数学物理方法复变函数的积分

原函数
概念
• 如f(z)在单连通区域B上解析，则不定积分
z
F(z) f ()d z0
• 在B上定义了一个单值解析函数，称为f(z)的原函数，
不定积分
性质
• 设F(z)是f(z)的原函数，则 F’(z)=f(z) • 如果允许相差一个任意常数，则不定积分可以写成 • F(z) = ∫f(z)dz
猜想
• 如果函数f(z)在闭单连通 区域B上解析，则沿B上 任一分段光滑闭合曲线 l 的路积分有：
l f (z)dz 0
证明（见教材）
f (z)dz fdz fdz
l
L1
L2
fdz fdz 0
L1
L2
柯西定理
推广
规律
• 闭复连通区域上的解析函数沿 外边界线逆时针积分等于沿所 有内边界线逆时针积分之和。
求原函数
• 在原函数存在的情况下，复积分与实积分只是变量不同， 形式上没有任何区别，其原函数的计算方法和结果与实数 情况完全类似。
• 例如:
• ∫zn dz = zn+1/(n+1)
• ∫cos(z)dz = sin(z)
• ∫sin(z)dz = - cos(z)
• ∫exp(z)dz = exp(z)
用柯西定理的推广
I (z a)n dz C 2 (rei )n d (rei ) 0
rn1
2ei(n1)i d
0
0, n 1 2 i, n 1
不定积分
不定积分原函数
概念
• 上限为变量的路积分称为不定积分
分析
• 如被积函数f(z)在单连通区域B上解析，则不定积分单值。 • 如被积函数f(z)在复连通区域B上解析，则不定积分多值；
L
f ( ) ( z)4
d
f (n) (z) n! 2 i
L
(
f ( )
z)n
1
d
柯西公式
意义
• 解析函数的整体性：边界值完全决定内部值； • 解析函数的可导性：一次可导 =>无限次可导。
数学物理方法
复变函数的积分
复变函数的积分
路积分 柯西定理 不定积分 柯西公式 本章小结
路积分
路积分的概念和性质
实变函数
复变函数
定义
lim b
n
a
f (x)dx
f (xi )xi
xi 0 i1
b
b
a cf (x)dx ca f (x)dx
n
lim C f (z)dz zi 0 i1 f (zi )zi
02
2
zdz zdz zdz
OCB
OC
CB
3 2
2i
(1
1 2
i)
2
2
xdx
0
3 2
2i
路积分
例题2
• 沿图所示的三条曲线分别计算复变函数∫C z2dz从O到B的定积分。
解： z2dz z2dz z2dz
OAB
OA
AB
1 (iy)2 d(iy) 2 (x i)2 d(x i)
公式
f (z)dz
f (z)dz
l
i li
统一表述
• 解析函数沿所有边界线正向积 分为零；
• 起点和终点固定时，积分路径 在解析区域中连续变形不改变
路积分的值。
柯西定理
例题
计算积分
I (z a)n dz L
解：
• 如a不在L内，I = 0 • 当a在L内时， • 如 n ≥0，I = 0； • 如 n < 0，可以
lim
r 0
2 f (a rei )id
0
2
f (a)id 2i f (a) 0
柯西公式
变形
f (z) 1
f ( )d
2i L z
推广：
f '(z)
ຫໍສະໝຸດ Baidu
1
2 i
f ( ) d L ( z)2
f "(z)
2
2 i
L
f ( ) ( z)3
d
f (3) (z) 3 2 2 i
C1
C2
C1 C2
路积分
路积分的计算
思路
• 化复为实
公式I
• ∫C f(z) dz = ∫C(u +iv)(dx +idy)
•
= ∫C(udx-vdy)+i∫C(udy+vdx)
公式II
• ∫C f(z) dz = ∫C(u +iv)(eiφdr +i r eiφdφ)
•
= ∫C eiφ[(udr-vrdφ)+i(urdφ+vdr)]
C cf (z)dz cC f (z)dz
性质
b
b
b
a [ f g]dx a fdx a gdx C[ f g]dz C fdz C gdz
b
a
a f (x)dx b f (x)dx
C f (z)dz C f (z)dz
c
b
b
a f dx c f dx a f dx
f dz f dz f dz
柯西公式
柯西公式
公式
• 如f(z)在单连通闭区域B上解析，L为B的边界线，a为B
内的任意一点，则
f (a) 1
f (z)dz
2i L z a
证明：
f (z)dz lim
f (z)dz
L za
r0 |za|r z a
lim r 0
2
0
f
(a rei re i
)
rei id
解：
i z1dz 0 eidei
AD
z1dz z1dz z1dz z1dz
ABCD
AB
BC
CD
a 1 dr 0 eidei 1 1 dr
1r
ar
i
i z1dz 2 eidei
AD
柯西定理
积分规律的探究
归纳
• 如果函数f(z)在单连通区 域内解析，则路积分与路 径无关，完全由起点和终 点决定。
解：
xdz xdz xdz
OAB
OA
AB
1
2
0 0d(iy) 0 xd(x i)
2
xdz xdz xdz 2 2i
OCB
OC
CB
xdz 2 xd(x i x)
OB
0
2
2
(1
1 2
i)
0
xdx
2
i
路积分
例题4
• 沿图所示的三条曲线分别计算复变函数∫z-1dz从O到B的定积分。
路积分
例题1
• 沿图所示的三条曲线分别计算复变函数∫Czdz从O到B的定积分。
解： zdz zdz zdz
OAB
OA
AB
1
2
0 iyd(iy) 0 (x i)d(x i)
1 (1 22 i 2) 3 2i
22
2
zdz 2(x i x)d(x i x)
OB
0
0
1 (2 11i) 3
z2dz 2(x i x)2d(x i x)
OB
02
2
z2dz z2dz z2dz
OCB
OC
CB
1 3
(2
11i)
(1
1 2
i)3
2
xdx
0
1 3
(2
i)3
路积分
例题3
• 沿图所示的三条曲线分别计算复变函数∫C Re(z) dz从O到B的定积 分。