第八章习题统计学第五版高鸿业

习题

1． 已知某炼铁厂的含碳量服从正态分布N(4、55,0、108²),现在测定了9炉铁水,其平均含碳量为4、484。如果估计方差没有变化,可否认为现在生产的铁水平均含碳量为4、55(α=0、05)？

解: 已知μ0=4、55,σ²=0、108²,N=9,=4、484,

这里采用双侧检验,小样本,σ已知,使用Z 统计。

假定现在生产的铁水平均含碳量与以前无显著差异。则,

H 0 :μ =4、55 ; H 1 :μ ≠4、55

α=0、05,α/2 =0、025 ,查表得临界值为

1、96

计算检验统计量: = (4、484-4、55)/(0、108/√9) = -1、833

决策:∵Z 值没有落入拒绝域,∴在α=0、05的显著性水平上不拒绝H 0。

结论:有证据表明现在生产的铁水平均含碳量与以前没有显著差异,可以认为现在生产的铁水平均含碳量为4、55。

2． 一种元件,要求其使用寿命不得低于700小时。现从一批这种元件中随机抽取36件,测得其平均寿命为680小时。已知该元件寿命服从正态分布,σ=60小时,试在显著性水平0、05下确定这批元件就是否合格。

解: 已知N=36,σ=60,=680,μ0 =700

n

x Z / σ - =

μ0

这里就是大样本,σ已知,左侧检验,采用Z 统计量计算。 提出假设:假定使用寿命平均不低于700小时

H 0:μ≥700

H 1: μ < 700

α = 0、05,左检验临界值为负,查得临界值: -Z 0、05=-1、645 计算检验统计量: = (680-700)/(60/√36) = -2

决策:∵Z 值落入拒绝域,∴在α=0、05的显著性水平上拒绝H 0,接受H 1

结论:有证据表明这批灯泡的使用寿命低于700小时,为不合格产品。

3． 某地区小麦的一般生产水平为亩产250公斤,其标准差就是30公斤。现用一种化肥进行试验,从25个小区抽样,平均产量为270公斤。这种化肥就是否使小麦明显增产(α=0、05)？

解:已知μ0 =250,σ = 30,N=25,=270

这里就是小样本分布,σ已知,用Z 统计量。右侧检验,α =0、05,则Z α=1、645

提出假设:假定这种化肥没使小麦明显增产。

即 H 0:μ≤250

H 1: μ ＞ 250

计算统计量:

n x Z / σ - =

μ0

Z = (-μ0)/(σ/√N)= (270-250)/(30/√25)= 3、33

结论:Z 统计量落入拒绝域,在α =0、05的显著性水平上,拒绝H 0,接受H 1。

决策:有证据表明,这种化肥可以使小麦明显增产。

4． 糖厂用自动打包机打包,每包标准重量就是100千克。每天开工后需要检验一次打包机工作就是否正常。某日开工后测得9包重量(单位:千克)如下:(略)

已知包重服从正态分布,试检验该日打包机工作就是否正常。(α =0、05)

解:已知N=9,这里就是小样本正态分布,σ未知,双侧检验,采用t 统计量,自由度为N-1=8。α =0、05,则T α/2=2、37

= 99、98

≈1、22

提出假设,假设打包机工作正常:

即 H 0:μ= 100

H 1: μ ≠ 100

计算统计量:

= (99、98-100)/( 1、22/√9)≈-0、049 结论:∵t 值没有落入拒绝域,∴在α=0、05的显著性水平上不能拒

- = n

s x t μ0

绝H 0

决策:有证据表明这天的打包机工作正常。

5． 某种大量生产的袋装食品,按规定不得少于250克。今从一批该食品中任意抽取50袋,发现有6袋低于250克。若规定不符合标准的比例超过5%就不得出厂,问该批食品能否出厂(α=0、05)？

解:已知N=50,P=6/50=0、12,为大样本,右侧检验,用Z 统计量计算。α=0、05,即Z α=1、645

H 0:丌≤5%

H 1:丌＞5% 50%)

51(%5%5506-⨯-=

Z = (0、12－0、05)/√(0、05×0、95÷50)≈2、26 结论:因为Z 值落入拒绝域,所以在α=0、05的显著性水平上,拒绝H 0,而接受H 1。

决策:有证据表明该批食品合格率不符合标准,不能出厂。

6． 某厂家在广告中声称,该厂生产的汽车轮胎在正常行驶条件下超过目前的平均水平25000公里。对一个由15个轮胎组成的随机样本做了试验,得到样本均值与标准差分别为27000公里与5000公里。假定轮胎寿命服从正态分布,问该厂家的广告就是否真实(α=0、05)？ 解:N=15, =27000,s=5000,小样本正态分布,σ未知,用t 统计量计算。这里就是右侧检验,α=0、05,自由度N-1=14,即t α=1、77

H0:μ0 ≤25000

H1:μ＞25000

T = (27000-25000)/(5000÷√15)≈1、55

结论:因为t值没有落入拒绝域,所以不能拒绝H0。

决策:有证据表明,该厂家生产的轮胎在正常行驶条件下使用寿命与目前平均水平25000公里无显著性差异,该厂家广告不真实。

7．某种电子元件的寿命x(单位:小时)服从正态分布。现测得16只元件的寿命如下:(略)。问就是否有理由认为元件的平均寿命显著地大于225小时(α=0、05)？

解:= 241、5,

= 598、7

由于N=16,小样本正态分布,σ未知,用t统计量计算。这里就是右侧检验,α=0、05,自由度N-1=15,即tα(15)=1、753

H0:μ0 ≤225

H1:μ＞225

t = (241、5-225)/(598、7÷16)≈0、1109<)

t

(

15

05

.0

结论:因为t值没有落入拒绝域,所以不能拒绝H0。

决策:有证据表明,元件平均寿命与225小时无显著性差异,不能认为元件的平均寿命显著地大于225小时。