高三数学北师大版垂直关系的性质PPT教学课件

• [思路分析] 可尝试把两条异面直线转化为 相交直线，证明直线l与c与同一个平面垂直．
• [规范解答] 如图，在a上取一点A，过点A 作直线b′⊥β.
• [规律总结] 1.线面垂直的性质定理本质上揭 示了空间中平行与垂直关系的内在联系，提 供了一种证明线线平行的方法．
• 2．证明线线平行的常用方法是：(1)平行线 的定义；(2)平行公理；(3)线面平行的性质定 理；(4)面面平行的性质定理；(5)线面垂直的 性质定理．在实际证明时，要根据题意灵活 选用．
• 4．已知直线m，n和平面α，β满足m⊥n， m⊥α，α⊥β，则n与α的关系是________．
[答案] n∥α 或 n α [解析] 若 n α，则满足题意． 若 n α，则 n∥α 显然是成立的．
• 5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面 ABCD的中心，E是DD1的中点，P是棱A1B1 上一动点，则OP与AE的关系是________．
个平面，那么这两条直线平行． • (2)符号表示：若a⊥α，b⊥α，则a∥b. • (3)图形表示：
• (4)简记为：线面垂直⇒线线平行．
• 拓展：直线与平面垂直的性质还有：①一条 直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于该 平面内的所有直线；②两条平行线中的一条 垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平 面；③垂直于同一直线的两个平面平行．
• [分析] 利用已知三角形中的长度关系求解注 意△ACB，△BCD都是Rt△.
易错疑难辨析
• [错解] ∵SA⊥平面ABC，且平面SAB⊥平 面SBC，∴BC⊥SB，∴BC⊥平面SAB.
[规范解答] 如图所示，取 CD 的中点 E，连接 PE、EM、 EA.
∵△PCD 为正三角形， ∴PE⊥CD，PE＝ 3. ∵平面 PCD⊥平面 ABCD， ∴PE⊥平面 ABCD. 又 AM 平面 ABCD， ∴PE⊥AM. ∵四边形 ABCD 是矩形，
• 如图所示，平面α⊥平面β，在α与β的交线上 取线段AB＝4cm，AC，BD分别在平面α和平 面β内，它们都垂直于交线AB，并且AC＝ 3cm，BD＝12cm，求CD的长．
• 两个平面垂直，则经过第一个平面内的一点 垂直于第二个平面的直线在第一个平面 内．也就是说：只要在其中一个平面内通过 一点作另一个平面的垂线，那么这条垂线必 在这个平面内．
• 1.下列说法正确的是( ) • A．垂直于同一条直线的两条直线平行 • B．垂直于同一条直线的两条直线垂直 • C．垂直于同一个平面的两条直线平行 • D．垂直于同一条直线的直线和平面平行 • [答案] C • [解析] 在空间中，垂直于同一条直线的两条
求证：EA⊥平面 ABCD.
[思路分析] 解答本题的关键是证明 EA⊥AB，为此应该在 平面四边形 ABEF 中，利用 AF∥BE，AF⊥EF，AF＝EF＝12BE 等条件计算 AB，AE，BE 的长度，利用勾股定理的逆定理证明．
[规范解答] 设 AF＝EF＝a，则 BE＝2a. 过 A 作 AM⊥BE 于 M. ∵AF∥BE，∴AM⊥AF. 又∵AF⊥EF，∴AM∥EF， ∴四边形 AMEF 是正方形． ∴AM＝a，EM＝MB＝a，
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• 飞机的垂直安定面的作用是使飞机在偏航方 向上(即飞机左转或右转)具有静稳定性．当 飞机受到气流的扰动，机头偏向左或右时， 此时作用在垂直安定面上的气动力就会产生 一个与偏转方向相反的力矩，使飞机恢复到 原来的飞行姿态．今天我们就来学习这种互 相垂直的平面之间的知识.
• 1.直线与平面垂直的性质定理 • (1)定理内容：如果两条直线垂直同________于一
2．平面与平面垂直的性质定理 (1)定理内容：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内 __垂__直____于它们交线的直线__垂__直____于另一个平面． (2)符号表示：若 α⊥β，α∩β＝b，a α，a⊥b，则 a⊥β.
(3)图形表示： (4)简记为：面面垂直⇒线面垂直．
• 拓展：平面与平面垂直还有如下性质：
• [答案] 垂直
• [解析] 设AD的中点为F，则OP在AE所在平 面ADD1A1内的射影为A1F.
• 又∵A1F⊥AE，A1B1⊥AE， • ∴AE⊥面A1B1OF.∴OP⊥AE.
课堂典例讲练
•线面垂直性质的应用
•
已知a，b是异面直线，α∩β＝c，
a⊥α，b⊥β，直线l⊥a，l⊥b，求证：l∥c.
[证明] (1)连接 PG，BD， 由题知△PAD 为正三角形， G 是 AD 的中点， ∴PG⊥AD. 又平面 PAD⊥平面 ABCD， ∴PG⊥平面 ABCD，∴PG⊥BG.
•性质的综合应用
如图所示，边长为 2 的等边△PCD 所在的平面 垂直于矩形 ABCD 所在的平面，BC＝2 2，M 为 BC 的中点．求 证：AM⊥PM.
本例若改为：α∩β＝l，E 是 α，β 外一点，EA⊥α 于 A， EB⊥β 于点 B，a β，a⊥AB.求证：a∥l.
[证明] ∵EA⊥α，∴EA⊥l， ∵EB⊥β，∴EB⊥l， 又 EA∩EB＝E，∴l⊥面 EAB. 同理可证：a⊥面 EAB. ∴a∥l.
•面面垂直性质定理的应用
如图，正方形 ABCD 所在平面与平面四边形 ABEF 所在平面互相垂直，AF∥BE，AF⊥EF，AF＝EF＝12BE.
• 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一 点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱 形．侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂 直于底面ABCD.
• (1)若G为AD边的中点，
• 求证：BG⊥平面PAD；
• (2)求证：AD⊥PB.
• [分析] 解答本题可先由面面垂直得线面垂直， 再进一步得出线线垂直．
立体几何初步 第一章
§6 垂直关系 6.2 垂直关系的性质
第一章
1 课前自主预习
3 易错疑难辨析
2 课堂典例讲练
4
课时作业
课前自主预习
• 飞机是一种现代化的交通工具，但不知同学 们是否注意到这样一个问题，几乎所有的固 定翼飞机在尾翼的上方都安有一个与尾翼平 面互相垂直的翼面，这个翼面叫飞机的垂直 安定面．