湖北省高考数学试卷(文科)
高考真题试卷(湖北卷)数学(文科)参考答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）试题参考答案一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分． 1．Ａ 2．Ｄ 3．Ｃ 4．Ａ 5．Ｄ 6．Ｂ 7．Ａ 8．Ｃ 9．Ｂ 10．Ｂ二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分25分． 11．32-12．8 13．314．1512815．110110010111610t t t y t -⎧⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎪⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，，，≤≤；0.6 三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力．解：（Ⅰ）π()1cos 221sin 222f x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∵ π12sin 23x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．又ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2633x -∴≤≤，即π212sin 233x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≤≤，max min ()3()2f x f x ==，∴．（Ⅱ）()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+∵，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，， max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+，14m <<∴，即m 的取值范围是(14)，． 17．本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力． 解法1：（Ⅰ）AC BC a ==∵，ACB ∴△是等腰三角形，又D 是AB 的中点， CD AB ⊥∴，又VC ⊥底面ABC ．VC AB ⊥∴．于是AB ⊥平面VCD ． 又AB ⊂平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ） 过点C 在平面VCD 内作CH VD ⊥于H ，则由（Ⅰ）知CD ⊥平面VAB ． 连接BH ，于是CBH ∠就是直线BC 与平面VAB 所成的角．依题意π6CBH ∠=，所以 在CHD Rt △中，sin 2CH a θ=； 在BHC Rt △中，πsin62a CH a ==，sin 2θ=∴． π02θ<<∵，π4θ=∴． 故当π4θ=时，直线BC 与平面VAB 所成的角为π6． 解法2：（Ⅰ）以CA CB CV ，，所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)(00)(00)000tan 222a aC A a B aD V a θ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，，于是，tan 222a a VD a θ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，，，022a a CD ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ，，，(0)AB a a =-u u u r ，，． 从而2211(0)0002222a a ABCD a a a a ⎛⎫=-=-++= ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，，，，··，即AB CD ⊥．同理2211(0)tan 002222a a AB VD a a a a θ⎛⎫=-=-++= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，，，，··， 即AB VD ⊥．又CD VD D =I ，AB ⊥∴平面VCD ． 又AB ⊂平面VAB ．∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ）设平面VAB 的一个法向量为()x y z =，，n ，则由00AB VD ==u u u r，··nn ．得0tan 0222ax ay a a x y az θ-+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，．可取(11)θ=n ，又(00)BC a =-u u u r，，，于是πsin62BCBCθ===u u u ru u u rnn··，即sin2θ=π2θ<<∵，π4θ∴=．故交π4θ=时，直线BC与平面VAB所成的角为π6．解法3：（Ⅰ）以点D为原点，以DC DB，所在的直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)000000222D A a B a C⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，0tan22V a aθ⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，，，于是0tan22DV a aθ⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭u u u r，，，002DC a⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭u u u r，，，(00)AB=u u u r，．从而(00)AB DC=u u u r u u u r，·0002a⎛⎫-=⎪⎪⎝⎭，，·，即AB DC⊥．同理(00)0tan022AB DV a aθ⎛⎫=-=⎪⎪⎝⎭u u u r u u u r，，，·，即AB DV⊥．又DC DV D=I，AB⊥∴平面VCD．又AB⊂平面VAB，∴平面VAB⊥平面VCD．（Ⅱ）设平面VAB的一个法向量为()x y z=，，n，则由00AB DV==u u u r u u u r，··n n，得tan022ax azθ=⎨-+=⎪⎩，．可取(tan01)nθ=，，，又0BC⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭u u u r，，，于是tanπsin62aBCBCθθ===u u u ru u u rnn··，即πππsin0224θθθ=<<，，∵∴=． A故交π4θ=时， 即直线BC 与平面VAB 所成角为π6． 18．本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题的能力． 解：（Ⅰ）设商品降价x 元，则多卖的商品数为2kx ，若记商品在一个星期的获利为()f x ， 则依题意有22()(309)(432)(21)(432)f x x kx x kx =--+=-+， 又由已知条件，2242k =·，于是有6k =，所以32()61264329072[030]f x x x x x =-+-+∈，，． （Ⅱ）根据（Ⅰ），我们有2()1825243218(2)(12)f x x x x x '=-+-=---．故12x =时，()f x 达到极大值．因为(0)9072f=，(12)11264f =，所以定价为301218-=元能使一个星期的商品销售利润最大．19．本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算能力．解法1：（Ⅰ）令2()()(1)g x f x x x a x a =-=+-+，则由题意可得01012(1)0(0)0a g g ∆>⎧⎪-⎪<<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩，，，，01133aa a a ⎧>⎪⇔-<<⎨⎪<->+⎩，，03a ⇔<<-故所求实数a 的取值范围是(03-，． （II ）2(0)(1)(0)(0)(1)2f f f g g a -==g ，令2()2h a a =．Q当a >时，()h a 单调增加，∴当03a <<-时，20()(32(32(17h a h <<-=-=-1216=<，即1(0)(1)(0)16f f f -<g ．解法2：（I ）同解法1．（II ）Q 2(0)(1)(0)(0)(1)2f f f g g a -==，由（I）知03a <<-，1170-<<∴．又10+>，于是221112(321)1)0161616a a -=-=-+<， 即212016a -<，故1(0)(1)(0)16f f f -<． 解法3：（I ）方程()0f x x -=⇔2(1)0x a x a +-+=，由韦达定理得121x x a +=-，12x x a =，于是121212121200010(1)(1)0(1)(1)0x x x x x x x x x x ∆>⎧⎪+>⎪⎪<<<⇔>⎨⎪-+->⎪⎪-->⎩，，，，0133a a a a ⎧>⎪⇔<⎨⎪<->+⎩，，03a ⇔<<- 故所求实数a的取值范围是(03-，． （II ）依题意可设12()()()g x x x x x =--，则由1201x x <<<，得12121122(0)(1)(0)(0)(1)(1)(1)[(1)][(1)]f f f g g x x x x x x x x -==--=--2211221112216x x x x +-+-⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1(0)(1)(0)16f f f -<． 20．本小题主要考查等比数列的定义，通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力．解法1：（I ）证：由1n n b q b +=n q ==，∴ 22()n n a a q n +=∈N*． （II ）证：22n n a q q -=Q ，22221231n n n a a q a q ---∴===L ，222222n n n a a q a q --===L ， 22222222212121222(2)5n n n n n n n c a a a q a q a a q q -----∴=+=+=+=．{}n c ∴是首项为5，以2q 为公比的等比数列．（III ）由（II ）得2221111n n q a a --=，222211nn q a a-=，于是 1221321242111111111n n n a a a a a a a a a -⎛⎫⎛⎫+++=+++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L L24222422121111111111n n a q q q a q q q --⎛⎫⎛⎫=+++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L2122311112n q q q -⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭L ． 当1q =时，2422122111311112n n a a a q q q -⎛⎫+++=++++ ⎪⎝⎭L L32n =． 当1q ≠时，2422122111311112n n a a a q q q -⎛⎫+++=++++ ⎪⎝⎭L L223121n q q --⎛⎫-= ⎪-⎝⎭2222312(1)n n q q q -⎡⎤-=⎢⎥-⎣⎦． 故21222223121111 1.(1)nn n n q q a a a q q q -⎧=⎪⎪+++=⎨⎡⎤3-⎪≠⎢⎥⎪2-⎣⎦⎩L ， ，， 解法2：（I ）同解法1（I ）．（II ）证：222*1212221221221222()22n n n n nn n n n nc a a q a q a q n c a a a a +++---++===∈++N ，又11225c a a =+=， {}n c ∴是首项为5，以2q 为公比的等比数列．（III ）由（II ）的类似方法得222221212()3n n n n a a a a qq ---+=+=， 34212121221234212111n n n n na a a a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L ， 2222212442123322k k k k k k k a a q qa a q --+---+==Q ，12k n =L ，，，．2221221113(1)2n k q q a a a --+∴+++=+++L L ． 下同解法1．21．本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．解法1：（Ⅰ）依题意，点N 的坐标为(0)N p -，，可设1122()()A x y B x y ，，，，直线AB 的方程为y kx p =+，与22x py =联立得22x py y kx p ⎧=⎨=+⎩，．消去y 得22220x pkx p --=．由韦达定理得122x x pk +=，2122x x p =-．于是12122AMN BCN ACN S S S p x x =+=-△△△·．12p x x =-=2p==，∴当0k =，2min ()ABN S =△．（Ⅱ）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，设AC 的中点为O '，l 与AC 为直径的圆相交于点P ，Q PQ ，的中点为H ， 则O H PQ '⊥，Q '点的坐标为1122x y p +⎛⎫⎪⎝⎭，．12O P AC '===∵， 111222y p O H a a y p +'=-=--， 222PH O P O H ''=-∴221111()(244y p a y =+---1()2p a y a p a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，22(2)PQ PH =∴14()2p a y a p a ⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．令02p a -=，得2p a =，此时PQ p =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2py =， 即抛物线的通径所在的直线．解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得12AB x =-==2=又由点到直线的距离公式得d =从而112222ABN S dAB p ===△···∴当0k =时，2max ()ABN S =△．（Ⅱ）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，则以AC 为直径的圆的方程为11(0)()()()0x x x y p y y -----=，将直线方程y a =代入得211()()0x x x a p a y -+--=，则21114()()4()2p x a p a y a y a p a ⎡⎤⎛⎫=---=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦△． 设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为3344()()P x y Q x y ，，，，则有34PQ x x =-==．令02p a -=，得2p a =，此时PQ p =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2py =， 即抛物线的通径所在的直线．。
2024年全国统一高考数学试卷(文科)(甲卷)[含答案]
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2024年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．集合，2，3，4，5，，，则 {1A =9}{|1}B x x A =+∈(A B = )A ．，2，3，B ．，2，C ．，D ．，2，{14}{13}{34}{19}2．设，则 z =(z z ⋅=)A ．B ．1C ．D ．2i-1-3．若实数，满足约束条件则的最小值为 x y 4330,220,2690,x y x y x y --⎧⎪--⎨⎪+-⎩ 5z x y =-()A ．5B ．C ．D ．122-72-4．等差数列的前项和为，若， {}n a n n S 91S =37(a a +=)A ．B ．C ．1D ．2-73295．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是 ()A ．B ．C ．D ．141312236．已知双曲线的两个焦点分别为、，且经过点，则双曲线的离心率是 1(0,4)F 2(0,4)F -(6,4)P -C ()A ．4B ．3C ．2D 7．曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为 6()31f x x x =+-(0,1)-()A ．BC ．D ．16128．函数的区间，的图像大致为 2()()sin xx f x x e ex -=-+-[ 2.8- 2.8]()A ．B ．C ．D ．9．已知 cos cos sin ααα=-tan()(4πα+=)A ．B ．CD．1+1-1-10．已知直线与圆交于，两点，则的最小值为 20ax y a ++-=22:410C x y y ++-=A B ||AB ()A ．2B ．3C ．4D ．611．已知、是两个平面，、是两条直线，．下列四个命题：αβm n m αβ= ①若，则或//m n //n α//n β②若，则，m n ⊥n α⊥n β⊥③若，且，则//n α//n β//m n ④若与和所成的角相等，则n αβm n ⊥其中，所有真命题的编号是 ()A ．①③B ．②③C ．①②③D ．①③④12．在中，内角，，所对边分别为，，，若，，则 ABC ∆A B C a b c 3B π=294b ac =sin sin (A C +=)A ．BCD32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数在，上的最大值是 ()sin f x x x =[0]π14．已知甲、乙两个圆台上下底面的半径均为和，母线长分别为和，则两个圆台的2r 1r 122()r r -123()r r -体积之比 ．V V =甲乙15．已知，，则 ．1a >8115log log 42a a -=-a =16．曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ．33y x x =-2(1)y x a =--+(0,)+∞a 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）已知等比数列的前项和为，且．{}n a n n S 1233n n S a +=-（1）求的通项公式；{}n a （2）求数列的通项公式．{}n S 18．（12分）某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150（1）填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲、乙两车间产95%99%品的估级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率．设为升级改造后抽取的件产品的优级品率．如0.5p =p n 果，则认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽取的150件产品的数据，能否认p p >+12.247)≈附：，22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2()P K k 0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819．（12分）如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，四边形与四边形均A B C D E F ABCD CDEF 为等腰梯形，，，，，，，//AB CD //CD EF 2AB DE EF CF ====4CD =AD BC ==AE =为的中点．M CD （1）证明：平面；//EM BCF （2）求点到的距离．M ADE20．（12分）已知函数．()(1)1f x a x lnx =--+（1）求的单调区间；()f x （2）若时，证明：当时，恒成立．2a 1x >1()x f x e -<21．（12分）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且轴．2222:1(0)x y C a b a b +=>>F 3(1,2M C MF x ⊥（1）求椭圆的方程；C （2）过点的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，直线与交于，证明：(4,0)P C A B N FP NB MF Q 轴．AQ y ⊥（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线xOy O x 的极坐标方程为．C cos 1ρρθ=+（1）写出的直角坐标方程；C （2）直线为参数），若与交于、两点，，求的值．:(x tl t y t a =⎧⎨=+⎩C l A B ||2AB =a [选修4-5：不等式选讲]23．实数，满足．a b 3a b + （1）证明：；2222a b a b +>+（2）证明：．22|2||2|6a b b a -+-2024年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．集合，2，3，4，5，，，则 {1A =9}{|1}B x x A =+∈(A B = )A ．，2，3，B ．，2，C ．，D ．，2，{14}{13}{34}{19}【解析】：，2，3，4，5，，，1，2，3，4，，{1A =9}{|1}{0B x x A =+∈=8}则，2，3，．故选：．{1A B = 4}A 2．设，则 z =(z z ⋅=)A ．B ．1C ．D ．2i-1-解法一：，则．故选：．z =z =()2z z ⋅=⋅=D 解法二：22z z z ⋅==3．若实数，满足约束条件则的最小值为 x y 4330,220,2690,x y x y x y --⎧⎪--⎨⎪+-⎩5z x y =-()A ．5B ．C ．D ．122-72-【解析】：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示：4330,220,2690,x y x y x y --⎧⎪--⎨⎪+-⎩将约束条件两两联立可得3个交点：，，，(0,1)C -3(,1)2A 1(3,)2B 由得，则可看作直线在轴上的截距，5z x y =-1155y x z =-15z -1155y x z =-y 经检验可知，当直线经过点，时，最小，代入目标函数可得：．3(2A 1)z 72min z =-故选：．D 4．等差数列的前项和为，若， {}n a n n S 91S =37(a a +=)A ．B ．C ．1D ．2-7329解法一：，则，解得．故选：．91S =193799()9()122a a a a S ++===3729a a +=D 解法二：利用等差数列的基本量由，根据等差数列的求和公式，，91S =9119891,93612dS a a d ⨯=+=∴+=.()37111122262893699a a a d a d a d a d +=+++=+=+=解法三：特殊值法不妨取等差数列公差，则，则.故选：D0d =9111199S a a ==⇒=371229a a a +==解法四：【构造法】：设的公差为，利用结论是首项为，公差为的等差数列，{}n a d n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1a 2d 则，，()911118428922S d a a d a d =+=+=+371112628a a a d a d a d +=+++=+则，所以.故选：D ()()9111371118428==92229S d a a d a d a a =+=+=++3729a a +=解法五：根据题意，故选：D375922299a a a S +===5．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是 ()A ．B ．C ．D ．14131223【解析】：甲、乙、丙、丁四人排成一列共有种可能，4424A =丙不在排头，且甲或乙在排尾的情况有种可能，故．故选：．1122228C C A=81243P ==B 6．已知双曲线的两个焦点分别为、，且经过点，则双曲线的离心率是 1(0,4)F 2(0,4)F -(6,4)P -C ()A ．4B ．3C．2D 解法一：因为双曲线的两个焦点分别为、，且经过点，1(0,4)F 2(0,4)F -(6,4)P -所以，，，12||8F F =1||6PF =2||10PF ==则双曲线的离心率．故选：．C 2822106c e a ===-C 解法二：点纵坐标相同，所以是通径的一半即1P F 、1||PF 21||6b PF a ==则即，则双曲线的离心率．故选：．2166a a -=2a =C 224c e a ===C 解法三：双曲线的离心率C 121221086F F e PF PF ===--解法四 ：根据焦点坐标可知4c =，根据焦点在y 轴上设双曲线方程为22221y xa b -=，则22221636116a b a b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，则2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩2c e a ==7．曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为 6()31f x x x =+-(0,1)-()A ．BC ．D ．1612【解析】：因为，所以，曲线在处的切线斜率，6()3f x x x =+5()63f x x '=+(0,1)-3k =故曲线在处的切线方程为，即，(0,1)-13y x +=31y x =-则其与坐标轴围成的面积．故选：．1111236S =⨯⨯=A 8．函数的区间，的图像大致为 2()()sin x x f x x ee x -=-+-[ 2.8-2.8]()A ．B ．C ．D ．解法一：，2()()sin x x f x x e e x -=-+-则，故为偶函数，故错误；22()()()sin()()sin ()x x x x f x x e e x x e e x f x ---=--+--=-+-=()f x AC （1），故错误，正确．f 1111111()sin11()sin 1062242e e e e e e eπ-=-+->-+-=-->->D B 故选：．B 解法二：函数为偶函数。
2021年湖北省高考文科数学试卷及答案(word版)
绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试〔湖北卷〕数 学〔文史类〕本试题卷共5页，22题。
全卷总分值150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★考前须知：1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，集合{1,3,5,6}A =，那么UA =A ．{1,3,5,6}B ．{2,3,7}C ．{2,4,7}D ． {2,5,7}2．i 为虚数单位，21i ()1i -=+A ．1B ．1-C ．iD ． i -3．命题“x ∀∈R ，2x x ≠〞的否认是 A ．x ∀∉R ，2x x ≠ B ．x ∀∈R ，2x x = C ．x ∃∉R ，2x x ≠D ．x ∃∈R ，2x x =4．假设变量x ，y 满足约束条件4,2,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥≥⎩那么2x y +的最大值是A ．2B ．4C ．7D ．85．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为1p ，点数之和大于5的概率记为2 p ，点数之和为偶数的概率记为3p ，那么 A ．123p p p << B ．213p p p << C ．132p p p <<D ．312p p p <<6．根据如下样本数据x 3 4 5 6 7 8 y4.02.50.5-0.52.0-3.0-得到的回归方程为ˆybx a =+，那么 A ．0a >，0b < B ．0a >，0b >C ．0a <，0b <D ．0a <，0b >7．在如下图的空间直角坐标系O-xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是〔0，0，2〕， 〔2，2，0〕，〔1，2，1〕，〔2，2，2〕. 给出编号为①、②、③、④的四个图，那么该四面体的正视图和俯视图分别为A ．①和②B ．③和①C ．④和③D ．④和②8．设,a b 是关于t 的方程2cos sin 0t t θθ+=的两个不等实根，那么过2(,)A a a ,2(,)B b b 两点的直线与双曲线22221cos sin x y θθ-=的公共点的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3图③ 图①图④图② 第7题图9．()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()=3f x x x -. 那么函数()()+3g x f x x =- 的零点的集合为 A. {1,3} B. {3,1,1,3}--C. {23}D. {21,3}-10．?算数书?竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖〞的术：置如其周，令相乘也. 又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈. 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为 3. 那么，近似公式2275V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为 A ．227B ．258C ．15750D ．355113二、填空题：本大题共7小题，每题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位 置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测. 假设样本中有50件产品由甲设备生产，那么乙设备生产的产品总数为 件.12．假设向量(1,3)OA =-，||||OA OB =，0OA OB ⋅=， 那么||AB = .13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . π6A =，a =1，b =，那么B = . 14．阅读如下图的程序框图，运行相应的程序，假设输入n 的值为9，那么输出S 的值为 .第14题图15．如下图，函数()y f x =的图象由两条射线和三条线段组成．假设x ∀∈R ，()>(1)f x f x -，那么正实数a 的取值范围为 ．16．某项研究说明：在考虑行车平安的情况下，某路段车流量F 〔单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时〕与车流速度v 〔假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒〕、 平均车长l 〔单位：米〕的值有关，其公式为2760001820vF v v l=++.〔Ⅰ〕如果不限定车型， 6.05l =，那么最大车流量为 辆/小时；〔Ⅱ〕如果限定车型，5l =, 那么最大车流量比〔Ⅰ〕中的最大车流量增加 辆/小时. 17．圆22:1O x y +=和点(2,0)A -，假设定点(,0)B b (2)b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有||||MB MA λ=，那么 〔Ⅰ〕b =； 〔Ⅱ〕λ= .三、解答题：本大题共5小题，共65分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．〔本小题总分值12分〕某实验室一天的温度〔单位：℃〕随时间t 〔单位：h 〕的变化近似满足函数关系：ππ()10sin 1212f t t t =-，[0,24)t ∈. 〔Ⅰ〕求实验室这一天上午8时的温度； 〔Ⅱ〕求实验室这一天的最大温差.第15题图19．〔本小题总分值12分〕等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列. 〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得n S 60800n >+？假设存在，求n 的最小值；假设不存在，说明理由.20．〔本小题总分值13分〕如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，P ，Q ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，1DD ，1BB ，11A B ，11A D 的中点. 求证：〔Ⅰ〕直线1BC ∥平面EFPQ ； 〔Ⅱ〕直线1AC ⊥平面PQMN .21．〔本小题总分值14分〕π为圆周率，e 2.71828=为自然对数的底数.〔Ⅰ〕求函数ln ()xf x x=的单调区间； 〔Ⅱ〕求3e ，e 3，πe ，e π，π3，3π这6个数中的最大数与最小数.22．〔本小题总分值14分〕在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点(1,0)F 的距离比它到y 轴的距离多1．记点M 的轨迹为C .〔Ⅰ〕求轨迹C 的方程；〔Ⅱ〕设斜率为k 的直线l 过定点(2,1)P -. 求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围.第20题图绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试〔湖北卷〕数学〔文史类〕试题参考答案一、选择题：1．C 2．B 3．D 4．C 5．C 6．A 7．D 8．A 9．D 10．B 二、填空题：11．1800 12． 13．π3或2π314．1067 15．1(0)6, 16．〔Ⅰ〕1900；〔Ⅱ〕100 17．〔Ⅰ〕12-；〔Ⅱ〕12三、解答题：18．〔Ⅰ〕ππ(8)108sin 81212f =⨯-⨯()()2π2π10sin33=-110()102=--=.故实验室上午8时的温度为10 ℃.〔Ⅱ〕因为π1πππ()10sin )=102sin()12212123f t t t t =-+-+， 又024t ≤<，所以πππ7π31233t ≤+<，ππ1sin()1123t -≤+≤.当2t =时，ππsin()1123t +=；当14t =时，ππsin()1123t +=-. 于是()f t 在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.19．〔Ⅰ〕设数列{}n a 的公差为d ，依题意，2，2d +，24d +成等比数列，故有2(2)2(24)d d +=+，化简得240d d -=，解得0d =或d =4.当0d =时，2n a =；当d =4时，2(1)442n a n n =+-⋅=-，从而得数列{}n a 的通项公式为2n a =或42n a n =-.〔Ⅱ〕当2n a =时，2n S n =. 显然260800n n <+，此时不存在正整数n ，使得60800n S n >+成立.当42n a n =-时，2[2(42)]22n n n S n +-==.令2260800n n >+，即2304000n n -->， 解得40n >或10n <-〔舍去〕，此时存在正整数n ，使得60800n S n >+成立，n 的最小值为41. 综上，当2n a =时，不存在满足题意的n ；当42n a n =-时，存在满足题意的n ，其最小值为41.20．证明：〔Ⅰ〕连接AD 1，由1111ABCD A B C D -是正方体，知AD 1∥BC 1， 因为F ，P 分别是AD ，1DD 的中点，所以FP ∥AD 1. 从而BC 1∥FP .而FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ， 故直线1BC ∥平面EFPQ ．〔Ⅱ〕如图，连接AC ，BD ，那么AC BD ⊥.由1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，可得1CC BD ⊥. 又1ACCC C =，所以BD ⊥平面1ACC .而1AC ⊂平面1ACC ，所以1BD AC ⊥.因为M ，N 分别是11A B ，11A D 的中点，所以MN ∥BD ，从而1MN AC ⊥. 同理可证1PN AC ⊥. 又PNMN N =，所以直线1AC ⊥平面PQMN .第20题解答图QBEMN ACD 1C 〔F 1D1A1BP21.〔Ⅰ〕函数()f x 的定义域为()∞0,+．因为ln ()x f x x =，所以21ln ()xf x x -'=． 当()0f x '>，即0e x <<时，函数()f x 单调递增； 当()0f x '<，即e x >时，函数()f x 单调递减．故函数()f x 的单调递增区间为(0,e)，单调递减区间为(e,)+∞．〔Ⅱ〕因为e 3π<<，所以eln3eln π<，πlne πln3<，即e e ln3ln π<，ππln e ln3<．于是根据函数ln y x =，e x y =，πx y =在定义域上单调递增，可得 e e 33ππ<<，3ππe e 3<<．故这6个数的最大数在3π与π3之中，最小数在e 3与3e 之中． 由e 3π<<及〔Ⅰ〕的结论，得(π)(3)(e)f f f <<，即ln πln3lneπ3e<<． 由ln πln3π3<，得3πln πln3<，所以π33π>； 由ln3ln e3e<，得e 3ln3lne <，所以e 33e <． 综上，6个数中的最大数是π3，最小数是e 3．22．〔Ⅰ〕设点(,)M x y ，依题意得||||1MF x =+||1x +，化简整理得22(||)y x x =+.故点M 的轨迹C 的方程为24,0,0,0.x x y x ≥⎧=⎨<⎩〔Ⅱ〕在点M 的轨迹C 中，记1:C 24y x =，2:C 0(0)y x =<.依题意，可设直线l 的方程为1(2).y k x -=+由方程组21(2),4,y k x y x -=+⎧⎨=⎩ 可得244(21)0.ky y k -++= ①〔1〕当0k =时，此时 1.y = 把1y =代入轨迹C 的方程，得14x =. 故此时直线:1l y =与轨迹C 恰好有一个公共点1(,1)4.〔2〕当0k ≠时，方程①的判别式为216(21)k k ∆=-+-. ②设直线l 与x 轴的交点为0(,0)x ，那么 由1(2)y k x -=+，令0y =，得021k x k+=-. ③〔ⅰ〕假设00,0,x ∆<⎧⎨<⎩ 由②③解得1k <-，或12k >.即当1(,1)(,)2k ∈-∞-+∞时，直线l 与1C 没有公共点，与2C 有一个公共点， 故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点.〔ⅱ〕假设00,0,x ∆=⎧⎨<⎩ 或00,0,x ∆>⎧⎨≥⎩ 由②③解得1{1,}2k ∈-，或102k -≤<.即当1{1,}2k ∈-时，直线l 与1C 只有一个公共点，与2C 有一个公共点.当1[,0)2k ∈-时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 没有公共点.故当11[,0){1,}22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点.〔ⅲ〕假设00,0,x ∆>⎧⎨<⎩ 由②③解得112k -<<-，或102k <<.即当11(1,)(0,)22k ∈--时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.综合〔1〕〔2〕可知，当1(,1)(,){0}2k ∈-∞-+∞时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当11[,0){1,}22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当11(1,)(0,)22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.。
2021年高考真题——数学文(湖北卷)word解析版
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.i 为虚数单位，607i =A ．i -B ．iC ．1-D ．1 【答案】A . 【解析】试题分析：因为6072303()i i i i =⋅=-，所以应选A . 考点：1、复数的四则运算；2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） A ． 134石 B ．169石 C ．338石 D ．1365石 【答案】B .考点：1、简单的随机抽样；3.命题“0(0,)x ∃∈+∞， 00ln 1x x =-”的否定是 A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =- C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠- D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-【答案】C . 【解析】试题分析：由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-，故应选C .考点：1、特称命题；2、全称命题；4.已知变量x 和y 满足关系0.11y x =-+，变量y 与z 正相关. 下列结论中正确的是 A ．x 与y 负相关，x 与z 负相关 B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关 C ．x 与y 正相关，x 与z 负相关 D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关【答案】A .考点：1、线性回归方程；5.12,l l 表示空间中的两条直线，若p ：12,l l 是异面直线；q ：12,l l 不相交，则 A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 【答案】A .考点：1、充分条件；2、必要条件；6.函数256()4||lg 3x x f x x x -+=--的定义域为A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)(3,4]D ．(1,3)(3,6]-【答案】C . 【解析】试题分析：由函数()y f x =的表达式可知，函数()f x 的定义域应满足条件：2564||0,03x x x x -+-≥>-，解之得22,2,3x x x -≤≤>≠，即函数()f x 的定义域为(2,3)(3,4]，故应选C .考点：1、函数的定义域求法； 7.设x ∈R ，定义符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩则 A ．|||sgn |x x x = B ．||sgn ||x x x = C ．||||sgn x x x =D ．||sgn x x x =【答案】D .考点：1、新定义；2、函数及其函数表示；8.在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≤”的概率，2p 为事件“12xy ≤” 的概率，则A ．1212p p << B ．1212p p << C ．2112p p <<D ．2112p p << 【答案】B . 【解析】试题分析：由题意知，事件“12x y +≤”的概率为11111222118p ⨯⨯==⨯，事件“12xy ≤”的概率2S p S=，其中11021111(1ln 2)222S dx x=⨯+=+⎰，111S =⨯=，所以021(1ln 2)112(1ln 2)1122S p S +===+>⨯，故应选B .考点：1、几何概型；2、微积分基本定理；9.将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位 长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则 A ．对任意的,a b ，12e e > B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < C ．对任意的,a b ，12e e < D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 【答案】D .考点：1、双曲线的定义；2、双曲线的简单几何性质；10.已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合 12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为 A ．77 B ．49C ．45D ．30【答案】C . 【解析】考点：1、分类计数原理；2、新定义；第Ⅱ卷（共110分）（非选择题共110分）二、填空题（每题7分，满分36分，将答案填在答题纸上）11.已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB ⋅=_________． 【答案】9.考点：1、平面向量的数量积的应用；12.若变量,x y 满足约束条件4,2,30,x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则3x y +的最大值是_________．【答案】10. 【解析】试题分析：首先根据题意所给的约束条件画出其表示的平面区域如下图所示，然后根据图像可得: 目标函数3z x y =+过点(3,1)B 取得最大值，即max 33110z =⨯+=，故应填10.考点：1、简单的线性规划问题；13.函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为_________.【答案】2.考点：1、函数与方程；2、函数图像；14.某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额 （单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示. （Ⅰ）直方图中的a =_________；（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为_________.【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）6000. 【解析】试题分析：由频率分布直方图及频率和等于1可得0.20.10.80.1 1.50.120.1 2.50.10.11a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，解之得3a =.于是消费金额在区间[0.5,0.9]内频率为0.20.10.80.120.130.10.6⨯+⨯+⨯+⨯=，所以消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为：0.6100006000⨯=，故应填3；6000.考点：1、频率分布直方图；15.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度 CD =_________m.【答案】1006.考点：1、正弦定理；2、解三角形的实际应用举例；16.如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且2AB =.（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为_________； （Ⅱ）圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为_________.ABCD【答案】（Ⅰ）22--.-+-=；（Ⅱ）12x y(1)(2)2【解析】考点：1、直线与圆的位置关系；2、直线的方程；17.a为实数，函数2g a. 当a=_________时，f x x ax()||=-在区间[0,1]上的最大值记为()g a的值最小.()【答案】22.考点：1、分段函数的最值问题；2、函数在区间上的最值问题；三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分12分）某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0 π2 π3π2 2πxπ3 5π6 sin()A x ωϕ+55-（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解 析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到()y g x =图象，求 ()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心. 【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-. 数据补全如下表：x ωϕ+π2 π3π2 2πxπ12 π3 7π12 5π6 13π12 sin()A x ωϕ+55-且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()5sin(2)6f x x =-，因此 πππ()5sin[2()]5sin(2)666g x x x =+-=+.因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z . 令π2π6x k +=，解得ππ212k x =-，k ∈Z .即()y g x =图象的对称中心为ππ0212k -（，），k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为π(,0)12-.19．（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）当1d >时，记nn na cb =，求数列{}nc 的前n 项和n T ． 【解析】（Ⅰ）由题意有，111045100,2,a d a d +=⎧⎨=⎩ 即112920,2,a d a d +=⎧⎨=⎩解得11,2,a d =⎧⎨=⎩ 或19,2.9a d =⎧⎪⎨=⎪⎩ 故121,2.n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩（Ⅱ）由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故1212n n n c --=，于是 2341357921122222n n n T --=++++++， ① 2345113579212222222n n n T -=++++++. ② ①-②可得 221111212323222222n n n n n n T --+=++++-=-， 故n T 12362n n -+=-.20．（本小题满分13分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，点E 是PC 的 中点，连接,,DE BD BE .（Ⅰ）证明：DE ⊥平面PBC . 试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需 写出结论）；若不是，请说明理由；（Ⅱ）记阳马P ABCD -的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2V ，求12V V 的值．第20题图【解析】（Ⅰ）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥.由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PDCD D =，所以BC ⊥平面PCD . DE ⊂平面PCD ，所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥. 而PC BC C =，所以DE ⊥平面PBC .由BC ⊥平面PCD ，DE ⊥平面PBC ，可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是,,,.BCD BCE DEC DEB ∠∠∠∠（Ⅱ）由已知，PD 是阳马P ABCD -的高，所以11133ABCD V S PD BC CD PD =⋅=⋅⋅；由（Ⅰ）知，DE 是鳖臑D BCE -的高， BC CE ⊥，所以21136BCE V S DE BC CE DE ∆=⋅=⋅⋅.在Rt △PDC 中，因为PD CD =，点E 是PC的中点，所以DE CE ==， 于是 12123 4.16BC CD PD V CD PD V CE DEBC CE DE ⋅⋅⋅===⋅⋅⋅设函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， ()()e x f x g x +=，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）求()f x ，()g x 的解析式，并证明：当0x >时，()0f x >，()1g x >； （Ⅱ）设0a ≤，1b ≥，证明：当0x >时，()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-. 【解析】（Ⅰ）由()f x , ()g x 的奇偶性及()()e x f x g x +=, ①得 ()()e .x f x g x --+= ②联立①②解得1()(e e )2x x f x -=-，1()(e e )2x x g x -=+.当0x >时，e 1x >，0e 1x -<<，故()0.f x > ③又由基本不等式，有1()(e e )12x x g x -=+>=，即() 1.g x > ④（Ⅱ）由（Ⅰ）得 2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x f x g x -''=-=+=+=， ⑤2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x g x f x -''=+=-=-=， ⑥当0x >时，()()(1)f x ag x a x>+-等价于()()(1)f x axg x a x >+-， ⑦()()(1)f x bg x b x<+-等价于()()(1).f x bxg x b x <+- ⑧ 设函数 ()()()(1)h x f x cxg x c x =---，由⑤⑥，有()()()()(1)h x g x cg x cxf x c '=----(1)[()1]().c g x cxf x =--- 当0x >时，（1）若0c ≤，由③④，得()0h x '>，故()h x 在[0,)+∞上为增函数，从而()(0)0h x h >=，即()()(1)f x cxg x c x >+-，故⑦成立.（2）若1c ≥，由③④，得()0h x '<，故()h x 在[0,)+∞上为减函数，从而()(0)0h x h <=，即()()(1)f x cxg x c x <+-，故⑧成立. 综合⑦⑧，得 ()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-.一种画椭圆的工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【解析】（Ⅰ）因为||||||314OM MN NO ≤+=+=，当,M N 在x 轴上时，等号成立；同理||||||312OM MN NO ≥-=-=，当,D O 重合，即MN x ⊥轴时，等号成立.所以椭圆C 的中心为原点O ，长半轴长为，短半轴长为，其方程为221.164x y +=（Ⅱ）（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=.（2）当直线l 的斜率存在时，设直线1:()2l y kx m k =+≠±，由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=. 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+. ①第22题图1 第22题图2第22题解答图又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m m Q k k -++.由原点O 到直线PQ 的距离为d =和|||P Q PQ x x =-，可得22111222||||||||222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-. ② 将①代入②得，222241281441OPQk m S k k ∆+==--. 当214k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--；当2104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQ k S k k∆+==-+--. 因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQ S k∆=-+≥-， 当且仅当0k =时取等号.所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8.综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8.。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(湖北卷,解析版)(3)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（文史类）本试题卷共5页，22题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2}A =，{2,3,4}B =，则U B A =I ðA ．{2}B ．{3,4}C ．{1,4,5}D ．{2,3,4,5}2．已知π04θ<<，则双曲线1C ：22221sin cos x y θθ-=与2C ：22221cos sin y x θθ-=的 A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为A ．()p ⌝∨()q ⌝B ．p ∨()q ⌝C ．()p ⌝∧()q ⌝D ．p ∨q4．四名同学根据各自的样本数据研究变量,x y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分 别得到以下四个结论：① y 与x 负相关且$2.347 6.423y x =-； ② y 与x 负相关且$3.476 5.648y x =-+；③ y 与x 正相关且$5.4378.493y x =+； ④ y 与x 正相关且$ 4.326 4.578y x =--. 其中一定不正确．．．的结论的序号是 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ． ①④5．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是6．将函数3sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图距学校的距离 距学校的距离 距学校的距离 时间 时间 时间 时间O O OO 距学校的距离象关于y 轴对称，则m 的最小值是A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π67．已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB u u u r 在CD u u u r 方向上的投影为 A 32B 315 C ．32D ．3158．x为实数，[]x表示不超过x的最大整数，则函数()[]=-在R上为f x x xA．奇函数B．偶函数C．增函数D．周期函数9．某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元10．已知函数()(ln)f x x x ax=-有两个极值点，则实数a的取值范围是A．(,0)-∞B．1(0,)2C．(0,1)D．(0,)+∞二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．i 为虚数单位，设复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于原点对称，若123i z =-，则2z = .12．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则（Ⅰ）平均命中环数为 ； （Ⅱ）命中环数的标准差为 .13．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输入m 的值为2，则输出的结果i = .否A A m =⨯1i i =+输入m1, 1, 0A B i ===开始结束是?A B <输出i 第13题图 B B i =⨯14．已知圆O ：225x y +=，直线l ：cos sin 1x y θθ+=（π02θ<<）.设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k = .15．在区间[2,4]-上随机地取一个数x ，若x 满足||x m ≤的概率为56， 则m = .16．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 寸.（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）17．在平面直角坐标系中，若点(,)P x y的坐标x，y均为整数，则称点P为格点. 若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形. 格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L. 例如图中△ABC是格点三角形，对应的1S=，0N=，4L=.（Ⅰ）图中格点四边形DEFG对应的,,S N L分别是；（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S aN bL c=++，其中a，b，c为常数.若某格点多边形对应的71N=，18L=，则S=（用数值作答）.第17题图三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c. 已知cos23cos()1-+=.A B C（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积53S=，5B C的值.b=，求sin sin19．（本小题满分13分）已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，4S ，2S ，3S 成等差数列，且23418a a a ++=-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数n ，使得2013n S ≥？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．20．（本小题满分13分）如图，某地质队自水平地面A ，B ，C 三处垂直向地下钻探，自A 点向下钻到A 1处发现矿藏，再继续下钻到A 2处后下面已无矿，从而得到在A 处正下方的矿层厚度为121A A d =．同样可得在B ，C 处正下方的矿层厚度分别为122B B d =，123C C d =，且123d d d <<. 过AB ，AC 的中点M ，N 且与直线2AA 平行的平面截多面体111222A B C A B C -所得的截面DEFG 为该多面体的一个中截面，其面积记为S 中． （Ⅰ）证明：中截面DEFG 是梯形；（Ⅱ）在△ABC 中，记BC a =，BC 边上的高为h ，面积为S . 在估测三角形ABC 区域内正下方的矿藏储量（即多面体111222A B C A B C -的体积V ）时，可用近似公式V S h =⋅估中来估算. 已知1231()3V d d d S =++，试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明.第20题图21．（本小题满分13分）设0a >，0b >，已知函数()1ax bf x x +=+. （Ⅰ）当a b ≠时，讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）当0x >时，称()f x 为a 、b 关于x 的加权平均数.（i ）判断(1)f , ()b f a ,()bf a是否成等比数列，并证明()()b b f f a a ≤； （ii ）a 、b 的几何平均数记为G . 称2aba b+为a 、b 的调和平均数，记为H . 若()H f x G ≤≤，求x 的取值范围.22．（本小题满分14分）如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2()n m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从 大到小依次为A ，B ，C ，D ．记mnλ=，△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S . （Ⅰ）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由．O x yBA 第22题图CDMN。
高考真题试卷(湖北卷)数学(文科)参考答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）试题参考答案一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分． 1．Ａ 2．Ｄ 3．Ｃ 4．Ａ 5．Ｄ 6．Ｂ 7．Ａ 8．Ｃ 9．Ｂ 10．Ｂ二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分25分． 11．32-12．8 13．314．1512815．110110010111610t t t y t -⎧⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎪⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，，，≤≤；0.6 三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力．解：（Ⅰ）π()1cos 221sin 222f x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∵ π12sin 23x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．又ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2633x -∴≤≤，即π212sin 233x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≤≤，max min ()3()2f x f x ==，∴．（Ⅱ）()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+∵，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，， max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+，14m <<∴，即m 的取值范围是(14)，． 17．本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力． 解法1：（Ⅰ）AC BC a ==∵，ACB ∴△是等腰三角形，又D 是AB 的中点， CD AB ⊥∴，又VC ⊥底面ABC ．VC AB ⊥∴．于是AB ⊥平面VCD ． 又AB ⊂平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ） 过点C 在平面VCD 内作CH VD ⊥于H ，则由（Ⅰ）知CD ⊥平面VAB ． 连接BH ，于是CBH ∠就是直线BC 与平面VAB 所成的角．依题意π6CBH ∠=，所以 在CHD Rt △中，sin 2CH a θ=； 在BHC Rt △中，πsin62a CH a ==，sin 2θ=∴． π02θ<<∵，π4θ=∴． 故当π4θ=时，直线BC 与平面VAB 所成的角为π6． 解法2：（Ⅰ）以CA CB CV ，，所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)(00)(00)000tan 222a aC A a B aD V a θ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，，于是，tan 222a a VD a θ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，022a a CD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，，(0)AB a a =-，，． 从而2211(0)0002222a aABCD a a a a ⎛⎫=-=-++= ⎪⎝⎭，，，，··，即AB CD ⊥．同理2211(0)tan 002222a aABVD a a a a θ⎛⎫=-=-++= ⎪ ⎪⎝⎭，，，，··，即AB VD ⊥．又CD VD D =，AB ⊥∴平面VCD ． 又AB ⊂平面VAB ．∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ）设平面VAB 的一个法向量为()x y z =，，n ，则由00AB VD ==，··nn ．得0tan 0222ax ay a a x y az θ-+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，．可取(11)θ=n ，又(00)BC a =-，，，于是πsin62BC BC a θ===n n ···，即sin 2θ=π02θ<<∵，π4θ∴=． 故交π4θ=时，直线BC 与平面VAB 所成的角为π6． 解法3：（Ⅰ）以点D 为原点，以DC DB ，所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)000000222D A a B a C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，0tan 22V a a θ⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭，，，于是0tan 22DV a a θ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，002DC a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，(00)AB =，，．从而(00)ABDC =，·0002a ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，，·，即AB DC ⊥． 同理(00)0tan 022AB DV a a θ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，，，·，即AB DV ⊥． 又DCDV D =，AB ⊥∴平面VCD ．又AB ⊂平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD ．（Ⅱ）设平面VAB 的一个法向量为()x y z =，，n ，则由00AB DV ==，··nn ，得0tan 022ax az θ=⎨-+=⎪⎩，．可取(tan 01)nθ=，，，又0BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，于是tan π2sin 62a BC BC a θθ===n n ···， 即πππsin 0224θθθ=<<，，∵∴=． A故交π4θ=时， 即直线BC 与平面VAB 所成角为π6． 18．本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题的能力． 解：（Ⅰ）设商品降价x 元，则多卖的商品数为2kx ，若记商品在一个星期的获利为()f x ， 则依题意有22()(309)(432)(21)(432)f x x kx x kx =--+=-+， 又由已知条件，2242k =·，于是有6k =，所以32()61264329072[030]f x x x x x =-+-+∈，，． （Ⅱ）根据（Ⅰ），我们有2()1825243218(2)(12)f x x x x x '=-+-=---．故12x =时，()f x 达到极大值．因为(0)9072f =，(12)11264f =，所以定价为301218-=元能使一个星期的商品销售利润最大．19．本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算能力． 解法1：（Ⅰ）令2()()(1)g x f x x x a x a =-=+-+，则由题意可得01012(1)0(0)0ag g ∆>⎧⎪-⎪<<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩，，，，01133a aa a ⎧>⎪⇔-<<⎨⎪<->+⎩，，03a ⇔<<- 故所求实数a 的取值范围是(03-，． （II ）2(0)(1)(0)(0)(1)2f f f g g a -==，令2()2h a a =．当a >时，()h a 单调增加，∴当03a <<-时，20()(32(32(17h a h <<-=-=-1121617122=<+，即1(0)(1)(0)16f f f -<．解法2：（I ）同解法1．（II ）2(0)(1)(0)(0)(1)2f f f g g a -==，由（I）知03a <<-，1170-<<∴．又10+>，于是221112(321)1)0161616a a -=-=-+<， 即212016a -<，故1(0)(1)(0)16f f f -<． 解法3：（I ）方程()0f x x -=⇔2(1)0x a x a +-+=，由韦达定理得121x x a +=-，12x x a =，于是121212121200010(1)(1)0(1)(1)0x x x x x x x x x x ∆>⎧⎪+>⎪⎪<<<⇔>⎨⎪-+->⎪⎪-->⎩，，，，0133a a a a ⎧>⎪⇔<⎨⎪<->+⎩，，03a ⇔<<- 故所求实数a的取值范围是(03-，． （II ）依题意可设12()()()g x x x x x =--，则由1201x x <<<，得12121122(0)(1)(0)(0)(1)(1)(1)[(1)][(1)]f f f g g x x x x x x x x -==--=--2211221112216x x x x +-+-⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1(0)(1)(0)16f f f -<． 20．本小题主要考查等比数列的定义，通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力．解法1：（I ）证：由1n n b q b +=n q ==，∴ 22()n n a a q n +=∈N*． （II ）证：22n n a q q -=，22221231n n n a a q a q ---∴===，222222n n n a a q a q --===，22222222212121222(2)5n n n n n n n c a a a q a q a a q q -----∴=+=+=+=．{}n c ∴是首项为5，以2q 为公比的等比数列．（III ）由（II ）得2221111n n q a a --=，222211nn q a a-=，于是 1221321242111111111n n n a a a a a a a a a -⎛⎫⎛⎫+++=+++++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24222422121111111111n n a q qq a q qq --⎛⎫⎛⎫=+++++++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2122311112n q qq -⎛⎫=++++⎪⎝⎭． 当1q =时，2422122111311112n n a a a q qq -⎛⎫+++=++++ ⎪⎝⎭32n =． 当1q ≠时，2422122111311112n n a a a q qq -⎛⎫+++=++++⎪⎝⎭223121n q q --⎛⎫-= ⎪-⎝⎭2222312(1)n n q q q -⎡⎤-=⎢⎥-⎣⎦． 故21222223121111 1.(1)nn n n q q a a a q q q -⎧=⎪⎪+++=⎨⎡⎤3-⎪≠⎢⎥⎪2-⎣⎦⎩， ，， 解法2：（I ）同解法1（I ）．（II ）证：222*1212221221221222()22n n n n nn n n n nc a a q a q a q n c a a a a +++---++===∈++N ，又11225c a a =+=， {}n c ∴是首项为5，以2q 为公比的等比数列．（III ）由（II ）的类似方法得222221212()3n n n n a a a a qq ---+=+=， 34212121221234212111n nn n na a a a a a a a a a a a a a a --++++++=+++，2222212442123322k k k k k k k a a q qa a q --+---+==，12k n =，，，．2221221113(1)2n k q q a a a --+∴+++=+++．下同解法1．21．本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．解法1：（Ⅰ）依题意，点N 的坐标为(0)N p -，，可设1122()()A x y B x y ，，，，直线AB 的方程为y kx p =+，与22x py =联立得22x py y kx p ⎧=⎨=+⎩，．消去y 得22220x pkx p --=．由韦达定理得122x x pk +=，2122x x p =-．于是12122AMNBCN ACN S S S p x x =+=-△△△·．12p x x =-=2p==，∴当0k =，2min ()ABN S =△．（Ⅱ）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，设AC 的中点为O '，l 与AC 为直径的圆相交于点P ，Q PQ ，的中点为H ， 则O H PQ '⊥，Q '点的坐标为1122x y p +⎛⎫⎪⎝⎭，．12O P AC '===∵， 111222y p O H a a y p +'=-=--， 222PH O P O H ''=-∴221111()(244y p a y =+---1()2p a y a p a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，22(2)PQ PH =∴14()2p a y a p a ⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．令02p a -=，得2p a =，此时PQ p =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2py =， 即抛物线的通径所在的直线．解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得12AB x =-==2=又由点到直线的距离公式得d =从而112222ABN S dAB p ===△···∴当0k =时，2max ()ABN S =△．（Ⅱ）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，则以AC 为直径的圆的方程为11(0)()()()0x x x y p y y -----=，将直线方程y a =代入得211()()0x x x a p a y -+--=，则21114()()4()2p x a p a y a y a p a ⎡⎤⎛⎫=---=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦△． 设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为3344()()P x y Q x y ，，，，则有34PQ x x =-==．令02p a -=，得2p a =，此时PQ p =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2py =， 即抛物线的通径所在的直线．。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(湖北卷,含答案)(2)
绝密★启用前2020 年一般高等学校招生全国一致考试（湖北卷）数 学（文史类）本试题卷共 5 页， 22 题。
全卷满分 150 分。
考试用时 120 分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前， 考生务势必自己的姓名、准考据号填写在试题卷和答题卡上， 并将准考据号条形码粘贴在答题卡上的指定地点。
用一致供给的2B 铅笔将答题卡上试卷种类A 后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每题选出答案后，用一致供给的 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号。
答在试题卷、底稿纸上无效。
3．填空题和解答题的作答： 用一致供给的署名笔挺接答在答题卡上对应的答题地区内。
答在试题卷、底稿纸上无效。
4．考生一定保持答题卡的整齐。
考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10 小题，每题 5 分，共50分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的 .1．已知全集 U{1,2,3,4,5} ，会合 A {1,2} ， B{2,3,4} ，则 B I e U AA ． {2}B ． {3,4}C ． {1,4,5}D ． {2,3,4,5}π22222．已知 0xyyx1 的，则双曲线 C 1 ：cos 21与 C 2：sin 24sin2cos 2A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题 p 是“甲下降在指定范围” ，q 是“乙下降在指定范围” ，则命题“起码有一位学员没有下降在指定范围”可表示为A ． ( p ) ∨ ( q )B ． p ∨ ( q )C ． ( p) ∧ ( q)D ． p ∨ q4．四名同学依据各自的样本数据研究变量x, y 之间的有关关系，并求得回归直线方程，分别获得以下四个结论：① y 与 x 负有关且 $；② y 与 x $3.476x 5.648 ； y 2.347x 6.423 负有关且 y③ y 与 x 正有关且 $； ④ y 与 x $4.326x 4.578 .y 5.437x 8.493 正有关且 y此中必定不正确 的结论的序号是．．．A ．①②B ．②③C ．③④D ． ①④5．小明骑车上学， 开始时匀速行驶， 途中因交通拥塞逗留了一段时间，后为了赶时间加迅速度行驶 .与以上事件符合得最好的图象是距学校的距离距学校的距离O时间O时间AB距学校的距离距学校的距离O时间O时间CD6．将函数 y3cos x sin x (x R ) 的图象向左平移 m (m0) 个单位长度后，所获得的图象对于y轴对称，则 m 的最小值是A ． πB ．πC ．πD ．5π1263uuur 67．已知点 A( 1, 1) 、 B(1, 2) 、C( 2,uuur1) 、 D(3, 4) ，则向量 AB 在 CD 方向上的投影为A ．3 2B ．3 15C ． 3 2D ． 3 1522228． x 为实数， [ x] 表示不超出 x 的最大整数，则函数f ( x) x [ x] 在 R 上为A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ． 周期函数9．某旅游社租用 A 、 B 两种型号的客车安排 900 名客人旅游， A 、 B 两种车辆的载客量分别为36人和 60 人，租金分别为 1600 元 / 辆和 2400 元 / 辆，旅游社要求租车总数不超出21 辆，且 B 型车不多于 A 型车 7 辆．则租金最少为A ． 31200 元B ． 36000 元C ． 36800 元D ． 38400 元10．已知函数 f ( x) x(ln xax) 有两个极值点，则实数a 的取值范围是A ．( ,0)B ．(0, 1 C ． (0, 1) D ． (0,))2二、填空题：本大题共 7小题，每题 5 分，共 35 分．请将答案填在答题卡对应题号的地点上 . 答错．．．．．．．地点，书写不清，含糊其词均不得分.11．i为虚数单位，设复数z1， z2在复平面内对应的点对于原点对称，开始若z1 2 3i ，则 z2.输入 m12．某学员在一次射击测试中射靶10 次，命中环数以下：7， 8，7， 9， 5，4， 9， 10， 7， 4 A 1, B 1, i0则（Ⅰ）均匀命中环数为；（Ⅱ）命中环数的标准差为.13．阅读以下图的程序框图，运转相应的程序.若输入 m 的值为2，则输出的结果 i.14．已知圆O： x 2y25 ，直线l： x cos y sin1（ 0π2） .O 上到直线 l 的距离等于1的点的个数为 k ，则 k.i i1A A mB B i否设圆A B ?是输出 i15．在区间 [ 2,4] 上随机地取一个数x，若 x 知足| x | m的概率为5，6结束则 m.第 13题图16．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸，则平川降雨量是寸 .（注：①平川降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）17．在平面直角坐标系中，若点P(x, y) 的坐标 x ，y均为整数，则称点P 为格点.若一个多边形的顶点全部是格点，则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，界限上的格点数记为L .比如图中△ABC 是格点三角形，对应的S 1，N 0，L 4.（Ⅰ）图中格点四边形DEFG对应的S, N , L分别是；（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S aN bL c ，此中 a，b， c 为常数.若某格点多边形对应的N 71， L 18，则 S（用数值作答）.第17题图三、解答题：本大题共 5 小题，共65 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（本小题满分12 分）在△ABC 中，角 A ， B ， C 对应的边分别是 a ，b，c .已知 cos2 A3cos( B C ) 1 .（Ⅰ）求角 A 的大小；（Ⅱ）若△ABC 的面积S 5 3 ， b 5 ，求sin B sin C的值 .19．（本小题满分13 分）已知S n是等比数列{ a n } 的前 n 项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2a3a418 .（Ⅰ）求数列{ a n } 的通项公式；（Ⅱ）能否存在正整数n ，使得S n2013 ？若存在，求出切合条件的全部n 的会合；若不存在，说明原因．20．（本小题满分13 分）如图，某地质队自水平川面 A，B，C 三处垂直向地下钻探，自 A 点向下钻到 A1处发现矿藏，再持续下钻到 A2处后下边已无矿，进而获得在 A处正下方的矿层厚度为A1A2d1．相同可得在 B，C处正下方的矿层厚度分别为 B1B2 d 2， C1C2 d3，且 d1 d2 d 3 . 过AB，AC的中点M，N且与直线 AA2平行的平面截多面体A1B1C1A2 B2 C2所得的截面DEFG为该多面体的一此中截面，其面积记为S中．（Ⅰ）证明：中截面DEFG 是梯形；（Ⅱ）在△ ABC中，记 BC a ， BC边上的高为 h ，面积为 S .在估测三角形ABC 地区内正下方的矿藏储量（即多面体A1 B1C1 A2 B2C2的体积V）时，可用近似公式 V估S中 h 来估量 . 已知1V( d1 d2 d3 )S ，试判断 V估与V的大小关系，并加以证明 .3第20题图21．（本小题满分 13 分）设 a 0 ， b0，已知函数 f (x)ax b .x1（Ⅰ）当 a b 时，议论函数 f ( x) 的单一性；（Ⅱ）当 x0 时，称 f ( x)为a、 b 对于x的加权均匀数.（ i ）判断 f (1) , f (b) ,f (b) 能否成等比数列，并证明f (b) f (b) ；a a a a（ ii ）a、b的几何均匀数记为.称 2ab为a、b的调解均匀数，记为.G Ha b若 H f (x) G ，求 x 的取值范围 .22．（本小题满分 14 分）如图，已知椭圆C1与 C2的中心在座标原点O，长轴均为MN且在 x 轴上，短轴长分别为 2m ，2n (m n) ，过原点且不与x 轴重合的直线l与 C1， C2的四个交点按纵坐标从大到小挨次为A， B， C， D．记m，△ BDM 和△ ABN 的面积分别为S1和S2. n（Ⅰ）当直线 l 与 y 轴重合时，若S1S2，求的值；（Ⅱ）当变化时，能否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S1S2？并说明原因．yABM O N xCD第 22题图2020 年一般高等学校招生全国一致考试（湖北卷）数学（文史类）试题参照答案一、选择题：1．B 2．D3．A4．D5．C 6．B7．A8．D9．C10．B二、填空题：11． 2 3i12．（Ⅰ） 7 （Ⅱ） 213 ． 414． 415． 316． 317．（Ⅰ） 3, 1, 6（Ⅱ） 79三、解答题：18．（Ⅰ）由 cos2 A 3cos( B C ) 1 ，得 2cos 2 A 3cos A2 0 ,即 (2cos A 1)(cos A 2)0 ，解得 cosA1 或 cosA2 （舍去） .2由于 0 A，所以ππA.3（Ⅱ）由 S1bc sin A1bc 3 3bc 53, 得 bc 20 . 又 b 5 ，知 c4 .22 24由余弦定理得 a 2 b 2 c 2 2bc cos A 25 16 20 21, 故 a21 .又由正弦定理得 sin B sin Cb csin Abc 2A20 3 5 sin Aa a 2 sin 21 4.a719．（Ⅰ）设数列 { a n } 的公比为 q ，则 a 1 0 ， q0 . 由题意得S 2 S 4 S 3 S 2 ,a 1q 2a 1q 3a 1q 2 ,a 2 a 3 a 4 即q 2 )18, a 1q(1q 18,解得a 1 3,q2.故数列 { a n } 的通项公式为 a nn 1.3( 2)（Ⅱ）由（Ⅰ）有S n 3 [1( 2)n ] 1 ( 2) n .1 ( 2)若存在 n ，使得 S n 2013 ，则 1 nn2012.( 2) 2013 ，即 (2)当 n 为偶数时， ( 2) n 0 ， 上式不建立；当 n 为奇数时， (2) n2n2012 ，即 2n2012 ，则 n 11.综上，存在切合条件的正整数n ，且全部这样的 n 的会合为 { n n2k 1, k N, k 5} .20．（Ⅰ）依题意 A 1A 2平面 ABC ， B 1 B 2 平面 ABC ， C 1C 2平面 ABC ，所以1 2∥ 12∥12. 又A 1A 2 d 1 ，B 1 B 2 d 2 ，C 1C 2 d 3 ，且 d 1d 2d 3 . AA BB CC所以四边形 A 1 A 2 B 2 B 1 、 A 1 A 2C 2C 1 均是梯形 .由 AA 2 ∥平面 MEFN ， AA 2平面 AA 2 B 2 B ，且平面 AA 2 B 2 B I 平面 MEFNME ，可得 AA 2∥ ME ，即 A 1A 2∥ DE . 同理可证 A 1A 2∥ FG ，所以 DE ∥ FG .又M 、N 分别为 AB 、AC 的中点，则 D 、 E 、 F 、 G 分别为 A 1B 1 、 A 2B 2 、 A 2C 2 、 A 1C 1 的中点，即 DE 、 FG 分别为梯形 A 1 A 2 B 2 B 1 、 A 1 A 2C 2 C 1 的中位线 .所以 DE1( A 1A 2 B 1 B 2)1d 2 ) ， FG1(A 1A 2 C 1C 2)1 d 3 ) ，2 ( d 12 (d 122而 d 1d 2d 3 ，故 DE FG ，所以中截面 DEFG 是梯形 . （Ⅱ）V 估 V.证明以下：由 A 1A 2 平面 ABC ， MN 平面 ABC ，可得 A 1 A 2 MN .而 EM ∥ A 1A 2，所以 EM MN ，同理可得 FNMN .由 MN 是△ ABC 的中位线，可得MN1 BC 1 a 即为梯形 DEFG 的高，22所以 S 中 S 梯形 DEFG 1 ( d 1 d 2 d 1 d 3 ) aa(2 d 1 d 2 d 3 ) ，2 2 2 2 8即 V 估 S 中 h ah d 2 d 3 ) .(2 d 18又 S 1 1 d 2 d 3 )S ah d 2 d 3 ) .ah ，所以 V (d 1 (d 12 3 6于是 VV 估ah(d 1d 2 d 3 )ah(2d 1 d 2 d 3 )ah[( d 2d 1 ) ( d 3 d 1 )] .6 8 24由 d 1 d 2d 3 ，得 d 2 d 1 0 ， d 3 d 1 0，故 V 估 V .21．（Ⅰ） f ( x) 的定义域为 (, 1)U ( 1, )，f (x)a( x 1) (axb)a b .( x 1)2 (x 1)2当 ab 时， f (x) 0 ，函数 f (x) 在 ( , 1)， ( 1, ) 上单一递加； 当 ab 时， f (x)0 ，函数 f (x) 在 ( , 1)， ( 1,) 上单一递减 .（Ⅱ）（ i ）计算得 f (1) ab 0b 2ab b 0 .2， f ( )a 0， f ( )ababa故 f (1) f ( b) a b 2abab [ f (b)] 2 , 即a 2 a baf (1) f ( b ) [ f ( b)] 2 . ①a a所以 f (1), f (b), f ( b) 成等比数列 .aa因 a b ab ，即 f (1) f (b 由①得 f ( bf (b2) . )) .aaa（ii ）由（ i ）知 f ( b)H ， f (b ) G.故由 Hf ( x) G ，得a af ( b) f (x)f ( b) .②aa当 ab 时， f ( b)f ( x) f ( b)a .aa这时， x 的取值范围为 (0,) ；当 ab 时， 0b 1 ，进而b b 在 (0,) 上单一递加与②式，a a，由 f ( x)a得bxb，即 x 的取值范围为b , b ；aaaa当 ab 时，b1 b b ) 上单一递减与②式，，进而，由 f (x) 在 (0,a aa得 bxb，即 x 的取值范围为b , b.aaaa22．依题意可设椭圆C1和 C2的方程分别为C1：x22222y 21， C2：x2y2 1 . 此中a m n 0，m 1.a m a n n（Ⅰ）解法 1：如图 1，若直线l与 y 轴重合，即直线 l 的方程为 x0 ，则S1111|AB| |ON|1，所以S1 |BD | |OM | a | BD | ， S22a | AB |S2 222在 1 和 2 的方程中分别令x 0，可得y A m ， y B n ， y D m ，C C于是| BD | | y B y D |m n1. | AB | | y A y B | m n1若S1，则1，化简得2210 . 由1，可解得S21故当直线 l 与 y 轴重合时，若S1S2，则2 1.解法 2：如图 1，若直线l与y轴重合，则| BD | | OB | | OD | m n ， | AB | | OA | | OB | m n ；S1111|AB| |ON |1 |BD | |OM | a | BD | ， S22a | AB | . 222所以 S1|BD|m n 1 .S2|AB|m n1若 S1，则1，化简得2210 . 由1，可解得S21|BD|. | AB|2 1 .2 1 .故当直线 l 与 y 轴重合时，若S1S2，则 2 1.y yAABBM O N x M N xOC CD D第 22 题解答图 1第 22 题解答图 2（Ⅱ）解法 1：如图 2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S1S2 . 依据对称性，不如设直线 l ：y kx ( k0) ，点 M (a, 0) ， N (a, 0) 到直线l的距离分别为 d1， d 2，则由于 d1| ak 0 |ak， d2| ak0 |ak，所以 d1 d2 .1 k2 1 k 2 1 k 21 k 2又 S111| AB | d2，所以S1|BD |，即 |BD ||AB|.| BD | d1， S2S2|AB|22由对称性可知 | AB ||CD |，所以 | BC ||BD ||AB|( 1)|AB |，|AD||BD| |AB|(1) | AB |，于是|AD | 1 . ①|BC |1将 l 的方程分别与 C 1， C 2 的方程联立，可求得x Aam， x Ban.a2 k2m 2a 2k 2n 2依据对称性可知 x Cx B ， x Dx A ，于是2m a 2 k2n2|AD |1 k | x A x D | 2x A.②|BC|1 k2 | x Bx C |2x B222n a km进而由①和②式可得a 2 k 2 n 21 . ③a 2k 2 m 2 (1)令 t(1 ，则由 m n ，可得 t 1 ，于是由③可解得 k 2n 2 ( 2 t 2 1) .1)a 2 (1 t 2 )由于 k0，所以2. 于是③式对于k 有解，当且仅当 n 2 ( 2t 21)0 ，k 0a 2(1 t 2 )等价于 (t 21)(t 210 . 由11 ，2 )1 ，可解得t即 1( 1 1 ，由 1 ，解得12 ，所以1)当 1 12 时，不存在与坐标轴不重合的直线 l ，使得 S 1S 2 ；当12 时，存在与坐标轴不重合的直线 l 使得 S 1 S 2 .解法 2：如图 2，若存在与坐标轴不重合的直线 l ，使得 S 1S 2 . 依据对称性，不如设直线 l ： ykx ( k 0) ，点 M ( a, 0) ， N (a, 0) 到直线 l 的距离分别为 d 1 ， d 2 ，则由于 d 1| ak 0 |ak ， d 2 | ak 0 |ak ，所以 d 1 d 2 .1 k21 k21 k21 k 2又 S 11| BD | d 1 ， S 21S 1|BD | .2| AB | d 2 ，所以|AB|2S 2|BD |2x D | x A x Bx A1 由于1 k | x B，所以.|AB|2x B |x Ax Bx B11 k | x A由点 A( x A , kx A ) ， B( x B , kx B ) 分别在 C 1， C 2 上，可得x A 2 k 2 x A 2x B 2k 2 x B 21，两式相减可得x A 2x B 2k 2 ( x A 2 2 x B 2 )，221 ，22220 amanam依题意 x Ax B 0 ，所以 x A 2x B 2 . 所以由上式解得k2m 2(x A 2x B 2) .a 2( 2 x2x2 )B A2 2 x B 2)x A由于 k 20 ，所以由m (x A.a 2 (2x B 20 ，可解得 1x Bx A 2 )2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(湖北卷,含答案)(2)进而11，解得 1 2，所以1当112 时，不存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S1S2；当1 2 时，存在与坐标轴不重合的直线l使得 S1S2.。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(湖北卷,解析版)(1)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（湖北卷，解析版）一、选择题1．已知U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},B={2,4,5},则()C A B U U =A.{6,8}B. {5,7}C. {4,6,7}D. {1,3,5,6,8}答案：A解析：因为{1,2,3,4,5,7}A B =U ，故(){6,8}u C A B =U ，所以选A.解析：设满足条件的正三角形的三顶点为A 、B 、F (,0)2P，依题意可知，A 、B 必关于x轴对称，故设200(,)2y A y P 0(0)y >，则200(,)2y B y P -，则0||2AB y =，故由抛物线定义可得20||22y P AF P =+，则由||||AB AF =，解得220040y Py P -+=，由判别式计算得△>0，故有两个正三角形，可知选C.5．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10,12]内的频数为 A.18B.36C.54D.72答案：B解析：根据频率分布直方图，可知样本点落在[10，12）内频率为12(0.020.050.190.15)0.18-⨯+++=，故其频数为2000.1836⨯=，所以选B. 6．已知函数()3sin cos ,f x x x x R =-∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为A.{|,}3x k x k k z ππππ+≤≤+∈ B.{|22,}3x k k k z ππππ+≤+∈C.5{|,}66x k x k k z ππππ+≤≤+∈ D. 5{|22,}66x k x k k z ππππ+≤≤+∈ 答案：A解析：由3sin cos 1x x -≥，即1sin()62x π-≥，解得22()3k x k k z ππππ+≤≤+∈，所以选A.7．设球的体积为V 1,它的内接正方体的体积为V 2，下列说法中最合适的是A. V 1比V 2大约多一半B. V 1比V 2大约多两倍半C. V 1比V 2大约多一倍D. V 1比V 2大约多一倍半答案：D解析：设球半径为R ，其内接正方体棱长为a 2222a a a R ++=，即23,3a R =由 3331248,339v R v a R π===，比较可得应选D.8．直线与不等式组0,0,2,4320x y x y x y ≥⎧⎪≥⎨-≥-⎪+≤⎩表示平面区域的公共点有A.0个B.1个C.2个D.无数个答案：B解析：画出可行域（如图示），可得B(0,2) , A(2,4),C(5,0) ,D(0, 203), E(0,10),故由图知有唯一交 点，所以选B.9．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自下而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为A. 1升B.6766升C.4744升 D.3733升答案：B解析：设9节竹子的容积从上往下依次为a1,a2,……a9，公差为d，则有a1+a2+a3+a4=3,a7+a8+a9=4,即4a5-10d=3,3a5+9d=4,联立解得：56766a=，所以选B.二、填空题11. 某市有大型超市200家、中型超市400家，小型超市1400家，为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市家. 答案：20解析：应抽取中型超市100400202004001400⨯=++（家）.解析：因为30瓶饮料中未过期饮料有30-3=27瓶，故其概率为227230281145CPC=-=.14. 过点(－1,－2)的直线l被圆222210x y x y+--+=2则直线l的斜率为答案：1或177解析： 依题意直线l 斜率存在，设为k ，则l 方程为2(1)y k x +=+，圆方程化简为22(1)(1)1x y -+-=，由弦长为2及几何图形，可知圆心（1，1）到直线l 的距离22221()22d =-=，根据点到直线距离公式可计算得1717k =或.（1）∵22212cos 1444,4c a b ab C =+-=+-⨯=∴2c =.∴△ABC 的周长为a+b+c =1+2+2=5.（2）∵1cos ,4C = ∴22115sin 1cos 1()4C C =--∵15sin 154sin ,2a C A c === ∵,a c A C <∴<，故A 为锐角. ∴22157cos 1sin 1().88A A =-=-=∴71151511cos()cos cos sin sin .848416A C A C A C -=+=⨯+⨯=17. （本小题满分12分）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{}n b中的245b b b 、、(Ⅰ)求数列{}n b 的通项公式；(Ⅱ)数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：数列5{}4n S +是等比数列.18. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，侧棱长为32，点E 在侧棱1AA 上，点F 在侧棱1BB 上，且22,2AE BE ==. (Ⅰ)求证：1CF C ⊥(Ⅱ)求二面角1EE CF C --的大小.本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角的求法，同时考查空间想象能力和推理论证能力.19. （本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米,/小时，研究表明：当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数.(Ⅰ)当0200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；(Ⅱ)当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x v x =g 可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时） 本小题主要考查函数，最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力. 解析：（1）由题意：当020x ≤≤时，()60v x =；当20200x ≤≤时，设().v x ax b =+ 再由已知得2000,2060.a b a b +=⎧⎨+=⎩解得1,3200.3a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故函数v(x)的表达式为60, 020,()1(200), 20200.3x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩（2）依题意并由（1）可得60, 020, ()1(200), 20200.3xxf xx x x≤≤⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩，当020x≤≤时，()f x为增函数.故当x=20时，其最大值为60×20=1200；当20200x≤≤时，211(200)10000()(200)[].3323x xf x x x+-=-≤=当且仅当200x x=-，即100x=时，等号成立.所以，当100x=时，()f x在区间[20，200]上取得最大值100003.综上，当100x=时，()f x在区间[0，200]上取得最大值1000033333≈.即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.20. （本小题满分13分）（2）由（1）得22()452f x x x x=-+-，所以32()()32.f xg x x x x+=-+依题意，方程2(32)0x x x m-+-=有三个互不相同的实根0、x1、x2，故x1、x2是方程2320x x m-+-=的两相异的实根.所以△=9-4（2-m）>0，即1.4m>-又对任意的12[,],()()(1)x x x f x g x m x∈+<-成立.特别地，取1x x=时，111()()f xg x mx m+-<-成立，得m<0.由韦达定理，可得121230,20,x x x x m+=>=->故120x x<<对任意的12[,]x x x ∈，有20x x -≤，10x x -≥，x >0.则12()()()()0.f x g x mx x x x x x +-=--≤又111()()0,f x g x mx +-= 所以函数()()f x g x mx +-在12[,]x x x ∈的最大值为0.于是当m<0时，对任意的12[,]x x x ∈，()()(1)f x g x m x +<-恒成立.综上，m 的取值范围是（1,04-）.21. （本小题满分13分）（2）由（1）知，当1m =-时，C 1的方程为222x y a +=；当(1,0)(0,)m ∈-+∞U 时，C 2的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F a m F m -++. 对于给定的(1,0)(0,)m ∈-+∞U ，C 1上存在点000(,)(0)N x y y ≠使得2||S m a =的充要条件是22200020,0 121||||.2x y a y a m y m a ⎧+=≠⎪⎨⋅+=⎪⎩ 由①得00||y a <≤，由②得0||.1y m=+当0,1a m<≤+即1502m -≤<，或1502m +<≤时. 存在点N, 使2||;S m a =,1a m>+即151m --<15m +>时， 不存在满足条件的点N.当1515[m ++∈U 时，由100200(1,),(1,)NF a m x y NF m x y =-+-=+-u u u u r u u u u r， 可得22221200(1).NF NF x m a y ma ⋅=-++=-u u u u r u u u u r 令112212||, ||, F NF =NF r NF r θ==∠u u u u r u u u u r则由21212cos ,NF NF r r ma θ⋅==-u u u u r u u u u r 可得212cos ma r r θ=，从而22121sin 1sin tan ,22cos 2ma S r r ma θθθθ==-=-于是由2||.S m a =可得221tan ||2ma m a θ-=，即2||tan .m mθ=-综上可得：当15[m -∈时，在C 1上，存在点N ，使得2||S m a =，且12tan 2;F NF =当15m +∈时，在C 1上，存在点N ，使得2||S m a =，且12tan 2;F NF =-； 当1515(()m -+∈-+∞U 时，在C 1上，不存在满足条件的点N. ① ②。
最新普通高等学校招生文科数学全国统一考试试题(湖北卷)(含解析)
普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（文史类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出地 四个选项中，只有一项是符合题目要求地 .1．已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2}A =，{2,3,4}B =，则UB A =I ð A ．{2}B ．{3,4}C ．{1,4,5}D ．{2,3,4,5}2．已知π04θ<<，则双曲线1C ：22221sin cos x y θθ-=与2C ：22221cos sin y x θθ-=地 A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为A．()p⌝∨()q⌝B．p∨()q⌝C．()p⌝∧()q⌝D．p∨q4．四名同学根据各自地样本数据研究变量,x y之间地相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且$ 2.347 6.423=-；②y与x负y x相关且$ 3.476 5.648=-+；y x③y与x正相关且$ 5.4378.493=+；④y与x正y x相关且$ 4.326 4.578=--.y x其中一定不正确．．．地 结论地 序号是 A ．①②B ．②③C ．③④D ． ①④5．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好地 图象是6．将函数sin ()y x x x =+∈R 地 图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到地 图象关于y 轴对称，则m地最小值是A．π12B．π6C．π3D．5π67．已知点(1,1)A-、(1,2)B、(2,1)C--、(3,4)D，则向量AB u u u r在CD u u u r方向上地投影为A．BC．D．8．x为实数，[]x表示不超过x地最大整数，则函数()[]f x x x=-在R上为A．奇函数B．偶函数C．增函数 D．周期函数9．某旅行社租用A、B两种型号地客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆地载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元10．已知函数()(ln)=-有两个极值点，则实数a地取f x x x ax值范围是A．(,0)-∞B．1(0,)2C．(0,1) D．(0,)+∞二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．地位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．i为虚数单位，设复数z，2z在复平面内对应地点1关于原点对称，若123iz=-，则2z= . 12．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则（Ⅰ）平均命中环数为；（Ⅱ）命中环数地标准差为 .13．阅读如图所示地程序框图，运行相应地程序.若输入m地值为2，则输出地结果i= .14．已知圆O ：225x y +=，直线l ：cos sin 1x y θθ+=（π02θ<<）.设圆O 上到直线l 地 距离等于1地 点地 个数为k ，则k = .15．在区间[2,4]-上随机地取一个数x ，若x 满足||x m ≤地 概率为56，则m = . 16．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形地 天池盆第13题图接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸，则平地降雨量是寸.（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）17．在平面直角坐标系中，若点(,)P x y地坐标x，y均为整数，则称点P为格点. 若一个多边形地顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形. 格点多边形地面积记为S，其内部地格点数记为N，边界上地格点数记为L. 例如图中△ABC是格点三角形，对应地1N=，4S=，0L=.（Ⅰ）图中格点四边形DEFG对应地,,S N L分别是；（Ⅱ）已知格点多边形地面积可表示为S aN bL c=++，其中a，b，c为常数. 若某格点多边形对应地71N=，18L=，则S=（用数值作答）.三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C对应地边分别是a，b，c.已知cos23cos()1-+=.A B C（Ⅰ）求角A地大小；（Ⅱ）若△ABC地面积S =5b =，求sin sin B C 地 值.19．（本小题满分13分）已知n S 是等比数列{}n a 地 前n 项和，4S ，2S ，3S 成等差数列，且23418a a a ++=-.（Ⅰ）求数列{}na 地 通项公式； （Ⅱ）是否存在正整数n ，使得2013n S ≥？若存在，求出符合条件地 所有n 地 集合；若不存在，说明理由．20．（本小题满分13分）如图，某地质队自水平地面A ，B ，C 三处垂直向地下钻探，自A 点向下钻到A 1处发现矿藏，再继续下钻到A 2处后下面已无矿，从而得到在A 处正下方地 矿层厚度为121A A d =．同样可得在B ，C 处正下方地 矿层厚度分别为122B Bd =，123C Cd =，且123d dd <<. 过AB ，AC 地 中点M ，N 且与直线2AA 平行地 平面截多面体111222A B C A B C -所得地 截面DEFG 为该多面体地 一个中截面，其面积记为S 中．（Ⅰ）证明：中截面DEFG 是梯形；（Ⅱ）在△ABC 中，记BC a =，BC 边上地 高为h ，面积为S . 在估测三角形ABC 区域内正下方地 矿藏储量（即多面体111222A B C A B C -地 体积V ）时，可用近似公式V S h=⋅估中来估算. 已知1231()3V d d d S=++，试判断V 估与V 地 大小关系，并加以证明.21．（本小题满分13分）设0a >，0b >，已知函数()1ax bf x x+=+. （Ⅰ）当a b ≠时，讨论函数()f x 地 单调性； （Ⅱ）当0x >时，称()f x 为a 、b 关于x 地 加权平均数.（i ）判断(1)f ， ()bf a，()b f a是否成等比数列，并证明()()b bf f a a≤；（ii ）a 、b 地 几何平均数记为G . 称2aba b+为a 、b 地 调和平均数，记为H . 若()H f x G ≤≤，求x 地 取值范围.22．（本小题满分14分）第20题图如图，已知椭圆1C 与2C 地 中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2()n m n >，过原点且不与x 轴重合地 直线l 与1C ，2C 地 四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．记m nλ=，△BDM 和△ABN地 面积分别为1S 和2S .（Ⅰ）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ地 值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合地 直线l ，使得12S S λ=？并说明理由．第22题图普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）试题参考答案一、选择题：1．B 2．D 3．A 4．D 5．C 6．B 7．A 8．D 9．C 10．B 二、填空题：11．23i -+ 12．（Ⅰ）7 （Ⅱ）2 13．414．4 15．3 16．3 17．（Ⅰ）3， 1， 6 （Ⅱ）79 三、解答题：18．（Ⅰ）由cos23cos()1A B C -+=，得22cos3cos 20A A +-=，即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=，解得1cos 2A = 或cos 2A =-（舍去）. 因为0πA <<，所以π3A =. （Ⅱ）由11sin 22S bc A bc ====得20bc =. 又5b =，知4c =.由余弦定理得2222cos 25162021,ab c bc A =+-=+-=故a =.又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin2147b c bcB C A A A a a a=⋅==⨯=.19． （Ⅰ）设数列{}na 地 公比为q ，则10a ≠，0q ≠. 由题意得2432234,18,S S S S a a a -=-⎧⎨++=-⎩ 即23211121,(1)18,a q a q a q a q q q ⎧--=⎪⎨++=-⎪⎩解得13,2.a q =⎧⎨=-⎩故数列{}na 地 通项公式为13(2)n na-=-.（Ⅱ）由（Ⅰ）有3[1(2)]1(2)1(2)n nn S ⋅--==----.若存在n ，使得2013nS≥，则1(2)2013n--≥，即(2)2012.n-≤-当n 为偶数时，(2)0n->， 上式不成立；当n 为奇数时，(2)22012nn -=-≤-，即22012n≥，则11n ≥.综上，存在符合条件地 正整数n ，且所有这样地 n 地 集合为{21,,5}n n k k k =+∈≥N .20． （Ⅰ）依题意12A A ⊥平面ABC ，12B B ⊥平面ABC ，12C C ⊥平面ABC ，所以A 1A 2∥B 1B 2∥C 1C 2. 又121A A d =，122B Bd =，123C Cd =，且123d dd << .因此四边形1221A AB B 、1221A A C C 均是梯形.由2AA ∥平面MEFN ，2AA ⊂平面22AA B B ，且平面22AA B B I 平面MEFN ME =，可得AA 2∥ME ，即A 1A 2∥DE . 同理可证A 1A 2∥FG ，所以DE ∥FG .又M 、N 分别为AB 、AC 地 中点，则D 、E 、F 、G 分别为11A B 、22A B 、22A C 、11A C 地 中点，即DE 、FG 分别为梯形1221A AB B 、1221A A C C 地 中位线.因此 12121211()()22DE A A B B d d =+=+，12121311()()22FG A A C C d d =+=+， 而123d dd <<，故DE FG <，所以中截面DEFG 是梯形.（Ⅱ）VV<估. 证明如下：由12A A ⊥平面ABC ，MN ⊂平面ABC ，可得12A A MN ⊥.而EM ∥A 1A 2，所以EM MN ⊥，同理可得FN MN ⊥. 由MN 是△ABC地 中位线，可得1122MN BC a ==即为梯形DEFG 地 高，因此13121231()(2)22228DEFGd d d d a aSS d d d ++==+⋅=++中梯形，即123(2)8ahVS h d d d =⋅=++估中.又12S ah =，所以1231231()()36ahV d dd S d d d =++=++.于是1231232131()(2)[()()]6824ah ah ahV V d d d d d d d d d d -=++-++=-+-估.由123d dd <<，得210dd ->，310d d ->，故VV<估.21． （Ⅰ）()f x 地 定义域为(,1)(1,)-∞--+∞U ，22(1)()()(1)(1)a x ax b a bf x x x +-+-'==++.当a b >时，()0f x '>，函数()f x 在(,1)-∞-，(1,)-+∞上单调递增；当a b <时，()0f x '<，函数()f x 在(,1)-∞-，(1,)-+∞上单调递减.（Ⅱ）（i ）计算得(1)02a b f +=>，2()0b abf a a b=>+，0f =.故22(1)()[2b a b abf f ab f a a b+=⋅==+， 即2(1)()[b f f f a =.①所以(1),()b f f f a成等比数列.因2a b +≥(1)f f ≥. 由①得()b f f a ≤.（ii ）由（i ）知()b f H a=，f G =.故由()H f x G ≤≤，得()()b f f x f a ≤≤.②当a b =时，()()b f f x f a a===.这时，x 地 取值范围为(0,)+∞；当a b >时，01b a<<，从而b a <，由()f x 在(0,)+∞上单调递增与②式，得b x a ≤≤x 地取值范围为,b a⎡⎢⎣；当a b <时，1b a>，从而b a >()f x 在(0,)+∞上单调递减与②式，bx a≤≤，即x 地取值范围为b a ⎤⎥⎦.22． 依题意可设椭圆1C 和2C 地 方程分别为1C ：22221x y a m +=，2C ：22221x y a n +=. 其中0a m n >>>， 1.m nλ=> （Ⅰ）解法1：如图1，若直线l 与y 轴重合，即直线l 地 方程为0x =，则111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22SAB ON a AB =⋅=，所以12||||SBD SAB =.在C 1和C 2地 方程中分别令0x =，可得Aym=，Byn=，D y m=-，于是||||1||||1BD A Byy BD m n AB yy m n λλ-++===---.若12SSλ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=. 由1λ>，可解得1λ=.故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=.解法2：如图1，若直线l 与y 轴重合，则||||||BD OB OD m n=+=+，||||||AB OA OB m n =-=-；111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22SAB ON a AB =⋅=.所以12||1||1SBD m n SAB m n λλ++===--.若12S Sλ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=. 由1λ>，可解得1λ=.故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=.（Ⅱ）解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合地 直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性，不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 地 距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==2d=12d d =.又111||2S BD d =，221||2SAB d =，所以12||||SBD SAB λ==，即||||BD AB λ=.由对称性可知||||AB CD =，所以||||||(1)||BC BD AB AB λ=-=-，||||||(1)||AD BD AB AB λ=+=+，于是||1||1AD BC λλ+=-.①将l 地 方程分别与C 1，C 2地 方程联立，可求得A x =Bx=. 根据对称性可知CBxx =-，DAxx =-，于是2||||2A B x AD BC x ===②从而由①和②式可得1(1)λλλ+=-.③令1(1)t λλλ+=-，则由m n >，可得1t ≠，于是由③可解得222222(1)(1)n t k a t λ-=-.因为0k ≠，所以2k>. 于是③式关于k 有解，当且仅当22222(1)0(1)n t a t λ->-，等价于2221(1)()0tt λ--<. 由1λ>，可解得11t λ<<，即111(1)λλλλ+<<-，由1λ>，解得1λ> 当11λ<≤+不存在与坐标轴不重合地 直线l ，使得12S S λ=；当1λ>存在与坐标轴不重合地 直线l 使得12S S λ=.解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合地 直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性，不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 地 距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==2d=12d d =.又111||2S BD d =，221||2SAB d =，所以12||||SBD SAB λ==.因为||||A B A Bx x BD AB x x λ+===-，所以11ABxxλλ+=-.由点(,)AAA x kx ，(,)BBB x kx 分别在C 1，C 2上，可得222221A A x k x a m +=，222221B B x k x a n+=，两式相减可得22222222()0A B A B x x k x x a m λ--+=， 依题意0AB xx >>，所以22AB xx >. 所以由上式解得22222222()()A B B A m x x k a x x λ-=-.因为2k>，所以由2222222()()A B B A m x x a x x λ->-，可解得1ABxxλ<<.从而111λλλ+<<-，解得1λ>当11λ<≤+不存在与坐标轴不重合地 直线l ，使得12S S λ=；当1λ>存在与坐标轴不重合地 直线l 使得12S S λ=.。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(湖北卷,解析版)(2)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（湖北卷，解析版）1.D 【解析】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R{}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4=<<∈=N B x x x .因为⊆⊆A C B ，所以根据子集的定义，集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个.故选D. 【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.2.B 【解析】由频率分布表可知：样本数据落在区间[10,40)内的頻数为2+3+4=9，样本总数为23454220+++++=，故样本数据落在区间[10,40)内频率为90.4520=.故选B. 【点评】本题考查频率分布表的应用，频率的计算.对于頻数、频率等统计问题只需要弄清楚样本总数与各区间上样本的个数即可，用区间上样本的个数除以样本总数就可得到相应区间上的样本频率.来年需注意频率分布直方图与频率分布表的结合考查.3.D 【解析】由()cos 20==f x x x ，得0=x 或cos 20=x ；其中，由cos 20=x ，得()22x k k ππ=+∈Z ，故()24k x k ππ=+∈Z .又因为[]0,2x ∈π，所以π3π5π7π,,,4444x =.所以零点的个数为145+=个.故选D.【点评】本题考查函数的零点，分类讨论的数学思想.判断函数的零点一般有直接法与图象法两种方法.对于三角函数的零点问题，一般需要规定自变量的取值范围；否则，如果定义域是R ,则零点将会有无数个；来年需注意数形结合法求解函数的零点个数，所在的区间等问题.4.B 【解析】根据特称命题的否定，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数,它的平方不是有理数”.故选B.【点评】本题考查特称命题的否定.求解特称命题或全称命题的否定，千万别忽视了改变量词；另外，要注意一些量词的否定的书写方法，如：“都是”的否定为“不都是”，别弄成“都不是.5.A 【解析】要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P 的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP 垂直即可.又已知点(1,1)P ，则1OP k =,故所求直线的斜率为-1.又所求直线过点(1,1)P ，故由点斜式得，所求直线的方程为()11y x -=--，即20+-=x y .故选A.【点评】本题考查直线、线性规划与圆的综合运用，数形结合思想.本题的解题关键是通过观察图形发现当面积之差最大时，所求直线应与直线OP 垂直，利用这一条件求出斜率，进而求得该直线的方程.来年需注意直线与圆相切的相关问题.6.B 【解析】特殊值法：当2x =时，()()()22200y f x f f =--=--=-=，故可排除D 项；当1x =时，()()()22111y f x f f =--=--=-=-，故可排除A,C 项；所以由排除法知选B.【点评】本题考查函数的图象的识别.有些函数图象题，从完整的性质并不好去判断，作为徐总你则提，可以利用特殊值法（特殊点），特性法（奇偶性，单调性，最值）结合排除法求解，既可以节约考试时间，又事半功倍.来年需注意含有xe 的指数型函数或含有ln x 的对数型函数的图象的识别. 7.C 同理7【解析】设数列{}n a 的公比为q .对于①，22112()()n n n nf a a q f a a ++==,是常数，故①符合条件;对于②，111()22()2n n nn a a a n a n f a f a ++-+==，不是常数，故②不符合条件;对于③，1()()n n f a f a +===是常数，故③符合条件;对于④, 11()ln ||()ln ||n n n n f a a f a a ++=，不是常数，故④不符合条件.由“保等比数列函数”的定义知应选C.【点评】本题考查等比数列的新应用，函数的概念.对于创新性问题，首先要读懂题意，然后再去利用定义求解，抓住实质是关键.来年需要注意数列的通项，等比中项的性质等.8.D 【解析】因为,,a b c 为连续的三个正整数，且>>A B C ，可得a b c >>，所以2,1=+=+a c b c ①；又因为已知320cos =b a A ，所以3cos 20bA a =②.由余弦定理可得222cos 2+-=b c a A bc ③，则由②③可得2223202b b c a a bc +-=④，联立①④，得2713600--=c c ，解得4=c 或157=-c （舍去），则6=a ，5=b .故由正弦定理可得，sin :sin :sin ::6:5:4==A B C a b c .故应选D.【点评】本题考查正、余弦定理以及三角形中大角对大边的应用.本题最终需求解三个角的正弦的比值，明显是要利用正弦定理转化为边长的比值，因此必须求出三边长.来年需注意正余弦定理与和差角公式的结合应用.9.A 【解析】当1abc ==+= 而()()()()2a b c a b b c c a ++=+++++≥a b c ==，且1abc =，即a b c ==时等号成立）a b c +=≤++；但当取2a b c ===,显然有a b c a b c ++≤++,但1abc ≠,即由a b c a b c++≤++不可以推得1abc =；综上，1abc =是a b c a b c++≤++的充分不必要条件.应选A. 【点评】本题考查充要条件的判断，不等式的证明.判断充要条件，其常规方法是首先需判断条件能否推得结论，然后需判断结论能否推得条件；来年需注意充要条件与其他知识（如向量，函数）等的结合考查. 10.C 同理8【解析】如图，不妨设扇形的半径为2a,如图,记两块白色区域的面积分别为S 1,S 2,两块阴影部分的面积分别为S 3,S 4，形OAB=221(2)4a a ππ=①,则S 1+S 2+S 3+S 4=S扇而S 1+S 3 与S 2+S 3的和恰好为一个半径为a 的圆，即S 1+S 3+S 2+S 32a π=②.①-②得S 3=S 4,由图可知S 3=221()2OEDC EOD S S S a a π+-=-正方形扇形扇形COD ,所以. 222S a a π=-阴影. 由几何概型概率公式可得，此点取自阴影部分的概率 P=222221OABS a a S a πππ-==-阴影扇形. 【点评】本题考查古典概型的应用以及观察推理的能力.本题难在如何求解阴影部分的面积，即如何巧妙地将不规则图形的面积化为规则图形的面积来求解.来年需注意几何概型在实际生活中的应用. 11. 6【解析】设抽取的女运动员的人数为a ，则根据分层抽样的特性，有84256a =，解得6a =.故抽取的女运动员为6人.【点评】本题考查分层抽样的应用.本题实际是承接2020奥运会为题材，充分展示数学知识在生活中的应用.分层抽样时，各样本抽取的比例应该是一样的，即为抽样比. 来年需注意系统抽样的考查或分层抽样在解答题中作为渗透考查. 12. 3【解析】因为31bia bi i+=+-，所以()()()31bi a bi i a b b a i +=+-=++-.又因为,a b 都为实数，故由复数的相等的充要条件得3,,a b b a b +=⎧⎨-=⎩解得0,3,a b =⎧⎨=⎩所以3a b +=.【点评】本题考查复数的相等即相关运算.本题若首先对左边的分母进行复数有理化，也可以求解，但较繁琐一些.来年需注意复数的几何意义，基本概念（共轭复数），基本运算等的考查.13.（Ⅰ）31010,1010⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）25- 【解析】（Ⅰ）由()()1,0,1,1a =b =，得()23,1+a b =.设与2+a b 同向的单位向量为(),x y c =，则221,30,x y y x ⎧+=⎨-=⎩且,0x y >，解得310,1010.x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故31010,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭c =.即与2+a b 同向的单位向量的坐标为31010,1010⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.（Ⅱ）由()()1,0,1,1a =b =，得()32,1--b a =.设向量3-b a 与向量a 的夹角为θ，则()32,11,025cos 3551θ--===--⨯g g b a a b a a.【点评】本题考查单位向量的概念，平面向量的坐标运算，向量的数量积等.与某向量同向的单位向量一般只有1个，但与某向量共线的单位向量一般有2个，它包含同向与反向两种.不要把两个概念弄混淆了. 来年需注意平面向量基本定理，基本概念以及创新性问题的考查.14.2 【解析】（解法一）作出不等式组1,1,33x y x y x y -≥-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩所表示的可行域(如下图的ABM ∆及其内部）.可知当直线23z x y =+经过1,33x y x y +=⎧⎨-=⎩的交点()1,0M 时，23z x y =+取得最小值，且min 2z =.（解法二）作出不等式组1,1,33x y x y x y -≥-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩所表示的可行域(如下图的ABM ∆及其内部）.目标函数23z x y=+在ABM ∆的三个端点()()()2,3,0,1,1,0A B M 处取的值分别为13,3,2，比较可得目标函数23z x y =+的最小值为2.【点评】本题考查线性规划求解最值的应用.运用线性规划求解最值时，关键是要搞清楚目标函数所表示的直线的斜率与可行域便捷直线的斜率之间的大小关系，以好确定在哪个端点，目标函数取得最大值；在哪个端点，目标函数取得最小值. 来年需注意线性规划在生活中的实际应用.15.12π【解析】由三视图可知，该几何体是由左右两个相同的圆柱（底面圆半径为2，高为1）与中间一个圆柱（底面圆半径为1，高为4）组合而成，故该几何体的体积是222121412V πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯=. 【点评】本题考查圆柱的三视图的识别，圆柱的体积.学生们平常在生活中要多多观察身边的实物都是由什么几何形体构成的，以及它们的三视图的画法. 来年需注意以三视图为背景，考查常见组合体的表面积. 16. 同理12【解析】由程序框图可知：第一次:a=1,s=0,n=1,s=s+a=1,a=a+2=3,n=1<3满足判断条件,继续循环; 第二次:n=n+1=2,s=s+a=1+3=4,a=a+2=5,n=2<3满足判断条件，继续循环;第三次:n=n+1=3,s=s+a=4+5=9,a=a+2=11,n=3<3不满足判断条件，跳出循环，输出s 的值. 综上，输出的s 值为9.【点评】本题考查程序框图及递推数列等知识.对于循环结构的输出问题，一步一步按规律写程序结果，仔细计算，一般不会出错，属于送分题.来年需注意判断条件的填充型问题.17.（Ⅰ）5030；（Ⅱ）()5512k k -【解析】由以上规律可知三角形数1,3,6,10,…,的一个通项公式为(1)2n n n a +=，写出其若干项有：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,110,故142539*********,,,,,b a b a b a b a b a b a ======. 从而由上述规律可猜想：255(51)2k k k k b a +==（k 为正整数）， 2151(51)(511)5(51)22k k k k k k b a ----+-===， 故201221006510065030b a a a ⨯⨯===,即2012b 是数列{}n a 中的第5030项.【点评】本题考查归纳推理，猜想的能力.归纳推理题型重在猜想，不一定要证明，但猜想需要有一定的经验与能力，不能凭空猜想.来年需注意类比推理以及创新性问题的考查.18.【解析】【点评】本题考查三角函数的最小正周期，三角恒等变形；考查转化与划归，运算求解的能力.二倍角公式，辅助角公式在三角恒等变形中应用广泛，它在三角恒等变形中占有重要的地位，可谓是百考不厌. 求三角函数的最小正周期，一般运用公式2T πω=来求解;求三角函数的值域，一般先根据自变量x 的范围确定函数x ωϕ+的范围.来年需注意三角函数的单调性，图象变换，解三角形等考查. 19.【解析】【点评】本题考查线面垂直，空间几何体的表面积；考查空间想象，运算求解以及转化与划归的能力.线线垂直⇔线面垂直⇔面面垂直是有关垂直的几何问题的常用转化方法；四棱柱与四棱台的表面积都是由简单的四边形的面积而构成，只需求解四边形的各边长即可.来年需注意线线平行，面面平行特别是线面平行，以及体积等的考查. 20. 同理18 【解析】【点评】本题考查等差数列的通项，求和，分段函数的应用等；考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.求等差数列的通项一般利用通项公式()11n a a n d =+-求解；有时需要利用等差数列的定义：1n n a a c --=（c为常数）或等比数列的定义：1'nn a c a -=（'c 为常数，'0c ≠）来判断该数列是等差数列或等比数列，然后再求解通项；有些数列本身不是等差数列或等比数列，但它含有无数项却是等差数列或等比数列，这时求通项或求和都需要分段讨论.来年需注意等差数列或等比数列的简单递推或等差中项、等比中项的性质.21. 同理21 【解析】【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系；考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.本题是一个椭圆模型，求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论，不要漏解；对于探讨性问题一直是高考考查的热点，一般先假设结论成立，再逆推所需要求解的条件，对运算求解能力和逻辑推理能力有较高的要求.22.【解析】【点评】本题考查多项式函数的求导，导数的几何意义，导数判断函数的单调性，求解函数的最值以及证明不等式等的综合应用.考查转化与划归，分类讨论的数学思想以及运算求解的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程，导数的应用一般用来求解函数的极值，最值，证明不等式等. 来年需注意应用导数判断函数的极值以及求解极值，最值等；另外，要注意含有,ln xe x 等的函数求导的运算及其应用考查.。
湖北高考文科数学试题
2021年普通高等学校招生全国统一考试〔湖北卷〕数学〔文史类〕 本试题卷共4页，三大题21题。
全卷总分值150分。
考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分。
在每题给出的的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1.设集合M={1,2,4,8}，N={ x x 是2的倍数}，刚M N = A.{2,4} B.{1,2.4} C.{2,4,8} D.{1,2,4,8}2.函数()f x =3sin()24x π-，x R ∈的最小正周期为 A. 2π B. π C. 2π D. 4π 3.函数f 〔x 〕={3x log x, x 0,2, x 0,≤那么f 19f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= A.4 B.14 C.-4 D.- 144.用a,b,c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出以下命题：①假设a ∥b, b ∥c,那么a ∥c;②假设,,a b b c ⊥⊥那么a c ⊥；③假设a ∥γ, b ∥γ,那么a ∥b;④假设,a b γγ⊥⊥,那么a ∥b.其中真命题的序号是A. ①②B.②③C. ①④D. ③④5.函数0.5log (43)y x =-的定义域为 A. 3(,1)4B. 3(,)4+∞ C. (1,)+∞ D. 3(,1) (1,+)4∞ 6.现有6名同学去听同时进展的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是A. 65B.56C. 5654322⨯⨯⨯⨯⨯D. 65432⨯⨯⨯⨯ 7.等比数列()n a 中，各项都是正数，且1a 、121a 、22a 成等差数列，那么91078a a a a ++= A ．1+2 B ．1-2 C ．3+22 D ．3-228．ABC 和点M 满足MA +MB +MC = 0.假设存在实数m 使得AB +AC =m AM 成立，那么m=A ．2B ．3C ．4D ．59.假设直线y=x+b 与曲线y=3 24x x -,有公共点，那么b 的取值范围是A {}122,122-+ C {}12,3-B {}1,122-+ D {}122,3- 10.记实数12,,n X X X 中的最大数为max {}12,,n X X X ,最小数为mix {}12,,n X X X .ABC 三边的边长为a,b,c (a b c ≤≤),定义它的倾斜度为max ,,min ,,,a b c a b c b c a b c a ⎧⎫⎧⎫⋅⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭= 那么“1=〞是“ABC 为等边三角形〞的A 充分而不必要的条件 C 必要而不充分的条件B 充要条件 D 既不充分也不必要的条件二、 填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写。
2020年湖北省武汉市高考数学供题试卷(文科)(一)(6月份) (解析版)
2020年高考数学供题试卷（文科）（一）（6月份）一、选择题（共12小题）.1．已知z ＝1﹣i 2020，则|z +2i |＝（ ） A ．√10B ．2√2C ．2D ．√22．已知集合A ＝{（x ，y ）|x 2+y 2＝1}，B ＝{（x ，y ）|y ＝x +√2}，则集合A ∩B 中元素的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．33．已知x ，y 满足约束条件{2x +y −2≥0x −2y +4≥03x −y −3≤0，则z ＝x +3y 的最小值为（ ）A ．11B ．2C ．6D ．14．若0＜a ＜b ＜1，x ＝a b ，y ＝b a ，z ＝b b ，则x 、y 、z 的大小关系为（ ） A ．x ＜z ＜yB ．y ＜x ＜zC ．y ＜z ＜xD ．z ＜y ＜x5．函数y ＝（2x ﹣2﹣x ）sin x 在[﹣π，π]的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．某校有高中生1500人，现采用系统抽样法抽取50人作问卷调查，将高一、高二、高三学生（高一、高二、高三分别有学生495人、490人、515人）按1，2，3，…，1500编号，若第一组用简单随机抽样的方法抽取的号码为23，则所抽样本中高二学生的人数为（ ） A ．15B ．16C ．17D ．187．已知sin α=√3cos α，则sin 2α+sin αcos α+1＝（ ） A ．4+√34B ．7+√34C ．1D ．38．若向量a →和b →满足|a →|=2，|b →|=1，|a →−4b →|=2√3，则向量a →在向量b →上的投影为（ ）A ．√2B ．√3C ．﹣1D ．19．设函数f （x ）＝lnx +a （x 2﹣3x +2）（a ∈R ）在定义域内只有一个极值点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(89，+∞) B ．(0，89) C ．（﹣∞，0） D ．（0，+∞）10．已知双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右顶点分别为A 、B ，M 是E 上一点，且△ABM 为等腰三角形，其外接圆的半径为√3a ，则双曲线E 的离心率为（ ） A ．√2B ．√2+1C ．√3D ．√3+111．已知直角三角形ABC 的斜边BC 边上的高为AH ，且面积S △AHC 是面积S △ABC 与面积S△AHB的等比中项，则sin C ＝（ ）A ．12B ．√2−12C ．√3−12D ．√5−1212．已知过抛物线C ：y 2＝4x 焦点F 的直线交抛物线C 于P ，Q 两点，交圆x 2+y 2﹣2x ＝0于M ，N 两点，其中P ，M 位于第一象限，则1|PM|+1|QN|的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
全国高考文科数学试题及答案湖北卷
2021年一般高校招生统一考试〔湖北卷〕数学〔文史类〕考前须知：1. 答题前，考试务必将自己姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡指定位置。
2. 选择题每题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。
3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上每题对应答题区域内，答在试题卷上无效。
4. 考试完毕，请将本试题和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出四个选项中，只有一项为哪一项符合要求。
1. 假设向量a=〔1，1〕，b=〔-1,1〕，c=〔4，2〕，那么c=A. 3a+bB. 3a-bC.-a+3bD. a+3b 【答案】B 2. 函数)21,(2121-≠∈+-=x R x x x y 且反函数是 A.)21,(2121≠∈-+=x R x x x y 且 B.)21,(2121-≠∈+-=x R x x x y 且 C.)1,()1(21≠∈-+=x R x x xy 且 D.)1,()1(21-≠∈+-=x R x x x y 且 【答案】D 3.“sin α=21〞是“212cos =α〞 【答案】A4. 从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参与公益活动，每人一天，要求星期五有一人参与，星期六有两人参与，星期日有一人参与，那么不同选派方法共有 【答案】C【解析】5人中选4人那么有45C 种，周五一人有14C 种，周六两人那么有23C ，周日那么有11C 种，故共有45C ×14C ×23C =60种,应选C5. 双曲线22122x y -=准线经过椭圆22214x y b+=〔b ＞0〕焦点，那么b= A.3 B.5 C.3 D.2 【答案】C【解析】可得双曲线准线为21a x c=±=±,又因为椭圆焦点为2(4,0)b ±-所以有241b -=.即b 2=3故b=3.故C.6. 如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠ACB=900,∠ACC 1=600,∠BCC 1=450,侧棱CC 1长为1，那么该三棱柱高等于 A.21 B.22 C.23 D.33【答案】A7. 函数2)62cos(-+=πx y 图像F 按向量a 平移到F /，F /解析式y=f(x),当y=f(x)为奇函数时，向量a 可以等于 A.(,2)6π- B.(,2)6π C.(,2)6π-- D.(,2)6π- 【答案】D8. 在“家电下乡〞活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供运用，每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台，假设每辆车至多只运一次，那么该厂所花最少运输费用为 【答案】B【解析】设甲型货车运用x 辆，已型货车y 04082010100x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+≤⎩,求Z=400x +300y 最小值.可求出最优解为〔4，2〕故min 2200Z =应选B.9. 设,R x ∈记不超过x 最大整数为[x ],令{x }=x -[x ]，那么{215+}，[215+],215+ 【答案】B【解析】可分别求得515122⎧⎫+-⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，51[]12+=.那么等比数列性质易得三者构成等比数列10. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来探讨数，例如：他们探讨过图1中1，3，6，10，…，由于这些数可以表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中1，4，9，16，…这样数成为正方形数。
高考文科数学(湖北卷)(完全)
湖北文科1.(2011湖北,文1)已知U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},B={2,4,5},则∁U (A ∪B)=( ). A.{6,8} B.{5,7} C.{4,6,7} D.{1,3,5,6,8}2.(2011湖北,文2)若向量a=(1,2),b=(1,-1),则2a+b 与a-b 的夹角等于( ). A.-π4B.π6C.π4D.3π43.(2011湖北,文3)若定义在R 上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=e x ,则g(x)=( ). A.e x -e -x B.12(e x +e -x ) C.12(e -x -e x )D.12(e x -e -x )4.(2011湖北,文4)将两个顶点在抛物线y 2=2px(p>0)上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n,则( ). A.n=0 B.n=1 C.n=2D.n ≥35.(2011湖北,文5)有一个容量为200的样本,其频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在区间[10,12)内的频数为( ). A.18 B .36 C.54 D.726.(2011湖北,文6)已知函数f(x)=√3sin x-cos x,x ∈R.若f(x)≥1,则x 的取值范围为( ). A.{x|2k π+π3≤x ≤2k π+π,k ∈Z} B.{x|k π+π3≤x ≤k π+π,k ∈Z} C.{x|2k π+π6≤x ≤2k π+5π6,k ∈Z} D.{x|k π+π6≤x ≤k π+5π6,k ∈Z}7.(2011湖北,文7)设球的体积为V 1,它的内接正方体的体积为V 2,下列说法中最合适的是( ). A.V 1比V 2大约多一半 B.V 1比V 2大约多两倍半 C.V 1比V 2大约多一倍 D.V 1比V 2大约多一倍半8.(2011湖北,文8)直线2x+y-10=0与不等式组{x ≥0,y ≥0,x -y ≥-2,4x +3y ≤20表示的平面区域的公共点有( ).A.0个B.1个C.2个D.无数个9.(2011湖北,文9)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为( ). A.1升 B.6766升 C.4744升D.3733升10.(2011湖北,文10)若实数a,b 满足a ≥0,b ≥0,且ab=0,则称a 与b 互补.记φ(a,b)=√a 2+b 2-a-b,那么φ(a,b)=0是a 与b 互补的( ). A.必要而不充分的条件 B.充分而不必要的条件 C.充要条件D.既不充分也不必要的条件11.(2011湖北,文11)某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1 400家.为掌握各类超市的营业情况,现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本,应抽取中型超市 家. 12.(2011湖北,文12)(x-3√x)18的展开式中含x 15的项的系数为 .(结果用数值表示)13.(2011湖北,文13)在30瓶饮料中,有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶,则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为 .(结果用最简分数表示)14.(2011湖北,文14)过点(-1,-2)的直线l 被圆x 2+y 2-2x-2y+1=0截得的弦长为√2,则直线l 的斜率为 .15.(2011湖北,文15)里氏震级M 的计算公式为:M=lg A-lg A 0,其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A 0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为 级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的 倍.16.(2011湖北,文16)设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,已知a=1,b=2,cos C=14. (1)求△ABC 的周长; (2)求cos(A-C)的值.17.(2011湖北,文17)成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5. (1)求数列{b n }的通项公式;(2)数列{b n }的前n 项和为S n ,求证:数列{S n +54}是等比数列.18.(2011湖北,文18)如图,已知正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为3√2,点E在侧棱AA1上,点F在侧棱BB1上,且AE=2√2,BF=√2.(1)求证:CF⊥C1E;(2)求二面角E CF C1的大小.19.(2011湖北,文19)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时.研究表明:当20≤x≤200时,车流速度v是车流密度x的一次函数.(1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式;(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/小时)20.(2011湖北,文20)设函数f(x)=x3+2ax2+bx+a,g(x)=x2-3x+2.其中x∈R,a、b为常数,已知曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.(1)求a、b的值,并写出切线l的方程;(2)若方程f(x)+g(x)=mx有三个互不相同的实根0、x1、x2,其中x1<x2,且对任意的x∈[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x-1)恒成立,求实数m的取值范围.21.(2011湖北,文21)平面内与两定点A1(-a,0)、A2(a,0)(a>0)连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹,加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线.(1)求曲线C的方程,并讨论C的形状与m值的关系.(2)当m=-1时,对应的曲线为C1;对给定的m∈(-1,0)∪(0,+∞),对应的曲线为C2,设F1、F2是C2的两个焦点.试问:在C1上,是否存在点N,使得△F1NF2的面积S=|m|a2.若存在,求tan F1NF2的值;若不存在,请说明理由.湖北文科1.A A ∪B={1,2,3,4,5,7},故∁U (A ∪B)={6,8}.2.C 由于2a+b=(3,3),a-b=(0,3),所以cos<2a+b,a-b>=(2a+b)·(a -b)|2a+b|·|a -b|=9=√22,故2a+b 与a-b的夹角为π4. 3.D 由题意令-x 去替换x 得f(-x)+g(-x)=e -x ,即f(x)-g(x)=e -x ,与已知等式联立,可求得g(x)=12(e x -e -x ).4.C 如图所示,根据抛物线的对称性,另外两顶点的横坐标必定相等,因此关于x 轴对称,要使三角形为正三角形,需过焦点作斜率为√33和-√33的直线,则△ABF 和△CDF 满足条件,综上可知n=2.5.B 频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1,每个小矩形的面积表示样本数据落在该区间内的频率,故样本数据落在区间[10,12)内的频率为1-2×(0.02+0.05+0.15+0.19)=0.18,故样本数据落在区间[10,12)内的频数为0.18×200=36.6.A ∵f(x)=√3sin x-cos x=2sin(x-π6),∴f(x)≥1即为sin(x-π6)≥12, ∴2k π+π6≤x-π6≤2k π+56π(k ∈Z),∴x ∈[2k π+π3,2k π+π](k ∈Z).7.D 设球的半径为r,正方体棱长为a,则3a 2=4r 2,即a=2√33r,∴V 1=43πr 3,V 2=8√39r 3,V 1V2=√3π2,故选D.8.B 如图所示,不等式组表示的平面区域为阴影部分,直线与阴影只有一个公共点(5,0). 9.B 设最上面一节容积为a,容积依次增大d,由题意知,4a 1+6d=3和3a 1+21d=4,可求得a 1=1322,d=766.故a 5=6766. 10.C 由题意a 与b 互补指的是a=0时b ≥0或者b=0时a ≥0, 故a 与b 互补时√a 2+b 2-a-b=0,即φ(a,b)=0,而当φ(a,b)=0时,√a 2+b 2=a+b 可得ab=0且a+b ≥0, ∴a=0时b ≥0或b=0时a ≥0,因此互为充要条件.11.20 本题为分层抽样,所以应抽取中型超市个数为400×100400+200+1 400=20.12.17 (x-3√x)18展开式中的通项为T r+1=C 18r x 18-r (-3√x )r =(-13)r C 18r x 18-32r ,令18-32r=15得r=2,故式中含x 15项的系数为(-13)2·C 182=17. 13.28145 依题意,至少取到1瓶已过保质期饮料分为两类:一是只有1瓶过保质期,P 1=C 31C 271C 302;二是2瓶都过保质期,P 2=C 32C 302,故P=P 1+P 2=28145.14.1或177设直线的斜率为k,则可得直线方程为y-kx+2-k=0,圆心到直线距离d=|3-2k|k +1,直线的垂线段,圆的半径,弦的一半构成直角三角形,所以d 2+(√22)2=1,可求得k=1或k=177. 15.6 10 000 第一空,lg 1 000-lg 0.001=3-(-3)=6,第二空,设9级地震时最大振幅为A 1,5级地震时最大振幅为A 2,则9=lg A 1-(-3),5=lg A 2-(-3),所以A 1=106,A 2=102,A 1A2=10 000. 16.解:(1)∵c 2=a 2+b 2-2abcos C=1+4-4×14=4, ∴c=2.∴△ABC 的周长为a+b+c=1+2+2=5.(2)∵cos C=14,∴sin C=√1-cos 2C =√1-(14)2=√154.∴sin A=asinC c=√1542=√158.∵a<c,∴A<C,故A 为锐角. ∴cos A=√1-sin 2A =1-(√158)2=78.∴cos(A-C)=cos Acos C+sin Asin C=78×14+√158×√154=1116. 17.解:(1)设成等差数列的三个正数分别为a-d,a,a+d. 依题意,得a-d+a+a+d=15,解得a=5. 所以{b n }中的b 3,b 4,b 5依次为7-d,10,18+d,依题意,有(7-d)(18+d)=100,解得d=2或d=-13(舍去). 故{b n }的第3项为5,公比为2, 由b 3=b 1·22,即5=b 1·22,解得b 1=54. 所以{b n }是以54为首项,2为公比的等比数列,其通项公式为b n =54·2n-1=5·2n-3. (2)数列{b n }的前n 项和S n =54(1-2n )1-2=5·2n-2-54,即S n +54=5·2n-2. 所以S 1+54=52,S n+1+54S n +54=5·2n -15·2n -2=2.因此{S n +54}是以52为首项,公比为2的等比数列. 18.解法1:(1)由已知可得CC 1=3√2,CE=C 1F=√22+(2√2)2=2√3, EF 2=AB 2+(AE-BF)2,EF=C 1E=√22+(√2)2=√6, 于是有EF 2+C 1E 2=C 1F 2,CE 2+C 1E 2=C C 12, 所以C 1E ⊥EF,C 1E ⊥CE.又EF ∩CE=E,所以C 1E ⊥平面CEF. 由CF ⊂平面CEF,故CF ⊥C 1E.(2)在△CEF 中,由(1)可得EF=CF=√6,CE=2√3,于是有EF 2+CF 2=CE 2,所以CF ⊥EF.又由(1)知CF ⊥C 1E,且EF ∩C 1E=E,所以CF ⊥平面C 1EF. 又C 1F ⊂平面C 1EF,故CF ⊥C 1F.于是∠EFC 1即为二面角E CF C 1的平面角.由(1)知△C 1EF 是等腰直角三角形,所以∠EFC 1=45°,即所求二面角E CF C 1的大小为45°.解法2:建立如图所示的空间直角坐标系,则由已知可得A(0,0,0),B(√3,1,0),C(0,2,0),C 1(0,2,3√2),E(0,0,2√2),F(√3,1,√2).(1)C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-2,-√2),CF ⃗⃗⃗ =(√3,-1,√2), C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CF ⃗⃗⃗ =0+2-2=0, ∴CF ⊥C 1E.(2)CE ⃗⃗⃗⃗ =(0,-2,2√2),设平面CEF 的一个法向量为m=(x,y,z), 由m ⊥CE ⃗⃗⃗⃗ ,m ⊥CF ⃗⃗⃗ ,得{m ·CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·CF⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-2y +2√2z =0,√3x -y +√2z =0.可取m=(0,√2,1).设侧面BC 1的一个法向量为n,由n ⊥BC ⃗⃗⃗⃗ ,n ⊥CC 1⃗⃗⃗⃗⃗ ,及CB ⃗⃗⃗⃗ =(√3,-1,0),CC 1⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,3√2),可取n=(1,√3,0). 设二面角E CF C 1的大小为θ,于是由θ为锐角可得 cos θ=|m ·n||m|·|n|=√6√3×2=√22,所以θ=45°.即所求二面角E CF C 1的大小为45°.19.解:(1)由题意:当0≤x ≤20时,v(x)=60,当20≤x ≤200时,设v(x)=ax+b,再由已知得{200a +b =0,20a +b =60,解得{a =-13,b =2003.故函数v(x)的表达式为v(x)={60,0≤x ≤20,13(200-x),20≤x ≤200.(2)依题意并由(1)可得f(x)={60x,0≤x ≤20,13x(200-x),20≤x ≤200.当0≤x ≤20时,f(x)为增函数,故当x=20时,其最大值为60×20=1 200;当20≤x ≤200时,f(x)=13x(200-x)≤13[x+(200-x)2]2=10 0003, 当且仅当x=200-x,即x=100时,等号成立.所以,当x=100时,f(x)在区间[20,200]上取得最大值10 0003. 综上,当x=100时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333, 即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3 333辆/小时. 20.解:(1)f'(x)=3x 2+4ax+b,g'(x)=2x-3.由于曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线, 故有f(2)=g(2)=0,f'(2)=g'(2)=1.由此得{8+8a +2b +a =0,12+8a +b =1,解得{a =-2,b =5.所以a=-2,b=5,切线l 的方程为x-y-2=0.(2)由(1)得f(x)=x 3-4x 2+5x-2,所以f(x)+g(x)=x 3-3x 2+2x. 依题意,方程x(x 2-3x+2-m)=0有三个互不相同的实根0、x 1、x 2, 故x 1、x 2是方程x 2-3x+2-m=0的两相异的实根, 所以Δ=9-4(2-m)>0,即m>-14.又对任意的x ∈[x 1,x 2],f(x)+g(x)<m(x-1)成立,特别地,取x=x 1时,f(x 1)+g(x 1)-mx 1<-m 成立,得m<0. 由韦达定理,可得x 1+x 2-3>0,x 1x 2=2-m>0,故0<x 1<x 2. 对任意的x ∈[x 1,x 2],有x-x 2≤0,x-x 1≥0,x>0,则f(x)+g(x)-mx=x(x-x 1)(x-x 2)≤0,又f(x 1)+g(x 1)-mx 1=0, 所以函数f(x)+g(x)-mx 在x ∈[x 1,x 2]的最大值为0.于是当m<0时,对任意的x ∈[x 1,x 2],f(x)+g(x)<m(x-1)恒成立. 综上,m 的取值范围是(-14,0). 21.解:(1)设动点为M,其坐标为(x,y),当x ≠±a 时,由条件可得k MA 1·k MA 2=y x+a ·y x -a =y 2x 2-a 2=m,即mx 2-y 2=ma 2(x ≠±a),又A 1(-a,0)、A 2(a,0)的坐标满足mx 2-y 2=ma 2, 故依题意,曲线C 的方程为mx 2-y 2=ma 2.当m<-1时,曲线C 的方程为x 2a 2+y2-ma 2=1,C 是焦点在y 轴上的椭圆;当m=-1时,曲线C 的方程为x 2+y 2=a 2,C 是圆心在原点的圆;当-1<m<0时,曲线C 的方程为x 2a 2+y 2-ma 2=1,C 是焦点在x 轴上的椭圆; 当m>0时,曲线C 的方程为x 2a 2-y 2ma 2=1,C 是焦点在x 轴上的双曲线. (2)由(1)知,当m=-1时,C 1的方程为x 2+y 2=a 2; 当m ∈(-1,0)∪(0,+∞)时,C 2的两个焦点分别为F 1(-a √1+m ,0),F 2(a √1+m ,0),对于给定的m ∈(-1,0)∪(0,+∞),C 1上存在点N(x 0,y 0)(y 0≠0)使得S=|m|a 2的充要条件是{x 02+y 02=a 2,y 0≠0,①12·2a√1+m|y 0|=|m|a 2.②由①得0<|y 0|≤a,由②得|y 0|=|m|a 1+m. 当0<√1+m≤a,即1-√52≤m<0,或0<m ≤1+√52时, 存在点N,使S=|m|a 2;当1+m>a,即-1<m<1-√52,或m>1+√52时, 不存在满足条件的点N.当m ∈[1-√52,0)∪(0,1+√52]时, 由NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a √1+m -x 0,-y 0),NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a √1+m -x 0,-y 0),可得NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 02-(1+m)a 2+y 02=-ma 2.令|NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=r 1,|NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=r 2,∠F 1NF 2=θ,则由NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·NF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =r 1r 2cos θ=-ma 2,可得r 1r 2=-ma 2cos θ, 从而S=12r 1r 2sin θ=-ma 2sin θ2cos θ=-12ma 2tan θ,于是由S=|m|a 2,可得-12ma 2tan θ=|m|a 2,即tan θ=-2|m|m. 综上可得:当m ∈[1-√52,0)时,在C 1上,存在点N,使得S=|m|a 2,且tan F 1NF 2=2;当m ∈(0,1+√52]时,在C 1上,存在点N,使得S=|m|a 2,且tan F 1NF 2=-2; 当m ∈(-1,1-√52)∪(1+√52,+∞)时,在C 1上,不存在满足条件的点N.。
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2015年湖北省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）（2015•湖北）i为虚数单位，i607=（）A．﹣i B．i C．1D．﹣12．（3分）（2015•湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．134石B．169石C．338石D．1365石3．（3分）（2015•湖北）命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（）A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣14．（3分）（2015•湖北）已知变量x和y满足关系y=﹣0.1x+1，变量y与z正相关，下列结论中正确的是（）A．x与y负相关，x与z负相关B．x与y正相关，x与z正相关C．x与y正相关，x与z负相关D．x与y负相关，x与z正相关5．（3分）（2015•湖北）l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则（）A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件6．（3分）（2015•湖北）函数f（x）=的定义域为（）A．（2，3）B．（2，4]C．（2，3）∪（3，4]D．（﹣1，3）∪（3，6]7．（3分）（2015•湖北）设x∈R，定义符号函数sgnx=，则（）A．|x|=x|sgnx| B．|x|=xsgn|x| C．|x|=|x|sgnx D．|x|=xsgnx8．（3分）（2015•湖北）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x+y≤”的概率，P2为事件“xy≤”的概率，则（）A．p1＜p2＜B．C．p2＜D．9．（3分）（2015•湖北）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（）A．对任意的a，b，e1＞e2B．当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2C．对任意的a，b，e1＜e2D．当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e210．（3分）（2015•湖北）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（）A．77 B．49 C．45 D．30二、填空题11．（3分）（2015•湖北）已知向量⊥，||=3，则•=．12．（3分）（2015•湖北）设变量x，y满足约束条件，则3x+y的最大值为．13．（3分）（2015•湖北）函数的零点个数为．14．（3分）（2015•湖北）某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．（1）直方图中的a=．（2）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为．15．（3分）（2015•湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=m．16．（3分）（2015•湖北）如图，已知圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2．（1）圆C的标准方程为．（2）圆C在点B处切线在x轴上的截距为．17．（3分）（2015•湖北）a为实数，函数f（x）=|x2﹣ax|在区间[0，1]上的最大值记为g（a）．当a=时，g（a）的值最小．三、解答题18．（12分）（2015•湖北）某同学将“五点法”画函数f（x）=Asin（wx+φ）（w＞0，|φ|＜）在某一个时期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：π2πwx+φxAsin（wx+φ）0 5 ﹣5 0（1）请将上述数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平移个单位长度，得到y=g（x）图象，求y=g（x）的图象离原点O最近的对称中心．19．（12分）（2015•湖北）设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式（2）当d＞1时，记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．20．（13分）（2015•湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC．试判断四面体EBCD是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（Ⅱ）记阳马P﹣ABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求的值．21．（14分）（2015•湖北）设函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）是奇函数，g （x）是偶函数，f（x）+g（x）=e x，其中e为自然对数的底数．（1）求f（x），g（x）的解析式，并证明：当x＞0时，f（x）＞0，g（x）＞1；（2）设a≤0，b≥1，证明：当x＞0时，ag（x）+（1﹣a）＜＜bg（x）+（1﹣b）．22．（14分）（2015•湖北）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON 可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．2015年湖北省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）（2015•湖北）i为虚数单位，i607=（）A．﹣i B．i C．1D．﹣1考点：虚数单位i及其性质．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用虚数单位i的运算性质得答案．解答：解：i607=i606•i=（i2）303•i=（﹣1）303•i=﹣i．故选：A．点评：本题考查了虚数单位i的运算性质，是基础的计算题．2．（3分）（2015•湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．134石B．169石C．338石D．1365石考点：随机抽样和样本估计总体的实际应用．专题：计算题；概率与统计．分析：根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．解答：解：由题意，这批米内夹谷约为1534×≈169石，故选：B．点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．3．（3分）（2015•湖北）命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（）A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣1考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．解答：解：命题的否定是：∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1，故选：C点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．4．（3分）（2015•湖北）已知变量x和y满足关系y=﹣0.1x+1，变量y与z正相关，下列结论中正确的是（）A．x与y负相关，x与z负相关B．x与y正相关，x与z正相关C．x与y正相关，x与z负相关D．x与y负相关，x与z正相关考点：变量间的相关关系．专题：概率与统计．分析：由题意，根据一次项系数的符号判断相关性，由y与z正相关，设y=kz，k＞0，得到x与z的相关性．解答：解：因为变量x和y满足关系y=﹣0.1x+1，一次项系数为﹣0.1＜0，所以x与y负相关；变量y与z正相关，设，y=kz，（k＞0），所以kz=﹣0.1x+1，得到z=，一次项系数小于0，所以z与x负相关；故选：A．点评：本题考查由线性回归方程，正确理解一次项系数的符号与正相关还是负相关的对应是解题的关键．5．（3分）（2015•湖北）l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则（）A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义结婚空间直线的位置关系，进行判断即可．解答：解：若l1，l2是异面直线，则l1，l2不相交，即充分性成立，若l1，l2不相交，则l1，l2可能是平行或异面直线，即必要性不成立，故p是q的充分条件，但不是q的必要条件，故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据空间直线的位置关系是解决本题的关键．6．（3分）（2015•湖北）函数f（x）=的定义域为（）A．（2，3）B．（2，4]C．（2，3）∪（3，4]D．（﹣1，3）∪（3，6]考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数成立的条件进行求解即可．解答：解：要使函数有意义，则，即，，解得2＜x≤4且x≠3，即函数的定义域为（2，3）∪（3，4]，故选：C点评：本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．7．（3分）（2015•湖北）设x∈R，定义符号函数sgnx=，则（）A．|x|=x|sgnx| B．|x|=xsgn|x| C．|x|=|x|sgnx D．|x|=xsgnx考点：函数的值域；函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：去掉绝对值符号，逐个比较即可．解答：解：对于选项A，右边=x|sgnx|=，而左边=|x|=，显然不正确；对于选项B，右边=xsgn|x|=，而左边=|x|=，显然不正确；对于选项C，右边=|x|sgnx=，而左边=|x|=，显然不正确；对于选项D，右边=xsgnx=，而左边=|x|=，显然正确；故选：D．点评：本题考查函数表达式的比较，正确去绝对值符号是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．8．（3分）（2015•湖北）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x+y≤”的概率，P2为事件“xy≤”的概率，则（）A．p1＜p2＜B．C．p2＜D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：分别求出事件“x+y≤”和事件“xy≤”对应的区域，然后求出面积，利用几何概型公式求出概率，比较大小．解答：解：由题意，事件“x+y≤”表示的区域如图阴影三角形，p1=；满足事件“xy≤”的区域如图阴影部分所以p2===＞；所以；故选：B．点评：本题考查了几何概型的公式运用；关键是分别求出阴影部分的面积，利用几何概型公式解答．9．（3分）（2015•湖北）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（）A．对任意的a，b，e1＞e2B．当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2C．对任意的a，b，e1＜e2D．当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：分别求出双曲线的离心率，再平方作差，即可得出结论．解答：解：由题意，双曲线C1：c2=a2+b2，e1=；双曲线C2：c′2=（a+m）2+（b+m）2，e2=，∴=﹣=，∴当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2，故选：D．点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．10．（3分）（2015•湖北）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（）A．77 B．49 C．45 D．30考点：集合中元素个数的最值．专题：新定义；开放型；集合．分析：由题意可得，A={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）}，根据定义可求解答：解：∵A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）}∵A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，∴A⊕B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2），（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣2，3），（﹣2，﹣3），（0，﹣3），（2，﹣3），（﹣1，3），（﹣1，﹣3），（1，3），（2，3），（0，3），（3，﹣1），（3，0）（3，1），（3，2），（3，﹣2）（﹣3，2）（﹣3，1），（1，﹣3），（﹣3，﹣1），（﹣3，0），（﹣3，﹣2）}共45个元素故选：C．点评：本题以新定义为载体，主要考查了集合的基本定义及运算，解题中需要取得重复的元素．二、填空题11．（3分）（2015•湖北）已知向量⊥，||=3，则•=9．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由已知结合平面向量是数量积运算求得答案．解答：解：由⊥，得•=0，即•（）=0，∵||=3，∴．故答案为：9．点评：本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础的计算题．12．（3分）（2015•湖北）设变量x，y满足约束条件，则3x+y的最大值为10．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．解答：解：作出不等式对应的平面区域如图，由z=3x+y，得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点C时，直线y=﹣3x+z的截距最大，此时z最大．由得．即C（3，1），此时z的最大值为z=3×3+1=10，故答案为：10．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．13．（3分）（2015•湖北）函数的零点个数为2．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：将函数进行化简，由f（x）=0，转化为两个函数的交点个数进行求解即可．解答：解：f（x）=2sinxcosx﹣x2=sin2x﹣x2，由f（x）=0得sin2x=x2，作出函数y=sin2x和y=x2的图象如图：由图象可知，两个函数的图象有2个不同的交点，即函数f（x）的零点个数为2个，故答案为：2点评：本题主要考查函数零点个数的判断，利用函数和方程之间的关系转化为两个函数图象的交点问题是解决本题的关键．14．（3分）（2015•湖北）某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．（1）直方图中的a=3．（2）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为6000．考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）频率分布直方图中每一个矩形的面积表示频率，先算出频率，在根据频率和为1，算出a的值；（2）先求出消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的频率，再求频数．解答：解：（1）由题意，根据直方图的性质得（1.5+2.5+a+2.0+0.8+0.2）×0.1=1，解得a=3 （2）由直方图得（3+2.0+0.8+0.2）×0.1×10000=6000故答案为：（1）3 （2）6000点评：本题考查了频率分布直方图中每一个矩形的面积表示频率，频数=频率×样本容量，属于基础题．15．（3分）（2015•湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=100m．考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；解三角形．分析：设此山高h（m），在△BCD中，利用仰角的正切表示出BC，进而在△ABC中利用正弦定理求得h．解答：解：设此山高h（m），则BC=h，在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600．根据正弦定理得=，解得h=100（m）故答案为：100．点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解．16．（3分）（2015•湖北）如图，已知圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2．（1）圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=2．（2）圆C在点B处切线在x轴上的截距为﹣1﹣．考点：圆的标准方程；圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：（1）确定圆心与半径，即可求出圆C的标准方程；（2）求出圆C在点B处切线方程，令y=0可得圆C在点B处切线在x轴上的截距．解答：解：（1）由题意，圆的半径为=，圆心坐标为（1，），∴圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=2；（2）由（1）知，B（0，1+），∴圆C在点B处切线方程为（0﹣1）（x﹣1）+（1+﹣）（y﹣）=2，令y=0可得x=﹣1﹣．故答案为：（x﹣1）2+（y﹣）2=2；﹣1﹣．点评：本题考查圆的标准方程，考查圆的切线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．17．（3分）（2015•湖北）a为实数，函数f（x）=|x2﹣ax|在区间[0，1]上的最大值记为g（a）．当a=2﹣2时，g（a）的值最小．考点：函数的最值及其几何意义．专题：开放型；函数的性质及应用．分析：通过分a≤0、0＜a≤2﹣2、a＞2﹣2三种情况去函数f（x）表达式中绝对值符号，利用函数的单调性即得结论．解答：解：对函数f（x）=|x2﹣ax|=|（x﹣）2﹣|分下面几种情况讨论：①当a≤0时，f（x）=x2﹣ax在区间[0，1]上单调递增，∴f（x）max=g（a）=1﹣a；②当0＜a≤2﹣2时，==，f（1）=1﹣a，∵﹣（1﹣a）=﹣2＜0，∴f（x）max=g（1）=1﹣a；③当2﹣2＜a≤1时，f（x）max=g（a）=；综上所述，g（a）=，∴g（a）在（﹣∞，]上单调递减，在[，+∞）上单调递增，∴g（a）min=g（）；④当1＜a＜2时，g（a）=f（）=；⑤当a≥2时，g（a）=f（1）=a﹣1；综上，当a=时，g（a）min=3﹣2，故答案为：．点评：本题考查求函数的最值，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题．三、解答题18．（12分）（2015•湖北）某同学将“五点法”画函数f（x）=Asin（wx+φ）（w＞0，|φ|＜）在某一个时期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：wx+φπ2πxAsin（wx+φ）0 5 ﹣5 0（1）请将上述数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平移个单位长度，得到y=g（x）图象，求y=g（x）的图象离原点O最近的对称中心．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由五点作图法即可将数据补充完整，写出函数的解析式；（2）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x），解得其对称中心即可得解．解答：解：（1）数据补充完整如下表：π2πwx+φxAsin（wx+φ）0 5 0 ﹣5 0函数f（x）的解析式为：f（x）=5sin（2x﹣）．（2）将y=f（x）图象上所有点向左平移个单位长度，得到y=g（x）=5sin[2（x+）﹣]=5sin（2x+）．由2x+=kπ，k∈Z，可解得：x=﹣，k∈Z，当k=0时，可得：x=﹣．从而可得离原点O最近的对称中心为：（﹣，0）．点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于基本知识的考查．19．（12分）（2015•湖北）设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式（2）当d＞1时，记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；（2）当d＞1时，由（1）知c n=，写出T n、T n的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．解答：解：（1）设a1=a，由题意可得，解得，或，当时，a n=2n﹣1，b n=2n﹣1；当时，a n=（2n+79），b n=9•；（2）当d＞1时，由（1）知a n=2n﹣1，b n=2n﹣1，∴c n==，∴T n=1+3•+5•+7•+9•+…+（2n﹣1）•，∴T n=1•+3•+5•+7•+…+（2n﹣3）•+（2n﹣1）•，∴T n=2+++++…+﹣（2n﹣1）•=3﹣，∴T n=6﹣．点评：本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．20．（13分）（2015•湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC．试判断四面体EBCD是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（Ⅱ）记阳马P﹣ABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求的值．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）证明BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即可得出结论；（Ⅱ）由已知，PD是阳马P﹣ABCD的高，所以V1==．由（Ⅰ）知，DE是鳖臑D﹣BCE的高，BC⊥CE，所以V2==．即可求的值．解答：（Ⅰ）证明：因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，因为ABCD为正方形，所以BC⊥CD，因为PD∩CD=D，所以BC⊥平面PCD，因为DE⊂平面PCD，所以BC⊥DE，因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC，因为PC∩BC=C，所以DE⊥平面PBC，由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB；（Ⅱ）由已知，PD是阳马P﹣ABCD的高，所以V1==．由（Ⅰ）知，DE是鳖臑D﹣BCE的高，BC⊥CE，所以V2==．因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE=CE=CD，所以===4点评：本题考查线面垂直的判定与性质，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（14分）（2015•湖北）设函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）是奇函数，g （x）是偶函数，f（x）+g（x）=e x，其中e为自然对数的底数．（1）求f（x），g（x）的解析式，并证明：当x＞0时，f（x）＞0，g（x）＞1；（2）设a≤0，b≥1，证明：当x＞0时，ag（x）+（1﹣a）＜＜bg（x）+（1﹣b）．考点：不等式的证明；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：开放型；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）运用奇、偶函数的定义，由函数方程的思想可得f（x）、g（x）的解析式，再由指数函数的单调性和基本不等式，即可证得f（x）＞0，g（x）＞1；（2）当x＞0时，＞ag（x）+1﹣a⇔f（x）＞axg（x）+（1﹣a）x，＜bg（x）+1﹣b⇔f（x）＜bxg（x）+（1﹣b）x，设函数h（x）=f（x）﹣cxg（x）﹣（1﹣c）x，通过导数判断单调性，即可得证．解答：解：（1）f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，即有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），f（x）+g（x）=e x，f（﹣x）+g（﹣x）=e﹣x，即为﹣f（x）+g（x）=e﹣x，解得f（x）=（e x﹣e﹣x），g（x）=（e x+e﹣x），则当x＞0时，e x＞1，0＜e﹣x＜1，f（x）＞0；g（x）=（e x+e﹣x）＞×2=1，则有当x＞0时，f（x）＞0，g（x）＞1；（2）证明：f′（x）=（e x+e﹣x）=g（x），g′（x）=（e x﹣e﹣x）=f（x），当x＞0时，＞ag（x）+1﹣a⇔f（x）＞axg（x）+（1﹣a）x，＜bg（x）+1﹣b⇔f（x）＜bxg（x）+（1﹣b）x，设函数h（x）=f（x）﹣cxg（x）﹣（1﹣c）x，h′（x）=f′（x）﹣c（g（x）+xg′（x））﹣（1﹣c）=g（x）﹣cg（x）﹣cxf（x）﹣（1﹣c）=（1﹣c）（g（x）﹣1）﹣cxf（x），①若c≤0则h′（x）＞0，故h（x）在（0，+∞）递增，h（x）＞h（0）=0，（x＞0），即有f（x）＞cxg（x）+（1﹣c）x，故＞ag（x）+1﹣a成立；②若c≥1则h′（x）＜0，故h（x）在（0，+∞）递减，h（x）《h（0）=0，（x＞0），即有f（x）＜cxg（x）+（1﹣c）x，故＜bg（x）+1﹣b成立．综上可得，当x＞0时，a g（x）+（1﹣a）＜＜b g（x）+（1﹣b）．点评：本题考查函数的奇偶性的运用，主要考查函数的解析式的求法和不等式的证明，同时考查指数函数的单调性和基本不等式的运用，以及导数的运用：判断单调性，属于中档题．22．（14分）（2015•湖北）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON 可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：创新题型；开放型；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）根据条件求出a，b即可求椭圆C的方程；（2）联立直线方程和椭圆方程，求出原点到直线的距离，结合三角形的面积公式进行求解即可．解答：解：（1）∵|OM|≤|MN|+|NO|=3+1=4，当M，N在x轴上时，等号成立，同理|OM|≥|MN|﹣|NO|=3﹣1=2，当D，O重合，即MN⊥x轴时，等号成立．∴椭圆C的中心为原点O，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为．（2）①当直线l的斜率k不存在时，直线l为：x=4或x=﹣4，都有S△OPQ=，②直线l的斜率k存在时，直线l为：y=kx+m，（k），由消去y，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0，∵直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，∴△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣16）=0，即m2=16k2+4，①，由，可得P（，），同理得Q（，），原点O到直线PQ的距离d=和|PQ|=•|x P﹣x Q|，可得S△OPQ=|PQ|d=|m||x P﹣x Q|=|m|||=||②，将①代入②得S△OPQ=||=8||，当k2＞时，S△OPQ=8（）=8（1+）＞8，当0≤k2＜时，S△OPQ=8||=﹣8（）=8（﹣1+），∵0≤k2＜时，∴0＜1﹣4k2≤1，≥2，∴S△OPQ=8（﹣1+）≥8，当且仅当k=0时取等号，∴当k=0时，S△OPQ的最小值为8，综上可知当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，三角形OPQ的面积存在最小值为8．点评：本题主要考查椭圆方程的求解，以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用，结合三角形的面积公式是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．参与本试卷答题和审题的老师有：sxs123；刘长柏；maths；changq；cst；吕静；依依；w3239003；双曲线（排名不分先后）菁优网2015年9月21日。