高等数学(同济大学)第六版课件上第4章

(10) sec x tan xdx sec x C
(11) csc x cot xdx csc x C
(12) ex dx ex C (13) a xdx a x C
ln a
(14) sh xdx ch x C
sh x ex ex 2
ch x ex ex 2
C2
由x(0) x0 , 得C2 x0 , 于是所求运动规律为
x(t)
1 2
gt
2
v0t
x0
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从不定积分定义可知:
(1)
d dx
f (x)d x
f (x)
或 d
f (x)dx
f (x)dx
(2) F(x) dx F(x) C 或 d F(x) F(x) C
例2. 质点在距地面 处以初速 垂直上抛 , 不计阻
力, 求它的运动规律.
解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 ,
质点抛出时刻为
此时质点位置为 初速为
设时刻 t 质点所在位置为
则
dx v(t)
(运动速度)
dt
再由此求 x(t)
d2 x d t2
dv dt
g
(加速度)
先由此求 v(t)
— 积分变量;
若
则
— 被积函数;
(P183)
— 被积表达式.
例如,
exdx ex C
x2dx
1 3
x3
C
( C 为任意常数 )
C 称为积分常数 不可丢 !
sin xdx cos x C
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不定积分的几何意义:
的原函数的图形称为 的积分曲线 .
f (x) dx 的图形
(15) ch xdx sh x C
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例3. 求
解: 原式 =
x
4 3
dx
x341
4 3
1
C
3x
1 3
C
例4. 求
解: 原式=
1 2
sin
x
dx
1 2
cos
x
C
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三、不定积分的性质
1. k f (x) dx k f (x)dx (k 0) 2. [ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x) d x
(5)
dx arcsin x C 1 x2
或 arccos x C
(6) cos xdx sin x C
(7) sin xdx cos x C
(8)
dx cos 2
x
sec2
xdx
tan x C
(9)
d sin
x
2
x
csc2
xdx
cot
xC
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二、 基本积分表 (P186)
利用逆向思维
(1) kdx kx C
( k 为常数)
(2)
x dx
1
1
x
1
பைடு நூலகம்
C
( 1)
(3)
dx x
ln
x
C
x 0时 ( ln x ) [ ln(x) ] 1
x
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(4)
1
dx x
2
arctan
x
C
或 arccot x C
m
m
m
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问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ?
定理1. 存在原函数 .
(下章证明)
初等函数在定义区间上连续
初等函数在定义区间上有原函数
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定理 2. 原函数都在函数族
证: 1)
( C 为任意常数 ) 内 .
y
的所有积分曲线组成 的平行曲线族.
o
x0
x
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例1. 设曲线通过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线
斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.
解:
y
所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有
(1, 2)
因此所求曲线为 y x2 1
o
x
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解: 原式 = (sec2x 1)dx sec2xdx dx tan x x C
例7. 求
解: 原式 =
x (1 x x(1 x2
2
)
)
dx
1 1 x2
dx
1 x
dx
arctan x ln x C
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例8. 求
x4 1 x2
dx
.
解: 原式 =
根据牛顿第二定律, 加速度
因此问题转化为: 已知 v(t) A sin t , 求 v(t) ? m
定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x)
满足
则称 F (x) 为f (x)
在区间 I 上的一个原函数 .
如引例中, A sin t 的原函数有 A cos t, A cos t 3,
x
x x(t)
x0 x(0) o
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先求 由
知
v(t) ( g) d t gt C1
由v(0) v0 , 得C1 v0 , 故
v(t) gt v0
再求
由
知
x x x(t)
x0 x(0)
o
x(t)
(g t
v0 )d t
1 2
g
t
2
v0t
(
x4 1
1) x2
1
dx
(x2
1)(x2 1) 1 x2
1
dx
(x2
1)
dx
1
dx x2
1 x3 x arctan x C 3
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内容小结
1. 不定积分的概念 • 原函数与不定积分的定义 • 不定积分的性质 • 基本积分表 (见P 186)
即
又知
[(x) F(x)] (x) F(x) f (x) f (x) 0
故
(x) F(x) C0 (C0 为某个常数)
即 (x) F(x) C0 属于函数族 F(x) C .
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定义 2.
在区间 I 上的原函数全体称为
上的不定积分, 记作
其中
— 积分号;
推论: 若
则
n
f (x)dx ki fi (x)dx i 1
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例5. 求
解: 原式 = [(2e)x 5 2x )dx
(2e)x 5 2x C ln(2e) ln 2
2
x
ln
ex 2
1
5 ln 2
C
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例6. 求
第四章
不定积分
微分法: F(x) ( ? ) 互逆运算
积分法: ( ? ) f (x)
第一节
第四章
不定积分的概念与性质
一、 原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、不定积分的性质
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一、 原函数与不定积分的概念
引例: 一个质量为 m 的质点, 在变力
下沿直线运动 , 试求质点的运动速度