数列的递推公式 课件

解：(1)a1＝0，a2＝a1＋1＝1，a3＝a2＋3＝4， a4＝a3＋5＝9，a5＝a4＋7＝16. 由a1＝02，a2＝12，a3＝22，a4＝32，a5＝42， 可归纳出an＝(n－1)2. (2)a1＝1，a2＝23，a3＝12＝24，a4＝25，a5＝13＝26， ∴an＝n＋2 1.
题型 1 已知数列的递推公式，求前几项及其通项公式 【例 1】 已知数列{an}满足 an＋1＝2an＋1，n∈N*. (1)若 a1＝－1，写出此数列的前 4 项，并推测该数列的通 项公式；
(2)若 a1＝1，写出此数列的前 4 项，并推测该数列的通项 公式．
解：(1)a1＝a2＝a3＝a4＝－1， 可推测该数列{an}的通项公式为an＝－1. (2)a1＝1，a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7， a4＝2×7＋1＝15， 可推测该数列{an}的通项公式为an＝2n－1. (另解：由an＋1＝2an＋1⇒an＋1＋1＝2(an＋1)⇒an＋1＋1＝ (a1＋1)2n－1⇒an＋1＝2n－1.)
1)π＝
1＋－1n－1 2.
题型 3 已知递推公式，用累乘法求通项公式
【例3】 已知a1＝2，an＋1＝2an，求an. 思维突破：对an＋1＝2an从1到n－1进行取值，得到nwk.baidu.com1个式 子，再把这n－1个式子相乘，消去中间项． 解：方法一：a1＝2，a2＝2×2＝22，a3＝2×22＝23，…， 观察可得： an＝2n. 方法二：由 an＋1＝2an，得 an＝2an－1，即aan－n 1＝2. ∴aan－n 1×aann－ －12×aann－－32×…×aa21＝2n－1. ∴ an＝a1·2n－1＝2n.
an－1＝an－2＋3， an＝an－1＋3. 将以上(n－1)个式子左右两边同时相加，得 a2＋a3＋…＋an－1＋an ＝a1＋3＋a2＋3＋a3＋3＋…＋an－1＋3. 消去a2＋a3＋…＋an－1，并整理，得an＝a1＋3(n－1)． ∵a1＝5，∴an＝3n＋2.
若数列有形如an＋1＝an＋f(n)的递推公式， 且可求f(1)＋f(2)＋…＋f(n)，可用累加法求通项公式．
则 a2＝___2___，a3＝__－__1__.
【问题探究】 1．数列的递推公式是 n 的函数关系式吗？ 答案：不是 2．通项公式与递推公式有何异同？ 答案：相同：二者都可确定一个数列，都可求出数列的任 何一项．不同：通项公式是 n 的函数关系式，可直接求出任一 项；而递推公式可根据第一项(或前 n 项)的值，通过一次(或多 次)赋值逐项求出数列的值，直至求出所需的项 an.
图 2-1-1
易错分析：没有准确把握相邻两项(即 an＋1 与 an)之间的联 系和区别．
解：a1＝3，a2＝a1(a1－1)＝6，a3＝a2(a2－1)＝30，
a4＝a3(a3－1)＝870，
an＝3an－1an－1－1
n＝1， 2≤n≤10.
[方法·规律·小结] 1．数列的递推公式是数列的另一种给出方法，注意它与通 项公式的区别及其用法． 2．递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也 非常灵活，解题时要仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰 当的方法，通过适当的策略将问题进行化归，是迅速求出通项 公式的关键．
【变式与拓展】 2．已知在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋cos(n－1)π(n≥2)， 求an. 解：由递推关系，an＝an－1＋cos(n－1)π(n≥2)，得
a2＝a1＋cosπ，a3＝a2＋cos2π，…，an－1＝an－2＋cos(n －2)π，an＝an－1＋cos(n－1)π.
题型 2 已知递推公式，用累加法求通项公式 【例 2】 已知在数列{an}中，a1＝5，an＝an－1＋3(n≥2)， 求数列{an}的通项公式． 思维突破：先对an＝an－1＋3 从 2 到 n 进行取值，得到 n－ 1 个式子，再把这 n－1 个式子相加，消去中间项． 解：由递推关系 an＝an－1＋3(n≥2)，得 a2＝a1＋3， a3＝a2＋3， …
将以上(n－1)个式子左右两边同时相加，得
a2＋a3＋…＋an－1＋an
＝a1＋cosπ＋a2＋cos2π＋…＋an－2＋cos(n－2)π＋an－1＋ cos(n－1)π.
消去a2＋a3＋…＋an－1，并整理，得an＝a1＋cosπ＋cos2π ＋cos3π＋…＋cos(n－1)π.
∵a1＝1，∴an＝1＋cosπ＋cos2π＋cos3π＋…＋cos(n－
将上述 n－1 个等式两边同时相乘，得 a2·a3·a4·…·an－1·an＝13a1·13a2·13a3·13a4·…·13an－1.
又∵此数列为正项数列，∴数列中各项均不为零，即 a2·a3·a4·…·an－1≠0. ∴an＝13n－1a1. 又∵a1＝1，∴an＝13n－1.
【例 4】 根据图 2-1-1 中的框图，建立所打印数列的递推 公式，试写出这个数列的前 4 项，并归纳出递推公式．
数列的递推公式
递推公式
如果已知数列{an}的第 1 项(或前几项)，且任何一项 an 与 它的_前__一__项___a_n－__1(_或__前__几__项__)_间的关系可以用一个公式来表示， 那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
练习：已知数列{an}的第 1 项是 2，递推公式为 an＝1－an1－1， 1
已知 a1(a1≠0)，若数列有形如aan＋n1＝f(n)的递推 公式，可用累乘法求通项公式．
【变式与拓展】
3．设{an}是首项为 1 的正项数列，且满足关系：an＝ 3an＋1(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．
解：∵an＝3an＋1，∴an＋1＝13an.对 n 从 1 到 n－1 依次取值， 得 a2＝13a1，a3＝13a2，a4＝13a3，…，an＝13an－1.
数列的递推公式是由递推关系式(递推)和首项 或前几项(基础)两个因素所确定的，即便递推关系完全一样， 而首项不同就可得到两个不同的数列，适当配凑是本题进行归 纳的前提．
【变式与拓展】 1．根据递推公式，分别写出它的前 5 项，并归纳出通项公 式： (1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)； (2)a1＝1，an＋1＝a2n＋an2(n∈N*)．