高三数学北师大版垂直关系的性质PPT教学课件
合集下载
北师大版必修2高中数学1.6.2《垂直关系的性质》ppt配套课件
●教学流程
演示结束
1.理解直线与平面垂直的性质定理(重点)． 2．理解平面与平面垂直的性质定理(重点)． 课标解读 3．理解并掌握空间“平行”与“垂直”之间的 相互转化(难点).
直线与平面垂直的性质定理
【问题导思】 在大路的两侧有许多树木，这些树木垂直于地面，那 么这些树木所在直线是怎样的位置关系呢？ 【提示】 平行．
平面与平面垂直的性质定理
【问题导思】 黑板所在平面与地面所在平面垂直，能否在黑板上画 一条直线与地面垂直？ 【提示】 画一条直线与黑板面、地面的交线垂直即 可．
线面垂直性质定理的应用
如图1－6－16，在正方体ABCD－A1B1C1D1 中，点E、F分别在A1D、AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求 证：EF∥BD1.
●教学建议 本节知识是在学习了垂直关系的判定后继续对垂直关 系的研究，教学时可以引导学生思考判定定理与性质定理 的相互联系．让学生进一步明确，由直线和平面垂直可以 推出两个平面相互垂直，而由两个平面相互垂直也可以推 出直线和平面垂直，这一方面说明两种垂直之间有密切的 联系，另一方面也说明两者之间可以互相转化．
D．n α
【解析】 ∵l α且l与n异面，∴n α，又∵m⊥α，n⊥
m，∴n∥α.
【答案】 A
2．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点P∈l，给出下面四
个结论：
①过P与l垂直的直线在α内；
②过P与β垂直的直线在α的平面必与l垂直．
其中正确的命题是( )
(12分)如图1－6－20，四棱锥S－ABCD中，SD ⊥平面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝AD＝1，SD＝2， BC⊥BD，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC.
(1)证明：DE⊥平面SBC； (2)证明：SE＝2EB. 【思路点拨】 由平面 EDC⊥平面SBC可考虑 作或找这两个平面交线的垂线．
北师大版高中数学课件：《垂直关系的判定》共40页
Thank心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
北师大版高中数学课件：《垂直关系 的判定》
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
北师大版高中数学课件：《垂直关系 的判定》
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
高考数学一轮专项复习ppt课件-垂直关系(北师大版)
_α_⊥__β_ _α_∩__β_＝__M__N_ _A_B_⊥__M__N_ ⇒AB⊥α _A_B_⊂__β_
常用结论
1.三垂线定理 若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的投影垂直，则它 也和这条斜线垂直. 2.三垂线定理的逆定理 若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在 这个平面内的投影垂直. 3.两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.
∴EF∥平面PAD， ∵BE∩EF＝E，BE，EF⊂平面BEF， ∴平面BEF∥平面PAD.
(3)平面BEF⊥平面PCD.
∵AB⊥AD，∴平行四边形ABED是矩形， ∴BE⊥CD，AD⊥CD， 由(1)知PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD， ∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD， ∵E和F分别是CD和PC的中点， ∴PD∥EF，∴CD⊥EF，又∵BE∩EF＝E，∴CD⊥平面BEF， ∵CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.
自主诊断
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若直线l与平面α内的两条直线都垂直，则l⊥α.( × ) (2)若直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.( √ )
(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.
(×) (4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.( × )
自主诊断
(2)设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1－BB1C1C 的高.
如图， 过点A1作A1O⊥CC1于点O. 因为平面ACC1A1⊥平面BB1C1C，平面ACC1A1∩ 平面BB1C1C＝CC1，A1O⊂平面ACC1A1， 所以A1O⊥平面BB1C1C， 所以四棱锥A1－BB1C1C的高为A1O. 因为A1C⊥平面ABC，AC，BC⊂平面ABC，
常用结论
1.三垂线定理 若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的投影垂直，则它 也和这条斜线垂直. 2.三垂线定理的逆定理 若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在 这个平面内的投影垂直. 3.两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.
∴EF∥平面PAD， ∵BE∩EF＝E，BE，EF⊂平面BEF， ∴平面BEF∥平面PAD.
(3)平面BEF⊥平面PCD.
∵AB⊥AD，∴平行四边形ABED是矩形， ∴BE⊥CD，AD⊥CD， 由(1)知PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD， ∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD， ∵E和F分别是CD和PC的中点， ∴PD∥EF，∴CD⊥EF，又∵BE∩EF＝E，∴CD⊥平面BEF， ∵CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.
自主诊断
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若直线l与平面α内的两条直线都垂直，则l⊥α.( × ) (2)若直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.( √ )
(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.
(×) (4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.( × )
自主诊断
(2)设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1－BB1C1C 的高.
如图， 过点A1作A1O⊥CC1于点O. 因为平面ACC1A1⊥平面BB1C1C，平面ACC1A1∩ 平面BB1C1C＝CC1，A1O⊂平面ACC1A1， 所以A1O⊥平面BB1C1C， 所以四棱锥A1－BB1C1C的高为A1O. 因为A1C⊥平面ABC，AC，BC⊂平面ABC，
北师大版高中数学必修2《6.5垂直关系》第1课时课件
过斜线上斜足以外的一点P向平面作垂直，过垂足O和斜足A的直
线AO称为斜线在这个平面上的投影．
平面的一条斜线与在这个平面上的投影所成的锐角，叫这条直线
与这个平面所成的角．
追问 直线与平面所成的角的范围是多少？
根据直线与平面所成的角定义可知，范围是［0，90°］．
初步应用
例1 本章1.2节已提到从平面外一点作一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离称为点到
则这两条异面共面，这与它的定义矛盾．
新知探究
问题9 直线与平面垂直是直线与平面的相交时的一种特殊情况，当它们不垂直时，
可以发现不同的直线与平面相交的情况也是不同的，如何刻画这种不同呢？
一条直线与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条
直线称为这个平面的斜线，斜线与平面的交点称为斜足．
新知探究
问题10 如何作直线与平面所成的角？
结论的？如何用语言叙述上述结论吗？
a
一定平行； 教材是利用反证法证明的；
语言叙述为：垂直于同一个平面的两条直线平行．
b
新知探究
问题7 你能发现线面垂直的其他性质吗？
线面垂直的其他性质
（1）如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（2）过空间一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
追问 由直线与平面所成角的概念知，应先找到或作出直线A1B在平面A1DCB1
上的射影，那么怎样才能得到这条射影呢？
解析：所以A1O为斜线A1B在平面A1DCB1上的射影，
即∠BA1O为A1B与平面A1DCB1所成的角．
2
a，
在Rt△A1BO中，A1B＝ 2a ，BO＝
2
1
∴BO＝ A1B，
北师大版高中数学必修2课件-垂直关系的性质
D．A1A
B [可证 BD⊥平面 AA1C1C，而 CE 平面 AA1C1C，故 BD⊥CE.]
2．若平面 α⊥β，直线 a∥α，则( )
A．a⊥β
B．a∥β 或 a β
C．a 与 β 相交
D．a β 或 a∥β 或 a 与 β 相交
D [a 与 β 三种位置关系都有可能．]
3．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该
第一章 立体几何初步
§6 垂直关系 6.2 垂直关系的性质
学习目标
核心素养
1.理解直线与平面、平面与平面垂 1.通过学习直线与平面、平面与平
直的性质定理．(重点) 面垂直的性质定理提升数学抽象、
2．理解并掌握空间“平行”与 直观想象素养．
“垂直”之间的相互转化．(难点、 2．通过应用线面与面面垂直的性
()
[解析] (3)×，α∥γ 或 α∩γ＝l. [答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．已知平面 α⊥平面 β，α∩β＝l，点 P∈l，给出下面四个结论：
①过 P 与 l 垂直的直线在 α 内；
②过 P 与 β 垂直的直线在 α 内；
③过 P 与 l 垂直的直线必与 α 垂直；
④过 P 与 β 垂直的平面必与 l 垂直．
立体几何中的垂直关系有三类：线线垂直、线面垂直、面面垂 直．处理垂直问题时，要注意三者之间的内在联系．转化思想是立体 几何中解决垂直问题的重要思想．垂直关系的转化如下：
课堂 小结 提素 养
1．线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系 的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．
[解] (1)证明：设 G 为 AD 的中点，连接 PG，BG，
∵△PAD 为正三角形，∴PG⊥AD. 在菱形 ABCD 中，∠DAB＝60°， G 为 AD 的中点，∴BG⊥AD. 又 BG∩PG＝G，∴AD⊥平面 PGB. ∵PB 平面 PGB，∴AD⊥PB. (2)当 F 为 PC 的中点时，满足平面 DEF⊥平面 ABCD.
垂直关系的性质ppt 北师大版
【解析】①错误,反例是墙角处三个平面两两垂直. ②正确, 因为如果一个平面经过另一个平面的垂线, 那么这两个平面互相垂直. ③错误, 还可能 l⊂β .
.. 导. 学 固思
4
如图,四边形 ABCD 是平行四边形,直线 SC⊥平面 ABCD,E 是 SA 的中点,求证:平面 EDB⊥平面 ABCD.
垂直于同一个平面的两条直线平行.
符号表示: . a⊥α ,b⊥α ⇒a∥b
.. 导. 学 固思
问题2 叙述平面与平面垂直的性质定理,并根据图形用符号语言写
出这个定理. 性质定理:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它
们交线的直线与另一个平面垂直.
符号表示: α ⊥β ,α ∩β =l, AB⊂β ,且AB⊥l . 于B⇒AB⊥α
第11课时
垂直关系的性 质
同步书·数学(必修2-第一章)
.. 导. 学 固思
1.理解直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质定理, 能用图形语言和符号语言表述这些定理,并能加以证明.
2.能运用直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质定
理证明一些空间位置关系的简单问题.
.. 导. 学 固思
装修工人在安装门窗时,经常使用铅垂线对比门窗,测量 门窗是否安装得竖直,这是应用了什么原理?装修工人判断的
1.设 a,b 是两条异面直线,下列说法中正确的是( C ).
.. 导. 学 固思
A.有一平面与 a,b 都垂直 B.有且仅有一条直线与 a,b 都垂直 C.过直线 a 有且仅有一平面与 b 平行 D.过空间中任一点必可以作一直线与 a,b 都相交
【解析】A 中若有一平面与 a,b 都垂直,则 a∥b,矛盾;B 中将 a,b 平移到一个平面内,则与该平面垂直的直线与 a,b 都垂直;C 正确;D 中设过直线 a 且与 b 平行的平面为 α ,则在平面 α 内过 直线 a 之外的点,不可能作一直线与 a,b 都相交.
.. 导. 学 固思
4
如图,四边形 ABCD 是平行四边形,直线 SC⊥平面 ABCD,E 是 SA 的中点,求证:平面 EDB⊥平面 ABCD.
垂直于同一个平面的两条直线平行.
符号表示: . a⊥α ,b⊥α ⇒a∥b
.. 导. 学 固思
问题2 叙述平面与平面垂直的性质定理,并根据图形用符号语言写
出这个定理. 性质定理:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它
们交线的直线与另一个平面垂直.
符号表示: α ⊥β ,α ∩β =l, AB⊂β ,且AB⊥l . 于B⇒AB⊥α
第11课时
垂直关系的性 质
同步书·数学(必修2-第一章)
.. 导. 学 固思
1.理解直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质定理, 能用图形语言和符号语言表述这些定理,并能加以证明.
2.能运用直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质定
理证明一些空间位置关系的简单问题.
.. 导. 学 固思
装修工人在安装门窗时,经常使用铅垂线对比门窗,测量 门窗是否安装得竖直,这是应用了什么原理?装修工人判断的
1.设 a,b 是两条异面直线,下列说法中正确的是( C ).
.. 导. 学 固思
A.有一平面与 a,b 都垂直 B.有且仅有一条直线与 a,b 都垂直 C.过直线 a 有且仅有一平面与 b 平行 D.过空间中任一点必可以作一直线与 a,b 都相交
【解析】A 中若有一平面与 a,b 都垂直,则 a∥b,矛盾;B 中将 a,b 平移到一个平面内,则与该平面垂直的直线与 a,b 都垂直;C 正确;D 中设过直线 a 且与 b 平行的平面为 α ,则在平面 α 内过 直线 a 之外的点,不可能作一直线与 a,b 都相交.
高中数学北师大版必修2《第1章66.2垂直关系的性质》课件
5
2．平面与平面垂直的性质定理 (1)文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线 的直线 与另一个平面 垂直 ． (2)符号语言：α⊥β，α∩β＝m，l β，l⊥m⇒ l⊥α . (3)图形语言：如图所示．
(4)作用：证明直线与平面 垂直．
6
思考2：若α⊥β，则α内的直线与β内的直线有什么位置关系？ 提示：平行、相交、异面． 思考3：若α⊥β，则α内的直线是否都与β内的直线垂直？ 提示：不是．
36
1．思考辨析
(1)垂直于同一个平面的两条直线互相平行．
()
(2)一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条
直线互相垂直．
()
(3)若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则平面α⊥平面γ. ( )
[解析] (3)×，α∥γ或α∩γ＝l.
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
37
2．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点P∈l，给出下面四个结
10
D [a与β三种位置关系都有可能．] 11
3．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该
点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置
关系是( )
A．相交
B．平行
C．异面
D．相交或平行
12
B [圆柱的母线垂直于圆柱的底面，由线面垂直的性质知B正 确．]
13
4．(2019·全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形 ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面 ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则 ()
28
提示：不垂直．假设平面SBC⊥平面SDC. ∵BK⊥SC，∴BK⊥平面SDC. ∵DC 平面SDC，∴BK⊥DC， 又AB∥CD，∴BK⊥AB. ∵ABCD是正方形，AB⊥BC， ∴AB⊥平面SBC，又SB 平面SBC， ∴AB⊥SB，这与∠SBA是Rt△SAB的一个锐角矛盾，故假设不成立． ∴原结论成立，即平面SBC不垂直于平面SDC.
2．平面与平面垂直的性质定理 (1)文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线 的直线 与另一个平面 垂直 ． (2)符号语言：α⊥β，α∩β＝m，l β，l⊥m⇒ l⊥α . (3)图形语言：如图所示．
(4)作用：证明直线与平面 垂直．
6
思考2：若α⊥β，则α内的直线与β内的直线有什么位置关系？ 提示：平行、相交、异面． 思考3：若α⊥β，则α内的直线是否都与β内的直线垂直？ 提示：不是．
36
1．思考辨析
(1)垂直于同一个平面的两条直线互相平行．
()
(2)一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条
直线互相垂直．
()
(3)若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则平面α⊥平面γ. ( )
[解析] (3)×，α∥γ或α∩γ＝l.
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
37
2．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点P∈l，给出下面四个结
10
D [a与β三种位置关系都有可能．] 11
3．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该
点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置
关系是( )
A．相交
B．平行
C．异面
D．相交或平行
12
B [圆柱的母线垂直于圆柱的底面，由线面垂直的性质知B正 确．]
13
4．(2019·全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形 ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面 ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则 ()
28
提示：不垂直．假设平面SBC⊥平面SDC. ∵BK⊥SC，∴BK⊥平面SDC. ∵DC 平面SDC，∴BK⊥DC， 又AB∥CD，∴BK⊥AB. ∵ABCD是正方形，AB⊥BC， ∴AB⊥平面SBC，又SB 平面SBC， ∴AB⊥SB，这与∠SBA是Rt△SAB的一个锐角矛盾，故假设不成立． ∴原结论成立，即平面SBC不垂直于平面SDC.
高中数学第一章立体几何初步6垂直关系第2课时垂直关系的性质课件北师大版必修2
解析：∵l⊥β，l⊂α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)， 故 A 正确． 答案： A
4．如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°， BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在( )
A．直线AB上
B．直线BC上 C．直线AC上 D．△ABC内部
解析：选 A 由 AC⊥AB，AC⊥BC1，知 AC⊥平 面 ABC1.AC 面 ABC，∴平面 ABC1⊥平面 ABC，C1 在面 ABC 上的射影 H 必在二平面交线 AB 上．
面面垂直的性质定理可将面面垂直转化为线面 垂直、线线垂直．应用面面垂直的性质定理，注意以 下三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在 一个平面内；③直线必垂直于它们的交线．
练一练
2．如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形
ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角 形，其所在平面垂直于底面ABCD. (1)若G为AD边的中点 ，求证：BG⊥平面PAD； (2)求证：AD⊥PB.
∴DF⊥平面 PAC. 又 PA 平面 PAC，∴DF⊥AP.
作 DG⊥AB 于点 G， 同理可证 DG⊥AP， DG、 DF 都在平面 ABC 内且交点为 D， ∴PA⊥平面 ABC.
(2)连接 BE 并延长，交 PC 于点 H. ∵E 点是△PBC 的垂心，∴PC⊥BE. 又已知 AE 是平面 PBC 的垂线，∴PC⊥AE. 又∵BE∩AE＝E，∴PC⊥面 ABE.∴PC⊥AB. 又∵PA⊥平面 ABC，∴PA⊥AB. ∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面 PAC. ∴AB⊥AC，即△ABC 是直角三角形．
(2)假设平面 SBC⊥平面 SDC. ∵BK⊥SC，∴BK⊥平面 SDC. ∵DC 平面 SDC，∴BK⊥DC， 又 AB∥CD，∴BK⊥AB. ∵ABCD 是正方形，AB⊥BC，∴AB⊥平面 SBC， 又 SB 平面 SBC， ∴AB⊥SB， 这与∠SBA 是 Rt△SAB 的一个锐角矛盾，故假设不成立． ∴原结论成立，即平面 SBC 不垂直于平面 SDC.
4．如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°， BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在( )
A．直线AB上
B．直线BC上 C．直线AC上 D．△ABC内部
解析：选 A 由 AC⊥AB，AC⊥BC1，知 AC⊥平 面 ABC1.AC 面 ABC，∴平面 ABC1⊥平面 ABC，C1 在面 ABC 上的射影 H 必在二平面交线 AB 上．
面面垂直的性质定理可将面面垂直转化为线面 垂直、线线垂直．应用面面垂直的性质定理，注意以 下三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在 一个平面内；③直线必垂直于它们的交线．
练一练
2．如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形
ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角 形，其所在平面垂直于底面ABCD. (1)若G为AD边的中点 ，求证：BG⊥平面PAD； (2)求证：AD⊥PB.
∴DF⊥平面 PAC. 又 PA 平面 PAC，∴DF⊥AP.
作 DG⊥AB 于点 G， 同理可证 DG⊥AP， DG、 DF 都在平面 ABC 内且交点为 D， ∴PA⊥平面 ABC.
(2)连接 BE 并延长，交 PC 于点 H. ∵E 点是△PBC 的垂心，∴PC⊥BE. 又已知 AE 是平面 PBC 的垂线，∴PC⊥AE. 又∵BE∩AE＝E，∴PC⊥面 ABE.∴PC⊥AB. 又∵PA⊥平面 ABC，∴PA⊥AB. ∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面 PAC. ∴AB⊥AC，即△ABC 是直角三角形．
(2)假设平面 SBC⊥平面 SDC. ∵BK⊥SC，∴BK⊥平面 SDC. ∵DC 平面 SDC，∴BK⊥DC， 又 AB∥CD，∴BK⊥AB. ∵ABCD 是正方形，AB⊥BC，∴AB⊥平面 SBC， 又 SB 平面 SBC， ∴AB⊥SB， 这与∠SBA 是 Rt△SAB 的一个锐角矛盾，故假设不成立． ∴原结论成立，即平面 SBC 不垂直于平面 SDC.
北师大版高中数学必修2《6.5垂直关系》第2课时课件
解析：长杆l和地面垂直．
OA OB 1.5m，PO 2m，PA PB 2.5m
1.5 2 2.5 ， OA PO PA ，OB PO PB
2
2
2
2
2
2
OA PO，OB PO
OA OB O，OA，OB ，
l
2
2
2
课堂练习
由（1）知SD⊥面ABC，又BD⊂平面ABC， ∴SD⊥BD，
于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，
∴BD⊥平面SAC．
m , n , m n A, b .
a
b
A
m
n
初步应用
例2
如图所示，长杆l与地面α相交于点O，在杆子上距地面2m的点P处挂一根长2.5m的绳子，
拉紧绳子并把它的下端放在地面上的点A，或点B（A，B，O三点不在同一条直线上）．如
果A，B两点和点O的距离都是1.5m，那么长杆l和地面是否垂直？为什么？
6.5 垂直关系
第2课时
导入新课
问题1 直线与平面垂直的定义是什么？怎样判定直线与平面垂直呢？
A
l
C’
α
C
B’
B
直线与平面垂直的定义：
如果直线l与平面α内的任何一条直线都垂直，那么称直线l与平面α垂直．
下面一起来探究判定直线与平面垂直的条件．
新知探究
问题2 在长方体AC1中，棱BB1与底面ABCD垂直．视察BB1与AB、BC的位置关系，由
③直径必相交． ④若垂直于正六边形互相平行的边，则不能保证线面垂直．
故选：C．
目标检测
2
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是（ B ）
数学北师大版必修2课件：第一章6.2垂直关系的性质 (42张)
1．直线与平面垂直的性质定理
文字语言
图形语言
如果两条直线同 _垂__直__于__一__个__平__面__, 那么这两条直线
平行
符号语言 ________ba__⊥⊥____αα________⇒a∥b
2.平面与平面垂直的性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
如果两个平面互 相垂直，那么在 一个平面内垂直 于它们__交__线____ 的直线垂直于另 一个平面
1．如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M 是 AB 上一 点，N 是 A1C 的中点，MN⊥平面 A1DC.求证：MN∥AD1.
证明：因为 ADD1A1 为正方形， 所以 AD1⊥A1D. 又因为 CD⊥平面பைடு நூலகம்ADD1A1， 所以 CD⊥AD1.因为 A1D∩CD＝D， 所以 AD1⊥平面 A1DC. 又因为 MN⊥平面 A1DC， 所以 MN∥AD1.
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月10日星期五2021/9/102021/9/102021/9/10 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/102021/9/10September 10, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/10 • You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。 •
高中数学第一章立体几何初步1.6.2垂直关系的性质课件
【训练1】 如图，在四棱锥P－ABCD中， 底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD， AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别 在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN. 证明 因为AB⊥平面PAD，AE 平面PAD， 所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD. 因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD. 又CD∩PD＝D，所以AE⊥平面PCD. 因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD. 又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C， 所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.
6.2 垂直关系的性质
学习目标 1.掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质 定理(重点)；2.能运用性质定理解决一些简单问题(重点)；3. 了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间 的相互联系(重、难点)．
知识点一 直线与平面垂直的性质定理
文字语言 如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行
考查 方向
题型三 线线、线面、面面垂直的综合应用
方向1 证明直线和直线平行 【例3－1】 如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A、
B，a α，a⊥AB.求证：a∥l.
证明 ∵PA⊥α，l α，∴PA⊥l. 同理PB⊥l.∵PA∩PB＝P，∴l⊥平面PAB. 又∵PA⊥α，a α，∴PA⊥a. ∵a⊥AB，PA∩AB＝A，∴a⊥平面PAB. ∴a∥l.
【训练2】 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点， ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正 三角形，其所在平面垂直于底面ABCD. (1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD； (2)求证：AD⊥PB.
证明 (1)连接BD， ∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°， ∴△ABD是正三角形，又∵G是AD的中点， ∴BG⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD且两 平面交于AD， ∴BG⊥平面PAD. (2)连接PG，由(1)可知BG⊥AD，∵△PAD是正三角形，G是 AD中点，所以PG⊥AD，BG∩PG＝G， 所以AD⊥平面PBG，所以AD⊥PB.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
个平面，那么这两条直线平行． • (2)符号表示：若a⊥α，b⊥α，则a∥b. • (3)图形表示：
• (4)简记为：线面垂直⇒线线平行．
• 拓展：直线与平面垂直的性质还有：①一条 直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于该 平面内的所有直线；②两条平行线中的一条 垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平 面；③垂直于同一直线的两个平面平行．
本例若改为：α∩β＝l，E 是 α，β 外一点，EA⊥α 于 A， EB⊥β 于点 B，a β，a⊥AB.求证：a∥l.
[证明] ∵EA⊥α，∴EA⊥l， ∵EB⊥β，∴EB⊥l， 又 EA∩EB＝E，∴l⊥面 EAB. 同理可证：a⊥面 EAB. ∴a∥l.
•面面垂直性质定理的应用
如图，正方形 ABCD 所在平面与平面四边形 ABEF 所在平面互相垂直，AF∥BE，AF⊥EF，AF＝EF＝12BE.
求证：EA⊥平面 ABCD.
[思路分析] 解答本题的关键是证明 EA⊥AB，为此应该在 平面四边形 ABEF 中，利用 AF∥BE，AF⊥EF，AF＝EF＝12BE 等条件计算 AB，AE，BE 的长度，利用勾股定理的逆定理证明．
[规范解答] 设 AF＝EF＝a，则 BE＝2a. 过 A 作 AM⊥BE 于 M. ∵AF∥BE，∴AM⊥AF. 又∵AF⊥EF，∴AM∥EF， ∴四边形 AMEF 是正方形． ∴Aห้องสมุดไป่ตู้＝a，EM＝MB＝a，
• [分析] 利用已知三角形中的长度关系求解注 意△ACB，△BCD都是Rt△.
易错疑难辨析
• [错解] ∵SA⊥平面ABC，且平面SAB⊥平 面SBC，∴BC⊥SB，∴BC⊥平面SAB.
• 飞机的垂直安定面的作用是使飞机在偏航方 向上(即飞机左转或右转)具有静稳定性．当 飞机受到气流的扰动，机头偏向左或右时， 此时作用在垂直安定面上的气动力就会产生 一个与偏转方向相反的力矩，使飞机恢复到 原来的飞行姿态．今天我们就来学习这种互 相垂直的平面之间的知识.
• 1.直线与平面垂直的性质定理 • (1)定理内容：如果两条直线垂直同________于一
• 两个平面垂直，则经过第一个平面内的一点 垂直于第二个平面的直线在第一个平面 内．也就是说：只要在其中一个平面内通过 一点作另一个平面的垂线，那么这条垂线必 在这个平面内．
• 1.下列说法正确的是( ) • A．垂直于同一条直线的两条直线平行 • B．垂直于同一条直线的两条直线垂直 • C．垂直于同一个平面的两条直线平行 • D．垂直于同一条直线的直线和平面平行 • [答案] C • [解析] 在空间中，垂直于同一条直线的两条
• [思路分析] 可尝试把两条异面直线转化为 相交直线，证明直线l与c与同一个平面垂直．
• [规范解答] 如图，在a上取一点A，过点A 作直线b′⊥β.
• [规律总结] 1.线面垂直的性质定理本质上揭 示了空间中平行与垂直关系的内在联系，提 供了一种证明线线平行的方法．
• 2．证明线线平行的常用方法是：(1)平行线 的定义；(2)平行公理；(3)线面平行的性质定 理；(4)面面平行的性质定理；(5)线面垂直的 性质定理．在实际证明时，要根据题意灵活 选用．
立体几何初步 第一章
§6 垂直关系 6.2 垂直关系的性质
第一章
1 课前自主预习
3 易错疑难辨析
2 课堂典例讲练
4
课时作业
课前自主预习
• 飞机是一种现代化的交通工具，但不知同学 们是否注意到这样一个问题，几乎所有的固 定翼飞机在尾翼的上方都安有一个与尾翼平 面互相垂直的翼面，这个翼面叫飞机的垂直 安定面．
• [答案] 垂直
• [解析] 设AD的中点为F，则OP在AE所在平 面ADD1A1内的射影为A1F.
• 又∵A1F⊥AE，A1B1⊥AE， • ∴AE⊥面A1B1OF.∴OP⊥AE.
课堂典例讲练
•线面垂直性质的应用
•
已知a，b是异面直线，α∩β＝c，
a⊥α，b⊥β，直线l⊥a，l⊥b，求证：l∥c.
• 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一 点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱 形．侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂 直于底面ABCD.
• (1)若G为AD边的中点，
• 求证：BG⊥平面PAD；
• (2)求证：AD⊥PB.
• [分析] 解答本题可先由面面垂直得线面垂直， 再进一步得出线线垂直．
[规范解答] 如图所示，取 CD 的中点 E，连接 PE、EM、 EA.
∵△PCD 为正三角形， ∴PE⊥CD，PE＝ 3. ∵平面 PCD⊥平面 ABCD， ∴PE⊥平面 ABCD. 又 AM 平面 ABCD， ∴PE⊥AM. ∵四边形 ABCD 是矩形，
• 如图所示，平面α⊥平面β，在α与β的交线上 取线段AB＝4cm，AC，BD分别在平面α和平 面β内，它们都垂直于交线AB，并且AC＝ 3cm，BD＝12cm，求CD的长．
[证明] (1)连接 PG，BD， 由题知△PAD 为正三角形， G 是 AD 的中点， ∴PG⊥AD. 又平面 PAD⊥平面 ABCD， ∴PG⊥平面 ABCD，∴PG⊥BG.
•性质的综合应用
如图所示，边长为 2 的等边△PCD 所在的平面 垂直于矩形 ABCD 所在的平面，BC＝2 2，M 为 BC 的中点．求 证：AM⊥PM.
2．平面与平面垂直的性质定理 (1)定理内容：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内 __垂__直____于它们交线的直线__垂__直____于另一个平面． (2)符号表示：若 α⊥β，α∩β＝b，a α，a⊥b，则 a⊥β.
(3)图形表示： (4)简记为：面面垂直⇒线面垂直．
• 拓展：平面与平面垂直还有如下性质：
• 4．已知直线m，n和平面α，β满足m⊥n， m⊥α，α⊥β，则n与α的关系是________．
[答案] n∥α 或 n α [解析] 若 n α，则满足题意． 若 n α，则 n∥α 显然是成立的．
• 5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面 ABCD的中心，E是DD1的中点，P是棱A1B1 上一动点，则OP与AE的关系是________．
• (4)简记为：线面垂直⇒线线平行．
• 拓展：直线与平面垂直的性质还有：①一条 直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于该 平面内的所有直线；②两条平行线中的一条 垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平 面；③垂直于同一直线的两个平面平行．
本例若改为：α∩β＝l，E 是 α，β 外一点，EA⊥α 于 A， EB⊥β 于点 B，a β，a⊥AB.求证：a∥l.
[证明] ∵EA⊥α，∴EA⊥l， ∵EB⊥β，∴EB⊥l， 又 EA∩EB＝E，∴l⊥面 EAB. 同理可证：a⊥面 EAB. ∴a∥l.
•面面垂直性质定理的应用
如图，正方形 ABCD 所在平面与平面四边形 ABEF 所在平面互相垂直，AF∥BE，AF⊥EF，AF＝EF＝12BE.
求证：EA⊥平面 ABCD.
[思路分析] 解答本题的关键是证明 EA⊥AB，为此应该在 平面四边形 ABEF 中，利用 AF∥BE，AF⊥EF，AF＝EF＝12BE 等条件计算 AB，AE，BE 的长度，利用勾股定理的逆定理证明．
[规范解答] 设 AF＝EF＝a，则 BE＝2a. 过 A 作 AM⊥BE 于 M. ∵AF∥BE，∴AM⊥AF. 又∵AF⊥EF，∴AM∥EF， ∴四边形 AMEF 是正方形． ∴Aห้องสมุดไป่ตู้＝a，EM＝MB＝a，
• [分析] 利用已知三角形中的长度关系求解注 意△ACB，△BCD都是Rt△.
易错疑难辨析
• [错解] ∵SA⊥平面ABC，且平面SAB⊥平 面SBC，∴BC⊥SB，∴BC⊥平面SAB.
• 飞机的垂直安定面的作用是使飞机在偏航方 向上(即飞机左转或右转)具有静稳定性．当 飞机受到气流的扰动，机头偏向左或右时， 此时作用在垂直安定面上的气动力就会产生 一个与偏转方向相反的力矩，使飞机恢复到 原来的飞行姿态．今天我们就来学习这种互 相垂直的平面之间的知识.
• 1.直线与平面垂直的性质定理 • (1)定理内容：如果两条直线垂直同________于一
• 两个平面垂直，则经过第一个平面内的一点 垂直于第二个平面的直线在第一个平面 内．也就是说：只要在其中一个平面内通过 一点作另一个平面的垂线，那么这条垂线必 在这个平面内．
• 1.下列说法正确的是( ) • A．垂直于同一条直线的两条直线平行 • B．垂直于同一条直线的两条直线垂直 • C．垂直于同一个平面的两条直线平行 • D．垂直于同一条直线的直线和平面平行 • [答案] C • [解析] 在空间中，垂直于同一条直线的两条
• [思路分析] 可尝试把两条异面直线转化为 相交直线，证明直线l与c与同一个平面垂直．
• [规范解答] 如图，在a上取一点A，过点A 作直线b′⊥β.
• [规律总结] 1.线面垂直的性质定理本质上揭 示了空间中平行与垂直关系的内在联系，提 供了一种证明线线平行的方法．
• 2．证明线线平行的常用方法是：(1)平行线 的定义；(2)平行公理；(3)线面平行的性质定 理；(4)面面平行的性质定理；(5)线面垂直的 性质定理．在实际证明时，要根据题意灵活 选用．
立体几何初步 第一章
§6 垂直关系 6.2 垂直关系的性质
第一章
1 课前自主预习
3 易错疑难辨析
2 课堂典例讲练
4
课时作业
课前自主预习
• 飞机是一种现代化的交通工具，但不知同学 们是否注意到这样一个问题，几乎所有的固 定翼飞机在尾翼的上方都安有一个与尾翼平 面互相垂直的翼面，这个翼面叫飞机的垂直 安定面．
• [答案] 垂直
• [解析] 设AD的中点为F，则OP在AE所在平 面ADD1A1内的射影为A1F.
• 又∵A1F⊥AE，A1B1⊥AE， • ∴AE⊥面A1B1OF.∴OP⊥AE.
课堂典例讲练
•线面垂直性质的应用
•
已知a，b是异面直线，α∩β＝c，
a⊥α，b⊥β，直线l⊥a，l⊥b，求证：l∥c.
• 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一 点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱 形．侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂 直于底面ABCD.
• (1)若G为AD边的中点，
• 求证：BG⊥平面PAD；
• (2)求证：AD⊥PB.
• [分析] 解答本题可先由面面垂直得线面垂直， 再进一步得出线线垂直．
[规范解答] 如图所示，取 CD 的中点 E，连接 PE、EM、 EA.
∵△PCD 为正三角形， ∴PE⊥CD，PE＝ 3. ∵平面 PCD⊥平面 ABCD， ∴PE⊥平面 ABCD. 又 AM 平面 ABCD， ∴PE⊥AM. ∵四边形 ABCD 是矩形，
• 如图所示，平面α⊥平面β，在α与β的交线上 取线段AB＝4cm，AC，BD分别在平面α和平 面β内，它们都垂直于交线AB，并且AC＝ 3cm，BD＝12cm，求CD的长．
[证明] (1)连接 PG，BD， 由题知△PAD 为正三角形， G 是 AD 的中点， ∴PG⊥AD. 又平面 PAD⊥平面 ABCD， ∴PG⊥平面 ABCD，∴PG⊥BG.
•性质的综合应用
如图所示，边长为 2 的等边△PCD 所在的平面 垂直于矩形 ABCD 所在的平面，BC＝2 2，M 为 BC 的中点．求 证：AM⊥PM.
2．平面与平面垂直的性质定理 (1)定理内容：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内 __垂__直____于它们交线的直线__垂__直____于另一个平面． (2)符号表示：若 α⊥β，α∩β＝b，a α，a⊥b，则 a⊥β.
(3)图形表示： (4)简记为：面面垂直⇒线面垂直．
• 拓展：平面与平面垂直还有如下性质：
• 4．已知直线m，n和平面α，β满足m⊥n， m⊥α，α⊥β，则n与α的关系是________．
[答案] n∥α 或 n α [解析] 若 n α，则满足题意． 若 n α，则 n∥α 显然是成立的．
• 5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面 ABCD的中心，E是DD1的中点，P是棱A1B1 上一动点，则OP与AE的关系是________．