二次函数专题：角度问题

二次函数专题：角度一、有关角相等

1、已知抛物线 y ax2bx c

的图象与 x 轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与

y

轴交于点

C (0

，

3)

，过点C

作x

轴的平行线与抛物线交于点 D ，抛物线的顶点为 M ，直线

y x 5

经过 D 、 M 两点.

（ 1）求此抛物线的解析式；

（ 2）连接AM、 AC 、 BC ，试比较MAB 和ACB的大小，并说明你的理由.

对于第（ 2）问，比较角的大小

a、如果是特殊角，也就是我们能分别计算出这两个角的大小，那么他们之间的大小关系就清楚了

b、

如果这两个角可以转化成某个三角形的一个外角和一个不相邻的内角，那么大小关系就确定了c、如

果稍难一点，这两个角转化成某个三角形的两个内角，根据大边对大角来判断角的大小

d、除了上述情况外，那只有可能两个角相等，那么证明角相等的方法我们学过什么呢，全等三角形、相似三角

形和简单三角函数，从这个题来看，很明显没有全等三角形，剩下的就是相似三角形和简单三角函数了，其实简单三角函数证明角相等和相似三角形证明角相等的本质是一样的，都是对应边的比相等

2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线

y ax 2

bx 3

经过点（－），过点

N

作

x

轴的平行线交此抛物线左侧

N 2,5

于点 M， MN=6.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）点P（x, y）为此抛物线上一动点，连接MP交此抛物线的对称轴于点 D，当△ DMN为直角三角形时，求

点P 的

坐标；

（3）设此抛物线与y轴交于点C，在此抛物线上是否存在点Q，使∠QMN=∠CNM？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，

y

说明理由.

8

7

6

5

4

3

2

1

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1O

12345678x

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10

3、已知：如图，二次函数y=a(x+1)2－ 4 的图象与 x 轴分别交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 D，点 C 是二次函数 y=a(x+1)

2－ 4 的图象的顶点， CD = 2 .

（1）求 a 的值 .

（2）点 M 在二次函数 y=a(x+1)2－ 4 图象的对称轴上，

且∠ AMC=∠ BDO，求点 M 的坐标．

4、（ 2013 年潍坊市压轴题）如图，抛物线y ax2bx c 关于直线 x 1 对称，与坐标轴交于A、 B、C 三点，且

AB 4,点 D 3

y kx 2 k 0 的图象，点 O 是坐标原点.

2，在抛物线上，直线是一次函数

2

（1）求抛物线的解析式；

（2）若直线平分四边形OBDC的面积，求k的值 .

（ 3）把抛物线向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得抛物线与直线交于M、 N 两点，问在y 轴正半轴上是否存在一定点P ，使得不论k取何值，直线PM 与PN总是关于 y 轴对称？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由 .

二、特殊角

1、如图，在平面直角坐标系xoy 中，点 P 为抛物线

y x2上一动点，点 A 的坐标为（ 4,2 ），若点 P 使∠ AOP＝ 450，请求出点 P 的坐标。

2、二次函数图象经过点A（－ 3,0 ）、 B（－ 1,8 ）、C（ 0,6 ），直线y 2 x 2 与y轴交于点D，点P为二次函数图

3

象上一动点，若∠PAD＝ 450，求点 P 的坐标。

3、已知，抛物线y ax 2

bx c 与x轴交于点A（－2,0）、B（8,0），与y轴交于点C（0，－4）。直线y=x+m与

抛物线交于点D、 E（ D 在 E 的左侧），与抛物线的对称点交于点F。

（ 1）求抛物线的解析式；

（ 2）当 m=2时，求∠ DCF的大小；

（ 3）若在直线y=x+m 下方的抛物线上存在点P，使∠ DPF＝ 450，且满足条件的点P 只有两个，则m 的值为___________________. （第（ 3）问不要求写解答过程）

4、(2013 河南省压轴题 ) 如图，抛物线y x2bx c 与直线y 1 x 2 交于 C , D 两点，其中点C在 y 轴上，

点 D 的坐标为(3,7

)。点 P 是 y 轴右侧的抛物线上一动点，过点

2

P作PE x 轴于点E，交 CD 于点F. 2

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O, C , P, F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。（3）若存在点P，使PCF 45，请直接写出相应的点P的坐标

（二）、900角

例题 1：已知二次函数y

a(x p)

2

4

y 1 x22x q

的图象是由函数2的图象向左平移一个单位得到．反比例

函数y

m

p)2

x 与二次函数

y

a( x

4

的图象交于点 A

(1,n)

．

（1）求 a, p, q, m, n 的值；

（ 2）要使反比例函数和二次函数y a(x p) 24

在直线

x t

的一侧都是 y 随着 x 的增大而减小，求

t

的最大值；

（ 3）记二次函数y

a(x p)2

4

图象的顶点为B，以 AB 为边构造矩形 ABCD，边 CD 与函数

y

m

x

相交，且直线

AB 与 CD 的距离为5

，求出点D，C 的坐标．

7

的抛物线经过点 A（ 6， 0）和B（0， 4）．

例题 :2：如图，对称轴为直线x

2

（ 1）求抛物线解析式及顶点坐标；

（ 2）设点 E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以 OA 为对角线的平行四边形．求平行四边形 OEAF的面积 S 与x之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；

①当平行四边形 OEAF的面积为24 时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？

②是否存在点 E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由．

y7

x

2

B(0,4)

F

O A(6,0)

x

E