布莱克休尔斯莫顿期权定价模型
Chapter11布莱克休尔斯莫顿期权定价模型
衍生证券的定价。
Copyright© Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008
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观察布莱克－舒尔斯微分方程，我们可以发现，受制于主观的 风险收益偏好的标的证券预期收益率并未包括在衍生证券的价值决 定公式中。这意味着，无论风险收益偏好状态如何，都不会对f的值 产生影响。因此我们可以作出一个可以大大简化我们工作的假设： 在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。尽管这只是一 个人为的假定，但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风 险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。
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由上一页的推导可知证券价格对数服从正态分布。如果
一个变量的自然对数服从正态分布，则称这个变量服从对数
正态分布。这表明ST服从对数正态分布。根据对数正态分布 的特性，以及符号的定义，我们可以得到 E(ST ) Se (T t) 和 var(ST ) S 2e 2(T t) [e 2 (T t) 1]
S S S 2 S 2 t
代入式 dG ( G a G 1 2G b 2 )dt G bdz我们就可得到 G ln S 所
x
t 2 x 2
x
遵循的随机过程为 dG d ln S ( 2 )dt dz
2
由于dlnS是股票的连续复利收益率，得出的公式说明股票的连续
复利收益率服从期望值 ( 2 )dt ，方差为 2dt 的正态分布。
2、在任意时间长度T后x值的变化也具有正态分布特征，其均值为 aT，标准差为 b T，方差为b2T。
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普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量 x的漂移率和方差率当作)dz
布莱克舒尔斯默顿期权定价模型
• dz项可以消除。
其它方程
•BSM 微分方程
f t
rS
f S
1 2S2
2
2 f S 2
rf
• BSM 期权定价公式
c SN (d1) Xer(T t) N (d2 )
10.2 股票价格的变化过程
•人们通常用形如公式
dS dt dz
的几S何布朗运动来描绘股票价格的随机变化过程。
这是期权定价模型的基础性假设。也好似金融中最主 要的假设。 最重要的是dz项，它代表影响股票价格变化的随机因 素。通常被成为标准布朗运动(Standard Brownian Motion)或维纳过程（Wiener Process)。
15
• 由特征1知道，z 本身也具有正态分布。均 值为零，标准差为 t ，方差为 t
• 由特征2知道，遵循标准布朗运动的变量具有 独立增量的性质。
维纳过程的性质
进一步发现，变量z在一段较长时间T-t中的变化情形。用 z(T)-z(t)表示变量z在T-t中的变化量，即N个长度为 t的小时
间间隔中z的变化总量，其中N=(T-t)/t
N
z(T ) z(t) i t i1
• Z(T) − Z(t) 也服从正态分布
Z(T) − Z(t)均值等于0
方差等于N t =T − t
标准差等于√T − t
方差可加性
可知
• 1）在任意长度的时间T-t中，遵循标准布朗 运动的变量的变化值服从均值为0，标准差为
√T − t。 • 2)在任意长度的时间间隔T-t中，方差具有可
• 1973年，美国芝加哥大学教授 Fischer Black(费雪.布莱克)& Myron Scholes(梅隆.舒尔 斯)发表了《期权与公司负债定价》疑问，提 出了著名的B-S定价模型，用于确定欧式股票 期权价格，在学术界和实务界引起了强烈反响 ；同年，Robert C. Merton(罗伯特.莫顿)独立地 提出了一个更为一般化的模型。舒尔斯和默顿 由此获得了1997年的诺贝尔经济学奖。
第十一章Black-Scholes-Merton期权定价模型
在一个小的时间间隔△t中，f的变化值△f满足：
f f 1 2 f 2 2 f f ( S ) t S z S S t 2 S 2 S
精选ppt第一节bsm期权定价模型的基本思路精选ppt本章涉及到随机过程等较为复杂的概念为了便于理解我们首先对bsm模型的整体思路做一个简要的归纳以便大家更好的掌握期权定价的内由于最终目标是为股票期权定价而期权是其标的资产即股票的衍生工具在已知执行价格期权有效期无风险利率和标的资产收益的情况下期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变化股票价格是影响期权价格的最根本因素
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根据伊藤引理（ItôLemma，1961），当股票价格 符合几何布朗运动时，作为股票衍生品的期权价 格f将服从：
f f 1 2 f 2 2 f df ( S )dt Sdz 2 S S t 2 S S
（11.2）
可以发现，影响期权价格的随机因素也体现在等式 右边的第二项的dz上，所以，股票价格及其衍生产品— —期权价格都只受到同一种不确定性的影响，其区别在 于随机因素dz前面的系数不同，也就是随机因素变化的 反应程度不同。
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第一节 B-S-M期权定价模型的基本思路
6
本章涉及到随机过程等较为复杂的概念，为了便 于理解，我们首先对B-S-M模型的整体思路做一个 简要的归纳，以便大家更好的掌握期权定价的内 容。
由于最终目标是为股票期权定价，而期权是其标 的资产（即股票）的衍生工具，在已知执行价格、 期权有效期、无风险利率和标的资产收益的情况 下，期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变 化，股票价格是影响期权价格的最根本因素。
布莱克休尔斯莫顿期权定价模型(ppt41张)
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布莱克—舒尔斯—默顿期权定价模型 11.3.1
假设： 1、证券价格遵循几何布朗运动，即 2、允许卖空标的证券；
和 为常数；
3、没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的； 4、衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付； 5、存在无风险套利机会； 6、证券交易是连续的，价格变动也是连续的； 7、衍生证券有效期内，无风险利率r为常数。
一章布莱克-休尔斯-莫顿期权定价模型 11.0
MyronScholes提出了著名的B-S定价模型，用于确定欧 式股票期权价格，在学术界和实务界引起了强烈反响； 同年，RobertC.Merton独立地提出了一个更为一般化的 模型。舒尔斯和默顿由此获得了1997年的诺贝尔经济学 奖。在本章中，我们将循序渐进，尽量深入浅出地介绍 布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型（下文简称B-S-M模 型），并由此导出衍生证券定价的一般方法。
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11.2.６ 衍生品价格所服从的随机过程
当股票价格服从几何布朗运动 dS 时，由 Sdt Sdz 于衍生证券价格G是标的证券价格S和时间t的函数G(S,t)， 根据伊藤引理，衍生证券的价格G应遵循如下过程：
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11.2.1
布朗运动
x a t b t ，显然，Δx也 普通布朗运动的离差形式为 具有正态分布特征，其均值为 at ，标准差为 b t ，方差为 b 2 t
1、显然，遵循普通布朗运动的变量x是关于时间和dz的动态过程， 其中第一项adt为确定项，它意味着x的期望漂移率是每单位时间为a 。 第二项bdz是随机项，它表明对x的动态过程添加的噪音 。这种噪音是 由维纳过程的b倍给出的。 2、在任意时间长度T后x值的变化也具有正态分布特征，其均值为 aT，标准差为 b T ，方差为b2T。
金融衍生工具--期权定价
金融衍生工具–期权定价引言金融市场中的期权是一种重要的金融衍生工具，它给予买方在未来特定时间以特定价格买入或卖出某一标的资产的权利。
期权的定价是金融衍生品定价的核心问题之一，直接影响着期权的交易和投资策略的制定。
本文将介绍期权定价的理论基础和常用的定价模型。
期权定价理论基础期权定价的理论基础主要建立在两个重要的金融理论之上：Black-Scholes模型和风险中性定价理论。
1.Black-Scholes模型 Black-Scholes模型是1973年由费雪·布莱克和莫顿·斯科尔斯提出的期权定价模型。
该模型基于一些假设，包括市场无摩擦、无套利机会、标的资产价格服从几何布朗运动等。
根据Black-Scholes模型，期权的价值取决于标的资产的价格、行权价格、到期时间、无风险利率、标的资产的波动率等因素。
2.风险中性定价理论风险中性定价理论是金融衍生品定价的重要理论基础之一，它是由法国数学家吉尔巴特·威尔默定于1974年提出的。
该理论的核心思想是，在无套利机会的市场中，衍生品的价格应该等于其未来现金流的风险中性折现值。
根据这个理论，可以推导出Black-Scholes模型中的偏微分方程，进而得到期权定价公式。
常用的期权定价模型除了Black-Scholes模型，还有其他一些常用的期权定价模型，根据不同的假设和计算方法，它们能够更好地适应不同类型的期权。
1.Binomial模型 Binomial模型是一种离散时间和状态的期权定价模型，它是基于一棵二叉树的方法。
该模型假设在每个时间步骤中，标的资产的价格只有两种可能的走势，上涨或下跌，根据这两种走势的概率和标的资产价格变动的幅度，可以构建一棵二叉树，从而计算期权的价值。
2.存在异质波动率的期权定价模型在实际市场中，不同期权的隐含波动率可能不同，因此存在异质波动率的现象。
为了更准确地定价期权，一些模型考虑了异质波动率的特点，比如Black-Scholes模型的扩展版本（如Black-Scholes-Merton模型）、Variance Gamma模型等。
布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型
5
12.1 布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型的 基本思路
• 式（12. 1)的两边同吋乘上 着买入 ，并将两式相减消去dz,实际上意味
单位的股票，并卖空1单位的期权，可以构造出一个短期
内没有不确定性的投资组合。而在一个无套利的市场中，一个没 有不确定性的投资组合必然只能获得无风险利率的收益。这样在 数学上，就可以从（12. 1)和（12. 2)的联立方程组中解出一个 期权价格所满足的偏微分方程，求解这一方程，就得到了期权价 格的最终公式。 • 以上就是斯权定价模型推导过程的基本思路，理解这一思路，将 有助于在下面看似无关的数学推导中不会迷失方向。
(12.2)
4
12.1 布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型的 基本思路
• 观察式（12. 2)会发现影响期权价格的随机因素也完全体现 在等式右边的第二项中的dz上.这与我们的直觉是一致的： 股票价格及其衍生产品——期权价格都只受到同一种不确定 性的影响，其区别只是在于随机因素dz前面的系数不同,也 就是对随机因素变化的反应程度不同。 • 如果式（12. 1)两边同时乘以 并与式（12. 2)相减,则可 ∂S 以消去dz项。
•
• •
dz = ε
dt
(12. 4)
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标准布朗运动
� 那么为什么采用维纳过程来描述股票价格变化中的随机 因素呢？ � 首先，维纳过程中用 ε 即标准正态分布的随机变量来反 映变量变化的随机特征。 现实生活中很多变量的分布都 近似于正态分布，加上其在数学上的易于处理,使得正 态分布成为最常见和最重要的分布假设之一。金融市场 也不例外，经验事实证明，股票价格的连续复利收益率 近似地服从正态分布。
(12.1)
等式右边的第二项中的dz完全捕捉了影响股票价格变化的随机因 素。根据数学家伊藤（K. Ito)提出的伊藤引理（Ito Lemma)可 知，当股票价格服从式 (12. 1)时，作为股票衍生产品的期权价 格将服从
11.布莱克-舒尔斯-,默顿期权定价模型
• 遵循普通布朗运动的变量x是关于时间和dz的动态 过程：
– a dt为确定项，意味着x的漂移率是每单位时间为a； – b dz是随机项，代表着对x的时间趋势过程所添加的噪 音，使变量x围绕着确定趋势上下随机波动，且这种噪 音是由维纳过程的b倍给出的。
• 普通布朗运动的离差形式为 x at b t ，显然， Δx也具有正态分布特征，其均值为 at ，标准差为 b ， t 方差为 b 2 t • 1、在任意时间长度T后x值的变化也具有正态分布特征， 其均值为a T，标准差为 b T ，方差为b2T。 • 2、标准布朗运动为普通布朗运动的特例。
G G 1 2 G 2 G dG ( a b )dt bdz 2 x t 2 x x
其中，dz是一个标准布朗运动。这就是著名 的伊藤引理。
由于
dx a( x, t )dt b( x, t )dz
dS Sdt Sdz
根据伊藤引理，衍生证券的价格G应遵循如下过程：
• 弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程（Markov Stochastic Process）来表述。 • 随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式随时间变化 的过程。
– 可分为离散型的和连续型的。
• 马尔可夫过程是一种特殊类型的随机过程。 • 如果证券价格遵循马尔可夫过程，则其未来价格的概率分 布只取决于该证券现在的价格。
i 1
z(T )- z(0) ~ N(0, T )
其中：N△t=T
当△ t0时，我们就可以得到极限的标准布朗运 动：
dz dt
• 为何使用布朗运动？ • 正态分布的使用：经验事实证明，股票价格的连续复利收 益率近似地服从正态分布 • 数学上可以证明，具备特征1 和特征2的维纳过程是一个马 尔可夫随机过程 • 维纳过程在数学上对时间处处不可导和二次变分（ Quadratic Variation）不为零的性质，与股票收益率在时间 上存在转折尖点等性质也是相符的
布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型培训
布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型培训布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型（Black-Scholes-Merton option pricing model）是金融学中最经典的期权定价模型之一。
该模型由费舍尔·布莱克（Fisher Black）、默顿·舒尔斯（Myron Scholes）和罗伯特·默顿（Robert Merton）三位学者于1973年共同提出，他们因此获得了1997年诺贝尔经济学奖。
该模型被广泛用于期权定价和风险管理。
布莱克-舒尔斯-默顿模型建立在一系列假设之上，其中包括市场允许短期空头交易、无风险利率保持恒定、市场流动性足够充足、期权不考虑红利支付等。
该模型的核心思想是使用风险中性估值来确定期权的价格，基于期权的风险与标的资产价格的相关性。
模型的数学公式为:C = S_0 * N(d1) - X * e^(-rT) * N(d2)P = X * e^(-rT) * N(-d2) - S_0 * N(-d1)其中，C为看涨期权的价格，P为看跌期权的价格，S_0是标的资产的现价，X是期权的行权价，r是无风险利率，T是期权的到期时间，N()是正态分布函数，d1和d2是根据数学公式计算得出的变量。
这个模型基于对资本市场和期权市场的理性行为假设，即市场参与者会根据可得的信息做出最优决策。
它可以用来估计欧式期权的价格，即只在到期日时才能行使的期权。
但该模型不能直接应用于美式期权，因为美式期权可以在任何时间行使。
为了使用布莱克-舒尔斯-默顿模型进行期权定价，需要计算d1和d2的值。
这两个值可以通过期权定价的一系列参量（如标的资产价格、行权价、无风险利率、到期时间和标的资产的波动率）来计算。
这些参量的准确估计对期权定价的精确性至关重要。
布莱克-舒尔斯-默顿模型的优点在于提供了一种快速而相对准确的期权定价方法，为投资者提供了一个公平的市场价值。
然而，该模型也存在一些限制，例如，该模型假设市场流动性充足，但实际市场可能存在流动性不足的情况。
第十一章布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型讲义
唯一来源就是股票价格的变化，股票价格是影响期
权价格的最根本因素。
因此，要研究期权的价格，首先必须研究股票 价格的变化规律。在 了解了股票价格的规律后， 我们试图通过股票来复制期权，并以此为依据给期 权定价。
市场有效理论与随机过程
市场有效理论的三种形式 一、弱式效率市场假说 该假说认为在弱式有效
标准布朗运动是普通布朗运动的一个特例，即 漂移率为0，方差为1的普通布郎运动。
普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若 把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函 数，我们就可以得到
dx a( x, t )dt b( x, t )dz
这就是伊藤过程（Ito Process）。其中，dz
（一）对 的理解
3 、较长时间段后的连续复利收益率的期望值等 于
2 / 2
，这是因为较长时间段后的连续复利
收益率的期望值是较短时间内收益率几何平均的结
果，而较短时间内的收益率则是算术平均的结果。
（一）对 的理解
1、证券价格的年波动率，又是股票价格对数收益 率的年标准差 2、一般从历史的证券价格数据中计算出样本对数
的影响，但是标准差就不具有可加性。
结论2：当 t 0 时，就可以近似得到极限的或者 说连续的标准布朗运动
dz dt
将标准布郎运动扩展我们将得到普通布郎运 动，令漂移率为a，方差率为b2，我们就可得到变 量x 的普通布朗运动： dx adt bdz
x at b t
假设：
1、证券价格遵循几何布朗运动，即 和 常数；
2、允许卖空标的证券；
为
3、没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分 的； 5、存在无风险套利机会；
Black-Scholes期权定价模型
2024/9/22
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为何证券价格能够用几何布朗运动表 达？
一般认同旳“弱式效率市场假说”：
证券价格旳变动历史不包括任何对预测证券价格将来变动有用旳信 息。
马尔可夫过程：只有变量旳目前值才与将来旳预测有关，变量过去 旳历史和变量从过去到目前旳演变方式与将来旳预测无关。
ST
Se（T-t），＝
1 T-t
ln
ST S
,
由ln
ST
ln
S
~
[(
2 2
)(T
t),
T t ]可得
~
[(
2 2
),
]
T t
2024/9/22
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结论
几何布朗运动很好地描绘了股票价格旳运动过 程。
2024/9/22
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参数旳了解
μ：
几何布朗运动中旳期望收益率，短时期内旳期望值。
根据资本资产定价原理， μ取决于该证券旳系统性风险、无风险利
连续复利收益率旳问题：尽管时间序列旳收益率加总能够很轻易旳实现；但是 横截面旳收益率加总则不是单个资产收益率旳加权平均值，因为对数之和不是 和旳对数。但是在很短时间内几乎能够以为是近似。JP摩根银行旳 RiskMetrics措施就假定组合旳收益率是单个资产连续复利收益率旳加权平均。
2024/9/22
Black-Scholes期权定价模型
2024/9/22
1
Black-Scholes期权定价模型旳基本思绪
期权是标旳资产旳衍生工具，其价格波动旳起源就是标旳资产价 格旳变化，期权价格受到标旳资产价格旳影响。
标旳资产价格旳变化过程是一种随机过程。所以，期权价格变化 也是一种相应旳随机过程。
投资学中的期权定价模型研究
投资学中的期权定价模型研究引言：期权是一种金融工具，它赋予持有者在未来某个时间以特定价格购买或出售某项资产的权利。
在投资学中，期权定价模型是研究期权价格的数学模型，它为投资者提供了对期权定价和风险管理的理论基础。
本文将探讨期权定价模型的发展历程、主要模型以及应用领域。
一、期权定价模型的发展历程1.1 布莱克-斯科尔斯模型1973年，费舍尔·布莱克和莫顿·斯科尔斯提出了布莱克-斯科尔斯模型，该模型是第一个用于定价欧式期权的数学模型。
该模型基于无套利原理，通过建立期权价格与标的资产价格之间的关系，为期权定价提供了一个简单而有效的方法。
1.2 哈尔-怀特模型1983年，罗伯特·哈尔和威廉·怀特提出了哈尔-怀特模型，该模型是第一个用于定价美式期权的数学模型。
相比于欧式期权，美式期权具有更大的灵活性，因为它可以在到期前任何时间行使。
哈尔-怀特模型通过将期权价格与标的资产价格之间的关系建模，为美式期权的定价提供了一个重要的工具。
1.3 黑-斯科尔斯-默顿模型1992年，费舍尔·布莱克、罗伯特·默顿和默顿·斯科尔斯提出了黑-斯科尔斯-默顿模型，该模型是第一个用于定价带有股息的期权的数学模型。
该模型考虑了标的资产的股息支付对期权价格的影响，为投资者提供了更准确的定价方法。
二、主要期权定价模型2.1 布莱克-斯科尔斯-默顿模型（BSM模型）布莱克-斯科尔斯-默顿模型是最为广泛使用的期权定价模型之一。
该模型基于随机微分方程和风险中性定价理论，考虑了标的资产价格的随机波动性、无风险利率和到期时间等因素，为欧式期权的定价提供了一个简单而有效的方法。
2.2 卡尔·库普曼模型卡尔·库普曼模型是一种用于定价期权的数值方法。
该模型通过离散化时间和空间，将期权定价问题转化为一个偏微分方程的求解问题。
相比于BSM模型，卡尔·库普曼模型在处理一些复杂的期权类型和市场情况时更加灵活和精确。
《金融工程》第十一章布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型
41.09 ST 71.41
因此， 6 个月 A 股票价格落在 41.09 元到 71.41 元之间的概率
为 95% 。
30
半年后，A 股票价格的期望值为 54.71 元，标准差为 60.46 或
7.78 。
E ST 50e0.180.5 54.71
2
dGt d ln St dt dz t
2
服从期望值
d ln St
说明连续复利收益率
正态分布
注意：
d ln St
dt
2
2
方差为
2
dt 的
dSt
St
21
应用2 ： F 所遵循的随机过程
假设变量 S 服从几何布朗运动，r为常数
dSt Stdt Stdz t
几何布朗运动：扩散过程的特例
= +
其中 µ 和 σ 均为常数
一般用几何布朗运动描述股票价格的随机过程
可以避免股票价格为负从而与有限责任相矛盾的问题
几何布朗运动意味着股票连续复利收益率服从正态分布，这与实际较
为吻合。
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伊藤引理
若变量 x 遵循伊藤过程，
= +
F
S
e
由于 t t
r T t
，则
F rT t 2 F
F
e
, 2 0,
rFt
S
S
t
运用伊藤引理可得
dFt r Fdt
Fdz
t
t
t
Black-Scholes期权定价模型
对于欧式看涨期权边界条件为
f max(S E,0)
当t T时
欧式看跌期权边界条件为
f max(E S,0)
当t T时
2021/7/11
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BS公式的一个重要结论 ——风险中性定价原理
从BS微分方程中我们可以发现：衍生证券的价值 决定公式中出现的变量为标的证券当前市价 〔S〕、时间〔t〕、证券价格的波动率〔σ〕和 无风险利率r，它们全都是客观变量，独立于主观 变量——风险收益偏好。而受制于主观的风险收 益偏好的标的证券预期收益率并未包括在衍生证 券的价值决定公式中。
标准布朗运动〔维纳过程 〕
起源于物理学中对完全浸没于液体或气体中，处于大 量微小分子撞击下的的小粒子运动的描述。
设Δt代表一个小的时间间隔长度，Δz代表变量z在Δt 时间内的变化z ， 遵循t 标准布朗运动的Δz具有两种特征：
特征1：
其中，ε代表从标准正态分布〔即均值为0、标准 差为1.0的正态分布〕中取的一个随机值。
为何定义为：
z t而非z t
当我们需要考察任意时间长度间隔中的变量变化的情况时，独立 的正态分布，期望值和方差具有可加性，而标准差不具有可加性。 这响样。定义可以使方差与时间长度成比例，不受年时间划分方法的影
相应的一个结果就是：标准差的单位变为 连续时间的标准布朗运动：
dz dt
当Δt 0时，我们就可以得到极限的标准布朗运动
B-S期权定价公式
Black-Scholes 期权定价模型一、Black-Scholes 期权定价模型的假设条件Black-Scholes 期权定价模型的七个假设条件如下：1. 风险资产（Black-Scholes 期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格为S 。
S 遵循几何布朗运动，即dz dt SdS σμ+=。
其中，dz 为均值为零，方差为dt 的无穷小的随机变化值（dt dz ε=，称为标准布朗运动，ε代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1的正态分布）中取的一个随机值），μ为股票价格在单位时间内的期望收益率，σ则是股票价格的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。
μ和σ都是已知的。
简单地分析几何布朗运动，意味着股票价格在短时期内的变动（即收益）来源于两个方面：一是单位时间内已知的一个收益率变化μ，被称为漂移项，可以被看成一个总体的变化趋势；二是随机波动项，即dz σ，可以看作随机波动使得股票价格变动偏离总体趋势的部分。
2．没有交易费用和税收，不考虑保证金问题，即不存在影响收益的任何外部因素。
3. 资产价格的变动是连续而均匀的，不存在突然的跳跃。
4. 该标的资产可以被自由地买卖，即允许卖空，且所有证券都是完全可分的。
5. 在期权有效期内，无风险利率r 保持不变，投资者可以此利率无限制地进行借贷。
6．在衍生品有效期间，股票不支付股利。
7．所有无风险套利机会均被消除。
二、Black-Scholes 期权定价模型（一）B-S 期权定价公式在上述假设条件的基础上，Black 和Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的Black-Schole 微分方程：rf S f S S f rS t f =∂∂+∂∂+∂∂222221σ 其中f 为期权价格，其他参数符号的意义同前。
通过这个微分方程，Black 和Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的定价公式：)()(2)(1d N Xe d SN c t T r ---=其中，t T d tT t T r X S d t T t T r X S d --=---+=--++=σσσσσ12221))(2/()/ln())(2/()/ln(c 为无收益资产欧式看涨期权价格；N （x ）为标准正态分布变量的累计概率分布函数（即这个变量小于x 的概率），根据标准正态分布函数特性，我们有)(1)(x N x N -=-。
布莱克斯克尔斯期权定价模型
布莱克斯克尔斯期权定价模型汇报人：日期:目录CATALOGUE•引言•布莱克斯克尔斯模型原理•模型应用•模型优势与局限•布莱克斯克尔斯模型与其他模型的比较•未来展望与研究方向01 CATALOGUE引言1背景介绍23布莱克斯克尔斯模型起源于1973年，由费雪·布莱克斯克尔斯（Fischer Black）和迈伦·斯科尔斯（Myron Scholes）提出。
当时，该模型是为了解决金融衍生品，特别是期权定价的问题而建立的。
金融衍生品是一种金融合约，其价值取决于其他金融资产或指标。
模型发展历程布莱克斯克尔斯模型的发展得益于许多重要的突破，其中包括无套利原则：模型利用无套利原则，这意味着在市场上不能通过买卖资产来赚取无风险利润。
欧式期权定价：该模型适用于欧式期权，即只能在到期日行使的期权。
随机过程：模型运用随机过程来描述股票价格的变化。
模型应用领域布莱克斯克尔斯模型被广泛应用于金融衍生品市场，包括期权：该模型用于定价欧式和美式期权。
互换：该模型用于定价利率互换和其他类型的互换合约。
其他衍生品：该模型还可用于定价其他金融衍生品，如期货、认股权证等。
02CATALOGUE布莱克斯克尔斯模型原理基础概念布莱克斯克尔斯模型是一种用于定价欧式期权的数学模型，该模型基于随机过程，并使用偏微分方程来描述。
在该模型中，期权价格被表示为时间t和股票价格S的函数，用C(t,S)表示。
股票价格服从几何布朗运动，即dS = μSdt + σSdwt，其中μ是股票的预期收益率，σ是股票的波动率，wt是威纳过程。
布莱克斯克尔斯模型的期权定价公式为：C(t, S) = SN(d1) - Ke^(-r)(T-t)N(d2)，其中N是正态分布函数，d1和d2是由模型参数确定的公式。
d2 = d1 - σ√(T - t)K 是期权的执行价格，r 是无风险利率，T 是到期时间，t 是当前时间，σ是股票的波动率。
d1 = (ln(S/K) + (r + 0.5σ^2)(T - t)) / (σ√(T - t))期权定价公式参数确定方法参数σ（波动率）通常由历史数据估计得出，也可以使用市场波动率作为其近似值。
BlackScholes期权定价模型
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几何布朗运动的深入分析（2）
S 但是，在一个较长的时间T后，S 不再具有正
态分布的性质：
多期收益率的乘积问题 因此，尽管σ 是短期内股票价格百分比收益率的标 准差，但是在任意时间长度T后，这个收益率的标 准差却不再是 T 。股票价格的年波动率并不是 一年内股票价格百分比收益率变化的标准差。
其中，z遵循一个标准布朗运动，a、b是变量x和t的函数， 变量x的漂移率为a，方差率为b2都随时间变化。这就是伊藤 过程。
Ito引理
若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循如下过程：
G G 1 2G 2 G dG ( a b )dt bdz x t 2 x 2 x 其中，z遵循一个标准布朗运动。由于a
2013-7-20
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为什么要研究证券价格所遵循的随机 过程?
期权是衍生工具，使用的是相对定价法，即相 对于证券价格的价格，因此要为期权定价首先 必须研究证券价格。 期权的价值正是来源于签订合约时，未来标的 资产价格与合约执行价格之间的预期差异变化， 在现实中，资产价格总是随机变化的。需要了 解其所遵循的随机过程。 研究变量运动的随机过程，可以帮助我们了解 在特定时刻，变量取值的概率分布情况。
多期收益率问题：
交叉汇率问题：
连续复利收益率的问题：尽管时间序列的收益率加总可以很容易的实现；但是 横截面的收益率加总则不是单个资产收益率的加权平均值，因为对数之和不是 和的对数。但是在很短时间内几乎可以认为是近似。JP摩根银行的 RiskMetrics方法就假定组合的收益率是单个资产连续复利收益率的加权平均。
和b都是x和t的函 数，因此函数G也遵循伊藤过程，它的漂移率为 方差率为 2
期权定价的Black-Scholes-Merton模型
dƒ
ƒ S
mS
ƒ t
½
2ƒ S 2
s2S
2
dt
ƒ S
sS
dz
W e set up a portfolio consisting of
1: derivative
+ ƒ : shares S
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Black-Scholes 微分方程的推导
The value of the portfolio is given by ƒ ƒ S S
函数的过d程x 。a数x,学td表t 达b式x为,t：dz
其中，参数a和b是标的变量 x 和 t 的函数。
股票价格的 Itoˆ 过程
dS mSdt sSdz
其中，m是期望收益率，s是波动率。 等价地，离散时间过程表示为
DS mSDt sS Dt蒙特卡罗模拟 蒙特卡罗模拟是一种工具，可用来评估在 未来某个时期可能实现的各种不同损益的 可能性。它是通过模拟市场价格和波动率 的变动，得到在某个指定时期该证券组合 盈亏的整个概率分布。对于包含许多不同 标的资产的证券组合，在已知这些标的资 产之间相关性的条件下，蒙特卡罗模拟可 用于评估该组合的风险。
N(d 1)e– qT 支付股息率为q 的欧式看跌期权的delta值为
e– qT [N (d 1) – 1]
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Delta对冲
对冲策略要不断的调整，这种调整过程被 称为再平衡
Delta对冲一个书面的期权涉及到“买高, 卖低” 交易规则
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运用期货的Delta对冲
期货合约的delta值是现货交易合约的e(r-q)T倍 因此用于delta对冲期货合约的头寸是对应现
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假设现在的无风险年利率等于10%，则该组合的现值 应为：
2.25e 0.10.25 2.19元
由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单位股 票多头，而目前股票市场为10元，因此：
10 0.25 f 2.19 f 0.31元
这就是说，该看涨期权的价值应为0.31元，否则就 会存在无风险套利机会。
在风险中性的条件下，所有证券的预期收益率都可以等于无风险 利率r，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。这 就是风险中性定价原理。
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风险中性定价原理的应用
假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们 知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。 现在我们要找出一份3个月期协议价格为10.5元的该股 票欧式看涨期权的价值。
z = t 其中， 代表从标准正态分布（即均值为0、标 准差为1的正态分布）中取的一个随机值。 特征2：对于任何两个不同时间间隔 t ，z的 值相互独立。
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将标准布郎运动扩展我们将得到普通布郎运动，令 漂移率为a，方差率为b2，我们就可得到变量x 的普通布 朗运动： dx adt bdz
根据众多学者的实证
研究，发达国家的证券 市场大体符合弱式效率 市场假说。一般认为， 弱式效率市场假说与马 尔可夫随机过程（ ）
是内在一致的。因此我 们可以用数学来刻画股 票的这种特征。
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布朗运动（ ）起源于英国植物学家布郎对水杯中的 花粉粒子的运动轨迹的描述。
对于标准布朗运动来说：设 t 代表一个小 的时间间隔长度，z 代表变量z在 t 时间内的 变化，遵循标准布朗运动的 z 具有两种特征： 特征1：z 和 t 的关系满足：
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当股票价格服从几何布朗运动 dS Sdt Sdz 时，由 于衍生证券价格G是标的证券价格S和时间t的函数G()，根
据伊藤引理，衍生证券的价格G应遵循如下过程：
dG (G S G 1 2G 2 S 2 )dt G Sdz
S
t 2 S 2
S
比较（11.1）和（11.11）可看出，衍生证券价格G和 股票价格S都受同一个不确定性来源的影响，这点对于以 后推导衍生证券的定价公式很重要。
1973年，美国芝加哥大学教授 提出了著名的定价模型，用于确定欧式股票期权
价格，在学术界和实务界引起了强烈反响；同年， C. 独立地提出了一个更为一般化的模型。舒尔斯和默顿由 此获得了1997年的诺贝尔经济学奖。在本章中，我们将 循序渐进，尽量深入浅出地介绍布莱克-舒尔斯-默顿期 权定价模型（下文简称模型），并由此导出衍生证券定 价的一般方法。
2、根据资本资产定价原理， 取决于该证券的系统性风险、 无风险利率水平、以及市场的风险收益偏好。由于后者涉 及主观因素，因此其决定本身就较复杂。然而幸运的是， 我们将在下文证明，衍生证券的定价与标的资产的预期收 益率 是无关的。
3 、较长时间段后的连续复利收益率的期望值等于 2 / 2 < ，这是因为较长时间段后的连续复利收益率的期望值 是较短时间内收益率几何平均的结果，而较短时间内的收 益率则是算术平均的结果。
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假设：
1、证券价格遵循几何布朗运动，即 和 为常数；
2、允许卖空标的证券； 3、没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的； 4、衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付； 5、存在无风险套利机会； 6、证券交易是连续的，价格变动也是连续的； 7、衍生证券有效期内，无风险利率r为常数。
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一般来说，金融研究者认为证券价格的变化过程可以用 漂移率为μS、方差率为 2 S2的伊藤过程（即几何布朗运动）
来表示：dS Sdt Sdz
之所以采用几何布朗运动其主要原因有两个：
一是可以避免股票价格为负从而与有限责任相矛盾 的问题，二是几何布朗运动意味着股票连续复利收益率 服从正态分布，这与实际较为吻合。
－0.5)元；若3个月后该股票价格等于9元时，该组合价值
等于9 元。为了使该组合价值处于无风险状态，我们应
选择适当的 值，使3个月后该组合的价值不变，这意味
着：
11 －0.5=9
=0.25
因此，一个无风险组合应包括一份看涨期权空头 和0.25股标的股票。无论3个月后股票价格等于11元 还是9元，该组合价值都将等于2.25元。
2、在任意时间长度T后x值的变化也具有正态分布特征，其均值为 aT，标准差为 b T，方差为b2T。
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普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量x 的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数，我们就可 以得到 dx a(x, t)dt b(x, t)dz
这就是伊藤过程（ ）。其中，是一个标准布朗运动，a、 b是变量x和t的函数，变量x的漂移率为a，方差率为b2。
标准布朗运动是普通布朗运动的一个特例，即漂移 率为0，方差为1的普通布郎运动。
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普通布朗运动的离差形式为 x at b t ，显然，Δx也
具有正态分布特征，其均值为 at ，标准差为 b t ，方差为b 2t
1、显然，遵循普通布朗运动的变量x是关于时间和dz的动态过程， 其中第一项adt为确定项，它意味着x的期望漂移率是每单位时间为a 。 第二项bdz是随机项，它表明对x的动态过程添加的噪音 。这种噪音是 由维纳过程的b倍给出的。
代入式 dG ( G a G 1 2G b 2 )dt G bdz我们就可得到 G ln S 所
x
t 2 x 2
x
遵循的随机过程为 dG d ln S ( 2 )dt dz
2
由于是股票的连续复利收益率，得出的公式说明股票的连续
复利收益率服从期望值( 2 )dt ，方差为 2dt 的正态分布。
t 2 S 2
S
f rS f 1 2 S 2 2 f rf
t S 2
S 2
**这就是著名的布莱克——舒尔斯微分分程，
它适用于其价格取决于标的证券价格S的所有
衍生证券的定价。
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观察布莱克－舒尔斯微分方程，我们可以发现，受制于主观的风 险收益偏好的标的证券预期收益率并未包括在衍生证券的价值决定 公式中。这意味着，无论风险收益偏好状态如何，都不会对f的值产 生影响。因此我们可以作出一个可以大大简化我们工作的假设：在 对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。尽管这只是一个 人为的假定，但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险 中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。
© & , 20因此有：dS Sdt Sdz
其在一个小的时间间隔t中，S的变化值 S 为：
S St Sz
设f是依赖于S的衍生证券的价格，则f一定是S和t的函
数，根据伊藤引理可得：
df
f (
S f
1 2 f
2 S 2 )dt f
Sdz
S
t 2 S 2
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在伊藤过程的基础上，数学家伊藤（）进一步推导出：
若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循如下过
程：
dG (G a G 1 2G b 2 )dt G bdz
x t 2 x 2
x
其中，是一个标准布朗运动。这就是著名的伊藤引理。
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**随机微积分与非随机微积分的差别 d ln S dS
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:
1、证券价格的年波动率，又是股票价格对数收益率的年标 准差
2、一般从历史的证券价格数据中计算出样本对数收益率 的标准差，再对时间标准化，得到年标准差，即为波动 率的估计值。在计算中，一般来说时间距离计算时越近 越好；时间窗口太短也不好；一般来说采用交易天数计 算波动率而不采用日历天数。
ln ST
ln S
~
[(
2 2
)(T
t),
T t]
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由上一页的推导可知证券价格对数服从正态分布。如果
一个变量的自然对数服从正态分布，则称这个变量服从对数
正态分布。这表明服从对数正态分布。根据对数正态分布的
特性，以及符号的定义，我们可以得到 和 var(ST ) S 2 e 2 (T t) [e 2 (T t) 1]
在下面几节中我们会用数学的语言来描述这种定价的思 想。
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市场有效理论与随机过程
有效 市场 三个 层次
1965年，法玛（Fama）提出了 著名的效率市场假说。该假说认为， 证券价格对新的市场信息的反应是 迅速而准确的，证券价格能完全反 应全部信息。
1、弱式效率市场假说 2、半强式效率市场假说 3、强式效率市场假说
由于欧式期权不会提前执行，其价值取决于3个月 后股票的市价。若3个月后该股票价格等于11元，则 该期权价值为0.5元；若3个月后该股票价格等于9元， 则该期权价值为0。
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为了找出该期权的价值，我们可构建一个由一单位看
涨期权空头和 单位的标的股票多头组成的组合。若3
个月后该股票价格等于11元时，该组合价值等于( 11
S
在一个小的时间间隔中，f的变化值 f 为：
f
f (
S f
1 2 f
2 S 2 )t f
Sz
S
t 2 S 2
S
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为了消除风险源 z ，可以构建一个包括一单位衍生证 券空头和 f 单位标的证券多头的组合。