数列的递推公式 课件
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人教高中数学 必修五 2.1 第二课时 数列的递推公式(共17张PPT)
并归纳出通项公式：
(1)a 1 ＝0, a n 1 ＝ a n ＋(2n－1) (n∈N)；
(2)
a1
＝1,
a n1＝
2 an
an
2
(n∈N)；
(3) a 1 ＝3,a n 1 ＝3a n －2 (n∈N,).
解：(1) a 1＝0, a 2 ＝1,a 3 ＝4,a 4 ＝9,a 5＝16, ∴ a n ＝(n－1)2 ;
1，1, 2, 3, 5, 8, 13, 21，… 斐波那契数列
an2an1an,
例5：已知数列 an 满足：a1=5,an=an－1+3（n≥2）
（1）写出这个数列an 的前五项为
。
（2）这个数列 an 的通项公式是 an 3n2
。
累差叠加法 ( n 2 ) a n a n 1 f( n ) 或 a n 1 a 者 n f( n )
（1）a1=0，an+1=an+(2n－1)，n∈N+；
（2）a1=1，a n 1
2an an 2
,
n∈N+；
解：（1）因为a1=0，an+1=an+(2n－1)，n∈N+； 所以， a2=1 ， a3=4， a4=9， a5=16 ，
归纳出它的通项公式是an=(n－1)2 。
（2）a1=1，a n 1
又 a1a2a3 9
解得 a 3
9 4
同理可得 a 4
16 9
,
a5
25 16
a3
a5
92561 4 16 16
（2） 2 5 6 是此数列中的项吗？
225
解：（2）令
256 225
n2 (n 1)2
(1)a 1 ＝0, a n 1 ＝ a n ＋(2n－1) (n∈N)；
(2)
a1
＝1,
a n1＝
2 an
an
2
(n∈N)；
(3) a 1 ＝3,a n 1 ＝3a n －2 (n∈N,).
解：(1) a 1＝0, a 2 ＝1,a 3 ＝4,a 4 ＝9,a 5＝16, ∴ a n ＝(n－1)2 ;
1，1, 2, 3, 5, 8, 13, 21，… 斐波那契数列
an2an1an,
例5：已知数列 an 满足：a1=5,an=an－1+3（n≥2）
（1）写出这个数列an 的前五项为
。
（2）这个数列 an 的通项公式是 an 3n2
。
累差叠加法 ( n 2 ) a n a n 1 f( n ) 或 a n 1 a 者 n f( n )
（1）a1=0，an+1=an+(2n－1)，n∈N+；
（2）a1=1，a n 1
2an an 2
,
n∈N+；
解：（1）因为a1=0，an+1=an+(2n－1)，n∈N+； 所以， a2=1 ， a3=4， a4=9， a5=16 ，
归纳出它的通项公式是an=(n－1)2 。
（2）a1=1，a n 1
又 a1a2a3 9
解得 a 3
9 4
同理可得 a 4
16 9
,
a5
25 16
a3
a5
92561 4 16 16
（2） 2 5 6 是此数列中的项吗？
225
解：（2）令
256 225
n2 (n 1)2
常见递推数列通项公式的求法ppt课件
1S 2
1 23
2 24
n2 2n
n 1 2 n＋1
②
由①－②得
1S 2
1 22
1 23
1 2n
n 1 2n＋1
1 2
n 1 2 n 1
S 1 n1 2n
an 2n
1
an 2n
2
n 1 2n
an 2n1 n 1
变式训练：答案an 6 4n1 (n 1) 2n
数列 满足 an
an1 3 4 5 6
n 1
an a1
1 2 n(n 1)
a1
1 an
2 n(n 1)
累乘
例 2：已知数列an 中，a1
1且满足 an1 an
n ，求数 n2
列an 的通项公式。
其他解法探究：
a n 1 an
n n2
(n 2)an1
nan
(n 1)(n 2)an1 n(n 1)an
则可构造n(n 1)an 是常数数列
故an n2 n 2(n 1,2,3,)
方法归纳：累加
可求和
变式训练：
1.已知数列an中， a1 2 满足 an1 an 2n n ,求数列an 的通 项公式. 2.已知数列an 中， a1 2 满足 an1 an n 2n n ,求数列an 的 通项公式.
类型二：形如 an1 f (n)
an1 2an n 2n1 2n1 2n1
an1 an n 2n1 2n 2n1
累加
a2 22
a1 2
1 ，a3 22 23
a2 22
2 23
,,
an 2n
an1 2n1
n 2n
1
,
4.1第2课时 数列的递推公式及累加、累减、累乘、周期数列的专题 课件
累减法求通项公式
例4
例题解析
累乘法求通项公式 例 5 已知数列{an}，a1＝2，an＋1＝2an，写出数列的前 5 项，猜想 an，
并加以证明．
例题解析
累乘法求通项公式 例 5 已知数列{an}，a1＝2，an＋1＝2an，写出数列的前 5 项，猜想 an，
并加以证明． [解] 由 a1＝2，an＋1＝2an 得 a2＝2a1＝2×2＝4＝22， a3＝2a2＝2×4＝8＝23， a4＝2a3＝2×8＝16＝24， a5＝2a4＝2×16＝32＝25， … 猜想 an＝2n(n∈N*)．
例题解析
(2)由 an＝an－1＋nn1－1 得 an－an－1＝nn1－1(n≥2)， 所以 an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1 ＝nn1－1＋n－11n－2＋…＋3×1 2＋2×1 1＋1 ＝n－1 1－1n＋n－1 2－n－1 1＋…＋12－13＋1－12＋1＝－1n＋1＋1＝2－ 1n＝2nn－1(n∈N*)．
证明如下： 证法一：(累乘法)
由 a1＝2，an＋1＝2an 得aan－n 1＝aann－－12＝…＝aa32＝aa21＝2， ∴an＝aan－n 1·aann－－12·…·aa32·aa21·a1 ＝2·2·…·2·n2个＝2n(n∈N*)． 证法二：(迭代法) 由 an＋1＝2an 得 an＝2an－1，an－1＝2an－2，…，a3＝2a22·an－2＝22(2an－3)＝23·an－3＝…＝2n－1·a1＝2n(n ∈N*)．
项之和，称为数列{an}的前 n 项和，记作 Sn，即 Sn＝a_1_＋_a_2_＋_…__＋.an
S1
，n＝1
2．an 与 Sn 的关系：an＝ Sn－Sn－1 ，n≥2.
人教a版必修五课件：数列的递推公式(60页)
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第二章 2.1 第2课时
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典例导悟
类型一 [例1] 由递推公式求数列中的项 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由
an＝an－1＋an－2(n≥3)给出． (1)写出此数列的前5项； an (2)通过公式bn＝ 构造一个新的数列{bn}，写出数 an＋1 列{bn}的前4项．
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第二章 2.1 第2课时
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课 堂 互 动 探 究
例 练 结 合 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·素 能 提 升
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第二章
数列
第二章
数列
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系列丛书
2.1
数列的概念与简单表示法
第二章
数列
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第2课时
课前自主预习
数列的递推公式
课堂互动探究
随堂知能训练
课时作业
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第二章 2.1 第2课时
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目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩
1.体会递推公式是数列的一种表示方法． 2．理解递推公式的含义，能根据递推公式写出数列的 前n项，了解数列的函数性质． 3．掌握一些简单的递推公式来求数列的通项公式.
递推法 ． 方法叫做________
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第二章 2.1 第2课时
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思考感悟
1．通项公式与递推公式的区别与联系
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4.1第二课时 数列的递推公式与前n项和(课件(人教版))
由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为 an＋1＝ an＋f(n)或 an＋1＝g(n)·an，则可以分别通过累加或累乘法求得 通项公式，即：
(1)累加法：当 an＝an－1＋f(n)时，常用 an＝(an－an－1)＋ (an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 求通项公式；
(2)累乘法：当aan－n 1＝g(n)时，常用 an＝aan－n 1·aann－－12·…·aa21·a1 求通项公式．
3＋b，n＝1， 当 b≠－1 时，an＝2·3n－1，n≥2.
已知 Sn 求 an 的 3 个步骤 (1)先利用 a1＝S1 求出 a1； (2)用 n－1 替换 Sn 中的 n 得到一个新的关系，利用 an＝ Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当 n≥2 时 an 的表达式； (3)对 n＝1 时的结果进行检验，看是否符合 n≥2 时 an 的 表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符 合，则应该分 n＝1 与 n≥2 两段来写．
1．由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想 方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等， 此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2，…， n}这一条件．
2．可以利用不等式组aann－≥1≤ana＋n1， (n>1)找到数列的最大 项；利用不等式组aann－≤1≥ana＋n1， (n>1)找到数列的最小项．
根据数列的前 n 项和公式求通项 [例 4] 已知下面数列{an}的前 n 项和 Sn，求{an}的通项公式． (1)Sn＝2n2－3n； (2)Sn＝3n＋b. [解] (1)当 n＝1 时，a1＝S1＝2－3＝－1，
当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]
高中数学第四章数列4.1第2课时数列的递推公式同步课件新人教A版选择性必修第二册
∴a6-a1=1+2+3+4+5,∴a6=16.
5.已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+3,则a3=
答案 5
解析 由Sn=n2+3可知a3=S3-S2=32+3-(22+3)=5.
.
6.已知数列{an}满足
a1=1,an+1=an+ (n∈N*),求数列{an}的通项公式.
+1
解 由题意显然 an>0,
答案 C
解析 A,B中没有说明第一项,无法递推;D中a1=2,a2=4,a3=8,不合题意.
4.已知数列{an},a1=1,an-an-1=n-1(n≥2),则a6=(
A.7
B.11
C.16
D.17
)
答案 C
解析 ∵a1=1,an-an-1=n-1,∴a2-a1=1,a3-a2=2,a4-a3=3,a5-a4=4,a6-a5=5,
A.0
2
B. 5
C.2
D.5
答案 B
解析 由题意,得a2=ma3+1,
即3=5m+1,
2
解得m= 5 .
)
3.数列2,4,6,8,10,…的递推公式是(
)
A.an=an-1+2(n≥2)
B.an=2an-1(n≥2)
C.a1=2,an=an-1+2(n≥2)
D.a1=2,an=2an-1(n≥2)
何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数f(x)为周期函数,称T为这个函数的一
个周期.
2.周期数列:对于数列{an},如果存在正整数k,使得an+k=an对一切正整数n都
5.已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+3,则a3=
答案 5
解析 由Sn=n2+3可知a3=S3-S2=32+3-(22+3)=5.
.
6.已知数列{an}满足
a1=1,an+1=an+ (n∈N*),求数列{an}的通项公式.
+1
解 由题意显然 an>0,
答案 C
解析 A,B中没有说明第一项,无法递推;D中a1=2,a2=4,a3=8,不合题意.
4.已知数列{an},a1=1,an-an-1=n-1(n≥2),则a6=(
A.7
B.11
C.16
D.17
)
答案 C
解析 ∵a1=1,an-an-1=n-1,∴a2-a1=1,a3-a2=2,a4-a3=3,a5-a4=4,a6-a5=5,
A.0
2
B. 5
C.2
D.5
答案 B
解析 由题意,得a2=ma3+1,
即3=5m+1,
2
解得m= 5 .
)
3.数列2,4,6,8,10,…的递推公式是(
)
A.an=an-1+2(n≥2)
B.an=2an-1(n≥2)
C.a1=2,an=an-1+2(n≥2)
D.a1=2,an=2an-1(n≥2)
何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数f(x)为周期函数,称T为这个函数的一
个周期.
2.周期数列:对于数列{an},如果存在正整数k,使得an+k=an对一切正整数n都
人教版高中数学选择性必修第二册4.1.2数列的递推公式【课件】
4.1.2数列的递推公式
人教A版（2019）
选择性必修第二册
新知导入
复习旧知
1 数列的概念是 ？
2 数列的表示有 ？
3 数列的通项公式是？
提示：
1
一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每
一个数叫做这个数列的项.
2 ①通项公式法 ②列表法 ③图象法 ④一般表示法
3 如果数列{ }的第n项 与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子
答案： （1）-17
（2）2
（3）2020
课堂练习
2（由递推公式求数列的项）
（多选题）已知数列{ }满足 =
−
，+ =
−
, 则下列各数是{ }的
项的有（ BD）
A．-2
B.
Hale Waihona Puke C.
D. 3
分析： 根据递推关系找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而得出结论.
解： 因为数列{ }满足 = − ，
用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项；
(3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项；
(4)用递推公式给出数列，不易了解数列的全貌，计算也不方便，所以，
经常用它推导出数列的通项公式或得到一个特殊数列，比如具有周期性质的数列.
（若存在一个正整数t，使得∀ ∈ ∗ , + = ,则数列{ }）为周期数列，其周期为t）
来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
新知导入
问题：
1 什么叫数列的递推公式？
2 由数列的递推公式能否求出数列的项？
新知讲解
例3 如果数列{ }的通项公式为 = + , 那么120是不是这个数列的项？
人教A版（2019）
选择性必修第二册
新知导入
复习旧知
1 数列的概念是 ？
2 数列的表示有 ？
3 数列的通项公式是？
提示：
1
一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每
一个数叫做这个数列的项.
2 ①通项公式法 ②列表法 ③图象法 ④一般表示法
3 如果数列{ }的第n项 与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子
答案： （1）-17
（2）2
（3）2020
课堂练习
2（由递推公式求数列的项）
（多选题）已知数列{ }满足 =
−
，+ =
−
, 则下列各数是{ }的
项的有（ BD）
A．-2
B.
Hale Waihona Puke C.
D. 3
分析： 根据递推关系找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而得出结论.
解： 因为数列{ }满足 = − ，
用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项；
(3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项；
(4)用递推公式给出数列，不易了解数列的全貌，计算也不方便，所以，
经常用它推导出数列的通项公式或得到一个特殊数列，比如具有周期性质的数列.
（若存在一个正整数t，使得∀ ∈ ∗ , + = ,则数列{ }）为周期数列，其周期为t）
来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
新知导入
问题：
1 什么叫数列的递推公式？
2 由数列的递推公式能否求出数列的项？
新知讲解
例3 如果数列{ }的通项公式为 = + , 那么120是不是这个数列的项？
人教B版必修5高二数学2.1.2数列的递推公式教学课件
5.设数列{an}：a1=1,且4an+1-anan+1+2an=9。 求通项an.
解：把已知式子变形为
an+1
=
2an - 9 an - 4
，令an= bn+t
an+1
=
bn+1
+
t
=
2(bn + t) - 9 bn + t - 4
从而
bn+1
=
(2
-
t)bn - (t2 - 6t bn + t - 4
解：1= 1 ，点Qn+1与Pn的纵坐标相同，都 是an，2同时点Pn+1与Qn+1的横坐标相等，
点Pn+1在曲线c：y
=
(
1 2
)x
上，
由横坐标得它的纵坐标为 ( 1 )an 2
即
an+1
=
( 1 )an 2
这就是数列{an}的递推公式。
例3.已知数列{an}中，a1=1，对任意自然数n都有
a5
25 16
a3
a5
9 4
25 16
61 16
解法2：（1）因为 a1 a2 an n2
所以a1a2 4 解得a2=4，
又 a1a2a3 9
解得
a3
9 4
同理可得
a4
16 9
,
a5
25 16
a3
a5
9 4
25 16
61 16
（2） 256 225
是此数列中的项吗？
解：（2）令
256 225
知识回顾
1、数列：按一定顺序排列的一列数叫数列。
4.1.2数列的递推公式与前n项和课件(人教版)
a4 2
，
1
1 3
a2 2 2
a1
2 2
1
3 5
1
4 6
2 a5 2 2 .
a3
4 4
a4
5 5
n 1
猜想 an
.
n
，
1
2 4
a3 2 2
a2
3 3
，
四、巩固训练
解：当 n 2 时， an
Sn Sn 1
当 n 1 时， a1 S1 2 ，满足 an
又当 n = 1 时，不满足 ∗ 式，
2, n = 1,
∴ an = ቊ
故选B.
6n − 5, n ≥ 2，
2
− 2 n − 1 + 1] = 6n − 5 .
∗
五、课堂小结
问：本节课你有什么收获？
六、作业
谢谢！
3
3
2
2
a4 a3 1 3 1 3 ，
3
3
a5 a4 24 15 16 31 ，
2
2
a5 a4 1 3 1 3 ，
3
3
故数列的前 5 项分别为 1，3，7，15，31.
故数列的前 5 项分别为 3，3，3，3，3.
四、巩固训练
解
a1 2
故 an 的通项公式为 an
2n
2
2 n 1
4n 2 ，
4n 2 n Z
.
2
4n 2 ；
四、巩固训练
5.已知数列 {an } 的第1项是1，第2项是2，通项公式 an = an−1 +
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数列的递推公式
递推公式
如果已知数列{an}的第 1 项(或前几项)，且任何一项 an 与 它的_前__一__项___a_n－__1(_或__前__几__项__)_间的关系可以用一个公式来表示， 那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
练习：已知数列{an}的第 1 项是 2，递推公式为 an＝1－an1－1， 1
图 2-1-1
易错分析：没有准确把握相邻两项(即 an＋1 与 an)之间的联 系和区别．
解：a1＝3，a2＝a1(a1－1)＝6，a3＝a2(a2－1)＝30，
a4＝a3(a3－1)＝870，
an＝3an－1an－1－1
n＝1， 2≤n≤10.
[方法·规律·小结] 1．数列的递推公式是数列的另一种给出方法，注意它与通 项公式的区别及其用法． 2．递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也 非常灵活，解题时要仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰 当的方法，通过适当的策略将问题进行化归，是迅速求出通项 公式的关键．
1)π＝
1＋－1n－1 2.
题型 3 已知递推公式，用累乘法求通项公式
【例3】 已知a1＝2，an＋1＝2an，求an. 思维突破：对an＋1＝2an从1到n－1进行取值，得到n－1个式 子，再把这n－1个式子相乘，消去中间项． 解：方法一：a1＝2，a2＝2×2＝22，a3＝2×22＝23，…， 观察可得： an＝2n. 方法二：由 an＋1＝2an，得 an＝2an－1，即aan－n 1＝2. ∴aan－n 1×aann－ －12×aann－－32×…×aa21＝2n－1. ∴ an＝a1·2n－1＝2n.
数列的递推公式是由递推关系式(递推)和首项 或前几项(基础)两个因素所确定的，即便递推关系完全一样， 而首项不同就可得到两个不同的数列，适当配凑是本题进行归 纳的前提．
【变式与拓展】 1．根据递推公式，分别写出它的前 5 项，并归纳出通项公 式： (1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)； (2)a1＝1，an＋1＝a2n＋an2(n∈N*)．
题型 1 已知数列的递推公式，求前几项及其通项公式 【例 1】 已知数列{an}满足 an＋1＝2an＋1，n∈N*. (1)若 a1＝－1，写出此数列的前 4 项，并推测该数列的通 项公式；
(2)若 a1＝1，写出此数列的前 4 项，并推测该数列的通项 公式．
解：(1)a1＝a2＝a3＝a4＝－1， 可推测该数列{an}的通项公式为an＝－1. (2)a1＝1，a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7， a4＝2×7＋1＝15， 可推测该数列{an}的通项公式为an＝2n－1. (另解：由an＋1＝2an＋1⇒an＋1＋1＝2(an＋1)⇒an＋1＋1＝ (a1＋1)2n－1⇒an＋1＝2n－1.)
【变式与拓展】 2．已知在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋cos(n－1)π(n≥2)， 求an. 解：由递推关系，an＝an－1＋cos(n－1)π(n≥2)，得
a2＝a1＋cosπ，a3＝a2＋cos2π，…，an－1＝an－2＋cos(n －2)π，an＝an－1＋cos(n－1)π.
则 a2＝___2___，a3＝__－__1__.
【问题探究】 1．数列的递推公式是 n 的函数关系式吗？ 答案：不是 2．通项公式与递推公式有何异同？ 答案：相同：二者都可确定一个数列，都可求出数列的任 何一项．不同：通项公式是 n 的函数关系式，可直接求出任一 项；而递推公式可根据第一项(或前 n 项)的值，通过一次(或多 次)赋值逐项求出数列的值，直至求出所需的项 an.
将以上(n－1)个式子左右两边同时相加，得
a2＋a3＋…＋an－1＋an
＝a1＋cosπ＋a2＋cos2π＋…＋an－2＋cos(n－2)π＋an－1＋ cos(n－1)π.
消去a2＋a3＋…＋an－1，并整理，得an＝a1＋cosπ＋cos2π ＋cos3π＋…＋cos(n－1)π.
∵a1＝1，∴an＝1＋cosπ＋cos2π＋cos3π＋…＋cos(n－
题型 2 已知递推公式，用累加法求通项公式 【例 2】 已知在数列{an}中，a1＝5，an＝an－1＋3(n≥2)， 求数列{an}的通项公式． 思维突破：先对an＝an－1＋3 从 2 到 n 进行取值，得到 n－ 1 个式子，再把这 n－1 个式子相加，消去中间项． 解：由递推关系 an＝an－1＋3(n≥2)，得 a2＝a1＋3， a3＝a2＋3， …
an－1＝an－2＋3， an＝an－1＋3. 将以上(n－1)个式子左右两边同时相加，得 a2＋a3＋…＋an－1＋an ＝a1＋3＋a2＋3＋a3＋3＋…＋an－1＋3. 消去a2＋a3＋…＋an－1，并整理，得an＝a1＋3(n－1)． ∵a1＝5，∴an＝3n＋2.
若数列有形如an＋1＝an＋f(n)的递推公式， 且可求f(1)＋f(2)＋…＋f(n)，可用累加法求通项公式．
解：(1)a1＝0，a2＝a1＋1＝1，a3＝a2＋3＝4， a4＝a3＋5＝9，a5＝a4＋7＝16. 由a1＝02，a2＝12，a3＝22，a4＝32，a5＝42， 可归纳出an＝(n－1)2. (2)a1＝1，a2＝23，a3＝12＝24，a4＝25，a5＝13＝26， ∴an＝n＋2 1.
将上述 n－1 个等式两边同时相乘，得 a2·a3·a4·…·an－1·an＝13a1·13a2·13a3·13a4·…·13an－1.
又∵此数列为正项数列，∴数列中各项均不为零，即 a2·a3·a4·…·an－1≠0. ∴an＝13n－1a1. 又∵a1＝1，∴an＝13n－1.
【例 4】 根据图 2-1-1 中的框图，建立所打印数列的递推 公式，试写出这个数列的前 4 项，并归纳出递推公式．
已知 a1(a1≠0)，若数列有形如aan＋n1＝f(n)的递推 公式，可用累乘法求通项公式．
【变式与拓展】
3．设{an}是首项为 1 的正项数列，且满足关系：an＝ 3an＋1(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．
解：∵an＝3an＋1，∴an＋1＝13an.对 n 从 1 到 n－1 依次取值， 得 a2＝13a1，a3＝13a2，a4＝13a3，…，an＝13an－1.
递推公式
如果已知数列{an}的第 1 项(或前几项)，且任何一项 an 与 它的_前__一__项___a_n－__1(_或__前__几__项__)_间的关系可以用一个公式来表示， 那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
练习：已知数列{an}的第 1 项是 2，递推公式为 an＝1－an1－1， 1
图 2-1-1
易错分析：没有准确把握相邻两项(即 an＋1 与 an)之间的联 系和区别．
解：a1＝3，a2＝a1(a1－1)＝6，a3＝a2(a2－1)＝30，
a4＝a3(a3－1)＝870，
an＝3an－1an－1－1
n＝1， 2≤n≤10.
[方法·规律·小结] 1．数列的递推公式是数列的另一种给出方法，注意它与通 项公式的区别及其用法． 2．递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也 非常灵活，解题时要仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰 当的方法，通过适当的策略将问题进行化归，是迅速求出通项 公式的关键．
1)π＝
1＋－1n－1 2.
题型 3 已知递推公式，用累乘法求通项公式
【例3】 已知a1＝2，an＋1＝2an，求an. 思维突破：对an＋1＝2an从1到n－1进行取值，得到n－1个式 子，再把这n－1个式子相乘，消去中间项． 解：方法一：a1＝2，a2＝2×2＝22，a3＝2×22＝23，…， 观察可得： an＝2n. 方法二：由 an＋1＝2an，得 an＝2an－1，即aan－n 1＝2. ∴aan－n 1×aann－ －12×aann－－32×…×aa21＝2n－1. ∴ an＝a1·2n－1＝2n.
数列的递推公式是由递推关系式(递推)和首项 或前几项(基础)两个因素所确定的，即便递推关系完全一样， 而首项不同就可得到两个不同的数列，适当配凑是本题进行归 纳的前提．
【变式与拓展】 1．根据递推公式，分别写出它的前 5 项，并归纳出通项公 式： (1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)； (2)a1＝1，an＋1＝a2n＋an2(n∈N*)．
题型 1 已知数列的递推公式，求前几项及其通项公式 【例 1】 已知数列{an}满足 an＋1＝2an＋1，n∈N*. (1)若 a1＝－1，写出此数列的前 4 项，并推测该数列的通 项公式；
(2)若 a1＝1，写出此数列的前 4 项，并推测该数列的通项 公式．
解：(1)a1＝a2＝a3＝a4＝－1， 可推测该数列{an}的通项公式为an＝－1. (2)a1＝1，a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7， a4＝2×7＋1＝15， 可推测该数列{an}的通项公式为an＝2n－1. (另解：由an＋1＝2an＋1⇒an＋1＋1＝2(an＋1)⇒an＋1＋1＝ (a1＋1)2n－1⇒an＋1＝2n－1.)
【变式与拓展】 2．已知在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋cos(n－1)π(n≥2)， 求an. 解：由递推关系，an＝an－1＋cos(n－1)π(n≥2)，得
a2＝a1＋cosπ，a3＝a2＋cos2π，…，an－1＝an－2＋cos(n －2)π，an＝an－1＋cos(n－1)π.
则 a2＝___2___，a3＝__－__1__.
【问题探究】 1．数列的递推公式是 n 的函数关系式吗？ 答案：不是 2．通项公式与递推公式有何异同？ 答案：相同：二者都可确定一个数列，都可求出数列的任 何一项．不同：通项公式是 n 的函数关系式，可直接求出任一 项；而递推公式可根据第一项(或前 n 项)的值，通过一次(或多 次)赋值逐项求出数列的值，直至求出所需的项 an.
将以上(n－1)个式子左右两边同时相加，得
a2＋a3＋…＋an－1＋an
＝a1＋cosπ＋a2＋cos2π＋…＋an－2＋cos(n－2)π＋an－1＋ cos(n－1)π.
消去a2＋a3＋…＋an－1，并整理，得an＝a1＋cosπ＋cos2π ＋cos3π＋…＋cos(n－1)π.
∵a1＝1，∴an＝1＋cosπ＋cos2π＋cos3π＋…＋cos(n－
题型 2 已知递推公式，用累加法求通项公式 【例 2】 已知在数列{an}中，a1＝5，an＝an－1＋3(n≥2)， 求数列{an}的通项公式． 思维突破：先对an＝an－1＋3 从 2 到 n 进行取值，得到 n－ 1 个式子，再把这 n－1 个式子相加，消去中间项． 解：由递推关系 an＝an－1＋3(n≥2)，得 a2＝a1＋3， a3＝a2＋3， …
an－1＝an－2＋3， an＝an－1＋3. 将以上(n－1)个式子左右两边同时相加，得 a2＋a3＋…＋an－1＋an ＝a1＋3＋a2＋3＋a3＋3＋…＋an－1＋3. 消去a2＋a3＋…＋an－1，并整理，得an＝a1＋3(n－1)． ∵a1＝5，∴an＝3n＋2.
若数列有形如an＋1＝an＋f(n)的递推公式， 且可求f(1)＋f(2)＋…＋f(n)，可用累加法求通项公式．
解：(1)a1＝0，a2＝a1＋1＝1，a3＝a2＋3＝4， a4＝a3＋5＝9，a5＝a4＋7＝16. 由a1＝02，a2＝12，a3＝22，a4＝32，a5＝42， 可归纳出an＝(n－1)2. (2)a1＝1，a2＝23，a3＝12＝24，a4＝25，a5＝13＝26， ∴an＝n＋2 1.
将上述 n－1 个等式两边同时相乘，得 a2·a3·a4·…·an－1·an＝13a1·13a2·13a3·13a4·…·13an－1.
又∵此数列为正项数列，∴数列中各项均不为零，即 a2·a3·a4·…·an－1≠0. ∴an＝13n－1a1. 又∵a1＝1，∴an＝13n－1.
【例 4】 根据图 2-1-1 中的框图，建立所打印数列的递推 公式，试写出这个数列的前 4 项，并归纳出递推公式．
已知 a1(a1≠0)，若数列有形如aan＋n1＝f(n)的递推 公式，可用累乘法求通项公式．
【变式与拓展】
3．设{an}是首项为 1 的正项数列，且满足关系：an＝ 3an＋1(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．
解：∵an＝3an＋1，∴an＋1＝13an.对 n 从 1 到 n－1 依次取值， 得 a2＝13a1，a3＝13a2，a4＝13a3，…，an＝13an－1.