2020年中考数学试题分类专题之 相似三角形
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A．15B．20C．25D．30
解：设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，
∵四边EFGH是正方形，∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD是△ABC的高，∴∠HDN＝90°，
∴四边形EHDN是矩形，∴DN＝EH＝x，
∵△AEF∽△ABC，∴ ＝ （相似三角形对应边上的高的比等于相似比），
∴ ，
∵∠B=60°，∴ ，
∵ ，∠A =60°，∴ ,
则 ，
，
∴四边形 面积为： ,
又∵ ，
∴当 时，四边形 面积最大，最大值为： ，
即四边形 面积最大值为 ，
则③正确；
④如图，作点D关于直线 的对称点D1，连接D D1，与 相交于点Q，再将D1Q沿着 向B端平移 个单位长度，即平移 个单位长度，得到D2P，与 相交于点P，连接PC，
A．一种B．两种C．三种D．四种
解：长120cm的木条与三角形木架的最长边相等，则长120cm的木条不能作为一边，
设从120cm的木条上截下两段长分别为xcm，ycm（x+y≤120），
由于长60cm的木条不能与75cm的一边对应，否则x、y有大于120cm，
当长60cm的木条与100cm的一边对应，则 ，
解得：x＝45，y＝72；
当长60cm的木条与120cm的一边对应，则 ，
解得：x＝37.5，y＝50．
答：有两种不同的截法：把120cm的木条截成45cm、72cm两段或把120cm的木条截成37.5cm、50cm两段．
∴ ∽
∴ ,即：
∴ .故选A.
10.（2020无锡）如图，等边 的边长为3，点 在边 上， ，线段 在边 上运动， ，有下列结论：
① 与 可能相等；② 与 可能相似；③四边形 面积的最大值为 ；④四边形 周长的最小值为 ．其中，正确结论的序号为（）
A. ①④B. ②④C. ①③D. ②③
解：①∵线段 在边 上运动， ，
∴ ,
∴ 与 不可能相等，则①错误；
②设 ，
∵ ， ，
∴ ，即 ，
假设 与 相似，
∵∠A=∠B=60°，
∴ ，即 ，
从而得到 ，解得 或 （经检验是原方程的根），
又 ，
∴解得的 或 符合题意，
即 与 可能相似，则②正确；
③如图，过P作PE⊥BC于E，过F作DF⊥AB于F，
设 ，
由 ， ，得 ，即 ，
答案：A
7．（2020四川遂宁）（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
2020年中考数学试题分类
相似三角形
1、选择题
9．（2020成都）（3分）如图，直线 ，直线 和 被 ， ， 所截， ， ， ，则 的长为
A．2B．3C．4D．
解： 直线 ， ，
， ， ， ，
，
选： ．
10．（2020哈尔滨）（3分）如图，在 中，点 在 边上，连接 ，点 在 边上，过点 作 ，交 于点 ，过点 作 ，交 于点 ，则下列式子一定正确的是
则△ABC与△DEF的面积比为（）
A.1∶2B.1∶3C.1∶4D.1∶5
.答案C.
6.(2020甘肃定西）生活中到处可见黄金分割的美.如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下 与全身 的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感.若图中 为2米，则 约为（）
A.1.24米B.1.38米C.1.42米D.1.62米
A. B.2C.4D.
解：∵以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，
而A（1，2），C（3，1），
∴D（2，4），F（6，2），
∴DF＝ = ，
故选：D．
6.（2020重庆B卷）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心.已知OA∶OD=1∶2，
∵BC＝120，AD＝60，∴AN＝60﹣x，
∴ ＝ ，解得：x＝40，
∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20．故选：B．
11．（2020广西玉林）（3分）（2020•玉林）一个三角形木架三边长分别是75cm，100cm，120cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm和120cm的两根木条．要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（ ）
∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，
∵BE平分∠ABC，∴ห้องสมุดไป่ตู้ABF＝∠CBG，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，
∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，∴CG＝CD+DG＝3k，
∵AB∥DG，∴△ABE∽△CGE，
∴ ，
故选：C．
9．（2020广西南宁）（3分）如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（ ）
∴D1Q=DQ=D2P， ，且∠AD1D2=120°，
此时四边形 的周长为： ，其值最小，
∴∠D1AD2=30°，∠D2A D=90°， ，
∴根据股股定理可得， ，
∴四边形 的周长为： ,
则④错误，所以可得②③正确，故选：D．
8.（2020重庆A卷）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别是 ， ， ，以原点为位似中心，在原点的同侧画 ，使 与 成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（）
A. B. C. D.
【解析】A.
解：过点D作DE⊥BC于点E.则BE=AD=2,DE=AB= ,
设BC= C= ，CE= -2.
∵ 为等腰三角形，
∴ C=BD= ,∠D C=90°
∴DC=
在RT△DCE中，由勾股定理得： ,
即： ，解得： ， （舍去）。
∴在RT△ABC中，AC= = =
由旋转得：BC= C,AC= ,
A． B． C． D．
解： ， ，
， ，
，
故选： ．
8.（2020河北）在如图所示的网格中，以点 为位似中心，四边形 的位似图形是（）
A.四边形 B.四边形
C.四边形 D.四边形
解：如图所示，四边形 的位似图形是四边形 ．
故选：A
12.（2020四川绵阳）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°，AB= ,AD=2,将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得 ,当 恰好过点D时， 为等腰三角形，若 =2,则 =（ ）
解：设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，
∵四边EFGH是正方形，∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD是△ABC的高，∴∠HDN＝90°，
∴四边形EHDN是矩形，∴DN＝EH＝x，
∵△AEF∽△ABC，∴ ＝ （相似三角形对应边上的高的比等于相似比），
∴ ，
∵∠B=60°，∴ ，
∵ ，∠A =60°，∴ ,
则 ，
，
∴四边形 面积为： ,
又∵ ，
∴当 时，四边形 面积最大，最大值为： ，
即四边形 面积最大值为 ，
则③正确；
④如图，作点D关于直线 的对称点D1，连接D D1，与 相交于点Q，再将D1Q沿着 向B端平移 个单位长度，即平移 个单位长度，得到D2P，与 相交于点P，连接PC，
A．一种B．两种C．三种D．四种
解：长120cm的木条与三角形木架的最长边相等，则长120cm的木条不能作为一边，
设从120cm的木条上截下两段长分别为xcm，ycm（x+y≤120），
由于长60cm的木条不能与75cm的一边对应，否则x、y有大于120cm，
当长60cm的木条与100cm的一边对应，则 ，
解得：x＝45，y＝72；
当长60cm的木条与120cm的一边对应，则 ，
解得：x＝37.5，y＝50．
答：有两种不同的截法：把120cm的木条截成45cm、72cm两段或把120cm的木条截成37.5cm、50cm两段．
∴ ∽
∴ ,即：
∴ .故选A.
10.（2020无锡）如图，等边 的边长为3，点 在边 上， ，线段 在边 上运动， ，有下列结论：
① 与 可能相等；② 与 可能相似；③四边形 面积的最大值为 ；④四边形 周长的最小值为 ．其中，正确结论的序号为（）
A. ①④B. ②④C. ①③D. ②③
解：①∵线段 在边 上运动， ，
∴ ,
∴ 与 不可能相等，则①错误；
②设 ，
∵ ， ，
∴ ，即 ，
假设 与 相似，
∵∠A=∠B=60°，
∴ ，即 ，
从而得到 ，解得 或 （经检验是原方程的根），
又 ，
∴解得的 或 符合题意，
即 与 可能相似，则②正确；
③如图，过P作PE⊥BC于E，过F作DF⊥AB于F，
设 ，
由 ， ，得 ，即 ，
答案：A
7．（2020四川遂宁）（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
2020年中考数学试题分类
相似三角形
1、选择题
9．（2020成都）（3分）如图，直线 ，直线 和 被 ， ， 所截， ， ， ，则 的长为
A．2B．3C．4D．
解： 直线 ， ，
， ， ， ，
，
选： ．
10．（2020哈尔滨）（3分）如图，在 中，点 在 边上，连接 ，点 在 边上，过点 作 ，交 于点 ，过点 作 ，交 于点 ，则下列式子一定正确的是
则△ABC与△DEF的面积比为（）
A.1∶2B.1∶3C.1∶4D.1∶5
.答案C.
6.(2020甘肃定西）生活中到处可见黄金分割的美.如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下 与全身 的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感.若图中 为2米，则 约为（）
A.1.24米B.1.38米C.1.42米D.1.62米
A. B.2C.4D.
解：∵以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，
而A（1，2），C（3，1），
∴D（2，4），F（6，2），
∴DF＝ = ，
故选：D．
6.（2020重庆B卷）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心.已知OA∶OD=1∶2，
∵BC＝120，AD＝60，∴AN＝60﹣x，
∴ ＝ ，解得：x＝40，
∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20．故选：B．
11．（2020广西玉林）（3分）（2020•玉林）一个三角形木架三边长分别是75cm，100cm，120cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm和120cm的两根木条．要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（ ）
∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，
∵BE平分∠ABC，∴ห้องสมุดไป่ตู้ABF＝∠CBG，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，
∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，∴CG＝CD+DG＝3k，
∵AB∥DG，∴△ABE∽△CGE，
∴ ，
故选：C．
9．（2020广西南宁）（3分）如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（ ）
∴D1Q=DQ=D2P， ，且∠AD1D2=120°，
此时四边形 的周长为： ，其值最小，
∴∠D1AD2=30°，∠D2A D=90°， ，
∴根据股股定理可得， ，
∴四边形 的周长为： ,
则④错误，所以可得②③正确，故选：D．
8.（2020重庆A卷）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别是 ， ， ，以原点为位似中心，在原点的同侧画 ，使 与 成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（）
A. B. C. D.
【解析】A.
解：过点D作DE⊥BC于点E.则BE=AD=2,DE=AB= ,
设BC= C= ，CE= -2.
∵ 为等腰三角形，
∴ C=BD= ,∠D C=90°
∴DC=
在RT△DCE中，由勾股定理得： ,
即： ，解得： ， （舍去）。
∴在RT△ABC中，AC= = =
由旋转得：BC= C,AC= ,
A． B． C． D．
解： ， ，
， ，
，
故选： ．
8.（2020河北）在如图所示的网格中，以点 为位似中心，四边形 的位似图形是（）
A.四边形 B.四边形
C.四边形 D.四边形
解：如图所示，四边形 的位似图形是四边形 ．
故选：A
12.（2020四川绵阳）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°，AB= ,AD=2,将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得 ,当 恰好过点D时， 为等腰三角形，若 =2,则 =（ ）