第一节 数学期望(概率论与数理统计)
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2 2
0
2
1 x y e 2
2 2
r2 2
x2 y 2 2
dxdy
1 r e 0 2
rdr d
2
例12 五个独立元件,寿命分别为 X 1 , X 2 ,, X 5 , 都服从参数为 的指数分布，若将它们
e
dy
y
xe
x2 2
dx
1
x2 2
e
dx x ye
y2 2
dy
1
e
x2
dx
1
其中 e dx
x2
称为 概率积分
( e dx )
x2 2
e
( x 2 y 2 )
X ,Y 相互独立，则
E (max{ X , Y })
E (min{ X , Y })
四、数学期望的性质
E (C ) = C E (aX ) = a E (X ) 常数
E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )
E ai X i C ai E ( X i ) C i1 i1
平均来看，甲每枪击中9.3环，乙每枪击中9.1环.
数学期望的定义
一、离散型随机变量的数学期望 设 X 为离散 r.v. 其分布为
P( X xk ) pk ,
若无穷级数
k 1,2,
xk p k
k 1
绝对收敛, 则称
其和为 X 的数学期望 记作 E( X ), 即
E ( X ) xk p k
5
x 5
E ( M ) xf M ( x)dx
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0 5xe
137 60
x
(1 e
x 4
) dx
E ( M ) 13760 11 1 E( N ) 5
可见, 并联组成整机的平均寿命比串联
组成整机的平均寿命长11倍之多.
例13 设X ~ N (0,1), Y ~ N (0,1), X ,Y 相互独 立，求E (max(X ,Y )) .
(1) 串联；
(2) 并联
成整机，求整机寿命的均值.
解 (1) 设整机寿命为 N , N min { X k }
k 1, 2 ,, 5
FN ( x) 1 (1 Fk ( x)),
k 1
5
1 e 5x , x 0, 其它， 0,
5e , x 0, f N ( x) 其它， 0,
绝对收敛 , 则
E (Z )
i , j 1
g ( xi , y j ) pij
设连续 r.v. (X ,Y )的联合 d.f. 为 f (x ,y) ，
Z = g(X ,Y ),
若广义积分
g ( x, y) f ( x, y)dxdy
绝对收敛, 则
E ( Z ) g ( x, y ) f ( x, y )dxdy
例9 设圆的直径X～U(a,b)，求圆的面积的期望。
例10 将n封不同的信的n张信笺与n个信封进行随
即匹配，记X表示匹配成对数，求E(X)。
例11 设 (X ,Y ) ~ N (0,1;0,1;0), 求
Z X Y 的数学期望.
2 2
解 E ( Z ) x y f ( x, y )dxdy
max{ x, y} f ( x, y )dxdy
D2
1 y e 2 D
1
x2 y 2 2
1 dxdy x e 2 D
2
x2 y 2 2
dxdy
1 2
x2 2
e
dx
x
ye
y2 2
1 dy 2
y2 2
它的数学期望不存在!
三、 r.v.函数 Y = g(X ) 的数学期望 设离散 r.v. X 的概率分布为
P( X xi ) pi , i 1,2,
若无穷级数 绝对收敛，则
g ( xi ) pi
i 1
E (Y ) g ( xi ) pi
i 1
设连续 r.v. 的 d.f. 为f (x) 若广义积分
a
例14 将 4 个不同色的球随机放入 4 个盒子
中, 每盒容纳球数无限, 求空盒子数的数学期
望. 解一 设 X 为空盒子数, 则 X 的概率分布为
1 f ( x) e 2
注意 不是所有的 r.v.都有数学期望
例如：柯西(Cauchy)分布的密度函数为
1 f ( x) , 2 (1 x )
x
| x| 但 | x | f ( x)dx dx 发散 2 (1 x )
§4.1数学期望
问题：有甲、乙两个射手，他们的射击技术用下表给
出：
概率
甲射手
8 0.3 9 0.1 10 0.6
乙射手
击中环数 概率 8 0.2 9 0.5 10 0.3
击中环数
试问哪一个射手本领较好？ 要解决这个问题，可采用如下方法：使两个射手各射 N枪，则他们打中的环数大约是： 甲：8 0.3N 9 0.1N 10 0.6N 9.3N ; 乙：8 0.2N 9 0.5N 10 0.3N 9.1N ;
dxdy
4
0
0
e
( x 2 y 2 )
dxdy
4
0
2
0
e
( x 2 y 2 )
dxdy
1 4 2 2
4 d e rdr
r 2 0 0
所以
e
x2
dx
一般地，若X ~ N ( , 2 ), Y ~ N ( , 2 ),
k 1
例1: 某种产品即将投放市场，根据市场调查估计每件 产品有60%的把握按定价售出，20%的把握打折售出 及20%的可能性低价甩出。上述三种情况下每件产品 的利润分别为5元，2元和-4元。问厂家对每件产品可 期望获利多少？ 解: 设X表示一件产品的利润(单位：元),X的分布 率为 X 5 2 -4 P X的数 学期望: 0.6 0.2 0.2
证 性质5
设 X 连续，d.f. 为 f (x), 分布函数为 F(x), 则
P( X a) 1 P( X a)
1 F (a) 1
F (a) 0
F ( x) 0,
f ( x) 0,
故
xa
xa
E ( X ) a xf ( x)dx a af ( x)dx
由上面例子看到，与 r.v. 有关的 某些数值，虽不能完整地描述 r.v.但 能清晰地描述 r.v.在某些方面的重要 特征 , 这些数字特征在理论和实践上 都具有重要意义.
随机变量某一方面的概率特性 都可用数字来描写
本 章 内 容
r.v.的平均取值 —— 数学期望 r.v.取值平均偏离均值的情况 —— 方差 描述两 r.v.间的某种关系的数 —— 协方差与相关系数
n n
当X ,Y 独立时，E (X Y ) = E (X )E (Y ) . 若存在数 a 使 P(X a) = 1, 则 E (X ) a ; 若存在数 b 使 P(X b) = 1, 则 E (X ) b.
注
性质 4 的逆命题不成立，即
若E (X Y ) = E (X )E (Y )，X ,Y 不一定独立
若广义积分
xf ( x)dx
绝对收敛, 则称此积分为 X 的数学期望，记作 E( X ),
即
E ( X ) xf ( x)dx
数学期望的本质 —— 加权平均， 它是一个数不 再是 r.v.
例6 设X~U(a，b)，求E(X)。
例7 指数分布的数学期望 密度函数 ：
e x , p( x) 0,
第四章
随机变量的数字特征
分布函数能完整地描述 r.v.的统 计特性, 但实际应用中并不都需要知 道分布函数，而只需知道 r.v.的某些 特征.
例如： 判断棉花质量时, 既看纤维的平均长度
又要看 纤维长度与平均长度的偏离程度 平均长度越长,偏离程度越小, 质量就越好;
考察一射手的水平, 既要看他的 平均环数是否高, 还要看他弹着点的 范围是否小, 即数据的波动是否小.
5 x
1 即 N ~ E( 5), E ( N ) 5 (2) 设整机寿命为 M max { X k }
k 1, 2 ,, 5
(1 e ) , x 0, FM ( x) Fk ( x) 其它， k 1 0, x x 4 5e (1 e ) , x 0, f M ( x) 0, 其它，
0
x 0, x 0.
x
EX xp( x)dx xe
dx
0
xde
x
xe
x 0
e
0
x
dx
e
1
x 0
1
.
例8 X ~ N ( , 2 ), 求 E ( X ) .
密度函数 ：
E( X ) 5 0.6 2 0.2 4） 0.2 2.（元） （ 6
虽然任一件产品投放市场都有亏损的风险，但每 件产品的平均利润为2.6元，还是有利可图的。
例2： 设X服从参数为p的（0-1）分布，求E(X)。
解： X的分布律为 X P 0 q 1 p
0<p<1,q=1-p
EX kpk kq
k 1 k 1 k 1
p p(1 2q 3q )
2
q 2 3 p(q q q ) p 1 q 1 1 p . 2 (1 q) p
二、连续型随机变量的数学期望
定义 设连续 r.v. X 的 d.f. 为 f (x)
k! k 0,1,2,
分布
概率密度
期望
1 , a x b, a b 区间(a,b)上的 f ( x) b a 均匀分布 2 0, 其它
E()
f ( x) 0,
2)
e x , x 0,
其它
( x )2 2 2
1
N(,
解 f ( x, y ) f ( x ) f ( y ) 1 e X Y 2
x2 y 2 2
E (max{ X , Y }) max{ x, y} f ( x, y )dxdy
max{ x, y} f ( x, y )dxdy
D1
D1 D2
du
常见 r.v. 的数学期望
分布
参数为p 的 0-1分布 B(n,p) P()
概率分布
P( X 1) p P( X 0) 1 p
P( X k ) C p (1 p)
k n k nk
期望
p
k 0,1,2,, n
P( X k )
np
k e
1 p ( x) e 2 ( x )2 2 2
,
x ,
, 0.
dx
u2 2
1 解 E ( X ) x e 2
( x )2 2 2
令
x u
1 （u ） e 2
则E（X） 0 q 1 p p
例3： 设X~b(n，p)，求E(X)。 解 ： X的分布律为
则：
n ！ k p k q nk k！（n k）！ k 1
n
例5 几何分布
pk P{ X k} q
k 1
p, k 1, 2, ,
0 p 1, p q 1.
g ( x) f ( x)dx
绝对收敛, 则
E (Y ) g ( x) f ( x)dx
设离散 r.v. (X ,Y ) 的概率分布为
P( X xi ,Y y j ) pij , i, j 1,2,
Z = g(X ,Y ),
若级数
i , j 1
g ( xi , y j ) pij
0
2
1 x y e 2
2 2
r2 2
x2 y 2 2
dxdy
1 r e 0 2
rdr d
2
例12 五个独立元件,寿命分别为 X 1 , X 2 ,, X 5 , 都服从参数为 的指数分布，若将它们
e
dy
y
xe
x2 2
dx
1
x2 2
e
dx x ye
y2 2
dy
1
e
x2
dx
1
其中 e dx
x2
称为 概率积分
( e dx )
x2 2
e
( x 2 y 2 )
X ,Y 相互独立，则
E (max{ X , Y })
E (min{ X , Y })
四、数学期望的性质
E (C ) = C E (aX ) = a E (X ) 常数
E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )
E ai X i C ai E ( X i ) C i1 i1
平均来看，甲每枪击中9.3环，乙每枪击中9.1环.
数学期望的定义
一、离散型随机变量的数学期望 设 X 为离散 r.v. 其分布为
P( X xk ) pk ,
若无穷级数
k 1,2,
xk p k
k 1
绝对收敛, 则称
其和为 X 的数学期望 记作 E( X ), 即
E ( X ) xk p k
5
x 5
E ( M ) xf M ( x)dx
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0 5xe
137 60
x
(1 e
x 4
) dx
E ( M ) 13760 11 1 E( N ) 5
可见, 并联组成整机的平均寿命比串联
组成整机的平均寿命长11倍之多.
例13 设X ~ N (0,1), Y ~ N (0,1), X ,Y 相互独 立，求E (max(X ,Y )) .
(1) 串联；
(2) 并联
成整机，求整机寿命的均值.
解 (1) 设整机寿命为 N , N min { X k }
k 1, 2 ,, 5
FN ( x) 1 (1 Fk ( x)),
k 1
5
1 e 5x , x 0, 其它， 0,
5e , x 0, f N ( x) 其它， 0,
绝对收敛 , 则
E (Z )
i , j 1
g ( xi , y j ) pij
设连续 r.v. (X ,Y )的联合 d.f. 为 f (x ,y) ，
Z = g(X ,Y ),
若广义积分
g ( x, y) f ( x, y)dxdy
绝对收敛, 则
E ( Z ) g ( x, y ) f ( x, y )dxdy
例9 设圆的直径X～U(a,b)，求圆的面积的期望。
例10 将n封不同的信的n张信笺与n个信封进行随
即匹配，记X表示匹配成对数，求E(X)。
例11 设 (X ,Y ) ~ N (0,1;0,1;0), 求
Z X Y 的数学期望.
2 2
解 E ( Z ) x y f ( x, y )dxdy
max{ x, y} f ( x, y )dxdy
D2
1 y e 2 D
1
x2 y 2 2
1 dxdy x e 2 D
2
x2 y 2 2
dxdy
1 2
x2 2
e
dx
x
ye
y2 2
1 dy 2
y2 2
它的数学期望不存在!
三、 r.v.函数 Y = g(X ) 的数学期望 设离散 r.v. X 的概率分布为
P( X xi ) pi , i 1,2,
若无穷级数 绝对收敛，则
g ( xi ) pi
i 1
E (Y ) g ( xi ) pi
i 1
设连续 r.v. 的 d.f. 为f (x) 若广义积分
a
例14 将 4 个不同色的球随机放入 4 个盒子
中, 每盒容纳球数无限, 求空盒子数的数学期
望. 解一 设 X 为空盒子数, 则 X 的概率分布为
1 f ( x) e 2
注意 不是所有的 r.v.都有数学期望
例如：柯西(Cauchy)分布的密度函数为
1 f ( x) , 2 (1 x )
x
| x| 但 | x | f ( x)dx dx 发散 2 (1 x )
§4.1数学期望
问题：有甲、乙两个射手，他们的射击技术用下表给
出：
概率
甲射手
8 0.3 9 0.1 10 0.6
乙射手
击中环数 概率 8 0.2 9 0.5 10 0.3
击中环数
试问哪一个射手本领较好？ 要解决这个问题，可采用如下方法：使两个射手各射 N枪，则他们打中的环数大约是： 甲：8 0.3N 9 0.1N 10 0.6N 9.3N ; 乙：8 0.2N 9 0.5N 10 0.3N 9.1N ;
dxdy
4
0
0
e
( x 2 y 2 )
dxdy
4
0
2
0
e
( x 2 y 2 )
dxdy
1 4 2 2
4 d e rdr
r 2 0 0
所以
e
x2
dx
一般地，若X ~ N ( , 2 ), Y ~ N ( , 2 ),
k 1
例1: 某种产品即将投放市场，根据市场调查估计每件 产品有60%的把握按定价售出，20%的把握打折售出 及20%的可能性低价甩出。上述三种情况下每件产品 的利润分别为5元，2元和-4元。问厂家对每件产品可 期望获利多少？ 解: 设X表示一件产品的利润(单位：元),X的分布 率为 X 5 2 -4 P X的数 学期望: 0.6 0.2 0.2
证 性质5
设 X 连续，d.f. 为 f (x), 分布函数为 F(x), 则
P( X a) 1 P( X a)
1 F (a) 1
F (a) 0
F ( x) 0,
f ( x) 0,
故
xa
xa
E ( X ) a xf ( x)dx a af ( x)dx
由上面例子看到，与 r.v. 有关的 某些数值，虽不能完整地描述 r.v.但 能清晰地描述 r.v.在某些方面的重要 特征 , 这些数字特征在理论和实践上 都具有重要意义.
随机变量某一方面的概率特性 都可用数字来描写
本 章 内 容
r.v.的平均取值 —— 数学期望 r.v.取值平均偏离均值的情况 —— 方差 描述两 r.v.间的某种关系的数 —— 协方差与相关系数
n n
当X ,Y 独立时，E (X Y ) = E (X )E (Y ) . 若存在数 a 使 P(X a) = 1, 则 E (X ) a ; 若存在数 b 使 P(X b) = 1, 则 E (X ) b.
注
性质 4 的逆命题不成立，即
若E (X Y ) = E (X )E (Y )，X ,Y 不一定独立
若广义积分
xf ( x)dx
绝对收敛, 则称此积分为 X 的数学期望，记作 E( X ),
即
E ( X ) xf ( x)dx
数学期望的本质 —— 加权平均， 它是一个数不 再是 r.v.
例6 设X~U(a，b)，求E(X)。
例7 指数分布的数学期望 密度函数 ：
e x , p( x) 0,
第四章
随机变量的数字特征
分布函数能完整地描述 r.v.的统 计特性, 但实际应用中并不都需要知 道分布函数，而只需知道 r.v.的某些 特征.
例如： 判断棉花质量时, 既看纤维的平均长度
又要看 纤维长度与平均长度的偏离程度 平均长度越长,偏离程度越小, 质量就越好;
考察一射手的水平, 既要看他的 平均环数是否高, 还要看他弹着点的 范围是否小, 即数据的波动是否小.
5 x
1 即 N ~ E( 5), E ( N ) 5 (2) 设整机寿命为 M max { X k }
k 1, 2 ,, 5
(1 e ) , x 0, FM ( x) Fk ( x) 其它， k 1 0, x x 4 5e (1 e ) , x 0, f M ( x) 0, 其它，
0
x 0, x 0.
x
EX xp( x)dx xe
dx
0
xde
x
xe
x 0
e
0
x
dx
e
1
x 0
1
.
例8 X ~ N ( , 2 ), 求 E ( X ) .
密度函数 ：
E( X ) 5 0.6 2 0.2 4） 0.2 2.（元） （ 6
虽然任一件产品投放市场都有亏损的风险，但每 件产品的平均利润为2.6元，还是有利可图的。
例2： 设X服从参数为p的（0-1）分布，求E(X)。
解： X的分布律为 X P 0 q 1 p
0<p<1,q=1-p
EX kpk kq
k 1 k 1 k 1
p p(1 2q 3q )
2
q 2 3 p(q q q ) p 1 q 1 1 p . 2 (1 q) p
二、连续型随机变量的数学期望
定义 设连续 r.v. X 的 d.f. 为 f (x)
k! k 0,1,2,
分布
概率密度
期望
1 , a x b, a b 区间(a,b)上的 f ( x) b a 均匀分布 2 0, 其它
E()
f ( x) 0,
2)
e x , x 0,
其它
( x )2 2 2
1
N(,
解 f ( x, y ) f ( x ) f ( y ) 1 e X Y 2
x2 y 2 2
E (max{ X , Y }) max{ x, y} f ( x, y )dxdy
max{ x, y} f ( x, y )dxdy
D1
D1 D2
du
常见 r.v. 的数学期望
分布
参数为p 的 0-1分布 B(n,p) P()
概率分布
P( X 1) p P( X 0) 1 p
P( X k ) C p (1 p)
k n k nk
期望
p
k 0,1,2,, n
P( X k )
np
k e
1 p ( x) e 2 ( x )2 2 2
,
x ,
, 0.
dx
u2 2
1 解 E ( X ) x e 2
( x )2 2 2
令
x u
1 （u ） e 2
则E（X） 0 q 1 p p
例3： 设X~b(n，p)，求E(X)。 解 ： X的分布律为
则：
n ！ k p k q nk k！（n k）！ k 1
n
例5 几何分布
pk P{ X k} q
k 1
p, k 1, 2, ,
0 p 1, p q 1.
g ( x) f ( x)dx
绝对收敛, 则
E (Y ) g ( x) f ( x)dx
设离散 r.v. (X ,Y ) 的概率分布为
P( X xi ,Y y j ) pij , i, j 1,2,
Z = g(X ,Y ),
若级数
i , j 1
g ( xi , y j ) pij