线性规划专题复习
高中数学简单线性规划复习题及答案(最全面)
简单线性规划复习题及答案（1）1、设,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥-020202y x y x y x ，则22y x ++的最大值为 452、设变量,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥-≤-+030201825y x y x y x ，若直线20kx y -+=经过该可行域，则k 的最大值为答案：13、若实数x 、y ，满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥123400y x y x ，则13++=x y z 的取值范围是]7,43[．4、设y x z +=，其中y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≥+k y y x y x 0002，若z 的最大值为6，则z 的最小值为5、已知x 、y 满足以下条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则22z x y =+的取值范围是 4[,13]56、已知实数,x y 满足约束条件1010310x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则22(1)(1)x y -+-的最小值为 127、已知,x y 满足约束条件1000x x y x y m -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，若1y x +的最大值为2，则m 的值为 58、表示如图中阴影部分所示平面区域的不等式组是⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≤-+0623063201232y x y x y x9、若曲线y ＝ x 2上存在点（x ，y ）满足约束条件20,220,x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪>⎩，则实数m 的取值范围是 (,1)-∞10、已知实数y ,x 满足10103x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =+的最小值为 －311、若,x y 满足约束条件10,0,40,x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则x y的最小值为 13. 12、已知110220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩，则22(2)(1)x y ++-的最小值为＿＿＿10＿13、已知,x y 满足不等式0303x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则函数3z x y =+取得最大值是 1214、已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，则z ＝2x ＋4y 的最小值是－615、以原点为圆心的圆全部在区域⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≥+-0943042063y x y x y x 内，则圆面积的最大值为 π51616、已知y x z k y x x y x z y x 42,0305,,+=⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤≥+-且满足的最小值为－6，则常数k = 0 . 17、已知,x y 满足约束条件，03440x x y y ≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩则222x y x ++的最小值是 118、在平面直角坐标系中，不等式组0,0,,x y x y x a +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩（a 为常数），表示的平面区域的面积是8，则2x y +的最小值 14-19、已知集合22{(,)1}A x y x y =+=，{(,)2}B x y kx y =-≤，其中,x y R ∈.若A B ⊆，则实数k 的取值范围是⎡⎣20、若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为 12-21、若实数x ，y 满足不等式组201020x y x y a -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，目标函数2t x y =-的最大值为2，则实数a 的值是 222、已知点(,)P x y 满足条件020x y x x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩，若3z x y =+的最大值为8，则实数k = 6- .23、设实数x , y 满足的最大值是则x y y y x y x ,03204202⎪⎩⎪⎨⎧≤->-+≤-- 23.24、已知实数y x , 22222)(y x y y x +++的取值范围为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+221,35．简单线性规划复习题及答案（2）1、设实数x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤--0205202y y x y x 则y x x y z +=的取值范围是 10[2,]3由于yx表示可行域内的点()x y ，与原点(00)，的连线的斜 率，如图2，求出可行域的顶点坐标(31)(12)A B ，，，， (42)C ，，则11232OA OB OC k k k ===，，，可见123y x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，结合双勾函数的图象，得1023z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，2、若实数,x y 满足不等式组22000x y x y m y ++≥⎧⎪++≤⎨⎪≥⎩，且2z y x =-的最小值等于2-，则实数m 的值等于 1-3、设实数x 、y 满足26260,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，则{}max 231,22z x y x y =+-++的取值范围是 [2,9]【解析】作出可行域如图，当平行直线系231x y z +-=在直线BC 与点A 间运动时，23122x y x y +-≥++，此时[]2315,9z x y =+-∈，平行直线线22x y Z ++=在点 O 与BC 之间运动时，23122x y x y +-≤++，此时，[]222,8z x y =++∈. ∴[]2,9z ∈图23 A yxOcB 634、佛山某家电企业要将刚刚生产的100台变频空调送往市内某商场，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供调配。
高三数学高考基础复习课件：第七章第3课时线性规划
延伸·拓展
4. 设 x≥0 ， y≥0 ， z≥0 ， p=-3x+y+2z ， q=x-2y+4z ，
x+y+z=1求点P(p,q)的活动范围.
【解题回顾】本题实际上是借助二元一次不等式表 示平面区域有关知识求解.不能将其转化为二元一次 不等式表示的平面区域问题是出错主要原因.
返回
5.某人上午7时，乘摩托艇以匀速V海里/时(4≤V≤20) 从A港出发到距50海里的B港去，然后乘汽车以匀速 W千米/时(30≤W≤100)自B港向距300千米的C市驶去， 应该在同一天下午4至9点到达C市.设汽车、摩托艇所
【解题回顾】(1)用线性规划的方法解题的一般步 骤是：设未知数、列出约束条件及目标函数、作 出可行域、求出最优解、写出答案.
(2)本例的关键是分析清楚在哪一个点取最大值. 可
以先将z=7x+12y化成 y- 7 x z ，利用直线的 12 12
斜截式方程可以看出在何处取得最大值.
3．要将两种大小不同的钢板截成A，B，C三种规 格，每张钢板可同时截成三种规格小钢板块数如下 表：
块数 规格
A
种类
第一种钢板
1
B
C
2
1
第二种钢板
1
1
3
每块钢板面积第一种1平方单位，第二种2平方单位， 今需要A，B，C三种规格的成品各式各12，15，27 块，问各截这两种钢板多少张，可得到所需三种规 格成品，且使所用钢板面积最小.
【解题回顾】由于钢板的张数为整数，所以必须寻 找最优整数解.调优的办法是在以z取得最值的附近 整数为基础通过解不等式组可以找出最优解.
2.线性规划 (1)对于变量x,y的约束条件，都是关于x,y的一次不 等式，称为线性约束条件，z=f(x,y)是欲达到最值 所涉及的变量x,y的解析式，叫做目标函数.当f(x,y) 是关于x,y的一次解析式时，z=f(x,y)叫做线性目标 函数. (2)求线性目标函数在约束条件下的最值问题称为 线性规划问题，满足线性约束条件的解(x,y)称为可 行解.由所有解组成的集合叫可行域，使目标函数 取得最值的可行解叫最优解.
线性规划基础
（3）、以此表为基础，请求出最优生产方案。
4．根据单纯形表判断解的类型。
（1）
Cj
0
0
0
0
-1
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
0
x1
10
1
1
1
0
0
-1
x5
20
0
-1
-2
-1
1
Zj
0
1
2
1
-1
Cj-Zj
0
-1
-2
-1
0
其中x5为人工变量，目标为max Z。
（2）
Cj
三．简答题
1．针对不同形式的约束（≥，=，≤）简述初始基本可行解的选取方法。
2．简述如何在单纯型表上判别问题是否具有唯一解、无穷多解、无界解或无可行解。
3．简述若标准型变为求目标函数最小，则用单纯形法计算时，如何判别问题已取得最优解。
四、解答题
1．找出下列线性规划问题的一组可行解和基本可行解。
（1）max Z = 40x1+45x2+24x3（2）min Z =x1-2x2+x3-3x4
15
20
25/ 3
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
20
x2
20
0
1
-1/3
1
-2/3
15
x1
20
1
0
1
-1
1
Zj
15
20
25/3
5
第三讲 线性规划(二)
定理：若检验数全小于等于零，且某一个非基变量 的检验数为0，则线性规划问题有无穷多最优解。 （无穷多最优解情况） 证明：设通过迭代已得最优解 X 0
按前述规则将非基变量 xm k 换入基变量中， 得到新基可行解 ，可知 仍为最优解。于是 X X 与 X 0连线上所有的点都是最优解。 X 命题成立。
B=(P3，P4 ，P5 ）=
1 0 0
0
0
1 0
0 1
x3, x4 , x5是基变量，x1,
x2,是非基变量。
用非基变量表示的方程： x3 = 8- x1 - 2x2 x4 = 16- 4x1 (I) x5 = 12 - 4x2 S = 0+ 2x1 +3x2 称(I) 为消去系统，
令非基变量 （ x1 , x2）T=（0，0） T 得基础可行解： x(1)=(0,0,8,16,12) T S1=0 经济含义：不生产产品甲乙，利润为零。 分析：S = 0+ 2x1 + 3x2 （分别增加单位产品甲、乙，目标函数 分别增加2、3，即利润分别增加2百元、 3百元。） 增加单位产品对目标函数的贡献， 这就是检验数的概念。
x1 = 2-x3+（1/2)x5 x4 = 8+ 4x3 -2 x5 x2 =3-(1/4) x5 S = 13-2x3+（1/4）x5
令新的非基变量（ x3，x5 ）=（0，0）T 得到新的基础可行解： x(3)=(2,3,0, 16 , 0) T S3=13 经济含义：生产甲产品2个，乙产品3个， 获得利润1300元。
增加单位产品甲（x2）比乙对目标函数 的贡献大（检验数最大），把非基变量 x2换成基变量，称x2为换入基变量，而 把基变量x5换成非基变量，称x5为换出 基变量。 （在选择出基变量时，一定保证消去系 统为正消去系统）（最小比值原则）
《线性规划》PPT课件
精选ppt
2
3.线性规划：在线性约束条件下 求线性目标函数的最值问题。
①.可行域：约束条件所确定的平 面区域。
②.目标函数：需求最值的二元一 次函数。
③.最优解：使目标函数取到最值 的点的坐标。
精选ppt
3
二.习题
1.原点和点(1,1)在直线x+y-a=0的
两侧，则a的取值范围是( C )。 A.(-∞，0)∪(2，+∞) B.{0,2} C.(0,2) D.［0,2］
最优解有无穷多个，则m的值为
(A ) A.4 B.2 C.0.5 D.不确定
②.求目标函数z=x2+y2取最小值
的最优解。
(1.精5选pp，t 1.5)
6
5.某家具公司生产甲、乙两种型
号的组合柜，每种柜的制造白坯
的时间分别为6、12，油漆时间分
别为8、4，生产能力是每天有制
坯时间与油漆时间分别为120、
2.
4 xx
3 y
y 12
1 表示的平面区域内的
y 0
整点个数有__5___个
精选ppt
4
3.不等式(x-2y+1)(x+y-3)<0表示 的平面区域是( D )
精选ppt
5
4.在约束条件
xy30 x 2y 4 0
下，
x y 3 0
①.生产一
组组合柜的利润甲、乙分别为20、
24问公司怎样安排生产可使所得
利润最大？
精选ppt
7
线性规划 一.复习 1.二元一次不等式表示区域：
Ax+By+C≥0表示 平面上直线 Ax+By+C=0的某 一侧(包括直线)。
高考数学一轮复习《线性规划》复习练习题(含答案)
高考数学一轮复习《线性规划》复习练习题（含答案）一、单选题1．若x ，y 满足1010330x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩，则4z x y =-的最小值为（ ）A ．-6B ．-5C ．-4D ．12．已知x ，y 满足不等式组240,3260,20,x y x y x y --≤⎧⎪--≤⎨⎪++≥⎩则23z x y =+的取值范围为（ ）A ．32,5⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．325,52⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．[)6,-+∞D ．5,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭3．设变量,x y 满足约束条件100240x y x y x y --≤⎧⎪+≥⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）A ．0B ．32C ．3D ．44．已知实数,x y 满足2030330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A ．112B ．5C ．52D ．35．若实数x ，y 满足约束条件110x y x y x +≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．26．若,x y 满足约束条件310x y x y x +≤⎧⎪-≤-⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．不等式44x y +<表示的区域在直线440x y +-=的（ ） A ．左上方B ．左下方C ．右上方D ．右下方8．已知实数x ，y 满足210,10,2,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪<⎩，则z =2x -y 的最小值是（ ）A ．5B ．52C ．0D ．-19．若实数x ，y 满足约束条件23023020x y x y x ++≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =-的最大值是（ ）A ．6-B ．2C ．4D ．610．已知动点(),P m n 在不等式组400x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩ 表示的平面区域内部及其边界上运动，则35n z m -=-的最小值（ ） A ．4 B ．13C ．53D ．311．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6个小时，假定它们在一昼夜的时间中随机到达，若两船有一艘在停泊位时，另一艘船就必须等待，则这两艘轮船停靠泊位时都不需要等待的概率为（ ） A ．1116B ．916C ．716D ．51612．若实数,x y 满足约束条件10210y x y x y ≤⎧⎪-≤⎨⎪++≥⎩，则z ）A ．1BCD二、填空题13．已知x ，y 满足约束条件1000x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则2z x y =-的最大值为_________．14．已知x 、y 满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则21x y z x ++=+的最小值是__________．15．在等差数列{}n a 中，125024a a a ≤≥-≤，，，则4a 的取值范围是______． 16．若实数,x y 满足约束条件102310y x x x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数3z x y =+的取值范围是__________ .三、解答题17．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.(1)设投资人用x 万元、y 万元分别投资甲、乙两个项目，列出满足题意的不等关系式，并画出不等式组确定的平面区域图形；(2)求投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？18．若变量x ，y 满足约束条件240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩(1)画出不等式组表示的平面区域； (2)求目标函数z =y +x 的最大值和最小值.19．已知点(),P x y 在圆()2211x y +-=上运动，(1)求12y x --的取值范围； (2)求2x ＋y 的取值范围．20．已知圆C ：222440x y x y +-+-=，直线l ：30mx y m -+-=()m R ∈与圆C 相交于A ､B 两点.(1)已知点(,)x y 在圆C 上，求34x y +的取值范围： (2)若O 为坐标原点，且2AB OC =，求实数m 的值.21．已知命题p ：0x ∃∈R ，()()2011(0)m x a a ++≤>，命题q ：x ∀，y 满足+1002x y x y -≤⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，m .(1)若q 为真命题，求m 的取值范围.(2)判断p ⌝是q 的必要非充分条件，求a 的范围22．2021年6月17日9时22分，我国“神舟十二号”载人飞船发射升空，展开为期三个月的空间站研究工作，某研究所计划利用“神舟十二号”飞船进行新产品搭载试验，计划搭载若干件新产品,A B 、要根据产品的研制成本、产品重量、搭载试验费用和预计收益来决定具体安排，通过调查，搭载每件产品有关数据如表:（1）试用搭载,A B 产品的件数,x y 表示收益z (万元);（2）怎样分配,A B 产品的件数才能使本次搭载实验的利润最大，最大利润是多少?23．设函数(),()x f x e g x ax b ==+，其中, a b R ∈．（Ⅰ）若1,1a b ==-，当1x ≥时，求证：()()ln f x g x x ≥；（Ⅱ）若不等式()()f x g x ≥在[1,)+∞上恒成立，求()2223a e b -+的最小值．24．对于函数()f x 和()g x ，设集合(){}0,R A x f x x ==∈，(){}0,R B x g x x ==∈，若存在1x A ∈，2x B ∈，使得12(0)x x k k -≤≥，则称函数()f x 与()g x “具有性质()M k ”.(1)判断函数()sin f x x =与()cos g x x =是否“具有性质1()2M ”，并说明理由；(2)若函数1()22x f x x -=+-与2()(2)24g x x m x m =+--+“具有性质(2)M ”，求实数m 的最大值和最小值；(3)设0a >且1a ≠，1b >，若函数1()log x bf x a x=-+与()log x b g x a x=-+“具有性质(1)M ”，求1212x x -的取值范围。
09数学运筹学复习题
09 级数学专业《运筹学》复习题 线性规划 一、填空题1. 线性规划模型包括 决策变量 、目标函数 、约束条件 三个要素。
2．线性规划问题的标准形式中， 约束条件取 等式， 目标函数求 最大 _，而所有决策变量 必须 非负 。
3．线性规划问题是求一个 线性目标函数 在一组 线性约束条件 下的最值问题。
4．线性规划问题的可行解是指满足 所有约束条件 _ 的解。
5．在线性规划问题中，基本可行解的非零分量所对应的列向量线性无关 。
6．在将线性规划问题的一般形式转化为标准形式时，引入的松驰变量在目标函数中的系数 为正。
7．如果线性规划问题存在目标函数为有限值的最优解，求解时只需在其 可行解 的集合中进行搜索即可得到最优解。
8．若线性规划问题有最优解，则最优解一定可以在可行域的9．图解法适用于含有 两个 _ 决策变量的线性规划问题。
11．在用图解法求解线性规划问题时， 最优解不唯一 。
12. 设线性规划模型的一般形式为 ， 其标准形式为 ， 其典式 。
13将线性规划模型化成标准形式时，” < "的约束条件要在不等式左 _端加入 松弛 变量。
14、 如果某个约束条件是” > "情形，若化为标准形式，需要引入一个 剩余 变量。
15、 线性规划的典式对应的表格表示被称为 单纯形表 。
16、 线性规划的代数解法只要运用了代数消去法的原理实现 基可行解 的转换，寻求最优解。
17、 在线性规划问题中，基变量的系数列向量为 单位列向量。
18、 对于求目标函数极大值而言，人工变量在目标函数的系数应为-1。
19 、对偶问题的对偶问题为 原问题 。
20、在一对对偶问题中，原问题的约束条件的右端常数是对偶问题的目标函数系数。
21 、在大 M 法中， M 表示充分大的正数。
22、 如果原问题的某个变量无约束，则对偶问题中对应的约束条件应为等式。
23、 在现性规划问题的基本解中，所有的非基变量等于 0 。
2022年新高考数学总复习：简单的线性规划
2022年新高考数学总复习：简单的线性规划Ax＋By＋C__＝0__上，另两类分居直线Ax＋By＋C＝0的两侧，其中一侧半平面的点的坐标满足Ax＋By＋C__>0__，另一侧半平面的点的坐标满足Ax＋By＋C__<0__.(2)二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的平面区域且不含边界，作图时边界直线画成__虚线__，当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包知识点一二元一次不等式表示的平面区域(1)在平面直角坐标系中，直线Ax＋By＋C＝0将平面内的所有点分成三类：一类在直线括边界直线，此时边界直线画成__实线__.知识点二二元一次不等式(组)表示的平面区域的确定确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．(1)直线定界，即若不等式不含__等号__，则应把直线画成虚线；若不等式含有__等号__，把直线画成实线．(2)特殊点定域，由于在直线Ax＋By＋C＝0同侧的点，实数Ax＋By＋C的值的符号都__相同__，故为确定Ax＋By＋C的值的符号，可采用__特殊点法__，如取(0,0)、(0,1)、(1,0)等点．由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的__公共部分__.知识点三线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的__不等式(组)__线性约束条件由x，y的__一次__不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数__解析式__，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的__一次__解析式可行解满足约束条件的解__(x，y)__可行域所有可行解组成的__集合__最优解使目标函数取得__最大值__或__最小值__的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的__最大值__或__最小值__问题归纳拓展1．判断二元一次不等式表示的平面区域的常用结论把Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0化为y>kx＋b或y<kx＋b的形式．(1)若y>kx＋b，则区域为直线Ax＋By＋C＝0上方．(2)若y<kx＋b，则区域为直线Ax＋By＋C＝0下方．2．最优解与可行解的关系最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解，最优解不一定存在，存在时不一定唯一．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集．(√)(2)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．(×)(3)点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)在直线Ax ＋By ＋C ＝0同侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )>0，异侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )<0.(√)(4)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy <0表示．(√)(5)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解．(√)(6)目标函数z ＝ax ＋by (a ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．(×)题组二走进教材2．(必修5P 86T3改编)－3y ＋6<0，－y ＋2≥0表示的平面区域是(C)[解析]x －3y ＋6<0表示直线x －3y ＋6＝0左上方部分，x －y ＋2≥0表示直线x －y ＋2＝0及其右下方部分．故不等式组表示的平面区域为选项C 所示部分．3．(必修5P 91练习T1(1)改编)已知x ，y ≤x ，＋y ≤1，≥－1，则z ＝2x ＋y ＋1的最大值、最小值分别是(C)A ．3，－3B ．2，－4C ．4，－2D ．4，－4[解析]作出可行域如图中阴影部分所示．A (2，－1)，B (－1，－1)，显然当直线l ：z ＝2x ＋y ＋1经过A 时z 取得最大值，且z max ＝4，当直线l 过点B 时，z 取得最小值，且z min ＝－2，故选C ．题组三走向高考4．(2020·浙江，3,4分)若实数x ，y x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≥0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是(B)A ．(－∞，4]B ．[4，＋∞)C ．[5，＋∞)D ．(－∞，＋∞)[解析]由约束条件画出可行域如图．易知z ＝x ＋2y 在点A (2,1)处取得最小值4，无最大值，所以z ＝x ＋2y 的取值范围是[4，＋∞)．故选B ．5．(2019·北京)若x ，y x ≤2，y ≥－1，4x －3y ＋1≥0，则y －x 的最小值为__－3__，最大值为__1__.[解析]由线性约束条件画出可行域，为图中的△ABC 及其内部．易知A (－1，－1)，B (2，－1)，C (2,3)．设z ＝y －x ，平移直线y －x ＝0，当直线过点C 时，z max ＝3－2＝1，当直线过点B 时，z min ＝－1－2＝－3.考点突破·互动探究考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域——自主练透例1(1)(2021·郑州模拟)在平面直角坐标系xOy ||≤|y |，||<1的点(x ，y )的集合用阴影表示为下列图中的(C)(2)(2021·四川江油中学月考)已知实数x ，y x ＋y －3≤0x －2y －3≤0，0≤x ≤4则其表示的平面区域的面积为(D)A ．94B ．272C ．9D ．274(3)x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围是(D)A ．a ≥43B ．0<a ≤1C ．1≤a ≤43D ．0<a ≤1或a ≥43[解析](1)|x |＝|y |把平面分成四部分，|x |≤|y |表示含y 轴的两个区域；|x |<1表示x ＝±1所夹含y 轴的区域．故选C ．(2)线性约束条件所表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A (0,3)B0，－32，C (3,0)，∴S ＝12|AB |·|OC |＝12×92×3＝274，故选D ．(3)x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示．且作l 1：x ＋y ＝0，l 2：x ＋y ＝1，l 3：x ＋y ＝43.由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l ：x ＋y ＝a 在l 1，l 2之间(包含l 2，不包含l 1)或l 3上方(包含l 3)．即a 的取值范围是0<a ≤1或a ≥43.名师点拨(1)画平面区域的步骤：①画线：画出不等式所对应的方程表示的直线．②定侧：将某个区域内的特殊点的坐标代入不等式，根据“同侧同号、异侧异号”的规律确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧，常用的特殊点为(0,0)，(±1,0)，(0，±1)．③求“交”：如果平面区域是由不等式组决定的，则在确定了各个不等式所表示的区域后，再求这些区域的公共部分，这个公共部分就是不等式组所表示的平面区域，这种方法俗称“直线定界，特殊点定域”．(2)计算平面区域的面积时，通常是先画出不等式组所对应的平面区域，然后观察区域的形状，求出有关的交点坐标、线段长度，最后根据相关图形的面积公式进行计算，如果是不规则图形，则可通过割补法计算面积．(3)判断不等式表示的平面区域和一般采用“代点验证法”．考点二简单的线性规划问题——多维探究角度1求线性目标函数的最值例2(2018·课标全国Ⅰ，13)若x ，y －2y －2≤0，－y ＋1≥0，≤0.则z ＝3x ＋2y 的最大值为__6__.[解析]本题主要考查线性规划．由x ，y 满足的约束条件画出对应的可行域(如图中阴影部分所示)．由图知当直线3x ＋2y －z ＝0经过点A (2,0)时，z 取得最大值，z max ＝2×3＝6.[引申1]本例条件下z ＝3x ＋2y 的最小值为__－18__.[解析]由例2－y ＋1＝0－2y －2＝0，∴B (－4，－3)，当直线y ＝－32x ＋12z ，过点B 时，z最小，即z min ＝－18.[引申2]本例条件下，z ＝3x －2y 的范围为__[－6,6]__.[解析]z ＝3x －2y 变形为y ＝32x －12z ，由本例可行域知直线y ＝32x －12z ，过A 点时截距取得最小值，而z 恰好取得最大值，即z ＝6.过B 点时截距取得最大值而z 恰好取得最小值，即z ＝－6，∴z ＝3x －2y 的范围为[－6,6]．[引申3]本例条件下，z ＝|3x －2y ＋1|的最大值为__7__，此时的最优解为__(2,0)__.[解析]由引申2得－6≤3x －2y ≤6，∴－5≤3x －2y ＋1≤7，∴0≤z ≤7，z 最大值为7，此时最优解为(2,0)．名师点拨利用线性规划求目标函数最值的方法：方法1：①作图——画出线性约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l .(注意表示目标函数的直线l 的斜率与可行域边界所在直线的斜率的大小关系)．②平移——将l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．③求值——解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．方法2：解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值．角度2由目标函数的最值求参数例3(1)(2021·东北三省三校模拟)已知实数x，y x－y－1≤0，－x＋2y－2≤0，2x＋y－2≥0，若目标函数z＝ax＋y(a>0)最大值为5，取到最大值时的最优解是唯一的，则a的取值是(C)A．14B．13C．12D．1(2)变量x，y x＋y≥0，x－2y＋2≥0，mx－y≤0，若z＝2x－y的最大值为2，则实数m等于(C)A．－2B．－1 C．1D．2[解析](1)x－y－1≤0，x－2y＋2≥0，2x＋y－2≥0，作可行域如图所示．目标函数z＝ax＋y可化为y＝－ax＋z，因为y＝－ax＋z表示斜率为－a的直线，且－a<0，由图形可知当y＝－ax＋z经过点C时，z取到最大值，这时点C坐标满足x－2y＋2＝0，x－y－1＝0，解得x＝4，y＝3，C点坐标为(4,3)，代入z＝ax＋y得到a＝12.故选C．(2)解法一：当m≤0时，可行域(示意图m<－1)如图中阴影部分所示，z＝2x－y⇔y＝2x－z，显然直线的纵截距不存在最小值，从而z不存在最大值，不合题意，当m>0时，可行域(示意图)如图中阴影部分所示．若m ≥2，则当直线z ＝2x －y 过原点时，z 最大，此时z ＝0，不合题意(故选C ．)若0<m <2，则当直线z ＝2x －y 过点A 时z 取最大值2，mx －y ＝0，x －2y ＋2＝0，x ＝22m －1，y ＝2m2m －1，即22m －1，2m2m －1.∴42m －1－2m 2m －1＝2，解得m ＝1.故选C ．解法二：画出约束条件x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0的可行域，如图，作直线2x －y ＝2，与直线x －2y ＋2＝0交于可行域内一点A (2,2)，由题知直线mx －y ＝0必过点A (2,2)，即2m －2＝0，得m ＝1.故选C ．[引申]在本例(1)的条件下，若z ＝ax ＋y 的最大值为4a ＋3，则a 的取值范围是－12，＋∞__.名师点拨求参数的值或范围：参数的位置可能在目标函数中，也可能在约束条件中．求解步骤为：①注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来；②在符合题意的可行域里，寻求最优解．也可以直接求出线性目标函数经过各顶点时对应参数的值，然后进行检验，找出符合题意的参数值．角度3线性规划中无穷多个最优解问题例4x ，y x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值一定为(C)A ．1B ．12C ．－1或2D ．2或12[分析]利用目标函数取得最大值的最优解有无数个，即目标函数对应的直线与可行域的边界重合．[解析]作出可行域(如图)，为△ABC 内部(含边界)．由题设z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一可知：线性目标函数对应直线与可行域某一边界重合．由k AB ＝－1，k AC ＝2，k BC ＝12可得a ＝－1或a ＝2或a ＝12，验证：a ＝－1或a ＝2时，成立；a ＝12时，不成立．故选C ．[引申]若z ＝y －ax 取得最小值的最优解不唯一，则实数a 的值为__12__.〔变式训练1〕(1)(角度1)(2020·课标Ⅰ，5分)若x ，y 2x ＋y －2≤0，x －y －1≥0，y ＋1≥0，则z ＝x ＋7y 的最大值为__1__.(2)(角度2)(2021·福建莆田模拟)若实数x ，y y ≥02x －y －1≥0x ＋y －m ≤0，且目标函数z ＝x －y 的最大值为2，则实数m ＝__2__.(3)(角度3)已知实数x ，y x －y ＋1≥0x ＋2y －8≤0x ≤3，若使得ax －y 取得最小值的可行解有无数个，则实数a 的值为__1或－12__.[解析](1)作出可行域如图，由z ＝x ＋7y 得y ＝－x 7＋z 7，易知当直线y ＝－x 7＋z7经过点A (1,0)时，z 取得最大值，z max ＝1＋7×0＝1.(2)由线性约束条件画出可行域(如图所示)，∵目标函数z ＝x －y 的最大值为2，由图形知z ＝x －y 经过平面区域的A 时目标函数取得最大值2，－y ＝2＝0，解得A (2,0)，∴2－m ＝0，则m ＝2，故答案为2.(3)作出可行域如图中阴影部分所示，记z ＝ax －y ⇒y ＝ax －z .当直线y ＝ax －z 纵截距最大时，z 最小，此时a ＝1或－12.考点三线性规划的实际应用——师生共研例5(2020·试题调研)某研究所计划利用“神舟十一号”飞船进行新产品搭载试验，计划搭载若干件新产品A ，B ，要根据产品的研制成本、产品重量、搭载试验费用和预计收益来决定具体安排，通过调查，搭载每件产品有关数据如表：因素产品A 产品B 备注研制成本、搭载试验费用之和(万元)2030计划最大投资金额300万元产品重量(千克)105最大搭载质量110千克预计收益(万元)8060——则使总预计收益达到最大时，A ，B 两种产品的搭载件数分别为(A )A ．9,4B ．8,5C ．9,5D ．8,4[解析]设“神舟十一号”飞船搭载新产品A ，B 的件数分别为x ，y ，最大收益为z 万元，则目标函数为z ＝80x＋60y .根据题意可知，约束条件为x ＋30y ≤300，x ＋5y ≤110，≥0，≥0，，y ∈N ，x ＋3y ≤30，x ＋y ≤22，≥0，≥0，，y ∈N ，不等式组所表示的可行域为图中阴影部分(包含边界)内的整数点，作出目标函数对应直线l ，显然直线l 过点M 时，z 取得最大值．x ＋3y ＝30，x ＋y ＝22，＝9，＝4，故M (9,4)．所以目标函数的最大值为z max ＝80×9＋60×4＝960，此时搭载产品A 有9件，产品B 有4件．故选A ．名师点拨利用线性规划解决实际问题的一般步骤(1)审题：仔细阅读，明确题意，借助表格或图形理清变量之间的关系．(2)设元：设问题中要求其最值的量为z ，起关键作用的(或关联较多的)量为未知量x ，y ，并列出约束条件，写出目标函数．(3)作图：准确作出可行域，确定最优解．(4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)．(5)检验：根据结果，检验反馈．〔变式训练2〕(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为__216000__元．[解析]设生产产品A x件，产品B y≥0，y≥0，x＋0.5y≤150，＋0.3y≤90，x＋3y≤600，设生产产品A，产品B的利润之和为z元，则z＝2100x＋900y.画出可行域(如图)，易知＝60，＝100，则z max＝216000.名师讲坛·素养提升非线性目标函数的最值问题例6(1)(2016·江苏高考)已知实数x，y－2y＋4≥0，x＋y－2≥0，x－y－3≤0，则x2＋y2的取值范围是__45，13__.(2)(2021·河南中原名校质量考评)若方程x2＋ax＋2b＝0的一个根在区间(0,1)内，另一根在区间(1,2)内，则b－3a－2的取值范围是(D)A．25，1B．1，52CD[分析](1)本题中x2＋y2的几何意义是点(x，y)到原点的距离的平方，不能遗漏平方．(2)b－3a－2表示点(a，b)与(2,3)连线的斜率k，根据题意列出a、b应满足的约束条件，在此约束条件下求k的取值范围即可．[解析](1)不等式组所表示的平面区域是以点(0,2)，(1,0)，(2,3)为顶点的三角形及其内部，如图所示．因为原点到直线2x ＋y －2＝0的距离为25，所以(x 2＋y 2)min ＝45，又当(x ，y )取点(2,3)时，x 2＋y 2取得最大值13，故x 2＋y 2的取值范围是45，13.(2)记f (x )＝x 2＋ax ＋2b ，0)>0，1)<0，2)>0.>0，＋2b ＋1<0，＋b ＋2>0.作出可行域如图中阴影部分所示．＋2b ＋1＝0＋b ＋2＝0＝－3＝1，∴C (－3,1)，显然A (－1,0)，B (－2,0)b －3a －2表示点(a ，b )与点(2,3)连线的斜率，由图可知当(a ，b )取(－1,0)时，b －3a －2＝1；当(a ，b )取(－3,1)时，b －3a －2＝25，∴b －3a －2的取值范围是D ．[引申]在本例(1)条件下：①x 2＋(y ＋1)2的最小值为__2__；②y ＋1x ＋1的取值范围是__12，3__；③x ＋2y ＋1x ＋3的取值范围是__12，95__.[解析]①由图可知当(x ，y )取点(1,0)时，x 2＋(y ＋1)2取最小值2；②y ＋1x ＋1表示点(x ，y )与点(－1，－1)连线的斜率．由图可知当(x ，y )取点(1,0)时，y ＋1x ＋1取最小值12，当(x ，y )取点(0,2)时，y ＋1x ＋1取最大值3，∴y ＋1x ＋1的取值范围是12，3.③x ＋2y ＋1x ＋3＝1＋2·y －1x ＋3，y －1x ＋3表示(x ，y )与点(－3,1)连线的斜率，－2y ＋4＝0，x －y －3＝0，得＝2，＝3，∴B (2,3)．由图可知(x ，y )取(1,0)时y －1x ＋3，取最小值－14，(x ，y )取点(2,3)时，y －1x ＋3取最大值25.∴x ＋2y ＋1x ＋3的取值范围是12，95.名师点拨非线性目标函数最值的求解(1)对形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2型的目标函数均可化为可行域内的点(x ，y )与点(a ，b )间距离的平方的最值问题．(2)对形如z ＝ay ＋bcx ＋d(ac ≠0)型的目标函数，可先变形为z ＝ac ·x为求可行域内的点(x，y)－dc，－连线的斜率的ac倍的取值范围、最值等．(3)对形如z＝|Ax＋By＋C|型的目标函数，可先求z1＝Ax＋By的取值范围，进而确定z＝|Ax＋By＋C|的取值范围，也可变形为z＝A2＋B2·|Ax＋By＋C|A2＋B2的形式，将问题化为求可行域内的点(x，y)到直线Ax＋By＋C＝0的距离的A2＋B2倍的最值，或先求z1＝Ax＋Bx＋C的取值范围，进而确定z＝|Ax＋By＋C|的取值范围．〔变式训练3〕(1)(2021·百校联盟尖子生联考)已知x，y ＋y≤2≤2x＋2，≥0则(x－2)2＋(y－1)2的取值范围为__12，10__.(2)(2021·河南省八市重点高中联考)若x，y满足2y≤x≤y－1，则y－2x的取值范围是(B)A∪32，＋∞B，32C－∞，12∪32，＋∞D．12，32[解析](1)可行域如图阴影部分，M＝(x－2)2＋(y－1)2的几何意义是点(2,1)与可行域中点的距离，最小值为点(2,1)到x＋y－2＝0的距离|2＋1－2|2＝22，最大值为点(2,1)与点(－1,0)的距离10，所求M2的取值范围是12，10.(2)由x，y满足2y≤x≤y－1，作可行域如图，2y ＝x x ＝y －1，解得A (－2，－1)．∵y －2x 的几何意义为可行域内的动点与Q (0,2)，连线的斜率，∴动点位于A 时，y －2x max ＝32，直线2y ＝x 的斜率为12，则y －2x的取值范围12，32.故选B ．。
高中数学线性规划练习题及讲解
高中数学线性规划练习题及讲解线性规划是高中数学中的一个重要概念，它涉及到资源的最优分配问题。
以下是一些线性规划的练习题，以及对这些题目的简要讲解。
### 练习题1：资源分配问题某工厂生产两种产品A和B，每生产一件产品A需要3小时的机器时间和2小时的人工时间，每生产一件产品B需要2小时的机器时间和4小时的人工时间。
工厂每天有机器时间100小时和人工时间80小时。
如果产品A的利润是每件50元，产品B的利润是每件80元，工厂应该如何安排生产以获得最大利润？### 解题思路：1. 首先，确定目标函数，即利润最大化。
设生产产品A的数量为x，产品B的数量为y。
2. 目标函数为：\( P = 50x + 80y \)。
3. 根据资源限制，列出约束条件：- 机器时间：\( 3x + 2y \leq 100 \)- 人工时间：\( 2x + 4y \leq 80 \)- 非负条件：\( x \geq 0, y \geq 0 \)4. 画出可行域，找到可行域的顶点。
5. 计算每个顶点的目标函数值，选择最大的一个。
### 练习题2：成本最小化问题一家公司需要生产两种产品，产品1和产品2。
产品1的原材料成本是每单位10元，产品2的原材料成本是每单位15元。
公司每月有原材料预算3000元。
如果公司希望生产的产品总价值达到最大，应该如何分配生产？### 解题思路：1. 设产品1生产x单位，产品2生产y单位。
2. 目标函数为产品总价值最大化，但题目要求成本最小化，所以实际上是求成本最小化条件下的产品组合。
3. 约束条件为原材料成本：\( 10x + 15y \leq 3000 \)4. 非负条件：\( x \geq 0, y \geq 0 \)5. 画出可行域，找到顶点。
6. 根据实际情况，可能需要考虑产品1和产品2的市场价格，以确定最大价值。
### 练习题3：运输问题一个农场有三种作物A、B和C，需要运输到三个市场X、Y和Z。
新课标如何复习线性规划问题
新课标如何复习线性规划问题和以往的高考相比，新课标下的高考更加注重对知识的探究过程，更加体现了知识在现实生活中的应用.随着这样的趋势，充分体现数形结合思想和应用的线性规划就成了一个考试的重点、热点.那么在高考复习中应该如何应对呢？首先应该抓好有关知识的复习，尤其是直线的知识、不等式的知识。
这是线性规划的基础，要充分地应用进来.一般的，不等式ax ＋by＋c＞0在平面区域中，表示直线ax＋by＋c＝0某一侧的所有点组成的平面区域（开半平面），且不含边界线；不等式ax＋by＋c ≥0所表示的平面区域包括边界线（闭半平面）.其次要复习好有关线性规划问题的各种类型。
主要有这样一些类型：（1）有关不等式组所表示的平面区域的问题，比如求面积等；（2）正用和逆用线性规划思想解决参数的问题；（3）有关线性目标函数在线性约束条件下的最值问题.利用线性规划和几何意义来解决有关的最值，这方面的几何意义多种多样，比如有的可用两点间的距离，有的可用直线的斜率，有的用到点到直线的距离来寻找最优解等；（4）解决实际生活中的最优化问题.就有关这一方面的问题可以从以下几个方面来体现.一、有关不等式组表示的区域问题1.在平面直角坐标系中，若不等式组x+y-1≥0，x-1≤0，ax-y+1≤0（a为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为（）a.-5b.1c.2 d.3解析：由y=ax+1，x=1，可得a（1，a+1）.由x+y-1=0，x=1，可得b（1，0）.由y=ax+1，x+y-1=0，可得c（0，1）.因为三角形的面积为2，且a>-1，可得s△abc=■a+1=2，a=3.2.已知二次函数y＝ax2＋bx＋a的图象与x轴有两个不同交点，试在aob坐标平面内画出点（a，b）所在的平面区域．解析：由题意，得b2－4a2＞0，即（2a＋b）（2a－b）＜0，所以2a+b>0，2a-b0.点（a，b）所在的平面区域如右图所示．评析：要掌握二元一次不等式表示平面区域的方法，以及给定平面区域用不等式表示．二、有关线性目标函数在线性约束条件下的最值利用线性规划和几何意义来解决有关的最值，这方面的几何意义多种多样，比如用两点间的距离，或用直线的斜率，还有的用点到直线的距离来寻找最优解等.3.已知x，y满足：2x+y-2≥0，x-2y+4≥0，3x-y-3≤0.求：（1）z1＝x＋y的最大值；（2）z2＝x－y的最大值；（3）z3＝x2＋y2的最小值；（4）z4＝的取值范围；（5）z5＝|2x+y+2|的最大值.解：如下图，作出已知不等式组表示的平面区域．易求得m（2，3），a（1，0），b（0，2）．（1）作直线x＋y＝0的等值线，通过平移可知在m点，z1有最大值5.（2）作直线x－y＝0的等值线，通过平移可知在a点，z2有最大值1.（3）x2＋y2可看作（x，y）与（0，0）两点线段长的平方。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结线性规划是一种数学优化方法，用于在给定的约束条件下，寻找一个线性模型的最优解。
它在各个领域都有广泛的应用，包括经济学、管理学、工程学等。
一、线性规划的基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。
通常表示为Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn。
2. 决策变量：表示问题中需要决策的变量，通常用x1, x2, ..., xn表示。
3. 约束条件：线性规划问题必须满足一定的约束条件，这些约束条件可以是等式或不等式。
例如，Ax ≤ b 或 Ax = b。
4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
5. 最优解：在所有可行解中，使目标函数达到最大或最小值的解称为最优解。
二、线性规划的解法1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以使用图形法进行求解。
首先绘制约束条件的图形，然后找到目标函数的等高线，最后确定最优解的位置。
2. 单纯形法：对于多维线性规划问题，可以使用单纯形法进行求解。
单纯形法是一种迭代算法，通过不断移动到更优的解来寻找最优解。
3. 整数规划：当问题的决策变量需要取整数值时，称为整数规划。
整数规划问题的求解相对更复杂，可以使用分支定界法等方法进行求解。
三、线性规划的应用1. 生产计划：线性规划可以用于优化生产计划，例如确定每个产品的生产数量，以最大化利润或最小化成本。
2. 运输问题：线性规划可以用于解决运输问题，例如确定货物从不同地点到达目的地的最佳路径和运输量。
3. 投资组合：线性规划可以用于优化投资组合，例如确定不同资产的投资比例，以最大化收益或最小化风险。
4. 供应链管理：线性规划可以用于优化供应链管理，例如确定不同供应商的采购量和价格，以最小化总成本。
5. 能源优化：线性规划可以用于能源优化，例如确定不同能源来源的使用量，以最大化能源效率。
四、线性规划的局限性1. 线性假设：线性规划基于线性假设，即目标函数和约束条件都是线性的。
高考数学复习考点题型专题讲解 题型24 线性规划(解析版)
高考数学复习考点题型专题讲解题型：线性规划【高考题型一】：线性规划求最值。
『解题策略』：确定线性区域：二元一次不等式0(0)Ax By C ++><区域的确定只与系数B 有关，当B 与后面的符号一致在直线上方，不一致在直线下方，或简记为“同上异下”，或通过移项等方式把B 变为正值，若0>，则在直线上方；若0<，则在直线下方。
另注意实虚线(有等号为实线)。
【题型1】：构造截距求最值。
『解题策略』：对于线性目标函数：a z z ax by y x b b=+⇒=-+，可看作直线平行移动穿过可行域时截距的范围。
注意：①可行域边界的斜率与平行直线系斜率的大小比较，然后确定直线平移规律；②b 的符号，当0b >时，当直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 最大；反之，z 最小。
当0b <时，与上面正好相反，且0b <是考生最容易出错的一个知识点。
1.(2009年新课标全国卷6)设y x ,满足:⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+22142y x y x y x ,则y x z += ( ) A.有最小值2,最大值3 B.有最小值2,无最大值C.有最大值3,无最小值D.既无最小值,也无最大值【解析】：如图画出区域，选B。
2.(2012年新课标全国卷14)设,x y满足约束条件,013x yx yx y≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩；则2z x y=-的取值范围为。
【解析】：画出区域可得取值范围为[]3,3-。
3.(2013年新课标全国卷II9)已知0>a，yx,满足约束条件()133xx yy a x⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若yxz+=2的最小值为1，则a= ( )A.14B.12C.1D.2【解析】：画出区域，选B。
4.(2016年新课标全国卷III13)若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥+-0220201y x y x y x ，则y x z +=的最大值为 。
线性规划问题复习策略
【 ２ 下面给出的四个点中， 例 】 到直线 Ｊ ＝ ＿件１０ 的足 离为 ， 巨 且位于（ 一１ ） 的平面区域 例 】 ） — —１ ０
是 （
， 表示的平面区域
ｌ， Ｕ ＞
内 的点 是 （ ）
、
ｎ
＼ ‘
（ 画作实线） ０ 示直线ｘ ｙ ＝ 的右下方 — —ｌ 表 — 一１０
区域， 即为 Ｃ中下方区域．
Ｉ
（０ 一 １）一
同可作｛一 不区． ， 样以出： 的域 此 Ｌ－０ １所 —Ｊ 表 因 ＞ ｙＳ Ｕ
选择 答 案 Ｃ ．
由￣＝ １ ｘ－ ｙ
一
１ ，
截距睾的 最值问 从而确定 的最 注意 的正 题， ｚ 值（ ｚ
负号 ） ．
ｙ
／Ｊ ＼ ） 如 ＼
／ ０ Ｉ ＼
Ｃ
【 解析】 方法一 、 此题是两个因式的积小于或 等于零 ， 即为两个 因式 的符号相 反．
－
ｌ ０１ （， Ｊ
ｔ… ， 。
，
１
ｙ
归
ｆ － ｉ 一 ｘ ｌ 一 ｌ或 Ｓ Ｖ之．： — ＬＶ Ｕ — 。
Ｕ
１ ０ ￣
先 画出直线 一ｌｏ画作 实线） ｙ － 表 ＝（ 一１ ０ ＜ 示直线 什ｙ ＝ 的左下方区域． 一１ ０ 画出直线 ＝ — 一１０
ｌ
讲练
线 性 规 划 问 题 复 习策 略
一 鲍 齐双
线性规划 问题是高中教材 中新增 内容， 也是高 考热点考点之一． 主要考察学生分析 问题解 决问题 的能力和技巧． 线性规划实际上是在可行域 内寻找 线性 目标函数 的最优解及有关 问题． 它是代数方法
值” 的方法． 把点（２ 入不等式 １玳 ，
运筹学[第一章线性规划与单纯形法]山东大学期末考试知识点复习
![运筹学[第一章线性规划与单纯形法]山东大学期末考试知识点复习](https://img.taocdn.com/s3/m/83512a81ba0d4a7303763a31.png)
第一章线性规划与单纯形法1．线性规划问题的数学模型(1)一般形式(2)标准型式]2．数学模型化为标准型(1)若目标函数实现最小化，则min z=-max z'(令z'=-z)(2)若约束方程为不等式，则若约束方程为“≤”不等式左端+松驰变量(≥0)=右端若约束方程为“≥”不等式左端-剩余变量(≥0)=右端(3)若存在取值无约束的变量x k(1≤k≤咒)，则在标准型中x k=x'k-x"k(其中x k=x'，x"k≥0)3．线性规划的解线性规划问题：(1)可行解：满足约束条件②和③的解X=(x1，x2，…，x n)T。
(2)最优解：使目标函数①达到最大值的可行解。
(3)基：设A为约束方程组②的m×n阶系数矩阵，设n＞m，其秩为m，B 为矩阵A中的一个m×m阶的满秩子矩阵，则称B为线性规划问题的一个基。
不失一般性，设B中每一个列向量P j(j=1，2，…，m)称为基向量，与基向量PJ对应的变量x j称为基变量。
除基变量以外的变量为非基变量。
(4)基本解：在约束方程组②中，令所有非基变量x m+1=x m+2=…=x n=0，此时方程组②有唯一解X B=(x1，x2，…，x m)T，将此解加上非基变量取0的值有X=(x1，x2，…，x m，0，0…，0)T，称X为线性规划问题的基本解。
(5)基本可行解：满足非负条件③的基本解。
(6)可行基：对应于基本可行解的基。
4．初始基可行解的确定(1)直接从A中观察到存在一个初始可行基。
(2)对所有约束条件是“≤”形式的不等式，可利用化为标准型的方法，在每个约束条件左端加上一个松弛变量，这m个松弛变量就构成一个基变量，则对应的m个向量组成的单位矩阵B就是线性规划问题的一个可行基。
(3)对所有约束条件是“≥”形式的不等式以及等式约束情况，采用人造基的方法。
即对不等式约束的左端减去一个非负的剩余变量后，再加上一个非负的人工变量；对于等式约束的左端再加上一个非负的人工变量。
线性规划复习
课题：线性规划复习【课前预习】一、选择题：1、已知点（-3，-1）和（4，-6）在直线 -3x+2y+a=0的两侧，则a 取值范围是 （ ）A. a ∈（-24，7）B. a ∈（-7， 24）C. a ∈（-∞，-7）∪（24，+∞）D. a ∈（-∞，-24）∪（7，+∞）2、|x|+|y|≤1 是⎩⎨⎧≤≤1||1||y x 的 （ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要3、约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0,0621052y x y x y x 所表示的区域中，整点（即纵、横坐标均为整数的点）共有________________个4、已知y x ,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+003242y x y x y x ，则线性目标函数y x W 3+=的最小值为__________5、已知x,y,a,b 满足条件：0,0,0,0≥≥≥≥b a y x ,2x+y+a=6,x+2y+b=6（1）试画出（y x ,）的存在的范围； （2）求y x 32+的最大值。
6、某承包户承包了两块鱼塘，一块准备放养鲫鱼，另一块准备放养鲢鱼，现目前这位承包户只有鱼饲料A,B,C 分别是120克，50克，144克，问如何放养这两种鱼苗，才能使成鱼的重量最重。
【例题讲解】例1、已知y x ,满足条件：⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≤--0104011702357y x y x y x求：（1）y x 34-的最大值和最小值；（2）求22y x +的最大值和最小值例2、设变量y x ,满足条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>∈∈≤+<+0,0,1141023y x Z y Z x y x y x 求y x S 45+=的最大值。
例3、要把两种规格的包装箱装到车长12米、载重为40吨的铁路平板车上，现知这两种包装箱的宽和高恰好与平板车的宽和高一样，但这两种包装箱长大的运费。
班级_____________ 姓名___________ 学号_____________【课后作业】1、已知y x ,均为非负整数，则满足5≤+y x 的点（y x ,）共有 （ ）A. 6个B. 15个C. 21个D.无数多个2、在ΔABC 中三个顶点坐标A （2，4），B （-1，2），C （1，0），点P 在ΔABC 内部及其边界上运动，则W=y-x 的取值范围是 （ ）A. [1，3]B. [- 3，1]C. [- 1，3]D. [- 3，1]3、不等式|x+2|+|y-1|1≤表示的平面区域的面积是__________________4、设,4)1(2,2)1(1,)(2≤≤≤-≤+=f f 若bx ax x f 则)2(-f 的最小值 是__________， 最大值是_____________5、某工厂有甲、乙、丙三个车间都生产A 、B 两种产品，根据以前的生产情况，得知生产每件产品所需车间的工作小时数，每个车间在一个季度工作小种产品的指标，才能使该厂在一个季度的生产总值最大。
运筹学第1章线性规划及单纯形法复习题
max (min)
Z = CX
AX ≤ ( = , ≥ ) b X ≥ 0
3、线性规划的标准形式 、
ma0
4、线性规划问题的解 、 （一）求解方法
一 般 有 两种方法 图 解 法 单纯形法 两个变量、 两个变量、直角坐标 三个变量、 三个变量、立体坐标
适用于任意多个变量、 适用于任意多个变量、但需将 一般形式变成标准形式
（二）线性规划问题的解
1、解的概念 可行解：满足约束条件② 的解为可行解。 ⑴ 可行解：满足约束条件②、③的解为可行解。 所有解的集合为可行解的集或可行域。 所有解的集合为可行解的集或可行域。 最优解： 达到最大值的可行解。 ⑵ 最优解：使目标函数①达到最大值的可行解。 ⑶ 基：B是矩阵A中m×m阶非奇异子矩阵 是矩阵A ≠0）， ），则 是一个基。 （∣B∣≠0），则B是一个基。
§2 图 解 法
例一、 例一、 max
Z = 2 x 2 x 2 x 4 x
2 2 1
+ 3 x
2
2 x1 + x + 1 4 x1 x1 ≥
≤ 12 ≤ 8 ≤ 16 ≤ 12
2
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
2
0, x
≥ 0
max
Z = 2 x1 + 3 x 2 x 2 x
2 2
当xj=0时, 必有 j=zj=0, 因此 时 必有y
∑P x = ∑P y = ∑P z
j =1
r
r
r
r
j
j
j =1
j
j
j =1
j
j
=b
∑(y
j =1
j
− z j ) Pj = 0
规划复习题
复习题一、判断题22112(1)min ,..(1,2,,;1,2,,)m ni i j j i j i i ijf a x b y s t x y c i m j m ===++≤==∑∑是线性规划模型 （ ） (2)两个基最优解线段上的点为最优解． （ ）（3）若12,x x 是某线性规划问题的可行解，则1122121x x x λλλλ=++=（其中）也必是该问题的可行解； （ ）(4)如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解． （ ）(5)已知线性规划问题0≥≤=x ,b Ax ,cx f max ，若x 是它的一个基解，y 是其对偶问题的基解，则恒有yb cx ≤． （ ）（6）线性规划问题的基础解对应可行域的顶点； ( )（7）若线性规划问题的对偶问题无可行解，则原问题也一定无可行解． ( )（8）若21,X X 是某线性规划问题的最优解，则12(101x x x λλλ=+-≤≤）（）也是该问题的最优解；( )（9）用单纯形法求解标准型的线性规划问题，当所有检验数01≤--c A B c B 时，即可判定表中解即为最优解； ( )（10）若线性规划问题的原问题存在可行解，则其对偶问题必存在可行解． ( )11. 如果线性规划问题的可行域非空有限，则其最优目标值一定在可行域的极点上达到. ( )12. 若可行基B 不是线性规划问题的最优可行基，则至少一个基变量可以出基. ( ) 13. 原问题与对偶问题有一个无可行解，则两者都无最优解. ( ) 14. 在基础可行解中，非基变量一定为零. ( ) 15. 没有对流的调运方案一定为最优方案. ( ) 16. 对偶单纯形法解线性规划问题时，每次换基迭代要求单纯形表中检验数都不大于零. ( )17. 使用两阶段法求解线性规划问题时，当所有的检验数0≤i λ，在基变量中仍含有非零的人工变量，表明该线性规划问题有无界解. ( ) 18. 两个基础最优解线段上的点为最优解. ( ) 19. 若线性规划问题的对偶问题无可行解，则原问题也一定无可行解. ( ) 二、填空题1、设线性规划问题)(L 的一个基),(31p p B =的单纯形表)(B T 如下：（1）当 时，基B 是可行基，在此情况下当 时，)(L 无最优解； （2）当 时，基B 是最优基；（3）当 时，基B 是对偶可行基，在此情况下当 时，)(L 无可行解.2、解某线性规划时得如下单纯形表：由此表可知：（1）当 A 、D 、C 满足： 时，B 为最优可行基 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三章专题复习(2）
(线性规划专题）
考点分析：求直线的方程；判断二元一次不等式表示的平面区域；函数()παα,0,tan ∈=k 的图像和性质；当直线的倾斜角变化时会求斜率的取值范围（或反之）；会求二元一次不等式组表示的可行域的面积；能利用可行域列出对应的二元一次不等式组；理解含参数的直线的变化规律；理解三种最值问题的求法。
典型例题：
例1.画出下列不等式（组）表示的区域
（1）.⎪⎩
⎪⎨⎧≤+>≥51y x x x y （2）022≤-x y
例2求由不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0,0625y x y x y x 确定的平面区域的面积。
例3.设y x ,满足条件⎪⎩
⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，试求下列各式的最值
考题猜想：
1.目标函数y x z -=3，将其看成直线的方程时，z 的意义是（ ）
A.该直线的截距
B.该直线的纵截距
C.该直线的纵截距的相反数
D.该直线的横截距
2.若2m ＋2n<4，则点(m ，n)必在( )
A ．直线x ＋y －2＝0的左下方
B ．直线x ＋y －2＝0的右上方
C ．直线x ＋2y －2＝0的右上方
D ．直线x ＋2y －2＝0的左下方
3.在ABC ∆中，三个顶点分别是()()()0,1,2,1,4,2C B A -，点P ()y x ,在ABC ∆的内部及其边界上运动，则x y -的取值范围是（ ）
A.[]3,1
B.[]1,3-
C.[]3,1-
D.[]1,3--
4.实数y x ,满足不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧≥--≥-≥02200y x y x y 则11+-=x y w 的取值范围是（ ） A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,1 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,21 C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,21 D.⎪⎭
⎫⎢⎣⎡-1,21 5.在平面直角坐标系中，若点(－2，t)在直线x －2y ＋4＝0的上方，则t 的取值范围是( )
A ．(－∞，1)
B ．(1，＋∞)
C ．(－1，＋∞)
D ．(0,1) 6.设x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数z=ax+by （a>0，b>0）的最大值为12，则
b
a 32+的最小值为( ). A.625 B.38 C.311 D. 4 7.若不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧≤+≥+≥43430y x y x x 所表示的平面区域被直线34+=kx y 分为面积相等的两部分，k 的值是 ( )
（A ）37 （B ） 73 （C ）34 （D ）4
3 8.在平面直角坐标系中，若不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧≥+-≤-≥-+010101y ax x y x （a 为常数）所表示的平面区域内的面
积等于2，则a 的值为( )
A. -5
B. 1
C. 2
D. 3
9.已知⎪⎩
⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-0520402y x y x y x ，求：
（1）42-+=y x z 的最大值；
（2）251022+-+=y y x z 的最小值；
（3）1
12++=x y z 的范围。
10.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18
吨．求企业可获得最大利润.。