2.2 超几何分布-王后雄学案

张喜林制

2.2 超几何分布

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考点知识清单

1．-般地，若一个随机变量X 的分布列为,)(N

r n M

N r M C C C r X P --==其中},,min{,,,3,2,1,0M n l l r == ,,,,,+∈≤≤N N M n N M N n 则称X 服从超几何分布，n N

r

n M

N r M C C C r X P --==)(中的N 代表 ，M 代表 ，n 代表 ，r 代表

2．对一般情形，一批产品共N 件，其中有M 件次品，从中随机取出的n 件产品中，次品数x 的概率分布如下表所示：

则① ，② ，③ ，④ ．

要点核心解读

1．超几何分布的概念

(1)-般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件}{r X =发生的概

率为==)(r X P n N

r n M

N r M C C C --,,,2,1,0l r =（其中},,min{n M l =且,,,n N M N n ≤≤),,+∈N N M 称该分布列为超几何分布列，如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何

分布．

(2)超几何分布这一模型在高考、统考中应用广泛，在使用时要注意以下几点：

①可以借助概率分布，观察其中的规律，再把这种规律推广到一般情形，即求出从含有M 件次品的

)(M N N ≥件产品中任取n 件，取到次品数X 的概率分布，而不必生搬硬套公式（容易记错）．

②要注意解释超几何分布的引入背景．如“在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品……”，这里“任取n 件”等价于从所有的产品中依次不放回地任取n 件，

③思考在一般情况下表示次品件数的随机变量x 的取值范围是什么，以得到概率分布列的完整的解析

表达式==)(r X P ,,,2,1,0,l r C C C n N

r n M

N r M =--其中}.,min{M n l =解题时要标明随机变量的取值范围． 2．超几何分布的应用

(1)超几何分布是一种常见的随机变量的分布，要熟记公式，正确应用公式解题．

(2)超几何分布主要运用排列组合知识来解决X 可能取值的概率，即有条件的排列组合与无条件的排列组合的比值．

(3)在实际生活中，随机变量的概率分布列应用十分广泛，利用它可以解决很多问题，如求某些事件的概率，利用它解决几何概型问题等．

具体来说，其典型应用是描述产品抽样中的次品数的分布规律和用来研究学生熟悉的不放回摸球游戏中的某些概率问题．

3．几何分布（拓展知识点）

超几何分布使用的是不放回抽样，但是在许多实际问题中，也有一些放回抽样的问题，其中比较典型的有产品中首次抽到次品的抽查次数、讨论射击时首次命中目标的射击次数等，这里体现出的就是另一种典型分布——几何分布，下面给出定义：

在每次试验中，若事件A 发生的概率为p ，则A 发生的概率为q=l -p ，则事件A 首次发生的试验次数X 是一个随机变量，它的可能取值为1，2，…，k ，…，其分布列为

这类分布称为几何分布．

我们称X 服从几何分布，并记,),(1

p q

p k g k -=其中-=1q ,3,2,1,=k p

典例分类剖析

考点1 超几何分布的应用 命题规律

(1)产品抽样中的次品数的分布规律； (2)不放回摸球中的某些概率问题．

[例1] 在含有5件次品的100件产品中，任取3件，试求： (1)取到的次品数X 的分布列； (2)至少取到1件次品的概率．

[解析] (1)求随机变量的分布列，首先要确定X 的可能取值，而x=0，1，2，3；最后求出相应的概

率,5

)(313

95ω

C C C k X P k

k ==.;.3,2,1,0=k 最后用表格表示；(2)求)1(≥X P 的概率就是根据所求分布列，将

)3(),2(),1(===X P X P X P 的值相加．

[解] (1)由于从100件产品中任取3件的结果数为,3

100C 从100件产品中任取3件，其中恰有k 件次

品的结果数为,k

395

5-C C k 那么从100件产品中任取3件，其中恰有k 件次品的概率为

.3,2,1,0,)(3100

395

5===-k C C C k X P k

k 所以随机变量X 的分布列是

(2)根据随机变量X 的分布列，可得至少取到1件次品的概率)1()1(==≥X P X P P X P +=+)2(

≈++==3100

95

353119525310029515)3(C C C C C C C C C X ω.14400.000006.000588.013806.0=++

[点拨] 解决此类问题时首先判断随机变量X 是否服从超几何分布，若服从，n ，M ，N 分别等于多少．

母题迁移1．设有产品100件，其中有次品5件，正品95件，现从中随机抽取20件，求抽到次品件数ξ的概率分布．

[例2] 盒中装有一打（12个）乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数x 是一个随机变量，求x 的概率分布．

[错解] 任取3个用后放回盒中，此时盒中旧球的个数x 的可能取值为4，5，6.

,22027

)4(3122319===C C C X P ,5527

220108)5(3121

329==== C C C X P ⋅====55

21

22084)6(123

9C C X P

所以X 的概率分布表如下：

[错解分析] 随机变量X 的取值确定不全，丢掉了3=X 的情况．

[正解] 由题意，盒中共有12个球，9个新球，3个旧球，任取3个用后放回盒中，此时盒中旧球的个数X 的可能取值为3，4，5，6．

;2201

)3(31233===C C X P

;22027

)4(3122319===C C C X P ;5527

220108)5(3121

329====C C C X P ⋅====55

21

22084)6(123

9C C X P

所以X 的概率分布表如下：

[方法指要] 求完概率分布后，要注意利用概率分布的性质进行检验．

[例3] 某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率．

[解析] 摸到的红球个数X 服从超几何分布，根据超几何分布的公式即可计算出中奖的概率． [解] 根据题意，摸到的红球个数X 为随机变量，且X 服从参数为5,10,30===n M N 的超几何分布，它的可能取值为0，1，2，3，4，5，则可得至少摸到3个红球的概率为

+==+=+==≥--530351030310)5()4()3()3(C C C X P X P X P X P +--530451030410C C C 5

30

5510

30510C C C --.1912.0≈