复合函数
高一数学复合函数
高一数学复合函数复合函数是高一数学中的一个重要概念，它在函数学习的过程中起着关键作用。
本文将详细介绍复合函数的定义、性质以及其在实际问题中的应用。
1. 复合函数的定义复合函数是由两个函数相互组合而成的新函数。
设有函数f(x)和g(x)，则复合函数记作f(g(x))，表示先用g(x)对x进行映射，然后再将结果代入f(x)进行映射。
2. 复合函数的性质（1）复合函数的定义域：复合函数的定义域取决于中间函数的定义域，要求中间函数的值域必须在f(x)的定义域内。
（2）复合函数的值域：复合函数的值域取决于最后一个函数的值域，要求最后一个函数的值域在f(x)的值域内。
（3）复合函数的可逆性：当复合函数中的所有函数都是可逆函数时，复合函数才是可逆的。
（4）复合函数的性质：复合函数满足结合律，即f(g(h(x)))=(f∘g)∘h(x)。
3. 复合函数的应用举例（1）物理问题：假设一辆汽车的速度与时间的函数关系为v(t)，而时间与位置的函数关系为s(t)，则汽车的位置随时间的变化可以用复合函数s(v(t))来表示。
（2）经济问题：假设某商品的价格与销量的函数关系为p(x)，而销量与利润的函数关系为l(x)，则利润随销量的变化可以用复合函数l(p(x))来表示。
（3）生物问题：假设某种细胞的密度与时间的函数关系为d(t)，而时间与增长率的函数关系为r(t)，则细胞的密度随时间的变化可以用复合函数d(r(t))来表示。
4. 复合函数的求导对于复合函数f(g(x))，可以利用链式法则来求导。
链式法则规定，复合函数的导数等于外函数对内函数的导数乘以内函数对自变量的导数。
通过链式法则，可以将复合函数的求导简化为对中间函数和最后一个函数的导数的求导。
5. 复合函数的图像复合函数的图像可以通过画出中间函数和最后一个函数的图像，并根据复合函数的定义进行变换得到。
具体来说，先画出中间函数的图像，然后根据复合函数的定义，将中间函数的输出作为最后一个函数的输入，再画出最后一个函数的图像。
复合函数
当 a 0 时,显然适合题意.
当
a0
a0 时 0a4 2 a 4a 1 0
综上知函数的单调性
引理1：函数y f [ g ( x)],若u g ( x)在区间(a, b)上单增， 其值域为(c, d ), 又函数y f (u )在区间(c, d )上是增函数， 那么复合函数y f [ g ( x)]在区间(a, b)上是增函数。
1 x
2 x 2 x 1
的单调区间。
2.求函数y 2 的单调区间。 3.求函数y 4 2 的单调区间。
x x
则u 2 x 2 1在(,0)上单增，在(0,)上单减， y 2 在区间(,1)上单增，
u
y 2 , u (,1)
u
(,0)
u 2 x 2 1
(0,)
y 2u
y2
2 x 2 1
单增 单增 单增
单减 单增 单减
故y 23x1在(,0)上单减，在 (0,)上单增。
f (u1 ) f (u2 ) 即f [ g ( x1 )] f [ g ( x2 )] y f [ g ( x)]在(a, b)上单减。
记u1 g ( x1 ), u2 g ( x2 ) 则u1 u2，且u1 , u2 (c, d ) 又y f (u )在区间(c, d )上单增
复合函数y f [ g ( x)]的单调性是由内层函数 u g ( x) 和外层函数 y f (u)单调性共同决定的。
g(x) f(x)
单增 单增
单增 单减 单减
单减 单增 单减
单减 单减 单增
f[g(x)] 单增
例1 ：求函数y 2
3 x 1
离散数学43.复合函数
定理2 设有函数 f：A→B， g：B→C和h：C→D， 则有 h(gf)＝(hg)f.
复合函数
复合函数(Compositions of functions)
因为函数是一种特殊的关系，所以和关系一样也有复合运 算。对于复合函数我们有下面的定义：
复合函数的图示
例1 设A={1,2, 3, 4}B={1, 2, 3, 4, 5},C={1, 2, 3}。 F : A→B，F={〈1,2〉,〈2,1〉,〈3,3〉,〈4,5〉} G : B→C，G={〈1,1〉,〈2,2〉,〈3,3〉, 〈4,3〉,〈5,2〉}
证明 1) 任取a1， a2∈A， 且a1≠a2，因为f是单射，所以 f(a1)≠f(a2)；又因为g是单射， 所以 g(f(a1))≠g(f(a2)).
因此, g。f是单射.
2) 任取c∈C，因为g是满射，所以存在b∈B，使得g(b)＝ｃ；
又因为 f是满射， 所以存在a∈A， 使得f(a)＝b. 所以 gf(a)＝g(f(a))＝g(b)＝c，
证明: 这可由关系的复合的可结合性得出， 这里我们直接 由函数相等的定义证明.
首先,h(gf)，(hg)f都是A到D的函数.所以对任一a∈A， 有 h(gf)(a)＝h(gf(a))=h(g(f(a)))＝(hg)(f(a)) ＝(hg)f(a).
g。f = {〈1,1〉,〈2,1〉,〈3,2〉} ， f 。g={〈1,2〉,〈2,2〉,〈3,1〉}. 所以 g。f ≠ f 。g .
函数复合的下列性质也是明显的.
复合函数
复合函数一、复合函数的定义：设y 是z 的函数y =f (z )，而z 又是x 的函数z =φ(x )，设X 表示φ(x )的定义域或其中的一部分，如果对于在X 上取值时所对应的值，函数y =f (z )均有定义，则y 成为x 的函数，记为y = f [φ(x )]。
这个函数叫做由y = f (z )及z =φ(x )复合而成的复合函数，它的定义域为X ，z 叫做中间变量，f 称为外层函数，φ称为内层函数。
要求掌握把复合函数分解为几个简单函数的方法，例如是由和两个函数复合而成的。
二、复合函数的解析式：例1：已知二次函数()x f 满足()569132+-=+x x x f ，求()x f 。
分析：本题可采用待定系数法求解，但待定系数法不是求模型函数的解析式的唯一定势，解答这类问题要具体情况具体分析。
本题用换元和“凑型”的办法解决。
解法一 设13+=x t ,则31-=t x 。
把13+=x t 、31-=t x 分别代入569)13(2+-=+x x x f 的左边和右边得()53163192+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t t f ，即()842+-=t t t f ，∴ ()()R x x x x f ∈+-=842 。
解法二 由已知，569)13(2+-=+x x x f ∴()()()813x 413x 13x f 2++-+=+，把13x +视为一个整体，有()()R x x x x f ∈+-=842.例2 已知()0x x 1x x 1x f 22>+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，求()x f 。
分析 由22x 1x x 1x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+求()x f 的对应法则，可设t =+x 1x ，则22221t x x =++，即21222-=+t xx ，问题很容易得到解决。
随后的问题是()x f 的定义域是什么？例3、设f(x)满足()3x x 12f x f =⎪⎭⎫⎝⎛+，求f(x)分析：在已知的关系式中含有f(x)和f(x 1)，求出f(x),需要消去f(x1),所以需从已知的关系中再产生一个关于f(x)和f(x1)的关系式,然后联立解出f(x),这里只要以x 1代替x ,便可得关于f(x)和f(x 1)的又一等式.三、复合函数的定义域：⒈已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域例4、函数f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)=f(x+21)- f(x-21)的定义域是（ ）(A)[0,2] (B)[23,21-] (C)[25,21] (D)[23,21]例5、已知函数f(x)的定义域是(]0,1,求g(x)=f(x+a)·f(x-a)⎪⎭⎫⎝⎛≤<-0a 21的定义域.⒉已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域例6、若函数f(x+1)的定义域为⎪⎭⎫⎝⎛-,221，则f(x 2)的定义域是＿＿＿＿＿例7、函数f(x+1)的定义域为[-2，3]，则y=f(2x-1)的定义域是( )(A)⎥⎦⎤⎢⎣⎡250,(B)[-1,4](C)[-5,5](D)[-3,7]⒊由符合函数的定义域，求字母参数的取值.例8、函数96k x k x y 2+-=的定义域为R ，则k 的取值范围是＿＿＿＿＿.例9、已知函数()2bx ax x f 2++=的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,21，求a+b 的值.四、复合函数的性质与构成它的函数的性质密切相关,其规律可列表如下: ⒈复合函数[])(x g f y =在区间[]b a ,上的单调性：引理1 已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.引理2 已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.若函数)(x g u =在区间[]b a ,上是单调函数,函数)(u f y =在[])(),(b g a g 或[])(),(a g b g 上也是单调函数,那么复合函数[])(x g f y =在区间[]b a ,上是即)(x g u =,)(u f y =增减性相同时, [])(x g f y =为增函数,)(x g u =,)(u f y =增减性相反时, [])(x g f y =为减函数.例10 求下列函数的单调区间： y=log 4(x 2－4x+3)解：(方法1)设 y=log 4u,u=x 2－4x+3.由u ＞0, ∵u=x 2－4x+3，∴x 2－4x+3>0 解得原复合函数的定义域为x ＜1或x ＞3.当x ∈(－∞，1)时，u=x 2－4x+3为减函数，而y=log 4u 为增函数，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间；当x ∈(3，±∞)时，u=x 2－4x+3为增函数y=log 4u 为增函数，所以，(3，+∞)是复合函数的单调增区间. (方法2)设 y=log 4u,u=x 2－4x+3u=x 2－4x+3=(x －2)2－1,x ＞3或x ＜1，(复合函数定义域) x ＜2 (u 减)解得x ＜1.所以x ∈(－∞，1)时，函数u 单调递减.由于y=log 4u 在定义域内是增函数，所以由引理知：u=(x －2)2－1的单调性与复合函数的单调性一致，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间.下面我们求一下复合函数的单调增区间. u=x 2－4x+3=(x －2)2－1,x ＞3或x ＜1，(复合函数定义域) x ＞2 (u 增)解得x ＞3.所以(3，+∞)是复合函数的单调增区间. 例11 求下列复合函数的单调区间：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2x 2x 31log y 解: 设 u 31logy =,u=2x －x 2.由 u ＞0u=2x －x2解得原复合函数的定义域为0＜x ＜2. 由于u y 31log=在定义域(0，+∞)内是减函数，所以，原复合函数的单调性与二次函数u=2x －x2的单调性正好相反. 易知u=2x －x 2=－(x －1)2+1在x ≤1时单调增.由 0＜x ＜2 （复合函数定义域） x ≤1，(u 增)解得0＜x ≤1,所以(0，1］是原复合函数的单调减区间. 又u=－(x －1)2+1在x ≥1时单调减，由 x ＜2， (复合函数定义域) x ≥1， (u 减)解得0≤x ＜2,所以[0，1]是原复合函数的单调增区间. 例12 求y=2x 6x 7--的单调区间.解: 设y=,u=7－6x －x 2,由u ≥0,u=7－6x －x 2解得原复合函数的定义域为－7≤x ≤1.因为y=在定义域［0+∞］内是增函数，所以由引理知，原复合函数的单调性与二次函数u=－x2－6x+7的单调性相同.易知u=-x 2-6x+7=-(x+3)2+16在x ≤-3时单调增加。
复合函数的概念
复合函数的概念在数学领域，复合函数的概念非常重要，它是由一系列函数（也称为嵌套函数）组合而成的复合函数。
在本文中，将解释复合函数的性质和用法，以及它们的具体形式。
复合函数的定义复合函数是由一系列函数（内函数）组合而成的函数，它们具有特定的语法结构。
一般情况下，复合函数由两部分组成：外函数和内函数。
外函数是父函数，它包含一个变量或参数，内函数是子函数，它是另一个函数，并且要求先于外函数求值，并最终返回给外函数，外函数使用子函数的输出作为参数进行求值。
举个例子，假设有两个函数f(x)=x+1，g(x) = x2，此时，f g (x)是一个复合函数，其中f为外函数，g为内函数，f g (x)=f(g(x))=x2+1。
复合函数的特性复合函数具有许多独特的特性，让它们在数学中十分重要。
首先，复合函数有极值。
这是因为嵌套函数中的最大值和最小值可以被运用到复合函数中。
其次，复合函数可以组合成更为复杂的函数，这使得它们可以更有效地表达复杂的问题和模型。
此外，复合函数是可链接的函数，即两个复合函数可以连接在一起，形成一个更复杂的复合函数。
综上所述，复合函数具有强大的表达能力，可以解决各种数学问题。
复合函数的用法复合函数可以用于解决各种数学问题，从而获得更复杂的解决方案。
例如，当解决偏微分方程时，复合函数可以用于求解此类方程的拟合曲线，从而解决各种不稳定或反转的问题。
此外，复合函数还可以应用于统计学中，用于建立复杂的概率模型，以求解各种统计学问题。
最后，复合函数还可以用于计算距离。
例如，假设有一个点形成的X-Y轴，并由三个点组成线段，则可以计算出两个点之间的距离，使用复合函数组件来计算，从而更加有效地解决此类问题。
总结从上文可以看出，复合函数在数学领域有着非常重要的地位，它是由一系列函数组合而成的复合函数。
复合函数具有独特的特性，并可以用于解决各种数学问题，例如偏微分方程、统计学问题和距离计算等。
因此，复合函数可以为数学研究提供更准确、更有效的解决方案。
复合函数分析
论复合函数一、复合函数的概念一般地：若)(u f y =，又)(x g u =，)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数))(()(x g f x F y ==叫由两个函数复合而成的复合函数。
即复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.也可以说，一个x 经过u ，有唯一确定的y 与之对应，则变量x 与y 之间通过变量u 形成一种函数关系，这种函数称为复合函数.这里的x 是自变量，y 是变量，而u 是中间变量。
通常称)(x g 为内函数，)(u f 为外函数，这里写)(u f 而不写)(x f ，是为了避免内函数的自变量和外函数自变量的混淆，在处理问题的时候，是把内函数的值域作为外函数的定义域，即令)(x g u =。
例1、12+=x y .这是二次函数12+=x u 与幂函数21u y =的复合.例2、121+-=x y .这是一次函数12+-=x u 与反比例函数uy 1=的复合.例3、x x y +=.可以看成幂函数21x u =与二次函数u u y +=2的复合.例4、xx y 422-=.这是二次函数x x u 42-=与指数函数u y 2=的复合.例5、x x y +-=224.这是指数函数x u 2=与二次函数u u y 42-=的复合.例6、)2(log 22x x y +=.这是将二次函数x x u 22+=与对数函数u y 2log =的复合.例7、x x y 222log 2)log (+=这是将二次函数x u 2log =与对数函数u u y 22+=的复合注意，例4和例5，例6和例7，内外函数调换位置，得到的复合函数是不一样的.例8、1lg 2+=x y 。
这里实际上是三个函数的复合，首先是二次函数12+=x u 和幂函数21u t =的复合，然后再与对数函数t y lg =复合。
二、复合函数的定义域对于复合函数的定义域，首先要注意))(()(x g f x F =的定义域是x 的取值范围，而不是u 的取值范围。
总结复合函数
总结复合函数1. 复合函数的定义复合函数是指由两个或多个函数通过组合运算而成的一种新函数。
假设有函数f和g，其中f的定义域包含了g的值域，那么可以将g的输出作为f的输入，形成复合函数f(g(x))。
复合函数的定义如下：f(g(x)) = f(g(x))其中，g(x)为内函数，f(x)为外函数。
2. 复合函数的求导法则在求解复合函数的导数时，可以使用链式法则来简化计算。
链式法则是一种求导法则，用于求解复合函数的导数。
设有复合函数y = f(g(x))，其中f(x)和g(x)都是可导函数，那么复合函数的导数可以表示为：dy/dx = (df/dg) * (dg/dx)其中，dy/dx表示复合函数y = f(g(x))的导数，df/dg表示外函数f对内函数g 的导数，dg/dx表示内函数g的导数。
3. 复合函数的示例3.1. 标准三角函数的复合函数假设有复合函数y = sin(cos(x))，其中内函数g(x) = cos(x)，外函数f(x) =sin(x)。
对复合函数y求导，根据链式法则有：dy/dx = (df/dg) * (dg/dx)计算内函数g(x)的导数：dg/dx = -sin(x)计算外函数f(g(x))对内函数g(x)的导数：df/dg = cos(g(x)) = cos(cos(x))将以上结果代入链式法则：dy/dx = (cos(cos(x))) * (-sin(x)) = -sin(x) * cos(cos(x))3.2. 自然指数函数的复合函数假设有复合函数y = e^(-2x)，其中内函数g(x) = -2x，外函数f(x) = e^x。
对复合函数y求导，根据链式法则有：dy/dx = (df/dg) * (dg/dx)计算内函数g(x)的导数：dg/dx = -2计算外函数f(g(x))对内函数g(x)的导数：df/dg = e^g(x) = e^(-2x)将以上结果代入链式法则：dy/dx = (e^(-2x)) * (-2) = -2e^(-2x)4. 复合函数的应用复合函数在数学和物理领域中有广泛的应用。
复合函数定义
复合函数定义：设y=f(u），u=g(x），当x在u=g(x）的定义域Dg中变化时，u=g(x）的值在y=f(u）的定义域Df内变化，因此变量x与y之间通过变量u形成的一种函间变量,y为因变量（即函数）。
生成条件不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数，只有当μ=φ(x）的值域存在非空子集Zφ是y=f(μ）的定义域Df的子集时，二者才可以构成一个复合函数。
定义域若函数y=f(u）的定义域是B,u=g(x）的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是D={x|x∈A,且g(x）∈B} 综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的交集。
求函数的定义域主要应考虑以下几点：⑴当为整式或奇次根式时，R；⑵当为偶次根式时，被开方数不小于0（即≥0）；⑶当为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0；⑷当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0（如，中）。
⑸当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。
⑹分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。
⑺由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求⑻对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。
⑼对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。
⑽三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。
周期性设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则y=f（μ）的最小正周期为T1*T2,任一周期可表示为k*T1*T2(k属于R+）增减性依y=f(u)，μ=φ(x)的增减性决定。
即“增增得增，减减得增，增减得减”，可以简化为“同增异减”判断复合函数的单调性的步骤如下：⑴求复合函数定义域；⑵将复合函数分解为若干个常见函数（一次、二次、幂、指、对函数）；⑶判断每个常见函数的单调性；⑷将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；⑸求出复合函数的单调性。
复合函数的基本概念
复合函数通俗地说就是函数套函数，是把上述几种基本初等函数的函数复合为一个较为复杂的函数。
复合函数中含有两个及以上的函数，如y=sin(u)，u=2ᵛ，v=x²，则函数y=sin[2^(x²)]就是y关于x的复合函数，其中x是自变量，u、v都是中间变量，y是应变量。
不是任何两个函数放在一起都能构成一个复合函数，复合的过程中要掌握一个原则：内层函数的值域要在其外层函数的定义域内，由内到外，逐层满足，如y=log₂[1-cos(x)]没问题，但y=log₂[cos(x)-2]就不行，显然没有任何x能使y有意义，故求复合函数的定义域时，要综合考虑各部分的x的取值范围，最后取他们的交集，还是以y=log₂[1-cos(x)]为例：内层cos(x)：定义域x∈R；外层log₂[u]:u>0→1-cos(x)>0→函数的定义域x≠2kπ。
要理解复合函数，先要知道基本初等函数的概念：一般来讲，基本初等函数归为以下五类：幂函数：f(x)=xᵃ(a为有理数);指数函数：f(x)=aˣ(a>0且a≠1);对数函数：f(x)=logₐ(x)(a>0且a≠1);三角函数：f(x)=sin(x)、f(x)=cos(x)反三角函数：f(x)=arcsin(x)、f(x)=arccos(x)复合函数的性质：周期性：复合函数的最小正周期为内外层函数最小正周期的最小公倍数，如tan[sin(x)]的最小正周期为2π单调（增减）性依内外层的单调性来决定：即“增+增=增；减+减=增；增+减=减；减+增=减”，可以简化为口诀“同增异减”。
如y=ln(x²):外层为增函数，内层x<0时为减函数，x>0时为增函数，故复合后：x<0时，内外层增减性相异→复合后为减函数；x>0时，内外层增减性相同→复合后为增函数；。
复合函数
复合函数一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ⊇B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.二、复合函数定义域问题： （一）例题剖析：(1)、已知f x ()的定义域，求[]f g x ()的定义域思路：设函数f x ()的定义域为D ，即x D ∈，所以f 的作用范围为D ，又f 对g x ()作用，作用范围不变，所以D x g ∈)(，解得x E ∈，E 为[]f g x ()的定义域。
例1.设函数f u ()的定义域为（0，1），则函数f x (ln )的定义域为_____________。
解析：函数f u ()的定义域为（0，1）即u ∈()01，，所以f 的作用范围为（0，1） 又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以01<<ln x 解得x e ∈()1，，故函数f x (ln )的定义域为（1，e ）例2. 若函数f x x ()=+11，则函数[]f f x ()的定义域为______________。
解析：先求f 的作用范围，由f x x ()=+11，知x ≠-1即f 的作用范围为{}x R x ∈≠-|1，又f 对f(x)作用 所以f x R f x ()()∈≠-且1，即[]f f x ()中x 应满足x f x ≠-≠-⎧⎨⎩11()即x x ≠-+≠-⎧⎨⎪⎩⎪1111，解得x x ≠-≠-12且故函数[]f f x ()的定义域为{}x R x x ∈≠-≠-|12且 （2）、已知[]f g x ()的定义域，求f x ()的定义域思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，所以f 的作用范围为E ，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x E E ∈，为f x ()的定义域。
例3. 已知f x ()32-的定义域为[]x ∈-12，，则函数f x ()的定义域为_________。
复合函数
复合函数编辑[fù hé hán shù]不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数，只有当Mx∩Du≠Ø时，二者才可以构成一个复合函数。
设函数y=f(u）的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du 内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为：y=f[g(x)]，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量（即函数）。
目录1定义域2周期性3增减性▪决定因素▪基本步骤▪例题▪求参数范围4求导1定义域编辑若函数y=f(u）的定义域是B,u=g(x）的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是D={x|x∈A,且g(x）∈B} 综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的交集。
说白了------复合函数y=f[g(x)]中---g(x）的值域是f(u）的定义域。
y=f(x)+g(x)不是复合函数。
求函数的定义域主要应考虑以下几点：⑴当为整式或奇次根式时，R的值域；⑵当为偶次根式时，被开方数不小于0（即≥0）；⑶当为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0；⑷当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0（如，中）。
⑸当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。
⑹分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。
⑺由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求⑻对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。
⑼对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。
⑽三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。
复合函数总结复习
复合函数总结复习复合函数是高中数学中的重要概念，也是数学建模、微积分等领域的基础知识之一、复合函数的概念在数学中具有广泛的应用，能够帮助我们更好地理解、推导和解决各种数学问题。
1.复合函数的定义复合函数是由两个或多个函数通过其中一种运算相结合形成的函数。
如果有两个函数f(x)和g(x)，则它们的复合函数可以表示为(f∘g)(x)，读作“f环g”。
2.复合函数的基本性质（1）结合律：对于三个函数f(x)，g(x)和h(x)，有[(f∘g)∘h](x)=[f∘(g∘h)](x)，即复合函数的结合顺序不影响最终的结果。
（2）非交换性：一般情况下，复合函数是不可交换的，即[f∘g](x)≠[g∘f](x)。
这是因为函数运算是有顺序的，不同的函数组合可能会产生不同的结果。
（3）单位元：对于任何函数f(x)，有[f∘g](x)=[g∘f](x)=f(x)，其中g(x)是一个恒等函数，即g(x)=x。
这意味着恒等函数在复合运算中充当单位元的作用。
（4）反函数：如果f(x)和g(x)互为反函数，则[f∘g](x)=[g∘f](x)=x。
这是因为反函数的复合运算等于恒等函数。
3.复合函数的求导法则对于复合函数的导数求解，有以下几个常用的法则：（1）链式法则：设 y = f(u) 和 u = g(x) 为两个函数，若 f(x)和 g(x) 都可导，则复合函数 y = f(g(x)) 的导数为 dy/dx = (dy/du)* (du/dx)，其中 dy/du 表示 f(u) 对 u 的导数，du/dx 表示 g(x) 对x 的导数。
（2）反函数法则：设 y = f(x) 和 x = f^(-1)(y) 为两个互为反函数的函数，若 f(x) 可导，则反函数 f^(-1)(y) 在点 y 处的导数为dy/dx = 1 / (dx/dy)。
（3）指数函数和对数函数的导数：设 y = a^x 和 y = log_a x 分别为指数函数和对数函数，其中 a>0，且a ≠ 1，则有 dy/dx = lna* a^x 和 dy/dx = 1 / (lna * x)。
复合函数(知识点总结、例题分类讲解)
千里之行，始于足下。
复合函数(知识点总结、例题分类讲解)复合函数是指由两个或多个函数相互作用形成的新函数。
在数学中，复合函数是一种常见的概念，并且在高等数学、线性代数、微积分等多个领域中都有应用。
本文将对复合函数的知识点进行总结，并通过分类讲解一些例题。
一、复合函数的定义：设有函数f和g，对于g的定义域中的每个x，存在f的定义域中的y，使得y=g(x)，则有一个复合函数h(x)=f(g(x))，它的定义域是所有能使得g(x)的值能成为f(x)定义域中的自变量的值的x。
二、复合函数的求解步骤：1. 确定复合函数的形式h(x)=f(g(x))。
2. 确定g(x)的定义域和f(x)的定义域，并找到能使得g(x)的值成为f(x)的自变量的值。
3. 将g(x)的值代入f(x)中，得到新的函数h(x)。
三、复合函数的性质：1. 复合函数的定义域是g(x)的定义域和f(x)的定义域的交集。
2. 复合函数的值域是f(x)的值域的子集。
四、复合函数的例题分类讲解：1. 简单的复合函数求导：例题1：已知f(x)=x²和g(x)=2x+1，求复合函数h(x)=f(g(x))的导函数h'(x)。
第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
解析：首先计算g'(x)=2，然后计算f'的导函数f'(x)=2x。
根据链式法则，h'(x)=f'(g(x))*g'(x)=2(2x+1)*2=8x+4。
2. 复合函数中含有指数函数：例题2：已知f(x)=eˣ和g(x)=ln(x)，求复合函数h(x)=f(g(x))的导函数h'(x)。
解析：首先计算g'(x)=1/x，然后计算f'的导函数f'(x)=eˣ。
根据链式法则，h'(x)=f'(g(x))*g'(x)=eˣ*(1/x)=eˣ/x。
3. 复合函数中含有三角函数：例题3：已知f(x)=sin(x)和g(x)=x²，求复合函数h(x)=f(g(x))的导函数h'(x)。
全面剖析复合函数及性质
全面剖析复合函数及性质山东省汶上县第一中学 （272500） 丁阳会一、复合函数的定义.一般地，对于两个函数y =f (u )和u =g(x),如果通过u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y =f (u )和u =g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)),其中函数y =f (u )称为外函数，函数u =g(x)称为内函数，u 称为中间变量。
复合函数可以分解为几个简单函数即内函数和外函数，例如复合函数21x y -=由外函数u y =和内函数21x u -=两个基本初等函数复合而成的。
二、复合函数的定义域.复合函数))((x g f y =可以分解为⎩⎨⎧==（内函数）（外函数）),(),(x g u u f y ， 该复合函数的对应关系可以理解为自变量x 以u 为中间变量通过g f 与两个对应关系对应到y ，即y u x f g −−−→−−−−→−对应关系对应关系，其中外函数)(u f y =的定义域是内函数)(x g u =的值域，外函数)(u f y =的值域是复合函数))((x g f y =的值域，内函数)(x g u =的定义域是复合函数))((x g f y =的定义域。
（一）已知)(x f 的定义域，求))((x g f 的定义域。
已知函数)(x f 的定义域为[a,b],则函数))((x g f 的定义域是指满足不等式a ≤g(x)≤b 的x 的取值范围; 例1.已知)(x f 的定义域为[1,2]，求函数)1(2x f y +=的定义域.分析：)1(2x f y +=可以分解为⎩⎨⎧+==21)(xu u f y ，外函数)(u f y =的定义域[1,2]是内函数21x u +=的值域，求复合函数的定义域，只须解不等式2112≤+≤x ，便可求出其定义域.解： 由2112≤+≤x 得1≤x ,即1≤x ，11≤≤-∴x∴函数)1(2x f y +=的定义域是[-1，1]。
复合函数 知识点 总结
复合函数知识点总结第一部分是复合函数的定义。
复合函数是指两个函数相互作用所形成的新函数。
设有函数f(x)，g(x)，那么复合函数可以表示为(g ∘ f)(x)，其中(g ∘ f)(x) = g(f(x))。
也就是说，先将x 带入函数f(x)中，得到f(x)的输出值，然后将这个输出值带入函数g(x)中，得到最终的输出值。
这个过程可以简单地理解为先对x进行一个变化，然后再对这个结果进行另一个变化，最终得到复合函数的值。
第二部分是复合函数的性质。
复合函数的性质包括：复合函数的定义域是由f(x)的定义域和g(x)的值域所决定的；两个函数的复合函数不满足交换律，即(g ∘ f)(x)不等于(f ∘ g)(x)；复合函数的结合律，即((h ∘ g) ∘ f)(x) = h ∘ (g ∘ f)(x)；复合函数的定义域是满足f(x)的定义域并且满足g(x)的值域的范围。
复合函数的性质对于理解和应用复合函数都是非常重要的，可以帮助我们更好地处理复合函数的问题。
第三部分是复合函数的求导法则。
求导是对一个函数在某一点处的变化率的描述，而复合函数的求导法则是对两个函数组合在一起的求导方法。
根据链式法则，设有复合函数y =g(f(x))，那么y' = g'(u) * f'(x)，其中u是f(x)的值。
这个法则对于求导复合函数有非常大的帮助，使我们可以更快地求出复合函数的导数。
第四部分是复合函数的实际应用。
复合函数在数学和实际问题中都有广泛的应用。
在数学中，复合函数可以用来描述复杂的函数关系，简化函数的求导过程。
在实际问题中，复合函数可以用来描述各种复杂的关系，比如利息的复合增长、物理问题中的复杂运动规律等。
复合函数的实际应用使我们可以更好地理解和解决各种实际问题。
综上所述，复合函数是数学中重要的概念，它可以用来描述各种复杂的函数关系，并在实际问题中得到广泛的应用。
复合函数的性质、求导法则和实际应用对于理解和应用复合函数都是非常重要的。
复合函数(讲义)
复合函数(讲义)1.复合函数定义如果函数y=f(u)，u=g(x)，那么函数y=f(g(x))就被称为复合函数，其中f(u)是外层函数，g(x)是内层函数，u是中间变量。
2.复合函数定义域的求法①如果y=f(x)的定义域为[a,b]，那么复合函数y=f(g(x))的定义域即为不等式a≤g(x)≤b的解集；②如果y=f(g(x))的定义域为[a,b]，那么函数y=f(x)的定义域即为x∈[a,b]时g(x)的取值范围。
注：同一对应法则f下的范围相同，即f(u)、f(g(x))、f(h(x))三个函数中，u，g(x)，f(x)的范围相同。
3.复合函数的单调性口诀：同增异减。
已知函数y=f(g(x))，则求其单调区间的一般步骤如下：1）确定定义域；2）将复合函数y=f(g(x))分解成：y=f(u)，u=g(x)；3）分别确定这两个函数的单调区间。
4.复合函数的奇偶性口诀：有偶则偶，全奇为奇。
即：f(x)。
偶函数。
偶函数。
奇函数。
奇函数g(x)。
偶函数。
奇函数。
偶函数。
奇函数f(g(x))。
偶函数。
偶函数。
偶函数。
奇函数精讲精练】1.1）f(g(x))=2(3x-5)+3=6x-7，g(f(x))=3(2x+3)-5=6x+4 2）f(x+1)=(x+1)²+1= x²+2x+22.1）f(x²)，则x²≥0，即定义域为[0,+∞)f(x-2)，则x-2≥0，即定义域为[2,+∞)2）f(x+1)，则x+1∈[-2,1]，即定义域为[-3,0]f(2)，则2∈[-2,1]，即定义域为[-3,0]3）f(2x)，则2x∈[-1,+∞)，即定义域为[-1/2,+∞)f(log₂x)，则log₂x∈[-1,+∞)，即定义域为[1/2,+∞) 4）f(x)=log₃x，则定义域为(0,+∞)3.1）y=log₁⁄₂(x²+6x+13)，x²+6x+13>0，即x∈(-∞,-3]∪(-3,-2]∪(-2,+∞)，值域为(-∞,+∞)2）y=(f(x²)+f(2-x))/(2-x²)，x²≤2，即x∈[-√2,√2]，(2-x)²>0，即2-x≠0，即x≠2，值域为(-∞,a]∪[b,+∞)，其中a=f(2-√2)+f(√2-2)，b=f(2+√2)+f(-√2-2)3）y=log₂(4x²-1)，4x²-1>0，即x∈(-∞,-1/2)∪(1/2,+∞)，值域为(-∞,+∞)4.已知y=ax²/(x²+1)-11x²/(x²+4)，化简得y=-3x²(x²+1)/(x²+4)(x²+1)，x²+4>0，即x∈(-∞,-2)∪(-2,+∞)，x²+1>0，即x∈(-∞,+∞)，因此定义域为(-∞,-2)∪(-2,+∞)，值域为(-∞,0]1.函数f(x)=3x^2-18x+24在x∈[1,8]时有最小值8，则函数的最小值为8，求a的值。
复合函数的性质及解析方法
复合函数的性质及解析方法复合函数是高中数学中一个重要的概念，也是初学微积分的基础，本文将从复合函数的定义、性质及解析方法三个方面介绍这个概念。
一、复合函数的定义所谓复合函数，就是由两个函数组成的一个新函数。
设有函数$f(x)$ 和 $g(x)$，则它们的复合函数 $F(x)$ 定义为：$$F(x)=f[g(x)]$$其中，$x$ 是自变量，$g(x)$ 是 $x$ 的函数，$f(x)$ 是 $g(x)$ 的函数。
二、复合函数的性质1. 复合函数的可交换性：设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都有定义域 $X$ 和值域 $Y$，则当 $f[g(x)]$ 和 $g[f(x)]$ 均有定义时，有：$$f[g(x)]=g[f(x)]$$这被称为复合函数的可交换性，也就是说，多次复合函数的结果与复合的次序无关。
2. 复合函数的可微性：如果 $f(x)$ 在点 $g(a)$ 处可导，$g(x)$ 在点$a$ 处可导，则复合函数 $F(x)$ 在点 $a$ 处也可导，且有：$$F'(a)=f'[g(a)]\cdot g'(a)$$这个公式被称为复合函数求导法则或链式法则。
3. 复合函数的反函数：如果 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是一对反函数，即$f[g(x)]=x$，$g[f(x)]=x$，则有：$$F^{-1}(x)=g^{-1}[f^{-1}(x)]$$其中，$F^{-1}(x)$ 表示 $F(x)$ 的反函数。
三、复合函数的解析方法有些复合函数的解析比较简单，比如 $F(x)=\sqrt{1+e^{2x}}$ 就可以直接分解成 $F(x)=f[g(x)]$ 的形式，其中 $f(x)=\sqrt{1+x}$，$g(x)=e^{2x}$，从而应用函数复合的定义进行计算。
对于一些较为复杂的复合函数，我们需要运用一些解析方法进行求解，如下面几种方法：1. 基本初等复合函数：这种复合函数是由基本初等函数（包括正弦、余弦、指数、对数、幂、三角函数等）和加、减、乘、除等运算所组成的。
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偶 偶 奇 奇
偶 奇 偶 奇
偶 偶 偶 奇
总结：“一偶则偶，同奇则奇”。
1、函数y＝(1/2)1－x的单调增区间为( A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞) C．(1，＋∞) D．(0,1)
)
2、函数f(x)＝1/(2x+1)在(－∞，＋∞)上( ) A单调递减无最小值 B单调递减有最小值 C单调递增无最大值 D单调递增有最大值
复合函数定义：
如果y是u的函数，u又是x的函数， 即y=f(u)、u=g(x)，那么y关于x的函 数y=f(g(x))叫做函数y=f(u)和u=g(x) 的复合函数，其中u是中间变量，自 变量为x，函数值y。y f (u ) 是外层函 u g ( x) 是内层函数。 数，
注意：若内层函数u=g(x)值域为M ,外层函数 y=f(u)定义域为N,则必须满足M N。
② y f ( x) h(h 0) 的图象可由 y f ( x) 的图象 沿 y 轴向上或向下平移 h 个单位得到。
口诀：左加右减，上加下减。
图象的对称变换 ：
① y f ( x) 与 y f ( x) 的图象关于 y 轴对称； ② y f ( x) 与 y f ( x) 的图象关于 x 轴对称； ③ y f ( x) 与 y f ( x)的图象关于原点轴对称；
1、已知函数y＝f(x)的定义域为(1,2)，则函数 y＝f(2x)的定义域为________．
2、已知y f ( x 3)的定义域是 [4,5)，则 f (2 x 3)的定义域为________ 。
图象的平移变换 ：
① y f ( x a)(a 0) 的图象可由 y f ( x) 的图象 沿 x 轴向右平移 a 个单位得到； y f ( x a)(a 0)的图象可由 y f ( x)的图象 沿 x 轴向左平移 a 个单位得到；
-1 y f ( x) 的图象关于 y x 对称； y f ( x ) ④ 与
图象的对称变换 ：
⑤y＝|f(x)|的图象可将y＝f(x)的图象在x轴下 方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方,其余 部分不变； ⑥y＝f(|x|)的图象可将y＝f(x)，x≥0的部分 作出，再利用偶函数关于y轴的对称性作出
说明： ⑴复合函数的定义域，就是复合函数 y f ( g ( x)) 中 x 的取值范围。 ⑵ 中间变量 u 的取值范围即为 g ( x) 的值域。 ⑶ f ( g ( x)) 与 g ( f ( x)) 表示不同的复合 函数。
例题：函数 y 3
u
2பைடு நூலகம்x 1
是由
y 3 和u 2x 1
x≤0的图象。
1、函数y＝-2-x的图象一定过第__象限。
2、为了得到函数y＝3×(1/3)x的图象， 可以把函数y＝(1/3)x的图象________________。 3、函数y＝log2x与y＝log1/2x的图象关于 ________。 4、函数y＝(1/2)|x|的图象有什么特征？你 能根据图象指出其值域和单调区间吗？
复合而成的函数。 练习：函数 y lg( x 4x 3)
2
复合函数单调性：
函数u g ( x)是定义在M上的增函数， y f (u )是定义在N上的增函数，
且{u | u g ( x), x M } N , 求证：复合函数 y f ( g ( x))是M上的增函数。
复合函数单调性：
总结：“同增异减”。
练习1、讨论下列函数的单调性。
1 x2 4 x （ 1 ）y ( ) ； 3 2 （2）y lg( x 2 x 3).
练习2、讨论函数y=loga(ax－1) 的单调性其中a＞0，且a≠1。
复合函数奇偶性：
u g ( x) y f (u ) y f ( g ( x))