广义坐标的特点
结构动力学填空简答
一、填空题1、消能减震技术包括：速度相关型消能减震装置，位移相关型消能减震装置,其他相关型消能减震装置2、调频减震技术包括：有调谐质量阻尼器(TMD)和调谐液体阻尼器(TLD）、调谐液柱式阻尼器（TLCD）振动控制系统3、地震动三要素：振幅、频谱、持时4、结构的固有特性：频率、振型,阻尼5、实验测量阻尼比的方法：对数衰减率法、共振放大法、半功率法6、逐步积分法的四个标准：收敛性、计算精度、稳定性、计算效率7、结构离散化方法：集中质量法、广义坐标法、有限元法8、基本力学原理及运动方程的建立：D'Alembert原理、虚功原理、哈密顿原理、拉格朗日方程、牛顿定理9、结构抗震试验方法：伪静力试验方法或低周反复加载、地震模拟振动台试验方法、伪动力试验方法或计算机联机试验10、等效阻尼比用在:等效线性化分析过程中11、常用的阻尼有：粘性阻尼、摩擦阻尼、滞变阻尼、流体阻尼12、测量振动量的仪器：加速度计、位移计、速度计13、单自由度体系对任意荷载的反应分析方法：时域分析法（杜哈梅积分计算)、频域分析法（傅里叶变换法计算)——适用于处理线弹性结构的动力反应问题14、常用的时域逐步积分法有:分段解析法、中心差分法、平均常加速度法、线性加速度法、Newmark-β法、Wilson—θ法15、常用的恢复力模型:当伯格-奥斯左德模型、克拉夫退化双线性模型、武田模型16、振型的归一化方法:特定坐标的归一化方法、最大位移的归一化方法、正交归一法17、恢复力曲线模型三个组成部分：骨架曲线、滞回特性、刚度退化规律18、确定恢复力曲线的方法：试验拟合法、系统识别法、理论计算法二、简答题1。
结构动力学的广义研究内容、目的是什么?内容：结构动力学是研究结构体系的动力特性几起在动力荷载作用下的动力反应分析原理和方法的一门理论和技术学科目的:是确定动力荷载作用下结构的内力和变形，并通过动力分析确定结构的动力特性，为改善工程结构体系在动力环境中的安全性和可靠性提供坚实的理论基础。
1-1_约束和广义坐标解析
l
y
（2）非完整（运动）约束－对体系的位置和速度都进行限制的约束
约束方程：f x, y, z; x , y , z , y , z 0或f x, y, z; x , t 0
Example:圆盘在竖直平面内沿水平直线的纯滚动
c R x
3、双侧约束和单侧约束
(1)双侧(不可解)约束：体系始终不可脱离的约束（等式）
x2 y 2 l 2 0 Example:单摆 z 0
(2)单侧(可解)约束：体系可在某个方向脱离的约束(不等式)
Example:单摆中用柔绳代替刚性杆:
x2 y 2 l 2 0 z 0
分析力学 优势一： 约束越多 自由度越少
独立坐标越少
广义坐标越少
（引入广义坐标）
满足的动力学方程越少 拉格朗日方程 方程越好解
问题越好解决
分析力学 优势二： 加速度、力等矢量 动能、势能等能量 力学特色 牛顿主义 分析力学
电动力学
量子力学
统计物理
相对论
牛顿力学以牛顿定律为基础，借助矢量和几何图形研究力学问题
f x, y, z, t 0 , y , z ; t 0 f x, y, z; x
x2 y 2 l 2 0 Example:单摆 为定常约束 z 0 2 x vt y2 l 2 0 若悬点以匀速v沿x轴运动 为不定常约束 z 0
xi xi q1 , q2 , , qs , t , yi yi q1 , q2 , , qs , t , zi zi q1 , q2 , , qs , t ,
或:
结构动力学复习资料微型44
1．什么是坐标耦联，正则坐标，广义坐标，物理坐标？坐标耦联：由于坐标的选择，使得必须由联立的方程组才能求解，这就称为坐标耦联；它取决于表示运动坐标的选择方法，与体系本身的特性无关。
正则坐标：既无动力耦联，又无静力耦联的坐标，叫正则坐标。
广义坐标：能决定质点系的几何位置的彼此独立的量，称为该体系广义坐标；广义坐标可以取长度量纲的量，也可以用角度甚至面积和体积来表示。
物理坐标：即几何坐标，直接建立在体系中坐标系。
2．集中质量法：是结构分析中最常用的处理方法，把连续分布的质量集中到质点，采用真实的物理量，具有直接直观的优点。
广义坐标法：广义坐标是形函数的幅值，有时没有明确的物理意义，但是比较方便快捷。
有限元法：综合了集中质量法与广义坐标法的特点（1）与广义坐标法相似，有限元法采用了形函数的概念，但不同于广义坐标法在全部体系结构上插值，而是采用分片插值，因此形函数表达式形状可相对简单；（2）与集中质量法相比，有限元法中的广义坐标也采用了真实的物理量，具有直接直观的优点。
3．动力问题与静力问题的重要区别？结构动力特性一般指什么？（1）动力反应要计算全部时间上的一系列解，而静力问题是某一时间点上的解，主要原因是动力问题荷载是随时间变化的，但此外因并不足以产生重大不同，那样可将动力问题看成一系列静力问题；（2）考虑惯性力的影响是结构动力学和静力学的一个本质的重要区别。
结构的动力特性：自振频率、振型、阻尼4．动荷载的分类及其特点？根据荷载是否已预先确定，动荷载可以分为两类：确定性（非随机）荷载和非确定性（随机）荷载。
确定性荷载是荷载随时间的变化规律已预先确定，是完全已知的时间过程；非确定性荷载是荷载随时间变化的规律预先不可以确定，是一种随机过程。
5．什么叫静力凝聚？为简化计算，忽略惯性效应不大的方向上的动力效应，而使质量、刚度矩阵保证正定、对称，这种减少体系自由度的方法称为静力凝聚法。
6．动力自由度与静力自由度的概念及二者区别？动力自由度是指动力分析中，为确定体系任一时刻全部质量的几何位置所需要的独立参数的数目；静力自由度是使结构体系静定所需要的独立约束数目。
广义坐标和约束体系
广义坐标和约束体系在物理学和工程学中，广义坐标和约束体系是描述多体系统运动的重要工具。
广义坐标是一组描述系统状态的独立变量，而约束体系则是一组将系统中各个部分联系在一起的条件。
本文将介绍广义坐标的概念和应用，并探讨约束体系在多体系统动力学中的作用。
一、广义坐标的概念和应用在传统的牛顿力学中，我们常常使用笛卡尔坐标系来描述物体的位置和运动。
然而，在复杂的多体系统中，使用笛卡尔坐标系来描述每个质点的运动往往变得非常复杂。
为了简化问题，引入广义坐标的概念就显得尤为重要。
广义坐标是一组相互独立的变量，它们可以用来描述系统的状态。
与笛卡尔坐标不同的是，广义坐标可以是质点的位置坐标、质点的广义速度、质点的质心位置、刚体的欧拉角等等。
通过引入广义坐标，我们可以用更简洁的方式描述系统的状态，简化求解的过程。
广义坐标的应用十分广泛。
在理论物理中，广义坐标常常用于构建拉格朗日力学和哈密顿力学的数学框架。
在工程学中，广义坐标常常用于描述机械系统中各个零件的运动和变形。
例如，通过引入关节的旋转角度作为广义坐标，可以简化机械臂的运动学分析。
二、约束体系在多体系统动力学中的作用在多体系统中，各个质点之间通常存在一定的约束关系。
这些约束条件可以是几何约束（如刚度约束、长度约束等）或非几何约束（如速度约束、加速度约束等）。
约束体系是将约束条件用方程形式表示的系统。
约束体系在多体系统动力学中发挥着重要作用。
它可以用来限制系统的自由度，从而简化问题的求解。
通过引入拉格朗日乘子的方法，我们可以将约束条件与系统的动力学方程相结合，得到描述系统运动的广义拉格朗日方程。
在这个过程中，广义坐标发挥了重要的作用，它将系统状态映射到一个更简洁的空间中。
约束体系还可以用来分析系统的稳定性和振动特性。
通过线性化约束方程，我们可以得到系统的模态分析，从而了解系统的固有振动频率和模式形态。
这对于设计和优化振动系统非常重要。
三、结论广义坐标和约束体系在多体系统的描述和分析中起到了至关重要的作用。
3广义坐标和正则坐标
11.6. 18. 3. O 17. O O 7. O O O O 16.8. 14. 12. O 5. O O 4. 1. 2. O9. O 15. O 10. 13. 广义坐标和正则坐标求解牛顿动力学时，有时需要用非直角空间坐标。
又称“广义坐标”：q a最常见的是：球坐标，圆柱坐标。
如果知道了一个广义坐标与直角坐标的函数关系：q a =q a rr =r q a a =1,2,3(写出一个质点就可以明白。
多个质点只是记号会复杂些)其运动方程是(对a自动求和):drdt =v r v q a $dq a dt d 2r dt 2=v r v q a $d 2q a dt 2C d dt v r v q a $dq a dt =v r v q a $d 2q a dt 2C v 2r v q a v q b $dq a dt $dq b dtm $v r v q a $d 2q a dt 2C v 2r v q a v q b $dq a dt $dq b dt =F (对b也自动求和)显然我们不能简单地把牛顿方程里的r 换成q a 了事：m $d 2r dt 2=F P m $d 2q a dt2=F 用科技“术语”来表述，就是：牛顿方程的形式，关于广义坐标变换，不保持协变。
（但对直角坐标之间的变换，是协变的）。
------------------------------------------------但是对变分法，只要拉格朗日函数也是用广义坐标表达的：L =L q a ,q .a ,t拉格朗日运动方程仍然是：v L v qK d dt v L v q .=0这个“协变”性质，是变分法的一个主要方便之处。
注意：将拉格朗日函数应广义坐标表达的步骤是：将r =r q adrdt =v r v q a $dq a dt 代入原来的拉格朗日函数即可：L r ,drdt ,tO O O O OO OOO 20. O O O O O25. 23. 19. 22. O 26. O 21. 24. O O O =L r q a , v r v q a $dq a dt , t =L q a ,q .a ,t---------------------------------------------直角坐标的哈密顿运动方程是：H =H r ,pd r d t =v p d p d t =K v r注意这里的自变量是：相空间坐标通常习惯写成：r 5 q ap 5 p aa =1,2,3H =H q a ,p ad q a d t =v H v p ad p a d t =K v H v q a 如果考虑相空间坐标的“坐标变换”Q a =Q a q a ,p aP a =P a q a ,p aq a =q a Q a ,P ap a =p a Q a ,P a用新坐标表示的哈密顿是：H Q a ,P a =H q a Q a ,P a , p a Q a ,P a(这里涉及的数学词是： 复合函数)新的相空间坐标的运动方程是：d Q a d t =v Q a v q b $d q b d t C v Q a v p b $d p b d t=v Q a v q b $v H v p b K v Q a v p b $v H v q b=v Q a v q b $v H v Q c $v Q c v p b C v H v P c $v P c v p bK v Q a v p b $v H v Q c $v Q c v q b C v H v P c $v P c v q b41.32. O 30. O 33. O 36. 34. 31. 37. 29. 38. 28. 35. 40. 42. 39. 27. O O O O =v Q a v q b $v Q c v p b K v Q a v p b $v Q c v q b $v H v Q cC v Q a v q b $v P c v p b K v Q a v p b $v P c v q b $v H v P c(复合函数的微分)（对a,b,c自动求和）一般不是正则形式。
工业设计概论 广义坐标
工业设计概论广义坐标工业设计是一个广泛的领域，涉及到产品、系统或服务的外观、功能、用户体验等方面。
在工业设计中，广义坐标是一个重要的概念，它指的是设计师在设计过程中所考虑的各种因素和变量。
这些因素和变量可以是产品的功能需求、市场趋势、材料特性、制造工艺等，设计师需要在设计过程中综合考虑这些因素，以实现最佳的设计方案。
在工业设计中，广义坐标可以看作是一个多维空间，设计师需要在这个空间中进行导航，找到最优的设计解决方案。
在这个多维空间中，设计师需要平衡各种因素之间的关系，确保设计方案既满足产品的功能需求，又符合用户的需求和市场的需求。
因此，广义坐标在工业设计中扮演着至关重要的角色。
在工业设计中，广义坐标的具体内容可以包括以下几个方面：产品的功能需求是设计过程中的重要考虑因素。
设计师需要明确产品的功能定位和使用场景，确保产品能够满足用户的实际需求。
在考虑产品的功能需求时，设计师还需要考虑到产品的可靠性、安全性等因素，以确保产品的质量和可靠性。
市场趋势是设计过程中需要考虑的另一个重要因素。
设计师需要了解市场的需求和趋势，预测未来的发展方向，以确保设计方案符合市场的需求。
在考虑市场趋势时，设计师还需要考虑竞争对手的产品和品牌形象，以在激烈的市场竞争中脱颖而出。
材料特性和制造工艺也是设计过程中需要考虑的重要因素。
设计师需要选择合适的材料和制造工艺，以实现设计方案的可行性和可生产性。
在选择材料和制造工艺时，设计师需要考虑到成本、生产周期、环保等因素，以确保产品的生产和使用都符合相关标准和法规。
广义坐标在工业设计中扮演着至关重要的角色，设计师需要在设计过程中综合考虑各种因素和变量，以找到最优的设计解决方案。
通过在广义坐标中进行导航和平衡，设计师可以实现产品的功能性、美观性、可用性等方面的完美结合，从而为用户带来更好的产品体验。
在未来的工业设计中，广义坐标将继续发挥重要作用，引领设计师创造出更加优秀的产品和服务，满足人们不断增长的需求和期待。
1-1_约束和广义坐标解析
这里: n 质 1点个数
另外有约束方程:
x2 y2 l2 0 z 0
故有: k 约2束个数
故广义坐标个数为: s 3n k 3 2 1
广义坐标可取为: 或 x 或 y 等
注意：在确定广义坐标时，首先要确定广义坐标的个数s，s的确定 不一定非得使用：
s 3n k
还可以判断该质点需要几个独立坐标即可确定其位置，则广义坐标 的个数s即等于几。如下一例题。
x2 y2 l2 0 z 0
今后仅讨论完整、不可解约束力学体系的运动问题.
三、广义坐标
体系 受到（完整）约束数目
一个自由质点
0
n个自由质点
0
n个非自由质点
k
自由度 3 3n 3n-k
独立坐标数目
3
3n 3n-k
=s
因此，我们完全可以用s个独立坐标确切的描述力学体系的位 置,这些独立量不一定是质点的笛卡儿坐标，有时选择某一种 其他坐标会更加方便,于是,人们提出了广义坐标的概念.
第一章 拉格朗日(Lagrange)方程
§1-1 约束和广义坐标
一、牛顿力学的局限性和分析力学的建立：回顾几个概念
主动力: 促使物体运动或有运动趋势的力,如:
(1)物体受力
重力、风力等
约束力: 限制物体运动或有运动趋势的力,如:
示 例 (1)
W
FRA
FRB
示 例 (2)
(2)牛顿运动方程
d 2rv v m dt 2 F合力
分析力学 优势一：
约束越多
自由度越少
独立坐标越少 （引入广义坐标） 广义坐标越少
满足的动力学方程越少
方程越好解
拉格朗日方程
问题越好解决
广义坐标
谢谢观看
常用的广义坐标有线量和角量两种。例如，对约束在空间固定曲线上运动的质点，可用自始点计量的路程s作 广义坐标；用细杆约束在竖直平面内摆动的质点，可用杆与铅垂线的夹角θ作广义坐标。广义坐标对时间的导数 称广义速度。同样，因为问题需要也会有广义加速度、广义动量、广义角动量等。
例子
例如以长为l的细绳，悬挂一质点A于固定点O，使它在Oxy平面内运动(见图)。质点坐标为(x,y)，即n=2，它 与一个约束方程x2+y2=l2相，故N=n－1=1，只有一个广义坐标。按问题的性质，选用绳与铅垂线的夹角θ为广义 坐标。这样，便有 ：
虽然我们可能会遇到复杂的系统时，这转换方程具有足够的灵活性来选择最合适的坐标。在思考虚位移与广 义力时，这转换方程也可以用来建造微分。
理论说明
对于含有n个质点的质点系，在空间有3n个坐标。若这些质点间存在k个有限约束，则约束方程可写为： fs(x1,x2,…,x3n;t)=0（s=1,2,…,k）。利用约束方程消去3n个坐标中的k个变量，剩下N=3n－k个变量是独立 的。利用变量转换，可将这N个变量用其他任何N个独立变量q1,q2…,qN来表示。因此，n个x坐标可用N个q表示为 xi=xi(q1,q2…,qN;t)（i=1,2…,3n）。这种相互独立的变量称为广义坐标，其数目N等于完整系统的自由度。
广义坐标
数学术语
目录
01 由来及意义
03 理论说明
02 独立 04 例子
广义坐标是用来描述系统位形所需要的独立参数，或者最少参数。当分析有的问题时（尤其是当有许多约束 条件的时候），尽量选择独立的广义坐标。因为这样可以减少代表约束的变量。但是，当遇到非完整约束时，或 者当计算约束力时，就必须使用关于这约束力的，相应的广义坐标。
广义坐标
广义坐标所谓约束体系是指其状态在运动过程中受到了某种限制而不能自由变化的体系。
数学上，这意味着描述体系的状态参量——位置和速度——是满足某种关系的，这种关系就称为是约束方程，一般来说它具有如下的形式()()1212,,,,,,,,,,0n nf r r r r r r t f r r t ==K K K K K K K K "" (1) 这里以及以后，在不引起混淆的情况下，我都将把函数中的一组带有下标的自变量缩记为一个不带下标的量。
譬如刚体就是一个特殊的约束体系，因为其中任何两点的距离在运动过程中都是不变的，即const.ab a b r r r =−=K K 。
上一章最后的那个例子也是一个约束问题，在那里，不仅要求下面那个楔形物体只能在水平方向运动[约束方程]，而且还要求两个物体在运动过程中是始终保持接触的[2const.y =()121tan y x x θ=−]。
再比如一个限制在某个曲面上运动的粒子，约束方程就是该曲面的方程，而如果曲面本身又是在空间按给定方式运动——譬如一个粒子在半径以某个给定速度不断增大的球面上的运动——那么约束方程就将显含时间：()()222212312300,,,0f x x x t x x x a v t =++−+= (2) 物体之所以不能自由运动，究其原因是由于对体系施加约束的物体（约束物）提供了一个力，这个力与其他的力的一起作用恰好使得物体只能在约束上运动。
这种由约束物提供的、使得运动物体只能按照给定方式运动的力就称为约束力，而其他的力则都被称为是主动力。
约束力本质上是物体形变后产生的恢复力。
当运动物体挤压、拉伸约束物时，二者都会发生形变，并相互以恢复力作用于对方，这就产生了约束力，如果约束力不够大，则物体的运动将有不遵循约束的趋势，于是就会进一步压迫约束物，约束力也就相应地增大，一直到物体的运动恰好遵循约束为止。
总之，约束力的特点是应运而生的——因运动需要而产生的。
理论力学试题及答案1精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版理论力学题库简答题1-1.简述伽利略相对性原理和牛顿运动定律成立的参考系。
答：（1）内容：不能借助任何力学实验来判断参考系是静止的还是在匀速直线运动；（2）相对与惯性系作匀速直线运动的参考系都是惯性参考系；（3）牛顿运动定理只能在惯性系成立。
1-2. 简述有心力的性质. 并证明质点在有心力作用下只能在一个平面内运动.证明：只要证明角动量是一个常矢量即可.性质：（1）力的作用线始终通过一定点；（角动量是一个常矢量或质点始终在垂直于角动量的平面内运动）(2) 角动量守恒,或掠面速度守恒；(3) 有心力是保守力, 或机械能守恒.1-3.什么情况下质心与几何中心、重心重合？质心系有何特性？(1) 密度均匀物体质心与几何中心重合；(2) 重力加速度为常量时物体质心与重心重合；质心系的特性：(1) 质心系中各质点相对于质心的总动量为零；(2) 质心系的惯性力矩为零；(3) 质心系的惯性力做功为零。
1-4.太阳和地球组成的两体系统中，分别以地球、太阳、质心为参照系，简述地球、太阳的运动情况。
答： （1）质心参照系中地球、太阳的运动：地球，太阳相对于质心作椭圆运动。
（2）地球参照系中太阳运动：太阳相对于地球作椭圆运动。
（3）太阳参照系中地球的运动：地球相对于太阳作椭圆运动。
2-1.分别说明质点组动量守恒定律、动量矩守恒定律、机械能守恒定律成立的条件。
2-2.说明 质点组 对某定点,如原点O ，的动量矩守恒定律成立的条件（要求写出分量式）。
质点组对原点O 的动量矩守恒定律成立的条件为：0)(1=⨯=∑=e i n i i F r M ，分量守恒。
即： 对x 轴：0)()(1=-∑=e iy i e iz n i i F z F y ；对y 轴：0)()(1=-∑=e iz i e ixn i i F x F z ； 对z 轴：0)()(1=-∑=e ixi e iy n i i F y F x 。
广义坐标资料
广义坐标
广义坐标是描述一个多粒子系统的位置的一种方法。
在经典力学和量子力学的
研究中，广义坐标扮演着非常重要的角色。
在这篇文章中，我们将深入探讨广义坐标的概念、应用以及其在物理学中的意义。
1. 广义坐标的引入
传统的直角坐标系只能描述空间中的点的位置，但当涉及到复杂的多粒子系统时，直角坐标系的局限性就显现出来了。
为了解决这一问题，我们引入了广义坐标的概念。
广义坐标可以包括一些其他参数，如角度、弧长等，使得描述系统的位置更加灵活。
2. 广义坐标的应用
广义坐标在物理学中有着广泛的应用。
在拉格朗日力学中，我们可以利用广义
坐标来建立系统的拉格朗日函数，从而推导出系统的运动方程。
广义坐标还在量子力学中扮演着重要的角色，如路径积分中的广义坐标就是描述粒子位置的参数。
3. 广义坐标的意义
广义坐标的引入不仅仅是为了解决多粒子系统的位置描述问题，更重要的是为
我们提供了一种更加方便和通用的描述物理系统的工具。
通过引入适当的广义坐标，我们可以简化问题的求解，使得物理模型更加具有普适性。
综上所述，广义坐标是一种描述多粒子系统位置的重要方法，它在物理学的多
个领域中都有着重要的应用。
通过深入学习和理解广义坐标的概念和原理，我们能更好地理解和研究复杂系统的运动规律。
5-4广义坐标与广义力解析
第2节 虚位移
y
B
x O q : x A , y A ,
l A
N=2 r = 1+2 n=k=3 O
y
A r
l
B
N=2 r = 3+2 n=k=1
x
q:
y
C
O
v
k=3 s=1 n=2
yC tan xC δyC tan δxC
x
q : xC , yC ,
利用广义坐标描述质系运动完整约束自然满足
Q 1 Pl (cos 3sin ) 2 1
Q 1 Pl (cos sin ) 2 2
解(几何法)
首先取 δ 0, δ 0
δrC 0
δrB 2δrD l2δ
δA PδrD sin
1 Pδr cos B 2
O
C
x
A
P
PA
D
δrD
Q 1 Pl1 (cos 3sin ) 2
δrB
B
y
P
S
例2
惰钳机构由六根长杆和 两根短杆组成，长杆长 2a，短杆长a，各杆之间 用铰链相连。它在顶部 受力P的作用，问下部 力 Q 的大 小为 多 少才 能 使系统处于平衡状态。 图中 为已知角。
P
A
QBCQ
k xi xi xi xi δxi q δq1 q δq2 ... q δqk q δq j 1 2 k j j 1
k ri δA (Fi δq j ) Q j δq j q j i 1 j 1 j 1
N k
δA WδyO TδxB
广义坐标
1,2,3,, k
约束
几何约束：约束仅为位置坐标和时间的函数
运动约束：约束既限制质点的位置，
对质点速 度有限制
也限制质点的速度
的约束
约束 约束
可解约束：约束条件为不等式的约束 如软绳约束
不可解约束：约束条件为等式的约束
完整约束：不可解几何约束
如纯滚动条件 x& Rq& 0 x Rq C
（3）、在给定球面中自由运动时,自由度数亦为2,
z
可用直角坐标x,y或球坐标分量q, j
z
oqR
P y
y
xj
x
等来确定其位置。
直角坐标: (x, y) z2 R2 x2 y2
x R sinq cosj存在多值解的数学问题
←
y
R
sinq
sinj
球坐标
z R cosq
我们将用 q 来表示第个广义坐标， 1,2,3,, s
各在r个直i 质角ri 点 坐(q1的 标, q位 系2 ,矢 中是，, q则ss ,个t有)广,义fi坐(r1,标1r2,2,和,,时rN,间;Nt);的 0函s数 3：N位坐1,,矢标2,的表3,广达义式, k
这个特征可在随机发射的机枪子弹通过双缝装甲板墙 的实验中表现出来。
子弹双缝实验
机关枪
a
yy
计
b
yc
数
器
1
缝1
缝2
双 缝 墙
后 障
这是实物粒子颗粒性的反映
12
2
12 1 2
非相干叠加
基于实物粒子的颗粒运动图像，人类建立了
Newton力学，并进一步发展提高为分析力学。
自由度与广义坐标
O
y
l
x
A
& & & & & & f j (x1, y1, z1,L, xn, yn, zn, x1, y1, z1,L, xn, yn, zn,t) = 0
单面约束：在约束方程含有不等号 单面约束 表示的约束。 OA为柔绳： x 2 + y 2 + z 2 ≤ l 2 约束方程的一般形式： 约束方程的一般形式：
广义坐标： 广义坐标： 用以确定质点系位置的独立参变量
与自由度相对应的独立坐标就是广义坐标. 与自由度相对应的独立坐标就是广义坐标 自由度为k， 取广义坐标： q1 , q2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅qk 一般地： n个质点，
xi = xi (q1 , q2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅qk , t )
yi = yi (q1 , q2 ......qk , t )
f r ( x1 , y1 , z1 , … , xn , y n , z n ; ) = 0
j = 1,2, L , s
约束方程总是以微分形式表示，不可能积分成有限的 约束方程总是以微分形式表示 不可能积分成有限的 形式的约束称为非完整约束 非完整约束。 形式的约束称为非完整约束。 运动约束不可积分----碰撞系统 摩擦系统等。 运动约束不可积分 碰撞系统,摩擦系统等。 碰撞系统 摩擦系统等
y
yC = r
& & x − ϕr = 0
——几何约束 ——运动约束
C
r vC
x
约束方程的一般形式
& & & & & & f j ( x1 , y1 , z1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ xn , yn , z n , x1 , y1 , z1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ xn , yn , z n ) = 0
工业设计概论 广义坐标
工业设计概论广义坐标
工业设计作为一门综合性学科，涉及到广泛的领域，其中广义坐标是一个重要的概念。
广义坐标是指在工业设计过程中，用来描述和定位物体的坐标系统，可以是三维空间中的点、直线、曲线等。
在工业设计中，广义坐标扮演着至关重要的角色，它为设计师提供了定位和表达设计元素的有效工具，有助于实现设计理念和目标。
在工业设计中，广义坐标的应用可以体现在多个方面。
首先，广义坐标可以帮助设计师确定产品的整体结构和形态。
通过引入合适的坐标系统，设计师可以更加准确地描述和定位产品的各个部分，保持产品的整体协调性和稳定性。
其次，广义坐标还可以用来分析和优化产品的功能和性能。
设计师可以通过对产品各个部件的坐标位置和运动轨迹进行分析，找出存在的问题并进行改进，以提升产品的质量和竞争力。
广义坐标在工业设计中还可以用来指导产品的制造和生产。
设计师可以将产品的设计图纸转化为具体的加工工艺和生产工艺，通过广义坐标的引入，实现设计和制造的无缝衔接，提高生产效率和产品质量。
同时，广义坐标还可以帮助设计师进行设计方案的评估和比较，通过对不同设计方案的坐标位置和关系进行分析，选择最优方案并进行优化。
总的来说，广义坐标在工业设计中具有重要的意义和作用。
它不仅是设计过程中的一种工具和方法，更是设计师实现设计目标和理念
的重要手段。
通过合理应用广义坐标，设计师可以更加准确地描述和定位产品，实现设计与制造的有机结合，提高产品的竞争力和市场表现。
因此，在工业设计中，不仅要重视广义坐标的应用，还要不断深化理解和探索，为设计创新和发展提供有力支持。
信息论与编码 广义坐标
信息论与编码广义坐标广义坐标是科学中一个重要的概念，特别是在信息论和编码这一领域中具有重要的应用。
广义坐标指的是一个系统中的各个自由度所对应的参数，通常用于描述复杂的物理系统和工程问题。
在信息论和编码中，广义坐标的应用尤为广泛，尤其是在信道编码和解码中发挥了关键的作用。
介绍广义坐标之前，我们需要先了解什么是坐标。
在几何学中，坐标是用于描述物体在空间中位置的系数。
通常我们用直角坐标系和极坐标系来描述物体在空间中的位置。
直角坐标系需要用三个坐标轴（x，y，z）来描述物体的位置，而极坐标系只需要用两个参数（半径和角度）来描述物体在空间中的位置。
然而，在实际应用中，我们经常需要处理的是更加复杂的系统。
这些系统包括电路、通信系统、控制器等，这些系统中任何一个自由度的变化都可能会对整个系统的性能产生影响。
为了描述这些系统，我们引入了广义坐标的概念。
广义坐标可以定义为系统中的自由度所对应的参数，它们描述了系统的状态。
例如，在一个电路系统中，电压、电流、电阻、电容等就是广义坐标。
同样地，在一个通信系统中，频率、相位、功率等就是广义坐标。
这些广义坐标可以用于描述系统的状态，从而帮助我们了解系统的性能和特征。
在信道编码和解码中，广义坐标发挥了关键的作用。
信道编码和解码是信息传输过程中的重要环节，它们决定了信息能否准确地传输和接收。
通常情况下，通信信道会引入随机噪声，导致信息传输出现误差。
为了解决这个问题，我们需要对信息进行编码和解码。
在信道编码中，我们需要将原始信息转换成一个符号序列，并将其发送到接收方进行解码。
这个过程中，我们需要选取适当的广义坐标来表示每个符号。
最常用的广义坐标是二进制符号，即将原始信息转换成一个0或1的符号序列。
这个过程被称为二进制编码。
在随机噪声的影响下，这种编码方式可以提高信息传输的可靠性。
在信道解码中，接收方需要根据接收的符号序列来还原原始信息。
这个过程中同样需要用到广义坐标的概念。
接收方需要将接收到的符号转换成原始信息，并进行纠错处理，以减少噪声的影响。
广义坐标在分析复杂系统中的作用是什么
广义坐标在分析复杂系统中的作用是什么在我们探索和理解复杂系统的奥秘时，广义坐标是一个极其重要的概念和工具。
它就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们打开复杂系统那扇紧闭的大门，让我们得以深入其中，洞察其内在的运行机制和规律。
那么，什么是广义坐标呢？简单来说，广义坐标是用来描述系统位置和形态的一组独立变量。
与我们日常生活中熟悉的直角坐标系不同，广义坐标的选择具有很大的灵活性，它可以根据具体的系统和问题进行定制，以最简洁、最有效的方式来描述系统的状态。
想象一下一个机械系统，比如由多个连杆组成的机器人手臂。
如果我们用传统的直角坐标来描述每个连杆的位置，会变得非常繁琐和复杂。
但是，如果我们选择合适的广义坐标，比如关节的角度，就能大大简化对系统运动的描述和分析。
在分析复杂系统时，广义坐标的作用首先体现在简化问题的表述上。
复杂系统往往具有众多的自由度和相互关联的部件。
通过巧妙地选择广义坐标，可以将这些复杂的关系转化为相对简单的数学表达式。
这使得我们能够更容易地建立系统的数学模型，从而为后续的分析和计算奠定基础。
以天体力学中的行星运动为例。
如果我们要描述太阳系中多个行星的运动轨迹，直接使用空间直角坐标将会面临巨大的计算困难。
然而，通过引入广义坐标，如行星的轨道根数（半长轴、偏心率、倾角等），就可以将行星的复杂运动转化为一组相对简洁的参数，大大降低了问题的复杂性。
广义坐标还能够帮助我们更清晰地理解系统的能量和动力学特性。
在物理学中，能量是一个非常重要的概念，而通过广义坐标可以方便地表达系统的动能和势能。
例如，对于一个振动系统，如弹簧振子，选择位移作为广义坐标，就可以很自然地写出系统的动能和势能表达式，进而得出系统的总能量。
通过对能量表达式的分析，我们可以了解系统的稳定性、振动频率等重要特性。
此外，广义坐标在研究系统的约束条件和守恒定律方面也发挥着关键作用。
约束条件是指系统中存在的各种限制和关系。
通过广义坐标，可以清晰地表达这些约束条件，并将其纳入到系统的数学模型中。
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广义坐标的特点
（大庆师范学院物理与电气信息工程系
）摘要：广义坐标是不特定的坐标，与虚功原理联系紧密。
假若，我们用一组广义坐标来导引方程，所得到的答案，可以应用于较广范的问题；并且，当我们最后终于设定这坐标时可以用来解决拉格朗日力学，哈密顿力学都需要用到广义坐标来表示基要概念与方程的问题。
关键词：广义坐标;虚功原理;拉格朗日方程
作者简介：陆展鹏男安徽省池州市贵池区黑龙江省大庆市大庆师范学院物理与电气信息工程学院学生物理学专业
0引言
在分析力学中,广义坐标αq ,广义速度αq ,广义动量αp 是最基本的变量。
通常用广义坐标来确定力学体系的位形,而将广义力α
Q ,拉格朗日函数L 等物理量表示为αq 和αp 的函数,进而用虚功原理讨论力学体系的平衡条件。
1广义坐标
用以确定质点系位置的独立参变量与自由度相对应的独立坐标就是广义坐标
一般地：n 个质点自由度为k ，取广义坐标：k
q q q ⋅⋅⋅⋅⋅⋅21,),,(21t q q q x x k i i ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=),......,(21t q q q y y k i i =)
,,(21t q q q z z k i i ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=),,(21t q q q r r k i i ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= (i =1,2,······n )
1.1自由刚体的自由度
最简单的刚体由4个质点用6根刚杆组成几何不变体(形如四面体)，则自由刚体的自由度为：
66)(43=-⨯=（刚杆数）质点数k ,此后每增加一个质点就增加三根刚杆,连接质点的刚杆数为6
3-n 自由度数为：63=-=s n k ，n >4
1.2自由刚体的广义坐标
基点的直角坐标()000,,z y x 和欧拉角ϕθψ,,组成的6个独立参变量就是自由刚体的广义坐标它们被用于描述刚体的位形，约束刚体的自由度与广义坐标：约束刚体的自由度与广义坐标根据其运动形式不同有所减小，下表给出刚体在不同的运动形式时的广义坐标数。
2广义坐标与虚功原理的关系
2.1实位移与虚位移
设质点按照规律：
()t f x 1=()t f y 2=()t f z 3=，
运动那么在无线短的时间dt 内，质点的位移为dr 则位矢与坐标与时间t 有关，若时间t 的变化非常小，则dr 为0，这为实位移。
虚位移则是在dt 近似为零是位移的可能的数值。
虚位移与时间没有关系。
2.2虚功原理
虚位移指的是弹性体（或结构系）的附加的满足约束条件及连续条件的无限小可能位移。
所谓虚位移的"虚"字表示它可以与真实的受力结构的变形而产生的真实位移无关，而可能由于其它原因（如温度变化，或其它外力系，或是其它干扰）造成的满足位移约束、连续条件的几何可能位移。
对于虚位移要求是微小位移，即要求在产生虚位移过程中不改变原受力平衡体的力的作用方向与大小，亦即受力平衡体平衡状态不因产生虚位移而改变。
真实力在虚位移上做的功称为虚功。
虚功原理阐明，对于一个静态平衡的系统，所有外力的作用，经过虚位移，所作的虚功，总和等于零。
考虑一个由一群粒子组成，呈静态平衡的系统。
作用于任何一个粒子pi 的净力等于零：作用于任何一个粒子pi 的净力，经过虚位移，所作的虚功为零。
因此，所有虚功的总和也是零：分析到这里，请特别注意，对于任意位移，虚功总和方程式都是正确的。
2.3广义坐标应用于虚功原理
在数学中，表示微小增量的符号∆与微分符号d 所表示的数量虽然相近，但是其意义有本质不同。
而在分析力学中表示元功和微小的虚功，却都用一个符号6，这样就必然会造成理论上的混乱。
质点为约束所允许的无限小位移称为虚位移，并把.N r δ与r F δ合称为元功，同时，在平衡位置上，主动力元功之和也不为零。
虚功原理需要广义坐标来推导，广义
坐标是虚功原理的基础。
3拉格朗日方程
当人们研究物体的机械运动时,如果作用在物体上的外力未知,人们仅仅知道作用在物体上外力的力变率,这时运用牛顿运动方程来求解物体运动的轨迹就显得较为繁琐.类似采用二阶拉格朗日方程来求解物体的运动状态也不方便.对这种情况,采用三阶拉格朗日方程
[1-2]求解就较为简单方便.
近年来,有关三阶拉格朗日方程已有许多工作完成[3-12].这些工作主要是在加速度能的基础上,讨论不同条件下三阶拉格朗日方程的基本形式和基本性质.但对系统存在一些非独立的广义坐标的情况,其三阶拉格朗日方程的形式如何改变以及它的显式形式等问题,目前并未涉及.本文即考虑在位矢和广义坐标的关系中,含有非独立广义坐标的情况,三阶拉格朗日方程的基本形式如何,以及用位矢广义坐标的导数关系,给出这种三阶拉格朗日方程的基本形式.
3.1含有非独立坐标的三阶拉格朗日方程的推导
对含有N 个粒子的系统,有三阶拉格朗日方程
......)3,2,1(.211=∂∂∑==∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=j q r F Q q s q s dt d i i N i s i i
i 是i F 作用在第i 个质点上的力变率,qs 是广义坐标.如果完整系统由m n +个广义坐标s q 描述的。
则确定系统的运动状态的广义坐标为n 个,不妨假设前n 个广义坐标为独立的广义坐标,其余m 个广义坐标为非独立的广义坐标约束方程,存在如下的虚位移等式。
01=∂∂∑+=u m
n n q f δ3.2拉格朗日方程的用途
拉格朗日方程一般不用来求解约束力，但是知道力学体系的广义坐标和广义速度所表示出的动能及其广义力...321Q Q Q 就可以求出，而且对于相对运动的问题的来讲，如果用牛顿运动定律，就必须求出绝对加速度，或在非惯性系中引入适当的惯性力，但如果运用拉格朗日方程，则只需求出相对于静系的动能，亦可以求绝对加速度，所以问题可以简化。
4结论
广义坐标不同于一般的直角坐标，加入了速度加速度等一些物理量的测量，所以对于运动参考系的分析更加的透彻，对于广义坐标的学习要更加的认真。
[参考文献]
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[5]王爱勤,冯振宇.也谈虚功原理中广义坐标的选择[J].大学物理,2003(8):13-14.。