数学物理方法复变函数的积分
复变函数的积分 柯西定理
第三章 复变函数的积分§3-1复变函数的积分【刘连寿、王正清编著《数学物理方法》P 29-31】复变函数积分的定义：设C 为复平面上以0z 为起点，而以z 为终点的一段路径（即一根曲线），在C 上取一系列分点011,,,,n n z z z z z -=把C 分为n 段，在每一小段[1k k z z -]上任取一点k ξ作和数：()()()111nnn k k k k k k k S f z z f z ξξ-===-=∆∑∑, 其中1k k k z z z -∆=-如果当n →∞且每一小段的长度（1||||k k k z z z -∆=-）趋于零时， 和式()1nk kk f z ξ=∆∑的极限存在，并且其值与k z 及k ξ的选取方式无关，则称这一极限为()f z 沿路径C 由0z 到z 的积分:()()1limlim nn k k Cn n k fz dz S f z ξ→∞→∞===∆∑⎰，C 称为积分路径（()f z 在C 上取值，即z 在C 上变化）。
若C 为围线（闭的曲线），则积分记为： ()Cf z dz ⎰. (围道积分)几点说明：1. 复变函数的积分不仅与积分端点有关，还与积分路径有关。
(与我们以前在高等数学中学过的实变函数的线积分类似。
)2．因为 z x iy =+，dz dx idy =+，()()(),,f z u x y iv x y =+，于是()()()(),,CCf z dz u x y iv x y dx idy =++⎡⎤⎣⎦⎰⎰()()()(),,,,C C u x y dx v x y dy i v x y dx u x y dy ⎡⎤⎡⎤=-++⎣⎦⎣⎦⎰⎰，所以复变函数的积分可以归结为两个实变函数的线积分，它们分别是复变函数积分的实部和虚部。
3．从复变函数积分的定义出发，可以直接得出复变函数的积分具有如下简单性质：（1）0C dz z z =-⎰，z 、0z 分别为C 之起点、终点。
数学物理方法第二章复变函数的积分
d z b ln b ln a ln i Arg b Arg a az a
b
ln z ln(| z |e )
Arg z
此积分与路径有关系！因z = 0 是1/z的一个奇点。 如被积函数有奇点，则由不定积分给出的函数可能是 多值的。被积函数的奇点，可能是该函数的支点。
x d y y d x d d f ( z ) d z u v d t i u v d t l t d t t d t d t d t A A
t B t B
几个重要性质 1.常数因子可以移到积分号之外
c f ( z ) d z c f ( z ) d z
推广：若 f (z)在单连通域B上解析，在闭单连通 域 B 上连续，则沿 B 上任一分段光滑闭合曲 线 l (也可以是 B 的边界)，有
l
f (z)d z 0
（二）复连通域情形 如果区域内存在： (1)奇点 ；(2)不连续线段；(3)无定义区 为了把这些奇异部分排除在外，需要作适当的 围道 l1、l2、 l3 把它们分隔开来，形成带孔的区 域—复连通区域。
C 2
只要起点和终点固定不变，当积分路径连续变形时 （不跳过“孔”）时，函数的路积分值不变。
§2.3 不定积分（原函数）
根据 Cauchy 定理，若函数 f (z) 在单连通
区域B上解析， 则沿B上任一分段光滑曲线 l
的积分
l
f ( z) dz 只与起点和终点有关，而与
路径无关。因此如果固定起点 z0 而变化终点 z, 这个不定积分便定义了一个单值函数 F(z):
l
f (z)d z 0
George Green
数学物理方法 2 复变函数的积分
l
A
Sl
R
CR
22
A
思考题
复函数 f ( z ) 的积分定义式 f ( z )dz 与一元 函数定积分是否一致?
l
答:
若 l 是实轴上区间 [ , ], 则
f ( z)dz =
l
f ( x )dx,
如果 f ( x ) 是实值的, 即为一元实函数的定积分.
一般不能把起点为 , 终点为 的函数 f ( z ) 的积分 记作 f ( z )dz , 因为这是一个线积分, 要受积分路
o
y
b
l
a
1 2
z1 z2
k z k zk 1
zn1
x
2
作和式 S n = f ( k ) ( zk zk 1 ) = f ( k ) zk ,
k =1 k =1
n
n
这里 zk = zk zk 1 , 当 n 无限增加 , 如果不论对 l 的分法及 k 的取法如何 , Sn 有唯 一极限 , 那么称这极限值为 函数 f ( z ) 沿曲线 l 的积分 , y 记为
l
l1
f ( z)dz f ( z)dz
l2
l2
l3
ln
f ( z )dz
l1
B
18
e 例2 计算积分 dz , 为正向圆周 z = 2 和负 z y = 向圆周 z 1 所组成 . l
1
z
解 l1 和 l2 围成一个圆环域,
o
l2
ez 函数 在此圆环域和其边界 z 上处处解析 , 圆环域的边界构成一条复合闭路,
数学物理方法1-2复变函数的积分
莫雷拉定理
总结词
莫雷拉定理是复变函数中一个关于全 纯函数的积分性质的定理。
详细描述
莫雷拉定理说明，如果全纯函数f(z)在圆盘 |z| < R内有界，那么对于任意实数t，积分 ∫f(z)e^(it)dz在|z| = R的边界上非零。这个 定理在研究全纯函数的性质以及解决一些数 学物理问题时非常有用。
柯西定理
总结词
柯西定理是复变函数中的一个基本定理，它表明如果一个函数在某个区域内的点上满足某种条件，则 该函数在该区域内可积。
详细描述
柯西定理说明，如果函数f(z)在某个区域D内是解析的，并且存在常数C使得对于D内的任意点z，都有 |f(z)|≤C，那么函数f(z)在D内是可积的。这意味着满足一定条件的解析函数在一定区域内具有可积性。
幂级数展开的收敛性
幂级数展开的收敛性取决于函数的性质和级数的收敛条件。
幂级数展开的应用
幂级数展开在数学物理中广泛应用于求解微分方程和积分方程。
泰级数展开
泰勒级数展开定义
01
将一个复变函数表示为多项式的无穷级数。
泰勒级数展开的收敛性
02
泰勒级数展开的收敛性取决于函数的性质和级数的收敛条件。
泰勒级数展开的应用
个定理在解决一些数学物理问题时非常有用。
柯西不等式
总结词
柯西不等式是复变函数中一个基本的积分不等式，它反映了函数与其共轭函数之间的积分关系。
详细描述
柯西不等式表明，对于任意实数a和b，以及在全平面上的非负函数f和g，有∫f(z)g(z*)dz ≥ |∫f(z)dz * ∫g(z*)dz|， 其中z*是z的共轭复数。这个不等式在处理一些积分问题时非常有用。
积分路径
积分性质
复数函数的积分具有线性性质、可加 性、可交换性等基本性质。
复变函数的积分柯西定理
第三章 复变函数的积分§3-1复变函数的积分【刘连寿、王正清编著《数学物理方法》P 29-31】复变函数积分的定义：设C 为复平面上以0z 为起点，而以z 为终点的一段路径（即一根曲线），在C 上取一系列分点011,,,,n n z z z z z -=把C 分为n 段，在每一小段[1k k z z -]上任取一点k ξ作和数：()()()111nnn k k k k k k k S f z z f z ξξ-===-=∆∑∑, 其中1k k k z z z -∆=-如果当n →∞且每一小段的长度（1||||k k k z z z -∆=-）趋于零时， 和式()1nkkk f zξ=∆∑的极限存在，并且其值与k z 及k ξ的选取方式无关，则称这一极限为()f z 沿路径C 由0z 到z 的积分:()()1limlim nn k k Cn n k fz dz S f z ξ→∞→∞===∆∑⎰，C 称为积分路径（()f z 在C 上取值，即z 在C 上变化）。
若C 为围线（闭的曲线），则积分记为： ()Cf z dz ⎰. (围道积分)几点说明：1. 复变函数的积分不仅与积分端点有关，还与积分路径有关。
(与我们以前在高等数学中学过的实变函数的线积分类似。
)2．因为 z x iy =+，dz dx idy =+，()()(),,f z u x y iv x y =+，于是()()()(),,C Cf z dz u x y iv x y dx idy =++⎡⎤⎣⎦⎰⎰()()()(),,,,C C u x y dx v x y dy i v x y dx u x y dy ⎡⎤⎡⎤=-++⎣⎦⎣⎦⎰⎰，所以复变函数的积分可以归结为两个实变函数的线积分，它们分别是复变函数积分的实部和虚部。
3．从复变函数积分的定义出发，可以直接得出复变函数的积分具有如下简单性质：（1）0C dz z z =-⎰，z 、0z 分别为C 之起点、终点。
复变函数的积分
复变函数的积分复变函数的积分是复分析中的重要概念，它在数学和物理学等领域中都有着广泛的应用。
复变函数的积分与实变函数的积分有着很大的不同，它涉及到复数域上的积分运算，因此需要特殊的技巧和理论来处理。
本文将从基本概念开始，逐步介绍复变函数的积分，并探讨其在不同领域中的应用。
首先，我们来回顾一下复变函数的基本概念。
复变函数是定义在复数域上的函数，它可以表示为f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中z = x + iy，u(x, y)和v(x, y)分别是实部和虚部。
在复变函数中，我们引入了复数域上的积分运算，即复积分。
复积分的定义是在复平面上对复变函数的积分运算，它可以表示为∫f(z)dz，其中积分路径可以是曲线、环路或者区域。
复积分的计算需要用到复变函数的积分定理，其中最重要的是柯西积分定理和柯西-黎曼积分公式。
柯西积分定理指出，如果在一个简单闭合曲线内部的区域上f(z)是解析的，那么f(z)在这个区域上的积分为0。
柯西-黎曼积分公式则给出了解析函数在闭合曲线上的积分与函数在这个曲线内部的性质之间的关系。
这些定理为复积分的计算提供了重要的工具和方法。
在实际应用中，复变函数的积分在物理学、工程学和数学等领域中都有着广泛的应用。
在物理学中，复变函数的积分可以用来描述电磁场、流体力学和量子力学等问题。
在工程学中，复变函数的积分可以用来解决电路分析、信号处理和控制系统等问题。
在数学中，复变函数的积分可以用来研究解析函数的性质、级数和积分变换等问题。
除了在理论研究中的应用，复变函数的积分在实际计算中也有着重要的作用。
通过复变函数的积分，我们可以求解复杂的积分问题，计算曲线和曲面的长度、面积和体积等。
同时，复变函数的积分还可以用来解决微分方程、积分方程和边界值问题等。
因此，复变函数的积分在数学和物理学等领域中都有着重要的应用价值。
总之，复变函数的积分是复分析中的重要概念，它涉及到复数域上的积分运算，需要特殊的技巧和理论来处理。
数学物理方法第2章复变函数积分-2016方案
(2.1.3)
(2) 化为参数积分计算．设积分曲线L的参数方程为z(t)，
将z(t)及dz(t)＝z'(t)dt代入式(2.1.4)，可得
3
【例2.1.1】计算积分I=
其中曲线L是
(1)沿1+ i 到2+4 i 的直线，见图2.2(a)；
(2)沿1+ i 到2+i，再到2+4 i 的折线，见图2.2(b)；
§2.2.1 单通区域的柯西定理
定理 若函数f(z)在单通区域D 内解析，则f(z)在D内沿任意 闭曲线的积分为零
∮l f(z)dz = 0 (2.2.1)
证明 这个定理的严格证明比较复 杂, 为简单起见, 我们在“f(z)在D 内连续” 附加条件下证明这个定 理．
先将复变积分化为两个实变积 分的线性叠加
29
这就是解析函数的定积分公式，它与实变 函数中的牛顿-莱布尼茨公式具有相同的形 式。
通常把f(z)的原函数的集合
称f(z)的不定积分，式中C为复常数。
30
(2.2.8)
31
§2.2.3 复通区域的柯西定理
定理 若f(z)在闭复通区域 解析，则f(z)沿所
有内、外边界线(L=L0+ 之和为零
37
【2.2.2】试计算 其中积分回路分别(图2.11) (1) |z-i|＝2；(2) |z+i|＝2；(3) |z|＝3.
38
解 首先，将被积函数分解为部分分式(利用通 分可以凑出来)
≠0
=0
39
40
【例2.2.3】若f(z)=1/(z-a) 在z=a的无心邻域内 连续，积分回路是以a点为圆心的圆弧
由于a点在D内随意变动时，柯西公式依然成立， 有时分别用z和x代替式 (2.3.1)的a和z。将柯西公 式改写为
复变函数积分计算公式
复变函数积分计算公式一、复变函数的积分定义复变函数f(z)的积分定义为：∫f(z)dz = ∫[u(x, y)dx - v(x, y)dy] + i∫[u(x, y)dy + v(x, y)dx]其中，u(x,y)和v(x,y)为复变函数f(z)的实部和虚部分别对x和y 的偏导数。
1.第一类曲线积分公式设C是定义在[a,b]上的光滑曲线，而f(z)是C上的复变函数，则复变函数f(z)沿C的积分表示为：∫f(z)dz = ∫f(z(t))z'(t)dt其中，z(t)表示C上的参数方程，z'(t)表示z(t)对t的导数。
2.第二类曲线积分公式设C是封闭的简单光滑曲线，内部有有向单位法向量n，并设f(z)是C内的解析函数，则复变函数f(z)沿C的积分表示为：∫f(z)dz = 2πi Res[f(z), a]其中，a表示C内的任意一个孤立奇点，Res[f(z), a]表示f(z)在a 处的留数。
3.圆弧积分公式对于参数方程z(t) = a + re^(it)，其中t∈[θ1, θ2]，a为圆心，r为半径，则复变函数f(z)沿圆弧C的积分表示为：∫f(z)dz = ∫f(a + re^(it))ire^(it)dt4.辐角积分公式设f(z)是C所在区域的解析函数，它在z=a处有极点，则复变函数f(z)沿C的积分表示为：∫f(z)dz = i∫R[f(z) - f(a)]dz其中，C是以a为圆心的环形曲线，R是C所围成的圆环区域。
5.亚纯函数积分公式设f(z)是C所在区域的亚纯函数，它在z=a处有一级极点∫f(z)dz = 2πiI(C, a)其中，I(C,a)为C围绕a的索引。
三、复变函数积分计算技巧1.选择适当的路径进行积分，常常选择直线、弧线或封闭曲线。
2.利用柯西-黎曼条件和柯西-黎曼方程进行变量转换和求导。
3.利用留数定理计算包括奇点与不同路径的积分。
4.利用对称性和奇偶性简化积分计算。
数学物理方法 第二章 复变函数的积分
证明： 1 dz 1 f (α )dz (1)已知f (α ) = f (α ) ⋅ ∫l z − α = 2πi ∫l z − α 2πi 1 f ( z )dz 1 f ( z ) − f (α ) 与f (α ) = 比较，只需证明 ∫l z − α ∫l z − α dz = 0即可. 2πi 2πi f ( z ) − f (α ) (2)因为z = α为 的奇点，因此，以α为圆心，取任意小 z −α f ( z ) − f (α ) ε为半径做小圆Cε , 这样在l及Cε 所围复通区域上 单值解析。 z −α f ( z ) − f (α ) 1 f ( z ) − f (α ) 1 根据柯西定理， ∫ dz = ∫Cε z − α dz l 2πi z −α 2πi 对于Cε 上的z有：z − α = εe iϕ , dz = iεeiϕ dϕ 于是, 有： 1 f ( z ) − f (α ) 1 2π f ( z ) − f (α ) iϕ 1 iεe dϕ = iϕ ∫l z − α dz = 2πi ∫0 εe 2πi 2π
wuxia@
∫
2π
0
[ f ( z ) − f (α )]dϕ
(3)现在需要对上式右端做估计 因为f ( z )连续，一定可以找到∆ > 0,当 | z − α |≤ ∆时， | f ( z ) − f (α ) |≤ ε ′ 因而有： 1 2π 1 2π 1 ∫0 [ f ( z ) − f (α )]dϕ ≤ 2π ∫0 | f ( z ) − f (α ) |⋅ | dϕ |< 2π 2π =ε 1 f ( z ) − f (α ) 1 f ( z) ∴ dz = 0, f (α ) = ∫l z − α ∫l z − α dz 2πi 2πi
复变函数的积分方法
复变函数的积分方法一、引言复变函数是数学中的重要概念，它与实变函数有着很大的区别。
复变函数的积分方法是研究复变函数在复平面上的积分性质和计算积分值的方法。
本文将介绍一些常见的复变函数的积分方法。
二、复变函数的积分定义在复变函数中，积分是对函数的一种运算，类似于实变函数中的积分。
复变函数的积分定义如下：设f(z)是定义在复平面上的一个函数，如果存在一个复数C，使得对于给定曲线γ上的任意两个点A和B，都有：∫[A,B]f(z)dz = C那么我们就说f(z)在曲线γ上是可积的，并且称C为f(z)沿曲线γ的积分。
三、复变函数的积分方法1. 直线积分直线积分是最常见的一种复变函数的积分方法。
它是沿着一条直线对复变函数进行积分。
直线积分的计算方法是将直线分成若干小段，然后对每一小段进行积分，最后将所有小段的积分值相加得到整个直线的积分值。
2. 曲线积分曲线积分是复变函数的另一种常见的积分方法。
它是沿着一条曲线对复变函数进行积分。
曲线积分的计算方法是将曲线分成若干小段，然后对每一小段进行积分，最后将所有小段的积分值相加得到整个曲线的积分值。
3. 围道积分围道积分是复变函数的一种特殊的积分方法。
它是沿着一个围道对复变函数进行积分。
围道积分的计算方法是将围道分成若干小段，然后对每一小段进行积分，最后将所有小段的积分值相加得到整个围道的积分值。
围道积分的计算方法比直线积分和曲线积分要复杂一些，需要使用复变函数的柯西-黎曼积分定理等相关定理。
四、复变函数的积分应用复变函数的积分方法在数学和物理中有着广泛的应用。
它可以用来计算复变函数的积分值，求解一些特殊的微分方程，研究复杂的物理现象等。
在数学中，复变函数的积分方法可以用来计算复变函数的奇点，判断函数是否解析，计算函数的留数等。
在物理中，复变函数的积分方法可以用来计算电场、磁场等物理量的积分，求解电磁场的边界值问题，研究光学现象等。
五、总结复变函数的积分方法是研究复变函数的重要内容，它在数学和物理中有着广泛的应用。
数学物理方法第2章复变函数积分-2016
49
50
【例2.3.2】试计算积分，
积分回路L为x2 + y2=2x 解 (1) 积分回路的形状： (x-1)2+y2=1
(2)被积函数的奇点．
方程z4+1=0有四个根：z=exp[i (p+2kp)/4]， k=0,1,2,3，因此，被积函数有四个奇点，但仅有 z1与z4位于积分回路之内
51
2. 复通区域的柯西公式
设f (z)在闭复通区域D中解析，a为D的内点， 则 式中积分沿D的内外边界线的正方向．
32
证明 为了应用单通区域的柯西定理，作割线把外边界线 L0与内边界线连接起来，将闭复通区域变成闭单通区域。
33
推论3 在f(z)的解析区域中，积分回路连 续变形时，其积分值不变．
证明 取变形前后的积分回路 作为复通区域 的内外边界 线，如图2.9所示．由式 (2.2.21a) 可得
移项后，改变l2的积分方向，即有
复变积分性质(5)及式(2.2.34)，可证
43
由于e可任意地小，(q2-q1)为常量，式
(2.2.35)表明
可任意地小根据极限的定义，可得
44
2. 大圆弧引理
若j(z)在无穷远点的无心邻域内连续，在大 圆弧CR(z=Reiq, R→∞,q1<q<q2 )上
这两个引理为计算沿圆弧的积分带来方便． 2.3节将分别用来证明单通区域及无界区域的 柯西公式．
(3)按复通区域的柯西定理及柯西公式计算以小圆周c1 和c2分别包围奇点z1和z4 ，则被积函数在外边界线l 与内边界线c1 ， c2 所围的复通区域解析。按复通区 域的柯西定理，沿l的积分等于沿C1与C2积分之和， 后两个积分可按柯西公式算出，即
复变函数积分数学物理方法柯西定理推论及应用
d z 当 n0 时 , 2 i c z z 0
当 n 0 时 dz i 2 c (z z0)n1 rn 0 [cos(n) isin(n)]d 0
结论：与积分路线的圆周中心及半径无关．
cos z d z 例 计算积分 ，其中 C 是绕 i 一周的围线 . C ( z i)3
的方程为
i dz i i2 d 2 re d n 1 n 1i ( n 1 ) n0 in c 0 ( z z ) r e r e 0
所以：
cos z dz ，其中 C 是绕 i 一周的围线. 例 计算积分 3 C ( z i)
k 1
f ( k ) z k
0
x
图 3 .1
cos z 例 计算积分 3 dz ，其中 C 是绕 i 一周的围线. C ( z i)
f() zd z ( u i v ) ( d x i d y ) ux d v d y i (d vx uy d )
说明： (1) 当 f ( z ) 是连续函数，且L是 光滑曲线时，积分L f ( z )d z (2)
C
n
C
n
) d z ) d z , f(z f(z
C k 1 C k
k 1 n
k
C3
C1
C2
D 其中 C 及 C 均取正方向 ; k
这个定理可用来计算周线内部有奇点 的积分!
柯西积分公式
有界区域的单连通柯西积分公式
定理 （柯西积分公式） 如果 f ( z ) 在有界
区域D处处解析，L为D内的任何一条正向简单闭
C
Re( z )dz Re( z )dz Re( z )dz
《数学物理方法》电子教案：第二章 复变函数的积分
dz d (t it 2 ) (1 i 2 t ) dt
24i
2
2
2
z2dz (t it2 )2 (1 i2t)dt [(t2 t4 ) 4t4 ]dt i [2t3 2t(t2 t4 )]dt
1i
1
1
1
２．
1和y 3t 2
二、 复通区域的柯西定理 定理4. 若f(z)在闭复通区域D 中解析，则f(z)沿所有边界线正
方向积分之和为零。 正方向：沿边界线的正方向环绕时，D 保持在左边。
证明：作割线将闭复通区域变成闭单通区域。闭单通区域
的边界线L由 L1, L', L2 和 L'' 组成，则
L f (z)dz 0
又
D
内的偏导数
P y
和
Q x
连续，并且
P y
Q x
由于复变函数的积分可转化为两个实变线积分：
z2
z2
z2
f (z)dz (udx vdy) i vdx udy)
z1
z1
z1
因此可得到复变函数的积分与路径无关的充要条件。
一、单通区域的柯西定理
定理 1. 若 f(z)在单通区域 D 内解析，则 f(z)在 D 内 的积分与路径无关。
w=f(z)在 L 上有定义；
(2)将 L 任意分成n 段，k 为第k 段[zk 1, zk ]上的任意一点;
(3)当 n ，且 max zk 0时，若和式的极限
n
lim f (k)zk
max zk 0 k 1
存在，并且极限值与 zk 和 k 的选取方式无关，则称它 为 f(z)沿 L 从 A 到 B 的积分，记作：
F’(z)=f(z)
数学物理方法第二章
证 设光滑曲 C由线参数方程给出
zz(t)x(t)i y(t), t
正方向为参数增加的方向,
参数 及 对应A 于 及起 终 B , 点 点
数学物理方法第二章
6
并 z ( t) 且 0 , t,
如f(果 z) u (x ,y) iv(x ,y)在 D 内处 , 处 那u 么 (x,y)和 v(x,y)在 D内均为连 , 续函
n
n
f(k)zk [u(k,k)xkv(k,k)yk]
k1
k1
n
i[v(k,k)xku(k,k)yk]
k1
C f(z)dz CudxvdyiCvdxudy
数学物理方法第二章
9
公式 C f(z)dz CudxvdyiCvdxudy
在形式上可以看成是
f(z)uiv与 dzdxidy相乘后求 : 积
f(z)dzf ( z ) d z f ( z ) d z f ( z ) d z .
C
C 1
C 2
C n
在今后讨论的积分中, 总假定被积函数是连续的, 曲线 C 是按段光滑的.
数学物理方法第二章
12
性质：
设L是简单逐段光滑曲线，f,g在L上连续，则
(1)f(z)dz f(z)d;z反转积分路径，积分反号
z2
z2
f(z)dzudxvdyivdxudy
z1
z1
z1
因此可得到复变函数的积分与路径无关的充要条件
数学物理方法第二章
24
单连通区域柯西定理：
如果函数f (z)在闭单连通域B 上解析，则沿B上任一分段光滑 闭曲线l（也可以是B的边界）， 有
f (z)dz 0
数学物理方法 复变函数的积分
f ( z )dz 0
-1+i -1 y
举例
1 dz 0 证明： 2 z 2z 2 | z| 1
数学物理方法2015.02
O
1 x
-1-i
第二节 Cauchy定理
复连通区域上的Cauchy定理
设G是由C0 , C1, C2 , … , Cn围成的多连通区域，函 数f(z)在G内解析，在 G上连续，则有
j
数学物理方法2015.02
第四节 Cauchy积分公式
举例
计算积分：
z dz z 2i | z | 3
计算积分：
e dz 2 z ( z 1) | z | 3
z
数学物理方法2015.02
第四节 Cauchy积分公式
无穷域上的Cauchy积分公式
设 f(z) 在简单闭合曲线C上及C外（包括无穷远点） 是单值解析的，我们来计算积分
举例
计算积分：
z cos zdz
0
1
计算积分：
ln( z 1) 1 z 1 dz
i
沿区域 Imz0, Rez0 内的圆弧|z|=1
计算积分：
2 i, n 1 dz n n 1 ( z a) 0, | z a|
数学物理方法2015.02
第四节 Cauchy积分公式
y
计算积分：
数学物理方法2015.02
1 dz 2 z 1 | z| 2
-2
-1
1
2 x
第三节 原函数与不定积分
原函数的概念
若F'(z)= f(z)，则称F(z)是f(z)的原函数，其中zB， B是单连通区域
数学物理方法2015.02
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柯西公式
柯西公式
公式
• 如f(z)在单连通闭区域B上解析，L为B的边界线，a为B
内的任意一点，则
f (a) 1
f (z)dz
2i L z a
证明：
f (z)dz lim
f (z)dz
L za
r0 |za|r z a
lim r 0
2
0
f
(a rei re i
)
rei id
lim
r 0
2 f (a rei )id
0
2
f (a)id 2i f (a) 0
柯西公式
变形
f (z) 1
f ( )d
2i L z
推广：
f '(z)
1
2 i
f ( ) d L ( z)2
f "(z)
2
2 i
L
f ( ) ( z)3
d
f (3) (z) 3 2 2 i
02
2
zdz zdz zdz
OCB
OC
CB
3 2
2i
(1
1 2
i)
2
2
0
3 2
2i
路积分
例题2
• 沿图所示的三条曲线分别计算复变函数∫C z2dz从O到B的定积分。
解： z2dz z2dz z2dz
OAB
OA
AB
1 (iy)2 d(iy) 2 (x i)2 d(x i)
解：
xdz xdz xdz
OAB
OA
AB
1
2
0 0d(iy) 0 xd(x i)
2
xdz xdz xdz 2 2i
OCB
OC
CB
xdz 2 xd(x i x)
OB
0
2
2
(1
1 2
i)
0
xdx
2
i
路积分
例题4
• 沿图所示的三条曲线分别计算复变函数∫z-1dz从O到B的定积分。
C1
C2
C1 C2
路积分
路积分的计算
思路
• 化复为实
公式I
• ∫C f(z) dz = ∫C(u +iv)(dx +idy)
•
= ∫C(udx-vdy)+i∫C(udy+vdx)
公式II
• ∫C f(z) dz = ∫C(u +iv)(eiφdr +i r eiφdφ)
•
= ∫C eiφ[(udr-vrdφ)+i(urdφ+vdr)]
猜想
• 如果函数f(z)在闭单连通 区域B上解析，则沿B上 任一分段光滑闭合曲线 l 的路积分有：
l f (z)dz 0
证明（见教材）
f (z)dz fdz fdz
l
L1
L2
fdz fdz 0
L1
L2
柯西定理
推广
规律
• 闭复连通区域上的解析函数沿 外边界线逆时针积分等于沿所 有内边界线逆时针积分之和。
C cf (z)dz cC f (z)dz
性质
b
b
b
a [ f g]dx a fdx a gdx C[ f g]dz C fdz C gdz
b
a
a f (x)dx b f (x)dx
C f (z)dz C f (z)dz
c
b
b
a f dx c f dx a f dx
f dz f dz f dz
0
0
1 (2 11i) 3
z2dz 2(x i x)2d(x i x)
OB
02
2
z2dz z2dz z2dz
OCB
OC
CB
1 3
(2
11i)
(1
1 2
i)3
2
xdx
0
1 3
(2
i)3
路积分
例题3
• 沿图所示的三条曲线分别计算复变函数∫C Re(z) dz从O到B的定积 分。
数学物理方法
复变函数的积分
复变函数的积分
路积分 柯西定理 不定积分 柯西公式 本章小结
路积分
路积分的概念和性质
实变函数
复变函数
定义
lim b
n
a
f (x)dx
f (xi )xi
xi 0 i1
b
b
a cf (x)dx ca f (x)dx
n
lim C f (z)dz zi 0 i1 f (zi )zi
L
f ( ) ( z)4
d
f (n) (z) n! 2 i
L
(
f ( )
z)n
1
d
柯西公式
意义
• 解析函数的整体性：边界值完全决定内部值； • 解析函数的可导性：一次可导 =>无限次可导。
公式
f (z)dz
f (z)dz
l
i li
统一表述
• 解析函数沿所有边界线正向积 分为零；
• 起点和终点固定时，积分路径 在解析区域中连续变形不改变
路积分的值。
柯西定理
例题
计算积分
I (z a)n dz L
解：
• 如a不在L内，I = 0 • 当a在L内时， • 如 n ≥0，I = 0； • 如 n < 0，可以
求原函数
• 在原函数存在的情况下，复积分与实积分只是变量不同， 形式上没有任何区别，其原函数的计算方法和结果与实数 情况完全类似。
• 例如:
• ∫zn dz = zn+1/(n+1)
• ∫cos(z)dz = sin(z)
• ∫sin(z)dz = - cos(z)
• ∫exp(z)dz = exp(z)
解：
i z1dz 0 eidei
AD
z1dz z1dz z1dz z1dz
ABCD
AB
BC
CD
a 1 dr 0 eidei 1 1 dr
1r
ar
i
i z1dz 2 eidei
AD
柯西定理
积分规律的探究
归纳
• 如果函数f(z)在单连通区 域内解析，则路积分与路 径无关，完全由起点和终 点决定。
用柯西定理的推广
I (z a)n dz C 2 (rei )n d (rei ) 0
rn1
2ei(n1)i d
0
0, n 1 2 i, n 1
不定积分
不定积分原函数
概念
• 上限为变量的路积分称为不定积分
分析
• 如被积函数f(z)在单连通区域B上解析，则不定积分单值。 • 如被积函数f(z)在复连通区域B上解析，则不定积分多值；
原函数
概念
• 如f(z)在单连通区域B上解析，则不定积分
z
F(z) f ()d z0
• 在B上定义了一个单值解析函数，称为f(z)的原函数，
不定积分
性质
• 设F(z)是f(z)的原函数，则 F’(z)=f(z) • 如果允许相差一个任意常数，则不定积分可以写成 • F(z) = ∫f(z)dz
路积分
例题1
• 沿图所示的三条曲线分别计算复变函数∫Czdz从O到B的定积分。
解： zdz zdz zdz
OAB
OA
AB
1
2
0 iyd(iy) 0 (x i)d(x i)
1 (1 22 i 2) 3 2i
22
2
zdz 2(x i x)d(x i x)
OB