第九章 状态空间分析方法基础.ppt
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《Simulink与控制系统仿真(第3版)》的课件 线性系统状态空间分析和非线性系统分析
通过本章，读者能了解非线性系统的发展概况、非线性 系统的数学描述和特性、非线性系统的研究方法和特点 ，掌握非线性系统分析和设计的基本概念和方法以及利 用MATLAB/Simulink对非线性系统进行分析。
11.2 非线性系统概述
含有非线性元件或环节的系统称为非线性系统。非线性特性包括 许多类型，典型的静态非线性特性包括死区非线性、饱和非线性、 间隙非线性和继电非线性。
采用MATLAB绘制相轨迹图
绘制相轨迹图的实质是求解微分方程的解。求解微分方程数 值解的算法有多种，MATLAB提供了求解微分方程的函数组， 常用的有ode45，它采用的计算方法是变步长的龙格-库塔4/5 阶算法。 ode45()常用的调用格式如下： [t, y]=ode45(odefun, tspan, y0) 在用户自己编写的MATLAB函数中既可以描述线性系统特性， 也可以描述非线性系统特性。
Relay：继电非线性； Saturation：饱和非线性； Saturation Dynamic：动态饱和非 线性；
Wrap To Zero：环零非线性。
11.3 相平面法
应用相平面法分析一阶尤其是二阶非线性控制系统，弄清非线性系统的稳定 性、稳定域等基本属性以及解释极限环等特殊现象，具有非常直观形象的效 果。 由于绘制二维以上的相轨迹十分困难，因此相平面法对于二阶以上的系统几 乎无能为力，这是相平面法的局限。
11.2.3 Simulink中的非线性模块
Backlash：间隙非线性； Coulomb&Viscous Friction：库仑 和黏度摩擦非线性；
Dead Zone：死区非线性； Dead Zone Dynamic：动态死区 非线性；
Hit Crossing：冲击非线性； Quantizer：量化非线性； Rate Limiter：比例限制非线性； Rate Limiter Dynamic：动态比例 限制非线性；
11.2 非线性系统概述
含有非线性元件或环节的系统称为非线性系统。非线性特性包括 许多类型，典型的静态非线性特性包括死区非线性、饱和非线性、 间隙非线性和继电非线性。
采用MATLAB绘制相轨迹图
绘制相轨迹图的实质是求解微分方程的解。求解微分方程数 值解的算法有多种，MATLAB提供了求解微分方程的函数组， 常用的有ode45，它采用的计算方法是变步长的龙格-库塔4/5 阶算法。 ode45()常用的调用格式如下： [t, y]=ode45(odefun, tspan, y0) 在用户自己编写的MATLAB函数中既可以描述线性系统特性， 也可以描述非线性系统特性。
Relay：继电非线性； Saturation：饱和非线性； Saturation Dynamic：动态饱和非 线性；
Wrap To Zero：环零非线性。
11.3 相平面法
应用相平面法分析一阶尤其是二阶非线性控制系统，弄清非线性系统的稳定 性、稳定域等基本属性以及解释极限环等特殊现象，具有非常直观形象的效 果。 由于绘制二维以上的相轨迹十分困难，因此相平面法对于二阶以上的系统几 乎无能为力，这是相平面法的局限。
11.2.3 Simulink中的非线性模块
Backlash：间隙非线性； Coulomb&Viscous Friction：库仑 和黏度摩擦非线性；
Dead Zone：死区非线性； Dead Zone Dynamic：动态死区 非线性；
Hit Crossing：冲击非线性； Quantizer：量化非线性； Rate Limiter：比例限制非线性； Rate Limiter Dynamic：动态比例 限制非线性；
第9章 状态空间分析法
根据A和b的上述特征，一般只要对微分方程式或传递
函数的观察，就能直接写出矩阵A和b及对应的动态方程。
第二节 传递函数与动态方程的关系
能控标准形状态图
第二节 传递函数与动态方程的关系
例9-3 已知一系统的传递函数为
试写出能控标准形的状态空间表达式。 解：根据矩阵A和b的特征，直接写出系统能控标准形的 状态空间表达式为：
第二节 传递函数与动态方程的关系
3、对角标准型实现
当系统的传递函数只含有相异的实极点时，还可化为 对角标准型实现。 设系统的传递函数为：
令 则上式变为
第二节 传递函数与动态方程的关系
式中： 则 令
Ci lims i W s
s i
则得
i
i
i
对上式取拉氏变换
第二节 传递函数与动态方程的关系
i
或写作
第二节 传递函数与动态方程的关系
上述状态方程的状态变量描述有如下特点： （1）矩阵A对角线上的元素为传递函数的极点，其余元素
全为零，各状态变量间没有耦合，彼此是独立的。
（2）矩阵b是一列向量，其元素均为1；矩阵C为一行向量， 它的元素为W(s)极点的留数。
第二节 传递函数与动态方程的关系
其中
D为m×r型矩阵
m×r
Wij s 为第i个输出与第j个输入间的传递函数。
第二节 传递函数与动态方程的关系
求系统的传递函数。 例9-2 已知系统的动态方程式如下，
解：
-
=
-
第二节 传递函数与动态方程的关系
二、由传递函数列写动态方程 设线性定常系统微分方程的一般形式为：
y为系统的输出量，u为系统的输入量，初始条件为零， 对上式取拉氏变换，得系统的传递函数为： -
《自动控制原理》第九章 线性系统的状态空间分析与综合
第九章 线性系统的状态空间分析与综合在第一章至第七章中，我们曾详细讲解了经典线性系统理论以及用其设计控制系统的方法。
可以看到，经典线性理论的数学基础是拉普拉斯变换和z 变换，系统的基本数学模型是线性定常高阶微分方程、线性常系数差分方程、传递函数和脉冲传递函数，主要的分析和综合方法是时域法、根轨迹法和频域法，分析的主要内容是系统运动的稳定性。
经典线性系统理论对于单输入-单输出线性定常系统的分析和综合是比较有效的，但其显著的缺点是只能揭示输入-输出间的外部特性，难以揭示系统内部的结构特性，也难以有效处理多输入-多输出系统。
在50年代蓬勃兴起的航天技术的推动下，在1960年前后开始了从经典控制理论到现代控制理论的过渡，其中一个重要标志就是卡尔曼系统地将状态空间概念引入到控制理论中来。
现代控制理论正是在引入状态和状态空间概念的基础上发展起来的。
在现代控制理论的发展中，线性系统理论首先得到研究和发展，已形成较为完整成熟的理论。
现代控制理论中的许多分支，如最优控制、最优估计与滤波、系统辨识、随机控制、自适应控制等，均以线性系统理论为基础；非线性系统理论、大系统理论等，也都不同程度地受到了线性系统理论的概念、方法和结果的影响和推动。
现代控制理论中的线性系统理论运用状态空间法描述输入-状态-输出诸变量间的因果关系，不但反映了系统的输入—输出外部特性，而且揭示了系统内部的结构特性，是一种既适用于单输入--单输出系统又适用于多输入—多输出系统，既可用于线性定常系统又可用于线性时变系统的有效分析和综合方法。
在线性系统理论中，根据所采用的数学工具及系统描述方法的不同，又出现了一些平行的分支，目前主要有线性系统的状态空间法、线性系统的几何理论、线性系统的代数理论、线性系统的多变量频域方法等。
由于状态空间法是线性系统理论中最重要和影响最广的分支，加之受篇幅限制，所以本章只介绍线性系统的状态空间法。
9-1 线性系统的状态空间描述1. 系统数学描述的两种基本类型这里所谓的系统是指由一些相互制约的部分构成的整体，它可能是一个由反馈闭合的整体，也可能是某一控制装置或受控对象。
9章状态空间分析
状态空间分析法举例
例1求图示机械系统的状态空间表达式
外力 u(t)
K ---弹性系数 m
牛顿力学
阻 尼 系 数
b
y(t) u(t )
位移
m y y b ky
令
x1 y
x2 y
动态方程如下
x1 x2
k b 1 x2 y y y u (t ) m m m
k b 1 x1 x2 u (t ) m m m
y x1
状态空间表达式为：
x 1 x 2
0 1 x 0 1 b u k 1 x m m 2 m
x1 y 1 0 x2
1 0 0 a1
0 1 0 a2
0 0 1 an 1
0 0 b 0 0
c 1 0 0
例1设
...
y 5y 8y 6 y 3u
求（A，B，C，D）
.
..
(可加性), H (u1 ) H (u1 ) (齐次性),则该系统 称为线性的,否则为非线性. 定常性:1)定义: Qa -位移算子
2)一个松弛系统当且仅当对任何输入u和任意 实数 , 均有 y Hu HQau Qa Hu Qa y
u (t ) Qau(t ) u(t )
a0 a1 a2
0
y 1
0
x1 0 x 2 x3
作业
系统微分方程为
...
y 2 y 5 y 18 y 3u
..
状态空间法PPT课件
状态空间法基于状态空间的概念，将系统的输入、输出和内 部状态联系起来，通过状态变量和输入变量的变化来描述系 统的动态行为。
状态空间法的应用领域
控制系统设计
状态空间法广泛应用于控制系统设计，通过建立系统的状 态方程和输出方程，可以设计控制律来控制系统的行为。
信号处理
在信号处理领域，状态空间法可用于信号滤波、预测和估 计，通过建立信号的状态模型来描述信号的变化规律。
优势与局限
状态空间法具有直观、灵活和易于理解等优点，能够提供丰富的信息用于系统分 析和设计。然而，状态空间法也存在一些局限，例如对于高阶系统的计算可能较 为复杂，且在某些情况下难以得到解析解。
对未来研究的展望
进一步发展
随着科学技术的不断进步，状态空间法有望在更多领域得到应用和发展。例如，随着智能传感器和执行器技术的 进步，状态空间法在智能控制和自适应控制等领域的应用将更加广泛。此外，随着深度学习和人工智能技术的快 速发展，状态空间法有望与这些技术相结合，用于解决更复杂和高级的问题。
05 状态空间法的应用实例
在控制系统中的应用
控制系统建模
利用状态空间法建立控制系统的数学模型，以便 进行系统分析和设计。
控制系统优化
通过状态空间法对控制系统进行优化设计，提高 系统的性能和稳定性。
控制系统故障诊断
利用状态空间法对控制系统的故障进行诊断和定 位，及时发现和排除故障。
在信号处理中的应用
状态空间法ppt课件
contents
目录
• 引言 • 状态空间法的基本概念 • 状态空间法的实现 • 状态空间法的优势与局限性 • 状态空间法的应用实例 • 结论
01 引言
什么是状态空间法
状态空间法是一种数学方法，用于描述动态系统的状态变化 和输出响应。它通过建立状态方程和输出方程来描述系统的 状态变量和输出变量之间的关系，从而对系统进行建模、分 析和控制。
状态空间法的应用领域
控制系统设计
状态空间法广泛应用于控制系统设计，通过建立系统的状 态方程和输出方程，可以设计控制律来控制系统的行为。
信号处理
在信号处理领域，状态空间法可用于信号滤波、预测和估 计，通过建立信号的状态模型来描述信号的变化规律。
优势与局限
状态空间法具有直观、灵活和易于理解等优点，能够提供丰富的信息用于系统分 析和设计。然而，状态空间法也存在一些局限，例如对于高阶系统的计算可能较 为复杂，且在某些情况下难以得到解析解。
对未来研究的展望
进一步发展
随着科学技术的不断进步，状态空间法有望在更多领域得到应用和发展。例如，随着智能传感器和执行器技术的 进步，状态空间法在智能控制和自适应控制等领域的应用将更加广泛。此外，随着深度学习和人工智能技术的快 速发展，状态空间法有望与这些技术相结合，用于解决更复杂和高级的问题。
05 状态空间法的应用实例
在控制系统中的应用
控制系统建模
利用状态空间法建立控制系统的数学模型，以便 进行系统分析和设计。
控制系统优化
通过状态空间法对控制系统进行优化设计，提高 系统的性能和稳定性。
控制系统故障诊断
利用状态空间法对控制系统的故障进行诊断和定 位，及时发现和排除故障。
在信号处理中的应用
状态空间法ppt课件
contents
目录
• 引言 • 状态空间法的基本概念 • 状态空间法的实现 • 状态空间法的优势与局限性 • 状态空间法的应用实例 • 结论
01 引言
什么是状态空间法
状态空间法是一种数学方法，用于描述动态系统的状态变化 和输出响应。它通过建立状态方程和输出方程来描述系统的 状态变量和输出变量之间的关系，从而对系统进行建模、分 析和控制。
状态空间分析方法
4
②
③ ④
基本要求
⑤ 能将可控系统 化为可控标准形。能将不可
控系统进行可控性分解。
⑥ 熟练掌握全维状态观测器的公式和设计方法,
熟练掌握由观测器得到的状态估计值代替状 态值构成的状态反馈系统, 可进行闭环极点 配置和观测器极点配置。
⑦ 正确理解李雅普诺夫方程正定对称解存在的
条件和解法, 能通过解李雅普诺夫方程进行 5 稳定性分析。
(t ) L
1
sI A
1
2et e2t t 2 t 2 e 2 e
12
二、系统的状态空间表达式
单输入-单输出线性定常系统
y
n
an1 y
n1
an 2 y
n 2
a0 y u
y ( n1) (0) 和 (0) 、… 、 若给出 (t=0) 时的初值 y (0) 、y ut , t 0 时就可确定系统的行为。
18
x ( t ) 代入方程 x Ax 将 可得
b1 2b2t kbk t k 1 A(b0 b1t bk t k )
方程两边系数必相等, 即 b1 Ab0
1 1 2 b2 Ab1 A b0 2 2 1 1 3 b3 Ab2 A b0 3 3 2 1 k bk A b0 k！
30
例 求下述系统状态的时间响应
控制量u为单位阶跃函数。
1 0 0 x x u 2 3 1
解：由
状态转移矩阵
s3 ( s 1)(s 2) 1 [ sI A] 2 ( s 1)(s 2)
1 ( s 1)(s 2) s ( s 1)(s 2)
②
③ ④
基本要求
⑤ 能将可控系统 化为可控标准形。能将不可
控系统进行可控性分解。
⑥ 熟练掌握全维状态观测器的公式和设计方法,
熟练掌握由观测器得到的状态估计值代替状 态值构成的状态反馈系统, 可进行闭环极点 配置和观测器极点配置。
⑦ 正确理解李雅普诺夫方程正定对称解存在的
条件和解法, 能通过解李雅普诺夫方程进行 5 稳定性分析。
(t ) L
1
sI A
1
2et e2t t 2 t 2 e 2 e
12
二、系统的状态空间表达式
单输入-单输出线性定常系统
y
n
an1 y
n1
an 2 y
n 2
a0 y u
y ( n1) (0) 和 (0) 、… 、 若给出 (t=0) 时的初值 y (0) 、y ut , t 0 时就可确定系统的行为。
18
x ( t ) 代入方程 x Ax 将 可得
b1 2b2t kbk t k 1 A(b0 b1t bk t k )
方程两边系数必相等, 即 b1 Ab0
1 1 2 b2 Ab1 A b0 2 2 1 1 3 b3 Ab2 A b0 3 3 2 1 k bk A b0 k！
30
例 求下述系统状态的时间响应
控制量u为单位阶跃函数。
1 0 0 x x u 2 3 1
解：由
状态转移矩阵
s3 ( s 1)(s 2) 1 [ sI A] 2 ( s 1)(s 2)
1 ( s 1)(s 2) s ( s 1)(s 2)
第9章线性系统的状态空间分析与综合PPT课件
b 0u (n)
b 1u (n1)
*
b
n
1
u
bnu
选在取由状包态含变状量态的变原量则的: n个微 分x 2 议 x程1 构h 1成u 的系
统状态议程解中任何一个微 x 分n 议x n程 1 均h n不 1 u 含有
作用函数的导数项。
X AX BU
x1 y b 0u
y CX DU
掌握和运用可控性判据和可观性判据。
*
4
基本要求
⑤ 能将可控系统 化为可控标准形。能将不可控
系统进行可控性分解。
⑥ 熟练掌握全维状态观测器的公式和设计方法,
熟练掌握由观测器得到的状态估计值代替状 态值构成的状态反馈系统, 可进行闭环极点 配置和观测器极点配置。
⑦ 正确理解李雅普诺夫方程正定对称解存在的
条件和解法, 能通过解李雅普诺夫方程进行 稳定性分析。
*
5
状态空间方法基础
• 在经典控制理论中，用传递函数来设计和分析
单输入、单输出系统。
• 在现代控制理论中，用状态变量来描述系统。
采用矩阵表示法可以使系统的数学表达式简洁 明了，为系统的分析研究提供了有力的工具。
*
6
一、状态空间的基本概念
状态：动力学系统的状态可以定义为信息的集合。
x 2
y (2)
x 1 x 2
所以
x
2
x3
x
3
x1
2x 2
3x3
r
X AX Br
*
19
0 1 0
0
其中
A
0
0
1
B
0
- 1 - 2 - 3
1
C 1 0 0
《状态空间描述法》课件
案例二：飞行器姿态控制系统设计
总结词
飞行器的姿态控制是保证飞行安全的关键环 节。通过状态空间描述法，可以建立飞行器 姿态控制系统的数学模型，为控制系统设计 提供依据。
详细描述
飞行器的姿态控制涉及多个动态变量，如角 速度、角位移、俯仰角、偏航角等。状态空 间描述法能够全面地描述这些变量之间的关 系，建立起飞行器姿态控制的数学模型。基 于这个模型，可以设计各种控制器，如PID 控制器、模糊控制器等，以实现对飞行器姿 态的精确控制。
PART 05
状态空间描述法的应用实 例
REPORTING
案例一：倒立摆控制系统设计
要点一
总结词
要点二
详细描述
倒立摆是一个不稳定的系统，其控制目标是使摆杆保持稳 定，避免倒塌。状态空间描述法在倒立摆控制系统中被广 泛应用，通过建立状态方程和输出方程，对系统进行精确 的数学描述，为控制系统设计提供基础。
状态空间图
• 状态空间图：以图形方式表示系统状态变量、输 入和输出的关系，有助于直观理解系统的动态行 为。
PART 03
状态空间描述法的实现
REPORTING
建立状态方程和输出方程
状态方程
描述系统内部状态变量的动态关系，通 常表示为x(t+1)=Ax(t)+Bu(t)。
VS
输出方程
描述系统输出与状态变量和输入的关系， 通常表示为y(t)=Cx(t)+Du(t)。
如何克服局限性
降维处理
并行计算和分布式计算
对于高维系统，可以通过降维处理来 降低系统的维度，从而简化状态空间 描述法的计算。
采用并行计算和分布式计算技术可以 降低大规模系统的计算复杂性，提高 计算效率。
第9章 状态空间分析法
例1：设系统用二阶微分方程表示，y ay by u(t)
a、b为常数，u(t)为已知。
方程的解：特征方程 r1≠r2(实根）。
r2+ar+b=0的根为r1、r2，
通解 y(t)=c1er1t+c2er2t+y*，
y(t)即为系统的运动
C1则、yC(2t为)就待唯定一常确数定，。如果已知系统的两个初始条件，
0
ф(t)：状态转移矩阵， ф(t)=eAt
特性：
ф(0)=I; ф(t-τ)=ф(t)ф(τ); Ф(t2-t0)=ф(t2-t1)ф(t1-t0); Ф-1(t)=ф(-t)。
8.3 系统的能控性和能观测性
子式与秩
• 在矩阵中，任取k行和k列，由这些行和列交点上 的k2个元素按原有顺序构成的一个k阶行列式， 称为矩阵一个k阶子式。
如t=t0时，y(t)的数值y(t0)、ý(t0)已知，就可求出C1、 C2，y(t)就唯一确定。
因此，对于上述系统，在已知输入u(t)的情况下，只 要在某一初始时刻的t0时的y(t0)、ý(t0)值为已知， 则在t ≥t0时系统的运动情况y(t)就可以确定。
在该系统中，如果仅知道y(t0)或ý(t0)，则只能求出C1、 C2中某一个，就无法唯一确定y(t)。
a0 s n
则
Y (s) (bms(nm) bm1s(nm1) b1s(n1) b0sn )E(s)
U (s) (1 an1s1 a1s(n1) a0sn )E(s)
E(s) U (s) (an1s1 an2s2 a1s(n1) a0sn )E(s)
8.2 连续系统状态方程的解法
d3y dt3
8
d2y dt 2
9
状态空间分析法
第9章 线性系统的状态空间分析与综合重点与难点一、基本概念1．线性系统的状态空间描述（1）状态空间概念状态 反映系统运动状况，并可用以确定系统未来行为的信息集合。
状态变量 确定系统状态的一组独立（数目最少）变量，它对于确定系统的运动状态是必需的，也是充分的。
状态向量 以状态变量为元素构成的向量。
状态空间 以状态变量为坐标所张成的空间。
系统某时刻的状态可用状态空间上的点来表示。
状态方程 状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量之间的数学关系，一般是关于系统的一阶微分（或差分）方程组。
输出方程 输出变量与状态变量、输入变量之间的数学关系。
状态方程与输出方程合称为状态空间描述或状态空间表达式。
线性定常系统状态空间表达式一般用矩阵形式表示：⎩⎨⎧+=+=DuCx y Bu Ax x (9.1) （2）状态空间表达式的建立。
系统状态空间表达式可以由系统微分方程、结构图、传递函数等其他形式的数学模型导出。
（3）状态空间表达式的线性变换及规范化。
描述某一系统的状态变量个数（维数）是确定的，但状态变量的选择并不唯一。
某一状态向量经任意满秩线性变换后，仍可作为状态向量来描述系统。
状态变量选择不同，状态空间表达式形式也不一样。
利用线性变换的目的在于使系统矩阵A 规范化，以便于揭示系统特性，利于分析计算。
满秩线性变换不改变系统的固有特性。
根据矩阵A 的特征根及相应的独立特征向量情况，可将矩阵A 化为三种规范形式：对角形、约当形和模式矩阵。
（4）线性定常系统状态方程解。
状态转移矩阵)(t φ（即矩阵指数Ate ）及其性质：(9.8)i ． I =)0(φii ．A t t A t )()()(φφφ== iii. )()()()()(122121t t t t t t φφφφφ±=±=+iv. )()(1t t -=-φφv. )()]([kt t k φφ=vi. )( ])exp[()exp()exp(BA AB t B A Bt At =+= vii. )( )ex p()ex p(11非奇异P P At PAPt P --= 求状态转移矩阵)(t φ的常用方法：拉氏变换法 =)(t φL －1])[(1--A sI （9.2）级数展开法+++++=k k At t A k t A At I e !12122 （9.3） 齐次状态方程求解 )0()()(x t t x φ= （9.4）非齐次状态方程式（9.1）求解⎰-+=tBu t x t t x 0d )()()0()()(τττφφ （9.5） （5）传递函数矩阵及其实现传递函数矩阵)(s G ：输出向量拉氏变换式与输入向量拉氏变换式之间的传递关系D B A sI C s G +-=-1)()( (9.6)传递函数矩阵的实现：已知传递函数矩阵)(s G ，找一个系统},,,{D C B A 使式（9.6）成立，则将系统},,,{D C B A 称为)(s G 的一个实现。
自动控制原理课件：状态空间分析
如果系统完全可观测的， 那么在t0≤t≤t1时间间隔内，给定 输出y(t)，就可由上述方程唯一确定x(0)。 这就要求nm×n维 可观测性矩阵的秩为n，即
C CA =n rankP = rank n −1 CA
必要性: 设rankP<n,则存在x(0), 使得Px(0)=0, 即
我们有
10 X 1 (s) = X 2 (s) s+5
状态空间方程的可控性和可观测性
定义 2.1 如果在一个有限的时间内施加一个无约束的控制向量, 使 系统由初始状态x(t0)转移到任一状态, 则称该系统在时间t0时 为状态可控的。 定义 2.2 如果系统的状态x(t0)在有限时间内可由输出的观测值确定, 那么称系统在时刻t0是状态可观测的。 控制系统的状态完全可控性 设状态方程为:
y1 (t ) = g1 ( x1 , , xn ; u1 , , ur ; t )
y2 (t ) = g 2 ( x1 , , xn ; u1 , , ur ; t )
ym (t ) = g m ( x1 , , xn ; u1 , , ur ; t )
定义:
x(t ) = [ x1 (t ), , xn (t )]
A(t)称为状态矩阵, B(t)称为输入矩阵 C(t)称为输出矩阵, D(t)称为直接传输矩阵
D(t )
u (t )
B(t )
+
x(t )
•
+
∫ dt
A(t )
x(t )
C (t )
+
+
y (t )
如果向量函数f和g不显含时间t, 则称该系统定常系统：
x(t ) = Ax(t ) + Bu (t ) y (t ) = Cx (t ) + Du (t )
C CA =n rankP = rank n −1 CA
必要性: 设rankP<n,则存在x(0), 使得Px(0)=0, 即
我们有
10 X 1 (s) = X 2 (s) s+5
状态空间方程的可控性和可观测性
定义 2.1 如果在一个有限的时间内施加一个无约束的控制向量, 使 系统由初始状态x(t0)转移到任一状态, 则称该系统在时间t0时 为状态可控的。 定义 2.2 如果系统的状态x(t0)在有限时间内可由输出的观测值确定, 那么称系统在时刻t0是状态可观测的。 控制系统的状态完全可控性 设状态方程为:
y1 (t ) = g1 ( x1 , , xn ; u1 , , ur ; t )
y2 (t ) = g 2 ( x1 , , xn ; u1 , , ur ; t )
ym (t ) = g m ( x1 , , xn ; u1 , , ur ; t )
定义:
x(t ) = [ x1 (t ), , xn (t )]
A(t)称为状态矩阵, B(t)称为输入矩阵 C(t)称为输出矩阵, D(t)称为直接传输矩阵
D(t )
u (t )
B(t )
+
x(t )
•
+
∫ dt
A(t )
x(t )
C (t )
+
+
y (t )
如果向量函数f和g不显含时间t, 则称该系统定常系统：
x(t ) = Ax(t ) + Bu (t ) y (t ) = Cx (t ) + Du (t )
状态空间描述法ppt课件
1
s
（ω 域）
D 系状统态
X A
u
B
x ∫ x C
y
a) 结构关系图
A b) 结构图
12
五. 线性定常系统状态空间表达式的建立
1. 方法:机理分析法、实验法 2. 线性定常单变量系统(单输入—单输出系统) (1) 由微分方程建立
yn an1 yn1 an2 yn2 a1 y1 a0 y
x1
A). bn 0, G (s) yNDb(0(ss))b1 zy((ss)b)n1uz((xss2))
z s
1
x
n
u s
s n an1 s n1 an2 s n2 a1 s a0
y s z s
bn1 s n1 bn2 s n2 b1 s b0
u( s )
D(s) (s p1 )k (s pk1 ) (s pn )
c1
c2
ck ck1 cn
(s p1 )k (s p1 )k1
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G(
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j
,
,
k
ci
lim (s
1
x2
x3
17
例9.6 已知系统的传递函数为
Gs s3 8s2 8s 15
s3 7s2 14s 8
试求其能控规范型实现，并画出系统状态图。
解: 由 bn=b3≠0, 对照标准型
Gs
s3 s3
8s2 7s2
8s 15 14s 8
第九章 状态空间分析方法基础.ppt
1.根据系统的物理机理直接建立状态空间表达式 一般常见 的控制系统，就其物理属性而言，有电气的、机械的、机电
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§9-1 控制系统的状态空间描述
的、液压的、热力的等等。根据其物理定律，如基尔霍夫定 律、牛顿定律、能量守恒定律、热力学定律等，即可建立系统 的状态方程；当指定系统的输出后，可写出系统的输出方程。
3)利用输出反馈和调整系统的开环增益，只能使闭环极点沿 着一定得根轨迹移动，而利用状态反馈能使闭环系统任意配置 极点。这说明，状态反馈比一般的输出反馈对系统性能的综合
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§9-6 状态反馈与状态观测器
更为方便。但在实际上实现起来，状态反馈比输出反馈要来的 复杂。
4)对单输入单输出系统，在一般情况下，利用状态反馈使闭 环系统极点与又性能指标给出的希望极点相一致的方法，以达 到改善系统性能的目的，是行之有效的。但状态反馈只能改变 极点的位置，却不能改变系统极点的个数和系统零点的位置， 有时单靠状态反行综合。
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§9-3 线性离散系统状态空间表达式
一、线性离散系统的状态空间表达式 线性定常离散系统状态空间表达式的结构图如图9-16所
示。 二、线性定常离散系统状态方程的解
1.迭代法求解 迭代法是一种递推的数值解法，其思路是：利 用初始时刻t0=0(即k=0)时的x(0)和u(0)求x(1)；再根据求出的 x(1)和给定的u(1)求x(2)；如此逐步迭代，即可求得所需的 x(k)。此法适于在计算机上求解。
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§9-1 控制系统的状态空间描述
1.系统状态空间表达式的非唯一性 2.系统特征值的不变性及系统的不变量 对线性定常系统， 系统的特征值决定了系统的基本特性。 3.化状态方程为对角线规范型 化状态方程为某种形式的规 范型，是通过非奇异变化来实现的，所以求取该非奇异变化矩 阵是解决状态方程转化为某些规范型的关键。 4.化状态方程为约当规范型 五、状态空间表达式与传递函数阵间的变换
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§9-1 控制系统的状态空间描述
的、液压的、热力的等等。根据其物理定律，如基尔霍夫定 律、牛顿定律、能量守恒定律、热力学定律等，即可建立系统 的状态方程；当指定系统的输出后，可写出系统的输出方程。
3)利用输出反馈和调整系统的开环增益，只能使闭环极点沿 着一定得根轨迹移动，而利用状态反馈能使闭环系统任意配置 极点。这说明，状态反馈比一般的输出反馈对系统性能的综合
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§9-6 状态反馈与状态观测器
更为方便。但在实际上实现起来，状态反馈比输出反馈要来的 复杂。
4)对单输入单输出系统，在一般情况下，利用状态反馈使闭 环系统极点与又性能指标给出的希望极点相一致的方法，以达 到改善系统性能的目的，是行之有效的。但状态反馈只能改变 极点的位置，却不能改变系统极点的个数和系统零点的位置， 有时单靠状态反行综合。
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§9-3 线性离散系统状态空间表达式
一、线性离散系统的状态空间表达式 线性定常离散系统状态空间表达式的结构图如图9-16所
示。 二、线性定常离散系统状态方程的解
1.迭代法求解 迭代法是一种递推的数值解法，其思路是：利 用初始时刻t0=0(即k=0)时的x(0)和u(0)求x(1)；再根据求出的 x(1)和给定的u(1)求x(2)；如此逐步迭代，即可求得所需的 x(k)。此法适于在计算机上求解。
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§9-1 控制系统的状态空间描述
1.系统状态空间表达式的非唯一性 2.系统特征值的不变性及系统的不变量 对线性定常系统， 系统的特征值决定了系统的基本特性。 3.化状态方程为对角线规范型 化状态方程为某种形式的规 范型，是通过非奇异变化来实现的，所以求取该非奇异变化矩 阵是解决状态方程转化为某些规范型的关键。 4.化状态方程为约当规范型 五、状态空间表达式与传递函数阵间的变换
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一、状态空间的基本概念 1.状态 控制系统的状态是指能完全描述系统动态行为(动态
状态)的一个最小变量组，它是时间的函数。所谓最小变量组是 指这个变量组中各变量之间是相互独立的。
2.状态变量 状态变量是指能完全描述系统行为的最小变量 组的每一个变量。
3.状态向量 若完全描述与各给定系统的动态行为需要n个状
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§9-1 控制系统的状态空间描述
1.传递函数阵的概念 对单输入单输出线性定常系统，传递 函数表达了系统输入输出间的传递特性。而对多输入多输出线 性定常系统，则可用传递函数阵来表达输入量与输出量间的传 递特性。
2.状态空间表达式与传递函数阵间的变换 3.传递函数阵的不变性 对同一系统，尽管其状态空间表达 式可以作各种非奇异变换，而不是唯一的，但它的传递函数阵 是不变的。
3.状态空间表达式 状态空间和输出方程总合起来，构成一 个系统动态的完整描述，称为系统的状态空间表达式(或称动态
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§9-1 控制系统的状态空间描述
方程)。 4.状态空间描述的模拟结构图(或称状态变量图) 状态方程
和输出方程可以利用模拟计算机的模拟结构图表达出来，它能 形象地反映系统输入、输出和系统专题态变量之间的相互关 系。 三、状态空间表达式的建立
1.根据系统的物理机理直接建立状态空间表达式 一般常见 的控制系统，就其物理属性而言，有电气的、机械的、机电
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§9-1 控制系统的状态空间描述
的、液压的、热力的等等。根据其物理定律，如基尔霍夫定 律、牛顿定律、能量守恒定律、热力学定律等，即可建立系统 的状态方程；当指定系统的输出后，可写出系统的输出方程。
2.根据系统的传递函数建立状态空间表达式 由系统传递函 数求其相应的状态空间表达式，称为“实现”问题。实现问题 是现代控制理论中的一个重要问题，这是因为：第一，许多设 备的传递函数往往容易通过实验获得，为了用状态空间方法研
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§9-1 控制系统的状态空间描述
究系统，就必须把传递函数化为状态空间表达式；第二，对复 杂系统的设计往往要利用仿真技术，将其传递函数化为状态空 间描述后在进行仿真的重要方法之一；第三，从传递函数中一 旦获得了状态空间表达式，便可以采用运算放大器等电路构造 一个具有该传递函数的实际系统，这也是“实现”这个取名的 原因所在。另外，实现问题在建立状态空间与传递函数这两种 设计方法之间的联系有着重要的作用。 四、状态方程的线性变换
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§9-3 线性离散系统状态空间表达式
一、线性离散系统的状态空间表达式 线性定常离散系统状态空间表达式的结构图如图9-16所
示。 二、线性定常离散系统状态方程的解
1.迭代法求解 迭代法是一种递推的数值解法，其思路是：利 用初始时刻t0=0(即k=0)时的x(0)和u(0)求x(1)；再根据求出的 x(1)和给定的u(1)求x(2)；如此逐步迭代，即可求得所需的 x(k)。此法适于在计算机上求解。
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§9-1 控制系统的状态空间描述
别是每一个状态变量的一阶导数，右端是状态变量和输入变量 所组成的代数多项式。
2.输出方程 输出方程是在指定输出变量的情况下，该输出 变量与状态变量以及输入变量之间的函数关系。状态变化决定 输出的变化，这是一个变换过程，所以输出方程的数学形式表 征为一个变换关系的代数方程。
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§9-2 线性定常连线系统状态方程 的解
一、线性定常连续系统齐次状态方程的解 1.直接求解法 2.用拉氏变换方法求解
二、状态转移矩阵 1.状态转移矩阵的概念 2.状态转移矩阵的性质 3.线性定常连续系统状态转移矩阵的几种算法
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§9-2 线性定常连线系统状态方程 的解
1)根据矩阵指数函数的定义式计算 2)把eAt化为A的有限项表达式进行计算 3)利用拉氏变换法进行计算 4)利用对角线规范性或约当规范型进行计算 三、线性定常连续系统非齐次状态方程的解 1.直接求解法 2.拉氏变换求解法
必须满秩。即
rankQc=n
n是该系统的维数。
(9-128) (9-129)
2)能控性判据的第二种形式
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§9-4 线性控制系统的能控性和能 观测性
能控性判据定理二 此定理的基本思路和依据有两点：第 一，因矩阵经线性非奇异变换后，并不改变矩阵的秩，因而也 不改变系统的能控性；第二，对系统进行线性非奇异变换把状 态方程化成对角线规范型，使变换后的各状态变量之间没有耦 合关系，因此，影响每一个状态变量的唯一途径只是输入的控 制作用。
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§9-1 控制系统的状态空间描述
1.系统状态空间表达式的非唯一性 2.系统特征值的不变性及系统的不变量 对线性定常系统， 系统的特征值决定了系统的基本特性。 3.化状态方程为对角线规范型 化状态方程为某种形式的规 范型，是通过非奇异变化来实现的，所以求取该非奇异变化矩 阵是解决状态方程转化为某些规范型的关键。 4.化状态方程为约当规范型 五、状态空间表达式与传递函数阵间的变换
第九章 状态空间分析方法基础
§9-1 控制系统的状态空间描述 §9-2 线性定常连线系统状态方程的解 §9-3 线性离散系统状态空间表达式 §9-4 线性控制系统的能控性和能观测性 §9-5 李雅普诺夫稳定性分析方法 §9-6 状态反馈与状态观测器 §9-7 解耦控制
§9-1 控制系统的状态空间描述
2.z变换法求解 三、线性定常连续系统状态空间表达式的离散化
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§9-4 线性控制系统的能控性和能 观测性
一、能控性
1.定义
2.线性定常连续系统能控性判据
1)能控性判据的第一种形式
能控性判据定理一：线性定常连续系统Σ (A,B)，其状态完
全能控的充要条件是由A,B阵所构成的能控性判别阵
Qc=[B,AB,…An-1B]
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§9-1 控制系统的状态空间描述
态变量x1,x2,…,xn,用这n个状态变量作为分量所构成的向量， 就称为该系统的状态向量。
4.状态空间 以各状态变量x1,x2…,xn为坐标轴所组成的n为 空间称为状态空间。 二、控制系统的状态空间描述——状态空间表达式
1.状态方程 系统输出引起状态的变化，它是一个运动过 程，描述这个运动过程的是状态方程。状态方程的数学形式表 征为系统状态变量
状态)的一个最小变量组，它是时间的函数。所谓最小变量组是 指这个变量组中各变量之间是相互独立的。
2.状态变量 状态变量是指能完全描述系统行为的最小变量 组的每一个变量。
3.状态向量 若完全描述与各给定系统的动态行为需要n个状
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§9-1 控制系统的状态空间描述
1.传递函数阵的概念 对单输入单输出线性定常系统，传递 函数表达了系统输入输出间的传递特性。而对多输入多输出线 性定常系统，则可用传递函数阵来表达输入量与输出量间的传 递特性。
2.状态空间表达式与传递函数阵间的变换 3.传递函数阵的不变性 对同一系统，尽管其状态空间表达 式可以作各种非奇异变换，而不是唯一的，但它的传递函数阵 是不变的。
3.状态空间表达式 状态空间和输出方程总合起来，构成一 个系统动态的完整描述，称为系统的状态空间表达式(或称动态
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§9-1 控制系统的状态空间描述
方程)。 4.状态空间描述的模拟结构图(或称状态变量图) 状态方程
和输出方程可以利用模拟计算机的模拟结构图表达出来，它能 形象地反映系统输入、输出和系统专题态变量之间的相互关 系。 三、状态空间表达式的建立
1.根据系统的物理机理直接建立状态空间表达式 一般常见 的控制系统，就其物理属性而言，有电气的、机械的、机电
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§9-1 控制系统的状态空间描述
的、液压的、热力的等等。根据其物理定律，如基尔霍夫定 律、牛顿定律、能量守恒定律、热力学定律等，即可建立系统 的状态方程；当指定系统的输出后，可写出系统的输出方程。
2.根据系统的传递函数建立状态空间表达式 由系统传递函 数求其相应的状态空间表达式，称为“实现”问题。实现问题 是现代控制理论中的一个重要问题，这是因为：第一，许多设 备的传递函数往往容易通过实验获得，为了用状态空间方法研
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§9-1 控制系统的状态空间描述
究系统，就必须把传递函数化为状态空间表达式；第二，对复 杂系统的设计往往要利用仿真技术，将其传递函数化为状态空 间描述后在进行仿真的重要方法之一；第三，从传递函数中一 旦获得了状态空间表达式，便可以采用运算放大器等电路构造 一个具有该传递函数的实际系统，这也是“实现”这个取名的 原因所在。另外，实现问题在建立状态空间与传递函数这两种 设计方法之间的联系有着重要的作用。 四、状态方程的线性变换
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§9-3 线性离散系统状态空间表达式
一、线性离散系统的状态空间表达式 线性定常离散系统状态空间表达式的结构图如图9-16所
示。 二、线性定常离散系统状态方程的解
1.迭代法求解 迭代法是一种递推的数值解法，其思路是：利 用初始时刻t0=0(即k=0)时的x(0)和u(0)求x(1)；再根据求出的 x(1)和给定的u(1)求x(2)；如此逐步迭代，即可求得所需的 x(k)。此法适于在计算机上求解。
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§9-1 控制系统的状态空间描述
别是每一个状态变量的一阶导数，右端是状态变量和输入变量 所组成的代数多项式。
2.输出方程 输出方程是在指定输出变量的情况下，该输出 变量与状态变量以及输入变量之间的函数关系。状态变化决定 输出的变化，这是一个变换过程，所以输出方程的数学形式表 征为一个变换关系的代数方程。
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§9-2 线性定常连线系统状态方程 的解
一、线性定常连续系统齐次状态方程的解 1.直接求解法 2.用拉氏变换方法求解
二、状态转移矩阵 1.状态转移矩阵的概念 2.状态转移矩阵的性质 3.线性定常连续系统状态转移矩阵的几种算法
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§9-2 线性定常连线系统状态方程 的解
1)根据矩阵指数函数的定义式计算 2)把eAt化为A的有限项表达式进行计算 3)利用拉氏变换法进行计算 4)利用对角线规范性或约当规范型进行计算 三、线性定常连续系统非齐次状态方程的解 1.直接求解法 2.拉氏变换求解法
必须满秩。即
rankQc=n
n是该系统的维数。
(9-128) (9-129)
2)能控性判据的第二种形式
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§9-4 线性控制系统的能控性和能 观测性
能控性判据定理二 此定理的基本思路和依据有两点：第 一，因矩阵经线性非奇异变换后，并不改变矩阵的秩，因而也 不改变系统的能控性；第二，对系统进行线性非奇异变换把状 态方程化成对角线规范型，使变换后的各状态变量之间没有耦 合关系，因此，影响每一个状态变量的唯一途径只是输入的控 制作用。
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§9-1 控制系统的状态空间描述
1.系统状态空间表达式的非唯一性 2.系统特征值的不变性及系统的不变量 对线性定常系统， 系统的特征值决定了系统的基本特性。 3.化状态方程为对角线规范型 化状态方程为某种形式的规 范型，是通过非奇异变化来实现的，所以求取该非奇异变化矩 阵是解决状态方程转化为某些规范型的关键。 4.化状态方程为约当规范型 五、状态空间表达式与传递函数阵间的变换
第九章 状态空间分析方法基础
§9-1 控制系统的状态空间描述 §9-2 线性定常连线系统状态方程的解 §9-3 线性离散系统状态空间表达式 §9-4 线性控制系统的能控性和能观测性 §9-5 李雅普诺夫稳定性分析方法 §9-6 状态反馈与状态观测器 §9-7 解耦控制
§9-1 控制系统的状态空间描述
2.z变换法求解 三、线性定常连续系统状态空间表达式的离散化
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§9-4 线性控制系统的能控性和能 观测性
一、能控性
1.定义
2.线性定常连续系统能控性判据
1)能控性判据的第一种形式
能控性判据定理一：线性定常连续系统Σ (A,B)，其状态完
全能控的充要条件是由A,B阵所构成的能控性判别阵
Qc=[B,AB,…An-1B]
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§9-1 控制系统的状态空间描述
态变量x1,x2,…,xn,用这n个状态变量作为分量所构成的向量， 就称为该系统的状态向量。
4.状态空间 以各状态变量x1,x2…,xn为坐标轴所组成的n为 空间称为状态空间。 二、控制系统的状态空间描述——状态空间表达式
1.状态方程 系统输出引起状态的变化，它是一个运动过 程，描述这个运动过程的是状态方程。状态方程的数学形式表 征为系统状态变量