2018-2019学年山东省青岛市市北区七年级下学期期中数学试卷 (解析版)

2018-2019学年山东省青岛市市北区七年级第二学期期中数学试
卷
一、选择题
1．在体育课上某同学立定跳远的情况如图所示，l表示起跳线，在测量该同学的实际立定跳远成绩时，应测量图中线段（）的长．
A．BP B．CP C．DP D．BD
2．下列运算正确的是（）
A．2m•4m2＝8m2B．（mn2）2＝mn4
C．D．9x3y2÷（﹣3x3y）＝﹣3y
3．如图，直线AB∥CD，则下列结论正确的是（）
A．∠1＝∠2B．∠3＝∠4C．∠1+∠3＝180°D．∠3+∠4＝180°4．下列式子正确的是（）
A．（x+3y）（x﹣3y）＝x2﹣3y2B．（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣4b2
C．（a+b）2＝a2+b2D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
5．如果∠A的余角等于25°，则∠A＝（）
A．65°B．75°C．155°D．205°
6．小李家距学校3千米，中午12点他从家出发到学校，途中路过文具店买了些学习用品，12点50分到校．下列图象中能大致表示他离家的距离S（千米）与离家的时间t（分钟）之间的函数关系的是（）
A．B．
C．D．
7．如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a的正方形卡片4张，边长为b的正方形卡片1张，长，宽分别为a，b的长方形卡片4张．现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（）
A．2a+b B．4a+b C．a+2b D．a+3b
8．已知：如图AB∥EF，BC⊥CD，则∠α，∠β，∠γ之间的关系是（）
A．∠β＝∠α+∠γB．∠α+∠β+∠γ＝180°
C．∠α+∠β﹣∠γ＝90°D．∠β+∠γ﹣∠α＝90°
二、填空题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
9．桃花的花粉直径大约是30微米，用科学记数法表示，相当于米．
10．已知a m＝3，a n＝2，那么a2m+n的值为．
11．两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是（2x﹣10）°和（110﹣x）°，则x ＝．
12．若（x+2）（x﹣1）＝x2+mx+n，则m+n＝．
13．如图，将长方形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上过点E处，若∠AGE＝32°，则∠GHC等于°
14．如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是．
15．有一种数字游戏，可以产生“黑洞数”，操作步骤如下：第一步，任意写出一个自然数（以下称为原数）；第二步，再写一个新的三位数，它的百位数字是原数中偶位数字的个数，十位数字是原数中奇数数字的个数，个位数字是原数的位数；以下每一步，都对上一步得到的数，按照第二步的规则继续操作，直至这个数不再变化为止．不管你开始写的是一个什么数，几步之后变成的自然数总是相同的．最后这个相同的数就叫它为“黑洞数”．请你以2004为例尝试一下（可自选另一个自然数作检验，不必写出检验过程）：2004，一步之后变为，再变为，再变为，…，“黑洞数”
是．
16．如图，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a、b，如果a+b＝14，ab＝60，那么阴影部分的面积是．
三、作图题（本期满分5分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.
17．如图，已知直线AB和AB外的一点P，作一条经过点P的直线CD，使CD∥AB．四、解答题（本题共有6道小题，满分67分）
18．（16分）计算：
（1）（﹣2a2）3+a8÷a2+3a•a5
（2）（2x﹣y）（3x+y）﹣2x（y+3x）
（3）（a﹣b﹣1）（a+b﹣1）
（4）利用乘法公式计算：20182﹣2017×2019
（5）（2x+5）（2x﹣5）﹣4（x﹣1）2
19．如图，∠ABC＝∠BCD，∠1＝∠2，图中共有几对平行线？请说明理由．
20．果实成熟从树上落到地面，它下落的高度与经过的时间有如下的关系：
时间t/秒0.50.60.70.80.91…
高度h/米 4.9×0.25 4.9×0.36 4.9×0.494.9×0.644.9×0.814.9×1…
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？其中自变量是什么？因变量是什么？
（2）请你按照表中呈现的规律，列出果子下落的高度h（米）与时间t（秒）之间的关系式；
（3）如果果子经过2秒落到地上，请计算这果子开始下落时离地面的高度是多少米？21．如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°，
（1）求证：AD∥EF；
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝150°，求∠B的度数．
22．小明家和学校同处在一条南北向笔直的大道上，他骑单车上学，当骑了一段路时，小明想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店，买到书后继续去学校．以下是他本次上学所用的时间与离家距离的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题．（1）小明家到学校的距离是米．
（2）小明在书店停留了分钟．
（3）本次上学途中，小明一共用了分钟，共骑了米．
（4）在整个上学的途中（填具体时间段）小明骑车速度最快，最快的速度是米/分．
（5）观察图象，除上述信息外，你还能得到什么信息？写出一条即可．
23．（21分）观察：已知x≠1．
（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2
（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3
（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4
…
猜想：（1﹣x）（1+x+x2+…+x n）＝；
应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值：
①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25）＝；
②2+22+23+24+…+2n＝；
拓广：①（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x2+x+1）＝；
②判断22010+22009+22008+…+22+2+1的值的个位数是几？并说明你的理由．
参考答案
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、
B、C、D的四个结论，其中有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分．
1．在体育课上某同学立定跳远的情况如图所示，l表示起跳线，在测量该同学的实际立定跳远成绩时，应测量图中线段（）的长．
A．BP B．CP C．DP D．BD
【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答即可．
解：应测量图中线段CP的长，
故选：B．
2．下列运算正确的是（）
A．2m•4m2＝8m2B．（mn2）2＝mn4
C．D．9x3y2÷（﹣3x3y）＝﹣3y
【分析】分别运用同底数幂运算法则、幂的乘方、负整数指数幂、零指数幂进行计算．解：2m•4m2＝8m3，故选项错误；
B．（mn2）2＝m2n4，故选项错误；
C．（﹣）﹣4+（π﹣3）0＝16+1＝17，故选项错误；
D．9x3y2÷（﹣3x3y）＝﹣3y，故选项正确．
故选：D．
3．如图，直线AB∥CD，则下列结论正确的是（）
A．∠1＝∠2B．∠3＝∠4C．∠1+∠3＝180°D．∠3+∠4＝180°【分析】依据AB∥CD，可得∠3+∠5＝180°，再根据∠5＝∠4，即可得出∠3+∠4＝180°．
解：如图，∵AB∥CD，
∴∠3+∠5＝180°，
又∵∠5＝∠4，
∴∠3+∠4＝180°，
故选：D．
4．下列式子正确的是（）
A．（x+3y）（x﹣3y）＝x2﹣3y2B．（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣4b2
C．（a+b）2＝a2+b2D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【分析】根据平方差公式和完全平方公式计算出结果，即可做出判断．
解：A、（x+3y）（x﹣3y）＝x2﹣9y2，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣4b2，原计算正确，故此选项符合题意；
C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、原（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：B．
5．如果∠A的余角等于25°，则∠A＝（）
A．65°B．75°C．155°D．205°
【分析】根据余角的和等于90°列式计算即可求解．
解：根据题意得，∠A＝90°﹣25°＝65°．
故选：A．
6．小李家距学校3千米，中午12点他从家出发到学校，途中路过文具店买了些学习用品，
12点50分到校．下列图象中能大致表示他离家的距离S（千米）与离家的时间t（分钟）之间的函数关系的是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据小李距家3千米，路程随着时间的增大而增大确定合适的函数图象即可．解：∵小李距家3千米，
∴离家的距离随着时间的增大而增大，
∵途中在文具店买了一些学习用品，
∴中间有一段离家的距离不再增加，
综合以上C符合，
故选：C．
7．如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a的正方形卡片4张，边长为b的正方形卡片1张，长，宽分别为a，b的长方形卡片4张．现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（）
A．2a+b B．4a+b C．a+2b D．a+3b
【分析】先计算出这9张卡片的总面积，其和为一完全平方式，因式分解即可求得大正方形的边长．
解：由题可知，9张卡片总面积为4a2+4ab+b2，
∵4a2+4ab+b2＝（2a+b）2，
∴大正方形边长为2a+b．
故选：A．
8．已知：如图AB∥EF，BC⊥CD，则∠α，∠β，∠γ之间的关系是（）
A．∠β＝∠α+∠γB．∠α+∠β+∠γ＝180°
C．∠α+∠β﹣∠γ＝90°D．∠β+∠γ﹣∠α＝90°
【分析】分别过C、D作AB的平行线CM和DN，由平行线的性质可得到∠α+∠β＝∠C+∠γ，可求得答案．
解：
如图，分别过C、D作AB的平行线CM和DN，
∵AB∥EF，
∴AB∥CM∥DN∥EF，
∴∠α＝∠BCM，∠MCD＝∠NDC，∠NDE＝∠γ，
∴∠α+∠β＝∠BCM+∠CDN+∠NDE＝∠BCM+∠MCD+∠γ，
又BC⊥CD，
∴∠BCD＝90°，
∴∠α+∠β＝90°+∠γ，
即∠α+∠β﹣∠γ＝90°，
故选：C．
二、填空题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
9．桃花的花粉直径大约是30微米，用科学记数法表示，相当于3×10﹣5米．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：30微米＝30×10﹣6米＝3×10﹣5米．
故答案为：3×10﹣5米．
10．已知a m＝3，a n＝2，那么a2m+n的值为18．
【分析】将所求式子利用同底数幂的乘法逆运算法则变形，再利用幂的乘方逆运算法则变形，将各自的值代入计算，即可求出值．
解：∵a m＝3，a n＝2，
∴a2m+n＝（a m）2•a n＝9×2＝18．
故答案为：18
11．两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是（2x﹣10）°和（110﹣x）°，则x ＝40或80．
【分析】根据两条直线交叉相交，形成4个角，对顶角相等，在同一条直线的两个角的和是180°解答即可．
解：两条直线相交所成的四个角中，对顶角相等，邻补角互补，
根据题意可得：（2x﹣10）°＝（110﹣x）°或（2x﹣10）°+（110﹣x）°＝180°，解得：x＝40或x＝80，
故答案为：40或80
12．若（x+2）（x﹣1）＝x2+mx+n，则m+n＝﹣1．
【分析】直接利用多项式乘法去括号，进而得出m，n的值求出答案．
解：∵（x+2）（x﹣1）＝x2+mx+n，
∴x2+x﹣2＝x2+mx+n，
∴m＝1，n＝﹣2，
则m+n＝1﹣2＝﹣1．
故答案为：﹣1．
13．如图，将长方形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上过点E处，若∠AGE＝32°，则∠GHC等于106°
【分析】由折叠可得∠DGH＝∠DGE＝74°，再根据平行线的性质即可得到∠GHC＝180°﹣∠DGH＝106°．
解：∵∠AGE＝32°，
∴∠DGE＝148°，
由折叠可得，∠DGH＝∠DGE＝74°，
∵AD∥BC，
∴∠GHC＝180°﹣∠DGH＝106°．
故答案为：106°．
14．如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是15°．
【分析】过A点作AB∥a，利用平行线的性质得AB∥b，所以∠1＝∠2，∠3＝∠4＝30°，加上∠2+∠3＝45°，易得∠1＝15°．
解：如图，过A点作AB∥a，
∴∠1＝∠2，
∵a∥b，
∴AB∥b，
∴∠3＝∠4＝30°，
而∠2+∠3＝45°，
∴∠2＝15°，
∴∠1＝15°．
故答案为15°．
15．有一种数字游戏，可以产生“黑洞数”，操作步骤如下：第一步，任意写出一个自然
数（以下称为原数）；第二步，再写一个新的三位数，它的百位数字是原数中偶位数字的个数，十位数字是原数中奇数数字的个数，个位数字是原数的位数；以下每一步，都对上一步得到的数，按照第二步的规则继续操作，直至这个数不再变化为止．不管你开始写的是一个什么数，几步之后变成的自然数总是相同的．最后这个相同的数就叫它为“黑洞数”．请你以2004为例尝试一下（可自选另一个自然数作检验，不必写出检验过程）：2004，一步之后变为404，再变为303，再变为123，…，“黑洞数”
是123．
【分析】根据题意，得2004经过一步之后变为404，经过第二步后变为303，再变为123，再变为123，再变为123，即发现黑洞数是123．
解：根据题意计算可知2004经过一步之后变为404，经过第二步后变为303，再变为213，再变为123，再变为123，即发现黑洞数是123．
故分别填入404，303，123，123．
16．如图，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a、b，如果a+b＝14，ab＝60，那么阴影部分的面积是8．
【分析】根据两正方形的面积减去两三角形的面积表示出阴影部分面积，化简得到最简结果，将a+b与ab的值代入计算即可求出值．
解：根据题意得：
S阴影＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）
＝a2+b2﹣ab﹣b2
＝（a2+b2﹣ab）
＝[（a+b）2﹣3ab]．
当a+b＝14，ab＝60时，
S阴影＝×（196﹣180）＝8．
故答案为：8．
三、作图题（本期满分5分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.
17．如图，已知直线AB和AB外的一点P，作一条经过点P的直线CD，使CD∥AB．【分析】根据直线AB和AB外的一点P，作一条经过点P的直线CD，使CD∥AB即可．解：
以点P为圆心，大于P到AB的距离长为半径画弧，交AB于点E、F，
作EF的垂直平分线，经过点P，
再以点P为圆心，任意长为半径画弧，交AB的垂直平分线于点M、N，
作MN的垂直平分线CD，
所以CD即为所求作的图形．
四、解答题（本题共有6道小题，满分67分）
18．（16分）计算：
（1）（﹣2a2）3+a8÷a2+3a•a5
（2）（2x﹣y）（3x+y）﹣2x（y+3x）
（3）（a﹣b﹣1）（a+b﹣1）
（4）利用乘法公式计算：20182﹣2017×2019
（5）（2x+5）（2x﹣5）﹣4（x﹣1）2
【分析】（1）直接利用积的乘方运即同底数幂的除法运算法则分别计算，再合并同类项得出答案；
（2）直接利用多项式乘以多项式和单项式乘以多项式分别化简得出答案；
（3）直接利用乘法公式将原式变形进而计算得出答案；
（4）直接利用乘法公式将原式变形进而计算得出答案；
（5）直接利用乘法公式计算得出答案．
解：（1）（﹣2a2）3+a8÷a2+3a•a5
＝﹣8a6+a6+3a6
＝﹣4a6；
（2）（2x﹣y）（3x+y）﹣2x（y+3x）
＝6x2+2xy﹣3xy﹣y2﹣2xy﹣6x2
＝﹣3xy﹣y2；
（3）（a﹣b﹣1）（a+b﹣1）
＝[（a﹣1）﹣b][（a﹣1）+b]
＝（a﹣1）2﹣b2
＝a2﹣2a+1﹣b2；
（4）20182﹣2017×2019
＝20182﹣（2018﹣1）×（2018+1）
＝20182﹣20182+1
＝1；
（5）（2x+5）（2x﹣5）﹣4（x﹣1）2
＝4x2﹣25﹣4（x2﹣2x+1）
＝4x2﹣25﹣4x2+8x﹣4
＝8x﹣29．
19．如图，∠ABC＝∠BCD，∠1＝∠2，图中共有几对平行线？请说明理由．【分析】根据平行线的判定和性质定理即可得到结论．
解：图中共有2对平行线，
理由：∵∠ABC＝∠BCD，
∴AB∥CD，
∵∠1＝∠2，
∴∠ABC﹣∠1＝∠BCD﹣∠2，
即∠EBC＝∠FCB，
∴BE∥CF．
20．果实成熟从树上落到地面，它下落的高度与经过的时间有如下的关系：
时间t/秒0.50.60.70.80.91…
高度h/米 4.9×0.25 4.9×0.36 4.9×0.494.9×0.644.9×0.814.9×1…
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？其中自变量是什么？因变量是什么？
（2）请你按照表中呈现的规律，列出果子下落的高度h（米）与时间t（秒）之间的关系式；
（3）如果果子经过2秒落到地上，请计算这果子开始下落时离地面的高度是多少米？
【分析】（1）根据题意，可以写出上表反映了哪两个变量之间的关系，其中自变量是什么，因变量是什么；
（2）根据表格中的数据，可以写出果子下落的高度h（米）与时间t（秒）之间的关系式；
（3）将t＝2代入（2）中关系式，即可求得相应的高度．
解：（1）由表格可知，
上表反映了时间t和高度h这两个变量之间的关系，自变量是时间t，因变量是高度h；
（2）由表格可得，
h＝4.9t2，
即果子下落的高度h（米）与时间t（秒）之间的关系式是h＝4.9t2；
（3）当t＝2时，
h＝4.9×22＝19.6，
答：果子开始下落时离地面的高度是19.6米．
21．如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°，
（1）求证：AD∥EF；
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝150°，求∠B的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质和判定证明即可；
（2）根据角平分线的定义和平行线的性质解答即可．
【解答】证明：（1）∵AB∥DG，
∴∠BAD＝∠1，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠2+∠BAD＝180°，
∴AD∥EF；
（2）∵∠1+∠2＝180°，∠2＝150°，
∴∠1＝30°，
∵DG是∠ADC的平分线，
∴∠GDC＝∠1＝30°，
∵AB∥DG，
∴∠B＝∠GDC＝30°．
22．小明家和学校同处在一条南北向笔直的大道上，他骑单车上学，当骑了一段路时，小明想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店，买到书后继续去学校．以下是他本次上学所用的时间与离家距离的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题．（1）小明家到学校的距离是1500米．
（2）小明在书店停留了4分钟．
（3）本次上学途中，小明一共用了14分钟，共骑了2700米．
（4）在整个上学的途中12～14分钟（填具体时间段）小明骑车速度最快，最快的速度是450米/分．
（5）观察图象，除上述信息外，你还能得到什么信息？写出一条即可．小明家距书店600米，书店距学校900米，小明开始骑车的速度是200米/分．
【分析】根据函数图象得出信息解答即可．
解：（1）小明家到学校的距离是1500米．
（2）小明在书店停留了12﹣8＝4分钟．
（3）本次上学途中，小明一共用了14分钟，共骑了1500+1200＝2700米．
（4）在整个上学的途中12～14分钟小明骑车速度最快，最快的速度是＝450米/分．
（5）观察图象，除上述信息外，还能得到小明家距书店600米，书店距学校900米，小明开始骑车的速度是200米/分，
故答案为：（1）1500；（2）4；（3）14；2700；（4）12～14分钟；450；（5）小明家距书店600米，书店距学校900米，小明开始骑车的速度是200米/分．
23．（21分）观察：已知x≠1．
（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2
（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3
（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4
…
猜想：（1﹣x）（1+x+x2+…+x n）＝1﹣x n+1；
应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值：
①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25）＝﹣63；
②2+22+23+24+…+2n＝2n+1﹣2；
拓广：①（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x2+x+1）＝x100﹣1；
②判断22010+22009+22008+…+22+2+1的值的个位数是几？并说明你的理由．
【分析】根据一系列等式总结出规律即可；
应用①利用得出的规律计算即可得到结果；
②所求式子变形后，利用得出的规律计算即可得到结果；
拓广①所求式子第一个因式提取﹣1变形后，利用得出的规律计算即可得到结果；
②所求式子个位上数字为2，理由为：将所求式子变形后，利用规律计算，根据以2为底数的幂结果以2，4，8，6循环，用2011除以4得到余数为3，即可得到结果个位上的数字为2．
解：猜想：（1﹣x）（1+x+x2+…+x n）＝1﹣x n+1；
①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25）＝1﹣26＝﹣63；
②2+22+23+24+…+2n＝（1﹣2）（1+2+22+23+24+…+2n）＝2n+1﹣2；
拓广：①（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x2+x+1）＝x100﹣1；
②个位上数字为2，理由为：
∵22010+22009+22008+…+22+2+1
＝﹣（1﹣2）（22010+22009+22008+…+22+2+1）
＝﹣1+22011，
∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，…，其结果以2，4，8，6循环，
∴2011÷4＝502…3，
则22011个位上数字为8，即﹣1+22011个位上数字为7．。