2.2 超几何分布-王后雄学案
高中数学选择性第3章3.2.2超几何分布教案
第二课时 超几何分布
新课程标准解读
核心素养
通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题
数学抽象、数学建模、数据分析
教学设计
一、目标展示
二、情境导入
某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选4个进行作答，至少答对3个才能通过初试，已知在这8个试题中甲能答对6个．
(1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率；
(2)记取得1号球的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列．
题型三 超几何分布与二项分布的综合应用
【例3】 某村委会为了解适龄民众对放开二孩生育政策的态度，决定以该村中1970年后出生的人口作为调查对象，并随机调查10人．调查后得知其中打算生二孩的有4人，不打算生二孩的有6人．
B．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为X
C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数
2．在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是()
X
0
1
…
l
P
…
为超几何分布列．
2．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，就称X服从超几何分布，记作X～H(N，M，n)．
四、精讲点拨
题型一 超几何分布的概率
【例1】10件产品中有2件次品，任取2件进行检验，求下列事件的概率：
(1)至少有1件次品；
(2)至多有1件次品．
题型二 超几何分布的分布列
【例2】 一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1，2，3；黑球有2个，编号为1，2；白球有1个，编号为1．现从袋中一次随机抽取3个球．课后作业教源自反思教学札记教学札记
2.2超几何分布 教案高中数学选修2-3 北师大版
§2 超几何分布●三维目标1．知识与技能(1)理解超几何分布及其推导过程．(2)能用超几何分布解决一些简单的实际问题．2．过程与方法通过具体实例，感受现实生活中的数学原型，经历概念的形成过程，体会概念的内涵．3．情感、态度与价值观体会数学来源于生活，也应该服务于生活，增强学习数学的兴趣．●重点难点重点：利用超几何分布求概率．难点：超几何分布的综合应用．教学时引导学生结合学习过的概率，通过例题与练习加深对超几何分布的理解，通过观察、比较、分析找出超几何分布的特点及概率求法，以强化重点，化解难点.(教师用书独具)●教学建议教学时通过例题让学生归纳总结超几何分布，通过独立自主和合作交流进一步理解超几何分布．●教学流程创设问题情境，提出问题．⇒通过引导学生回答问题，让学生掌握超几何分布．⇒通过例1及互动探究，掌握简单的超几何分布的分布列的求法⇒通过例2及变式训练掌握利用超几何模型．求相应事件的概率．⇒通过例3及变式训练掌握超几何分布的综合应用．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈、矫正.1．如何识别超几何分布？【提示】 超几何分布必须满足以下两条：(1)总数为N 件的物品只分为两类：M (M ≤N )件甲类(或次品)，其余的N －M 件为乙类(或正品)．(2)随机变量X 表示从N 件物品中任取n (n ≤N )件物品，其中所含甲类物品的件数． 2．在产品检验中超几何分布描述的是放回抽样还是不放回抽样？ 【提示】 不放回抽样．3．在超几何分布中，随机变量X 取值的最大值是M 吗？【提示】 不一定．当n ≥M 时，最大值为M ，当n <M 时，最大值为n . 1．超几何分布的概念一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件次品．从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC nN(其中k 为非负整数)． 如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布． 2．超几何分布的表格形式所选3人中女生人数为X ，求X 的分布列．【思路探究】 写出X 的可能取值―→ 求出每个X 对应的概率―→写出分布列【自主解答】 X 的所有可能取值为0,1,2，由题意得： P (X ＝0)＝C 34C 36＝15，P (X ＝1)＝C 24C 12C 36＝35，P (X ＝2)＝C 14C 22C 36＝15.∴X 的分布列为1．解答本题易出现P (X ＝k )算错或列表时X ＝k 与P (X ＝k )的位置不对应的错误． 2．求超几何分布的分布列，关键是求得P (X ＝k )的值，而求其值，就要先分清N ，M 和n 的值．本例中若所选3人中男生人数为X ，其他条件不变，求X 的分布列． 【解】 X 的所有可能取值为1,2,3，由题意得：P (X ＝1)＝C 14C 22C 36＝15，P (X ＝2)＝C 24C 12C 36＝35，P (X ＝3)＝C 34C 36＝15.∴X 的分布列为。
高中数学 2.2 超几何分布(二)教案 北师大选修2-3
2.2超几何分布教学目标：1、理解理解超几何分布；2、了解超几何分布的应用． 教学重点：1、理解理解超几何分布；2、了解超几何分布的应用 教学过程一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量: 随机变量只能取有限个数值或可列无穷多个数值则称为离散随机变量，在高中阶段我们只研究随机变量取有限个数值的情形.3. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表4. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:1)(0≤≤A P ，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：⑴P i ≥0，i ＝1，2，…；⑵P 1+P 2+ (1)对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和即⋅⋅⋅+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ5.二、讲解新课：在产品质量的不放回抽检中，若N 件产品中有M 件次品，抽检n 件时所得次品数X=m则()m M m n N nMNC C P X m C --==.此时我们称随机变量X 服从超几何分布 1）超几何分布的模型是不放回抽样 2）超几何分布中的参数是M,N,n三、例子 例1．在一个口袋中装有30个球，其中有10个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.摸到4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率是多少？ 解：由题意可见此问题归结为超几何分布模型由上述公式得411020530(4)0.029C C P X C ==≈ 例2.一批零件共100件，其中有5件次品.现在从中任取10件进行检查，求取道次品件数的分布列.课堂小节：本节课学习了超几何及其分布列 课堂练习： 课后作业：。
2016-2017学年高二数学北师大版选修2-3学案：2.2 超几何分布 Word版含解析
§2超几何分布1．理解超几何分布及其推导过程．(重点)2．能用超几何分布解决一些简单的实际问题．(难点)[基础·初探]教材整理超几何分布阅读教材P38～P40部分，完成下列问题．1．超几何分布的概念一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝____________(其中k 为非负整数)．如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为N，M，n的超几何分布．2．超几何分布的表格形式【答案】 1.M N－MC n N 2.M N－MC n NM N－MC n NM N－MC n NM N－MC n N1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在产品检验中，超几何分布描述的是放回抽样．()(2)在超几何分布中，随机变量X取值的最大值是M.()(3)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布．()(4)在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式，求出X取不同值m时的概率P(X＝m)．()【答案】(1)×(2)×(3)√(4)√2．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为()A.C380C610C10100 B.C680C410C10100C.C480C620C10100 D.C680C420C10100【解析】设X表示任取10个球中红球的个数，则X服从参数为N＝100，M＝80，n＝10的超几何分布，取到的10个球中恰有6个红球，即X＝6，P(X＝6)＝C 680C420C10100.【答案】 D[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]个白球，这些球除颜色外完全相同．(1)若用随机变量X表示任选4个球中红球的个数，则X服从超几何分布，其参数为()A．N＝9，M＝4，n＝4 B．N＝9，M＝5，n＝5C．N＝13，M＝4，n＝4 D．N＝14，M＝5，n＝5(2)若用随机变量Y表示任选3个球中红球的个数，则Y的可能取值为________．(3)若用随机变量Z表示任选5个球中白球的个数，则P(Z＝2)＝________.【精彩点拨】着眼点：(1)超几何分布的概念；(2)参数的意义；(3)古典概型概率的计算公式．【自主解答】(1)根据超几何分布的定义知，N＝9，M＝4，n＝4.(2)由于只选取了3个球，因此随机变量Y的所有可能取值为0,1,2,3.(3)由古典概型概率计算公式知，P(Z＝2)＝C22C37C59＝518.【答案】(1)A(2)0,1,2,3(3)5 18对于超几何分布要注意以下两点：(1)超几何分布是不放回抽样；(2)公式P(X＝k)＝C k M·C n－kN－MC n N中各参数的意义.[再练一题]1．若将例1第(1)小题中改为“随机变量X表示不是红球的个数”，则参数N＝______，M＝______，n＝______.【解析】根据超几何分布的定义知，N＝9，M＝5，n＝4.【答案】95 43个球，求取出的红球数X 的分布列，并求至少有一个红球的概率．【精彩点拨】 先写出X 所有可能的取值，求出每一个X 所对应的概率，然后写出分布列，求出概率．【自主解答】 X ＝0,1,2,3， X ＝0表示取出的3个球全是黑球，P (X ＝0)＝C 35C 38＝1056＝528，同理P (X ＝1)＝C 13·C 25C 38＝3056＝1528，P (X ＝2)＝C 23·C 15C 38＝1556，P (X ＝3)＝C 33C 38＝156.∴X 的分布列为至少有一个红球的概率为P (X ≥1)＝1－528＝2328.超几何分布的求解步骤1．辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否具有明显的两部分组成，如“男生、女生”，“正品、次品”，“优劣”等，或可转化为明显的两部分．具有该特征的概率模型为超几何分布模型．2．算概率：可以直接借助公式P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N求解，也可以利用排列组合及概率的知识求解，需注意借助公式求解时应理解参数M，N，n，k的含义．3．列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来．[再练一题]2．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，求取得次品数为ξ的分布列．【解】设随机变量ξ表示取出次品的件数，则ξ服从超几何分布，其中N ＝15，M＝2，n＝3.ξ的可能的取值为0,1,2，相应的概率依次为P(ξ＝0)＝C02C313C315＝2235，P(ξ＝1)＝C12C213C315＝1235，P(ξ＝2)＝C22C113C315＝135.所以ξ的分布列为探究12分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．试求得分X的分布列．【提示】从袋中随机摸4个球的情况为1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红四种情况，分别得分为5分，6分，7分，8分，故X的可能取值为5,6,7,8.P(X＝5)＝C14C33C47＝435，P(X＝6)＝C24C23C47＝1835，P(X＝7)＝C34C13C47＝1235，P(X＝8)＝C44C03C47＝135.故所求的分布列为探究2 【提示】 根据随机变量X 的分布列，可以得到得分大于6分的概率为P (X >6)＝P (X ＝7)＋P (X ＝8)＝1235＋135＝1335.交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念．记交通指数为T ，其范围为[0,10]，分别有五个级别：T ∈[0,2)畅通；T ∈[2,4)基本畅通；T ∈[4,6)轻度拥堵；T ∈[6,8)中度拥堵；T ∈[8,10]严重拥堵．晚高峰时段，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如图2-2-1所示：图2-2-1(1)这20个路段轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？(2)从这20个路段中随机抽出3个路段，用X 表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X 的分布列．【精彩点拨】 (1)求这20个路段中轻度拥堵、中度拥堵的个数，即求交通指数分别为[4,6)和[6,8)时的频数．根据频率分布直方图的性质求解．(2)先根据超几何分布的概率公式求解X 取各个值时的概率，再列出分布列．【自主解答】 (1)由直方图得：轻度拥堵的路段个数是(0.1＋0.2)×1×20＝6；中度拥堵的路段个数是(0.3＋0.2)×1×20＝10.(2)X 的可能取值为0,1,2,3.则P (X ＝0)＝C 010C 310C 320＝219；P (X ＝1)＝C 110C 210C 320＝1538；P(X＝2)＝C210C110C320＝1538；P(X＝3)＝C310C010C320＝219.所以X的分布列为1．超几何分布具有广泛的应用，它可以用来描述产品抽样中的次品数的分布规律，也可以用来研究我们熟悉的不放回摸球游戏中的某些概率问题．在其分布列的表达式中，各个字母的含义在不同的背景下会有所不同．2．在超几何分布中，随机变量X取每个值的概率是用古典概型计算的，明确每一个基本事件的性质是正确解答此类问题的关键．[再练一题]3．某人有5把钥匙，其中只有一把能打开办公室的门，一次他醉酒后拿钥匙去开门．由于看不清是哪把钥匙，他只好逐一去试．若不能开门，则把钥匙扔到一边，记打开门时试开门的次数为ξ，试求ξ的分布列，并求他至多试开3次的概率．【解】ξ的所有可能取值为1,2,3,4,5，且P(ξ＝1)＝C 11 C15＝15，P(ξ＝2)＝C14C11C15C14＝15，P(ξ＝3)＝C14C13C11C15C14C13＝15，P(ξ＝4)＝C14C13C12C11C15C14C13C12＝15，P(ξ＝5)＝C14C13C12C11C11C15C14C13C12C11＝1 5.因此ξ的分布列为由分布列知P(ξ≤3)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝15＋15＋15＝35.[构建·体系]1．盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则取出1个白球和2个红球的概率是()A.3742 B.1742C.1021 D.1721【解析】根据题意知，该问题为古典概型，∴P＝C14C25C39＝1021.【答案】 C2．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X＝3)＝() 【导学号：62690031】A.421 B.921C.621 D.521【解析】P(X＝3)＝C35C15C410＝521.【答案】 D3．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，若设X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数，则P(X＝1)＝________.【解析】X＝1表示的结果是抽取的2台彩电有甲型和乙型彩电各一台，故所求概率P(X＝1)＝C 13C12 C25＝3 5.【答案】 354．在某次国际会议中，需要从4个日本人，5个英国人和6个美国人中，任选4人负责新闻发布会，则恰好含有3个英国人的概率为________．(用式子表示)【解析】 设选取的4人中英国人有X 个，由题意知X 服从参数为N ＝15，M ＝5，n ＝4的超几何分布，其中X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，且P (X ＝k )＝C k 5C 4－k 10C 415(k ＝0,1,2,3,4)．∴P (X ＝3)＝C 35C 110C 415.【答案】 C 35C 110C 4155．一个袋中装有3个白球和2个黑球，它们大小相同，采用无放回地方式从袋中任取3个球，取到黑球的数目用X 表示，求随机变量X 的分布列．【解】 X 可能取的值为0,1,2. 由题意知，X 服从超几何分布，所以P (X ＝0)＝C 02·C 33C 35＝110；P (X ＝1)＝C 12·C 23C 35＝35；P (X ＝2)＝C 22·C 13C 35＝310.所以X 的分布列为：我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A 的概率为()A.C34C248 C552B.C348C24 C552C．1－C148C44 C552D.C34C248＋C44C148C552【解析】从52张扑克牌中任意抽出5张，至少有3张A的结果数是C34C248＋C44C148，故所求概率为C34C248＋C44C148C552.【答案】 D2．一个盒子里装有相同大小的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则P(X≤1)等于()A.C122C14＋C222C226 B.C112C14＋C24C226C.C110C14＋C222C226 D.C110C14＋C24C226【解析】由已知得，X的可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝C222C226；P(X＝1)＝C122C14C226；P(X＝2)＝C24C226，∴P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝C122C14＋C222C226.【答案】 A3．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么310等于()A．恰有1只是坏的的概率B．恰有两只是好的的概率C．4只全是好的的概率D．至多有两只是坏的的概率【解析】恰好两只是好的概率为P＝C23C27C410＝310.【答案】 B4．某12人的兴趣小组中，有5名“特困生”，现从中任意选6人参加竞赛，用ξ表示这6人中“特困生”的人数，则下列概率中等于C35C37C612的是()A．P(ξ＝2) B．P(ξ＝3)C．P(ξ≤2) D．P(ξ≤3)【解析】6人中“特困生”的人数为ξ，则其选法数为Cξ5·C6－ξ7，当ξ＝3时，选法数为C35C37，故P(ξ＝3)＝C 35C37C612.【答案】 B5．一个盒子里装有相同大小的红球、白球共30个，其中白球4个．从中任取两个，则概率为C 126C 14＋C 24C 230的事件是( ) 【导学号：62690032】A ．没有白球B ．至少有一个白球C ．至少有一个红球D ．至多有一个白球【解析】 C 126C 14＋C 24C 230＝C 126C 14C 230＋C 24C 230表示任取的两个球中只有一个白球和两个都是白球的概率，即至少有一个白球的概率．【答案】 B 二、填空题6．一批产品共50件，其中5件次品，其余均为合格品，从这批产品中任意抽取两件，其中出现次品的概率为________．【解析】 设抽取的两件产品中次品的件数为X ，则P (X ＝k )＝C k 5C 2－k45C 250(k ＝0,1,2)．∴P (X >0)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 15C 145C 250＋C 25C 250＝47245.【答案】 472457．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为________．(结果用最简分数表示)【解析】 从这30瓶饮料中任取2瓶，设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A ，则P (A )＝C 127C 13C 230＋C 23C 230＝28145.【答案】 281458．(2016·铜川高二检测)袋中有3个黑球，4个红球，除颜色外，其他均相同，从袋中任取3个球，则至少有一个红球的概率为________．【解析】 令X 表示取出的黑球个数，则X ＝0,1,2,3，P (X ＝0)＝C 33C 37＝135，故至少有一个红球的概率为P (X ≥1)＝1－135＝3435.【答案】34 35三、解答题9．现有10张奖券，其中8张1元，2张5元，从中同时任取3张，求所得金额的分布列．【解】设所得金额为X，X的可能取值为3,7,11.P(X＝3)＝C38C310＝715，P(X＝7)＝C28C12C310＝715，P(X＝11)＝C18·C22C310＝115.故X的分布列为10.老师要从10规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列；(2)他能及格的概率．【解】(1)设抽到他能背诵的课文的数量为X，则P(X＝k)＝C k6C3－k4C310(k＝0,1,2,3)．P(X＝0)＝C06C34C310＝130，P(X＝1)＝C16C24C310＝310，P(X＝2)＝C26C14C310＝12，P(X＝3)＝C36C04C310＝16.所以X的分布列为(2)他能及格的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝12＋16＝23.[能力提升]1．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：①X表示取出的最大号码；②X表示取出的最小号码；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分；④X表示取出的黑球个数．这四种变量中服从超几何分布的是()A．①②B．③④C．①②④D．①②③④【解析】由超几何分布的概念知③④符合，故选B.【答案】 B2．现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是57，则语文课本的本数为() 【导学号：62690033】A．2 B．3C．4 D．5【解析】设语文课本有m本，任取2本书中的语文课本数为X，则X服从参数为N＝7，M＝m，n＝2的超几何分布，其中X的所有可能取值为0,1,2，且P(X＝k)＝C k m C2－k7－mC27(k＝0,1,2)．由题意，得P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝C0m C27－mC27＋C1m C17－mC27＝1 2×(7－m)(6－m)21＋m(7－m)21＝57.∴m2－m－12＝0，解得m＝4或m＝－3(舍去)．即7本书中语文课本有4本．【答案】 C3．口袋内装有10个大小相同的球，其中5个球标有数字0,5个球标有数字1，若从口袋中摸出5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是________(用数字作答)．【解析】设摸出标有数字1的球的个数为X，则所求的概率为：1－P(X＝2)－P(X＝3)＝1－C25C35C510－C35C25C510＝1－5063＝1363.【答案】13 634．盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球．(1)求取出的3个球中至少有一个红球的概率；(2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；(3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列．【解】(1)P＝1－C37C39＝712.(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，则P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝C 12C23C39＋C22C14C39＝542.(3)ξ可能的取值为0,1,2,3，ξ服从超几何分布，且P(ξ＝k)＝C k3C3－k6C39，k＝0,1,2,3.故P(ξ＝0)＝C 36 C39＝5 21，P(ξ＝1)＝C13C26C39＝1528，P(ξ＝2)＝C23C16C39＝314，P(ξ＝3)＝C33C39＝184，ξ的分布列为。
高二数学教案超几何分布学案
高二数学教案超几何分布学案2.2 超几何分布一、知识要点1.超几何分布：记为，并将，记为.二、典型例题例1.高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出5个球，摸到4个红球1个白球的就获一等奖，求获一等奖的概率.例2.生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品，采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，则接收该批产品，问：该批产品被接收的概率是多少?例3.一个口袋内装有10张大小相同的票，其号数分别为0，1，2，，9，从中任取2张，其号数至少有一张为偶数的概率是多少?三、巩固练习1.袋中有5个黑球和3个白球，从中任取2个球，则其中至少有1个黑球的概率是.2.一个班级有30名学生，其中有10名女生，现从中任选3名学生当班委，令随机变量表示3名班委中女生的人数，随机变量表示3名班委中男生的人数，试求与的概率分布.3.设50件商品中有15件一等品，其余为二等品，现从中随机选购2件，用表示所购2件商品中一等品的件数，写出的概率分布.四、课堂小结五、课后反思六、课后作业1.100张奖券中，有4张中奖，从中任取2张，则2张都中奖的概率为.2.袋中装有大小相同的分别写有1，2，3，4，5的五个球，从中任取三个球，则其中含写有1的球的概率是.3.在一次口试中，要从10道题中随机抽出3道题进行回答，答对其中两道或两道以上的题可获得及格，某考生会回答10道题中的6道题，那么他获得及格的概率是.(用分数作答)4.一个袋子里装有4个白球，5个黑球和6个黄球，从中任取4个球，则含有3个黑球的概率为.5.袋中有4个白球和5个黑球，现从中任取两个，至少一个是黑球的概率是.6.从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取3台，其中两种品牌的彩电齐全的概率是.7.设15件同类型的零件中有2件是不合格品，从其中任取3件，以表示取出的3件中的不合格品的件数，试求的分布列及.8.一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验质量，其级别为随机变量，求的分布列及.9.一袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机地取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球.那个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。
高中数学 2.2 超几何分布(一)教案 北师大选修2-3
2.2 超几何分布教学目标1．通过实例，理解超几何分布及其特点；2．通过对实例的分析，掌握超几何分布列及其导出过程，并能简单的应用． 教学重点，难点:理解超几何分布的概念，超几何分布列的应用． 教学过程 一．问题情境 1．情境：在产品质量管理中，常常通过抽样来分析合格品和不合格品的分布，进而分析产品 质量．假定一批产品共N 件，其中有M 件不合格品，随机取出的n 件产品中，不合格品数X 的概率分布如何？2．问题：用怎样的数学模型刻画上述问题？ 二．学生活动以100N =，5M =，10n =为例，研究抽取10件产品中不合格品数X 的概率分布． 三．建构数学从100件产品中随机抽取10件有10100C 种等可能基本事件．{}2X =表示的随机事件是“取到2件不合格品和8件合格品”，依据分步计数原理有28595C C 种基本事件，根据古典概型， 2859510100(2)C C P X C ==． 类似地，可以求得X 取其他值时对应的随机事件的概率，从而得到不合格品数X 的对一般情形，一批产品共件，其中有件不合格品，随机取出的件产品中，不合格品数X 的分布如下表所示：其中min(,)l n M =．一般地，若一个随机变量X 的分布列为()r n r M N MnNC C P X r C --==， 其中0r =，1，2，3，…，l ，min(,)l n M =，则称X 服从超几何分布，记为(,,)XH n M N ，并将()r n r M N MnNC C P X r C --==记为(;,,)H r n M N ． 说明：（1）超几何分布的模型是不放回抽样； （2）超几何分布中的参数是M ，N ，n ． 四．数学运用 1．例题：例1．高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．现一次从中摸出5个球，（1）若摸到4个红球1个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率． （2）若至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率．解：（1）若以30个球为一批产品，其中红球为不合格产品，随机抽取5个球，X 表示取到的红球数，则X 服从超几何分布(5,10,30)H ．由公式得4541020530700(4;5,10,30)0.029523751C C H C -==≈， 所以获一等奖的概率约为2.95%．（2）根据题意，设随机变量X 表示“摸出红球的个数”，则X 服从超几何分布(5,10,30)H ，X 的可能取值为0，1，2，3，4，5，根据公式可得至少摸到3个红球的概率为：324150102010201020555303030(3)(3)(4)(5)0.1912C C C C C C P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++≈， 故中奖的概率为0.1912．例2．生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品．问：该批产品被接收的概率是多少？解：以50箱为一批产品，从中随机抽取5箱，用X 表示“5箱中不合格产品的箱数”，则X 服从超几何分布(5,2,50)H ．这批产品被接收的条件是5箱中没有不合格的箱或只有1箱不 合格，所以被接收的概率为(1)P X ≤，即0514248248555050243(1)245C C C C P X C C ≤=+=． 答：该批产品被接收的概率是243245（约为0.99184）．说明：（1）在超几何分布中，只要知道N 、M 和n ，就可以根据公式，求出X 取不同m 值时的概率()P X m =，从而列出X 的分布列．（2）一旦掌握了X 的分布列，就可以算出相应试验的很多事件的概率，从而就完全掌握了该试验．思考：该批产品中出现不合格产品的概率是多少？例3．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n 张，为了使这n 张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n 至少为多少？解：设随机变量X表示“抽出中奖票的张数”，则X服从超几何分布(,2,50)H n，根据公式可得至少有一张中奖的概率11222482485050(1)0.5n nn nC C C CP XC C--≥=+>，解得15n≥．答：n至少为15张．2．练习：课本第51页练习第1，2题．五．回顾小结：1．超几何分布的特点；2．超几何分布列的简单应用．六．课外作业：课本第52页习题2.2第4题．。
高中数学 第2章 概率 2.2 超几何分布学案 北师大版选修2-3(2021年整理)
§2 超几何分布1．理解超几何分布及其推导过程．（重点)2．能用超几何分布解决一些简单的实际问题．（难点）[基础·初探]教材整理 超几何分布阅读教材P 38~P 40部分,完成下列问题． 1．超几何分布的概念一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N ）件次品．从中任取n (n ≤N ）件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P (X ＝k ）＝____________（其中k 为非负整数)．如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X 服从参数为N ，M ,n 的超几何分布． 2．超几何分布的表格形式【答案】错误!错误!错误!错误!错误!1．判断(正确的打“√"，错误的打“×”）(1）在产品检验中，超几何分布描述的是放回抽样．( ） （2）在超几何分布中，随机变量X 取值的最大值是M .（ )(3)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X 服从超几何分布．（ ）（4)在超几何分布中，只要知道N ,M 和n ，就可以根据公式，求出X 取不同值m 时的概率P (X ＝m)．（)【答案】（1)×（2)×(3)√（4）√2．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球,则其中恰有6个红球的概率为( ）A.错误!B。
错误!C。
错误! D.错误!【解析】设X表示任取10个球中红球的个数，则X服从参数为N＝100，M＝80，n＝10的超几何分布,取到的10个球中恰有6个红球，即X＝6，P(X＝6)＝错误!。
【答案】D［质疑·手记］预习完成后，请将你的疑问记录,并与“小伙伴们"探讨交流:疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3:解惑：［小组合作型]盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个白球,这些球除颜色外完全相同．(1）若用随机变量X表示任选4个球中红球的个数，则X服从超几何分布,其参数为（)A．N＝9,M＝4，n＝4 B．N＝9,M＝5,n＝5C．N＝13，M＝4，n＝4 D．N＝14,M＝5,n＝5(2)若用随机变量Y表示任选3个球中红球的个数，则Y的可能取值为________．（3）若用随机变量Z表示任选5个球中白球的个数，则P(Z＝2)＝________.【精彩点拨】着眼点：（1）超几何分布的概念；（2)参数的意义；(3)古典概型概率的计算公式．【自主解答】(1）根据超几何分布的定义知,N＝9,M＝4，n＝4。
2020-2021学年数学北师大版选修2-3学案：2.2 超几何分布 Word版含解析
§2超几何分布知识点超几何分布[填一填]一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品，从中任取n(n≤N)件产品．用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝(其中k为非负整数)．如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为N，M，n 的超几何分布．[答一答]如何正确理解超几何分布？提示：(1)超几何分布是不放回的抽样；(2)超几何分布中各参数k，n，M，N的意义分别为：k是取出的次品件数，n是取出的产品数，M是产品中的次品数，N是产品总数．1．如何判断随机变量X是否服从超几何分布？判断超几何分布时必须满足以下两条：(1)总数为N的物品只分为两类：M(M≤N)件为甲类(或次品)，其余的N－M件为乙类(或正品)．(2)随机变量X表示从N件物品中任取n(n≤N)件物品，其中所含甲类物品的件数．2．通过实例说明超几何分布及其推导过程构造以下数学模型：一箱内有N个小球，其中有红球n个，从箱中所有小球中任取M个(M≤N)，这M个小球中所含红球的个数X是一个随机变量．事件{X ＝m }的概率P (X ＝m )＝C m n C M －m N －nC M N(0≤m ≤l ，l 为n 和M 中较小的一个)．则随机变量X 的分布列即为超几何分布，推导如下：由于取到每个小球的概率都是相等的，属古典概型，故取M 个小球的方法共有C MN 种，其中含有m 个红球的取法有C m n ·C M －m N －n 种，于是得取m 个红球的概率为C m n ·C M －m N －nC M N，令取到红球的个数X ＝m 即得超几何分布列． 3．方程思想和分类讨论思想在超几何分布中的应用超几何分布是一种离散型随机变量的分布，其分布列的性质自然也具有一般随机变量分布列的两条性质，自然也可用方程思想求解分布列中的某些未知量，而在求解一些随机变量的概率时，有时需要进行分类讨论．题型一 超几何分布的概率[例1] 在10件产品中有3件次品，7件正品，现从中抽取5件，求抽得的次品件数X 的分布列．[思路探究] 显然X 服从超几何分布． [解] X 的可能取值为0,1,2,3.X ＝0，表示取出的5件产品全是正品，所以P (X ＝0)＝C 03C 57C 510＝21252＝112；X ＝1，表示取出的5件产品中有1件次品，4件正品，所以P (X ＝1)＝C 13C 47C 510＝512；X ＝2，表示取出的5件产品中有2件次品，3件正品，所以P (X ＝2)＝C 23C 37C 510＝512；X ＝3，表示取出的5件产品中有3件次品，2件正品，所以P (X ＝3)＝C 33C 27C 510＝112.所以X 的分布列为X123P112 512 512 112规律方法 解答本题的关键在于先分析随机变量是否满足超几何分布，如果满足超几何分布的条件，则直接利用超几何分布模型解决．如果不满足，则应借助相应概率公式求解．袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球.(1)求得分数X 的分布列； (2)求得分大于6分的概率． 解：(1)X 的取值为8,7,6,5.P (X ＝8)＝C 44C 47＝135，P (X ＝7)＝C 34C 13C 47＝1235，P (X ＝6)＝C 24C 23C 47＝1835，P (X ＝5)＝C 14C 33C 47＝435.∴得分数X 的分布列为X 8 7 6 5 P13512351835435(2)P (X >6)＝P (X ＝7)＋P (X ＝8)＝1235＋135＝1335. 题型二 超几何分布的应用[例2] 在一次购物活动中，假设在10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张中任取2张，求：(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X (元)的概率分布列．[思路探究] 解答本题可先利用对立事件求出顾客中奖的概率，再分析X 的所有可能取值，明确X 取各个值的事件，利用组合及公式P ＝mn 进行计算求解．[解] (1)P ＝1－C 04C 26C 210＝1－1545＝23，即顾客中奖的概率为23.(2)X 的所有可能值为0,10,20,50,60.P (X ＝0)＝C 04C 26C 210＝13，P (X ＝10)＝C 13C 16C 210＝25，P (X ＝20)＝C 23C 210＝115，P (X ＝50)＝C 11C 16C 210＝215，P (X ＝60)＝C 11C 13C 210＝115，故X 的分布列为：X 0 10 20 50 60 P1325115215115规律方法 本题以超几何分布为背景，主要考查了概率的计算，离散型随机变量的分布列的求法及解决实际问题的能力．生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格品，采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格品，便接收该批产品．问该批产品被接收的概率是多少？解：以50箱为一批产品，从中随机抽取5箱，用X 表示“5箱中不合格品的箱数”，则X 服从参数为N ＝50，M ＝2，n ＝5的超几何分布．这批产品被接收的条件是5箱中没有不合格品或只有1箱不合格品，所以被接收的概率为P (X ≤1)，即P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 02C 548C 550＋C 12C 448C 550＝243245. 即这批产品被接收的概率为243245(约为0.991 84)．[例3] 甲、乙等5名大运会志愿者被随机分到A ，B ，C ，D 4个不同的岗位服务，每个岗位至少需要1名志愿者．(1)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一岗位服务的概率；(3)设随机变量ξ为这5名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求ξ的分布列．[思路探究] 事件相当于把5名大运会志愿者分配到4个不同的岗位，针对不同的事件求出其包含的基本事件的个数，再根据古典概型的概率公式求解即可．[解] 把5名大运会志愿者分配到4个不同的岗位，且每个岗位至少需要1名志愿者，有C 25A 44＝240种安排方法，所以基本事件的个数为240.(1)甲、乙两人同时参加A 岗位服务的分配方案有A 33＝6(种)．由古典概型概率的计算公式可知，甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率为6240＝140.(2)甲、乙两人不在同一岗位服务的分配方案有240－A 44＝216(种)．由古典概型概率的计算公式可知，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率为216240＝910.(3)随机变量ξ的所有可能取值为1和2.“ξ＝1”表示“只有1人参加A 岗位服务”，其分配方案有C 15C 24A 33＝180(种)，故P (ξ＝1)＝180240＝34.“ξ＝2”表示“有2人参加A 岗位服务”，其分配方案有C 25A 33＝60(种)，故P (ξ＝2)＝60240＝14.故随机变量ξ的分布列为ξ 1 2 P3414规律方法 解此类题的关键是在理解题意的基础上正确运用排列、组合知识计算出基本事件的个数．在列好分布列后，可根据分布列的性质检验结果是否正确．在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件．求取出的3件产品中一等品件数X 的分布列．解：由题意知X 的所有可能取值为0,1,2,3，且X 服从参数为N ＝10，M ＝3，n ＝3的超几何分布，因此P (X ＝k )＝C k 3C 3－k 7C 310(k ＝0,1,2,3)．所以P (X ＝0)＝C 03C 37C 310＝35120＝724；P (X ＝1)＝C 13C 27C 310＝63120＝2140；P (X ＝2)＝C 23C 17C 310＝21120＝740；P (X ＝3)＝C 33C 07C 310＝1120.故X 的分布列为：X 0 1 2 3 P72421407401120——规范解答系列——[例4] 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道试题，乙能答对其中的8道试题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，答对一题得5分，答错一题得0分．求：(1)甲答对试题数X 的分布列； (2)乙所得分数Y 的分布列． [解] (1)X 的可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝C 34C 310＝130，P (X ＝1)＝C 24C 16C 310＝310，P (X ＝2)＝C 14C 26C 310＝12，P (X ＝3)＝C 36C 310＝16.所以甲答对试题数X 的分布列为X ＝k 0 1 2 3 P (X ＝k )1303101216(2)乙答对试题数可能为1,2,3. 所以乙所得分数Y ＝5,10,15.P (Y ＝5)＝C 22C 18C 310＝115，P (Y ＝10)＝C 12C 28C 310＝715，P (Y ＝15)＝C 38C 310＝715.所以乙所得分数Y 的分布列为Y ＝a i 5 10 15 P (Y ＝a i )115715715在含有5件次品的100件产品中，任取3件，试求： (1)取到的次品数X 的分布列； (2)至少取到1件次品的概率．解：(1)由于从100件产品中任取3件的结果数为C 3100，从100件产品中任取3件，其中恰有k 件次品的结果数为C k 5C 3－k95，那么从100件产品中任取3件，其中恰有k 件次品的概率为P (X ＝k )＝C k 5C 3－k95C 3100，k ＝0,1,2,3.所以随机变量X 的分布列为X123P C 05C 395C 3100 C 15C 295C 3100 C 25C 195C 3100 C 35C 095C 3100(2)根据随机变量X 的分布列，可得至少取到1件次品的概率为P (X ≥1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1－P (X ＝0)≈0.144.1．一批产品共50件，次品率为4%，从中任取10件，则抽到1件次品的概率约为( A )A ．0.327B ．0.032 6C ．0.326D ．0.032 7解析：一批产品共50件，其中有50×4%＝2件次品，48件正品，从中任取10件共有C 1050种选法，其中抽1件次品有C 948C 12种方法．所以抽到1件次品的概率是p ＝C 948C 12C 1050≈0.327.2．12人的兴趣小组中有5人是“三好学生”，现从中任选6人参加竞赛，若随机变量X 表示参加竞赛的“三好学生”的人数，则C 35C 37C 612为( C )A ．P (X ＝6)B ．P (X ＝5)C ．P (X ＝3)D ．P (X ＝7)解析：由题意可知随机变量X 服从参数为N ＝12，M ＝5，n ＝6的超几何分布，由公式P (X ＝k )＝C k M C n －k N －M C n N易知C 35C 37C 612表示的是k ＝X ＝3的取值概率．3．已知某批产品共100件，其中二等品有20件．从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，试填写下列关于ξ的分布列：ξ＝k 0 1 2 P (ξ＝k )316495329919495解析：ξ的可能取值为0,1,2，ξ服从参数为N ＝100，M ＝20，n ＝2的超几何分布，则P (ξ＝0)＝C 020C 280C 2100＝316495，P (ξ＝1)＝C 120C 180C 2100＝3299，P (ξ＝2)＝C 220C 080C 2100＝19495. 4．口袋内装有10个大小相同的球，其中5个球标有数字0,5个球标有数字1，若从口袋中摸出5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是13,63(用数字作答)．解析：{ξ＝i }表示“摸出的5个球所标数字之和为i ”(i ＝0,1,2,3,4,5)，则P (ξ＝0)＝C 55C 510，P (ξ＝1)＝C 45C 15C 510，P (ξ＝4)＝C 15C 45C 510，P (ξ＝5)＝C 55C 510，故摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率为P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＋P (ξ＝4)＋P (ξ＝5)＝2(C 55＋C 15C 45)C 510＝2×26252＝1363. 5．在装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X 个红球，写出随机变量X 的概率分布列．解：由题意知，随机变量X 的取值为0,1,2.P (X ＝0)＝C 03C 22C 25＝110＝0.1，P (X ＝1)＝C 13C 12C 25＝610＝0.6，P (X ＝2)＝C 23C 02C 25＝0.3(或P (X ＝2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)＝0.3)．故随机变量X 的概率分布列为：X0 1 2P 0.1 0.6 0.3感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。
高中数学 2_2《超几何分布》教案2 苏教版选修2-31
超几何分布
教学目标 知识与技能：通过实例，理解超几何分布及其特点。
过程与方法：掌握超几何分布列及其导出过程。
情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。
教学重难点 超几何分布的理解，分布列的推导。
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式。
教学过程：
学生探究过程：
问题情境
假定一批产品共100件，其中有5件不合格品，随机取出的10件产品中，不合格品
数X 的概率分布如何？并将所得到的结果推广到一般的情况，能得到什么结果。
构建数学
一般地，若一个随机变量X 的分布列为 ,n
N
C r
n M N C r M C r)P(X --==① 其中r=0，1，2，…，l,l=min(n,M ), 则称X 服从超几何分布，记为X ～Ｈ（n,M,N ）,
并将①记为Ｈ（r;n,M,N）.
数学应用
例1、高三（1）班联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出5个球，摸到4个红球1个白球的就中一等奖。
求中一等奖的概率。
例2、生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品。
采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格品，便接收该批产品。
问：该批产品被接受的概率是多少？
教学反思：
1. 通过实例，理解超几何分布及其特点。
2. 掌握超几何分布列及其导出过程。
3. 通过对实例的分析，会进行简单的应用。
苏教版高中数学选修2-3 2.2 超几何分布学案
2018-2019学年苏教版选修2-3 2.2 超几何分布 学案[学习目标] 1.理解超几何分布及其推导过程.2.掌握超几何分布在解决实际问题中的应用.知识点一 超几何分布若一个随机变量X 的分布列为P (X ＝r )＝C r M C n －r N －MC n N，其中r ＝0,1,2,3，…，l ，l ＝min(n ，M )，则称X 服从超几何分布，记为X ～H (n ，M ，N )，并将P (X ＝r )＝C r M C n －rN －MC n M记为H (r ；n ，M ，N )．思考 超几何分布模型，在产品检验中，描述的是不放回抽样，还是放回抽样？ 答 在超几何分布模型中，表示的是不放回抽样． 知识点二 超几何分布X 的概率分布表思考 若X ～H (2,3,5)写出X 的概率分布． 答 由P (X ＝0)＝C 03·C 22C 25＝110＝0.1，P (X ＝1)＝C 13·C 12C 25＝0.6，P (X ＝2)＝C 23C 25＝0.3.所以概率分布为题型一 超几何分布问题的概率例1 10件产品中有2件次品，任取2件进行检验，求下列事件的概率： (1)至少有1件次品； (2)至多有1件次品.解 (1)“至少有1件次品”的对立事件是“2件都是正品”.“2件都是正品”的概率为C 28C 210＝2845， 所以“至少有1件次品”的概率为1－2845＝1745.(2)“至多有1件次品”的对立事件为“2件都是次品”.“2件都是次品”的概率为C 22C 210＝145，所以“至多有1件次品”的概率为1－145＝4445.反思与感悟 属于超几何分布问题，可直接套用公式求解，对于“至多”“至少”等问题处理可用对立事件处理.跟踪训练1 在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同.一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率.解 设摸出红球的个数为X ，则X 服从超几何分布，其中参数N ＝30，M ＝10，n ＝5.于是中奖的概率P (X ≥3)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＋P (X ＝5)＝C 310C 5－330－10C 530＋C 410C 5－430－10C 530＋C 510C 5－530－10C 530≈0.191.即中奖的概率约为0.191. 题型二 超几何分布的应用例2 在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖品. (1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X 的概率分布； (2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张， ①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值Y 元，求Y 的概率分布.解 (1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X 的取值只有0和1两种情况. P (X ＝1)＝C 14C 110＝410＝25，则P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)＝1－25＝35.因此X 的概率分布为(2)①1张中奖或2张都中奖.故所求概率P ＝C 14C 16＋C 24C 06C 210＝3045＝23. ②Y 的所有可能取值为0,10,20,50,60，且P (Y ＝0)＝C 04C 26C 210＝1545＝13，P (Y ＝10)＝C 13C 16C 210＝1845＝25，P (Y ＝20)＝C 23C 06C 210＝345＝115，P (Y ＝50)＝C 11C 16C 210＝645＝215，P (Y ＝60)＝C 11C 13C 210＝345＝115.因此随机变量Y 的概率分布为反思与感悟 解决超几何分布问题的两个关键点(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆.(2)超几何分布中，只要知道M ，N ，n 就可以利用公式求出X 取不同k 的概率P (X ＝k )，从而求出X 的概率分布.跟踪训练2 从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动. (1)求所选3人中恰有一名男生的概率； (2)求所选3人中男生人数ξ的概率分布.解 (1)所选3人中恰有一名男生的概率P ＝C 25C 14C 39＝1021.(2)ξ的可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝C 35C 39＝542，P (ξ＝1)＝C 25C 14C 39＝1021，P (ξ＝2)＝C 15C 24C 39＝514，P (ξ＝3)＝C 34C 39＝121.∴ξ的概率分布为例3 袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球. (1)求得分X 的概率分布； (2)求得分大于6分的概率.解 (1)从袋中随机摸4个球的情况为1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红四种情况，分别得分为5分，6分，7分，8分，故X 的可能取值为5,6,7,8.P (X ＝5)＝C 14C 33C 47＝435，P (X ＝6)＝C 24C 23C 47＝1835，P (X ＝7)＝C 34C 13C 47＝1235，P (X ＝8)＝C 44C 03C 47＝135.故所求的概率分布为(2)根据随机变量X 的概率分布，可以得到得分大于6分的概率为P (X >6)＝P (X ＝7)＋P (X ＝8)＝1235＋135＝1335.反思与感悟 在求离散型随机变量的概率分布时，明确随机变量所取的每个值表示的意义是关键.跟踪训练3 某人有5把钥匙，其中只有一把能打开房子的门，一次他醉酒后拿钥匙去开门.由于看不清是哪把钥匙，他只好逐一去试.若不能开门，则把钥匙扔到一边，记打开门时试开门的次数为ξ，试求ξ的概率分布，并求他至多试开3次的概率. 解 ξ的所有可能取值为1,2,3,4,5，且P (ξ＝1)＝C 11C 15＝15，P (ξ＝2)＝C 14C 11C 15C 14＝15，P (ξ＝3)＝C 14C 13C 11C 15C 14C 13＝15，P (ξ＝4)＝C 14C 13C 12C 11C 15C 14C 13C 12＝15，P (ξ＝5)＝C 14C 13C 12C 11C 11C 15C 14C 13C 12C 11＝15.因此ξ的概率分布为由分布列知P (ξ≤3)＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝15＋15＋15＝35.1.今有电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为________.(用式子表示)答案 1－C 345C 350解析 出现二级品的情况较多，可以考虑不出现二级品的概率为C 345C 350，故出现二级品的概率为1－C 345C 350.2.袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P (ξ≤6)＝________. 答案1335解析 P (ξ≤6)＝P (取到1只黑球3只红球)＋P (取到4只红球)＝C 34C 13C 47＋C 44C 47＝1335.3.某人投篮的命中率是命不中概率的3倍，以随机变量X 表示1次投篮的命中次数，则P (X ＝1)＝________. 答案 34解析 设命不中的概率为p ，则命中的概率为3p ，p ＋3p ＝1，p ＝14.P (X ＝1)是1次投篮中命中的概率，即投篮命中率P (X ＝1)＝34.4.交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小的球10个，其中8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人所得钱数的概率分布.解 设抽奖人所得钱数为随机变量ξ，则ξ＝2,6,10.P (ξ＝2)＝C 28C 210＝2845，P (ξ＝6)＝C 18C 12C 210＝1645，P (ξ＝10)＝C 22C 210＝145.故ξ的概率分布为超几何分布：超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数，只要知道N ，M 和n 就可以根据公式：P (X ＝r )＝C r M C n －r N －MC n N求出X 取不同值r 时的概率.学习时，不能机械地去记忆公式，而要结合条件以及组合知识理解M ，N ，n ，r 的含义.。
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张喜林制2.2 超几何分布教材知识检索考点知识清单1．-般地，若一个随机变量X 的分布列为,)(Nr n MN r M C C C r X P --==其中},,min{,,,3,2,1,0M n l l r == ,,,,,+∈≤≤N N M n N M N n 则称X 服从超几何分布，n Nrn MN r M C C C r X P --==)(中的N 代表 ，M 代表 ，n 代表 ，r 代表2．对一般情形，一批产品共N 件，其中有M 件次品，从中随机取出的n 件产品中，次品数x 的概率分布如下表所示：则① ，② ，③ ，④ ．要点核心解读1．超几何分布的概念(1)-般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件}{r X =发生的概率为==)(r X P n Nr n MN r M C C C --,,,2,1,0l r =（其中},,min{n M l =且,,,n N M N n ≤≤),,+∈N N M 称该分布列为超几何分布列，如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布．(2)超几何分布这一模型在高考、统考中应用广泛，在使用时要注意以下几点：①可以借助概率分布，观察其中的规律，再把这种规律推广到一般情形，即求出从含有M 件次品的)(M N N ≥件产品中任取n 件，取到次品数X 的概率分布，而不必生搬硬套公式（容易记错）．②要注意解释超几何分布的引入背景．如“在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品……”，这里“任取n 件”等价于从所有的产品中依次不放回地任取n 件，③思考在一般情况下表示次品件数的随机变量x 的取值范围是什么，以得到概率分布列的完整的解析表达式==)(r X P ,,,2,1,0,l r C C C n Nr n MN r M =--其中}.,min{M n l =解题时要标明随机变量的取值范围． 2．超几何分布的应用(1)超几何分布是一种常见的随机变量的分布，要熟记公式，正确应用公式解题．(2)超几何分布主要运用排列组合知识来解决X 可能取值的概率，即有条件的排列组合与无条件的排列组合的比值．(3)在实际生活中，随机变量的概率分布列应用十分广泛，利用它可以解决很多问题，如求某些事件的概率，利用它解决几何概型问题等．具体来说，其典型应用是描述产品抽样中的次品数的分布规律和用来研究学生熟悉的不放回摸球游戏中的某些概率问题．3．几何分布（拓展知识点）超几何分布使用的是不放回抽样，但是在许多实际问题中，也有一些放回抽样的问题，其中比较典型的有产品中首次抽到次品的抽查次数、讨论射击时首次命中目标的射击次数等，这里体现出的就是另一种典型分布——几何分布，下面给出定义：在每次试验中，若事件A 发生的概率为p ，则A 发生的概率为q=l -p ，则事件A 首次发生的试验次数X 是一个随机变量，它的可能取值为1，2，…，k ，…，其分布列为这类分布称为几何分布．我们称X 服从几何分布，并记,),(1p qp k g k -=其中-=1q ,3,2,1,=k p典例分类剖析考点1 超几何分布的应用 命题规律(1)产品抽样中的次品数的分布规律； (2)不放回摸球中的某些概率问题．[例1] 在含有5件次品的100件产品中，任取3件，试求： (1)取到的次品数X 的分布列； (2)至少取到1件次品的概率．[解析] (1)求随机变量的分布列，首先要确定X 的可能取值，而x=0，1，2，3；最后求出相应的概率,5)(31395ωC C C k X P kk ==.;.3,2,1,0=k 最后用表格表示；(2)求)1(≥X P 的概率就是根据所求分布列，将)3(),2(),1(===X P X P X P 的值相加．[解] (1)由于从100件产品中任取3件的结果数为,3100C 从100件产品中任取3件，其中恰有k 件次品的结果数为,k3955-C C k 那么从100件产品中任取3件，其中恰有k 件次品的概率为.3,2,1,0,)(31003955===-k C C C k X P kk 所以随机变量X 的分布列是(2)根据随机变量X 的分布列，可得至少取到1件次品的概率)1()1(==≥X P X P P X P +=+)2(≈++==310095353119525310029515)3(C C C C C C C C C X ω.14400.000006.000588.013806.0=++[点拨] 解决此类问题时首先判断随机变量X 是否服从超几何分布，若服从，n ，M ，N 分别等于多少．母题迁移1．设有产品100件，其中有次品5件，正品95件，现从中随机抽取20件，求抽到次品件数ξ的概率分布．[例2] 盒中装有一打（12个）乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数x 是一个随机变量，求x 的概率分布．[错解] 任取3个用后放回盒中，此时盒中旧球的个数x 的可能取值为4，5，6.,22027)4(3122319===C C C X P ,5527220108)5(3121329==== C C C X P ⋅====552122084)6(1239C C X P所以X 的概率分布表如下：[错解分析] 随机变量X 的取值确定不全，丢掉了3=X 的情况．[正解] 由题意，盒中共有12个球，9个新球，3个旧球，任取3个用后放回盒中，此时盒中旧球的个数X 的可能取值为3，4，5，6．;2201)3(31233===C C X P;22027)4(3122319===C C C X P ;5527220108)5(3121329====C C C X P ⋅====552122084)6(1239C C X P所以X 的概率分布表如下：[方法指要] 求完概率分布后，要注意利用概率分布的性质进行检验．[例3] 某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率．[解析] 摸到的红球个数X 服从超几何分布，根据超几何分布的公式即可计算出中奖的概率． [解] 根据题意，摸到的红球个数X 为随机变量，且X 服从参数为5,10,30===n M N 的超几何分布，它的可能取值为0，1，2，3，4，5，则可得至少摸到3个红球的概率为+==+=+==≥--530351030310)5()4()3()3(C C C X P X P X P X P +--530451030410C C C 530551030510C C C --.1912.0≈故中奖的概率约为0.1912．[点拨]要注意中奖的概率是指54,3===X X X 和的概率和，不要只计算3=X 的概率． 母题迁移 2．老师要从10篇课文中随机抽取3篇让学生背诵，规定至少要背出其中的2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的概率分布（可用算式表示）； (2)他能及格的概率． 考点2 几何分布 命题规律不放回抽样中第一次抽到次品（或第一次摸到某球）的次数．[例4] -袋中装有1个红球和9个白球，每次从袋，中任取一球，取后放回，直到取到红球为止，求取球次数x 的概率分布．[解] X 的所有可能取值为1,2，…，n ，…．令i A 表示第i 次取到红球，由于各次取球互不影响，且取到红球的概率=p ,1.0于是得)()1(1A P X P ==)2(,1.0==X P ==)(21A A P 1.09.0)()(21⨯=A P A P...09.0，=.)()()()()(321121 A P A P A P A A A A P i X P i i ===-=-)()(1i i A P A P )...1)1)(1(p p p ---（ ⨯=-9.0)1(p p .1.09.01.09.09.09.01⨯=⨯⨯⨯⨯-i所以其概率分布为[点拨] 本题就是一个典型的几何分布问题，母题迁移 3．设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯（允许通行）的概率为,43遇到红灯（禁止通行）的概率为⋅41假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，X 表示停车时已经通过的路口数，求：(1)X 的概率分布；(2)停车时最多已通过3个路口的概率．优化分层测训学业水平测试1．有20个零件，其中有16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任取3个，那么至少有一个是一等品的概率是( )．32024116.C C C A 32024216.C C C B 32031614216.C C C C C +⋅ D ．以上均不对 2．玉树大地震的四川救援队中有一支12人的医疗支队，其中有一对夫妻，现将这支医疗支队平均分为两组开展工作，则这对夫妻恰好分到同一组的概率为( )．612410.C C A 6124102.C C B 6124102.C C C 612610.C C D 3．下列说法：(1)在超几何分布中，只要知道N 、M 和n 就能列出X 的分布列；(2)超几何分布中，X 的取值只能是自然数；(3)超几何分布中，总物品种类只能为2类．其中正确的个数是( )．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．某班有50名学生，其中15人选修A 课程，另外35人选修B 课程，从班级中任选两名学生，他们选修不同课程的概率是 （结果用分数表示） 5．（2010年宜昌模拟题）袋中有7个球，其中4个红球，3个黑球，从袋中任取3个球，求取出的红球数X 的概率分布及不少于2个红球的概率，高考能力测试（测试时间：60分钟测试满分：100分） 一、选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）1．某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X 表示这6人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于6123735C C C 的是( )． )2(.=X P A )3(.=X P B )2(.≤X P C )3(.≤X P D2．在15个村庄中，有7个村庄交通不太方便，现从中任意选10个村庄，用ξ表示这10个村庄中交通不太方便的村庄数，则下列概率中等于10156847C C C 的是( )． )2(.=ξP A )2(.≤ξP B )4(.=ξP C )4(.≤ξP D3．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机抽取4个，那么103等于( )． A ．恰有1个是坏的的概率 B ．恰有2个是好的的概率 C.4个全是好的的概率， D ．至多有2个是坏的的概率 4．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以107为概率的事件是( )． A ．都不是一等品 B ．恰有1件一等品 C ．至少有l 件一等品 D ．至多有1件一等品5．在超几何分布公式n Nm n MN m M C C C m X P --==)(中，有( )． 0.≤m A N M B ≤. 10.≤≤m C 0)0(.==X P D二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）6．从有3个黑球、5个白球的盒中随机取出2个球，其中恰有一个是白球的概率是 ．7．一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中随机取出2个球，则其中红球个数X 的可能取值为 ；P(X=2)= ．8.某人对一目标进行射击，每次的命中率都是0.25，若要使至少命中1次的概率不小于0.75，则至少射击____次．三、解答题（共60分） 9．（14分）（2010年湖北省部分重点中学第二次联考题）袋中有大小相同的5个球，其中黑球3个，白球2个，甲、乙二人分别从中各取一个，甲先取（不放回）乙后取，规定：两人取到同颜色的球则甲胜，取到不同颜色的球则乙胜．(1)分别求甲、乙取到黑球的概率；(2)甲、乙二人谁胜的概率大？请说明理由． 10.（14分）设10件产品中，有3件次品，7件正品，现从中随机抽取5件，求抽得次品件数ξ的分布列．11.（16分）一产品分为一、二、三级，一批产品中，一级品是二级品的2倍，三级品是二级品的,21从这批产品中随机抽取一件检验质量，其级别为321、、（=ξξ分别表示抽取到一级品、二级品、三级品），求ξ的概率分布表及).1(>ξP12.（16分）（2009年天津高考题）在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：(1)取出的3件产品中一等品件数X 的分布列 ；(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率，参考答案。