沪科版七年级数学下册第八章乘法公式与因式分解专题—考点重难点复习(解析版)
2023七年级数学下册第8章整式乘法与因式分解8.4因式分解2公式法教案(新版)沪科版
题型三：综合题
5. 已知一个二次方程 \(x^2 + (a+b)x + ab = 0\) 的两个根的和为 \(-a-b\)，两个根的积为 \(ab\)，求这个二次方程。
提示：在解题过程中，请同学们注意运用完全平方公式和平方差公式，以及灵活运用所学的因式分解技巧。
1.理论介绍：首先，我们要了解公式法分解因式的基本概念。公式法是利用特定的数学公式将一个多项式分解成两个或多个多项式的乘积。它是解决因式分解问题的重要方法之一。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了公式法在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调完全平方公式和平方差公式这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
四、教学资源
软硬件资源：
1. 教室内的多媒体设备，包括投影仪和计算机。
2. 学生用的计算器。
3. 白板和记号笔。
课程平台：
1. 人教版七年级数学下册教材。
2. 与教材配套的练习册和作业本。
信息化资源：
1. 教学PPT，包含本节课的主要内容和例题。
2. 在线数学题库，用于学生练习和巩固知识。
教学手段：
六、教学资源拓展
1.拓展资源：
（1）课后习题：为学生提供与本节课内容相关的课后习题，包括不同难度的题目，以便学生巩固所学知识。
（2）在线课程：推荐一些与因式分解相关的在线课程或视频，如“公式法分解因式技巧讲解”、“因式分解的实际应用”等，以便学生进一步学习和拓展知识。
（3）数学竞赛题目：提供一些与因式分解相关的数学竞赛题目，激发学生的学习兴趣和挑战精神。
新沪科版七年级数学下册《8章 整式乘法与因式分解 8.4 因式分解 公式法》课件_22
3. 计算： 20142 2014 4026 20132.
4.分解因式： y2 2y 1 x2.
（五）课堂小结
公式法 分解因式
完全平方公式
平方差公式
a2-b2=(a+b)(a-b)
a2±2ab+b2=(a±b)
2
（六）作业布置
《练》P58-59
例2 分解因式： （1）16x2+24x+9
首2 2 首 尾 尾2
（2）－x2+4xy－4y2
(4x)2 + 2·4x·3 + (3)2
(首)²+2·首·尾+(尾)²
解： (1)16x2+ 24x +9 = (4x)2 + 2·4x·3 + (3)2 = (4x + 3)2；
简记口诀：首平方，尾平方，积的两倍放中央. 凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成 完全平方形式，便实现了因式分解.
a2 ± 2 . a . b + b2 = (a ± b)²
首2 2首 尾 尾2 (首 尾)2
a2 ± 2 . a . b + b2
首2 2 首 尾 尾2
例1 下列各式是不是完全平方式？
b
b
b
b
a
bb a-b
a
a
a
平方差公式：
2
a
-
b 2 =（a + b) (a - b）
平方差公式的特点： 1.必须是两项式（或可以看成两项的）； 2.两项都能写成完全平方数（或式）的形式； 3.符号相反。
简记口诀：两数是平方，减号在中央. 凡具备这些特点的两项式，就可用平方差公式因式分解.
沪科版七年级数学下册第八章整式乘法 和因式分解 83完全平方公式和平方差公式 第1课时 完全平方公
（4）a+b+c=a －（-b-c ）
2.下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当 怎样改正？
（1）(x+y)2=x2 +y2 (2)(x －y)2 =x2 －y2 (3) (－x +y)2 =x2+2xy +y2 (4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2
× x2+2xy +y2 × x2－2xy +y2 × x2 －2xy +y2 × 4x2+4xy +y2
? 公式特征： 1.积为二次三项式； 2.积中的两项为两数的平方；
3.另一项是两数积的 2倍，且与乘式中间的符号相同 . 4.公式中的字母 a，b可以表示数，单项式和多项式 .
想一想 : 你能根据图 1和图2中的面积解释完全平方公式吗 ?
b
a ab 图1
b a
b a 图2
几何解释 :
b
a
=
+
a
5.已知 x2+y 2=8,x+y=4,求x－y. 解：∵x+y=4, ∴(x+y)2=16,即x2+y2+2xy=16①;
∵x2+y 2=8②; 由①－②得 2xy=8?，
②－ ?得x2+y 2－2xy=0.即(x－y)2=0，故 x－y=0 解题时常用结论： a2+b2=(a+b )2-2ab=(a-b)2+2ab; 4ab=(a+b)2-(a-b)2.
解：∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2 ＝(±6x)2＋(m＋1)xy＋(±5y)2， ∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y， ∴m＋1＝±60， ∴m＝59或－61.
沪科版七年级数学下册第8章整式的乘法和因式分解复习讲义(解析版)
沪科版七年级数学下册第8章整式的乘法与因式分解复习讲义本章结构图幂的运算性质整式的乘法、整式的除法平方差公式整式的乘法与因式分解乘法公式完整平方公式提公因式法因式分解公式法重难点打破重难点1幂的运算【例1】以下计算错误的选项是(C)A．a·a2＝a3B．a6÷a2＝a4C．(x2)3＝x5D．(ab2)3＝a3b6【方法概括】运用幂的运算法那么进行计算时，应注意几种运算性质之间的差别，不可以混杂．变式训练1．(云南中考)以下运算正确的选项是(D)A．3x2＋2x3＝5x6 B．50＝0C．2－3＝1D．(x3)2＝x662．a m＝3，a n＝4，那么a3m＋2n＝432．3．计算：(－1a2b)3＝－1a6b3．2 8重难点2整式的乘除【例2】22232y. (南通中考)计算：[x(xy－xy)－－xy)]÷y(x x2y(x y 2－xy)]2解：原式＝[x －1)－xy(1x÷y＝[x 22y y(2xy－2)]÷x2xy－2.【方法概括】整式的混杂运算与有理数的混杂运算近似，主重要扣运算次序和运算法那么两点．变式训练4．计算：[x(x2y2－xy)－y(x2－x3y)]÷3x2y，此中x＝1，y＝3.解：原式＝(x3y2－x2y－x2y＋x3y2)÷3x2y223xy－3.当x＝1，y＝3时，224原式＝×1×3－＝.3335．x2－5x＝14，求(x－1)(2x－1)－(x＋1)2＋1的值．解：原式＝x2－5x＋1.当x2－5x＝14时，原式＝(x2－5x)＋1＝14＋1＝15.重难点3 乘法公式【例3】在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a＞)，把余下的局部b)(如图甲拼成一个矩形(如图乙)，依据两个图形中暗影局部的面积相等，能够考证(C)A．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2C．a2－b2＝(a＋b)(a－b)D．(a＋2b)(a－b)＝a2＋ab－2b2【方法概括】将整式乘法公式的考证交融在几何图形中，解答这种问题的重点是用不一样方法来表示一个图形的面积．变式训练6．利用乘法公式计算：(1)982－101×99；解：原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1)1002－400＋4－1002＋1＝－395.(2)20212－2021×4030＋20212.解：原式＝20212－2×2021×2021＋20212(2021－2021)2＝1.重难点4 分解因式【例4】分解因式：(1)10a－5a2－5；解：原式＝－5(a2－2a＋1)＝－5(a－1)2.(2)(x2＋3x)2－(x－1)2.解：原式＝(x2＋3x＋x－1)(x2＋3x－x＋1)(x2＋4x－1)(x2＋2x＋1)(x2＋4x－1)(x＋1)2.【方法概括】把一个多项式分解因式往常采纳的方法是先提公因式，再运用公式．变式训练7．分解因式：(1)(绵阳中考)x2y4－x4y2＝－x2y2(x＋y)(x－y)；(2)(六盘水中考)m3－2m2n＋mn2＝m(m－n)2．8．假定a＋b＝3，ab＝2，那么a2b＋ab2＝6．9．分解因式：(1)2(a－1)2－12(a－1)＋18；解：原式＝2[(a－1)2－6(a－1)＋9]＝2(a－4)2.＝(2)x2(x－y)＋(y－x)．＝解：原式＝x2(x－y)－(x－y)＝(x2－1)(x－y)(x＋1)(x－1)(x－y)．备考集训一、选择题(每题3分，共30分)1．(佛山中考)以下计算正确的选项是(C)A．a3·a4＝a12B．(a3)4＝a7C．(a2b)3＝a6b3D．a3÷a4＝a(a≠0)2．以下各式计算正确的选项是(C)A．(x＋2)(x－5)＝x2－2x－3B．(x＋3)(x－1)＝x2＋x－13C．(x－23)(x＋12)＝x2－16x－13D．(x－2)(－x－2)＝x2－43．化简(－2a)·a－(－2a)2的结果是(C)A．0B．2a2C．－6a2D．－4a2 4．在算式(x＋m)(x－n)的积中不含x的一次项，那么m，n必定知足(C)A．互为倒数B．互为相反数C．相等D．mn＝05．以下多项式：①x2＋y2；②－x2－4y2；③－1＋a2；④2－b2，此中能用平方差公式分解因式的多项式有(B)A．1个B．2个C．3个D．4个6．化简(a－1)(a＋1)(a2＋1)－(a4－1)的结果为(A)A．0B．2C．－2D．2a47．假如单项式－2x a－2b y2a＋b与x3y8b是同类项，那么这两个单项式的积是(B)A．－2x6y16B．－2x6y32C．－2x3y8D．－4x6y168．化简(－2)2n＋1＋2(－2)2n的结果是(A)A．02n＋1 B．－2C．22n＋1D．22n甲暗影局部的面积9．如图，设k＝乙暗影局部的面积(a＞b＞0)，那么有(B)A．k＞2B．1＜k＜21C.2＜k＜11 D．0＜k＜210．因式分解x2－ax＋b，甲看错了a的值，分解的结果是(x＋6)(x－1)，乙看错了b的值，分解的结果为(x－2)(x＋1)，那么x2＋ax＋b分解因式正确的结果为(B)A．(x－2)(x＋3)B．(x＋2)(x－3)C．(x－2)(x－3)D．(x＋2)(x＋3)二、填空题(每题3分，共18分)11．计算：4＋(π－2)0＝3.12．一个长方形的面积为a3－2a2＋a，宽为a，那么长方形的长为(a－1)2.13．假定a2－b2＝4，那么(a－b)2(a＋b)2＝16.14．假如代数式2a2＋3a＋1的值等于6，那么代数式6a2＋9a－5＝10．15．比邻星是除太阳外距地球近来的恒星，它距地球约×1016米，假定用速度是3×107米/秒的宇航器向这颗恒星进发，一个20岁的小伙子抵达比邻星时的年纪是62岁(结果保留整数)．16．(厦门中考)设a＝192×918，b＝8882－302，c＝10532－7472，那么数a，b，c按从小到大的次序摆列，结果是a＜c＜b．三、解答题(共52分)17．(12分)计算：(1)(3a＋2b－1)(3a－2b＋1)；解：原式＝9a2－4b2＋4b－1.(2)(a＋b)2－(a－b)2；解：原式＝4ab.(3)(2x＋y－3)2；解：原式＝4x2＋4xy＋y2－12x－6y＋9.11(4)1002×992.解：原式＝11(100＋)(100－)22＝1002－(1)221＝10000－＝99993.418．(12分)分解因式：(1)a2x2y－axy2；解：原式＝axy(ax－y)．－14abc－7ab＋49ab2c；解：原式＝7ab(7bc－2c－1)．(3)9(a－b)2－16(a＋b)2；解：原式＝－(a＋7b)(7a＋b)．(4)3x3－12x2y＋12xy2.解：原式＝3x(x－2y)2.19．(8分)以下列图，有一位狡猾的地主，把一块边长为a米的正方形土地租给李老汉栽种．今年，他对李老汉说：“我把你这块地一边减少4米，另一边增添4米，持续租给你，你也没有吃亏，你看怎样？〞李老汉一听，感觉恰似没有吃亏，就允许．同学们，你们感觉李老汉有没有吃亏？解：吃亏了．∵本来的面积为a2，以后的面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16，a2>a2－16.∴李老汉吃亏了．20．(8分)a，b，c是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0.你能判断△ABC的形状吗？请说明原因．解：由得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，即(a－b)2＋(b－c)2＝0，a－b＝0，b－c＝0.a＝b＝c，即△ABC为等边三角形．21．(12分)假如一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神奇数〞．如：4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，所以4，12，20都是“神奇数〞．(1)28是“神奇数〞吗？为何？(2)设两个连续偶数为 2k＋2和2k(此中k取非负整数)，由这两个连续偶数结构的神奇数是4的倍数吗？为何？(3)依据上边的提示，判断2021能否为“神奇数〞？假如是，请写出两个连续偶数平方差的形式；假如不是，说明原因；两个连续奇数的平方差(取正数)是神奇数吗？为何？解：(1)是．∵28＝82－62，∴28是神奇数．(2)是．∵(2k＋2)2－(2k)2＝8k＋4＝4(2k＋1)，故两个连续偶数结构的神奇数是4的倍数．(3)是，∵2021＝4×503，故2k＋1＝503，k＝251.∴这两个数为2k＋2＝504，2k＝502，即2021＝5042－5022.不是．∵两个连续奇数的平方差可表示为(2k＋1)2－(2k－1)2＝8k＝4·2k(k为正整数)，∴两个连续奇数的平方差是4的偶数倍．。
沪科版七年级数学下册第八章乘法公式与因式分解专题—考点重难点复习(解析版)
乘法公式与因式分解专题一、乘法公式1、平方差公式平方差公式： （a b ）（a b ） a 2b 2两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差要点诠释： 在这里， a,b 既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式2、完全平方公式完全平方公式： a 2 b 22a 2 2ab b 2(a b)222a 22ab b 2两数和 （ 差） 的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 常见的变形：2ab2a2 b 222ab a b 2ab ab2ab24ab(a b)2 (a b)2 4ab22解： (1)59.9 ×60.1＝(60－0.1) × (60 ＋ 0.1) ＝6020.12＝3600－0.01＝3599.99 （1）x3y22x2 32 y ；(2)( 2 x)( 2 x) ；(3) ( 3x 2y)(2y 3x)222解：（1）原式 x32 yx 9y 2 ．（ 2）原式 ( 2)2 x 24 x 2 ．22441、计算：3）原式(3x 2y)(2y 3x) (3x 2y)(3x 2y)9x 2 4y 22、计算：（1）59.9×60.1 ；(2)102 × 98(2)102×98＝ (100 ＋ 2)(100－2)＝10023、计算：22(1)3a b ； (2) 3 2a；解：（1）223a b 3a 23a b b2222 ＝ 10000－ 4＝999622(3) x 2y ； (4) 2x 3y9a 2 6ab b 2 ．2 22 22x 2 2x 3y 3y 4x 2 12xy 9y 24、已知 m ﹣ n ＝ 3， mn ＝ 2，求：（1）（m+n ）2 的值； （2）m 2﹣5mn+n 2 的值． 解：∵ m ﹣n ＝3， mn ＝ 2，2 2 2＝ m +n +2mn ＝( m ﹣ n )2) m 2﹣5mn+n 2＝( m+n )2﹣7mn ＝9﹣14＝﹣5．5、已知有理数 m ，n 满足（ m+n ） 2＝9，（m ﹣n ）2＝1，求下列各式的值．（1）mn ；22（ 2 ） m +n ﹣ mn ．解：（m+n ）2＝m 2+n 2+2mn ＝9① ，（m ﹣n ）2＝m 2+n 2﹣2mn ＝1② ， （ 1）① ﹣② 得： 4mn ＝8，则 mn ＝ 2；（ 2）① +② 得： 2（m 2+n 2）＝ 10，则 m 2+n 2＝5．所以 m 2+n 2﹣mn ＝ 5﹣2＝3．6、已知（ a+b ）2＝5，（a ﹣ b ）2＝3，求下列式子的值：（1）a 2+b 2； （2）6ab ．解：（1）∵（ a+b ）2＝5，（a ﹣b ）2＝3，∴ a 2+2ab+b 2＝5，a 2﹣2ab+b 2＝3， ∴2（a 2+b 2）＝ 8，解得： a 2+b 2＝ 4；（2）∵ a 2+b 2＝4，∴ 4+2ab ＝5，解得： ab ＝ ，∴ 6ab ＝ 3．二、因式分解1、因式分解：1）把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式．（2）分解因式是对多项式而言的，且分解的结果必须是整式的积的形式 （3）分解因式时，其结果要使每一个因式不能再分解为止 .2、公因式：多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式(2) 3 2a 2a 3 22a 2 2 2a 3 32 4a 2 12a 9 ．(3)22x 2yx 2 2 x 2y22y2x 2 4xy 4y 2 (4)222x 3y 2x 3y22+4mn ＝9+8＝1）（m+n ）要点诠释：（ 1）公因式必须是每一项中都含有的因式 .（ 2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式 . （ 3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分： ①公因式的系数是各项系数的最 大公约数 .②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的 . 3、因式分解的方法： （1）提公因式法把多项式 分解成两个因式的乘积的形式， 其中一个因式是各项的公因式（2）公式法①公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：a 2b 2a b a b②公式法——完全平方公式3）十字相乘法 4）分组分解法7、下列从左到右的变形，是因式分解的是（）2A ．（3﹣x ）（3+x ）＝ 9﹣x 2B ．（y+1）（y ﹣3）＝（ 3﹣y ）（y+1）2C ． 4yz ﹣ 2y z+z ＝ 2y （ 2z ﹣zy ） + zD ．﹣ 8x 2+8 x ﹣2＝﹣ 2（2x ﹣1）2解： A 、（ 3﹣ x ）（ 3+x ）＝ 9﹣ x 2，是整式的乘法运算，故此选项错误；B 、（ y+1）（y ﹣3）≠（ 3﹣y ）（ y+1），不符合因式分解的定义，故此选项错误；C 、4yz ﹣2y 2z+z ＝ 2y （ 2z ﹣zy ） + z ，不符合因式分解的定义，故此选项错误； D 、﹣ 8x 2+8 x ﹣2＝﹣ 2（2x ﹣1）2，正确．故选： D ． 8、下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（）2 2 2A ． ﹣ 1＝（ +1）（ ﹣1）B ．（ a+b ） 2＝ a 2+2ab+b 22C ．x ﹣ x ﹣ 2＝（ x+1）（ x ﹣2）D ．ax ﹣ay ﹣a ＝a （x ﹣y ）﹣ 1解： A 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故 A 错误；m，另一个因式是 ，即两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和（差）的平方． 22即 a22ab b222 2 a b ，a 2 2ab b 2形如 a 2 2ab b 2 ， a 22ab b 2 的式子叫做完全平方式B 、是整式的乘法，故 B 错误；C 、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故 C 正确；D 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故 D 错误；故选： C ． 9、 (1) 多项式 3x 26xy 3 的公因式是 ________ ；32(2) 多项式 4mn 3 16m 28m 的公因式是 __________ ；(3) 多项式 x(b c a) y(b c a) (a b c) 的公因式是 ______________ (4) 多项式 2(x 3) x(3 x) 的公因式是 ________ ．【答案】 (1)3 (2)4 m (3) b c a (4) x 3 解：先确定系数部分的公因式，再确定字母部分的公因式．(1) 的公因式就是 3、 6、3 的最大公约数，最后的一项中不含字母，所以公因式中也不含字母．公因式为 3.(2) 公因式的系数是 4、16、8 的最大公约数，字母部分是 m ．公因式为 4m . (3) 公因式是( b c a )，为一个多项式因式．(4) 多项式可变形 2 x 3 x x 3 ，其公因式是 x 3 ．3 2 2 2 2 310、把﹣ 6x 3 y 2 ﹣3x 2 y 2 ﹣8x 2 y 3因式分解时，应提取公因式()2 2 2 2 2 2 2 2 A.﹣3x y B.-2x y C.x y D.﹣ x y【答案】 D ．【解析】解：﹣ 6x 3y 2﹣3x 2y 2﹣8x 2y 3=﹣x 2y 2（6x+3+8y ）， 因此﹣ 6x 3y 2﹣3x 2y 2﹣ 8x 2y 3的公因式是﹣ x 2y 2． 11、把下列各式因式分解：2（ 1） 16a 2b 8ab _____________ .32 2 22） x x y x y x228ab 2a 1 ；（ 2） x 2 x y x 12212、因式分解： y x 2 y 2 x 2【答案】 y x 2 x y 2 ；22解析】 y x 2 2 y 2x 213、分解因式：答案】( 1)解析】 x 3xx 2 y x 2x 3 x y 2 x 2 x y 2 x 2 x y 2 x 1（1）a 29b2（2） 25x 2y 21 ；（3） 162a 81b 2； 2( 4) 1 4m 294解：（1） a29b 22a 2(3b)2(a 3b)(a3b) ．（2） 25x 22 y1 (5xy)212(5xy 1)(5xy1)．（3）16 2 81 2924 29 4 9 4ab2ba b ab a ．9423 2 3 2 3（4）14m2(2 m) 2 12 ( 2m 1)(2m 1)．14、分解因式：（1）x 214x 492)9x 2 12 x 4 ；（3）a 2a 1；1 （4） a 2b21ab 1．4 162解：（1） x 2 14x 49 x 22x 7 72(x 7)2 ．2）9x212x 4 (3x)22 3x 2 222 (3x2)2．3）2121121 2aaa 2 aa．42 2215、分解因式：解：（1）原式＝ ［（3x ﹣ 2）+（2x+7） ］［（3x ﹣2）＝（ 3x ﹣ 2+2x+7）（ 3x ﹣ 2﹣ 2x ﹣ 7）＝（ 5x+5）（x ﹣9）＝ 5（x+1）（x ﹣9）； （2）原式＝﹣ 2（ a 2﹣4ab+4b 2）＝﹣ 2（ a ﹣ 2b ） 2．16、因式分解：（ 1）3x 2y ﹣ 18xy 2+27y 3 （2）x 2（x ﹣2） +（2﹣x ）解：（ 1） 3x 2y ﹣ 18xy 2+27 y 3＝ 3y （ x 2﹣ 6xy+9y 2）＝ 3y （ x ﹣ 3y ） 2；（2）x 2（x ﹣2）+（2﹣ x ）＝（ x ﹣ 2）（ x 2﹣ 1）＝（ x ﹣2）（x+1）（x ﹣1）．17、分解因式：（ 1）1﹣a 2﹣ b 2﹣2ab （2）9a 2（x ﹣ y ）+4b 2（y ﹣x ）解：（ 1）原式＝ 1﹣（ a+b ） 2＝（ 1+ a+ b ）（ 1﹣a ﹣ b ）；（ 2）原式＝ 9a 2（x ﹣y ）﹣ 4b 2（x ﹣y ）＝（ x ﹣ y ）（ 9a 2 ﹣ 4b 2）＝（ x ﹣ y ）1 2 2 4) a2b21612ab 14ab 2 14ab1214ab 1）（3x ﹣2）22x+7)2 2)8ab ﹣8b 2﹣2a 22x+7)]（3a+2b）?（3a﹣2b）．18、已知4x2+y2﹣4x+10y+26＝0，求6x﹣y 的值．解：∵ 4x2+y2﹣4x+10y+26＝4（x﹣）2+（y+5）2＝0，∴ x＝，y＝﹣5，则原式＝3+1＝4．19、将下列各式分解因式：（1）；（2）2x解：（1）因为7x 8x x所以：原式＝x 7 x8（2）因为2x10x 16 ；（3）10 3x x2所以：原式＝x 2 x 8（310 3x ）2xx2 3x1020、分解因式：（1）x27x10；解：2 x7x 10x2x5（1）（2）x22x 8x4x2（3）x227x 18（x27x21、因式分解：m2n﹣5mn+6n.解：m2n﹣5mn+6n=n（m2﹣5m+6）=n（m﹣2）（m﹣3）.22、将下列各式分解因式：（1）；解：（1）因为8x 10xx5x222（2）x2 2x 8 ；（3）x2 7x 1818） x 2 x 92）解：9y 10y 19y所以：原式＝ 2y 3 3y 521x 18x 3x所以：原式＝ 2x 3 7x 92 2 223、分解因式： a 2 4b 2 4ab c 22 2 222 解：原式 (a 2 4ab 4b 2) c 2 a 2b c 2练习】1. 在下列计算中，不能用平方差公式计算的是（ ） A. (m n)( m n) B. x3y3x3y32 2 2 2C. ( a b)(a b)D.c 2d 2 d 2 c 2答案】 A ；解析】 A 中 m 和 m 符号相反， 同的，另一项互为相反数 .2．若 x y ＝ 6 ， xy ＝ 5，则 x 22 y 2等于 ( ) ． A.11B.15C.30D.60【答案】 C ；【解析】 2x2 yxyxy＝6× 5＝30.3．下列计算正确的是()．A. 5 m 5m ＝2m 252B. 1 3m 1 3m ＝ 1 3m 2C.4 3n4 3n2 9n 21622D.( 2ab n )( 2ab n ) ＝4ab 2 n 2答案】C ；解析】 5m 5 m ＝ 25 m 2 ； 1 3m 1 3m ＝1 9m 2 ；( 2ab n )( 2ab n )＝ 4a 2b 2n 2.4．下列多项式不是完全平方式的是 （ ） ．212A. x 24x 4B. m m 4a 2bc a 2b cn 和 n 符号相反，而平方差公式中需要有一项是符号相 2）因为C.9a2 6ab b2D. 4t2 12t 9【答案】A；1 2 1 2 2 2 2 2 2 【解析】m2m （m）2；9a2 6ab b2（3a b）2；4t2 12t 9 （2t3）2. 5．已知关于x 的二次三项式4x2﹣mx+25 是完全平方式，则常数m 的值为（）A．10 B．±10 C．﹣20 D．±20【答案】D；【解析】解：∵关于x 的二次三项式4x 2﹣mx+25 是完全平方式，∵﹣m=±20，即m=±20.6．若x2 2ax 16 是一个完全平方式，则a ＝ _______ ．【解析】x2 2ax 16 x2 2 4x 42，所以a 427. 若9x2 4y2＝3x 2y M ,则M ＝ ____ ．【解析】9x2 4y2＝3x 2y 12xy8. 若x y ＝3，xy ＝1，则x2 y2＝______ .22 2 2 2【解析】x y x2y22xy，x2 y2 9 2 79. 用平方差公式或完全平方公式计算（必须写出运算过程）．（1）69×71；（2）992．解：（1）原式=（70﹣1）×（70+1）=4900﹣1=4899；（2）原式=（100﹣1）2=10000﹣200+1=9801 ．10. 怎样简便就怎样计算：（1）1232﹣124×122（2）（2a+b）（4a2+b2）（2a﹣b）【答案】解：（1）1232﹣124×122=1232﹣（123+1）（123﹣1）=1232﹣（1232﹣1）22=1232﹣1232+1=1；2）（2a+b）（4a2+b2）（2a﹣b）22=(2a+b)(2a﹣b)(4a2+b2)=(4a2﹣b2)(4a2+b2)=（4a2）2﹣（b2）2 =16a4﹣b411. 先化简，再求值：3(a 1)2 5(a 1)(a 1) 2(a 1)2，其中a 3．223(a 1)2 5(a 1)(a 1) 2(a 1)23 a22a 1 5 a21 2 a22a 1 2a 10当a 3时, 原式=2 3 10 1612、已知a﹣b＝7，ab＝﹣12．( 1)求a2b﹣ab2的值；(2)求a2+b2的值；(3)求a+b 的值．解：(1)∵ a﹣b＝7，ab＝﹣12，∴ a2b﹣ab2＝ab ( a﹣b)＝﹣12 × 7＝﹣84；( 2)∵ a﹣b＝7，ab＝﹣12 ，∴( a﹣b) 2＝49，∴ a2+ b2﹣2ab＝49，∴ a2+ b2＝25；(3)∵ a2+b2＝25，∴( a+b)2＝25+2ab＝25﹣24＝1，∴a+b＝± 1．13、分解因式：12 (1) 18x22；（2）a3bab3；（3）x5 16x ；(4) (a 1) b2(1 a)【答案与解析】12解：（1）x282128(x216)18(x4)(x4) ．(2) a3b ab3ab(a2b2)ab(a b)(a b)．（3）5x16x x(x4 16)x(x24)(x24) x(x24)(x2)(x 2) ．（4）(a1)b2(1a) (a 1)b2(a1) (a21)(1 b2)(a1)(1 b)(1 b)14.如果2 x kxy29 y 2是一个完全平方公式，k 是（）A.6B.－ 6C.±6Ｄ.1815. 下列各式中，是完全平方式的是（）解：112A. 9x 29x 1 B.6y 9y 216. 若 x 2 mx 16 x 42，那么 m17. 分解因式： m 2 m 1＝ 4＝_2 22 18、因式分解 : 2 2 4m 2 2n ＝2 12 Ｃ. 1 6y 9y 22 D. 9y 23y答案】mn 2mn ；解析】 m 2 n 2 4m 2n2m 2n 2 2mn m 2 n 22mn2nm19、若 【答案】 1；y 2 4x 2y 50，x y ＝解析】 x 2 y 2 4x 2y 5x 0 ，所以x2,y 1，x y 1.20、下列各式从左到右的变形属于分解因式的是（ A ．a+1）（a ﹣ 1）＝ a 2﹣1B ． x 2﹣ 4＝（ x+2）（ x ﹣ 2）C ． x 2﹣ 4+3 x ＝（ x+2）（x ﹣2）+3x D ． x 2﹣1＝ x （x ﹣ 解：A 、是整式的乘法，故 A 不符合题意；B 、 x 2﹣4＝（ x+2）（ x ﹣ 2），故 B 符合题意；C 、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故 C 不符合题意；D 、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故 D 不符合题意；故选： B ．21、因式分解： 1）2x （a ﹣ b ） +3 y （ b ﹣a ） 2） x （ x 2﹣ xy ）﹣（ 4x 2﹣4xy ） 解：（ 1）原式＝2x （a ﹣b ）﹣ 3y （ a ﹣ b ）＝（ a ﹣ b ）（ 2x ﹣3y ）； 2 ）原式＝ x 2 x ﹣y ）﹣ 4x （x ﹣ y ）＝ x （x ﹣y ） x ﹣ 4）． 22、已知 x+y ＝ 4，x 2+y 2＝14，求 x 3y ﹣2x 2y 2+xy 3的值． 解：∵ x+y ＝ 4， ∴（ x+y ）2＝16，∴ x 2+y 2+2xy ＝16， 22 而 x 2+y 2＝14，∴ xy ＝ 1，∴x 3y ﹣2x 2y 2+xy 3＝xy （x 2﹣2xy+y 2）＝ 14﹣2＝ 12． 23、分解因式：12221） x 26x 8；（2） x 210x 24； （3）15a 2 23a 8；（4） 5x 2 6xy 8y 2（5） 5a 2 5b 23a 3b .解：（1） x 26x 8 x2 x 4 ；22） x 210x 24 x 12 x 2 ；（3）15a23a 8 15a 8 a 1（ 4）5x 26xy8y 25x 2 6xy 8y 25x4y x 2y5）原式522ab3 a b 5 a b a b 3a ba b 5a 5b 3。
七年级数学下册8整式乘法与因式分解小结与复习课件(新版)沪科版
方法总结
本章中数形结合思想主要体现在根据给定的图形写出一 个代数恒等式或根据代数式画出几何图形. 由几何图形得到 代数恒等式时，需要用不同的方法表示几何图形的面积，然 后得出代数恒等式；由代数恒等式画图时，关键在于合理拼 接，往往是相等的边拼到一起．
课堂小结
同底数幂相乘 幂的运算
幂的乘方与积的乘方
方法总结 幂的运算性质包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的 乘方及同底数幂的除法.这四种运算性质贯穿全章，是整式 乘除及因式分解的基础.其逆向运用可将问题化繁为简，负 数乘方结果的符号，奇次方得负，偶次方得正.
针对训练
1.下列计算不正确的是（ D ） A.2a3 ÷a=2a2
B. (-a3)2=a6
项式．
4．整式的除法
(1)单项式除以单项式
单项式相除，把 系数 、 同底数幂 分别相除作为商的 因式 ， 对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一 个 因式 . (2)多项式除以单项式
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个
再把所得的商 单项式 除以单项式． . 相加
，
[点拨] 多项式除以单项式实质上是用计算法则转化为单项式
学练优七年级数学下（HK） 教学课件
第8章 整式乘法与因式分解
小结与复习
要点梳理
考点讲练
课堂小结
课后作业
要点梳理
1．幂的运算法则 法则名称 文字表示 式子表示
， am•an＝ am＋n (m、n为正整数)
同底数幂的 同底数幂相乘，底数 乘法 指数 不变 . 相加 幂的乘方
幂的乘方,底数 不变，指 数 相乘 .
考点讲练
考点一 幂的运算性质
例1 计算：
（1）(2a)3(b3)2÷4a3b4； （2）(-8)2016 ×(0.125)2015.
沪科版七年级下册数学第8章 整式乘法与因式分解 全章热门考点整合应用
(2)已知a2＋2ab＋b2＝0，求a(a＋4b)－(a＋2b)·(a－2b)的值．
解：原式＝a2＋4ab－(a2－4b2) ＝a2＋4ab－a2＋4b2＝4ab＋4b2＝4b(a＋b)． 因为a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2＝0， 所以a＋b＝0.所以4b(a＋b)＝0. 所以a(a＋4b)－(a＋2b)(a－2b)＝0.
14 分解因式： (1)a2－ab＋ac－bc；
解：原式＝a(a－b)＋c(a－b)＝(a－b)(a＋c)；
【点拨】 按公因式分组，第一、二项有公因式a，第三、四项 有公因式c，各自提取公因式后均剩下a－b；
(2)x3＋6x2－x－6. 解：原式＝(x3－x)＋(6x2－6)＝x(x2－1)＋6(x2－1)＝ (x2－1)(x＋6)＝(x＋1)(x－1)(x＋6)．
【点拨】 若两个多项式相等，则对应项的系数分别相等．
20 【原创题】阅读材料： ①1的任何次幂都等于1； ②－1的奇数次幂都等于－1； ③－1的偶数次幂都等于1； ④任何不等于零的数的零次幂都等于1. 试根据以上材料探索使等式(2x＋3)x＋2023＝1成立 的x的值．
解：(1)当2x＋3＝1时，x＝－1； (2)当2x＋3＝－1时，x＝－2，但是指数x＋2023＝2021为 奇数，故舍去； (3)当x＋2023＝0时，x＝－2023，且2×(－2023)＋3≠0， 所以符合题意． 综上所述，x的值为－1或－2023.
12 已知三角形ABC的三边长a，b，c满足a2－b2＝ac－bc， 试判断三角形ABC的形状．
解：因为a2－b2＝ac－bc，所以(a－b)(a＋b)＝c(a－b)． 所以(a－b)(a＋b)－c(a－b)＝0.所以(a－b)(a＋b－c)＝0. 因为a，b，c是三角形ABC的三边长， 所以a＋b－c≠0.所以a－b＝0.所以a＝b. 所以三角形ABC为等腰三角形．
沪科版七年级数学下册第8章《整式乘法和因式分解》思想方法讲义(答案版)
第8章?整式乘法与因式分解?思想方法讲义种类1 转变思想m n2m－n251．假定a＝5，a＝3，那么a ＝．2．假定a＝56，b＝65，那么3030＝a5b6(用含有a，b的代数式表示)．种类2 整体思想3．当x＝1时，ax＋b＋1的值为－2，那么(a＋b－1)(1－a－b)的值为(A)A．－16B．－8C．8D．164．2m－3n＝－4，那么代数式m(n－4)－n(m－6)的值为8．5．(2021·淮北期末)假定x＋y＝4，xy＝2，那么x2＋y2＝12．6．x2－2x＝－1，将下式化简，并求值：＝3＝(x－1)2＋(x＋3)(x－3)＋(x－3)(x－1)．＝解：原式＝x2－2x＋1＋x2－9＋x2－4x＋33x2－6x－5.21由于x－2x＝－，因此3(x2－2x)＝－1，即3x2－6x＝－1.因此原式＝－1－5＝－6.7．下边是某同学对多项式 (x2－4x＋2)(x2－4x＋6)＋4进行因式分解的过程．解：设x2－4x＝y，原式＝(y＋2)(y＋6)＋4(第一步)y2＋8y＋16(第二步)(y＋4)2(第三步)(x2－4x＋4)2(第四步)(2)(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 C．(3)A．提取公因式(4)B．平方差公式(5)C．两数和的完整平方公式(6)D．两数差的完整平方公式该同学因式分解的结果能否完全？不完全(填“完全〞或“不完全〞)．假定不完全，请直接写出因式分解的最后结果(x－2)4；请你模拟以上方法试试对多项式(x2－2x)(x2－2x＋2)＋1进行因式分解．解：设y＝x2－2x，原式＝y(y＋2)＋1y2＋2y＋1(y＋1)2(x2－2x＋1)2(x－1)4.种类3 数形联合思想8．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将暗影局部沿虚线剪开，拼成右侧的长方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是(D)A．(a－b)2＝a2－2ab＋b2B．a(a－b)＝a2－abC．(a－b)2＝a2－b2D．a2－b2＝(a＋b)(a－b)种类4 方程思想9．多项式kx2－6xy－8y2可分解成(2mx＋2y)·(x－4y)，那么m＝1，k＝2．10．am＋1n＋22n－12m53的值为2．·ab＝ab，那么m＋n221111．a＋b－a＋4b＋44＝0，那么a＝2，b＝－2．章末复习(三)整式乘法与因式分解知识点1 幂的相关运算1．化简(2x)2的结果是(C)A ．x4．2x2C．4x2D．4x2．当a＞0时，以下对于幂的运算不正确的选项是(C )1122A ．a＝a B．(－a)＝a －110C ．3a＝3a D．a＝13．(2021·合肥期末)以下计算正确的选项是(D)26B 3＝aA．a·a＝a．a －aC．a8÷a＝a2D ．(－a3)2＝a6知识点2科学记数法4．(2021·合肥包河区期末)每到四月，很多地方的杨絮、柳絮如雪花漫天飞舞，人们不堪其扰，据测定，杨絮纤维的直径约为，该数值用科学记数法表示为(C)A．×1 05B－4．×10C．×1 0－5D．115×10－75．最近几年来，全世界发现一种经过蚊虫流传的病毒——寨卡病毒，其直径约为，用科学记数法表示为×10n cm，那么n＝6．知识点3整式的乘除法432232的结果等于(C)6．计算(－8mn ＋12mn －4mn)÷(－4mn)22B 222A．2mn－3mn＋n．2m－3mn＋n22D 2C．2m－3mn＋n．2m－3mn＋n7．(2021·合肥瑶海区期中)在算式(x＋a)(x－b)的积中不含x的一次项，那么a，b必定知足(C)A．互为倒数B．互为相反数C．相等D．ab＝0218．先化简，再求值： (2a＋3b)(3a－2b)－5a(b＋1)－6a，此中a＝－，b＝2. 解：原式＝6a2＋5ab－6b2－5ab－5a－6a2＝－6b2－5a.1当a＝－2，b＝2时，21原式＝－6×2－5×(－)5＝－24＋21＝－212.知识点4 乘法公式9．下边运算正确的选项是 (D)A．(x＋2)2＝x2＋4B．(x－1)(－1－x)＝x2－1C．(－2x＋1)2＝4x2＋4x＋1D．(x－1)(x－2)＝x2－3x＋210．加上以下单项式，仍不可以使4x2＋1成为完整平方式的是(D)A．4x4B．4x C．－4xD．2x11．(2021·淮北期中 )假定p＋q＝5，pq＝4，那么2p2＋2q2的值为(D) A．25B．17C．50D．3412．先化简，再求值：＋2y)(x－2y)－(x＋4y)2]÷4y，此中x＝5，y＝2.解：原式＝[x 2－4y2－(x2＋8xy＋16y2)]÷4y(－20y2－8xy)÷4y＝－5y－2x.当x＝5，y＝2时，原式＝－5×2－2×5＝－20.知识点5 因式分解13．把a2－2a分解因式，正确的选项是(A)A．a(a－2)B ．a(a＋2)C．a(a2－2)D ．a(2－a)14．把多项式2x 2－8分解因式，结果正确的选项是(C)A．2(x2－8)B．2(x－2)2C．2(x＋2)(x－2)D4．2x(x－)x15．(2021·宣城期末 )因式分解：bx2－2bx＋b＝b(x－1)2．16．因式分解：(1)3x2＋6xy＋3y2；解：原式＝3(x2＋2xy＋y2)3(x＋y)2.(2)ab－a－b＋1.解：原式＝(ab－a)－(b－1)a(b－1)－(b－1)(b－1)(a－1)．易错题集训17．因式分解：x3－9x＝x(x＋3)(x－3)．18．计算：(1)(a3)2＋a5；解：原式＝a6＋a5.(2)(x－y)3·(y－x)6·(y－x)．解：原式＝－(x－y)3·(x－y)6·(x－y)10＝－(x－y) .常考题型操练19．(2021·合肥蜀山区校级期中)计算(x＋1)(x2＋1)(x－1)的结果正确的选项是(C)A．x4＋1B．(x＋4)4C．x4－1D．(x－1)420．科学家能够使用冷冻显微术以高分辨率测定溶液中的生物分子构造，使用此技术测定细菌蛋白构造的分辨率达到纳米，也就是米．将用科学记数法表示为(B)A．×10－9B．×10－10C．22×10－11D．×10－821．(2021·蚌埠期末 )a＋b＝－5，ab＝－4，那么a2－ab＋b2的值为(B)A．29 B ．37 C ．21 D．3322．(2021·河北)假定2n＋2n＋2n＋2n＝2，那么n＝(A)1A．－1 B ．－2 C ．0 D.423．计算：(1)3(2x －1)(x＋6)－5(x－3)(x＋6)；解：原式＝3(2x2＋12x－x－6)－5(x2＋6x－3x－18)6x2＋33x－18－5x2－15x＋90x2＋18x＋72.(2)[ －4a2b2＋ab(20a2－ab)]÷(－2a2)．解：原式＝(－4a2b2＋20a3b－a2b2)÷(－2a2)(－5a2b2＋20a3b)÷(－2a2)522b－10ab.24．分解因式：(1)81x4－y4；解：原式＝(9x2＋y2)(9x2－y2)(9x＋y2)(3x＋y)(3x－y)．2(2)x2(y2－1)＋2x(y2－1)＋(y2－1)；解：原式＝(y2－1)(x2＋2x＋1)(y－1)(y＋1)(x＋1)2.(3)a2＋2ab＋ac＋bc＋b2.解：原式＝(a2＋2ab＋b2)＋(ac＋bc)(a＋b)2＋c(a＋b)(a＋b)(a＋b＋c)．25．多项式(x2＋mx＋n)(x2－3x＋4)睁开后不含x3和x2项，试求m，n的值．解：原式＝x4－3x3＋4x2＋mx3－3mx2＋4mx＋nx2－3nx＋4nx4＋(m－3)x＋(4－3m＋n)x2＋(4m－3n)x＋4n.3m－3＝0，由题意，得4－3m＋n＝0.m＝3，解得n＝5.26．先化简，再求值：(2x＋1)2－2(x－1)(x＋3)－2，此中x＝2.解：原式＝(4x2＋4x＋1)－2(x2＋2x－3)－24x2＋4x＋1－2x2－4x＋6－22x2＋5.当x＝2时，原式＝2×22＋5＝13.27．如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分红四块小长方形，而后用四块小长方形拼成的一个“回形〞正方形(如图2)．图1图2图3( 1)图2中的暗影局部的面积为(b－a)2；( 2)察看图2请你写出(a＋b)2，(a－b)2，ab之间的等量关系是(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab；92( 3)依据(2)中的结论，假定p－q＝－4，p·q＝4，那么(p＋q)＝25；(实质上有很多代数恒等式能够用图形的面积3，它表示了(a＋b)(3a＋b)＝3a2＋4)来表示．如图4ab＋b2；( 5)试画出一个几何图形，使它的面积能表示(2a＋b)(a＋2b)＝2a2＋5ab＋2b2.解：如图：。
难点详解沪科版七年级数学下册第8章整式乘法与因式分解必考点解析试题(含解析)
七年级数学下册第8章整式乘法与因式分解必考点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列计算正确的是( )．A ．()33xy xy =B ．()222455xy x y -=-C ．()22439x x -=-D ．()323628xy x y -=- 2、已知()()202220202021x x --=，那么()()2220222020x x -+-的值是（ ）．A ．22021B ．4042C ．4046D ．20213、计算22x x ÷的结果是（ ）A ．2xB ．12xC ．2xD ．2x4、下列运算正确的是（ ）A ．2222x x x ⋅=B ．()2326xy x y =C ．632x x x ÷=D ．23x x x +=5、对于两个有理数a 、b ，定义一种新的运算：1b a b a ab ⊕=++，若20m ⊕=，则2m ⊕的值为（ ）A ．32-B ．3-C ．0D ．12- 6、把多项式25x x m ++因式分解得()()2x n x +-，则常数m ，n 的值分别为（ ）A ．14m =-，7n =B ．14m ，7n =-C ．14m ，7n =D ．14m =-，7n =-7、如图，从边长为a 的正方形中去掉一个边长为b 的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（ ）A ．22()()a b a b a b +-=-B ．222()2a b a ab b -=-+C ．222()2a b a ab b +=++D ．2()a ab a a b +=+8、已知2294x kxy y ++是一个完全平方式，那么k 的值是（ ）A ．12B ．24C ．±12D ．±249、如果x 2﹣3x +k （k 是常数）是完全平方式，那么k 的值为（ ）A ．6B ．9C ．32D ．9410、若(3)(3)55x x +-=，则x 的值为（ ）A ．8B ．8-C ．8±D ．6或8第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、若a b 、满足224202410a a b b -+=-+=，且1ab ≠，则 1a b-=_____________ 2、已知4a b +=，2ab =，则()()22a b ++=______．3、已知3m =，2x y =-，则代数式222mx mxy my -+的值为______．4、1秒是1微秒的1000000倍，那么3微秒可以用科学记数法记作________秒．5、计算：（1）23a a ⋅=__________；（2）()22a =__________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、计算：1201(2)(3.14)|1|3π-⎛⎫-+---+ ⎪⎝⎭． 2、计算：20432022π--+--（）．3、从边长为a 的正方形中减掉一个边长为b 的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是 ；（2）运用你从（1）写出的等式，完成下列各题：①已知：a ﹣b ＝3，a 2﹣b 2＝21，求a +b 的值； ②计算：2222211111(1)(1)(1)(1)(1)23420202021-⨯-⨯-⨯⨯-⨯-． 4、（1）若=2m x ，=3n x ．求2m n x +的值；（2）先化简，再求值：22(3)(24)(2)x y x x y x y ⎡⎤---+÷-⎣⎦，其中1x =，2y =．5、先化简，再求值：2(21)(21)(21)x x x +-+-，其中14x =-．-参考答案-一、单选题1、D【分析】幂的乘方，底数不变,指数相乘，积的乘方，等于每个因式乘方的积，据此计算即可．【详解】解：A 、()333xy x y = ，故本选项不合题意； B 、()2224525xy x y -=，故本选项符合题意；C 、()22439x x -=，故本选项不合题意；D 、(−2xy 2)3=−8x 3y 6，故本选项正确故选：D ．【点睛】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．2、C【分析】设2022,2020a x b x =-=-，则得2021ab =将()()2220222020x x -+-变形得到2()2a b ab -+，即可求解．解：设2022,2020a x b x =-=-，则2021ab =，()()2222220222020()2x x a b a b ab -+-=+=-+，2222021=+⨯， 4046=，故选：C ．【点睛】本题考查了代数式的求值，解题的关键是利用整体思想结合完全平方公式的变形进行求解．3、B【分析】根据单项式除法的运算法则解答即可．【详解】 解：221222x x x x x÷==． 故选B ．【点睛】本题主要考查了单项式除法，把被除式与除式的系数和相同底数字母的幂分别相除，其结果作为商的因式．4、B【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加；积的乘方等于乘方的积；同底数幂相除，底数不变，指数相减；整式加减合并同类项．解：A 中232·222x x x x =≠，错误，故不符合题意；B 中()2326xy x y =，正确，故符合题意；C 中6332x x x x ÷=≠，错误，故不符合题意；D 中23x x x +≠，错误，故不符合题意；故选B ．【点睛】本题考查了幂的运算性质．解题的关键在于正确的理解幂的运算性质．5、D【分析】根据新定义的运算法则得到()210m +=，求解m 的值，再按照新定义对2m ⊕进行运算即可.【详解】 解： 1b a b a ab ⊕=++，∴ 22210m m m ⊕=++=，210m ，解得：1,m =-()()111=2122111.222m -⊕⊕-=+⨯-+=-=-∴ 故选D【点睛】本题考查的是新定义运算，完全平方公式的应用，负整数指数幂的含义，理解新定义，按照新定义的运算法则进行运算是解本题的关键.6、A【分析】根据因式分解是恒等式，展开比较系数即可．【详解】∵25x x m ++=()()2x n x +-，∴25x x m ++=2222(2)2x x nx n x n x n -+-=+--，∴n -2=5，m =-2n ，∴n =7，m =-14，故选A ．【点睛】本题考查了因式分解，正确理解因式分解的恒等性是解题的关键．7、A【分析】如图，两个正方形面积的差，通过将阴影部分面积转移，构造一个长为a b +，宽为-a b 的长方形，相同的面积用不同的表达式表示，从而可推导验证乘法公式中的平方差公式．【详解】解：如图，将大正方形的一边延长到a b +，另一边长表示成-a b 的形式变化前后面积相等由题意可知长方形面积为()()a b a b +-大正方形减去小正方形后的面积为22a b -故有22()()a b a b a b +-=-故选Ａ．【点睛】本题主要考察了平方差公式．解题的关键在于对长方形的构造．8、C【分析】根据完全平方公式（222()2a b a ab b ±=±+）即可得．【详解】解：由题意得：222(32)94x kxy y x y =±++，即2222949142x kxy y x xy y =±+++，则12k =±，故选：C ．【点睛】本题考查了完全平方公式，熟记公式是解题关键．9、D【分析】根据完全平方公式解答即可．【详解】解：∵x 2-3x +k （k 是常数）是完全平方式，∴x 2-3x +k =（x -32）2=x 2-3x +94，∴k =94．故选：D ．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的运用；其中两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．10、C【分析】化简后利用平方根的定义求解即可．【详解】解：∵(3)(3)55x x +-=，∴x 2-9=55，∴x 2=64，∴x =±8，故选C ．【点睛】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，正数有两个不同的平方根，它们是互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根．二、填空题1、【分析】配方法解一元二次方程得2a =b =1ab ≠，可知有两种取值组合2a =b =2a =b = 【详解】解：由2420a a -+=，解得2a =由22410b b -+=，解得22b ±=； 1ab ≠2a ∴=b =12a b -===2a ∴=b =12a b -==-=故答案为：【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，根式加减中分母有理化，绝对值等知识点．解题的关键在于正确的配方求值以及用平方差将分母有理化．2、14【分析】先将原式利用多项式乘以多项式法则变形，再将a +b 、ab 的值代入计算可得．【详解】解：（a +2）（b +2）=ab +2a +2b +4=ab +2（a +b ）+4当a +b =4、ab =2时，原式=2+2×4+4=2+8+4=14，故答案为：14．【点睛】本题主要考查代数式的求值，解题的关键是掌握多项式乘多项式的法则及整体代入思想的运用． 3、12【分析】把222mx mxy my -+因式分解，再代入已知的式子即可求解．【详解】∵3m =，2x y =-，∴2x y -=-∴222mx mxy my -+=()222m x xy y -+=()2m x y -=3×4=12故答案为：12．【点睛】此题主要考查代数式求值，运用完全平方公式因式分解，解题的关键是熟知因式分解的运用． 4、3×10－6【分析】根据科学记数法表示绝对值小于1的数的一般形式a ×10-n （1≤｜a ｜＜10，n 为正整数），确定a 和n 值即可．【详解】解：3微妙=3÷1000000=3×10－6秒，故答案为：3×10－6．【点睛】本题考查科学记数法，熟知用科学记数法表示绝对值小于1的数的一般形式，正确确定a和n值是关键．5、a5， 4a2【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则解答；（2）根据幂的乘方公式解答．【详解】解：（1）23a a⋅=a5，故答案为：a5；2a=4a2，（2）()2故答案为：4a2．【点睛】此题考查了整式的乘法公式，正确掌握同底数幂乘法法则及幂的乘方法则是解题的关键．三、解答题1、7【分析】根据实数的性质化简即可求解．【详解】=+-+解：原式4113=7【点睛】此题主要考查实数的混合运算，解题的关键是熟知负指数幂的运算法则．2、139【分析】先计算绝对值、负指数和0指数，再加减即可．【详解】 解：-2043(2022)π-+--1419=+- 139=． 【点睛】本题考查了含负指数和0指数的实数运算，解题关键是明确负指数和0指数的算法，准确进行计算．3、（1）a 2-b 2=（a +b ）（a -b ）；（2）①7；②10112020． 【分析】（1）分别表示出图1阴影部分的面积和图2阴影部分的面积，由二者相等可得等式；（2）①将已知条件代入（1）中所得的等式，计算即可；②利用平方差公式将原式的各个因式进行拆分，计算即可．【详解】解：（1）图1阴影部分的面积为a 2-b 2，图2阴影部分的面积为（a +b ）（a -b ），二者相等，从而能验证的等式为：a 2-b 2=（a +b ）（a -b ），故答案为：a 2-b 2=（a +b ）（a -b ）；（2）①∵a -b =3，a 2-b 2=21，a 2-b 2=（a +b ）（a -b ），∴21=（a +b ）×3，∴a +b =7； ②2222211111(1)(1)(1)(1)(1)23420202021-⨯-⨯-⨯⨯-⨯- =1111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)2233442020202020212021-+-+-+-+-+ =13243520192021202020222233442020202020212021⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =1202222021⨯ =10112020． 【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景及其在计算中的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．4、（1）18；（2）92x y -，-8 【分析】（1）逆用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则计算；（2）先把中括号里去括号合并同类项，再算除法，然后把1x =，2y =代入计算；【详解】解：（1）因为=2m x ，=3n x ，所以=2m x ，29n x =，所以218m n x x ⋅=，所以218m n x +=；（2）原式()22226924(2)x xy y x xy x y =-+-++÷-()229(2)xy y y =-+÷-22(2)9(2)xy y y y =-÷-+÷-92x y =-， 当1x =，2y =时， 原式9122=-⨯19=-8=-． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算顺序及乘法公式是解答本题的关键．混合运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算；如果有括号，先算括号里面的，并按小括号、中括号、大括号的顺序进行；有时也可以根据运算定律改变运算的顺序．5、42x +，1【分析】先根据完全平方公式和平方差公式将整式展开，进而合并同类项，最后将x 的值代入求解即可【详解】原式=()2244141x x x ++--=224414+1x x x ++-= 4 2.x + 当14x =-时，原式=12 1.-+=【点睛】本题考查了整式的乘法运算，化简求值，掌握乘法公式是解题的关键．。
沪科版数学七年级下册 第8章 整式的乘法与因式分解 知识点复习分类提升练习
沪科版七年级下册数学《整式的乘法与因式分解》知识点复习分类提升练习题型一：整体思想求代数式的值1.已知a ＋b ＝4，则代数式1＋a 2＋b 2的值为( )A. 3B. 1C. 0D. －12. 已知x ＝5－y ，xy ＝4，计算3x ＋3y －2xy 的值为________．3. 若a ＋b ＝1，则a 2－b 2＋2b －2＝____．4. 已知a ＝7－3b ，则代数式a 2＋6ab ＋9b 2的值为________．5. 若x+y=1,则代数式12x 2+xy+12y 2的值是 .6. 阅读下列材料:在因式分解中,把多项式中某些部分看作一个整体,用一个新的字母代替(即换元),不仅可以简化要分解的多项式的结构,而且能使式子的特点更加明显,便于观察如何进行因式分解,我们把这种因式分解的方法称为“换元法”.下面是小涵同学用换元法对多项式(x 2-4x+1)(x 2-4x+7)+9进行因式分解的过程. 解:设x 2-4x=y,原式=(y+1)(y+7)+9(第一步)=y 2+8y+16(第二步)=(y+4)2(第三步)=(x 2-4x+4)2(第四步).请根据上述材料回答下列问题:(1)小涵同学的解法中,第二步到第三步运用了因式分解的________.A.提取公因式法B.平方差公式法C.完全平方公式法(2)老师说,小涵同学因式分解的结果不彻底,请你写出该因式分解的最后结果________.(3)请你用换元法对多项式(x 2+2x)(x 2+2x+2)+1进行因式分解.题型二：整式的乘除运算1.图①是一个长为2a，宽为2b(a＞b)的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，把它分成四块形状和大小完全相同的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是()A. abB. (a＋b)2C. (a－b)2D. a2－b22.列运算中正确的是()A. 2m×3n＝6m＋nB. (2a3)4＝8a12C. (6x2－xy)÷2x＝3x－2yD. (2x＋1)(2x－1)＝4x2－13.计算：(x＋y)2＋x(x－2y)．4.先化简，再求值：a(a＋2b)－2b(a＋b)，其中a＝5，b＝ 3.5.先化简，再求值：(x－2)2－4x(x－1)＋(2x＋1)(2x－1)，其中x＝－ 2.题型三：常见因式分解题型1.下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是()A. a2－b2B. －a2－b2C. a2＋b2D. a2＋2ab＋b22.下列因式分解正确的是()A. a(a－b)－b(a－b)＝(a－b)(a＋b)B. a2－9b2＝(a－3b)2C. a2＋4ab＋4b2＝(a＋2b)2D. a2－ab＋a＝a(a－b)3.分解因式：a2＋a＝________．4.因式分解：x(x－2)－x＋2＝______．5.分解因式：2a2－18＝________．6.把多项式m2n＋6mn＋9n分解因式的结果是________．7.若x2-kx+81是一个完全平方式,则k的值为________．题型四：规律探究、新运算类问题1.观察等式：2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24－2；2＋22＋23＋24＝25－2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是()A. 2S2－SB. 2S2＋SC. 2S2－2SD. 2S2－2S－22. 小强是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中,有这样一条信息:x-y,a-b,2,x2-y2,a,x+y,分别对应下列六个字:海、爱、我、美、游、北,现将2a(x2-y2)-2b(x2-y2)因式分解,结果呈现的密码信息可能是 ( )A.我爱游B.北海游C.我爱北海D.美我北海3.海南黎锦有着悠久的历史，已被列入世界非物质文化遗产名录．如图是黎锦上的图案，每个图案都是由相同菱形构成的，若按照第1个图至第4个图中的规律编织图案，则第5个图中有______个菱形，第n个图中有________个菱形(用含n的代数式表示)．4.观察下列一组数：－23，69，－1227，2081，－30243，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是______________．5.对于实数a、b，表示运算：2a＋b.如：2×1＋3＝5；：2×2＋(－5)＝－1.列式计算：(1)①；②.(2)将式子分解因式．题型五：综合应用题型1.如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为m，下列代数式表示正方体上小球总数．则表达错误的是()A. 12(m－1)B. 4m＋8(m－2)C. 12(m－2)＋8D. 12m－162.中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是()A. 10B. 89C. 165D. 2943.如果一个三角形的三边a、b、c满足ab+bc=b2+ac,那么这个三角形一定是( )A.等边三角形B.等腰三角形C.不等边三角形D.直角三角形4.下图是一个运算程序示意图．若开始输入x的值为625，则第2020次输出的结果为________．5.阅读理解:对于二次三项式x2+2ax+a2可以直接用公式法分解为(x+a)2的形式,但对于二次三项式x2+2ax-8a2,就不能直接用公式法了.我们可以在二次三项式x2+2ax-8a2中先加上一项a2,使其成为完全平方式,再减去a2这项,使整个式子的值不变,于是得:x2+2ax-8a2=x2+2ax-8a2+a2-a2=(x2+2ax+a2)-8a2-a2=(x+a)2-9a2=[(x+a)+3a][(x+a)-3a]=(x+4a)(x-2a).像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添(拆)项法.(1)请认真阅读以上的添(拆)项法,并用上述方法将二次三项式x2+2ax-3a2分解因式.(2)已知xy≠0,且x≠y,请用上述的添项法将方程x2-4xy+3y2=0化为(x-________ )·(x-________)=0的形式,并求出x与y的关系.。
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乘法公式与因式分解专题一、乘法公式 1、平方差公式平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 2、完全平方公式完全平方公式：两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.常见的变形：22()()4a b a b ab -=+-1、计算：（1）； （2）； （3）． 解：（1）原式．（2）原式． 22()()a b a b a b +-=-b a ,()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=-()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+()()224a b a b ab +=-+332222x x y y ⎛⎫⎛⎫+-⎪⎪⎝⎭⎝⎭(2)(2)x x -+--(32)(23)x y y x ---2222392244x x y y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222(2)4x x =--=-（3）原式 2、计算：(1)59.9×60.1；(2)102×98解：(1)59.9×60.1＝(60－0.1)×(60＋0.1)＝＝3600－0.01＝3599.99(2)102×98＝(100＋2)(100－2)＝＝10000－4＝9996 3、计算：(1)； (2)；(3)；(4)．解：(1) ．(2) ．(3) ．(4)4、已知m ﹣n ＝3，mn ＝2，求： （1）（m +n ）2的值； （2）m 2﹣5mn +n 2的值． 解：∵m ﹣n ＝3，mn ＝2，∴（1）（m +n ）2＝m 2+n 2+2mn ＝（m ﹣n ）2+4mn ＝9+8＝17； （2）m 2﹣5mn +n 2＝（m +n ）2﹣7mn ＝9﹣14＝﹣5．5、已知有理数m ，n 满足（m +n ）2＝9，（m ﹣n ）2＝1，求下列各式的值． （1）mn ；22(32)(23)(32)(32)94x y y x x y x y x y =-+-=+-=-22600.1-221002-()23a b +()232a -+()22x y -()223x y --()()22222332396a b a a b b a ab b +=+⨯⋅+=++()()()222223223222334129a a a a a a -+=-=-⨯⨯+=-+()()22222222244x y x x y y x xy y -=-⋅⋅+=-+()()()()2222222323222334129x y x y x x y y x xy y --=+=+⨯⨯+=++（2）m2+n2﹣mn．解：（m+n）2＝m2+n2+2mn＝9①，（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn＝1②，（1）①﹣②得：4mn＝8，则mn＝2；（2）①+②得：2（m2+n2）＝10，则m2+n2＝5．所以m2+n2﹣mn＝5﹣2＝3．6、已知（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，求下列式子的值：（1）a2+b2；（2）6ab．解：（1）∵（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，∴a2+2ab+b2＝5，a2﹣2ab+b2＝3，∴2（a2+b2）＝8，解得：a2+b2＝4；（2）∵a2+b2＝4，∴4+2ab＝5，解得：ab＝，∴6ab＝3．二、因式分解1、因式分解：（1）把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式．（2）分解因式是对多项式而言的，且分解的结果必须是整式的积的形式.（3）分解因式时，其结果要使每一个因式不能再分解为止.2、公因式：多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.3、因式分解的方法： （1）提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即．（2）公式法①公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：②公式法——完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，.形如，的式子叫做完全平方式. （3）十字相乘法 （4）分组分解法7、下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A ．（3﹣x ）（3+x ）＝9﹣x 2 B ．（y +1）（y ﹣3）＝（3﹣y ）（y +1） C ．4yz ﹣2y 2z +z ＝2y （2z ﹣zy ）+z D ．﹣8x 2+8x ﹣2＝﹣2（2x ﹣1）2解：A 、（3﹣x ）（3+x ）＝9﹣x 2，是整式的乘法运算，故此选项错误；B 、（y +1）（y ﹣3）≠（3﹣y ）（y +1），不符合因式分解的定义，故此选项错误；m ()()22a b a b a b -=+-()2222a ab b a b ++=+()2222a ab b a b -+=-222a ab b ++222a ab b -+C 、4yz ﹣2y 2z +z ＝2y （2z ﹣zy ）+z ，不符合因式分解的定义，故此选项错误；D 、﹣8x 2+8x ﹣2＝﹣2（2x ﹣1）2，正确．故选：D ． 8、下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）A ．﹣1＝（+1）（﹣1）B ．（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2C ．x 2﹣x ﹣2＝（x +1）（x ﹣2）D ．ax ﹣ay ﹣a ＝a （x ﹣y ）﹣1解：A 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A 错误； B 、是整式的乘法，故B 错误；C 、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C 正确；D 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D 错误；故选：C ． 9、(1)多项式的公因式是________；(2)多项式的公因式是________；(3)多项式的公因式是________；(4)多项式的公因式是________． 【答案】(1)3 (2)4 (3) (4) 解：先确定系数部分的公因式，再确定字母部分的公因式．(1)的公因式就是3、6、3的最大公约数，最后的一项中不含字母，所以公因式中也不含字母．公因式为3.(2)公因式的系数是4、16、8的最大公约数，字母部分是．公因式为4. (3)公因式是（），为一个多项式因式．(4)多项式可变形，其公因式是．2363x xy -+324168mn m m --()()()x b c a y b c a a b c +--+----2(3)(3)x x x -+-m b c a +-3x -m m b c a +-()()233x x x ---3x -10、把﹣6x y ﹣3x y ﹣8x y 因式分解时，应提取公因式（ ）A.﹣3x yB.-2x yC.x yD.﹣x y【答案】D ．【解析】解：﹣6x 3y 2﹣3x 2y 2﹣8x 2y 3=﹣x 2y 2（6x+3+8y ），因此﹣6x 3y 2﹣3x 2y 2﹣8x 2y 3的公因式是﹣x 2y 2．11、把下列各式因式分解：（1）__________.（2）_________________.【答案】（1）；（2）【解析】.12、因式分解：____________.【答案】； 【解析】.13、分解因式：（1）； （2）； （3）； （4）． 解：（1）．（2）．（3）．322223222222222168a b ab --=()()2232xx y x y x ---=()821ab a -+()()221xx y x --()()()()()()22222323221xx y x y x x x y x x y x x y x ---=---=--()()2222y x y x +++=()()22y x x y +++()()()()()()22222222y x y x y x x y y x x y +++=+++=+++229a b -22251x y -22168194a b -+214m -+22229(3)(3)(3)a b a b a b a b -=-=+-2222251(5)1(51)(51)x y xy xy xy -=-=+-2222168194949494232323a b b a b a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（4）． 14、分解因式：（1）； （2）； （3）； （4）． 解：（1）．（2）．（3）．（4）．15、分解因式：（1）（3x ﹣2）2﹣（2x +7）2（2）8ab ﹣8b 2﹣2a 2解：（1）原式＝[（3x ﹣2）+（2x +7）][（3x ﹣2）﹣（2x +7）]＝（3x ﹣2+2x +7）（3x ﹣2﹣2x ﹣7）＝（5x +5）（x ﹣9）＝5（x +1）（x ﹣9）； （2）原式＝﹣2（a 2﹣4ab +4b 2）＝﹣2（a ﹣2b ）2． 16、因式分解：（1）3x 2y ﹣18xy 2+27y 3（2）x 2（x ﹣2）+（2﹣x ）解：（1）3x 2y ﹣18xy 2+27y 3＝3y （x 2﹣6xy +9y 2）＝3y （x ﹣3y ）2；（2）x 2（x ﹣2）+（2﹣x ）＝（x ﹣2）（x 2﹣1）＝（x ﹣2）（x +1）（x ﹣1）． 17、分解因式：（1）1﹣a 2﹣b 2﹣2ab （2）9a 2（x ﹣y ）+4b 2（y ﹣x ）22214(2)1(21)(21)m m m m -+=-=+-21449x x ++29124x x -+214a a ++22111162a b ab -+22221449277(7)x x x x x ++=+⋅⋅+=+22229124(3)2322(32)x x x x x -+=-⋅⋅+=-2222111124222a a a a a ⎛⎫⎛⎫++=+⋅⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222221111112111162444a b ab ab ab ab ⎛⎫⎛⎫-+=-⋅⋅+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解：（1）原式＝1﹣（a +b ）2＝（1+a +b ）（1﹣a ﹣b ）；（2）原式＝9a 2（x ﹣y ）﹣4b 2（x ﹣y ）＝（x ﹣y ）（9a 2﹣4b 2）＝（x ﹣y ）（3a +2b ）•（3a ﹣2b ）．18、已知4x 2+y 2﹣4x +10y +26＝0，求6x ﹣y 的值．解：∵4x 2+y 2﹣4x +10y +26＝4（x ﹣）2+（y +5）2＝0，∴x ＝，y ＝﹣5，则原式＝3+1＝4． 19、将下列各式分解因式：（1）； （2）； （3）解：（1）因为所以：原式＝（2）因为所以：原式＝（3）20、分解因式：（1）； （2）； （3）解：（1）（2）21016x x -+2310x x --78x x x -=-()()78x x +-2810x x x --=-()()28x x --()()()2210331052x x x x x x --=-+-=-+-1072++x x 822--x x 2718x x --+()()271025x x x x ++=++()()22842x x x x --=-+（3）21、因式分解：m 2n ﹣5mn+6n. 解：m 2n ﹣5mn+6n=n （m 2﹣5m+6） =n （m ﹣2）（m ﹣3）.22、将下列各式分解因式：（1）；（2）解：（1）因为所以：原式＝（2）因为所以：原式＝23、分解因式：解：原式【练习】1. 在下列计算中，不能用平方差公式计算的是（ ）()()22718(718)29x x x x x x --+=-+-=--+91019y y y +=()()2335y y ++21183x x x -=()()2379x x +-22244a b ab c +--()()()22222(44)222a ab b c a b c a b c a b c =-+-=--=-+--A.))((n m n m +--B.()()3333x y xy -+ C.))((b a b a --- D.()()2222c d dc -+【答案】A ；【解析】A 中m 和m -符号相反，n 和n -符号相反，而平方差公式中需要有一项是符号相同的，另一项互为相反数.2．若x y +＝6，x y -＝5，则22x y -等于( )． A.11 B.15 C.30 D.60【答案】C ；【解析】()()22x y x y x y -=+-＝6×5＝30. 3．下列计算正确的是( )． A.()()55m m -+＝225m -B. ()()1313m m -+＝213m -C.()()24343916n n n ---+=-+D.( 2ab n -)(2ab n +)＝224ab n-【答案】C ；【解析】()()55m m -+＝225m -；()()1313m m -+＝219m -；(2ab n -)(2ab n +)＝2224a b n -. 4．下列多项式不是完全平方式的是( )． A.244x x --B.m m ++241C.2296a ab b ++D.24129t t ++【答案】A ； 【解析】2211()42m m m ++=+；22296(3)a ab b a b ++=+；224129(23)t t t ++=+.5．已知关于x 的二次三项式4x 2﹣mx+25是完全平方式，则常数m 的值为（ ）A ．10B ．±10C ．﹣20D ．±20【答案】D ；【解析】解：∵关于x 的二次三项式4x 2﹣mx+25是完全平方式，∵﹣m=±20，即m=±20.6．若2216x ax ++是一个完全平方式，则a ＝______． 【解析】222216244x ax x x ++=±⨯+，所以4a =±7. 若2294x y +＝()232x y M ++,则M ＝______． 【解析】2294x y +＝()23212x y xy +- 8. 若x y +＝3，xy ＝1，则22x y +＝_______.【解析】()2222x y x y xy +=++，22927x y +=-= 9. 用平方差公式或完全平方公式计算（必须写出运算过程）．（1）69×71； （2）992．解：（1）原式=（70﹣1）×（70+1）=4900﹣1=4899；（2）原式=（100﹣1）2=10000﹣200+1=9801．10. 怎样简便就怎样计算：（1）1232﹣124×122（2）（2a+b ）（4a 2+b 2）（2a ﹣b ）【答案】解：（1）1232﹣124×122=1232﹣（123+1）（123﹣1）=1232﹣（1232﹣1）=1232﹣1232+1=1；（2）（2a+b ）（4a 2+b 2）（2a ﹣b ）=（2a+b ）（2a ﹣b ）（4a 2+b 2）=（4a 2﹣b 2）（4a 2+b 2）=（4a 2）2﹣（b 2）2=16a 4﹣b 411.先化简，再求值：22)1(2)1)(1(5)1(3-+-+-+a a a a ，其中3=a ．解：223(1)5(1)(1)2(1)a a a a +-+-+- ()()()22232151221210a a a a a a =++--+-+=+当3,=231016a =⨯+=时原式12、已知a ﹣b ＝7，ab ＝﹣12．（1）求a 2b ﹣ab 2的值；（2）求a 2+b 2的值；（3）求a +b 的值．解：（1）∵a ﹣b ＝7，ab ＝﹣12，∴a 2b ﹣ab 2＝ab （a ﹣b ）＝﹣12×7＝﹣84；（2）∵a ﹣b ＝7，ab ＝﹣12，∴（a ﹣b ）2＝49，∴a 2+b 2﹣2ab ＝49，∴a 2+b 2＝25；（3）∵a 2+b 2＝25，∴（a +b ）2＝25+2ab ＝25﹣24＝1，∴a +b ＝±1．13、分解因式：（1）； （2）； （3）； （4） 【答案与解析】解：（1）． （2）．（3）． （4）． 14. 如果229x kxy y ++是一个完全平方公式，那么k 是（ ）A.6B.－6C.±6 Ｄ.1815. 下列各式中，是完全平方式的是（ ）A.2991x x --B.2691y y -++ Ｃ.2169y y -- D.2931y y -- 16. 若()22416-=+-x mx x ，那么________m =． 17. 分解因式：214m m ---＝_____________. 2128x -+33a b ab -516x x -2(1)(1)a b a -+-221112(16)(4)(4)888x x x x -+=--=-+-3322()()()a b ab ab a b ab a b a b -=-=+-5422216(16)(4)(4)(4)(2)(2)x x x x x x x x x x x -=-=+-=++-222(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)a b a a b a a b a b b -+-=---=--=-+-18、因式分解:＝_____________. 【答案】；【解析】.19、若，＝_____________.【答案】1；【解析】，所以，. 20、下列各式从左到右的变形属于分解因式的是（ ）A ．（a +1）（a ﹣1）＝a 2﹣1B ．x 2﹣4＝（x +2）（x ﹣2）C ．x 2﹣4+3x ＝（x +2）（x ﹣2）+3xD ．x 2﹣1＝x （x ﹣） 解：A 、是整式的乘法，故A 不符合题意；B 、x 2﹣4＝（x +2）（x ﹣2），故B 符合题意；C 、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故C 不符合题意；D 、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故D 不符合题意；故选：B ．21、因式分解：（1）2x （a ﹣b ）+3y （b ﹣a ） （2）x （x 2﹣xy ）﹣（4x 2﹣4xy ）解：（1）原式＝2x （a ﹣b ）﹣3y （a ﹣b ）＝（a ﹣b ）（2x ﹣3y ）；（2）原式＝x 2（x ﹣y ）﹣4x （x ﹣y ）＝x （x ﹣y ）（x ﹣4）．22、已知x +y ＝4，x 2+y 2＝14，求x 3y ﹣2x 2y 2+xy 3的值．()222224m nm n +-()()22m n m n +-()()()()()22222222222422m n m n m n mn m n mn m n m n +-=+++-=+-224250x y x y +-++=x y +()()2222425210x y x y x y +-++=-++=2,1x y ==-1x y +=解：∵x +y ＝4，∴（x +y ）2＝16，∴x 2+y 2+2xy ＝16，而x 2+y 2＝14，∴xy ＝1，∴x 3y ﹣2x 2y 2+xy 3＝xy （x 2﹣2xy +y 2）＝14﹣2＝12．23、分解因式：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）.解：（1）； （2）； （3）（4）（5）原式268x x -+21024x x +-215238a a -+22568x xy y -++225533a b a b --+()()26824x x x x -+=--()()21024122x x x x +-=+-()()2152381581a a a a -+=--()()()2222568568542x xy y x xy y x y x y -++=---=-+-()()()()()()()225353553a b a b a b a b a b a b a b =---=+---=-+-。