是奇函数且在内是减函数④是奇函数且在内是增函数故选A6. 某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为A. B. C. D.【答案】B【解析】由三视图可知，该四棱锥的底面积为6 ，高为2 ，故其体积选B7. 阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点间的距离为2，动点与，距离之比为，当不共线时，面积的最大值是A. B. C. D.【答案】A【解析】如图，以经过的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系；则：设，两边平方并整理得：，．面积的最大值是选A8. 如图，为等边三角形，四边形为正方形，平面平面．若点为平面内的一个动点，且满足，则点在正方形及其内部的轨迹为A. 椭圆的一部分B. 双曲线的一部分C. 一段圆弧D. 一条线段【答案】D【解析】在空间中，存在过线段中点且垂直线段的平面，平面上点到两点的距离相等，记此平面为，平面与平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线．故点在正方形及其内部的轨迹为一条线段二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9. 执行如图所示的程序框图，输出的值为___________.【答案】48【解析】第1次运行，成立第2次运行，成立第3次运行，成立第3次运行，不成立，故输出的值为4810. 已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，一条渐近线方程为，则双曲线的方程是________．【答案】【解析】抛物线的焦点坐标为所以双曲线的右焦点坐标为因为双曲线的一条渐近线方程为，所以，所以，所以，所以双曲线方程为．11. 已知菱形的边长为2，，则________．【答案】2【解析】由题意12. 若变量x，y满足约束条件则的最小值为________．【解析】画出可行域如图阴影部分所示，根据题意，的最小值为可行域内的点到原点距离平方的最小值，由图可知即原点到直线的距离的平方，即即答案为813. 高斯说过，他希望能够借助几何直观来了解自然界的基本问题．一位同学受到启发，按以下步骤给出了柯西不等式的“图形证明”：（1）左图矩形中白色区域面积等于右图矩形中白色区域面积；（2）左图阴影区域面积用表示为__________；（3）右图中阴影区域的面积为；（4）则柯西不等式用字母可以表示为．请简单表述由步骤（3）到步骤（4）的推导过程：_______________．【答案】(1). (2). （1）两图中的阴影部分面积相等；（2）.【解析】（2）左图阴影区域面积用表示为两个矩形面积之和；因为两图中的阴影部分面积相等即两边同时平方得14. 如图，一位同学从处观测塔顶及旗杆顶，得仰角分别为和. 后退(单位m)至点处再观测塔顶，仰角变为原来的一半，设塔和旗杆都垂直于地面，且，，三点在同一条水平线上，则塔的高为______m；旗杆的高为______m.（用含有和的式子表示）【答案】(1). (2).【解析】设在中，在中，，，即为等腰三角形，在中，则【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15. 已知函数．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求证：当时，．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，即可求出的最小正周期；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，．根据讨论的值域，可知其最小值为0，即当时，．试题解析：（Ⅰ）因为.所以函数的最小正周期为.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，．当时，，，.当即时，取得最小值．所以当时，.16. 已知由实数构成的等比数列满足，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求．【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）由题可得.由此解得，即可得到数列的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知或，分情况讨论即可得到试题解析：（Ⅰ）由可得.由数列各项为实数，解得，.所以数列的通项公式为或.（Ⅱ）当时，；当时，.17. 2017年，世界乒乓球锦标赛在德国的杜赛尔多夫举行．整个比赛精彩纷呈，参赛选手展现出很高的竞技水平，为观众奉献了多场精彩对决．图1（扇形图）和表1是其中一场关键比赛的部分数据统计．两位选手在此次比赛中击球所使用的各项技术的比例统计如图1．在乒乓球比赛中，接发球技术是指回接对方发球时使用的各种方法．选手乙在比赛中的接发球技术统计如表1，其中的前4项技术统称反手技术，后3项技术统称为正手技术．图1选手乙的接发球技术统计表表1（Ⅰ）观察图1，在两位选手共同使用的8项技术中，差异最为显著的是哪两项技术？（Ⅱ）乒乓球接发球技术中的拉球技术包括正手拉球和反手拉球．从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次，至少抽出一次反手拉球的概率是多少？（Ⅲ）如果仅从表1中选手乙接发球得分率的稳定性来看（不考虑使用次数），你认为选手乙的反手技术更稳定还是正手技术更稳定？（结论不要求证明）【答案】（Ⅰ）正手搓球和反手拧球（Ⅱ）（Ⅲ）正手技术更稳定.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据所给扇形图的数据可知，差异最为显著的是正手搓球和反手拧球两项技术.（Ⅲ）正手技术更稳定.试题解析：（Ⅰ）根据所给扇形图的数据可知，差异最为显著的是正手搓球和反手拧球两项技术. （Ⅱ）根据表1的数据可知，选手乙的反手拉球2次，分别记为A,B,正手拉球4次，分别记为a,b,c,d.则从这六次拉球中任取两次，共15种结果，分别是:AB, Aa,Ab, Ac, Ad, Ba, Bb，Bc, Bd, ab，ac, ad, bc, bd,cd.其中至少抽出一次反手拉球的共有9种，分别是:AB,Aa，Ab，Ac, Ad, Ba, Bb，Bc, Bd.则从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次，至少抽出一次反手拉球的概率. （Ⅲ）正手技术更稳定.18. 如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱底面．已知是的中点，．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求证：∥平面；（Ⅲ）求三棱锥的体积．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）【解析】试题分析：（Ⅰ）由，及,可证平面．即可证明平面平面；（Ⅱ）证明．又因为平面，平面，所以∥平面（Ⅲ）由即可求得三棱锥的体积．试题解析：（Ⅰ）证明：由已知为正三角形，且D是BC的中点，所以．因为侧棱底面，，所以底面．又因为底面，所以.而,所以平面．因为平面，所以平面平面．（Ⅱ）证明：连接，设，连接．由已知得，四边形为正方形，则为的中点.因为是的中点，所以．又因为平面，平面，所以∥平面（Ⅲ）由（Ⅱ）可知∥平面，所以与到平面的距离相等，所以．由题设及，得，且．所以，所以三棱锥的体积为．19. 已知椭圆的一个焦点坐标为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点，过点的直线（与轴不重合）与椭圆交于两点，直线与直线相交于点，试证明：直线与轴平行．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意可知所以，即可得到求椭圆的方程；（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，易证直线与轴平行②当直线的斜率存在时，设直线的方程为.因为点，所以直线的方程为.令，所以.由消去得.显然恒成立.所以这时可证，即.所以直线轴.试题解析：（Ⅰ）由题意可知所以.所以椭圆的方程为.（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，此时轴.设，直线与轴相交于点，易得点是点和点的中点，又因为，所以，所以直线轴.②当直线的斜率存在时，设直线的方程为.因为点，所以直线的方程为.令，所以.由消去得.显然恒成立.所以因为，所以.所以直线轴.综上所述，所以直线轴.20. 已知函数，．（Ⅰ）求曲线在点处的切线的斜率；（Ⅱ）判断方程（为的导数）在区间内的根的个数，说明理由；（Ⅲ）若函数在区间内有且只有一个极值点，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析（Ⅲ）【解析】试题分析：（Ⅰ）求导.根据导数的几何意义可得.（Ⅱ）设，.由的单调性及因为，,可知有且只有一个，使成立.即方程在区间内有且只有一个实数根.（Ⅲ）若函数在区间内有且只有一个极值点，由于，即在区间内有且只有一个零点，且在两侧异号.由的单调性可知函数在处取得极大值.当时，虽然函数在区间内有且只有一个零点，但在两侧同号，不满足在区间内有且只有一个极值点的要求.若函数在区间内有且只有一个零点，且在两侧异号，则只需满足：.即可得到的取值范围试题解析：（Ⅰ）..（Ⅱ）设，.当时，，则函数为减函数.又因为，,所以有且只有一个，使成立.所以函数在区间内有且只有一个零点，即方程在区间内有且只有一个实数根.（Ⅲ）若函数在区间内有且只有一个极值点，由于，即在区间内有且只有一个零点，且在两侧异号.因为当时，函数为减函数，所以在上，，即成立，函数为增函数；在上，，即成立，函数为减函数.则函数在处取得极大值.当时，虽然函数在区间内有且只有一个零点，但在两侧同号，不满足在区间内有且只有一个极值点的要求.由于，显然.若函数在区间内有且只有一个零点，且在两侧异号，则只需满足：.即，解得.。

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北京市朝阳区高三年级第二次综合练习
数学学科测试（文史类）
第Ⅰ卷（共40分）
一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}2|320A x x x =-+<，{}|1B x x =≥，则A B =（）
A ．(2]-∞，
B ．(1)+∞，
C ．(12)，
D ．[1)+∞，
2.计算2(1)i -=（）
A ．2i
B ．2i -
C ．2i -
D ．2i +
3.已知x ，y 满足不等式220101
x y x y y --⎧⎪+-⎨⎪⎩，
，≤≥≤则3z y x =-的最小值是（）
A ．1
B ．3-
C ．1-
D ． 72- 4.在ABC
△中，1a =，6A π∠=，4B π
∠=，则c =（）
A ．622+
B ．62
2- C.6
2 D ．2
2
5.“01a <<且01b <<”是“log 0a b >”的（）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C.充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
6.如图，角α，β均以Ox 为始边，终边与单位圆O 分别交于点A ，B ，则OA OB ⋅=（）
A ．sin()αβ-
B ．sin()αβ+ C.cos()αβ- D ．cos()αβ+
7.已知定义在R 上的奇函数()f x 在[0)+∞，上单调递减，且0a b +>，0b c +>，，0a c +>，则
()()()f a f b f c ++的值（）
A ．恒为正
B ．恒为负 C.恒为0 D ．无法确定
8.某校象棋社团组织中国象棋比赛，采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分.若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为（）
A ．4
B ．5 C.6 D ．7
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）
9.执行如图所示的程序框图，则输出的S = .
10.双曲线2
2
143x y -=的焦点坐标是；渐近线方程是 .
11.已知0x >，0y >，且满足4x y +=，则lg lg x y +的最大值为 .
12.已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 .
13.在平面直角坐标系xOy 中，点P （不过原点）到x 轴，y 轴的距离之和的2倍等于点P 到原点距离的平
方，则点P 的轨迹所围成的图形的面积是．
14.如图，已知四面体ABCD 的棱AB ∥平面α，且2AB =，其余的棱长均为1.四面体ABCD 以AB 所在的直线为轴旋转x 弧度，且始终在水平放置的平面α上方.如果将四面体ABCD 在平面α内正投影面积看成关于x 的函数，记为()S x ，则函数()S x 的最小值为；()S x 的最小正周期为．
三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.已知函数()2sin (sin cos )f x x x x a =+-的图象经过点(1)2π
，，a ∈R .
（1）求a 的值，并求函数()f x 的单调递增区间；
（2）若当[0]2x π
∈，时，求函数()f x 的最小值.
16.已知数列{}n a 的前n 项和2n S pn qn =+（p ，q ∈R ，*n ∈N ）且13a =，424S =.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设2n a n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .
17. 年份 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 侧柏 3200 3600 3300 3900 3500 3300 3900 3600 4100 4000 银杏 3400 3300 3600 3600 3700 4200 4400 3700 4200 4200
（1）根据表中数据写出这10年内银杏数列的中位数，并计算这10年栽种银杏数量的平均数；
（2）从统计的数据中，在栽种侧柏与银杏数量之差的绝对值不小于300株的年份中，任意抽取2年，恰有1年栽种侧柏的数列比银杏数量多的概率.
18.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PBC ⊥平面ABCD .PBC △是等腰三角形，且3PB PC ==.四边形ABCD 是直角梯形，AB DC ∥，AD DC ⊥，5AB =，4AD =，3DC =
（1）求证：AB ∥平面PDC ；
（2）当平面PBC ⊥平面ABCD 时，求四棱锥P ABCD -的体积；
（3）请在图中所给的五个点P ，A ，B ，C ，D 中找出两个点，使得这两点所在的直线与直线BC 垂直，并给出证明.
19. 已知椭圆W ：22
221x y a b +=（0a b >>）的离心率为3
2，其左顶点A 在圆O ：224x y +=上（O 为坐标
原点）.
（1）求椭圆W 的方程；
（2）过点A 作直线AQ 交椭圆W 于另外一点Q ，交y 轴于点R ，P 为椭圆W 上一点，且OP AQ ∥，求证：2AQ AR
OP ⋅为定值.
20. 已知函数()x f x xe =，()1g x ax =+，a ∈R .
（1）若曲线()y f x =在点(0(0))f ，处的切线与直线()y g x =垂直，求a 的值；
（2）若方程()()0f x g x -=在(22)-，上恰有两个不同的实数根，求a 的取值范围；
（3）若对任意1[22]x ∈-，，总存在唯一的2(2)x ∈-∞，，使得21()()f x g x =，求a 的取值范围.。

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