高中数学最全数列通项公式求法
数列通项公式的常见求法
数列通项公式的常见求法陕西省咸阳西北工业大学启迪中学廉庚数列在高中数学中占有非常重要的地位，每年高考都会出现有关数列方面的试题，一般分为小题和大题两种题型，而数列通项公式的求法是常考的一个知识点，一般出现在大题的第一小问中，因此掌握好数列通项公式的求法不仅有利于我们掌握数列知识，更有助于我们在高考中取得好的成绩.本文将中学数学中有关数列通项公式的常见求法进行了较为系统的分析和总结。
希望能对读者有所帮助.一．数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫作这个数列的通项公式．二．常见数列通项公式的求法题型一观察法由数列的前几项求数列的通项公式例1(1)数列1,3,6,10，…的一个通项公式是()A．an＝n2－(n－1) B．an＝n2－1 C．an＝n?n＋1?2 D．an＝n?n－1?2(2)数列{an}的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是an＝________.解析：(1)观察数列1,3,6,10，…可以发现1＝1，3＝1＋2，6＝1＋2＋3，10＝1＋2＋3＋4，…第n项为1＋2＋3＋4＋…＋n＝n?n＋1?2.∴an＝n?n＋1?2.(2)数列{an}的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，∴an＝2n＋1n2＋1.思维升华：由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N＋处理．题型二公式法由等差数列与等比数列通项公式直接求通项公式这种方法只需要根据首项和公差（公比）直接代入通项公式即可求出，在此不需赘述.题型三由an与Sn的关系求通项公式例2：(1)若数列{an}的前n项和Sn＝23an＋13，则{an}的通项公式an＝________.解析：由Sn＝23an＋13，得当n≥2时，Sn－1＝23an－1＋13，两式相减，整理得an＝－2an－1，又当n＝1时，S1＝a1＝23a1＋13，∴a1＝1，∴{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，故an＝(－2)n－1.(2)已知下列数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式．①Sn＝2n2－3n；②Sn＝3n＋b.解析：①当n=1时，a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.②当n=1时，a1＝S1＝3＋b，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2?3n－1.当b＝－1时，a1适合此等式；当b≠－1时，a1不适合此等式．∴当b＝－1时，an＝2?3n－1；当b≠－1时，an＝3＋b，n＝1，2?3n－1，n≥2.思维升华：已知Sn，求an的步骤(1)当n＝1时，a1＝S1；(2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1；(3)对n＝1时的情况进行检验，若适合n≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式．这种方法可以形象的称为“三部曲”或者称为“当当当”.题型四由数列的递推关系求通项公式例3根据下列条件，确定数列{an}的通项公式．(1)a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋1n)；(2)a1＝1，an＋1＝2nan；(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2.解析：(1)∵an＋1＝an＋ln(1＋1n)，∴an－an－1＝ln(1＋1n－1)＝ln nn－1(n≥2)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝lnnn－1＋lnn－1n－2＋…＋ln 32＋ln 2＋2＝2＋ln(nn－1?n－1n－2?…?32?2)＝2＋ln n(n≥2)．又a1＝2适合上式，故an＝2＋ln n(n∈N＋)．(2)∵an＋1＝2nan，∴anan－1＝2n－1 (n≥2)，∴an＝anan－1?an－1an－2?…?a2a1?a1＝2n－1?2n－2?…?2?1＝21＋2＋3＋…＋(n－1)＝2n?n－1?2.又a1＝1适合上式，故an＝2n?n－1?2.(3)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，又a1＝1，∴a1＋1＝2，故数列{an＋1}是首项为2，公比为3的等比数列，∴an＋1＝2?3n－1，故an＝2?3n－1－1.思维升华：已知数列的递推关系求通项公式的典型方法(1)当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列；(2)当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列；(3)当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解；(4)当出现anan－1＝f(n)时，用累乘法求解．。
通项公式求解方法大全
例说高中数学数列问题的通项求解形式1：累加/累乘（迭代）()()11/n n n na a a kf n kf n a ++-== 例题1：已知数列{}n a ，其中1n a =，满足1n n a a n +-=，试求数列的通项。
解法1：（迭代）()()()()()()1122111121112n n n n n n n a a a a a a a a n n ----=-+-+⋅⋅⋅+-+=-+-+⋅⋅⋅++=+解法2：（累加）()()213211211211123112221n n n n n n a a a a n n n n a a n a a a n a a n ---⎫-=⎧⎪⎪-=⎪⎪--⎪⎪+⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+⇒-=+++⋅⋅⋅+-=⇒=+⎨⎬⎪⎪-=-⎪⎪-=-⎪⎪⎩⎭变式1：已知数列{}n a ，其中1n a =，满足()111n n a a n n +-=+，试求数列的通项。
解法1：（迭代）()()()()1112211111111111111121212n n n n n n n a a n n n na a a a a a a a n n n n n -----==---⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+⋅⋅⋅+-+=-+-+-+=- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭解法2：（累加）21321121112112311121121111n n n n n n a a a a a a a n na a n n a a n n ---⎫⎧-=-⎪⎪⎪⎪⎪⎪-=-⎪⎪⎪⎪+⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+⇒-=-⇒=-⎨⎬⎪⎪⎪⎪-=---⎪⎪⎪⎪-=-⎪⎪-⎩⎭变式2：已知数列{}n a ，其中1n a =，满足1n n a a +-=，试求数列的通项。
解法1：（迭代）()()()11122111 n nn n n n na aa a a a a a a a-----==∴=-+-+⋅⋅⋅+-+=++=解法2：（累加）21321121n nn nn na aa aa a aa aa a---⎫⎧-=⎪⎪⎪-=⎪⎪⎪+⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+⇒-==⎨⎬⎪-=⎪⎪⎪-=⎩⎭例题2：已知数列{}n a，其中1na=，满足11nna na n++=，试求数列的通项。
高中数学求数列通项的常用方法
求数列通项公式的方法求数列通项公式的几种常见的方法，分别有：公式法，累加法，累乘法，待定系数法，对数变换法，迭代法，数学归纳法，换元法。
一、公式法例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。
解：1232n n n a a +=+⨯两边除以12n +，得113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是以1222a 11==为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222nn a n =-。
评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+⨯转化为113222n n n n a a ++-=，说明数列{}2nna 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。
二、累加法例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+ ，即得数列{}n a 的通项公式。
数列通项公式的求解方法总结
数列通项公式的求解方法总结求数列的通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具体的题目，它的求解方法灵活是灵活多变的，构造的技巧性也很强，但是此类题目也有很强的规律性，存在着解决问题的通法，本文就高中数学中常见的几类题型从解决通法上做一总结，方便于学生学习和老师的教学。
一、累加法：利用an=a1+（a2-a1）+…（an-an-1）求通项公式的方法称为累加法。
累加法是求型如an+1=an+f（n）的递推数列通项公式的基本方法（f（n）可求前n项和）.例1.已知数列an满足an+1=an+2n+1，a1=1，求数列an的通项公式。
解：由an+1=an+2n+1得an+1-an=2n+1则an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a3-a2）+ （a2-a1）+a1=[2（n-1）+1]+[2（n-2）+1]+…+（2×2+1）+（2×1+1）+1=2[（n-1）+（n-2）+…+2+1]+（n-1）+1=2+（n-1）+1=（n-1）（n+1）+1=n2所以数列an的通项公式为an=n2。
例2：在数列{an}中，已知an+1= ，求该数列的通项公式.备注：取倒数之后变成逐差法。
解：两边取倒数递推式化为：=+，即-=所以-=，-=，-=…-=.…，将以上n-1个式子相加，得：-=++…+即=+++…+==1-故an==二、累乘法：利用恒等式an=a1…（an≠0，n？叟n）求通项公式的方法称为累乘法，累乘法是求型如：an+1=g（n）an的递推数列通项公式的基本方法（数列g（n）可求前n项积）.例3.已知数列{an}中a1=，an=·an-1（n？叟2）求数列{an}的通项公式。
解：当n？叟2时，=，=，=，…=将这n-1个式子累乘，得到=，从而an=×=，当n=1时，==a1，所以an= 。
注：在运用累乘法时，还是要特别注意项数，计算时项数容易出错.三、公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有an=Sn-Sn-1（n？叟2），等差数列或等比数列的通项公式。
高中数学数列通项公式的求法技巧大全
数列通项公式的求法技巧大全一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法二。
四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。
等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。
三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等级差数列或等比数列。
四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。
五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
一、累加法1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。
2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则21321(1)(2)()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得 111()nn k a a f n +=-=∑例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n nn n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
例2 已知数列{}n a 满足112313nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
高中数学-数列求通项公式方法汇总及经典练习(含答案)
高中数学-数列求通项公式方法汇总及经典练习（含答案）1、定义法：直接求首项和公差或公比。
2、公式法：1 (1) (2)n n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩两种用途（列举），结果要验证能否写成统一的式子．例、数列{}n a 的各项都为正数，且满足()()2*14nna S n N +=∈，求数列的通项公式．解一：由()()2*14nna S n N +=∈得()()()221114411n n n n n aS S a a +++=-=---化简得()()1120n n n n a a a a +++--=，因为10,2n n n a a a +>∴-=，又()2111441S a a ==-得11a =，故{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，所以21n a n =-．解二：由()()2*14nn a S n N +=∈，可得()11,12n n n a S S n -=-∴=--≥化简可得)211n S -=，即1=，又11S =，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，∴n =，从而2n S n =，所以121n n n a S S n -=-=-，又11a =也适合，故21n a n =-．练习：已知数列{a n }的前n 项和S n 满足120n n n a S S -+=（2n ≥），a 1=21，求n a ． 答案：a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--=)2()1(21)1(21n n n n ．扩展一：作差法例、在数列}{n a 中，11a =，212323(1)n a a a na n n ++++=-+，求n a ．解：由212323(1)n a a a na n n ++++=-+，得2123123(1)(2)1n a a a n a n n -++++-=-+-，两式相减，得66n na n =-+，∴ 1 (=1)66 (2)n n a n n n⎧⎪=-⎨≥⎪⎩．练习（理）：已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求n a ．解：由123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥，得1123123(1)n n n a a a a n a na +-=++++-+，两式相减，得1n n n a a na +-=，即11(2)n na n n a +=+≥，所以13222122![(1)43]2n n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⨯=又由已知，得2122a a a =+，则211a a ==，代入上式，得!13452n n a n =⋅⋅⋅⋅⋅=， 所以，{}n a 的通项公式为 1 (1)! (2)2n n a n n =⎧⎪=⎨≥⎪⎩．扩展二、作商法例、在数列}{n a 中，11a =，对所有的2n ≥，都有2123n a a a a n ••••=，求n a ．解：∵2123n a a a a n ••••=，∴21232(1)n a a a a n -••••=-，故当2n ≥时，两式相除，得22(1)n n a n =-， ∴221 (=1) (2)(1)n n a n n n ⎧⎪=⎨≥⎪-⎩．3、 叠加法：对于型如)(1n f a a n n =-+类的通项公式．例、在数列{n a }中，31=a ,)1(11++=+n n a a n n ，求通项公式n a .答案：na n 14-=. 例、已知数列{}n a 满足112231n n n n a a ++=++-（*n N ∈），352a =，求通项n a .解：由112231n nn n aa ++=++-，两边同除以12n +，得()111131112222n n n n n n n a a n ++++-=-+≥，列出相加得121212121332323212212121-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=---n a a n n n n又由已知求得16a =，∴()*231n n n n N a n ∈=•++．练习：已知数列}a {n 满足3a 132a a 1nn 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式．答案：1n 32n 31332a n nn -+=++--⋅=．4、叠乘法：一般地，对于型如1+n a =f (n)·n a 的类型例（理）、已知数列{}n a 满足112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式．解：因为112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，，所以0n a ≠，则12(1)5n n na n a +=+，故13211221n n n n n a a a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅⋅121[2(11)5][2(21)5][2(11)5]3n n n n --=-+-++⨯⨯(1)1(1)(2)21122[(1)32]53325!n n n n n n n n n ---+-+++-=-⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，所以数列{}n a 的通项公式为(1)12325!n n n n a n --=⨯⨯⨯．练习：在数列{a n }中，112a =，11(1n n n a a a n --=⋅+≥2），求n a ． 答案：）1(1+=n n a n ． 5、构造法：型如a n+1=pa n +f(n) (p 为常数且p ≠0， p ≠1)的数列(1)f(n)= q (q 为常数) 一般地，递推关系式a +1=pa n +q (p 、q 为常数，且p ≠0，p ≠1)等价与)1(11pqa p p q a n n --=--+，则{p q a n --1}为等比数列，从而可求n a ．例、已知数列{}n a 满足112a =，132n n a a --=（2n ≥），求通项n a ． 解：由132n n a a --=，得111(1)2n n a a --=--，又11210a -=≠，所以数列{1}n a -是首项为12，公比为12-的等比数列，∴11111(1)()1()22n nn a a -=---=+-． 练习：已知数列}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ，且11=a ，求通项n a ． 答案：12-=n na ．(2) f(n)为等比数列，如f(n)= q n (q 为常数) ，两边同除以q n ，得111+=++nn n n qa p q a q ，令nn n a b q =，则可转化为b n+1=pb n +q 的形式求解．例、已知数列{a n }中，a 1=65，1111()32n n n a a ++=+，求通项n a ． 解：由条件，得2 n+1a n+1=32(2 n a n )+1，令b n =2 n a n ，则b n+1=32b n +1，b n+1-3=32（b n -3） 易得 b n =3)32(341+--n ，即2 n a n =3)32(341+--n ， ∴ a n =n n 2332+-． 练习、已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求通项n a ．答案：31()222nn a n =-．(3) f(n)为等差数列，如1n n a Aa Bn C +=++型递推式，可构造等比数列．（选学，注重记忆方法）例、已知数列{}n a 满足11=a ，11212n n a a n -=+-（2n ≥），求．解：令n n b a An B =++，则n n a b An B =--，∴11(1)n n a b A n B --=---，代入已知条件， 得11[(1)]212n n b An B b A n B n ---=---+-，即11111(2)(1)2222n n b b A n A B -=++++-，令202A +=，1022A B +-=，解得A=－4，B=6，所以112n n b b -=，且46n n b a n =-+， ∴{}n b 是以3为首项、以12为公比的等比数列，故132n n b -=，故13462n n a n -=+-． 点拨：通过引入一些尚待确定的系数，经过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列）求解． 练习：在数列{}a n 中，132a =，1263n n a a n --=-，求通项a n ． 答案：a n nn -+=69912·()．解：由1263n n a a n --=-，得111(63)22n n a a n -=+-，令11[(1)]2n n a An B a A n B -++=+-+，比较系数可得：A=－6，B=9，令n n b a An B =++，则有112n n b b -=，又1192b a A B ==++，∴{}n b 是首项为92，公比为12的等比数列，所以b n n =-92121()，故a n n n-+=69912·()． (4) f(n)为非等差数列，非等比数列法一、构造等差数列法例、在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>，求数列{}n a 的通项公式．解：由条件可得111221n nn nn n a a λλλλ+++⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴数列2n n n a λλ⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是首项为0，公差为1的等差数列，故21nnn a n λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴(1)2n n n a n λ=-+． 练习：在数列{a n }中，a na n a n n n n n 1132212==+++++，()()()，求通项a n 。
高中数学求解数列通项公式常用方法总结
高中数学求解数列通项公式常用方法总结(共15种类型类型1(迭加法1112212212(212(log 1(n 1n nn n n n n n n a a f n n-++-⎧⎪⎪⎪-+⎪⎪--==⎨⎪⎪⎪⎪⎪+⎩,n a a求,11=以上6种情况都要试着做一遍例1:已知数列{}n a满足11211,2n n a a a n n+=-=+,求n a。
解:由条件知:121111(11n n a a n n n n n n+-===-+++分别令1,2,3,,(1n n=-,代入上式得(1n-个等式累加之,即21 32431((((n n a a a a a a a a--+-+-++-1111111(1(((223341n n=-+-+-++--所以111n a a n-=-111131, 1222n a a n n=∴=+-=-类型2(迭乘法11(=2n n n n a f n n a++⎧⎪=⎨⎪⎩,n a a求,11=例2:已知数列{}n a满足112,31n n n a a a n+==+,求n a。
解:由条件知11n n a n a n+=+,分别令1,2,3,,(1n n=-,代入上式得(1n-个等式累乘之,即3241231112311234n n n a a a a a n a a a a n a n--=⨯⨯⨯⨯⇒=又122,33n a a n=∴=∵类型3(退一相减法递推公式为S n与a n的关系式。
(或(n n S f a=解法:这种类型一般利用11(1(2n n n S n a S S n-=⎧=⎨-≥⎩与11((n n n n n a S S f a f a--=-=-消去n S(2n≥或与1 ((2n n n S f S S n-=-≥消去n a进行求解。
常见题型:1、12++=n n S n,n a求(关系与n S n2、n n n a a S求,23+=(关系与n n a S3、n n a a a a n 22223133221+⋅⋅⋅+++=+,求n a(n a n与例:已知数列{}n a前n项和214 2n n n S a-=--.(1求1n a+与n a的关系;(2求通项公式n a.解:(12142n n n S a-=--得:111142n n n S a++-=--于是112111((22n n n n n n S S a a++---=-+-所以1111111222n n n n n n n a a a a a+++-=-+⇒=+.类型3(构造法1 n 1n a pa q+=+(其中,p q均为常数,((10pq p-≠。
数列{an}的通项公式的求法(全)
（其中，k, b, c, m, s为常数）
(4)通项公式为an1 kan ban1可化为an1 san t (an san1 ) （其中，k, b, s, t为常数）
(2)通项公式为an1 kan c bn可化为an1 mbn1 k (an mbn ) （其中，k, b, c, m为常数）
(3)通项公式为an1 kan c bn +t可化为an1 mbn1 s k (an mbn s ) （其中，k, b, c, m, s为常数）
如：通项公式为an1 2an 3n 可化为an1 m 3n1 2(an m 3n ) 解得 m 1 即化为an1 3n1 2(an 3n )
(3)通项公式为an1 kan c bn +t可化为an1 mbn1 s k (an mbn s )
(4)通项公式为an1 kan ban1可化为an1 san t (an san1 ) （其中，k, b, s, t为常数）
八、倒数法>>
适用于an1 k1an 的形式，(其中，k1 ,k 2 ,b1 ,b2为常数). k2an b2
本节作业
1、数列{an }中, a1 2, an1 an 2n , 求{an }的通项公式.
an 2 n 3 an 3 n 1
.........................
n1 n 2 n 3 3 2 1 1 ... n1 n n1 5 4 3 2 1 n( n 1)
高中数学解题方法系列：数列中求通项的10种方法
高中数学解题方法系列：数列中求通项的10种方法一、公式法例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。
解：1232n n n a a +=+⨯两边除以12n +，得113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n na 是以1222a 11==为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222n n a n =-。
二、累加法 )(1n f a a n n =--例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=L L L 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
例3已知数列{}n a 满足1132313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：13231n n n a a +=+⨯+两边除以13n +，得111213333n n n n n a a +++=++， 则111213333n n n n n a a +++-=+ 三、累乘法 )(1n f a a n n =- 例4 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。
高中数学数列公式及结论总结
高中数学数列公式及结论总结一、高中数列基本公式：1、一般数列的通项a n与前n项和S n的关系：a n=2、等差数列的通项公式：a n=a1+(n-1)d a n=a k+(n-k)d (其中a1为首项、a k 为已知的第k项) 当d≠0时，a n是关于n的一次式；当d=0时，a n是一个常数。
3、等差数列的前n项和公式：S n=S n=S n=当d≠0时，S n是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），S n=na1是关于n的正比例式。
4、等比数列的通项公式：a n= a1 q n-1a n= a k q n-k(其中a1为首项、a k为已知的第k项，a n≠0)5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，S n=n a1 (是关于n的正比例式)；当q≠1时，S n=S n=二、高中数学中有关等差、等比数列的结论1、等差数列{a n}的任意连续m项的和构成的数列S m、S2m-S m、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列。
2、等差数列{a n}中，若m+n=p+q，则3、等比数列{a n}中，若m+n=p+q，则4、等比数列{a n}的任意连续m项的和构成的数列S m、S2m-S m、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列。
5、两个等差数列{a n}与{b n}的和差的数列{a n+b n}、{a n-b n}仍为等差数列。
6、两个等比数列{a n}与{b n}的积、商、倒数组成的数列{a n b n}、、仍为等比数列。
7、等差数列{a n}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。
8、等比数列{a n}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。
9、三个数成等差数列的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d10、三个数成等比数列的设法：a/q,a,aq；四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3(为什么？)11、{a n}为等差数列，则(c>0)是等比数列。
高中数学数列公式大全很齐全哟~!
高中数学数列公式大全很齐全哟~!数列是数学中一个重要的概念，它由一组按照一定规律排列的数所组成，是数学分析、离散数学、组合数学等学科的基础和核心，涉及到高中数学的各个知识点。
数列公式是描述数列规律的基本方法和工具，它们常用于解决数列的基本问题，如求首项、公差、项数、和等。
下面我们来一起盘点高中数学数列公式大全。
一、等差数列的公式等差数列是指一个数列中每一项与它前面的一项之差都相等的数列。
根据等差数列的规律，我们可以得到一系列的公式：1.通项公式：an = a1 + (n-1) * d在等差数列中，第n项为an，首项为a1，公差为d。
这个公式是求等差数列中的任意一项。
在这个公式的基础上，也可以推得首项和公差的通用公式：2.首项公式：a1 = an - (n-1) * d3.公差公式：d = (an - a1) / (n-1)4.前n项和公式：Sn = (a1 + an) * n / 2二、等比数列的公式等比数列是指一个数列中每一项与它前面的一项之比都相等的数列。
根据等比数列的规律，我们可以得到一系列的公式：1.通项公式：an = a1 * q^(n-1)在等比数列中，首项为a1，公比为q。
这个公式是求等比数列中的任意一项。
在这个公式的基础上，也可以推得首项和公比的通用公式：2.首项公式：a1 = an / q^(n-1)3.公比公式：q = (an / a1)^(1/(n-1))4.前n项和公式：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)三、斐波那契数列的公式斐波那契数列是指一个数列中每一项都等于它前面两项的和的数列，其前几项依次为：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34……根据斐波那契数列的规律，我们可以得到一系列的公式：1.通项公式：fn = (1 / sqrt(5)) * ((1 + sqrt(5)) /2)^n - (1 / sqrt(5)) * ((1 - sqrt(5)) / 2)^n2.近似公式：fn ≈ (1 / sqrt(5)) * ((1 + sqrt(5))/ 2)^n根据斐波那契数列的通项公式，我们可以解决诸如求第n 项、求前n项和等问题；根据斐波那契数列的近似公式，我们可以快速地求出一个斐波那契数列中任意一项的近似值。
数列通项公式的五种求法
（n≥2），求 {an}的 通 项 公 式 。
解：因为 an＝a1＋2a2＋3a3＋……＋（n－1）an－1（n≥2）
①
所以 an＋1＝a1＋2a2＋3a3＋……＋（n－1）an－1＋nan
②
用②式－①式得 an＋1－an＝nan。
则
an＋1＝（n＋1）an（n≥2）故
an＋1 an
＝
2.在应用性质时要注意 性 质 的 前 提 条 件 ，有 时 需 要 进 行 适 当变形。
2a2，则
a2=a1， 又 知
a1=1，则
a2=1， 代 入 ③得
an=
n！ 2
（n≥2）。
≥1
综上，an 的通项公式为 an= n！ 2
n=1 n≥2 本题解题的关键是
把递推关系式
an+1=（n+1）an（n≥2）转 化 为
an+1 an
=n+1 （n ≥2）， 进
而求出
an an－1
·an－1 an－2
∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈
撼，难道他们不应该好好地了解这段历史吗？ 总之，历史情境的 设计必须切合教材和学生的实际，才能达到预期的目的，提高 学生对历史的兴趣。
四、用通俗生动的语言导入新课 语言的魅力无穷，教师通过对文字的艺术加工，用喜闻乐 见的形式生动地展示出来，学生乐于接受。 如讲初一历史《南宋 与金对峙时的中国》，我编了一段导言：“话说南宋高宗年间，天 下实不太平，战乱频起，这情形造就个英雄岳飞，他从小受母训 导，精忠报国，尽心尽力。 堰城大战，杀得那金人哭爹叫娘、溃不 成军，差点儿把金的头目兀术送上了黄泉路。 这兀术不甘心，巧
高中数学-求数列通项公式的十种方法
求数列通项公式的十一种方法总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法（逐差法）、 迭代法、 对数变换法、 倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、 数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、 特征根法二。
四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。
等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。
三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。
四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。
五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
一、累加法1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。
2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则21321(1)(2)()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得 111()nn k a a f n +=-=∑例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n nn n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
例2 已知数列{}n a 满足112313nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。