沪科版七年级数学下册第八章乘法公式与因式分解专题—考点重难点复习(解析版)

乘法公式与因式分解专题

一、乘法公式 1、平方差公式

平方差公式：

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 2、完全平方公式

完全平方公式：

两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.

常见的变形：

22()()4a b a b ab -=+-

1、计算：

（1）； （2）； （3）． 解：（1）原式．（2）原式． 2

2

()()a b a b a b +-=-b a ,()2

2

2

2a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=-()2222a b a b ab +=+-()2

2a b ab =-+()

()2

2

4a b a b ab +=-+33

2222

x x y y ⎛⎫⎛⎫

+-

⎪⎪⎝⎭⎝⎭

(2)(2)x x -+--(32)(23)x y y x ---2

2

22392244x x y y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

222

(2)4x x =--=-

（3）原式 2、计算：

(1)59.9×60.1；

(2)102×98

解：(1)59.9×60.1＝(60－0.1)×(60＋0.1)＝＝3600－0.01＝3599.99

(2)102×98＝(100＋2)(100－2)＝＝10000－4＝9996 3、计算：

(1)； (2)；

(3)；

(4)．

解：(1) ．

(2) ．

(3) ．

(4)

4、已知m ﹣n ＝3，mn ＝2，求： （1）（m +n ）2的值； （2）m 2﹣5mn +n 2的值． 解：∵m ﹣n ＝3，mn ＝2，

∴（1）（m +n ）2＝m 2+n 2+2mn ＝（m ﹣n ）2+4mn ＝9+8＝17； （2）m 2﹣5mn +n 2＝（m +n ）2﹣7mn ＝9﹣14＝﹣5．

5、已知有理数m ，n 满足（m +n ）2＝9，（m ﹣n ）2＝1，求下列各式的值． （1）mn ；

22

(32)(23)(32)(32)94x y y x x y x y x y =-+-=+-=-2

2

600.1-22

1002-()23a b +()2

32a -+()2

2x y -()2

23x y --()()2

2

2

2

2

332396a b a a b b a ab b +=+⨯⋅+=++()()()2

2

2

2

2

3223222334129a a a a a a -+=-=-⨯⨯+=-+()()22

2

2

2

222244x y x x y y x xy y -=-⋅⋅+=-+()()()()2222

2

2

2323222334129x y x y x x y y x xy y --=+=+⨯⨯+=++

（2）m2+n2﹣mn．

解：（m+n）2＝m2+n2+2mn＝9①，（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn＝1②，

（1）①﹣②得：4mn＝8，则mn＝2；

（2）①+②得：2（m2+n2）＝10，则m2+n2＝5．所以m2+n2﹣mn＝5﹣2＝3．

6、已知（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，求下列式子的值：

（1）a2+b2；

（2）6ab．

解：（1）∵（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，∴a2+2ab+b2＝5，a2﹣2ab+b2＝3，

∴2（a2+b2）＝8，解得：a2+b2＝4；

（2）∵a2+b2＝4，∴4+2ab＝5，解得：ab＝，∴6ab＝3．

二、因式分解

1、因式分解：

（1）把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式．

（2）分解因式是对多项式而言的，且分解的结果必须是整式的积的形式.

（3）分解因式时，其结果要使每一个因式不能再分解为止.

2、公因式：

多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.

要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.

（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.

（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.

3、因式分解的方法： （1）提公因式法

把多项式

分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是

，即

．

（2）公式法

①公式法——平方差公式

两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：

②公式法——完全平方公式

两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，.

形如，的式子叫做完全平方式. （3）十字相乘法 （4）分组分解法

7、下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A ．（3﹣x ）（3+x ）＝9﹣x 2 B ．（y +1）（y ﹣3）＝（3﹣y ）（y +1） C ．4yz ﹣2y 2z +z ＝2y （2z ﹣zy ）+z D ．﹣8x 2+8x ﹣2＝﹣2（2x ﹣1）2

解：A 、（3﹣x ）（3+x ）＝9﹣x 2，是整式的乘法运算，故此选项错误；

B 、（y +1）（y ﹣3）≠（3﹣y ）（y +1），不符合因式分解的定义，故此选项错误；

m ()()22a b a b a b -=+-()2

2

2

2a ab b a b ++=+()2

2

2

2a ab b a b -+=-222a ab b ++22

2a ab b -+