南京大学-热力学与统计物理第5章

i 1
注：
i 只是第i个粒子的坐标和动量以及外场参量的函数，与其它粒 一、 子的坐标和动量空间 无关；
二、理想气体就是由近独立粒子组成的系统；
三、如果各粒子间真的毫无相互作用，各粒子完全独立得运动，这些 粒子组成的系统也就无从达到热力学平衡状态了
2．经典力学中描述系统的微观运动可以辨认 注：
r
空间的体积Vdp x dp y dp z 除以相格大小h 而得到的三维自由粒子在Vdp x dp y dp z内
的量子态数。
3
采用球坐标系：
p x p sin cos p y p sin sin p z p cos V Vp 2 sin dpdd dpx dp y dpz 3 h h3
微观粒子实际上是遵从量子力学的运动规律的， 不过在一定的极限条件下，可以由量子统计得到经典 统计的结果。因此研究经典统计 2 2 2 2 ( p1 p2 p3 ) ( n n n 1 2 3) 2 2m mL
能量量子化
假如：
n1 n2 n3 1
2 2 h 2 3 2 mL
111
属于该能级的状态：（1，1，1）、（1，－1， 1）、（－1，1，1）、（1，1，－1）、（－1， －1，1）、（1，－1，－1）、（－1，1，－ 1）、（－1，－1，－1）
4．自然界中微观粒子的分类：玻色子和费米子
（1）自旋量子数为半整数的是费米子，例如：电子、 子、 质 子、中子等；
介子0 （2）自旋量子数是整数的为玻色子，例：光子（1），
（3凡是由玻色子构成的复合粒子是玻色子，由偶数个费米子 构成的复合粒子也是玻色子，由奇数个费米子构成的复合粒 子是费米子。
用 空间中的一点表示，称为粒子力学运动状态的代表点，当
粒子的运动状态随时间改变时，代表点相应地在 空间中移动， 描画出一条轨道。
相体积元：
d dq1 .....dqr dp1 .....dpr
例子1：
3维自由粒子
1 2 2 2 ( px p y pz ) 2m ( x, y , z , p x , p y , p z )
（4）由费米子组成的系统为费米系统，遵从泡利不相容原理， 即：在含有多个全同近独立的费米子的系统中，一个量子态最多 能容纳一个费米子；由玻色子组成的系统称为玻色系统，不受泡 利不相容原理的约束，即：由多个全同近独立的玻色子组成的玻 色系统中，处在同一量子态的玻色子数目不受限制。
5．例：玻耳兹曼统计(以两个粒子为例）
薛定谔方程：
ih H t
系统的状态可以用一组量子数表征，量子数的数 目与粒子的自由度相同。 例子3：一维谐振子
例子4：自由粒子
n1 ,n2 ,n3
~ exp(ip r / h)
根据周期性边界条件：
2 h P ( p1 , p2 , p3 ) (n1 , n2 , n3 ) L ni 0, 1, 2, 3.........
(二) 统计物理的基本观点 宏观物质系统的特性是大量微观粒子运动的集体表现， 宏观物理量是相应微观物理量的统计平均值。 为了研究系统的宏观特性，没有必要、实际上也没有 可能追随微观状态的复杂变化。只要知道各个微观状 态出现的概率，就可以用统计方法求微观量的 统计平均值。
(三) 统计物理学的分类
1、平衡态统计理论；2、非平衡态统计理 论；3、涨落理论
（1）一个粒子在某一时刻的力学运动状态可用 空间中的一 个点表示。由N个全同粒子组成的系统在某一时刻的微观运动 状态可在 空间中用N个点表示；
（2）如果交换两个代表点在 空间的位置，相应的系统的微 观状态是不同的。
3．微观粒子的全同性原理：
全同粒子是不可分辨的，在含有多个全同粒子的系统中， 将任何两个全同粒子加以对换，不改变整个系统的微观状态。
怎样理解此式：由不确定关系指出，粒子坐标的不确定值q和与之共轭的动量 p有不确定关系：q p h，用q、p来描述运动状态，一个状态必然对应于
空间中的一个体积，称之为相格。对自由度为1的粒子，相格的大小为 h，如果
自由度为r，相格的大小为q1 q r p1 p r h 由此可将上式理解为：将
量子态1 A B
量子态2
量子态3
A A B B A A B
B
A
B
B A
A
B
B
A
A
A A A A 量子态1 量子态2 A A A A 量子态3 A
A
A
A
A A A A 量子态2 量子态3
A 量子态1
6．经典统计物理和量子统计物理的区别：
在经典力学基础上建立的统计物理学称为经典统 计物理学；在量子力学基础上建立的统计物理学称为 量子统计物理学。两者在统计原理上是相同的，区别 在于对微观运动状态的描述。
子系的一个量子态
大小为h r的相格体积
（自由度是 r）
一维谐振子：经典情况
p2 1 m 2 x 2 2m 2 p2 2m x2 1 2 m 2
2 a ; b 2m 2 m 2 面积：S ab
/ 2

按照经典理论， 连续取值 椭圆面积连续变化
能级的简并度: g=8
如果粒子是在宏观大小的容器内运动，上述
px , py , pz ,
给出动量值和能量值实际上是准连续的.
在体积 V L3 内, px px dpx
py py dpy
pz pz dpz
自由粒子的量子态数为：
L 3 V dnx dny dnz ( ) dpx dp y dpz 3 dpx dp y dpz 2 h
第五章、统计物理学的基本概念
(一) 等概率原理 (统计物理学唯一的假设)
对于处在平衡状态的孤立系统，系统各个可能的微观状 态出现的概率是相等的。（1870年由玻尔兹曼提出）
说明：
等概率原理在统计物理中是一个基本假设，它的 正确性由它的种种推论都与客观实际相符而得到 肯定，是一个合理的假设；等概率原理是平衡态 统计物理的基础 。 既然这些微观状态都同样具有确定N、E、V的宏观 条件，没任何理由认为那一个状态出现的概率应当 更大。因此，认为各个可能的微观状态出现概率相 等应当是一个合理的假设 。 能否从更基本的原理出发得到等概率原理,是统计物 理学的基础理论问题,迄今尚未解决!
（四） 系统微观状态的描述 组成系统的基本单元称为子系；它可以是气体分子， 金属中的离子或者电子，辐射场的光子等。 1、粒子运动的经典描述 Hamilton正则方程：
H pi q i

H qi p i

i 1,2,3,......... ....... r H ( q1 , q 2 ,....... q r；p1 , p 2 .......p r )
假设空间各向同性,对角度积分：
得到：p ~ p dp范围内的状态数： V 4p 2 dp p2 ；考虑 : ＝ 3 2m h
最后可以化为：
2V (2m) d D( )d 3 h D( )是单位能量间隔内的状 态数 — —态密度
3 2 1 2
例子5：

n
经典极限条 件 对子相空间的积分
可以在(0,)连续取值
例子2：一维谐振子
p2 1 m 2 x 2 2m 2 ( x, p ) p x 1 2 2 m m 2 能量可以在(0,)任意取值
2 2
2、粒子的量子描述
德布罗意关系：
h
p hk
不确定(测不准)关系：
qp h
按量子力学：
1 n ( n ) h 2 1 Sn ( n ) h S n h / 2 2
每个h大小的子相体积(这里是面积）对应谐振子的 一个量子态
n
（五）近独立体系微观状态的量子描述 1．系统粒子的描述
（1）全同粒子组成的系统：就是由具有完全相同的属性（相 同的质量、电荷、自旋等等）的同类粒子组成的系统； （2）近独立粒子组成的系统：是指系统中粒子之间相互作用很 弱，相互作用的平均能量远小于单个粒子的平均能量，因而可以 忽略粒子之间的相互作用，将整个系统的能量表达为单个粒子的 N 能量之和： E i
设粒子的自由度为r，粒子的广义坐标：q1 , q 2, , q r 与之共轭的r个广义动量： p1 , p2, , pr 粒子的能量

是其广义坐标和广义动量的函数，表达为：
(q1 , q2, , qr ; p1 , p2, , pr )
用 q1, q2, , qr ; p1 , p2, , pr 共2r个变量为直角坐标，构成一个2 r维空间，称为 空间（子相空间） 粒子在某一时刻的力学运动状态 q1 , q2, , qr ; p1 , p2, , pr 可以