第6章(相似理论与量纲分析1-2)
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华中科技大学工程流体力学第6章相似理论和量纲分析习题解答
第6章相似理论和量纲分析----习题参考答案(6原为5)又流量二速度面积Q m V m Sm22C v C S = C v C l - C lQ pV p S p求得实物贮水箱贮水的时间为 t p =t m /C 2 - 4 、225 =60min6.2解：依题意只计重力影响，可得动力相似的条件为傅汝德数相等。
即:所以模型长度为 yG =60才3 m ，6.3解：由量纲分析推得汽车所受的阻力为: R = ':v 2l 2f(Re)两流动若要动力相似，它们的雷诺数必须相等，即6.1解：贮水箱贮水主要受重力作用, 所以动力相似的条件为傅汝德数相等。
即:C Qc Q m i m /t m C Q 3QQ p l 3/t pI 3 t 我曲C t5Cj 二 C 3 / C ，C =5 =C 2 t ltp已知 C 「40r C ：，20船速为 V m V P 1 P _ vm l mP '"m已知C l 二hl p 6V pC i1 =61.34 m/s.2得：Vp . lm . c ,Vm I pR p = Rrn = 510N 。
6.4解：(1)与兴波阻力有关的相似准数为傅汝德数。
6.6解：依题有s = f(m,g,t),由指数法有 Km g t ，式中，K 为无量纲数,指数:',■,待定。
等式两边写成量纲方程得［s ］二［m ］： ［g 「［t ］，将各物理量的量纲用基本量纲表示代入上式得［L ］珂M ］：［LT 〒［T ］由量纲和谐原理知，等式两边各基本量纲的指数应分别相等，于是有R p VP R m=1, 于是得原型的阻力为:vm已知v p37000 3600:10.28 m/s(2)由兴波阻力系数相等:2： V p l p2： V m l ml p 3= 10.19 30 = 275130 N6.5 解: 已知V e =25m/s ，入=30m , g m /g^ 1/6。
水力学 第六章 量纲分析和相似原理
量纲归类：
几何学量纲：0，=0，=0 运动学量纲：0，0，=0
动力学量纲：0，（0或=0 ），0
6、无量纲数或称量纲为1（纯数，如相似准数）：
=0，=0，=0，即 [x] = [1]。 特点： （1）无量纲单位，它的大小与所选单位无关；
（2）普适性。
2012-12-30 水力学基础 5
（三）本章的内容用于解决以下问题
1、定性分析：建立各相关参数间的关系。 2、指导试验：针对所建立的定性关系（公式结构形式），对无量纲系数进 行实验，形成定量关系。 3、模型实验设计——相似准数与相似律
2012-12-30 水力学基础 2
第六章 量纲分析和相似理论
北京工业大学市政工程系
二、定性分析与实验量化
(i 1,2,3, n m )
4）确定无量纲参数：由量纲和谐原理解联立指数方程，求出
各项的指数a1，a2，….，am；从而定 出各无量纲参数。
5）写出描述现象的关系式
f( 1 , 2 , n - m ) 0
或显解一个参数，如：
2012-12-30
1 f( 2 , 3 , n - m )
第六章量纲分析和相似理论北京工业大学市政工程系第六章量纲分析和相似原理2020720水力学基础本章内容一概述二定性分析与实验量化一量纲和单位二量纲和谐原理三量纲分析法四实验量化三相似准数与模型实验一基本概念二相似准数方程三模型相似律相似准则的适用本章小结第六章量纲分析和相似理论北京工业大学市政工程系2020720水力学基础一流体力学研究问题的方法1解析法
（1） 确定与所研究的物理现象有关的n 个物理量，如管道流体输送中 单位长度的压强损失：
p F (u, D, , , ) L
几何学量纲：0，=0，=0 运动学量纲：0，0，=0
动力学量纲：0，（0或=0 ），0
6、无量纲数或称量纲为1（纯数，如相似准数）：
=0，=0，=0，即 [x] = [1]。 特点： （1）无量纲单位，它的大小与所选单位无关；
（2）普适性。
2012-12-30 水力学基础 5
（三）本章的内容用于解决以下问题
1、定性分析：建立各相关参数间的关系。 2、指导试验：针对所建立的定性关系（公式结构形式），对无量纲系数进 行实验，形成定量关系。 3、模型实验设计——相似准数与相似律
2012-12-30 水力学基础 2
第六章 量纲分析和相似理论
北京工业大学市政工程系
二、定性分析与实验量化
(i 1,2,3, n m )
4）确定无量纲参数：由量纲和谐原理解联立指数方程，求出
各项的指数a1，a2，….，am；从而定 出各无量纲参数。
5）写出描述现象的关系式
f( 1 , 2 , n - m ) 0
或显解一个参数，如：
2012-12-30
1 f( 2 , 3 , n - m )
第六章量纲分析和相似理论北京工业大学市政工程系第六章量纲分析和相似原理2020720水力学基础本章内容一概述二定性分析与实验量化一量纲和单位二量纲和谐原理三量纲分析法四实验量化三相似准数与模型实验一基本概念二相似准数方程三模型相似律相似准则的适用本章小结第六章量纲分析和相似理论北京工业大学市政工程系2020720水力学基础一流体力学研究问题的方法1解析法
（1） 确定与所研究的物理现象有关的n 个物理量，如管道流体输送中 单位长度的压强损失：
p F (u, D, , , ) L
量纲分析相似理论
P pA pl p ~ 2 2 2 Eu I Va l
通常，对流动起作用的是液流中两点压强差△p， 而不是某点的压强p。故欧拉数常写为：
2
Eu
p
2
注意：压力场的相似不是两个流动相似的原 因，而是两个流动相似的结果。Eu准则不 是独立的。只要主要的相似准则（Re或Fr) 得到满足，则该准则必定满足。
定义：两流动的速度场相似,即两个流 动的对应时刻对应点的速度方向相同,大 小成比例。 p C 引入速度比例系数 m m lm / t m 由于 p l p / t p
因此
Cl C Cl Ct1 l m t m Ct
lp tp
Ct
tp tm
运动相似需要建立在几何相似基础上.因此 运动相似只需确定时间比例系数 就可以 了。故运动相似也就被称之为时间相似。
C Cl2C2
Fp
Fm 或 2 2 2 2 p l p p mlm m
Fp
式中：
F Ne 2 2 l
是一个无量纲数
因此，两个流动相似的重要标志是它们的牛顿准则 数相等：即
Ne p Nem
二、雷诺准则 对于有压流动，粘性力是主要作用力。 粘性力比尺
CT
Tp Tm
CP
Pp Pm
ห้องสมุดไป่ตู้
p p Ap pm Am
C pC l
2
要满足动水总压力相似，必须满足CP=CI， 即 C pCl2 C Cl2C2
Cp 1 pm
即
C C 即
2
pp
p
2 p
2 mm
即 Eu p Eu m
欧拉数的物理意义
水力学第六章 量纲分析和相似原理
• 2 定理
任何一物理过程，包括有量纲物理量 k+1 个： x1, x2 ,, xk1 ；
而在这些物理量中的基本物理量为 m 个，于是就可以把这些量排
列成 k+1—m 个独立的无因次参数 1, 2 ,, k1m 。 f (x1, x2 , x3, xk1) f1(1, 2 , 3, k1m ) 定理应用依赖于理论分析和实验研究。
流动的动力相似，要求同名力作用，相应的同名力成比例。 同名力成比例
Fp Gp Tp Pp S p E p I p Fm Gm Tm Pm Sm Em I m
在水流实验中主要有
Fp Fm
Gp Gm
Tp Tm
Pp Pm
Ip Im
或 F
G
T
P
I
§6-2 相似原理 • 2运动相似
要求两流动的相应流线几何相似，或相应点的流速大小成比例，方向相同。
时间比尺
t
tp tm
速度比尺
up um
lp /tp lm / tm
l t
u
加速度比尺
a
up /tp um / tm
u t
l t2
§6-2 相似原理 • 3动力相似
• ②糙率相似；
• ③流动尽可能处于阻力平方区；
• ④模型对最小水深的要求(表面张力影响)；
• ⑤模型应遵守的规范。
hm0.05m
本章小结： 1量纲和谐原理。 2流动相似概念，几何、运动、动力相似。 3相似准数，雷诺准数，弗汝德准数。 本章无习题，熟悉基本概念 例6－1的推导过程。
以压力表示
Fp Fm
Ep Em
任何一物理过程，包括有量纲物理量 k+1 个： x1, x2 ,, xk1 ；
而在这些物理量中的基本物理量为 m 个，于是就可以把这些量排
列成 k+1—m 个独立的无因次参数 1, 2 ,, k1m 。 f (x1, x2 , x3, xk1) f1(1, 2 , 3, k1m ) 定理应用依赖于理论分析和实验研究。
流动的动力相似，要求同名力作用，相应的同名力成比例。 同名力成比例
Fp Gp Tp Pp S p E p I p Fm Gm Tm Pm Sm Em I m
在水流实验中主要有
Fp Fm
Gp Gm
Tp Tm
Pp Pm
Ip Im
或 F
G
T
P
I
§6-2 相似原理 • 2运动相似
要求两流动的相应流线几何相似，或相应点的流速大小成比例，方向相同。
时间比尺
t
tp tm
速度比尺
up um
lp /tp lm / tm
l t
u
加速度比尺
a
up /tp um / tm
u t
l t2
§6-2 相似原理 • 3动力相似
• ②糙率相似；
• ③流动尽可能处于阻力平方区；
• ④模型对最小水深的要求(表面张力影响)；
• ⑤模型应遵守的规范。
hm0.05m
本章小结： 1量纲和谐原理。 2流动相似概念，几何、运动、动力相似。 3相似准数，雷诺准数，弗汝德准数。 本章无习题，熟悉基本概念 例6－1的推导过程。
以压力表示
Fp Fm
Ep Em
《水力学》课件——第六章 量纲分析与相似理论
• 物理过程的有量纲表达形式为 f (x1, x2,", xn ) = 0 ，其中 m 个物
理量的量纲被选为基本量纲，余下 n-m 个物理量可各自与这m
个物理量组合成无量纲量 1, 2,", ， 定理的结论是：物理
过程的无量纲表达形式为 F(
1,
nm
2,", n m =
)0
例 初速为零的自由落体运动位移s
形）得到流动的相似准数：
斯特劳哈尔数
S UT
t
L
弗劳德数
Fr U gL
欧拉数
P
En
U2
雷诺数
Re UL
它们分别是时变惯性力、重力、压差力、粘性力相似的准数。
斯特劳哈尔数
UT St L
表征
位变惯性力 时变惯性力
雷诺数
R UL e
表征
位变惯性力
弗劳德数
Fr U gL
表征 位变惯性力
欧拉数
P
En
U2
粘性力 表征
• 应用 定理要点（也是难点）在于：确定物理过程涉及的物
理量时，既不能遗漏，也不要多列。
ห้องสมุดไป่ตู้6—2 相似理论
一. 流动相似概念
• 本节在量纲分析基础上，讨论两个规模不同的不可压流体流
动的相似问题。这是进行有关流体力学模型试验时必须面对的 问题。
• 几何相似：流场几何形状相似，相应长度成比例，相应角度
• 在两个相似
流动中，对应 的无量纲量是 相同的。
• 不可压流体的流动都受N-S方程的控制，那么
我们怎样来保证两个不同规模的流动是相似的 呢？两个相似的不可压流体流动的无量纲解应 是相等的，这意味着控制流动的无量纲方程和 无量纲边界条件和初始条件应是完全一样的。
第6章量纲分析与相似原里
我国： 我国： 1946年 北洋大学与华北局建成水力学实验室（第一水工所） 1946年 北洋大学与华北局建成水力学实验室（第一水工所） 1953年 第一水工所解体，一部分去北京建立水科院， 1953年 第一水工所解体，一部分去北京建立水科院，而 后建南京水科院（南试处） 后建南京水科院（南试处） 一部分留天津大学（水利馆） 一部分留天津大学（水利馆） 现在：科研机构众多（各省市、大设计院、大学） 现在：科研机构众多（各省市、大设计院、大学）,都建有水 工试验厅（ 工试验厅（室）。
−1
−2
=M L
α
−3α
L LT
β γ
−γ
对于M 对于M： α = 1 对于T 对于T： γ = 2 对于L： − 1 = −3α + β + γ 对于L 解出， 解出， 得
α =1
β =0
γ =2
∆p π4 = 2 ρv
又 即
∆ π5 = x y z ρ d v
L = M x L−3 x Ly LzT − z
研究、解决、 研究、解决、 发现、 发现、发明
模型试验的理论与方法是工程师必备知识！ 模型试验的理论与方法是工程师必备知识！ 是工程师必备知识
6.1.量纲分析（因次分析） 6.1.量纲分析（因次分析） 量纲分析
6.1.1 量纲 物理量：包括量的种类和数值。 物理量：包括量的种类和数值。 物理量的种类——量纲（因次） 量纲（因次） 物理量的种类 量纲 基本量纲： 基本量纲： M ，L ， T 。 导出量纲： 导出量纲：流速 L / T ，面积 L2 密度 M / L3 。 无量纲量（无因次） 无量纲量（无因次）——纯数 纯数 如：雷诺数
Re = vd
，
ν
工程流体力学 第6章 相似理论和量纲分析
FESTO气动中心
第6章 相似理论和量纲分析
2020年1月10日
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6.1 量纲分析
量纲的概念 量纲齐次性原理 量纲分析法
2020年1月10日
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6.1 单位和量纲
• 物理量——物理现象中有关的各种变量称为物理量。物理 量是用数值和单位表示的。
时间t的单位：秒、分、小时等。
由量纲齐次性知，等式两边各基本量纲的指数应分别相等，于是有
2020年1月10日
FESTO气动中心
ab 1 a 3b c d 1 a c 2
三个方程有四个未知数，为此任意指定一个未知量为待定指数，如选 a为 待定指数，则可从上式解出
于是有
b 1a c 2a d 2a
CS
lm2
l
2 p
Cl2
体积比尺
CV
lm3
l
3 p
Cl3
长度比尺是基本比尺，面积比尺和体积比尺
是导出比尺。导出比尺与基本比尺的关系为
导出物理量量纲与基本物理量间的关系。
2020年1月10日
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2.运动相似
——流动的速度场相似。即满足几何相似的两系统
对应瞬时、对应点上的速度方向相同，大小成同一
比例。
速度比尺
Cv
vm vp
时间比尺 加速度比尺
Ct
tm tp
lm / vm lp / vp Nhomakorabea
Cl Cv
Ca
am ap
vm / tm vp / tp
Cv Ct
Cv2 Cl
2020年1月10日
第6章 相似理论和量纲分析
2020年1月10日
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6.1 量纲分析
量纲的概念 量纲齐次性原理 量纲分析法
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6.1 单位和量纲
• 物理量——物理现象中有关的各种变量称为物理量。物理 量是用数值和单位表示的。
时间t的单位：秒、分、小时等。
由量纲齐次性知，等式两边各基本量纲的指数应分别相等，于是有
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ab 1 a 3b c d 1 a c 2
三个方程有四个未知数，为此任意指定一个未知量为待定指数，如选 a为 待定指数，则可从上式解出
于是有
b 1a c 2a d 2a
CS
lm2
l
2 p
Cl2
体积比尺
CV
lm3
l
3 p
Cl3
长度比尺是基本比尺，面积比尺和体积比尺
是导出比尺。导出比尺与基本比尺的关系为
导出物理量量纲与基本物理量间的关系。
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2.运动相似
——流动的速度场相似。即满足几何相似的两系统
对应瞬时、对应点上的速度方向相同，大小成同一
比例。
速度比尺
Cv
vm vp
时间比尺 加速度比尺
Ct
tm tp
lm / vm lp / vp Nhomakorabea
Cl Cv
Ca
am ap
vm / tm vp / tp
Cv Ct
Cv2 Cl
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相似理论和量纲分析
b
两机翼几何相似
3
只要模型与原型的全部对应线性长度的比例相 等，则它们的夹角必相等。
由于几何相似，模型与原型的对应面积、对应 体积也分别互成一定比例，即
• 面积比尺
kA
A A
l2 l2
kl2
• 体积比尺
kV
V V
l3 l3
kl3
4
正态模型：长、宽、高比尺均一致的模型。在 流体力学模型实验中，一般采用正态模型。 变态模型：分别采用不同的长度比尺、高度比 尺和宽度比尺，如天然河道的模型。
14
模型与原型的流场动力相似，它们的牛顿
数必定相等即 Ne Ne;反之亦然。这便是由
牛顿第二定律引出的牛顿相似准则。 不论是何种性质的力，要保证两种流场的
动力相似，它们都要服从牛顿相似准则，于是， 可得：
一、重力相似准则
二、粘性力相似准则 三、压力相似准则 四、非定常性相似准则 五、弹性力相似准则 六、表面张力相似准则
kv 1/ kl
要求相矛盾，即使采用不同的流体介质也很难实现。 31
相似准则数越多，模型实验的设计越困难，甚至根 本无法进行。
近似的模型实验方法，即在设计模型和组织模型实 验时，在与流动有关的相似准则中考虑那些对流动过程
起主导作用的相似准则（决定性准则），而忽略那些对 流动过程影响较小的相似准则（非决定性准则），达到
力的比值。二流动的表面张力作用相似，它们的韦伯
数必定相等，即 We We ；反之亦然。这便是表 面张力相似准则，又称韦伯相似准则。
26
上述的牛顿数、弗劳德数、雷诺数、欧拉 数、斯特劳哈尔数、柯西数、马赫数、韦伯 数等统称为相似准数。
牛顿第二定律所表述的是形式最简单、最 基本的运动微分方程。根据该方程可导出在 各种性质单项力作用下的相似准则。在实际 流动中，作用在流体微团上的力往往不是单 项力，而是多项力，这时牛顿第二定律中的 力代表的便是多项力的合力。
量纲分析和相似理论
量纲分析和相似理论一、学习目的：本章研究与流体力学实验有关的基本理论和方法，在此基础下，才能科学地策划各类实验，整理实验结果，并用这些结果去处理和解决实际工程问题。
二、学习内容：2.1 量纲和单位物理现象中的各种变量称为物理量物理量具有两个属性，一是性质属性，二是数量属性。
物理量的性质属性称为量纲在工程流体力学中，基本量纲有质量M，长度L，时间T，温度Θ。
基本量纲具有两个特征。
一个特征是，任何一个基本量纲都无法用其他的基本量纲的幂次式表达出来；另一个特征是，任何物理量都可以用基本量纲的幂次式表达出来。
特别的是：如果一个物理量的量纲式的幂指数均为零，这样的物理量的量纲就是1，称作量纲一的物理量。
如雷诺数Re是一个量纲一的特征数，其量纲式为dimRe=M0L0T0=1为了表示物理量的大小，在同一种物理量中，或者说在一种量纲中选取一个特定的量作为参考量，这个参考量就称为单位。
中国的法定单位是SI国际单位，质量单位是kg(千克），长度单位是m（米），时间单位是s（秒）。
SI单位具有一致性。
也就是，（一）在物理方程中进行加减运算的两个物理量必须具有相同的单位；（二）如果物理量的计算中使用SI单位，则所得结果也必然为SI单位。
2.2 量纲分析法量纲分析法广泛应用于分析研究复杂物理现象中各种物理量的相互影响的一般规律。
量纲分析法最重要的定理是布金汉(E.Buckingham)定理，又称π定理。
它通过对某一个物理现象中各物理量的量纲的幂次分析，将若干物理量组合成为量纲一的特征数，揭示各个物理量的量纲关系，减少物理方程的变量数目，为理论分析和实际研究提供理论依据。
π定理设在某个物理现象中，有n个物理量q1,q2,…,q n存在函数关系，即f（q1,q2,…,q n)=0如果这n个物理量所包含的基本量纲为m个，则存在n-m个独立的量纲一特征数π1，π2，…πn-m，而且，这些量纲一的特征数也存在某种函数关系F（π1,π2，…πn-m)=0应用π定理处理和研究复杂物理现象的方法和步骤。
华中科技大学 流体力学第六章_1
1、2 应该是无量纲的，所以
1 a 0 1 3a b c 0 2b 0
1 e 0 1 3e f g 0 1 f 0
解出
a 1 , b 2 , c 2 , e 1 , f 1 , g 1
第 6 章 量纲分析与相似原理
目的：
为了使实验流场与真实流场具有一定的对应关 系(相似性)，实验中的各物理参数应该如何确定？ 模型实验中的各种测量值应该如何被换算为实 物上的相应值？
如何科学地设计实验，正确有效地反映出相关物 理参数之间的实质性联系。
例 等截面水平圆管中的流动。压降 p 取决于管长 l、 平均流速 V、流体动力粘度 、流体密度 、管直 径 d、管壁粗糙度 。 涉及的物理参数： p 、 、l、 、 、V、d，
运动相似：各对应点上的速度方向一致，大小成比例；
动力相似：各对应点上的应力方向一致，大小成比例。
几何相似并不能保证动力相似。
例 用同一翼型模型在不同粘度的流体中测量升 力和阻力，由于升力与流体粘度无关，阻力 与粘度相关，所以在两个流场中测出的升力 相等而阻力却不等。
满足了几何相似的前提下，运动相似和动力相似 才有可能。 动力相似是流动相似的主导因素，只有满足动力 相似才能保证运动相似，从而达到流动相似。
dp c d
弹性力 对流惯性力
dp c2dຫໍສະໝຸດ c 2l022 2 v0 l0
2 2 2 v l v 0 0 Ma 2 0 c2l02 c2
马赫数(惯性力/弹性力)
（1） 雷诺准则
对流惯性力 m 对流惯性力 p
基本方程：
v p 2 v v f v t
量纲分析和相似原理
p vp
vm l m
几何相似、定性准则成立是实现流体力学相似的必要和充分条件
（5）模型实验应保证对流动起主要作用的力相似，如 有压管流粘滞力起主要作用，满足雷诺准则；明渠流 动重力起主要作用，满足弗劳德准则。
弗劳德准则
Ip
Im G p Gm
vp
2 vp
G gl
3
g p lp
v g m lm
2 m
g p lp
vm g m lm
3 l I l 2 l 2 v 2 t
( Fr ) p ( Fr ) m
弗劳德数表征惯性力与重力之比。 两流动相应的弗劳德数相等，重力相似。
相似准则（3）
pm 2 2 p vp m vm pp
欧拉准则
Pm I p Im Pp
P pl 2
l I l 2 l 2 v 2 t
3
( Eu ) p ( Eu ) m
欧拉数表征压力与惯性力之比。 两流动相应的欧拉数相等，压力相似。 雷诺准则、弗劳德准则是定性准则，欧拉准则是导出准则
相似概念（1）
几何相似
l lm1 lm 2 lm p1 m1 p 2 m 2 lp1 lp 2 lp
l
—— 长度比尺
运动相似
lp t m l v vm lm / t m lm t p t ap vp / t p vp t m l 2 a am vm / t m vm t p t vp lp / t p
§5-4
模型实验
vm l m
模型律的选择
vp l p
量纲分析相似理论
ρu 2 d 1 = π′ = σ π
韦伯(Weber)数
惯性力 ρu 2 d ρu 2 d 2 We = = = σ σd 表面张力
一、相似的基本理论
相似理论
相似第一定律--------“彼此相似的现象，它们的同名相似准则 彼此相似的现象， 相似第一定律 彼此相似的现象 必相等。 必相等。” 相似第二定律--------“相似的现象中由相似准则所描述的函数 相似的现象中由相似准则所描述的函数 相似第二定律 关系对两个现象是相同的。 关系对两个现象是相同的。” 相似第三定律--------“假定两个现象服从同一个函数关系，在 假定两个现象服从同一个函数关系， 相似第三定律 假定两个现象服从同一个函数关系 两个现象中所有相似准则相等，则这两个现象相似。 两个现象中所有相似准则相等，则这两个现象相似。”
＝4－3＝1个无量纲π项
0
0
= MT M L L L T
y z
−3 x
d
−z
σ
M
0 1 1 = M0+ xT − 2− z1 y + z −3 x = M 0T 0 L0 L Lx = 11, z = −2, y = −1 -3 1 0 − T
π=
-1σ
0
0
-2
ρu 2 d
相似准则举例－ 相似准则举例－液滴破碎
1 相似变换法
（2）无量纲化方程 ）
∂u ∂v v + + =0 ∂x ∂r r 1 ∂p µ ∂ 2u ∂ 2u 1 ∂u ∂u ∂u u +v =− + + + ρ ∂x ρ ∂x 2 ∂r 2 r ∂r ∂x ∂r ∂v ∂v 1 ∂p µ ∂ 2 v ∂ 2 v 1 ∂v u +v =− + + + ∂x ∂r ρ ∂r ρ ∂x 2 ∂r 2 r ∂r
传热学第六章相似理论
混合对流的实验关联式这里不讨论。 推荐一个简单的估算方法：
Nu
n M
Nu Nu
n F
n N
式中： Nu M 为混合对流时的 Nu 数， Nu N 则为按给定条件分别用强制对流 而 Nu F 、 及自然对流准则式计算的结果。 两种流动方向相同时取正号，相反时取负号。 n之值常取为3。
思考题：
(2) 实验方法直接获取（bulk temperature）
对流体进行充分的混合， 以保证测得的温度是截面 平均温度
长通道表面的平均表面传热系数
迪图斯-贝尔特（Dittus-Boelter）公式 ——广泛适用
适用范围：
水：不超过20~30K 此式适用与流体与壁面具有中等以下温差场合 气体：不超过50K 油：不超过10K
对于气体横掠非圆形截面的柱体或管道的对流传热也可采用上式c及n的值见下表d为特征长度横掠管束换热实验关联式叉排换热强阻力大易积灰不利于清洗顺排阻力小积灰少易于清洗外掠管束内部强迫对流随着主流方向管排数的增加流动和传热进入周期性充分发展阶段局部某排管束的平均表面传热系数不变
第六章
单相对流传热的实验关联式
因此，我们需要知道某一物理现象涉及哪些特征数（无量纲数）？ 它们之间的函数关系如何？
5. 导出特征数的方法：相似分析法和量纲分析法
相似分析法：在已知物理现象数学描述的基础上，利用描述该现 象的一些数学关系式，来导出对应物理量的比例系数（相似倍数） 之间的制约关系，从而获得相似准则数。 数学描述： 现象1：
与现象有关的物理量一一对应成比例：例如，对流传热除了时间空间外 还涉及到速度，温度，热物性等参数，要求每个物理量都要各自相似。 非稳态问题：要求相应的时刻各物理量的空间分布相似。
量纲分析和相似理论
1 + a = 0,−1 − 3a + b + c = 0,−1 − b = 0 a = −1, b = −1, c = −1, π 2 =
µ ρVd
这两个独立的无量纲数的关系是
FD ρVd ) = f( 2 2 ρV d µ
流动相似原理
原型：天然水流和实际建筑物等。 原型：天然水流和实际建筑物等。 模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物。 模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物。 几何相似：即是要求模型和原型所对应线段之比等于一常数。 几何相似：即是要求模型和原型所对应线段之比等于一常数。
相似准则
常选惯性力为特征力，将其它作用力与惯性力相比， 常选惯性力为特征力，将其它作用力与惯性力相比， 组成一些准则，由这些准则得到的准则数（准数） 组成一些准则，由这些准则得到的准则数（准数）在相 似流动中应该是相等的。 似流动中应该是相等的。
流动相似原理
雷诺准则——粘性力是主要的力 粘性力是主要的力 雷诺准则
[解]
本问题的物理量共有5个 本问题的物理量共有 个：FD、d 、V 、ρ 、µ ，即n=5，基本量 ， 个独立无量量纲。 纲M、L、T，即m=3，故应该有 个独立无量量纲。则有： [V ] = [ LT −1 ] 、 、 ， ，故应该有2个独立无量量纲 则有：
为循环量， 组合成无量纲数π 选ρ、V、d为循环量，与余下的 D、µ组合成无量纲数 1、π2。 、 、 为循环量 与余下的F 组合成无量纲数
Fp Fm = λ F ——力的比尺 力的比尺
流动相似原理
流动相似的含义： 流动相似的含义：
几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据； 几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据； 动力相似是决定二个液流运动相似的主导因素； 动力相似是决定二个液流运动相似的主导因素； 运动相似是几何相似和动力相似的表现； 运动相似是几何相似和动力相似的表现； 凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。 凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。
µ ρVd
这两个独立的无量纲数的关系是
FD ρVd ) = f( 2 2 ρV d µ
流动相似原理
原型：天然水流和实际建筑物等。 原型：天然水流和实际建筑物等。 模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物。 模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物。 几何相似：即是要求模型和原型所对应线段之比等于一常数。 几何相似：即是要求模型和原型所对应线段之比等于一常数。
相似准则
常选惯性力为特征力，将其它作用力与惯性力相比， 常选惯性力为特征力，将其它作用力与惯性力相比， 组成一些准则，由这些准则得到的准则数（准数） 组成一些准则，由这些准则得到的准则数（准数）在相 似流动中应该是相等的。 似流动中应该是相等的。
流动相似原理
雷诺准则——粘性力是主要的力 粘性力是主要的力 雷诺准则
[解]
本问题的物理量共有5个 本问题的物理量共有 个：FD、d 、V 、ρ 、µ ，即n=5，基本量 ， 个独立无量量纲。 纲M、L、T，即m=3，故应该有 个独立无量量纲。则有： [V ] = [ LT −1 ] 、 、 ， ，故应该有2个独立无量量纲 则有：
为循环量， 组合成无量纲数π 选ρ、V、d为循环量，与余下的 D、µ组合成无量纲数 1、π2。 、 、 为循环量 与余下的F 组合成无量纲数
Fp Fm = λ F ——力的比尺 力的比尺
流动相似原理
流动相似的含义： 流动相似的含义：
几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据； 几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据； 动力相似是决定二个液流运动相似的主导因素； 动力相似是决定二个液流运动相似的主导因素； 运动相似是几何相似和动力相似的表现； 运动相似是几何相似和动力相似的表现； 凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。 凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。
量纲分析与相似理论
11
例：已知过坝的单宽流量q和堰上水头H、水的密度 及重力 加速度g有关，求q的表达式。
(1)将有关影响因素列如下式：
q f ( H、g、 )
（2）写成指数乘积形式，为
q CH a1 g a 2 a3
（3）写成量纲关系式，根据量纲 和谐原理求解指数项：
12
LT
2
1
L ( LT ) (ML )
项。
e.写出描述现象的关系式
F（1， 2，…， n-m）=0
19
3．
定理举例与小结
求文德利管的流量关系（参照图）。影响喉道处流速v2
的因素有：文丘里管进口断面直径D1，喉道断面直径D2， 水的密度，粘度及两个断面间的压强差 p （假设文丘里管 为水平放置），现用 定理来求流量表达式。
26
由上述实例可知，量纲分析法的作用具体体现在： 在仅知与物理过程有关的物理量的情况下，利用量纲和谐原 理即可求出表述该物理过程关系式的基本结构形式，并找出 进一步研究该问题的途径； 而且可使一些纯经验公式具有理论上（量纲和谐性）的形式，
找出继续改进的方向；
同时依靠定理定出的无量纲项，用来作为模型试验的相似准 数及正确处理数据的主要参量。 因此，量纲分析定理在水力学研究和模型试验领域被广泛应用， 成为一个有效的研究手段。
2
x4 x1 1 x21 x31
x5 x1 2 x22 x32
a b c
a
b c
.....，
n 3
xn x1 n 3 x2n 3 x3n 3
18
a
b
c
d.每个 项即是无量纲数，即dim=L0T0M0，因此可根据量纲 和谐原理，求出各 纲
例：已知过坝的单宽流量q和堰上水头H、水的密度 及重力 加速度g有关，求q的表达式。
(1)将有关影响因素列如下式：
q f ( H、g、 )
（2）写成指数乘积形式，为
q CH a1 g a 2 a3
（3）写成量纲关系式，根据量纲 和谐原理求解指数项：
12
LT
2
1
L ( LT ) (ML )
项。
e.写出描述现象的关系式
F（1， 2，…， n-m）=0
19
3．
定理举例与小结
求文德利管的流量关系（参照图）。影响喉道处流速v2
的因素有：文丘里管进口断面直径D1，喉道断面直径D2， 水的密度，粘度及两个断面间的压强差 p （假设文丘里管 为水平放置），现用 定理来求流量表达式。
26
由上述实例可知，量纲分析法的作用具体体现在： 在仅知与物理过程有关的物理量的情况下，利用量纲和谐原 理即可求出表述该物理过程关系式的基本结构形式，并找出 进一步研究该问题的途径； 而且可使一些纯经验公式具有理论上（量纲和谐性）的形式，
找出继续改进的方向；
同时依靠定理定出的无量纲项，用来作为模型试验的相似准 数及正确处理数据的主要参量。 因此，量纲分析定理在水力学研究和模型试验领域被广泛应用， 成为一个有效的研究手段。
2
x4 x1 1 x21 x31
x5 x1 2 x22 x32
a b c
a
b c
.....，
n 3
xn x1 n 3 x2n 3 x3n 3
18
a
b
c
d.每个 项即是无量纲数，即dim=L0T0M0，因此可根据量纲 和谐原理，求出各 纲
流体力学第三版(刘鹤年)第六章 量纲分析和相似原理
欧拉准则可自行成立。所以雷诺准则和弗劳德准则又被称
为独立准则，欧拉准则称为导出准则。
Page 20
6.4 模型实验
模型实验是根据相似原理，制成和原型相似的小尺度 模型进行实验，并以实验的结果预测出原型将会发生的流 动现象。 6.4.1 模型律的选择
1、模型实验做到与原型完全相似是困难的，一般只能达
Page 15
6.2 量纲分析法
6.2.3 量纲分析方法的讨论 1、量纲分析方法的理论基础是量纲和谐原理，凡正 确反映客观规律的物理方程，量纲一定是和谐的。 2、量纲和谐原理是判别经验公式是否完善的基础。 3、应用量纲分析方法得到的物理方程式是否符合客
观规律，和所选入的物理量是否正确有关。
4、量纲分析为组织实施实验研究，以及整理实验数 据提供了科学的方法，是沟通流体力学理论和实验之 间的桥梁。
第6章 量纲分析和相似原理
土木工程学院
Page 1
中国当代之父母应当怎么做（此文18处提到父母一词）
中国教育之希望，不在我中国之少年，而在华夏之父母！ 中国教育之根本，不在大学，也不在大师，而在千万家庭，亿万父母。 国家兴亡，父母之责。 父母兴，则中国兴，父母强，则中国强。 若中国之父母，人人好学，事事精进，则中国之少年，人人优秀，个个精英。 父母是上帝，孩子定是天使，当今中国也必定是人间天堂。 父母与人为善，亲侍双亲，以孝为先；孩子定以父母为荣，习得感恩，懂得责 任。 父母仁爱，孩子必爱心！ 父母圣贤，孩子定明贤！ 父母尊天，敬地，爱人，孩子必明德，守义，克己！ 父母好学，视学习为乐，孩子定尚学，以学习为乐。 父母不学习，以学习为苦，孩子定以学习为苦，避而逃之。 父母身先士卒，率先垂范，孩子定身体力行，以身效仿。 父母懂教育，会教育，爱教育；孩子必成人，定成才，终成功！ 中国教育的希望，不在孩子，而在父母。 所有的教育，离不开父母的以身作则，父母想让孩子成为一个怎样的人；首先自 Page 2 己要成为这样的人。
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vp2 vm2
0.05
10.192 1.0192
5m （油柱）
100m 长的输油管两端的压强差
5 5
100
100m
（油柱）
第二节 量纲分析
一、量纲分析的基本概念
二、量纲和谐性原理
三、量纲分析法
瑞利法 π定理
一、 量纲分析的基本概念
（一） 量纲 物理量单位的种类称为量纲或因次，如长度量纲 L。通常用[x]表示物理量x的量纲。 用[ ] 表示物理量的量纲，
应满足雷诺相似准则
vmlm vplp
m
p
因 lm lp （ kl 1 ），上式可简化为
vm m vp p
流量比尺 kQ kvkl2 kv k ，所以模型中水的
流量为
Qm
m p
Qp
0.013 0.18 0.13
0.018m3
/s
（2）流动的压降满足欧拉准则
6. 柯西相似准则
Cam Cap
柯西数
ρv 2 Ca
K
柯西相似准则表明两流动的弹性力相似时，模型与 原型流动的柯西数相等。 柯西数的物理意义在于它反映了流动中惯性力和弹 性力之比。
注意：柯西相似准则适用于可压缩液体。
7. 马赫相似准则
Mam Map
马赫数
Ma v c
c——当地声速
Eu
p v 2
Eu m Eu p
上式称为欧拉相似准则，表明两流动的压力相似时， 模型与原型流动的欧拉数相等。 欧拉数的物理意义在于它反映了流动中压力和惯性 力之比。
注意：欧拉相似准则不是独立的准则，当雷诺相似 准则和弗劳德相似准则得到满足时，欧拉相似准则 将自动满足。
4. 斯特劳哈尔(Strouhal)相似准则
马赫相似准则表明两可压缩气体流动的弹性力相似 时，模型与原型流动的马赫数相等。 马赫数的物理意义在于它反映了流动中惯性力和弹 性力之比。
三、近似模型法
动力相似可以用相似准则表示，若原型和模型 流动完全动力相似，需满足各相似准则。事实 上，不是所有的相似准则之间都是相容的，满 足了甲，不一定就能满足乙。 如：若满足雷诺相似准则
kνkl-1
kρ
kν2kρ
kl1/2 kl3kρ
kl
kνkl
kl5/2
时间比尺kt
kl2
kν-1kl2
kl1/2
例1 有一轿车，高h=1.5m，在公路上行驶，设 计时速v=108km/h，试用模型实验求出其迎面空 气阻力F。（设在风洞内风速为vm=45m/s，测得 模型轿车的迎面空气阻力Fm=1500N）
[μ]= ML-1T-1
（三）无量纲量 当上式中各量纲的指数为零，即α＝β＝γ＝0时， 称x为无量纲量。
无量纲量的特点 1. 无量纲量的数值大小与所采用的单位制无 关。 2. 无量纲量可进行超越函数的运算（如对数、 指数、三角函数的运算）。
如：气体等温压缩所作的功W，可写成对数形式
W
P1V1ln
在量纲和谐性原理基础上发展起来的量纲分 析法有两种：
一种为瑞利法，适用于比较简单的问题； 一种为π定理（布金汉π定理），是一种具有普 遍性的方法。
V2 V1
二、 量纲和谐性原理
量纲和谐性原理（或量纲一致性原理、量纲齐次性
原理）是指一个正确、完善的反映客观规律的物理
方程式中，方程中每项的量纲应该是一致的。
如：
p v 2
z C
g 2g
工程技术中由实验或观测资料整理而得的经验公式可以 不符合该原理。
三、量纲分析法
当流动问题所涉及的物理量较多时，可以通 过量纲分析法将变量结合，以便于实验和了解问 题的本质。
I ma
I ma
Va l 2v2 vl
Re
T A du A du lv
dy
dy
雷诺数的物理意义在于它反映了流动中惯性力和粘 性力之比
2. 弗劳德(Froude)相似准则 当流动所受重力G相似时，满足弗劳德相似准则
Gm Gp
kF
ρmlm2vm2 ρplp2vp2
kv
将 v l t 代入上式，得
kv
vm vp
lm lp
tm tp
lmtp lptm
kl kt
式中 kt tm t p 称为时间比尺。
运动学物理量的比尺都可以表示为长度比尺 和时间比尺的不同组合形式。
速度比尺
kv=klkt-1
加速度比尺
ka=klkt-2
流量比尺
kQ=klkt-3
用（ ）表示物理量的单位
（二）基本量纲 导出量纲 基本量纲是指具有独立性的，不能由其它基本量纲 的组合来表示的量纲。流体力学的基本量纲共有四 个：长度量纲L、时间量纲T、质量量纲M和温度量 纲Θ。对不可压缩流体，则只需L、T、M三个基本 量纲。 由基本量纲组合来表示的量纲称为导出量纲。
任意一个物理量x的量纲都可以用L、T、M 这三个基本量纲的指数乘积来表示，即
油的运动粘度 νp=0.13cm2/s。现用水作模型实验，水
的运动粘度 νm=0.013cm2/s。当模型的管径与原型相
同时，要达到两流动相似，求水的流量 Qm。若测得
5m
pm
长输水管两端的压强水头差 mgm
5cm ，试求
100m 长的输油管两端的压强差 pp ？（用油柱高
表示）
pgp
解：（1）因圆管中流动主要受粘滞力作用，所以
解： 采用雷诺模型法 ，
Rem=Rep 得到 kv=kνkl-1 kF=kρkl2kv2=kρkν 因为模型实验段内气流温度与轿车在公路上 行驶时的温度相同，kν=1， kρ=1， 所以 kF=1 得到轿车在公路上行驶时迎面空气阻力
F=1500N
例 2 已知直径为 15cm 的输油管，流量 0.18m3/s，
因此，模型实验要做到完全相似是比较 困难的，一般只能达到近似相似，也就是说 只能保证对流动起主要作用的力相似。
近似模型法是指在进行模型设计时，选 择合理的相似准则以保证对主要的力学相似 。
近似模型法的第一种
弗劳德模型法：重力占主要地位，通常出现在明 渠流、堰流等水利工程中。
选取弗劳德相似准则
vm2 vp2 gmlm gplp
pm m vm2
pp pvp2
pp pgp
pm mgm
vp2 vm2
gm gp
因
vp
0.18 0.152
10.19m / s
，
vm
0.018
0.152
1.019m / s
，且
4
4
gm gp ，则 5m 长输油管两端的压强差为
pp
pgp
pm
mgm
欧拉模型法：处于自动模型区的粘性流动，会自 动出现粘性力相似，自动满足欧拉准则。
pm
mvm2
pp
pvp2
k p k kv2
近似模型法中常见物理量比尺与基本比尺（kl、 kν、kρ） 之间的关系
名称
流速比尺kv 力的比尺kF 流量比尺kQ
比尺
雷诺模型法
kν=1
kν≠1
弗劳德模型法
kl-1
gm gp
vm2 vp2
lm
lp
1
kv kl2
近似模型法的第二种
雷诺模型力机械内流动中。
选取雷诺相似准则
vmlm vplp
m
p
vm lp m vp lm p
kv
k kl
近似模型法的第三种
粘性流动中，当雷诺数增大到一定界限后，继 续提高雷诺数粘性效果是一样的，称为自动模 型化，如圆管流动的阻力平方区。
Srm Srp 斯特劳哈尔数 Sr l
vt
该准则用于非定 常流动
斯特劳哈尔相似准则表明两流动的时变惯性力相似 时，模型与原型流动的韦伯数相等。 韦伯数的物理意义在于它反映了流动中时变惯性力 和位变惯性力之比。
5. 韦伯相似准则 Wem Wep
韦伯数
ρlv 2 We
韦伯相似准则表明两流动的表面张力相似时，模型 与原型流动的韦伯数相等。 韦伯数的物理意义在于它反映了流动中惯性力和表 面张力之比。
1. 几何相似（空间相似）
定义： 两流动的对应边长成同一比例，对 应角相等。
模型流动用下标m表示，原型流动用下标p表示
lm1 lm2 lm3 lp1 lp2 lp3
m1 p1，m2 p2，m3 p3
长度比尺 面积比尺 体积比尺
kl
lm lp
kA
Am Ap
k
2 l
3. 欧拉(Euler)相似准则
当流动所受压力P相似时，满足欧拉相似准则
Pm Pp
kF
ρmlm2vm2 ρplp2vp2
P pA pl2
Pm Pp
pmlm2 pplp2
pmlm2
mlm2vm2
pplp2
plp2vp2
pm
mvm2
pp
pvp2
引入欧拉数
Eu
p
v 2
或
x LαTβMγ
当α≠0，β＝0，γ＝0，x为几何学量； 当α≠0，β≠0，γ＝0，x为运动学量； 当α≠0，β≠0，γ≠0，x为动力学量。
[A]= L2
[ν]= L2T-1
[p]= ML-1T-2
[v]= LT-1
[ρ]= ML-3