指数函数解题思路

指数函数解题思路

【例1】化简下列各式： （1）4

1)

0081.0(－－［3×（8

7）0］－1·［81－0.25

＋31)833(－］21－－10×31

027.0；

（2）

3

233

23

1

3

4248a

ab b b a a ＋＋－÷（1－23

a

b

）×3ab ． 思路：此类问题的化简需要先将小数化为分数，根式化为分数指数幂，结果要化为最简形式．在最简结果中，不能既有根式又有分数指数幂的形式，同时，也不能既有指数幂又有分母的形式．如b a

3

2，

2

－b

a 都不是最简形式．我们经常要用到下列公式：

①a －b ＝（a －b ）（a ＋b ）； ②a ±2ab ＋b ＝（a ±b ）2； ③a ±b ＝（3a ±3b ）（32a ＋3ab ＋32b ）．

答案：（1）原式＝0.3－1

－3－1

·（3－1

＋32）21

－－10×0.3＝310－3

1－3＝0；

（2）原式＝

2

313

13

12

31

3

1)

(2)2()8(a b b b b a a ＋＋－×

3

13

13

12b

a a

－×3

131b a ＝)

8()

8(3

1b a b a a －－×31a ×3

1

31b a ＝a 3b ．

【例2】设y l ＝a 3x －

1，y 2＝4

2－＋x x a

（a ＞0，a ≠1），确定x 为何值时有（1）y 1＝y 2；（2）

y 1＞y 2．

思路：显然需对a 进行分类讨论，分别解指数方程和指数不等式． 答案：（1）由题意得a 3x －

1＝4

2－＋x x a

，则3x －1＝x 2＋x －4，解得x ＝3或x ＝－1．

（2）当a ＞1时，a 3x －1

＞4

2

－＋x x a ，则3x －1＞x 2＋x －4，解得－1＜x ＜3；

当0＜a ＜1时，4

2－＋x x a

＜a 3x －

1，则3x －1＜x 2＋x －4，解得x ＜－1或x ＞3．

【例3】比较下列各数的大小：

①5

2

)2(－；②21)23(－；③52

)23(－

－；④3)3

1(－；⑤54

)32(－．

思路：先利用分数指数幂的性质对各个数进行化简，

①52

)2(－＝5

22；②21)23(－＝21)23(；③5

2

)2

3(－－＝52

)32(；

④3)31(－＝－27

1

；⑤54)32(－＝54

)32(

显然，以0、1为界将五个数分成三类：①5

2)2(－＞1，④3

)3

1(－＜0，②③⑤三个数均在0到1之间，注意到这三个数的底数相同，考查指数函数，y ＝x

)3

2(在实数集上递减，所以③＞②＞⑤．

答案：5

2

)2(－＞52

)23(－－＞21)23(－＞54

)32(－＞3

)3

1(－．

点评：比较幂的大小是典型的一类问题．解决这类问题一般用如下思路： （1）将两个数化成同底数幂的形式，再利用指数函数的单调性进行比较．

（2）将两个数化成同指数幂的形式，再利用指数函数图象在y 轴的右侧“右侧底大图高”；在y 轴的左侧“左侧底大图低”． （3）寻找一个恰当的中间数为桥梁来进行比较．如比较0.40.8与0.50.7，我们可以以0.40.7为中间数，0.40.8与0.40.7利用指数函数的单调性进行比较，得0.40.8＜0.40.7，而0.40.7与0.50.7由“右侧底大图高”得0.40.7＜0.50.7，因此0.40.8＜0.50.7；再如本题是先以0、1为桥梁将五个数分成三类的．

【例4】对于函数y ＝1

22)

3

1(－－x x ，（1）求函数的定义域，值域；

（2）确定函数的单调区间． 解析：函数y ＝1

22)3

1(－－x x 可以看成是由函数u ＝x 2－2x －1与函数y ＝u

)3

1(“复合”而

成．

（1）由u ＝x 2－2x －1＝（x －1）2－2，当x ∈R 时，u ≥－2，此时函数y ＝u

)3

1(总有意义，∴定义域为R ；

又由u ≥－2，∴0＜u )3

1(≤9，∴原函数的值域为（0，9］．

（2）∵函数u ＝x 2－2x －1在［1，＋∞）上递增， ∴对于任意的1≤x 1＜x 2都有u 1＜u 2，

∴1)31(u ＞2

)3

1(u ，即y 1＞y 2．

∴函数y ＝1

22)3

1(－－x x 在［1，＋∞］上递减．

同理可得函数y ＝1

22)3

1(－－x x 在（－∞，1）上递增．

点评：形如y ＝)

(x f a （a ＞0，a ≠1）的函数有如下性质：