求二元函数极限的几种方法二元函数极限定理
二元函数的极限与连续
2021/6/16
y0
6
lim 1 x2 y2
例4 求 x
x2 y2
y
解
lim 1 x 2 y 2
x x 2 y 2
y
1
lim x (1 x 2 y 2 )
y
1
2021/6/16
7
例5 求 lim xy11. x0 xy
y0
解 原式 limxy11 x0x(y xy11)
为函数z f ( x, y)当 P P0 (或 x x0, y y0)
时的极限,
记为:
lim f (x, y) A
p p0
或 lim f ( x, y) A x x0 y y0
2021/6/16 lim 或 ( x, y)( x0, y0 ) f (x, y) A
2
定义 2 设函数z f ( x, y)在 N ( p0, ) 内有定义,如果对
sin( xy ) x
y2
解
lim x0
sin( xy ) x
y2
lim lim
sinx(y)
y =1×2=2.
xy0 xy
y2
2021/6/16
Байду номын сангаас
5
例2 求
lim x 0
1 x y
y1
解
lim x 0
1 1 1 x y 01
y1
lim 例3
求
x0
(x
y)sinx2
1
y2
y0
lim 1
解 x0 (xy)sinx2 y2 0
y0
lim 1 x0 xy11
y0
1. 2
2021/6/16
函数极限的求法和极限不存在的判断
万方数据万方数据二元函数极限的求法和极限不存在的判断作者:唐新华作者单位:山东政法学院刊名:科技信息英文刊名:SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION年,卷(期):2009,""(18)被引用次数:0次1.吴赣昌高等数学 20062.马顺业数学分析研究 19961.期刊论文郭俊杰.GUO Jun-jie二元函数求极限的方法-衡水学院学报2006,8(1)二元函数求极限是高数中的难点,现归纳了6种求二元函数极限的方法,分别为:直接证明、先估值后证明、利用二元函数的连续性、用无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量的结论、用重要极限limx>0sinx/x=1、用两边夹定理.2.期刊论文王润桃关于二元函数的极限-株洲工学院学报2001,15(5)讨论了二次极限与二重极限之间的区别与联系,二重极限不存在的判定方法以及齐次有理分式函数的极限存在的判别法.3.期刊论文闫彦宗关于二元函数分析性质的讨论-宜宾学院学报2003,6(6)讨论了二元函数的重极限与累次极限、可微性与偏导数的存在性及函数的连续性、重积分与累次积分之间的关系.4.期刊论文王海燕二元函数求极限的方法-考试周刊2007,""(37)二元函数的极限是在一元函数的基础上发展起来的,二者既有联系也有区别.本文通过部分例题的解析,以详细介绍二元函数极限的求法.5.期刊论文王旭琴二重极限与累次极限的关系-南昌高专学报2010,25(2)本文分析了二元函数的二重极限及累次极限的定义,并且讨论和总结了这两种极限之间的区别和内在联系.6.期刊论文樊红云.张宏民.FAN Hong-yun.ZHANG Hong-min视一元函数为二元函数时的极限与连续-长春师范学院学报(自然科学版)2006,25(3)本文讨论了视一元函数u=φ(x)为二元函数u=f(x,y)=φ(x)时的极限与连续.7.期刊论文何鹏.俞文辉.雷敏剑二元函数连续、可偏导、可微等诸条件间关系的研究-南昌高专学报2005,20(6) 本文指出二元函数诸性质间的关系源于二元函数对极限的两种不同推广:二重极限和累次极限,并详细阐明了连续、偏导数存在、可微、偏导连续四者间的关系.在文章的最后,作者对偏导连续推出可微这一命题的条件作了减弱并予以证明.8.期刊论文郭安学二元函数的极限-科学决策2008,""(11)本文给出了二元函数的三种不同极限的概念,并讨论了三种极限的关系与差异.9.期刊论文邹泽民.Zhou Zemin二元函数未定型极限问题的研究-广西梧州师范高等专科学校学报2002,18(1)给出二元函数基本未定型极限的洛泌达法则及三种具体的求极限的运算定理.10.期刊论文齐小忠关于二元函数二阶混合偏导数的注记-许昌学院学报2004,23(2)大多数数学分析教科书讨论二元函数的二阶混合偏导数f'xy(x,y)、f"(x,y)与求导次序有无关系时,都是在其连续的情况下得出与次序无关的结论的.本文给出了较弱的与求导次序无关的几个结论.本文链接:/Periodical_kjxx200918384.aspx授权使用:中共汕尾市委党校(zgsw),授权号:6303e070-b0c9-4d3e-83e0-9dca0148959f下载时间:2010年8月6日。
16.2二元函数的极限
有 : (x2 xy y2) 7 7 14
故 lim (x2 xy y2 ) 7 ( x, y)(2,1)
例
2.用“
”定义验证极限lim x0
xy 2 x2 y2
0.
y0
证明: 0,要使:
xy 2 x2 y2
0
x
2
xy
y
2
y
0
1 2
y0
取 2 0, 当(xx, y)0U ,((y0,00),)(方时),
则称函数 z f (x, y)在点P0 (x0, y0 )存在极限,且
称 A为函数 z f (x, y)当 x x0, y y0 时的极
限(全面极限),记为 lim f (x, y) A x x0 y y0
或 lim f (x, y) A,或 lim f (P) A
x, y x0 , y0
x0
sin( x x2
2 y) y2
.
y0
解
lim
x0
sin( x x2
2 y) y2
y0
lim
x0
sin( x2 x2 y
y)
x2 y x2 y2
,
y0
其中
lim
x0
sin( x
x2 2y
y
)
y0
u x2 y sin u
lim 1, u0 u
x2 y x2 y2
1x 2
x0 0,
lim
f
(P)
A.
PE
推论 1.设 E1 D , P0 是 E1 的聚点。若极限
lim f (P)不存在,则极限 lim f (P)也不存在 .
PP0
PP0
二元极限习题及答案
二元极限习题及答案二元极限习题及答案在数学中,二元极限是研究函数在二维平面上的极限行为的重要概念。
它在微积分和数学分析中扮演着重要的角色。
本文将介绍一些常见的二元极限习题,并提供详细的解答。
1. 习题一:计算二元函数f(x, y) = (x^2 + y^2)/(x + y)在点(0, 0)处的极限。
解答:要计算该二元函数在(0, 0)处的极限,可以尝试使用极坐标变换。
令x = rcosθ,y = rsinθ,其中r为距离原点的距离,θ为与x轴的夹角。
将x和y代入原函数中得到:f(r, θ) = (r^2cos^2θ + r^2sin^2θ)/(rcosθ + rsinθ)= r(cos^2θ + sin^2θ)/(cosθ + sinθ)= r/(cosθ + sinθ)当r趋近于0时,函数f(r, θ)趋近于0。
因此,原函数在(0, 0)处的极限为0。
2. 习题二:计算二元函数f(x, y) = (x^2 - y^2)/(x - y)在点(1, 1)处的极限。
解答:要计算该二元函数在(1, 1)处的极限,可以尝试使用直接代入法。
将x和y分别替换为1,得到:f(1, 1) = (1^2 - 1^2)/(1 - 1)= 0/0由于分子和分母都为0,无法直接计算极限。
这时可以尝试对函数进行化简。
将分子进行因式分解,得到:f(x, y) = ((x - y)(x + y))/(x - y)当x ≠ y时,可以约去分子和分母的(x - y)项,得到f(x, y) = x + y。
因此,在点(1, 1)处,函数的极限为2。
3. 习题三:计算二元函数f(x, y) = xy*sin(1/x)在点(0, 0)处的极限。
解答:要计算该二元函数在(0, 0)处的极限,可以尝试使用夹逼定理。
根据夹逼定理,如果存在两个函数g(x, y)和h(x, y),满足对于所有的(x, y) ∈ D,有g(x, y) ≤ f(x, y) ≤ h(x, y),且lim(g(x, y)) = lim(h(x, y)) = L,那么lim(f(x, y)) = L。
二元函数极限证明
二元函数极限证明)in1y?ysin1x, 求在点( 0 , 0 )的两个累次极限 .二重极限与累次极限的关系:(1)两个累次极限可以相等也可以不相等,所以计算累次极限时一定要注意不能随意改变它们的次序。
例函数 f(x,y)?x?y?x?yx?y22的两个累次极限是 y?yyx?xx22limlimx?y?x?yx?yx?y?x?yx?yy?0x?0?limy?0?lim(y?1)??1y?0?lim(x?1)?1x?0limlimx?0y?0?limx?0(2)两个累次极限即使都存在而且相等,也不能保证二重极限存在例f(x,y)?xyx?yxyx?y,两个累次极限都存在limlimy?0x?0?0,limlimxyx?yx?0y?0?0但二重极限却不存在,事实上若点p(x,)沿直线 y?kx趋于原点时,kxf(x,y)?x?(kx)?k1?k二重极限存在也不能保证累次极限存在二重极限存在时,两个累次极限可以不存在.例函数 f(x,y)?xsin1y?ysin1x由|f(x,y)| ? |x|?|y|?0 ,( x ,y)?(0,0).可见二重极限存在 ,但1xlimsinx?0和limsiny?01y不存在,从而两个累次极限不存在。
(4)二重极限极限lim(x,y)?(x0,y0)f(x,y)和累次极限limlimf(x,y)(或另一次序)都存x?x0y?y0在 , 则必相等.( 证 )(5)累次极限与二重极限的关系若累次极限和二重极限都存在,则它们必相等第三篇:二元函数极限的研究二元函数极限的研究作者:郑露遥指导教师:杨翠摘要函数的极限是高等数学重要的内容,二元函数的极限是一元函数极限的基础上发展起来的,本文讨论了二元函数极限的定义、二元函数极限存在或不存在的判定方法、求二元函数极限的方法、简单讨论二元函数极限与一元函数极限的关系以及二元函数极限复杂的原因、最后讨论二重极限与累次极限的关系。
第二节二元函数的极限
lim
x0 ykx
f (x, y)
lim
x0
x2
kx2 (1 k
2
)
1
k k
2
当 k 不同时, 极限也不同、 因此, f (x, y) 在 (0, 0)
得极限不存在 、
请考察当X = (x, y)沿 x 轴, 沿 y 轴趋于(0, 0) 得情形、
沿 x 轴, y = 0、 函数极限
lim
x0
f
(x,
二元函数得极限运算举例
例 求 lim( x2 2 y2 3xy).
x0
y1
解 lim( x2 2 y2 3xy) lim( x2 ) lim(2 y2 ) lim(3xy)
x0
x0
x0
x0
y1
y1
y1
y1
lim( x2 ) 2lim( y2 ) 3(lim x)(lim y)
x0
x0
x0 x0
记作 lim f (P) A, 或 P P0
lim f (x, y) A,
x x0 y y0
也可记作 f (P) A (P P0), 或,
f (x, y) A (x x0, y y0 )
注 定义中要求X0就是定义域D得聚点, 这就是
为了保证 P0得任意近傍总有点P使得f (P)存在, 进
都收敛、
上述定理及其推论相当于数列极限得子列定理 与一元函数得海涅归结原则
注意: P P0 是指 P 以任何方式趋于P0 .
一 lim f ( x) A,
元 x x0 0
lim f ( x) A.
中 lim f ( x) A,
x x0
x x0 0
多 元
二元函数极限的求法
二元函数极限的求法
二元函数极限是一个有用的概念,它可以帮助我们讨论函数的行
为和图像的性质,同时也是很多函数中的重要部分。
学习如何求二元
函数极限可以帮助我们了解函数的行为,从而使我们更好地理解函数
的意义。
求二元函数极限的一般方法是使用切线定理。
通过切线定理,我
们可以将一个函数的行为拆分为两个单独的函数:函数本身和其切线。
通过这种拆分,我们可以使用函数本身和它的切线来求得极限。
必须找到一组合适的切线。
有时候,它只需要简单地向某个方向
切开即可,有时候可能需要尝试多个方向,但总的来说,重点是找到
可以处理的切线以及它们的slope。
然后,我们可以使用偏导数的方法来确定极限的起始点。
使用偏导数,我们可以从一个函数中寻找出对
第二个函数的影响,从而找到两个函数之间的极限。
我们可以开始求函数本身的极限。
有时,我们可以使用数学公式,例如牛顿-拉弗森方程或梯形公式来直接估算函数的极限。
而在其他情
况下,我们可能需要结合该函数本身的性质,使用查表、图像解释或
是向上、向下导数等技术,来找出函数的极限。
可以使用解析方法,将上面提到的函数极限与切线函数的极限进
行比较,以找出二元函数极限的最终结果。
如果两个函数均不存在极限,则二元函数也不存在极限。
如果两者有极限存在,则最后的极限
将是两者极限的最小值。
因此,利用切线定理和数学公式,我们可以求出二元函数极限,
并以此来更全面地理解函数的行为。
高等数学第16章第2节二元函数的极限
§2 二元函数的极限一 二元函数的极限定义1 设f 为定义在⊂D R 2二元函数,0P 为的D 一个聚点,A 是一个确定的实数。
若对任给正数ε,总存在某正数δ,使得当()D P U P o δ;0∈时,都 有(),ε<-A P f则称f 在.D .上.当0P P →时,以A 为极限,记作 ().lim 0A P f D P P P =∈→ ()1 在对于D P ∈不致产生误解时,也可简单地写作().lim A P f PP =→ ()'1 当0,P P 分别用坐标()()00,,,y x y x 表示时,()'1也常写作().,lim )(),(0,0A y x f y x y x =→ ()"1 例1 依定义验证.7)(lim 22)1,2(),(=++→y xy x y x证 因为722-++y xy x)1(2)4(22-+-+-=y xy x )1)(1()1(2)2()2)(2(-++-+-+-+=y y y y x x x.3122+-+++-≤y y y x x先限制在点(2,1)的1=δ方邻域(){}11,12,<-<-y x y x内讨论,于是有,541413<+-≤+-=+y y y5)1()2(2+-+-=++y x y x.7512<+-+-≤y x所以1527722-+-≤-++y x y xy x ).12(7-+-<y x设ε为任给的正数,取)14,1min(εδ=,则当)1,2(),(,1,2≠<-<-y x y x δδ时, 就有 .27722εδ<∙<-++y xy x □例2 设 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-=),0,0(),(,0),0,0(),(,),(2222y x y x y x y x xy y x f证明 .000=→)y ,x (f lim ),()y ,x ( 证 对函数的自变量作极坐标变换.sin ,cos ϕϕrl y r x ==。
求二元函数极限的方法
求二元函数极限的方法一、利用函数的极限定义二元函数极限的定义是通过在自变量(x,y)的取值趋近于特定极点(x0,y0)的时候,来确定因变量(z)趋近于极限L的值。
我们可以利用函数定义来求二元函数的极限。
方法:1、对于定义函数可以用数列的方法逼近,令 (x_n, y_n) -> (x_0, y_0)。
即在点(x_0, y_0) 的无限小领域内,在它左上角,左下角,右上角,右下角四个方向各自建立一条数列 (x_n, y_n) 使它们分别趋近于 (x_0, y_0),然后再求出数值L。
公式:lim (x_n, y_n) -> (x_0, y_0) f(x_n, y_n) = L2、通过ε-δ方法和极限定义结合来求二元函数的极限。
公式:∀ε > 0, ∃δ > 0, d((x,y),(x_0, y_0)) < δ 时, |f(x,y) - L| < εd((x,y), (x_0, y_0)) 是二元函数两点间的距离。
二、分量函数的极限对于一个二元函数 z = f(x,y),如果存在一些分量函数,使得当(x,y) → (x_0, y_0) 时,分量函数的值也趋于一些确定的极限,则可以通过分量函数的极限来求二元函数的极限。
方法:1、将二元函数表示为一个分量函数的形式,例如:f(x,y) = u(x,y)v(x,y)。
确定分量函数u(x,y)和v(x,y)的极限。
2、将二元函数表示为两个分量函数的和的形式 f(x,y) = g(x,y) + h(x,y)。
确定分量函数g(x,y)和h(x,y)的极限,再将两个分量函数的极限相加即可。
3、利用拉格朗日中值定理 (Lagrange Mean Value Theorem) 或者柯西中值定理(Cauchy Mean Value Theorem)等定理来确定分量函数的极限。
三、利用集合和控制变量法在一些特殊情况下,可以通过设定一个限制条件或者控制变量来求出二元函数的极限。
二元函数求极限的方法总结
二元函数求极限的方法总结二元函数求极限是微积分中的重要内容之一,它涉及到对两个变量同时进行极限运算。
在实际应用中,二元函数求极限的方法有多种。
下面将对常用的方法进行总结和拓展。
一、直接代入法:当二元函数在某一点的极限存在且可以直接代入,即函数在该点连续时,可以直接将函数值代入,得到极限值。
二、分别求极限法:当二元函数在某一点的极限不存在或者无法直接代入时,可以分别对两个变量进行极限运算。
即先对其中一个变量进行极限运算,然后再对另一个变量进行极限运算。
通过这种方法,可以得到二元函数在某一点的极限值。
三、路径法:路径法是一种常用的求二元函数极限的方法。
其基本思想是通过选择不同的路径,对二元函数在该路径上的极限进行求解。
如果在所有路径上的极限都存在且相等,则该极限即为二元函数在该点的极限。
常用的路径包括x轴,y轴,直线y=kx,抛物线y=x^2等。
通过选择不同的路径进行计算,可以帮助我们判断二元函数在某一点的极限是否存在。
四、夹逼定理:夹逼定理也适用于二元函数的极限求解。
当我们希望求二元函数在某一点的极限时,可以找到两个函数,一个函数上界大于该二元函数,一个函数下界小于该二元函数,并且两个函数在该点的极限相等。
利用夹逼定理可以得到二元函数在该点的极限值。
五、极限存在的条件:当我们希望判断二元函数在某一点的极限是否存在时,可以利用一些条件来进行判断。
常见的条件包括函数连续性、函数的有界性、函数的单调性等。
通过分析这些条件,可以得到二元函数在某一点的极限是否存在的结论。
总之,二元函数求极限的方法有多种,我们可以根据具体情况选择适当的方法。
通过深入理解这些方法,我们可以更好地进行二元函数的极限运算,并应用于实际问题中。
求二元函数极限的几种方法
1.二元函数极限观点剖析定义 1 设函数f在D R2上有定义,P0是 D 的聚点, A 是一个确立的实数.假如关于随意给定的正数,总存在某正数,使得 P U0(P0; )I D 时,都有f (P) A,则称 f 在D受骗 P P0时,以A为极限,记lim f (P) A .P P0P D上述极限又称为二重极限.2.二元函数极限的求法2.1 利用二元函数的连续性命题若函数 f (x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续,则limf ( x, y) f ( x0 , y0 ) .( x, y) (x0 , y0 )例 1求 f ( x, y) x22xy 在点(1,2)的极限 .解:因为 f ( x, y)x22xy 在点(1,2)处连续,所以lim f ( x, y)x 1y 2lim( x22xy)x 1y 2122125.例 2求极限 lim1.2y 2x , y1,1 2x解:因函数在 1,1 点的邻域内连续,故可直接代入求极限,即lim1= 1.x, y1, 1 2x2y 232.2 利用恒等变形法将二元函数进行恒等变形,比如分母或分子有理化等.例 32xy 4求 limxyx 0y 02 xy 4解: limxyx 0y 0lim (2xy 4)(2xy4)xy(2xy4)x 0ylimxyxy(2xy 4)x 0ylim1x 0 2xy4y1 .4例 4lim(1 2x 2 )(13y 2 ) 1.2x2 3 y2x, y0 ,0解:原式lim1 2 x 2 1 3 y 211 2x2 1 3y 2 1x, y 0,0 2x23 y21 2 x21 3y21lim16x 2 y 2x, y0,01 2x 21 3 y 21 2x 23y 21 2x 21 3y 211 0 1 .222.3 利用等价无量小代换一元函数中的等价无量小观点能够推行到二元函数. 在二元函数中常有的等价无量小 (u( x, y)0) ,有 sin u(x, y) : u( x, y) ;1 cosu( x, y) :u 2( x, y);2ln 1 u( x, y) : u( x, y) ; tan u(x, y) : u( x, y) ; arcsin u( x, y) : u(x, y) ;arctan u( x, y) : u( x, y) ; n 1 u(x, y) 1 :u( x, y) ; e u( x, y ) 1 : u(x, y) ;同一元函n数相同,等价无量小代换只好在乘法和除法中应用 .例 51 x y 1求 limx yxy解: 当 x0 , y0 时,有 xy 0 .1 x y 1 : 1( x y) ,所以2 lim 1 x y 1xyx 01(x y) lim2x yx 0y1 .2lim 1 x y 1x yx 0y 0lim1 x y 1( 1 x y 1)( 1 x y 1)这个例子也能够用恒等变形法计算,如:x 0 y 0lim11 x y 1x 0y 01 .22.4 利用两个重要极限sin u( x, y) 1lim1, lim 1 u( x, y) u( x, y ) e 它们分别是一元函数中两个重u( x, y)u (x , y) 0u ( x, y) 0要极限的推行 .x 2例 6求极限 lim(11) x y .xxyy a解: 先把已知极限化为x 2x 22xy( x y )lim(1 1 ) xlim(1 1,而 limxlimy) xyy)yaxyy axyx xy( xxxxa(1 y ay 当 x, ya 时 xy,1,所以 lim(1 1 )xy e. xyy axyxx 2lim (11)xy xy( x y)故原式 = x yaxy1e a .例 7 求 lim sin( xy) 极限 .x 0 xy a解:因为 sin( xy)y. sin( xy) ,当 x0, ya 时, xyxxysin( xy)1 ,再利用极限四则运算可得:xysin( xy)lim y.sin(xy)lim y. limsin( xy)a.·1= a .limxxyxyx 0x 0 y axy 0y ay a这个例子也能够用等价无量小代换计算,如:当 x 0 , y a 时, xy 0 , sin( xy) : xy .11 ,y ) y a x0 ,所以所以, lim sin( xy) lim xy lim y a.x x x 0 x 0 y ay a y a2.5 利用无量小量与有界量的乘积仍为无量小量的结论例 8 求 lim( 3x y)sin 1cos 1y 0 xyx 0解:因为 lim( 3x y) 0 是无量小量,x 0 y 0故可知 , lim( 3 x y)sin 1cos 10.x 0 x yy 0例 9 求 lim( x 3)2 ( y 2)2 2x 3(x 3) ( y 2)y 2解原式 = lim (x 3)( y 2)2 (x 3)(x 3) 2( y 2)x 3y 2因为(x 3)( y2)(x3)2 ( y2)2(x 3)2( y 2)22 ( x 3)2( y 2)2lim( x 3) 0 是无量小量,x 3 y 2所以 , lim ( x 3)2( y 2)0 .(x3)2 ( y 2) 2x 3 y21 1 是有界量 ,sin cos1 xy1 是有界量,又2固然这个方法计算实质问题上不那么多用,但计算对无量小量与有界量的乘积形式的极限的最简单方法之一 .2.6 利用变量替代法经过变量替代能够将某些二元函数的极限转变为一元函数的极限来计算,从而使二元函数的极限变得简单. 但利用时必定要知足下边的定理。
二元函数极限证明
二元函数极限证明二元函数极限是非常重要的数学概念,它在微积分、数学分析、数学物理等领域中都有着广泛的应用。
本文将探讨二元函数极限的定义、性质和证明方法等内容。
一、二元函数极限的定义二元函数极限是指当二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处充分接近某一数L时,称f(x,y)以(x0,y0)为极限的极限为L。
其数学表达式为:lim f(x,y) = L (x,y) → (x0,y0)其中,x和y是自变量,f(x,y)是因变量,(x0,y0)是指自变量趋向的目标点,L是指当自变量趋向(x0,y0)时,因变量接近的目标数。
二、二元函数极限的性质1. 二元函数极限不存在的情况二元函数极限可能不存在,如果在(x0,y0)处存在不同的极限,或者不存在以(x0,y0)为中心的去心邻域,那么二元函数极限就不存在。
2. 二元函数极限存在的情况若二元函数在点(x0,y0)的某去心邻域内有定义,并且存在常数L,使得对于任意给定的正实数ε,总存在正实数δ,使得当点(x,y)满足0<d((x,y),(x0,y0))<δ时,就有|f(x,y)-L|<ε,那么就称L是二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处的极限。
3. 二元函数极限等价于一元函数极限对于二元函数f(x,y),可以将一个自变量看成定值,将另一个自变量看成另一个自变量的函数,则可以将二元函数极限转化为一元函数极限。
4. 二元函数极限具有唯一性如果二元函数在点(x0,y0)处存在极限,那么它的极限是唯一的。
三、二元函数极限的证明方法1. 利用定义证明根据极限的定义,可以利用ε-δ语言对二元函数的极限进行证明。
具体地,可以先假设在(x0,y0)处存在一个数L,然后对于任意给定的ε>0,都可找到一个正实数δ>0,使得当点(x,y)满足0<d((x,y),(x0,y0))<δ时,有|f(x,y)-L|<ε。
最后证明这个数列L确实满足该条件,即证得二元函数在点(x0,y0)处的极限存在。
利用换元法求解二元函数的极限
利用换元法求解二元函数的极限在数学中,二元函数是指包含两个自变量的函数。
而在求解二元函数的极限时,可以借助换元法来简化计算过程。
本文将以具体案例说明如何利用换元法求解二元函数的极限。
假设我们有一个二元函数f(x, y),现在要求解lim(x, y)->(a, b) f(x, y),其中(a, b)是二元函数f(x, y)的极限点。
首先,我们需要进行合适的变量替换,以简化问题。
假设我们令:u = x - av = y - b通过这样的变量替换,我们可以将问题转化为求解lim(u, v)->(0, 0)g(u, v),其中g(u, v)是通过f(x, y)和变量替换得到的新函数。
接下来,我们需要确定u和v与x、y之间的关系。
根据前面的变量替换,我们可以得到:x = u + ay = v + b现在,我们可以将对于f(x, y)的极限表达式转化为对于g(u, v)的极限表达式。
将x和y的表达式代入f(x, y)中,我们得到:f(x, y) = f(u + a, v + b) = g(u, v)因此,我们只需求解lim(u, v)->(0, 0) g(u, v)即可。
在实际应用中,求解二元函数的极限可能需要借助一系列的极限定理和性质,以简化计算过程。
例如,我们可以使用多重极限的定理,将二元函数的极限转化为一元函数的极限,然后再利用一元函数的极限求解方法进行计算。
此外,在实际运用过程中,我们还需要注意特殊情况的处理,如遇到未定义或不符合条件的极限,需要进行适当的讨论和处理。
总之,利用换元法求解二元函数的极限可以帮助我们简化计算过程,并得到准确的结果。
在应用中,我们需要灵活运用极限定理和性质,处理特殊情况,以确保计算的准确性和有效性。
利用柯西中值定理求解二元函数的极限
利用柯西中值定理求解二元函数的极限在数学的研究和应用中,求解函数的极限是一项基本而重要的任务。
柯西中值定理(Cauchy's Mean Value Theorem)是一种常用的方法,用于求解二元函数的极限。
本文将介绍柯西中值定理的原理和应用,并通过具体的例子来演示如何利用柯西中值定理求解二元函数的极限。
柯西中值定理是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西(Augustin-Louis Cauchy)在19世纪初提出的。
该定理描述了如果一个函数在一个闭区间上连续,在该区间的内部可微分,那么在该区间内,函数在两个点之间某个点的导数等于函数在两个端点处的差值与两个端点之间的距离的商。
具体而言,对于二维平面上的函数f(x, y),如果存在一个闭区间[a,b]×[c, d],其中a < b,c < d,且在该区间内,函数f(x, y)满足以下条件:1. 函数f(x, y)在闭区间内连续;2. 函数f(x, y)在闭区间内可微分;那么对于闭区间内的任意两点(A, B),其中A的坐标为(a, c),B的坐标为(b, d),在A和B之间至少存在一点M,其坐标为(x0, y0),满足以下等式:f(b, d) - f(a, c) = [∂f/∂x(x0, y0)] * (b - a) + [∂f/∂y(x0, y0)] * (d - c)从这个等式可以推导出以下结论:1. 如果二元函数f(x, y)在闭区间内的偏导数存在且连续,那么存在至少一个点M,使得函数在该点处的导数等于函数在闭区间两个端点处的斜率;2. 如果二元函数f(x, y)在闭区间内的偏导数不仅存在且连续,而且在该闭区间上连续,则通过柯西中值定理可以求得一个确切的点M;现在,我们通过一个具体的例子来演示如何利用柯西中值定理求解二元函数的极限。
例子:假设有一个二元函数f(x, y) = (xy^2)/(x^2 + y^2),我们希望求解函数f(x, y)在点(0, 0)处的极限。
9-2 二元函数的极限与连续
15-13
有界闭区域上二元连续函数的性质.
定理 9.2.2 (最值定理) 如果二元函数 f ( x, y) 在有界闭区域 E 上连续, 则二元函数 f ( x, y) 必在 E 上取得最大值和最小值.
定理 9.2.3 (有界定理) 如果二元函数 f ( x, y) 在有界闭区域 E 上连续, 则二元函数 f ( x, y) 必在 E 上有界.
所谓二元初等函数是指自由变量 x, y (或其他形式)的一元基 本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算后所得到的 能由一个表达式的函数.
例如
ln( x 2 y 2 1) u , euv sin 均为二元初等函数. x y v
15-11
二元连续函数的性质
⑴ 二元连续函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为连续 函数.
P( x, y) D U ( P0 , ) ,即 0 ( x x0 )2 ( y y0 )2 且P( x, y) D
时,恒有
| f ( x, y) A |
成立, 就称常数 A 为二元函数 f ( x, y) 当 ( x, y) ( x0 , y0 ) 时的极限, 记 为
( , ) E ,使得 f ( , ) 0 .
15-14
可将二元函数的极限,二元函数的连续性推广到三元以及三元 以上函数上去,并且有完全相仿的结论.
15-15
则三者相等.
(证明从略)
15-8
9.2.2
二元函数的连续性
定义 9.2.2 设二元函数 z f ( x, y) 的定义域为 D , ( x0 , y0 ) 为 D 的聚点, 且 ( x0 , y0 ) D ,如果
xx0 y y0
关于二元函数极限的求法的探讨
关于二元函数极限的求法的探讨作者:马晨来源:《活力》2013年第21期[关键词] 二元函数;函数的极限;洛必达法则;连续性二元函数极限的定义:设f为定义DR2上的二元函数,P0为D的一个聚点,A是一个确定的实数。
若对任给正数ε,总存在某正数δ,使得当P∈U0(P0;δ)∩D时,都有|f(P)-A当P,P0分别用坐标(x,y),(x0,y0)表示时,上式也常写作。
1 二元函数极限不存在的判别法1.1二重极限存在是指P(x,y)以任何方式趋于P0(x0,y0)时,函数都无限接近于A,因此,如果P(x,y)以某一特殊方式例如沿着一条直线趋于P0(x0,y0)时,即使函数无限接近于某一确定值,还不能由此断定函数极限的存在,但如果当P(x,y)以不同方式趋于P0(x0,y0)时,函数值趋于不同的值,则可断定这个函数当x→x0,y→y0时极限不存在。
解:当动点(x,y)沿着直线y=mx而趋于定点(0,0)时,由于此时,因而有,这一结果说明动点沿不同斜率m的直线趋于原点时,对应的极限值也不相等,因此所讨论的极限不存在。
1.2二重极限与累次极限没有必然的联系。
由定理知若累次极限与二重极限都存在时则三者必相等。
由此可推出若累次极限都存在但不相等时二重极限必不存在解:,两个累次极限存在但不相等所以二重极限不存在。
2 二元函数极限的计算方法2.1利用二元函数极限的定义求解2.2利用极限的四则运算法则求解二元函数与一元函数有着类似的运算法则,利用函数极限的迫敛性与四则运算的混合我们就可以将一些复杂的函数极限计算问题转化成简单的函数极限运算,下面我们举一个二元函数求极限过程中运用到四则运算法则的例子。
2.3将二元极限化为一元极限的求法依据函数f(x,y)的特殊类型,利用两个变量x,y的和x+y=t,平方和x2+y2=t及乘积xy=t等做变换,将二元函数f(x+y)求极限的问题,整体或部分转化为一元函数求极限的问题。
(1)当x→∞,y→a(a≠0常数)时,二元函数f(x,y)的极限做变换xy=t,相应的有t→∞,利用已知一元函数的极限公式再继续计算。
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1 / 151.二元函数极限概念分析定义1 设函数f 在2D R ⊂上有定义,0P 是D 的聚点,A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε,总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时,都有 ()f P A ε-<,则称f 在D 上当0P P →时,以A 为极限,记0lim ()P P P Df P A →∈=.上述极限又称为二重极限.2.二元函数极限的求法2.1 利用二元函数的连续性命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续,则0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=.例1 求2(,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解: 因为2(,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续,所以122122lim (,)lim(2)12125.x y x y f x y x xy →→→→=+=+⨯⨯=例2 求极限()()221,1,21limy x y x +→.解: 因函数在()1,1点的邻域内连续,故可直接代入求极限,即()()221,1,21limy x y x +→=31.2 / 152.2 利用恒等变形法将二元函数进行恒等变形,例如分母或分子有理化等. 例3 求00x y →→解: 00x y →→00x y →→=0x y →→=001.4x y →→==-例4 ()()22220,0,321)31)(21(lim yx y x y x +-++→.解:原式()()())()(),0,02211lim231x y xy →=+()(22,0,0limx y →=+11022=+=.2.3 利用等价无穷小代换一元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数.在二元函数中常见的等价无穷小((,)0)u x y→,有sin(,)(,)u x y u x y;2(,)1cos(,)2u x yu x y-;[]ln1(,)(,)u x y u x y+;tan(,)(,)u x y u x y;arcsin(,)(,)u x y u x y;arctan(,)(,)u x y u x y(,)1u x yn;(,)1(,)u x ye u x y-;同一元函数一样,等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用.例5求xy→→解: 当x→,0y→时,有0x y+→11()2x y+,所以1()2lim1.2xyxyx yx y→→→→+=+=这个例子也可以用恒等变形法计算,如:1.2xyxyxy→→→→→→===3 / 154 / 152.4 利用两个重要极限(,)0sin (,)lim 1(,)u x y u x y u x y →=,[]1(,)(,)0lim 1(,)u x y u x y u x y e →+= 它们分别是一元函数中两个重要极限的推广.例6 求极限 21lim(1)x x yx y axy+→∞→+.解: 先把已知极限化为22()11lim(1)lim (1)x x xy x y xy x yx x y ay a xy xy ++→∞→∞→→⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦,而 211limlim ,()(1)x x y a y a x y xy x y ay x→∞→∞→→==++ 当 ,x y a →∞→时1,0xy xy →∞→,所以 1lim(1).xy x y ae xy →∞→+=故原式=2()11lim (1).x xy x y xy xy a axy e +→∞→⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=例7 求 0sin()limx y axy x →→极限.解: 因为sin()sin().xy xy y x xy=,当0,x y a →→时,0xy →,所以 sin()1xy xy→,再利用极限四则运算可得: 000sin()sin()sin()limlim .lim .lim .x x y a xy y a y axy xy xy y y a x xy xy →→→→→→===·1=a .这个例子也可以用等价无穷小代换计算,如: 当 0x →,y a →时,0xy → ,sin()xy xy .5 / 15所以, 00sin()limlim lim .x x y a y a y axy xyy a x x →→→→→===2.5 利用无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量的结论例8 求0011)sin cos x y y x y →→解: 因为00)0x y y →→= 是无穷小量, 11sin cos 1x y ≤ 是有界量 ,故可知,0011)sin cos 0.x y y x y →→=例9 求 22232(3)(2)lim (3)(2)x y x y x y →→---+-解 原式=2232(3)(2)lim(3)(3)(2)x y x y x x y →→--⋅--+-因为 222222(3)(2)(3)(2)1(3)(2)22(3)(2)x y x y x y x y ---+-≤=-+-⎡⎤-+-⎣⎦ 是有界量,又 32lim(3)0x y x →→-= 是无穷小量,所以 , 22232(3)(2)lim0(3)(2)x y x y x y →→--=-+- . 虽然这个方法计算实际问题上不那么多用,但计算对无穷小量与有界量的乘积形式的极限的最简单方法之一 .2.6利用变量替换法通过变量替换可以将某些二元函数的极限转化为一元函数的极限来计算,6 / 15从而使二元函数的极限变得简单.但利用时一定要满足下面的定理。
定理:函数(),f x y 点()00,x y 的取心领域内有定义的且cos a 、cos b 沿向量()0,0x xy y --的方向余弦,若二元函数的极限()000lim cos ,cos t x t a y t b A →++=,则 )1若A 的值与a 、b 无关,则()()()00,,lim,x y x y f x y A →=;)2若A 的值与a 、b 有关,则()()()00,,lim,x y x y f x y →不存在;例10 求 22()lim ()x y x y x y e -+→+∞→+∞+解 22222()22()lim ()lim 2x y x y x x y y x y x y x y ee x xy y -++→+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤+++=⋅⎢⎥++⎣⎦ 因 0,0x y >>时,222212x y x xy y+≤++ ,令 x y t +=,显然满足定理的条件,则22()22lim lim lim lim 0x y t t t x t t t y x y t t e e e e +→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞+====,所以 ,22()lim ()0x y x y x y e -+→+∞→+∞+= . 例11 求极限0tan x y x y →→+解:令u =又0lim 0x x y y u →→→→==显然满足定理的条件,则22222000001cos sin 1sin 1limlim lim cos tan 2sec 22x u u u y u u u u u u u u →→→→→-===⋅⋅=2.7 利用夹逼准则二元函数的夹逼准则:设在点000(,)P x y 的领域内有(,)(,)(,)h x y f x y g x y ≤≤,且0000(,)(,)(,)(,)lim (,)lim (,)x y x y x y x y h x y g x y A →→==(常数),则7 / 1500(,)(,)lim (,)x y x y f x y A →= . 但要注意求二元函数极限时是对两个变量同时放缩.例12 求 2200lim x y x y x y →→++解: 因为 222()00(0,0)x y x y x y x y x y x y++≤≤=+→→→++ ,由夹逼准则,得 2200lim0x y x y x y →→+=+ . 例13 求极限222)sin(lim y x y x y x +∞→∞→.解: 222221)sin(0y x y x y x +≤+<, 又01lim22=+∞→∞→y x y x ,故222)sin(lim y x y x y x +∞→∞→=0.2.8 先估计后证明法此方法的运用往往是先通过观察推断出函数的极限,然后用定义证明.例14 求函数2222(,)x y f x y x y =+在点(0,0)处的极限.解: 此例分2部考虑:8 / 15先令y kx =,考虑(,)f x y 沿y kx =(,)(0,0)x y →时的极限,4242222222220000lim (,)lim lim lim 0(1)1x x x x y kxx k x k k f x y x x x k x k k →→→→====⋅=+++ .因为路径y kx =为特殊方向,因此我们还不能判断出极限为0.所以下面用定义检验极限是否为0: 因为222222222222222()(,)002()2()xy xy xy x y x y x y f x y x y x y x y x y ⋅⋅+-=-==≤++++10022xy x y ==-⋅- 于是,0,ε∀>取0,(,):0,0x y x y δδδ=>∀-<-<且2222102x y x y δδ-≤⋅+=22δ22εε==,所以222200lim 0x y x y x y →→=+. 例15.求()224,xy f x y x y =+在()0,0的极限.解:若函数()224,xy f x y x y=+中动点(),p x y 沿直线y kx =趋于原点()0,0, 则()()()()()2222322424244242,0,0,0,limlim lim lim 01x y x y kx x o x o xy xy xk x x k x y x y x k x x k x →→→→====++++ 即函数()224,xy f x y x y =+中动点(),p x y 沿着无穷多个方向趋于原点时,它的极限为0;但根据这个我们不能说它的极限为0;由于动点(),p x y 沿着其它的路径,比如沿抛物线y =,其极限为()()224,0,0lim x y xy x y →+()(2224220,1lim 2x x y xy x x y x x →→===++从而判断出()()224,0,0lim x y xy x y→+不9 / 15存在;通过例子我们得出任意方向不能代表任意路径,也就是说,我们沿动点(),p x y 不仅任何路径而且还必须任意方向;2.9 利用极坐标法当二元函数中含有22x y +项时,考虑用极坐标变换:cos ,sin x y ρθρθ==通过综合运用恒等变换,不等式放缩等方法将二元函数(,)f x y 转化为只含有参量ρ的函数()g ρ,进而求二元函数的极限.例16 计算2222(,)(0,0)lim ()sinx y x yx y x y→+++ 解: 极限中的二元函数含有22x y +,令cos ,sin x y ρθρθ==,使得222222(sin cos )0()sinsin x y x y x y θθρρρ++≤+=≤+,20lim00,lim 0ρρρ→→==,由夹逼准则得,20(sin cos )lim sin0ρθθρρ→+=所以,2222(,)(0,0)lim ()sin0x y x yx y x y →++=+.例17 求极限22400lim x y xy x y →→+. 解:若令t 为变量,使cos ,sin x t y t θθ==且[],2o θπ∈,则2222224cos sin 0cos sin xy t x y t θθθθ-=++,当(),x y ()0,0→时,t →0.对任意固定的θ 上式均趋于0,但不能下结论说22400lim x y xy x y →→+=0.事实上22400lim x y xy x y →→+不存在,这只让10 / 15(),x y 沿着任意方向y kx =趋于定点(0,0),此时224200lim 1x y xy k x y k →→=++. =在运用此方法时注意,经过初等变换后的函数满足用迫敛性得函数的极限为a ;若化简后的函数为(,)g ρθ,但对于某个固定的00,(,)0g θρθ→,仍不能判断函数的极限为a .2.10 利用累次极限法一般情况下,累次极限存在并不能保证二重极限存在,但二元函数(,)f x y 满足定理2的条件,就可以利用累次极限0000lim lim (,)lim lim (,)x x y y y y x x f x y f x y →→→→或来计算极限.定理2 若(,)f x y 在点00(,)x y 存在重极限00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →与两个累次极限0000lim lim (,),lim lim (,)x x y y y y x x f x y f x y →→→→,则它们必相等.例18 求极限4422(,)(0,0)lim x y x y x y →++解:44222222222()x y y y x x y x y x y+--=≤++,∴对任意4402220(0,),lim y x y x U x x y δ→+∈=+一致的成立;而对4402220(0,),lim x x y y U y x yδ→+∈=+存在,根据定理1,得444422222(,)(0,0)000lim lim lim lim 0x y x y x x y x y x x y x y →→→→++===++. 这道题也可以用上述所说的先估计后证明法和极坐标法来计算,如:(1) 用先估计后证明法:11 / 15解: 通过观察可知极限中的二元函数分子是分母的高阶无穷小量,故极限应为0,定义证明:0,ε∀> 因为 4444222222220x y x y x y x y x y x y+-≤+≤++++,故要使4422,x y x y ε+<+只要取δ=(,):,x y x y δδ∀<<则4422220442x y x y x y εεεε+-≤+<+=<+, 故 4422(,)(0,0)lim 0x y x y x y →+=+. (2)用极坐标法解 令 cos ,sin x y ρθρθ==,因为444442442222(cos sin )0(cos sin )2x y x y ρθθρθρρ++≤==+≤+,200lim00,lim 20ρρρ→→==,∴由夹逼准则得,2440lim (cos sin )0ρρθθ→+=, 所以,4422(,)(0,0)lim 0x y x y x y →+=+. 例19求函数(),f x y =11sin sin x y y x+的极限. 解:()(),0,0001111lim sin sin limlim sin sin x y y x x y x y y x y x →→→⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当0x →,以y 为常数时,01limsin x x→ 不存在,从而得原函数极限不存在;很显然,这种计算法是错的; 因为()(),0,011lim sin sin x y x y y x →⎛⎫+ ⎪⎝⎭()()()(),0,0,0,011lim sin lim sin x y x y x y y x →→⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭中,当0x →12 / 15时,x 为无穷小量;0y →时,1sin y为有界量, 从而得 ()()00,,1lim sin x y x y x y →0=,同样()()00,,1lim sin 0x y x y y x→=;所以()(),0,011lim sin sin x y x y y x →⎛⎫+ ⎪⎝⎭()()()(),0,0,0,011lim sin lim sin x y x y x y y x →→⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0=; 此例题我们推出:如果不熟重极限与累次极限的定义反而混乱它们的存在性,所以应该要注意下列三点:一)若累次极限存在且相等,而重极限不一定存在;例:()()224,0,0lim x y xy x y →+中:2224240000lim lim lim lim 0y x x y xy xy x y x y →→→→==++但()()224,0,0lim x y xy x y →+不存在。