5分支限界法

此后，从活结点表中取下一结点成为当前扩展 结点，并重复上述结点扩展过程。这个过程一直 持续到找到所需的解或活结点表为空时为止。
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5.3.2 分支限界法示例
（1）单源最短路径问题 （2）布线问题 （3）八数码问题 （4）对称流动推销员问题 （5）非对称流动推销员问题
1 b=3
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2. 算法思想
解单源最短路径问题的优先队列式分支限界法用 一小顶堆来存储活结点表。其优先级是结点所对应 的当前路长。
算法从图G的源顶点s和空优先队列开始。结点s被
扩展后，它的儿子结点被依次插入堆中。此后，算
法从堆中取出具有最小当前路长的结点作为当前扩
展结点，并依次检查与当前扩展结点相邻的所有顶
对于图G=(V,E), 从任意一点r开始，依次检查 所有与r有关联的边(r,a1),(r, a2),…,(r,ak),当上面k条 边检查完毕后，再依次检查所有与a1,a2,…,ak相关 联的(a1,a11),(a1,a12),…,(a1,a1m),(a2,a21),(a2,a22),…, (a2,a2m)，……，(ak,ak1),(ak,ak2),…,(ak,akm)。依次 类推，直到所有的边被检查，即所有顶点均被访问 为止。
可以这样理解：分支定界法与广度优先 方法的不同在于，往往不用遍历整个图，而 是将不可能得到解 或 不可能得到最优解的 树枝剪掉（即下界估计），从而提高搜索效 率。
关键：下界估计
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5.3.1 分支限界法的基本思想
（1）求解目标：
分支限界法的求解目标则是找出满足约束条件的一 个解，或是在满足约束条件的解中找出在某种意义下的 最优解。
（2）搜索方式：
以广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间树。
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分支限界法常以广度优先或以最小耗费（最 大效益）优先的方式搜索问题的解空间树。
在分支限界法中，每一个活结点只有一次机会 成为扩展结点。活结点一旦成为扩展结点，就一 次性产生其所有儿子结点。在这些儿子结点中， 导致不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃， 其余儿子结点被加入活结点表中。
c=4
1. 问题描述
d=7 e=2
在下图所给的有向图G中，每一边都
f=9 g=2
有一个非负边权。要求图G的从源顶点s h=2
到目标顶点t之间的最短路径。
i=6 j=7
k=3
l=5
m=1
n=5
0=8
p=2
q=1
r=2
u=3
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用优先队列式分支限界法解有向图G的单源最短 路径问题产生的解空间树。其中，每一个结点旁边 的数字表示该结点所对应的当前路长。
cout << GetValue (w) << ‘ ’; //访问
visited[w] = 1; q.EnQueue (w); //进队
}
w = GetNextNeighbor (v, w);
//取顶点 v 的排在 w 后面的下一邻接顶点
} //重复检测 v 的所有邻接顶点
} //外层循环，判队列空否
5 分支限界法
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• 学习要点
• α-β剪枝技术 • 分支限界法的剪枝搜索策略 • 应用范例 • （1）流动推销员问题 • （2）单源最短路径问题 • （3）装载问题； • （4）布线问题； • （5）0-1背包问题； • （6）同顺序加工任务安排问题 • （7）八数码问题
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5.1 图的广度优先遍历
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3. 剪枝策略
在算法扩展结点的过程中，一旦发现一个结 点的下界不小于当前找到的最短路长，则算法剪 去以该结点为根的子树。
点。如果从当前扩展结点i到顶点j有边可达，且从源
出发，途经顶点i再到顶点j的所相应的路径的长度小
于当前最优路径长度，则将该顶点作为活结点插入
到活结点优先队列中。这个结点的扩展过程一直继
续到活结点优先队列为空时为止。
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a=2 b=3 c=4 d=7 e=2 f=9 g=2 h=2 i=6 j=7 k=3 l=5 m=1 n=5 0=8 p=2 q=1 r=2 u=3
如果使用邻接矩阵，
}
则对于每一个被访问
过的顶点，循环要检
测矩阵中的 n 个元素，
总的时间代价为
O(n2)。
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5.2α-β剪枝技术
α-β剪枝技术是一种技巧。比如，7根火柴， A、B两人依次从中取出 1根 或 2根 ，但不能不取， 最后一个将 取尽的便是赢家。
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5.3 分支限界法
通常以广度优先或最小耗费（最大效益） 优先的方式，搜索问题的解空间树。
visited[i] = 0; //visited 初始化 cout << GetValue (v) << ' '; visited[v] = 1; Queue<int> q; q.EnQueue (v); //访问 v, 进队列
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while ( !q.IsEmpty ( ) ) {
v = q.DeQueue ( ); int w = GetFirstNeighbor (v);
❖ 为避免重复访问，需要一个辅助数组 visited [ ]，给 被访问过的顶点加标记。
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图的广度优先搜索算法:
template<class NameType, class DistType> void Graph <NameType, DistType> :: BFS ( int v ) {
int * visited = new int[NumVertices]; for ( int i = 0; i < NumVertices; i++ )
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❖ 广度优先搜索的示例
广度优先搜索过程
广度优先生成树
广度优先遍历序列：ABCDEFGHI
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❖ 广度优先搜索是一种分层的搜索过程，每向前走一 步可能访问一批顶点。因此，广度优先搜索不是一 个递归的过程，其算法也不是递归的。
❖ 为了实现逐层访问，算法中使用了一个队列，以记 忆正在访问的这一层和上一层的顶点，以便于向下 一层访问。
//取顶点 v 的第一个邻接顶点 w
//队空搜索结束如果使用邻接表表示图， //不空, 出队+则列d循1环+ 的…总+时dn间-1代=价O为(e)d，0 其中的 di 是顶点 i 的度。
while ( w != -1 ) { //若邻接顶点 w 存在
if ( !visited[w] ) { //若该邻接顶点未访问过