北师大版2020九年级数学下册第二章二次函数自主学习基础达标测试卷A卷(附答案详解)

合集下载

北师大版2020九年级数学下册第三章圆自主学习基础达标测试卷B卷(附答案详解)

北师大版2020九年级数学下册第三章圆自主学习基础达标测试卷B 卷（附答案详解） 1．在10×10的正方形网格纸上，每个小正方形的边长都为1．如果以该网格中心为圆心，以5为半径画圆，那么在该圆周上的格点共有( )A ．4个B ．8个C ．12个D ．16个2．如图所示，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为E ，且CD ＝22，BD ＝3，则AB 的长为 ( )A ．2B ．3C ．4D ．53．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是边BC 的中点，一个圆过点A ，交边AB 于点E ，且与BC 相切于点D ，则该圆的圆心是( )A ．AE 的垂直平分线与AC 的垂直平分线的交点B ．AB 的垂直平分线与AC 的垂直平分线的交点C ．AE 的垂直平分线与BC 的垂直平分线的交点D ．AB 的垂直平分线与BC 的垂直平分线的交点4．如图，Rt △ABC 中，AB=AC=4，以AB 为直径的圆交AC 于D ，则图中阴影部分的面积为（）A ．2πB ．π+1C ．π+2D ．4+4π 5．如图，正方形ABCD 内接于圆O ，AB ＝4，则图中阴影部分的面积是（）A ．416π-B ．816π-C ．1632π-D ．3216π-6．如图，⊙O 中，弦AB 、CD 相交于点P ，∠A=35°，∠B=40°，则∠APD 的大小是（）A ．45°B ．55°C ．65°D ．75°7．如图，⊙O 的半径为4 cm ，点C 是弧AB 的中点，半径OC 交弦AB 于点D ，OD=23cm ，则弦AB 的长为( )A ．2 cmB ．3 cmC ．23cmD ．4 cm8．如图，Rt ABC 中，C 90∠=．O 为AB 上的点．以点O 为圆心作O 与BC 相切于点D ．若AD 23=，CAD 30∠=，则弧AD 的长为（）A ．2π3B ．4π3C ．5π3 D ．5π69．若将半径为10cm 的半圆形纸片卷成一个无重叠的圆锥侧面，则该圆锥的侧面积是（）A ．20πcm 2 B ．25πcm 2 C ．50πcm 2 D ．100πcm 210．如图，△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的三边分别记为a ，b ，c ，O 是△ABC 的外心，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，则OD ：OE ：OF =（）A ．a ：b ：cB ．111::a b cC ．cosA ：cosB ：cosCD ．sinA ：sinB ：sinC11．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=60°，AB=12，若以点A 为圆心， AC 为半径的弧交AB 于点E ，以点B 为圆心，BC 为半径的弧交AB 于点D ，则图中阴影部分图形的面积为__（保留根号和π）12．如图，AB 是圆O 的直径，C 是AB 的一个四等分点，过C 作AB 的垂线交圆O 于M ，N 两点，连结MB ，则cos ∠MBA=_____．13．如图，⊙O 直径CD =20，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，若OM ：OC =3：5，则弦AB 的长为______．14．如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，CA=4，点P 是半圆弧AC 的中点，连接BP ，线段即把图形APCB （指半圆和三角形ABC 组成的图形）分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是_____．15．如图，在⊙O 中，60ACB D ∠=∠=︒，3AC =，则⊙O 的直径为________.16．如图，AB 是圆O 的直径，弧BC =弧CD =弧DE ，48COD ∠=，则AOE ∠的度数为________．17．如图，已知等边△ABC 的边长为6，在AC ，BC 边上各取一点E ，F ，使AE=CF ，连接AF 、BE 相交于点P ，当点E 从点A 运动到点C 时，点P 经过点的路径长为__．18．如图，⊙O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且CE=2，AB =8，则O B 的长为________．19．如图，在矩形ABCD 中， AB=3， AD=4，若以点 A 为圆心，以 4为半径作 ⊙A ，则点 A ，点B ，点 C ，点 D 四点中在 ⊙A 外的是________．20．如图，量角器的0度刻度线为AB ，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C ，直尺另一边交量角器于点A ，D ，量得10AD cm =，点D 在量角器上的读数为60，则该直尺的宽度为____________cm ．21．AB ，CD 为⊙O 的两条弦，线段AB ，线段CD 相交于点E ．（1）若AB CD =，且8AB =，5AE =，求DE 的长．（2）若AB 是⊙O 的直径，AB CD ⊥，且10AB =，8CD =，求AC 的长．22．如图所示，AB 是00的直径，BC 是⊙O 的切线，连接AC ，交⊙0于D ，E 为弧AD 上一点，连接AE ，BE 交AC 于点F 且AE EF BE AE =,(1)求证CB=CF ；(2)若点E 到弦AD 的距离为3，cos C=1 2，求⊙O 的半径．23．如图，AB 是半圆的直径，C 、D 是半圆上的两点，且∠BAC=20°，AD CD =．请连结线段CB ，求四边形ABCD 各内角的度数．24．如图，已知AB 为O 的直径，AC 是弦，30BAC ∠=，120ABD ∠=，CD BD ⊥于D ．()1求证：CD 是O 的切线；()2若8AB =，求CD 的长度．25．平面直角坐标系中，点A （2，9）、B （2，3）、C （3，2）、D （9，2）在⊙P 上．（1）在图中清晰标出点P 的位置；（2）点P 的坐标是_________.26．⊙O 的两条弦AB ，CD 交于点P ，已知AP ＝4，BP ＝6，CP ＝3，求CD 的长．27．如图，在半径为1的⊙O 中，∠AOB ＝45°，求sin C 的值．28．在矩形ABCD 中，AB=8，BC=6，以EF 为直径的半圆M 如图所示位置摆放，点E 与点A 重合，点F 与点B 重合，点F 从点B 出发，沿射线BC 以每秒1个单位长度的速度运动，点E 随之沿AB 下滑，并带动半圆M 在平面滑动，设运动时间t （t ≥0），当E 运动到B 点时停止运动．发现：M 到AD 的最小距离为，M 到AD 的最大距离为．思考：①在运动过程中，当半圆M 与矩形ABCD 的边相切时，求t 的值；②求从t=0到t=4这一时间段M 运动路线长；探究：当M 落在矩形ABCD 的对角线BD 上时，求S △EBF ．29．如图，在平面直角坐标系xOy 中，AOB 三个顶点的坐标分别为()O 0,0，()A 1,3，()B 2,2，将AOB 绕点O 逆时针旋转90后，点A ，B 分别落在点1A ，1B 处．()1在所给的平面直角坐标系xOy中画出旋转后的11A OB；()2求点B旋转到点1B所经过的弧形路线的长．参考答案1．C【解析】如图所示，在该圆周上的格点共有12个，故选C.2．B【解析】因为CD＝2，DE2BD3勾股定理知BE=1，设半径是r,在Rt ODE中，()2212r r=-+,解得r=32,所以AB=3.故选B.3．C【解析】连接AD,作AE的中垂线交AD于O,连接OE,∵AB=AC,D是边BC的中点,∴AD⊥BC,∴AD是BC的中垂线,∵BC是圆的切线,∴AD必过圆心,∵AE是圆的弦,∴AE的中垂线必过圆心,∴该圆的圆心是线段AE的中垂线与线段BC的中垂线的交点,故选C．4．C【解析】试题解析：半径OB =2，圆的面积为4π，半圆面积为2π.连接AD ，OD ，根据直径对的圆周角是直角，∴AD ⊥BC ,90ADB ∠=，∵点O 是圆心，Rt △ABC 是等腰直角三角形，∴OD ⊥AB ,90DOB ∠=，∴扇形ODB 的面积等于四分之一圆面积为π,△DOB 的面积12222，=⨯⨯= ∴弓形DB 的面积π2=-，∴阴影部分的面积2π(π2)π 2.=--=+故选C.点睛：明确图中阴影部分的面积等于半圆的面积减去一个弓形的面积．依面积公式计算即可． 5．B【解析】【分析】连接OA 、OB ，利用正方形的性质得出OA=ABcos45°2，根据阴影部分的面积=S ⊙O -S 正方形ABCD 列式计算可得．【详解】解：连接OA 、OB ，∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOB=90°，∠OAB=45°，∴OA=ABcos45°=4×222，所以阴影部分的面积=S⊙O-S正方形ABCD=π×（2）2-4×4=8π-16．故选B．【点睛】本题主要考查扇形的面积计算，解题的关键是熟练掌握正方形的性质和圆的面积公式．6．D【解析】【分析】根据等弧所对的圆周角相等可知∠B=∠C，故根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和可以求出∠APD的大小.【详解】由于∠C和∠B所对应的弧都是AD,故∠C=∠B=40°,∴∠APD=∠C+∠A=75°,故答案选D. 【点睛】本题主要考查了等弧所对应的圆周角相等以及三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，灵活应用这些是解答本题的关键.7．D【解析】【分析】根据题意和垂径定理的性质可知，OC⊥AB且平分AB，即AB＝2AD＝2BD，然后连接OB，即OB＝4cm，在Rt△ODB中，OD2＋BD2＝BO2，解出BD的值，进而求出AB的值，选出答案.【详解】OC⊥AB且平分AB，即AB＝2AD＝2BD，然后连接OB，即OB＝4cm，在Rt△ODB中，OD2＋BD2＝BO2，即22223+=4BD（），解得：BD＝2cm，故AB＝2BD＝4cm，故答案选D.【点睛】本题主要考查垂径定理的基本性质，解此题的关键在于要记得做出辅助线，连接OB，在直角三角形中解所求值，并且也要熟悉垂径定理的概念和基本性质.8．B【解析】【分析】首先设⊙O与AB的另一个交点为E，连接OD，DE，由⊙O与BC相切于点D，可得OD⊥BC，又由Rt△ABC中，∠C=90°，可得OD∥AC，然后由∠CAD=30°，求得∠DAE与∠AOD的度数，然后由AD=23．在Rt△ADE中，利用余弦，求得AE的长，继而求得答案．【详解】解：设⊙O与AB的另一个交点为E，连接OD，DE．∵⊙O与BC相切于点D，∴OD⊥BC．∵Rt△ABC中，∠C=90°，∴AC⊥BC，∴OD∥AC．∵∠CAD=30°，∴∠ODA=∠CAD=30°．∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA=30°，∴∠AOD=120．∵AE是直径，∴∠ADE=90°．在Rt△ADE中，AE=ADcos OAD∠=233=4，∴⊙O的半径r=2，∴AD=1202180π⨯=43π．故选B．【点睛】本题考查了切线的性质、弧长公式以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．9．C【解析】【分析】根据圆锥的侧面积等于围成圆锥的扇形的面积即可得.【详解】将半径为10cm的半圆形纸片卷成一个无重叠的圆锥侧面，则该圆锥的侧面积就是半圆形纸片的面积，即：2 180?·10360=50π(cm2)，故选C.【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，熟知圆锥的侧面积就是围成圆锥的扇形的面积是解题的关键.10．C【解析】设三角形的外接圆的半径是R．连接OB，OC．∵O是△ABC的外心，且OD⊥BC．∴∠BOD=∠COD=∠A在直角△OBD中，OD=OB•cos∠BOD=R•cosA．同理，OE=R•cosB，OF=R•cosC．∴OD：OE：OF=cosA：cosB：cosC．故选C．【点睛】设三角形的外接圆的半径是R，根据垂径定理，在直角△OBD中，利用三角函数即可用外接圆的半径表示出OD的长，同理可以表示出OE，OF的长，即可求解．11．3.【解析】【分析】根据扇形的面积公式：S=2360n Rπ分别计算出S扇形ACE，S扇形BCD，并且求出三角形ABC的面积，最后由S阴影部分=S扇形ACE+S扇形BCD-S△ABC即可得到答案．【详解】S阴影部分=S扇形ACE+S扇形BCD-S△ABC，∵S扇形ACE=60362360π⨯⨯=12π，S扇形BCD=3036360π⨯=3π，S△ABC=12×6×∴S阴影部分故答案为.【点睛】本题考查了扇形面积的计算，解题的关键是熟练的掌握扇形的面积公式.12．1 2【解析】【分析】首先连接OM，由已知易得∠BOM=60°，继而可得△OBM是等边三角形，继而求得答案．【详解】连接OM．∵AB是圆O的直径，C是AB的一个四等分点，∴OC=12 OM．∵MN⊥AB，∴cos∠BOM=OCOM=12，∴∠BOM=60°．∵OB=OM，∴△OBM是等边三角形，∴∠MBA=60°，∴cos∠MBA=12．故答案为12．【点睛】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质以及特殊角的三角函数问题．注意准确作出辅助线是解答此题的关键．13．16．【解析】【分析】【详解】解：连接OA，⊙O的直径CD=20，则⊙O的半径为10，即OA=OC=10，又∵OM：OC=3：5，∴OM=6，∵AB⊥CD，垂足为M，∴AM=BM，在Rt△AOM中，AM=22106=8，∴AB=2AM=2×8=16，故答案为：16．14．4【解析】【分析】连接OP OB 、，把两部分的面积均可转化为规则图形的面积，不难发现两部分面积之差的绝对值即为BOP △的面积的2倍．【详解】解：连接OP 、OB ，∵图形BAP 的面积=△AOB 的面积+△BOP 的面积+扇形OAP 的面积，图形BCP 的面积=△BOC 的面积+扇形OCP 的面积−△BOP 的面积，又∵点P 是半圆弧AC 的中点，OA =OC ，∴扇形OAP 的面积=扇形OCP 的面积，△AOB 的面积=△BOC 的面积，∴两部分面积之差的绝对值是2 4.BOP S OP OC =⋅=点睛：考查扇形面积和三角形的面积，把不规则图形的面积转化为规则图形的面积是解题的关键.15．23【解析】如图，作OE ⊥BC 于E ，连接OC .∵∠A =∠D =60°,∠ACB =60°，∴△ABC 是等边三角形，∴BC =AC =3，∵OE ⊥BC ，∴BE =EC =32， ∵∠EOC =60°，∴sin60°=EC OC，∴OC∴O 直径为.点睛：本题考察了圆周角定理的推论，垂径定理，解直角三角形.如图，由圆周角定理可得∠A =∠D =60°,从而△ABC 是等边三角形；作OE ⊥BC 于E ，连接OC ．在Rt △OEC 中，根据sin60°=EC OC,计算即可． 16．36【解析】【分析】先根据题意得出∠DOE ＝∠COD ＝∠BOC ＝48°，再由补角的定义即可得出结论.【详解】∵弧BC ＝弧CD ＝弧DE ，48COD ＝，∴∠DOE ＝∠COD ＝∠BOC ＝48°，∴∠AOE ＝180°－48°－48°－48°＝36°，故答案为36°. 【点睛】本题主要考查了圆周角定理以及补角的定义，解本题的要点在于要得出∠DOE ＝∠COD ＝∠BOC ＝48°.17．【解析】【分析】由等边三角形的性质证明△AEB ≌△CFA 可以得出∠APB=120°，点P 的路径是一段弧，由弧线长公式就可以得出结论．【详解】：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠C=∠CAB=60°，又∵AE=CF，在△ABE和△CAF中，{AB ACBAE ACF AE CF=∠=∠=，∴△ABE≌△CAF（SAS），∴∠ABE=∠CAF．又∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP，∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°．∴∠APB=180°-∠APE=120°．∴当AE=CF时，点P的路径是一段弧，且∠AOB=120°，又∵AB=6，∴3，点P的路径是1202343π⋅=，43．【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，弧线长公式的运用，解题的关键是证明三角形全等．18．5【解析】分析：由⊙O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，AB=8可得BE=4，设OB=x ，则由CE=2可得OE=x-2，由此在Rt △OBE 中由勾股定理建立方程解得x 的值，即可得到OB 的长.详解：∵⊙O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，AB=8，∴BE=4，∠OEB=90°，设OB=x ，则OC=x ，∵CE=2，∴OE=x-2，∵在Rt △OBE 中，OB 2=OE 2+BE 2，∴222(2)4x x =-+，解得：5x =，∴OB=5.故答案为：5.点睛：由“垂径定理”得到BE=4，并由此由勾股定理在在Rt △OBE 中建立其“以OB 长度为未知数的方程”是正确解答本题的关键.19．C【解析】【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；本题可由勾股定理等性质算出点与圆心的距离d ，当d ＞r 时，点在圆外；当d =r 时，点在圆上；当d ＜r 时，点在圆内．【详解】∵CA ＞4，∴点C 在⊙A 外．∵AD ═4，∴点D 在⊙A 上外；AB =3＜4，∴点B 在⊙A 内．故答案为C ．【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r ，点到圆心的距离为d ，则有：当d ＞r 时，点在圆外；当d =r 时，点在圆上，当d ＜r 时，点在圆内．20．533【解析】【分析】连接OC ,OD ,OC 与AD 交于点E ，根据圆周角定理有130,2BAD BOD ∠=∠=︒根据垂径定理有：15,2AE AD == 解直角OAE △即可. 【详解】连接OC ,OD ,OC 与AD 交于点E ，130,2BAD BOD ∠=∠=︒ 10 3.cos303AE OA ==︒ 5tan 303,3OE AE =⋅︒= 直尺的宽度：105533 3.333CE OC OE =-== 533【点睛】考查垂径定理，熟记垂径定理是解题的关键.21．（1）3或5；（2）45【解析】试题分析：（1）如图1，当点C 在AB 的左侧时，由AB =CD 可知弧AB =弧CD ，故可得出弧AC =弧BD ，∠B =∠C ，CE =BE ，故可得出DE 的长；（2）如图2，连结OC ，因为AB 是⊙O 的直径，AB ⊥CD ，故可得出CE =12CD=4，设OC =12AB =5，在Rt OEC 中，利用勾股定理求出OE 的长，再在Rt CEA 中求出AC 的长．解：（1）如图1所示，∵AB CD =，8AB =，5AE =，∴8CD =，3BE AB AE =-=，设DE 为x ，则8CE x =-，由相交弦定理可知AE BE DE CE ⋅=⋅，即()538x x ⨯=-，28150x x -+=，解得13x =，25x =，∴DE 的长为3或5．（2）如图2所示，∵AB CD ⊥，AB 为直径，∴142CE CD ==，90OEC ∠=︒，连接OC 则152OC AB ==，在Rt OEC 中，223OE OC CE =-=，∴538AE AO OE =+=+=，∴在Rt CEA 中，2264168045AC AE CE =+=+==，即AC 长为45．22．(1)证明见解析；（2）6【解析】试题分析：（1）如图1，通过相似三角形AEF AEB ∽的对应角相等推知，1EAB ∠=∠；又由弦切角定理、对顶角相等证得23∠=∠；最后根据等角对等边证得结论；（2）如图2，连接OE 交AC 于点G ，设O 的半径是r .根据（1）中的相似三角形的性质证得∠4=∠5，所以由“圆周角、弧、弦间的关系”推知点E 是弧AD 的中点，则,OE AD ⊥ 然后通过解直角ABC △求得31cos sin 2r C GAO r -∠=∠==，则以求r 的值．试题解析：(1)证明：如图1，∵.AE EF EB AE= 又∵∠AEF =∠AEB ，∴△AEF ∽△AEB ，∴∠1=∠EAB .∵∠1=∠2，∠3=∠EAB ，∴∠2=∠3，∴CB =CF ；(2)如图2，连接OE 交AC 于点G ，设O 的半径是r .由(1)知,△AEF ∽△AEB ,则∠4=∠5.∴. AE =DE , ∴OE ⊥AD ，∴EG =31cos ,2C ∠= 且90C GAO ，∠+∠= 1sin 2GAO ∴∠=， 1,2OG OA ∴= 即312r r -=，解得,r =6,即O 的半径是6.23．55°，70°，125°，110°【解析】试题分析：连结BC ，根据圆周角定理得∠ACB =90°，则利用互余可计算出∠B =70°，再根据圆内接四边形的性质计算出∠D =180°﹣∠B =110°，接着根据圆周角定理和三角形内角和定理，由弧AD =弧CD 得到∠DAC =∠DCA =35°，然后计算∠DAB =∠DAC +∠BAC =55°，∠DCB =∠DCA +∠ACB =125°．试题解析：解：连结BC ，如图，∵AB 是半圆的直径，∴∠ACB =90°，∵∠BAC =20°，∴∠B =70°，∵四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，∴∠D =180°﹣∠B =110°，∵弧AD =弧CD ，∴∠DAC =∠DCA =12（180°-110°）=35°，∴∠DAB =∠DAC +∠BAC =55°，∠DCB =∠DCA +∠ACB =125°，即四边形ABCD 各内角的度数分别为55°，70°，125°，110°．24．(1)详见解析；（2）23CD =【解析】【分析】（1）连接OC ，BC ，由AB 为圆O 的直径，得到∠ACB 为直角，又∠BAC=30°，得到∠ABC=60°，再由OC=OB ，利用等边对等角得到∠OBC=∠OCB ，得到∠OCB 的度数为60°，又∠ABD=120°，利用∠ABD-∠ABC 求出∠CBD 的度数，在直角三角形BCD 中，求出∠BCD 的度数为30°，可得出∠OCD 为直角，即CD 与OC 垂直，即可得出CD 为圆O 的切线，得证；（2）在直角三角形ABC 中，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，根据AB 的长求出BC 的长，在直角三角形BCD 中，利用锐角三角函数定义表示出cos ∠BCD ，再由BC 的长及特殊角的三角函数值即可求出CD 的长．【详解】解：()1证明：连接OC ，BC ，如图所示；∵AB 为圆O 的直径，∴90ACB ∠=，又30BAC ∠=，∴60ABC ∠=，∵OC OB =，∴60OBC OCB ∠=∠=，∵120ABD ∠=，∴60CBD ABD ABC ∠=∠-∠=，∵BD CD ⊥，∴90D ∠=，∴30BCD ∠=，∴90OCD OCB BCD ∠=∠+∠=，∴CD OC ⊥，则CD 为圆O 的切线；()2在Rt ABC 中，30BAC ∠=，8AB =，∴142BC AB ==，在Rt BCD 中，30BCD ∠=，4BC =，∴3cos30423CD BC ==⨯=．【点睛】考查了切线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质，以及锐角三角函数定义，切线的证明方法有两种：有点连接，证明垂直；无点作垂线，证明垂线段等于圆的半径．25．（1）见解析；（2）（6，6）.【解析】【分析】点P 的坐标是弦AB ，CD 的垂直平分线的交点，据此可以得到答案．【详解】解：弦AB 的垂直平分线是y=6，弦CD 的垂直平分线是x=6，因而交点P 的坐标是（6，6）．【点睛】考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，理解圆心是圆的垂直平分线的交点，是解决本题的关键．26．CD 的长是11．【解析】【分析】根据已知条件及相交弦定理求得PD 的长，即可求得CD 的长.【详解】∵圆O 的弦AB ，CD 相交于P ，∴AP PB CP PD ⋅=⋅，∵4AP =，6BP =，3CP =，∴4638PD AP PB CP =⋅÷=⨯÷=，∴3811CD CP PD =+=+=．即：CD 的长是11．【点睛】本题主要考查的是相交弦定理的应用，根据相交弦定理求出PD 的长是解题的关键． 27．sin C ＝22- . 【解析】【分析】首先过点A 作AD ⊥OB 于点D ，由在Rt △AOD 中，∠AOB ＝45°，可求得AD 与OD 的长，继而可得BD 的长，然后由勾股定理求得AB 的长，继而可求得sinC 的值．【详解】如图，过点A 作AD ⊥OB 于点D.∵在Rt △AOD 中，∠AOB ＝45°， ∴OD ＝AD ＝OA·cos45°＝1×22＝22， ∴BD ＝OB －OD ＝1－22， ∴AB 22AD BD +2222()(1)22+-22- ∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，AC ＝2， ∴sinC ＝AB AC 22-【点睛】此题考查了圆周角定理、三角函数以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．28．4、8；①当t=0或t=4或t=8时，半圆M 与矩形ABCD 的边相切；②23π；38425【解析】【分析】发现：当点A与点E重合时，点M与AD的距离最小，当点E与点B重合时，点M到AD 的距离最大，据此可得；思考：①根据题意知t=0时半圆M与AD、BC相切，当t=8时半圆M与AB相切，当半圆M与CD相切时，设切点为N，延长NM交AB于点Q，由M是EF的中点且QM∥BF知12QM EMBF EF==，据此可得t=BF=2QM=4；②t=0到t=4这一段时间点M运动的路线长为MM'，由Rt△EBF中BM=MF=BF=4知△BMF 是等边三角形，据此可得∠MBF=60°、∠MBM′=30°，利用弧长公式计算可得；探究：当点M落在BD上时，由四边形BCDA是矩形知∠OAB=∠OBA，由BM是Rt△EBF 斜边EF的中线知BM=EM、∠MBE=∠BEM，得出∠OAB=∠BEM及EF∥AC，从而知216()25EBFBACS BMS OB==，据此解答可得．【详解】解：发现：当点A与点E、点B与点F重合时，点M与AD的距离最小，最小距离为4；当点E与点B重合时，点M到AD的距离最大，最大距离为8；故答案为：4、8；思考：①由于四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ABC=90°，∴当t=0时，半圆M既与AD相切、又与BC相切；如图1，当半圆M与CD相切时，设切点为N，∴∠MNC=90°，延长NM交AB于点Q，∵∠B=∠C=90°，∴四边形BCNQ是矩形，∴QN=BC=6，QM=QN﹣MN=2，∵M是EF的中点，且QM∥BF，∴12 QM EMBF EF==，∴t=BF=2QM=4；当t=8时，∵∠ABM=90°，∴半圆M与AB相切；综上，当t=0或t=4或t=8时，半圆M与矩形ABCD的边相切；②如图2，t=0到t=4这一段时间点M运动的路线长为MM'，t=4时，BF=4，由于在Rt△EBF中，EM=MF=4，∴BM=MF=4，∴BM=MF=BF=4，∴△BMF是等边三角形，∴∠MBF=60°，∴∠MBM′=30°，则MM'=3042 1803ππ⨯⨯=；探究：如图3，∵AB=8、AD=6，∴BD=10，当点M 落在BD 上时，∵四边形BCDA 是矩形，∴OB=OA ，∴∠OAB=∠OBA ，∵BM 是Rt △EBF 斜边EF 的中线，∴BM=EM ，∴∠MBE=∠BEM ，∴∠OAB=∠BEM ，∴EF ∥AC ， ∴216()25EBFBAC S BM S OB == ， ∵S △ABC =24，∴S △EBF =38425．【点睛】考查圆的综合问题，解题的关键是掌握矩形的性质、直线与圆的位置关系及直角三角形的性质等知识点．29．（1）画图见解析；（22π.【解析】【分析】（1）根据网格结构找出点A 、B 绕点O 逆时针旋转90°的对应点的位置，然后顺次连接即可；（2）求出OB 的长，然后利用弧长公式进行计算即可.【详解】()1如图所示，11A OB 图即为所求作的三角形；()2根据勾股定理，22OB 2222=+=，所以点1B 所经过的弧形路线的长90π222π⋅⋅==．【点睛】本题考查了旋转作图，弧长公式，熟练掌握作图方法以及弧长公式是解题的关键.。

2022--2023学年北师大版九年级数学下册《2-3确定二次函数的表达式》同步达标测试题(附答案)

2022--2023学年北师大版九年级数学下册《2.3确定二次函数的表达式》同步达标测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分32分）1．将二次函数y＝x2﹣4x+8转化为y＝a（x﹣m）2+k的形式，其结果为（）A．y＝（x﹣2）2+4B．y＝（x+4）2+4C．y＝（x﹣4）2+8D．y＝（x﹣2）2﹣4 2．一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为（﹣2，1），则此抛物线的解析式为（）A．B．C．D．3．已知二次函数的图象经过（0，0），（3，0），（1，﹣4）三点，则该函数的解析式为（）A．y＝x2﹣3x B．y＝2x2﹣3x C．y＝2x2﹣6x D．y＝x2﹣6x4．已知抛物线y＝x2+bx+c的顶点坐标为（1，3），则抛物线对应的函数解析式为（）A．y＝x2﹣2x+4B．y＝x2﹣2x﹣3C．y＝﹣x2+2x+1D．y＝x2﹣2x+1 5．已知抛物线的顶点坐标是（2，﹣1），且与y轴交于点（0，3），这个抛物线的表达式是（）A．y＝x²﹣4x+3B．y＝x²+4x+3C．y＝x²+4x﹣1D．y＝x²﹣4x﹣1 6．如图，若抛物线y＝ax2﹣2x+a2﹣1经过原点，则抛物线的解析式为（）A．y＝﹣x2﹣2x B．y＝x2﹣2xC．y＝﹣x2﹣2x+1D．y＝﹣x2﹣2x或y＝x2﹣2x7．设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝2；当x＝5时，y＝6，以下判断正确的是（）A．若h＝2，则a＜0B．若h＝4，则a＞0C．若h＝6，则a＜0D．若h＝8，则a＞08．已知某抛物线与二次函数y＝5x2的图象的开口大小相同，开口方向相反，且顶点坐标为（﹣1，2021），则该抛物线对应的函数表达式为（）A．y＝﹣5（x﹣1）2+2021B．y＝5（x﹣1）2+2021C．y＝﹣5（x+1）2+2021D．y＝5（x+1）2+2021二．填空题（共8小题，满分32分）9．小聪在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y与x的对应值：x…012345…y…50﹣3﹣4﹣30…该二次函数的解析式是．10．顶点为（﹣6，0），开口向下，形状与函数y＝x2的图象相同的抛物线的表达式是．11．二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（1，0）和（3，0），则其函数解析式为．12．已知某二次函数y＝x2+bx+c过点A（1，0），B（﹣3，0），则此二次函数的关系式是，若在此抛物线上存在一点P，使△ABP面积为8，则点P的坐标是．13．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且经过点（﹣1，﹣2），则抛物线的表达式为．14．二次函数与y轴的交点到原点的距离为8，它的顶点坐标为（﹣1，2），那么它的解析式为．15．若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与抛物线y＝2x2﹣4x﹣1的顶点重合，且与y轴的交点的坐标为（0，1），则抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的表达式是．16．已知：二次函数y＝ax2+bx+c中的x、y满足下表：x﹣2﹣11347y﹣5040m﹣36（1）m的值为；（2）此函数的解析式为；（3）若0＜x＜4时，则y的取值范围为．三．解答题（共6小题，满分56分）17．已知抛物线y＝x2+bx+c的图象经过A（﹣1，12）、B（0，5）．（1）求抛物线解析式；（2）试判断该二次函数的图象是否经过点（2，3）．18．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a，b是常数，a≠0）经过A（﹣1，﹣2），B（1，﹣6）．（1）求抛物线y＝ax2+bx﹣3的函数解析式；（2）抛物线有两点M（2，y1）、N（m，y2），当y1＜y2时，求m的取值范围．19．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）经过点A（﹣2，0）和点B（4，0）．（1）求这条抛物线所对应的函数解析式；（2）点P为该抛物线上一点（不与点C重合），直线CP将△ABC的面积分成2：1两部分，求点P的坐标．20．抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），抛物线又经过点（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在图中画出这条抛物线；（3）根据图象回答，当y＞3时，自变量x的取值范围．21．如图，抛物线y＝ax2+2ax+c经过点A（2，0），B（﹣2，4）．（1）求抛物线的解析式；（2）若函数y＝ax2+2ax+c在m≤x≤m+2时有最大值为4，求m的值；（3）点M在直线AB上方的抛物线上运动，当△ABM的面积最大时，求点M的坐标．22．如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，﹣5），且它的对称轴为直线x＝2．（1）求此抛物线的表达式；（2）若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第四象限．①当△OAB的面积为10时，求B的坐标；②点P是抛物线上的动点，当P A﹣PB的值最大时，求P的坐标以及P A﹣PB的最大值．参考答案一．选择题（共8小题，满分32分）1．解：y＝x2﹣4x+8＝x2﹣4x+4+4＝（x﹣2）2+4，故选：A．2．解：∵抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，∴a＝，∵顶点为（﹣2，1），∴抛物线解析式为y＝（x+2）2+1．故选：C．3．解：设这个二次函数的解析式是y＝ax（x﹣3）（a≠0），把（1，﹣4）代入得﹣4＝﹣2a，解得a＝2；所以该函数的解析式为：y＝2x（x﹣3）＝2x2﹣6x．故选：C．4．解：∵抛物线y＝x2+bx+c的顶点坐标为（1，3），∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）2+3，即y＝x2﹣2x+4．故选：A．5．解：∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1（a≠0），把（0，3）代入得：4a﹣1＝3，解得，a＝1．所以，这条抛物线的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3．故选：A．6．解：把（0，0）代入y＝ax2﹣2x+a2﹣1得，0＝a2﹣1，∴a＝±1，∵抛物线开口向下，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x，故选：A．7．解：当x＝1时，y＝2；当x＝5时，y＝6；代入函数式得：，∴a（5﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝4，整理得：a（6﹣2h）＝1，若h＝2，则a＝，故A错误；若h＝4，则a＝﹣，故B错误；若h＝6，则a＝﹣，故C正确；若h＝8，则a＝﹣，故D错误；故选：C．8．解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，2021），∴抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+2021，∵抛物线y＝a（x+1）2+2021二次函数y＝5x2的图象的开口大小相同，开口方向相反，∴a＝﹣5，∴抛物线的解析式为y＝﹣5（x+1）2+2021．故选：C．二．填空题（共8小题，满分32分）9．解：由表格数据结合二次函数图象对称性可得图象顶点为（3，﹣4），设二次函数的表达式为y＝a（x﹣3）2﹣4（a≠0），将（1，0）代入得4a﹣4＝0，解得a＝1，∴该二次函数的表达式为y＝（x﹣3）2﹣4（或y＝x2﹣6x+5）．10．解：设所求的抛物线的关系式为y＝a（x﹣h）2+k，∵顶点为（﹣6，0），∴h＝﹣6，k＝0，又∵开口向下，形状与函数y＝x2的图象相同，∴a＝﹣，∴抛物线的关系式为：y＝﹣（x+6）2，11．解：∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（1，0）和（3，0），∴二次函数为y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，故答案为：y＝x2﹣4x+3．12．解：将点A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝x2+bx+c中，可得，解得，∴y＝x2+2x﹣3，设P（m，m2+2m﹣3），∵AB＝4，∴S△ABP＝×AB×y P＝×4×|m2+2m﹣3|＝8，∴|m2+2m﹣3|＝4，∴m2+2m﹣3＝4或m2+2m﹣3＝﹣4，解得m＝﹣1±2或m＝﹣1，∴P（﹣1+2，4）或P（﹣1﹣2，4）或P（﹣1，﹣4），故答案为：y＝x2+2x﹣3；（﹣1+2，4）或（﹣1﹣2，4）或（﹣1，﹣4）．13．解：根据题意设抛物线解析式为y＝ax2，将x＝﹣1，y＝﹣2代入得：﹣2＝a，则抛物线解析式为y＝﹣2x2．故答案为：y＝﹣2x2．14．解：∵二次函数的图象顶点坐标为（﹣1，2），∴设这个二次函数的解析式y＝a（x+1）2+2（a≠0），∵二次函数的图象与y轴的交点到原点的距离是8，∴交点坐标为（0，8）或（0，﹣8），把（0，8）代入y＝a（x+1）2+2，得8＝a+2，解得a＝6，则这个二次函数的解析式y＝6（x+1）2+2；把（0，﹣8）代入y＝a（x+1）2+2，得﹣8＝a+2，解得a＝﹣10，则这个二次函数的解析式y＝﹣10（x+1）2+2；故答案为：y＝6（x+1）2+2或y＝﹣10（x+1）2+2．15．解：∵y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x﹣1）2﹣3，∴抛物线y＝2x2﹣4x﹣1的顶点坐标为（1，﹣3），∵抛物线y＝ax2+bx+c与抛物线y＝2x2﹣4x﹣1的顶点重合，∴抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，﹣3），∴设此抛物线为y＝a（x﹣1）2﹣3，∵与y轴的交点的坐标为（0，1），∴1＝a﹣3，解得a＝4，∴此抛物线为y＝4（x﹣1）2﹣3＝4x2﹣8x+1，故答案为：y＝4x2﹣8x+1．16．解：（1）由图中表格可知，二次函数y＝ax2+bx+c的图象关于直线x＝1对称，且（4，m）与（﹣2，﹣5）关于直线x＝1对称，∴m＝﹣5；故答案为：﹣5；（2）由二次函数y＝ax2+bx+c的图象过（﹣1，0），（3，0），设函数的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将（1，4）代入得：4＝a×2×（﹣2），解得a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，故答案为：y＝﹣x2+2x+3；（3）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴当x＝1时，y取最大值4，∵1﹣0＜4﹣1，∴x＝4时，y取最小值﹣（4﹣1）2+4＝﹣5，∴0＜x＜4时，y的取值范围为是﹣5＜y≤4；故答案为：﹣5＜y≤4．三．解答题（共6小题，满分56分）17．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c的图象经过A（﹣1，12），B（0，5）．∴，解得，∴二次函数解析式为y＝x2﹣6x+5；（2）当x＝2时，y＝x2﹣6x+5＝4﹣12+5＝﹣3≠3，∴该二次函数的图象不经过点（2，3）．18．解：（1）把A（﹣1，﹣2），B（1，﹣6）代入y＝ax2+bx﹣3得，解得，∴抛物线的关系式为y＝﹣x2﹣2x﹣3；（2）∵y＝﹣x2﹣2x﹣3，∴抛物线开口向下，对称轴直线x＝﹣＝﹣1，∴由图取抛物线上点Q，使Q与N关于对称轴x＝﹣1对称，∴点M（2，y1）关于对称轴x＝﹣1的对称点为（﹣4，y1），又∵N（m，y2）在抛物线图象上的点，且y1＜y2，∴﹣4＜m＜2．19．解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），则y＝a（x+2）（x﹣4）＝ax2﹣2ax﹣8a，即﹣8a＝4，解得a＝﹣，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4；（2）由点A、B的坐标知，OB＝2OA，故CO将△ABC的面积分成2：1两部分，此时，点P不在抛物线上；如图1，当BH＝AB＝2时，CH将△ABC的面积分成2：1两部分，即点H的坐标为（2，0），则CH和抛物线的交点即为点P，由点C、H的坐标得，直线CH的表达式为y＝﹣2x+4，联立，解得或，故点P的坐标为（6，﹣8）．20．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1，将点（1，0）代入，得a﹣1＝0．解得a＝1，∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1，（2）∵y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3，∴抛物线与y轴的交点为（0，3），其关于对称轴的对称点为（4，3），令y＝0，则x2﹣4x+3＝0，解得x＝1或3，∴抛物线与x轴的交点为（1，0），（3，0），画出函数图象如下：（3）由函数图象知，当y＞3时，自变量x的取值范围是x＜0或x＞4．21．解：（1）∵抛物线y＝ax2+2ax+c经过点A（2，0），B（﹣2，4），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+4；（2）∵y＝﹣x2﹣x+4，∴抛物线开口向下，对称轴x＝﹣＝﹣1，∵m≤x≤m+2时，y有最大值4，∴当y＝4时，有﹣x2﹣x+4＝4，∴x＝0或x＝﹣2，①在x＝﹣1左侧，y随x的增大而增大，∴x＝m+2＝﹣2时，y有最大值4，②在对称轴x＝﹣1右侧，y随x最大而减小，∴x＝m＝0时，y有最大值4；综上所述：m＝﹣4或m＝0；（3）过点M作MG∥y轴交直线AB于点G，设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+2，设M（m，﹣m2﹣m+4），则G（m，﹣m+2），∴MG＝﹣m2+2，∴S△ABM＝×4×（﹣m2+2）＝﹣m2+4，∴当m＝0时，△ABM的面积最大，此时M（0，4）．22．解：（1）∵抛物线过点O（0，0），A（5，﹣5），且它的对称轴为x＝2，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），设抛物线解析式为y＝ax（x﹣4），把A（5，﹣5）代入，得5a＝﹣5，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣x（x﹣4）＝﹣x2+4x，故此抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x；（2）①∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第四象限，∴设B（2，m）（m＜0），设直线OA的解析式为y＝kx，解得：k＝﹣1，∴直线OA的解析式为y＝﹣x，设直线OA与抛物线对称轴交于点H，则H（2，﹣2），∴BH＝﹣2﹣m，∵S△OAB＝10，∴×（﹣2﹣m）×5＝10，解得：m＝﹣6，∴点B的坐标为（2，﹣6）；②设直线AB的解析式为y＝cx+d，把A（5，﹣5），B（2，﹣6）代入得：，，解得：，∴直线AB的解析式为y＝x﹣，如图2，当P A﹣PB的值最大时，A、B、P在同一条直线上，∵P是抛物线上的动点，∴，解得：或，∴P（﹣，﹣）．∵AB＝＝，∴P A﹣PB的最大值为．。

北师大版九年级数学下册《第二章二次函数—有关二次函数的最值问题》练习题(附答案)

北师大版九年级数学下册《第二章二次函数—有关二次函数的最值问题》练习题（附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一．选择题（共10小题）1．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．﹣B．或C．2或D．2或或2．在二次函数y＝x2﹣2x﹣3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是（）A．0，﹣4B．0，﹣3C．﹣3，﹣4D．0，03．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A．1或﹣5B．﹣1或5C．1或﹣3D．1或34．当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（）A．﹣1B．2C．0或2D．﹣1或25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形P ABQ的面积最小值为（）A．19cm2B．16cm2C．15cm2D．12cm26．已知0≤x≤，那么函数y＝﹣2x2+8x﹣6的最大值是（）A．﹣10.5B．2C．﹣2.5D．﹣67．如图，抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点D是直线BC上方的抛物线上的一个动点，连接DC，DB，则△BCD的面积的最大值是（）A．7 B．7.5 C．8D．98．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．﹣B．或﹣C．2或﹣D．2或﹣或﹣9．已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝（）A．3B．﹣3或C．3或﹣D．﹣3或﹣10．已知一个二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，若y3＜y2＜y4，则y1，y2，y3，y4的最值情况是（）A．y3最小，y1最大B．y3最小，y4最大C．y1最小，y4最大D．无法确定二．填空题（共10小题）11．若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是．12．若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝．13．已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是．14．已知二次函数y＝2（x+1）2+1，﹣2≤x≤1，则函数y的最小值是，最大值是．15．已知二次函数y＝x2﹣2mx+1（m为常数），当自变量x的值满足﹣1≤x≤2时，与其对应的函数值y 的最小值为﹣2，则m的值为．16．当﹣7≤x≤a时，二次函数y＝﹣（x+3）2+5恰好有最大值3，则a＝．17．二次函数y＝x2﹣2x+1在2≤x≤5范围内的最小值为．18．若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣1≤x≤2时的最大值为3，那么m的值是．19．二次函数y＝x2﹣4x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3，则a＝．20．设x≥0，y≥0，且2x+y＝6，则μ＝x2+2xy+y2﹣3x﹣2y的最小值是．三．解答题（共5小题）21．设a、b是任意两个实数，用max{a，b}表示a、b两数中较大者，例如：max{﹣1，﹣1}＝﹣1，max{1，2}＝2，max{4，3}＝4，参照上面的材料，解答下列问题：（1）max{5，2}＝，max{0，3}＝；（2）若max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，求x的取值范围；（3）求函数y＝x2﹣2x﹣4与y＝﹣x+2的图象的交点坐标，函数y＝x2﹣2x﹣4的图象如图所示，请你在图中作出函数y＝﹣x+2的图象，并根据图象直接写出max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}的最小值．22．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的对称轴是直线x＝1．（1）求抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标；（2）当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，求a的值；（3）在（2）的条件下，当t≤x≤t+1时，y的最大值是m，最小值是n，且m﹣n＝3，求t的值．23．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A 为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y（cm）．（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？24．已知二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…01234…y…5212n…（1）表中n的值为；（2）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？（3）若A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，且m＞2，试比较y1与y2的大小．25．如图，函数y＝﹣x2+x+c（﹣2020≤x≤1）的图象记为L1，最大值为M1；函数y＝﹣x2+2cx+1（1≤x ≤2020）的图象记为L2，最大值为M2．L1的右端点为A，L2的左端点为B，L1，L2合起来的图形记为L．（1）当c＝1时，求M1，M2的值；（2）若把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当点A，B重合时，求L上“美点”的个数；（3）若M1，M2的差为，直接写出c的值．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．﹣B．或C．2或D．2或或解：二次函数的对称轴为直线x＝m①m＜﹣2时，x＝﹣2时二次函数有最大值，此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4解得m＝﹣，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；②当﹣2≤m≤1时，x＝m时，二次函数有最大值，此时，m2+1＝4解得m＝﹣，m＝（舍去）；③当m＞1时，x＝1时二次函数有最大值，此时，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝2综上所述，m的值为2或﹣．故选：C．2．在二次函数y＝x2﹣2x﹣3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是（）A．0，﹣4B．0，﹣3C．﹣3，﹣4D．0，0解：抛物线的对称轴是直线x＝1，则当x＝1时，y＝1﹣2﹣3＝﹣4，是最小值；当x＝3时，y＝9﹣6﹣3＝0是最大值．故选：A．3．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A．1或﹣5B．﹣1或5C．1或﹣3D．1或3解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小∴①若h＜1≤x≤3，x＝1时，y取得最小值5，可得：（1﹣h）2+1＝5解得：h＝﹣1或h＝3（舍）；②若1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值5，可得：（3﹣h）2+1＝5解得：h＝5或h＝1（舍）；③若1≤h≤3时，当x＝h时，y取得最小值为1，不是5，∴此种情况不符合题意，舍去．综上，h的值为﹣1或5，故选：B．4．当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（）A．﹣1B．2C．0或2D．﹣1或2解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，解得：x1＝0，x2＝2．∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，∴a＝2或a+1＝0，∴a＝2或a＝﹣1故选：D．5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形P ABQ的面积最小值为（）A．19cm2B．16cm2C．15cm2D．12cm2解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，∴AC＝＝6cm．设运动时间为ts（0≤t≤4），则PC＝（6﹣t）cm，CQ＝2tcm∴S四边形P ABQ＝S△ABC﹣S△CPQ＝AC•BC﹣PC•CQ＝×6×8﹣（6﹣t）×2t＝t2﹣6t+24＝（t﹣3）2+15．∵1＞0，∴当t＝3时，四边形P ABQ的面积取最小值，最小值为15cm2．6．已知0≤x≤，那么函数y＝﹣2x2+8x﹣6的最大值是（）A．﹣10.5B．2C．﹣2.5D．﹣6解：∵y＝﹣2x2+8x﹣6＝﹣2（x﹣2）2+2．∴该抛物线的对称轴是直线x＝2，且在x＜2上y随x的增大而增大．又∵0≤x≤，∴当x＝时，y取最大值，y最大＝﹣2（﹣2）2+2＝﹣2.5．故选：C．7．如图，抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点D是直线BC上方的抛物线上的一个动点，连接DC，DB，则△BCD的面积的最大值是（）A．7B．7.5C．8D．9解：设抛物线的解析式是y＝ax2+bx+c∵抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点∴解得，∴y＝﹣x2+5x﹣4设过点B（4，0），C（0，﹣4）的直线的解析式为y＝kx+m解得，即直线BC的直线解析式为：y＝x﹣4设点D的坐标是（x，﹣x2+5x﹣4）∴＝﹣2（x﹣2）2+8∴当x＝2时，△BCD的面积取得最大值，最大值是8．故选：C．8．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．﹣B．或﹣C．2或﹣D．2或﹣或﹣解：二次函数对称轴为直线x＝m①m＜﹣2时，x＝﹣2取得最大值，﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4解得m＝﹣，不合题意，舍去；②﹣2≤m≤1时，x＝m取得最大值，m2+1＝4，解得m＝±∵m＝不满足﹣2≤m≤1的范围，∴m＝﹣；③m＞1时，x＝1取得最大值，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝2．综上所述，m＝2或﹣时，二次函数有最大值4．故选：C．9．已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝（）A．3B．﹣3或C．3或﹣D．﹣3或﹣解：∵二次函数y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m+1，∴对称轴为直线x＝﹣1①m＞0，抛物线开口向上，x＝﹣1时，有最小值y＝﹣m+1＝﹣2，解得：m＝3；②m＜0，抛物线开口向下∵对称轴为直线x＝﹣1，在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2∴x＝2时，有最小值y＝4m+4m+1＝﹣2，解得：m＝﹣；故选：C．10．已知一个二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，若y3＜y2＜y4，则y1，y2，y3，y4的最值情况是（）A．y3最小，y1最大B．y3最小，y4最大C．y1最小，y4最大D．无法确定解：∵二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，且y3＜y2＜y4，∴抛物线开口向上，对称轴在0和1之间∴P1（﹣3，y1）离对称轴的距离最大，P3（1，y3）离对称轴距离最小∴y3最小，y1最大，故选：A．二．填空题（共10小题）11．若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是s≥9．解：由x+y2＝3，得：y2＝﹣x+3≥0，∴x≤3代入s＝x2+8y2得：s＝x2+8y2＝x2+8（﹣x+3）＝x2﹣8x+24＝（x﹣4）2+8当x＝3时，s＝（3﹣4）2+8＝9，∴s≥9；故答案为：s≥9．12．若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝9．解：原式可化为y＝（x﹣3）2﹣4，可知函数顶点坐标为（3，﹣4）当y＝0时，x2﹣6x+5＝0，即（x﹣1）（x﹣5）＝0，解得x1＝1，x2＝5．如图：m＝﹣4，当x＝6时，y＝36﹣36+5＝5，即M＝5．则M﹣m＝5﹣（﹣4）＝9．故答案为9．13．已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是﹣1.5或．解：由二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），得到对称轴为直线x＝m，抛物线开口向上当m＞2时，由题意得：当x＝2时，y最小值为﹣2，代入得：4﹣4m＝﹣2，即m＝1.5＜2，不合题意，舍去；当﹣1≤m≤2时，由题意得：当x＝m时，y最小值为﹣2，代入得：﹣m2＝﹣2，即m＝或m＝﹣（舍去）；当m＜﹣1时，由题意得：当x＝﹣1时，y最小值为﹣2，代入得：1+2m＝﹣2，即m＝﹣1.5，综上，m 的值是﹣1.5或，故答案为：﹣1.5或．14．已知二次函数y＝2（x+1）2+1，﹣2≤x≤1，则函数y的最小值是1，最大值是9．解：由题意可得：y＝2（x+1）2+1，﹣2≤x≤1∵开口向上，∴当x＝1时，有最大值：y max＝9，当x＝﹣1时，y min＝1．故答案为1，9．15．已知二次函数y＝x2﹣2mx+1（m为常数），当自变量x的值满足﹣1≤x≤2时，与其对应的函数值y 的最小值为﹣2，则m的值为﹣2或．解：由题意可知抛物线的对称轴为x＝m，开口方向向上当m≤﹣1时，此时x＝﹣1时，y可取得最小值﹣2，∴﹣2＝1+2m+1，∴m＝﹣2；当﹣1＜m＜2时，∴此时x＝m，y的最小值为﹣2，∴﹣2＝m2﹣2m2+1∴m＝±，∴m＝；当m≥2时，此时x＝2时，y的最小值为﹣2，∴﹣2＝4﹣4m+1，∴m＝不符合题意故答案为：﹣2或．16．当﹣7≤x≤a时，二次函数y＝﹣（x+3）2+5恰好有最大值3，则a＝﹣5．解：∵y＝﹣（x+3）2+5，∴该抛物线的开口方向向下，且顶点坐标是（﹣3，5）．∴当x＜﹣3时，y随x的增大而增大∴当x＝a时，二次函数y＝﹣（x+3）2+5恰好有最大值3把y＝3代入函数解析式得到3＝﹣（x+3）2+5，解得x1＝﹣5，x2＝﹣1．∴a＝﹣5．故答案是：﹣5．17．二次函数y＝x2﹣2x+1在2≤x≤5范围内的最小值为1．解：∵二次函数y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴当x＞1时，y随x的增大而增大∴在2≤x≤5范围内，当x＝2时，y取得最小值，此时y＝（2﹣1）2＝1，故答案为：1．18．若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣1≤x≤2时的最大值为3，那么m的值是﹣4或2．解：∵y＝﹣x2+mx，∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为x＝﹣＝∵＝①当≤﹣1，即m≤﹣2时，当x＝﹣1时，函数最大值为3，∴﹣1﹣m＝3解得：m＝﹣4；②当≥2，即m≥4时，当x＝2时，函数最大值为3，∴﹣4+2m＝3解得：m＝（舍去）．③当﹣1＜＜2，即﹣2＜m＜4时，当x＝时，函数最大值为3，∴﹣+＝3解得m＝2或m＝﹣2（舍去），综上所述，m＝﹣4或m＝2故答案为﹣4或2．19．二次函数y＝x2﹣4x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3，则a＝1．解：y＝x2﹣4x+a＝（x﹣2）2+a﹣4，当x＝2时，函数有最小值a﹣4∵二次函数y＝x2﹣4x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3∴a﹣4＝﹣3，∴a＝1，故答案为1．20．设x≥0，y≥0，且2x+y＝6，则μ＝x2+2xy+y2﹣3x﹣2y的最小值是0．解：由题意得：x≥0，y＝6﹣2x≥0，解得：0≤x≤3．∵μ＝x2+2xy+y2﹣3x﹣2y＝x2+2x（6﹣2x）+（6﹣2x）2﹣3x﹣2（6﹣2x）＝x2﹣11x+24＝﹣∴当x≤时，y随x的增大而减小，故当x＝3时，μ的最小值为﹣＝0．故答案为：0．三．解答题（共5小题）21．设a、b是任意两个实数，用max{a，b}表示a、b两数中较大者，例如：max{﹣1，﹣1}＝﹣1，max{1，2}＝2，max{4，3}＝4，参照上面的材料，解答下列问题：（1）max{5，2}＝5，max{0，3}＝3；（2）若max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，求x的取值范围；（3）求函数y＝x2﹣2x﹣4与y＝﹣x+2的图象的交点坐标，函数y＝x2﹣2x﹣4的图象如图所示，请你在图中作出函数y＝﹣x+2的图象，并根据图象直接写出max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}的最小值．解：（1）max{5，2}＝5，max{0，3}＝3．故答案为：5；3．（2）∵max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，∴3x+1≤﹣x+1，解得：x≤0．（3）联立两函数解析式成方程组，解得：，，∴交点坐标为（﹣2，4）和（3，﹣1）．画出直线y＝﹣x+2，如图所示观察函数图象可知：当x＝3时，max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}取最小值﹣1．22．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的对称轴是直线x＝1．（1）求抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标；（2）当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，求a的值；（3）在（2）的条件下，当t≤x≤t+1时，y的最大值是m，最小值是n，且m﹣n＝3，求t的值．解：（1）将x＝1代入抛物线y＝ax2+bx+a﹣4得，y＝a+b+a﹣4＝2a+b﹣4∵对称轴是直线x＝1．∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴y＝2a+b﹣4＝2a﹣2a﹣4＝﹣4∴抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标为（1，﹣4）；（2）①a＜0时，抛物线开口向下，y的最大值是﹣4∵当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，∴a＜0不合题意；②a＞0时，抛物线开口向上∵对称轴是直线x＝1.1到﹣2的距离大于1到3的距离，∴x＝﹣2时，y的值最大∴y＝4a﹣2b+a﹣4＝5a﹣2b﹣4＝5，将b＝﹣2a代入得，a＝1；（3）①t＜0时，∵a＝1，∴b＝﹣2a＝﹣2∴y的最大值是m＝t2﹣2t+1﹣4＝t2﹣2t﹣3，最小值是n＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3∵m﹣n＝3，∴t2﹣2t﹣3﹣[（t+1）2﹣2（t+1）﹣3]＝3，解得：t＝﹣1；②≤t＜1时，∴y的最大值是m＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，最小值是n＝﹣4∵m﹣n＝3，∴（t+1）2﹣2（t+1）﹣3﹣（﹣4）＝3，解得：t＝±（不成立）；③0＜t≤时，y的最大值是m＝t2﹣2t+1﹣4＝t2﹣2t﹣3，最小值是n＝﹣4m﹣n＝t2﹣2t﹣3﹣（﹣4）＝3，解得：t＝±+1（不成立）；④t≥1时，∴y的最大值是m＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，最小值是n＝t2﹣2t﹣3m﹣n＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝3，解得：t＝2；综上，t的值为﹣1或2．23．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D作DE∥BC交AC 于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y （cm）．（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？解：（1）动点D运动x秒后，BD＝2x．又∵AB＝8，∴AD＝8﹣2x．∵DE∥BC，∴∴∴y关于x的函数关系式为y＝（0＜x＜4）．（2）解：S△BDE＝＝＝（0＜x＜4）．当时，S△BDE最大，最大值为6cm2．24．已知二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…01234…y…5212n…（1）表中n的值为5；（2）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？（3）若A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，且m＞2，试比较y1与y2的大小．解：（1）∵根据表可知：对称轴是直线x＝2∴点（0，5）和（4，n）关于直线x＝2对称，∴n＝5，故答案为：5；（2）根据表可知：顶点坐标为（2，1），即当x＝2时，y有最小值，最小值是1；（3）∵函数的图象开口向上，顶点坐标为（2，1），对称轴是直线x＝2∴当m＞2时，点A（m1，y1），B（m+1，y2）都在对称轴的右侧，y随x的增大而增大∵m＜m+1，∴y1＜y2．25．如图，函数y＝﹣x2+x+c（﹣2020≤x≤1）的图象记为L1，最大值为M1；函数y＝﹣x2+2cx+1（1≤x ≤2020）的图象记为L2，最大值为M2．L1的右端点为A，L2的左端点为B，L1，L2合起来的图形记为L．（1）当c＝1时，求M1，M2的值；（2）若把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当点A，B重合时，求L 上“美点”的个数；（3）若M1，M2的差为，直接写出c的值．解：（1）当c＝1时，函数y＝﹣x2+x+c＝﹣x2+x+1＝﹣（x﹣）2+．又∵﹣2020≤x≤1，∴M1＝，y＝﹣x2+2cx+1＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2．又∵1≤x≤2020，∴M2＝2；（2）当x＝1时，y＝﹣x2+x+c＝c﹣；y＝﹣x2+2cx+1＝2c．若点A，B重合，则c﹣＝2c，c＝﹣，∴L1：y＝﹣x2+x﹣（﹣2020≤x≤1）；L2：y＝﹣x2﹣x+1（1≤x≤2020）．在L1上，x为奇数的点是“美点”，则L1上有1011个“美点”；在L2上，x为整数的点是“美点”，则L2上有2020个“美点”．又点A，B重合，则L上“美点”的个数是1011+2020﹣1＝3030．（3）y＝﹣x2+x+c（﹣2020≤x≤1）上时，当x＝时，M1＝+cy＝﹣x2+2cx+1（1≤x≤2020），对称轴为x＝c当2020≥c≥1时，M2＝c2+1，∴|+c﹣c2﹣1|＝，∴c＝﹣1（舍去）或c＝2；当c＜1时，M2＝2c，∴|2c﹣﹣c|＝，∴c＝3（舍去）或c＝﹣；∴c＝﹣或2．当c＞2020时，M2＝﹣20202+4040c+1，∴|﹣20202+4040c+1﹣﹣c|＝∴c≈1010（舍弃），综上所述，c＝﹣或2．。

北师大版九年级数学下册第二章学情评估附答案 (3)

北师大版九年级数学下册第二章学情评估一、选择题(每小题3分，共24分)1．下列函数是y关于x的二次函数的是()A．y＝－x B．y＝2x＋3C．y＝x2－3 D．y＝1 x2＋12．把函数y＝(x－1)2＋2的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数表达式为()A．y＝x2＋2 B．y＝(x－1)2＋1C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－1)2－33．二次函数y＝x2－2x＋4化为y＝a(x－h)2＋k的形式，下列正确的是() A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x－1)2＋3C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－2)2＋44．抛物线y＝x2＋2x＋m－1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是() A．m＜2 B．m＞2C．0＜m≤2 D．m＜－25．根据下列表格对应值：x … 6.17 6.18 6.19 6.20 6.21…ax2＋bx＋c …－0.02－0.010.010.040.08…判断关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个解x的取值范围是()A．6.20＜x＜6.21 B．6.17＜x＜6.18C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.206．在同一直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx＋c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是()(第6题)7．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y(m3)与旋钮的旋转角度x(度)(0<x≤90)近似满足函数关系y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为()(第7题)A．18度B．36度C．41度D．58度8．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点(点C在点D右边)，对称轴为直线x＝52，连接AC，AD，BC.若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是()A．点B的坐标为(5，4)B．AB＝ADC．a＝－1 6D．OC·OD＝16(第8题)(第12题)二、填空题(每小题3分，共15分)9．二次函数y＝(x＋3)2＋2的图象的对称轴是直线________．10．已知函数y＝(m－1)x m2＋1＋3x，当m＝________时，它是二次函数．11．已知二次函数的图象经过(－1，0)、(3，0)、(0，3)三点，那么这个二次函数的表达式为____________．12．如图所示，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上．若设AE＝x，正方形EFGH的面积为y，则y关于x的函数表达式为________．13．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc>0；②b2－4ac>0；③8a＋c<0；④5a＋b＋2c>0，其中正确的结论有________(只填序号)．(第13题)三、解答题(共13小题，共81分)14．(5分)把下列二次函数化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数及常数项．(1)y＝(1－x)(1＋x)；(2)y＝4x2－12x(1＋x)．15．(5分)已知二次函数图象的顶点坐标是(－1，2)，且经过点(1，－3)，求这个二次函数的表达式．16．(5分)已知函数y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋m＋1.(1)若这个函数是一次函数，求m的值；(2)若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？17．(5分)已知二次函数y＝ax2＋bx的图象过点(2，0)，(－1，6)．(1)求二次函数的表达式；(2)写出它与x轴的两个交点及顶点坐标．18．(5分)已知抛物线y＝2x2－mx－m2.(1)求证：对任意实数m，抛物线与x轴总有交点；(2)若该抛物线与x轴交于A(1，0)，求m的值．19．(5分)二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的对应值如下表，根据下表回答问题．(1)该二次函数图象与y轴交点是______，对称轴是________；(2)求出该二次函数的表达式；(3)向下平移该二次函数图象，使其经过原点，求出平移后图象所对应的二次函数表达式．20．(5分)如图为二次函数y＝－x2－x＋2的图象，求：(1)方程－x2－x＋2＝0的解；(2)当y>0时，x的取值范围；(3)当－3<x<0时，y的取值范围．(第20题)21．(6分)如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80 m，高度为200 m．求离地面150 m处的水平宽度(即CD的长)．(第21题)22．(7分)在5张相同的小纸条上，分别写有语句：①函数表达式为y＝x；②函数表达式为y＝x2；③函数的图象关于原点对称；④函数的图象关于y轴对称；⑤函数值y随自变量x的增大而增大．将这5张小纸条做成5支签，①、②放在不透明的盒子A中搅匀，③、④、⑤放在不透明的盒子B中搅匀．(1)从盒子A中任意抽出1支签，抽到①的概率是________；(2)先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率．23．(7分)李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10 kg，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/kg，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/kg时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．(1)请求出这种水果批发价y(元/kg)与购进数量x(箱)之间的函数关系式；(2)若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？24．(8分)如图，抛物线y1＝－x2－x＋c与直线y2＝12x＋b交于A，B(1，0)两点．(1)分别求c，b的值；(2)求y1－y2的最大值；(3)求点A的坐标，并根据图象判断，当x取何值时，y1＞y2?(第24题)25．(8分)某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研．小莹根据水稻年产量数据，分别在直角坐标系中描出表示2018～2022年①号田和②号田年产量情况的点(记2018年为第1年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量)，如下图．小亮认为，可以从y＝kx＋b(k>0) ，y＝mx(m>0) ，y＝－0.1x2＋ax＋c中选择适当的函数模型，模拟①号田和②号田的年产量变化趋势．(1)小莹认为不能选y＝mx(m>0)．你认同吗？请说明理由；(2)请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求出函数表达式；(3)根据(2)中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最大是多少？(第25题)26．(10分)已知抛物线经过A(－1，0)，B(0，3)，C(3，0)三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F，连接DF.(1)求抛物线的表达式；(2)求证：∠BOF＝∠BDF；(3)是否存在点M使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．(第26题)答案一、1.C 2.C 3.B 4.A 5.C 6.D 7.C 8.D二、9.x ＝－3 10.－1 11.y ＝－x 2＋2x ＋312．y ＝2x 2－4x ＋4(0<x <2) 13.②③④三、14.解：(1)化为一般形式为y ＝－x 2＋1，二次项系数为－1，一次项系数为0，常数项为1.(2)化为一般形式为y ＝－8x 2－12x ，二次项系数为－8，一次项系数为－12，常数项为0.15．解：设这个二次函数的表达式是y ＝a (x ＋1)2＋2.将点(1，－3)的坐标代入y ＝a (x ＋1)2＋2，得－3＝4a ＋2，解得a ＝－54，所以二次函数的表达式为y ＝－54(x ＋1)2＋2，即y ＝－54x 2－52x ＋34.16．解：(1)根据一次函数的定义，得m 2－m ＝0，解得m ＝0或m ＝1，又因为m －1≠0即m ≠1，所以当m ＝0时，这个函数是一次函数．(2)根据二次函数的定义，得m 2－m ≠0，解得m ≠0且m ≠1，所以当m ≠0且m ≠1时，这个函数是二次函数．17．解：(1)把点(2，0)，(－1，6)的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx ，得⎩⎨⎧4a ＋2b ＝0，a －b ＝6，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－4，因此二次函数的表达式为y ＝2x 2－4x .(2)因为y ＝2x 2－4x ＝2x (x －2)，所以图象与x 轴的两个交点坐标分别是(0，0)，(2，0)．因为y ＝2x 2－4x ＝2(x －1)2－2，所以二次函数y ＝2x 2－4x 的图象的顶点坐标为(1，－2)．18．(1)证明：因为Δ＝(－m )2－4×2×(－m 2)＝9m 2≥0，所以对任意实数m ，抛物线与x 轴总有交点．(2)解：把点A (1，0)的坐标代入y ＝2x 2－mx －m 2得2－m －m 2＝0，整理得m 2＋m －2＝0，解得m 1＝1，m 2＝－2，即m 的值为1或－2.19．(1)(0，4) 直线x ＝－52(2)解：把点(－2，－2)、(－1，0)，(0，4)的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧4a －2b ＋c ＝－2，a －b ＋c ＝0，c ＝4，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝5，c ＝4，所以二次函数的表达式为y ＝x 2＋5x ＋4.(3)解：要使二次函数图象经过原点，则函数表达式形如y ＝ax 2＋bx ，所以将函数y ＝x 2＋5x ＋4的图象向下平移4个单位长度即可．则平移后图象所对应的二次函数表达式为y ＝x 2＋5x .20．解：(1)－x 2－x ＋2＝0，解得x 1＝－2，x 2＝1.(2)由图象知，当y >0时，x 的取值范围是－2<x <1.(3)因为y ＝－x 2－x ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋94，所以图象的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，94，当x ＝－3时，y ＝－9＋3＋2＝－4，故当－3<x <0时，y 的取值范围为－4<y ≤94.21．解：如图，以底部所在的直线为x 轴，以线段CD 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系．(第21题)所以A (－40，0)，B (40，0)，E (0，200)．设抛物线的表达式为y ＝a (x ＋40)(x －40)，将点E (0，200)的坐标代入，得200＝a (0＋40)(0－40)，解得a ＝－18，所以抛物线的表达式为y ＝－18x 2＋200.将y ＝150代入，得－18x 2＋200＝150，解得x ＝±20，所以C (－20，150)，D (20，150)，所以CD ＝40 m.22．解：(1)12(2)画出树状图如图．(第22题) 共有6种等可能的结果，抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的有①③，①⑤和②④，共3种，所以抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率为36＝12.23．解：(1)由题意得y ＝8.2－0.2(x －1)＝－0.2x ＋8.4，所以这种水果批发价y (元/kg)与购进数量x (箱)之间的函数关系式是y ＝－0.2x ＋8.4(1≤x ≤10，且x 为整数)．(2)设李大爷销售这种水果每天获得的利润为w 元，则w ＝[12－0.5(x －1)－y ]·10x ＝[12－0.5(x －1)－(－0.2x ＋8.4)]·10x ＝－3x 2＋41x .因为a ＝－3<0，所以抛物线开口向下．因为对称轴是直线x ＝416，所以当1≤x ≤416时，w 的值随x 值的增大而增大，因为x 为正整数，所以此时，当x ＝6时，w 最大＝138；当416≤x ≤10时，w 的值随x 值的增大而减小，因为x 为正整数，所以此时，当x ＝7时，w 最大＝140.因为140>138，所以李大爷每天应购进这种水果7箱，才能使每天所获利润最大，最大利润是140元．24．解：(1)因为抛物线y 1＝－x 2－x ＋c 与直线y 2＝12x ＋b 交于A ，B (1，0)两点，所以0＝－1－1＋c ，0＝12×1＋b ，解得b ＝－12，c ＝2.(2)因为b ＝－12，c ＝2，所以y 1＝－x 2－x ＋2，y 2＝12x －12，所以y 1－y 2＝(－x 2－x ＋2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12＝－x 2－32x ＋52＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342＋4916，所以当x ＝－34时，y 1－y 2取得最大值4916，即y 1－y 2的最大值是4916.(3)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－x ＋2，y ＝12x －12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－52，y ＝－74，或⎩⎨⎧x ＝1，y ＝0，所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－74，由图象可得，当－52<x <1时，y 1>y 2.25．解：(1)认同，理由如下：观察①号田的年产量变化：每年增加0.5 t ，呈一次函数关系；观察②号田的年产量变化：经过点(1，1.9)，(2，2.6)，因为1×1.9＝1.9，2×2.6＝5.2，1.9≠5.2，所以不是反比例函数关系，小莹认为不能选y ＝m x (m >0)是正确的．(2)由(1)知①号田符合y ＝kx ＋b (k >0)，由题意得⎩⎨⎧k ＋b ＝1.5，2k ＋b ＝2，解得⎩⎨⎧k ＝0.5，b ＝1，所以①号田的函数表达式为y ＝0.5x ＋1(k >0)；②号田符合y ＝－0.1x 2＋ax ＋c ，由题意得⎩⎨⎧－0.1＋a ＋c ＝1.9，－0.4＋2a ＋c ＝2.6，解得⎩⎨⎧a ＝1，c ＝1，所以②号田的函数表达式为y ＝－0.1x 2＋x ＋1.(3)设总年产量为w t ，依题意得w ＝－0.1x 2＋x ＋1＋0.5x ＋1＝－0.1x 2＋1.5x ＋2＝－0.1(x －7.5)2＋7.625.因为x 为整数，所以当x ＝7或8时，w 取最大值．所以在2024年或2025年总年产量最大，最大是7.6 t.26．(1)解：设抛物线的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．将点A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)的坐标分别代入，得⎩⎨⎧0＝a －b ＋c ，3＝c ，0＝9a ＋3b ＋c ，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝2，c ＝3，抛物线的表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)证明：四边形OBDC 是正方形，所以BO ＝BD ，∠OBC ＝∠DBC .又因为BF ＝BF ，所以△OBF ≌△DBF (SAS)，所以∠BOF ＝∠BDF .(3)解：存在，理由如下：当点M 在线段BD 的延长线上时，此时∠FDM >90°，所以DF ＝DM .设M (m ，3)，直线OM 的表达式为y ＝kx (k ≠0)，所以3＝km ，解得k ＝3m ，所以直线OM 的表达式为y ＝3m x ，设直线BC 的表达式为y ＝k 1x ＋b (k 1≠0)，把点B (0，3), C (3，0)的坐标分别代入，得⎩⎨⎧3＝b ，0＝3k 1＋b ，解得⎩⎨⎧b ＝3，k 1＝－1，直线BC 的表达式为y ＝－x ＋3.令3m x ＝－x ＋3，解得x ＝3m m ＋3，则y ＝9m ＋3，所以F ⎝ ⎛⎭⎪⎫3m m ＋3，9m ＋3.因为四边形OBDC 是正方形，所以BO ＝BD ＝OC ＝CD ＝3，所以D (3，3)，所以DF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－3m m ＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－9m ＋32＝9m 2＋81（m ＋3）2，DM 2＝(m －3)2，所以9m 2＋81（m ＋3）2＝(m －3)2，所以9m 2＋81＝(m 2－9)2，解得m ＝0或m ＝33或m ＝－3 3.因为M 为射线BD 上一动点，所以m >0，所以m ＝33，所以BM ＝3 3.因为当－x 2＋2x ＋3＝3时，解得x ＝0或x ＝2，所以BE ＝2，所以ME ＝BM －BE ＝33－2.如图，当点M 在线段BD 上时，此时，∠DMF >90°，(第26题)所以MF＝DM，所以∠MFD＝∠MDF,所以∠BMO＝∠MFD＋∠MDF＝2∠MDF，由(2)得∠BOF＝∠BDF.因为四边形OBDC是正方形，所以∠OBD＝90°，所以∠BOM＋∠BMO＝90°，所以3∠BOM＝90°，所以∠BOM＝30°.因为BO＝3，所以BM＝tan∠BOM·OB＝33×3＝ 3.因为BE＝2，BD＝3，所以DE＝1，所以ME＝BD－BM－DE＝3－3－1＝2－ 3. 综上，ME的长为33－2或2－ 3.。

北师大版九年级数学下册期末学情评估附答案 (1)

北师大版九年级数学下册期末学情评估一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AC ＝4，AB ＝5，则cos B 等于( )A.34B.35C.45D.432．如图，AB 是⊙O 的直径，∠D ＝40°，则∠AOC ＝( )A ．80°B ．100°C ．120°D ．140°(第2题) (第4题) (第5题)3．在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝x 2先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，所得抛物线对应的函数表达式为( ) A ．y ＝(x ＋3)2＋1 B ．y ＝(x －3)2－1 C ．y ＝(x ＋3)2－1 D ．y ＝(x －3)2＋14．如图，小明在C 处看到西北方向的A 处有一只小猫，若小猫沿正东方向跑到B 处，测得B 在C 的北偏东α方向，且BC ＝a 米，则A 处与B 处之间的距离为( )A ．a (cos α＋sin α)米B ．a (cos α－sin α)米C.⎝ ⎛⎭⎪⎫a cos α＋a sin α米D.⎝ ⎛⎭⎪⎫acos α－a sin α米 5．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，下列说法错误的是( )A ．当－1＜x ＜2时，y ＜0B ．a ＋c ＝bC ．当x ＞12时，y 随x 的增大而增大D ．若顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m ，则方程ax 2＋bx ＋c ＝m －1有实数根6．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin B ＝45，AC ＝5 cm ，若以点C 为圆心，2cm 长为半径作圆，则⊙C 与AB 的位置关系是( )A ．相离B ．相交C ．相切D ．相切或相交(第6题) (第7题) (第8题)7．如图，在⊙O 中，AO ＝3，∠C ＝60°，则AB ︵的长度为( )A ．6πB ．9πC ．2πD ．3π8．如图，在4×4的正方形网格中，△ABC 的顶点都在格点上，则∠BAC 的正弦值是( ) A.55B.12C.2 55D. 59．如图，半圆O 与等腰直角三角形两腰CA ，CB 分别切于D ，E 两点，直径FG在AB 上，若BG ＝2－1，则△ABC 的周长为( ) A ．4＋2 2B ．6C ．2＋2 2D ．4(第9题) (第10题)10．如图，有边长分别为1和2的两个等边三角形，开始时它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移至完全移出大三角形为止．设小三角形移动的距离为x ，两个三角形重叠部分的面积为y ，则y 关于x 的函数图象是( )二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且c＝3a，则tan A的值为________．12．如果将抛物线y＝－2x2＋8向下平移a个单位后恰好经过点(1，4)，那么a的值为________．13．如图，⊙O的半径为9 cm，AB是弦，OC⊥AB于点C，将劣弧AB沿弦AB 折叠，交OC于点D，若D是OC的中点，则AB的长为________．(第13题)(第15题)14．已知二次函数y＝ax2－2ax＋c(a≠0)的图象与x轴的一个交点为(－1，0)，则关于x的一元二次方程ax2－2ax＋c＝0的根是________．15．如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处出发以每小时20 n mile的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1 h后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离约是______n mile(结果精确到个位，参考数据：2≈1.4，3≈1.7，6≈2.4)．三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题8分，共24分)16．计算：3tan 30°－tan2 45°＋2sin 60°.17．一抛物线以(－1，9)为顶点，且经过点(－4，0)，求该抛物线的解析式及抛物线与y轴的交点坐标．18．如图，在小山的东侧A 处有一热气球，由于受风力影响，它以35 m/min 的速度沿着与水平线成75°角的方向飞行，40 min 后到达C 处，此时热气球上的人发现热气球与山顶P 及小山西侧的B 处在一条直线上，同时测得B 处的俯角为30°.在A 处测得山顶P 的仰角为45°，求A 与B 间的距离及山高(结果保留根号)．(第18题)四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题9分，共27分)19．△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A －122＋|tan B －1|＝0.(1)分别求出△ABC 三个内角的度数； (2)若AC ＝2，求AB 的长度．20．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠1＝∠2，延长BC 到点E ，使得CE ＝AB ，连接ED . (1)求证：BD ＝ED ；(2)若AB ＝5，BC ＝7，∠ABC ＝60°，求tan ∠DCB 的值．(第20题)21．某商店购进一批额温枪，每个进价为30元．若每个售价定为42元，则每周可售出160个．经调查发现，每个售价每增加1元，每周的销售量将减少10个．设每个额温枪的售价为x元(x≥42)，每周的销售利润为y元．(1)求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；(2)求每个售价为多少时，每周的销售利润最大；(3)若该商店在某周销售这种额温枪获利1 600元，求这周每个额温枪的售价．五、解答题(三)(本大题共2小题，每小题12分，共24分)22．如图，AB是⊙O的直径，AD、BC分别是⊙O的切线，连接OC、OD、CD，且CO平分∠BCD.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)求证：OC⊥OD；(3)若⊙O的半径是2，sin∠BCD＝23，且AD＜BC，求tan∠BOC的值．(第22题)23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－6与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝8，OA＝3OB，点P是直线AC下方抛物线上的一个动点．过点P作PE∥x轴，交直线AC于点E.(1)求抛物线的解析式；(2)若点M是抛物线对称轴上的一个动点，则BM＋CM的最小值是________；(3)求PE的最大值；(4)在抛物线的对称轴上找一点N，使△ACN是以AC为斜边的直角三角形，请直接写出点N的坐标．(第23题)答案一、1.B 2.B 3.D 4.A 5.D 6.A7.C8.A9.A 10．B二、11.2412.213.6 5 cm14.x1＝－1，x2＝315．24三、16.解：3tan 30°－tan2 45°＋2sin 60°＝3×33－12＋2×32＝3－1＋ 3＝2 3－1.17．解：由题意，可设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)2＋9，将(－4，0)代入y＝a(x＋1)2＋9，得0＝9a＋9，解得a＝－1，∴抛物线的解析式为y＝－(x＋1)2＋9.令x＝0，则y＝8，∴抛物线与y轴的交点坐标为(0，8)．18．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D.由题意得，∠ACD＝75°－30°＝45°，AC＝35×40＝1 400(m)．∴AD＝AC·sin 45°＝1 400×22＝700 2(m)．在Rt△ABD中，由题意可知，∠B＝30°，∴AB＝2AD＝1 400 2 m.过点P作PE⊥AB，垂足为E，∴易得AE＝PE，BE＝3PE.∴AB＝AE＋BE＝PE＋3PE＝1 400 2 m.∴PE＝700(6－2)m.答：A与B间的距离是1 400 2 m，山高是700(6－2)m.四、19.解：(1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A －122＋||tan B －1＝0，∴cos A －12＝0，tan B －1＝0， ∴cos A ＝12，tan B ＝1，又∵∠A 、∠B 都是锐角， ∴∠A ＝60°，∠B ＝45°， ∴∠C ＝180°－∠A －∠B ＝75°. (2)过点C 作CH ⊥AB 于H ，在Rt △ACH 中，AC ＝2，∠A ＝60°， ∴AH ＝AC ·cos A ＝2×12＝1， CH ＝AC ·sin A ＝2×32＝ 3.在Rt △CHB 中，CH ＝3，tan B ＝1， ∴BH ＝CH tan B ＝31＝3， ∴AB ＝AH ＋BH ＝1＋ 3. 20．(1)证明：∵∠1＝∠2，∴AD ︵＝DC ︵，∴AD ＝DC . ∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠BAD ＋∠BCD ＝180°， ∵∠ECD ＋∠BCD ＝180°， ∴∠BAD ＝∠ECD . 在△ABD 和△CED 中，⎩⎨⎧AD ＝CD ，∠BAD ＝∠ECD ，AB ＝CE ，∴△ABD ≌△CED ，∴BD ＝ED . (2)解：过点D 作DM ⊥BE 于M ，如图．(第20题)∵BC＝7，CE＝AB＝5，∴BE＝BC＋EC＝12，∵BD＝ED，DM⊥BE，∴BM＝ME＝12BE＝6，∴CM＝BC－BM＝1.∵∠ABC＝60°，∠1＝∠2，∴∠2＝30°，∴DM＝BM·tan∠2＝6×33＝2 3，∴tan∠DCB＝DMCM＝2 3.21．解：(1)根据题意知y＝(x－30)[160－10(x－42)]＝－10x2＋880x－17 400(42≤x<58)．(2)y＝－10x2＋880x－17 400＝－10(x－44)2＋1 960.∵－10＜0，42≤x<58，∴当x＝44时，y取得最大值，最大值为1 960.答：当每个售价为44元时，每周的销售利润最大．(3)令y＝1 600，则－10(x－44)2＋1 960＝1 600，解得x＝50或x＝38(不合题意，舍去)．答：这周每个额温枪的售价为50元．五、22.(1)证明：过点O作OH⊥CD于点H，如图，则∠CHO＝90°，∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90°，∴∠CHO＝∠CBO.∵CO平分∠BCD，∴∠HCO＝∠BCO，又∵OC＝OC，∴△CHO≌△CBO，∴OH＝OB，∴CD是⊙O的切线．(2)证明：∵AD是⊙O的切线，∴∠DAO＝90°. 在Rt△DAO和Rt△DHO中，AO＝HO，DO＝DO，∴Rt△DAO≌Rt△DHO，∴∠AOD＝∠HOD.∵△CHO≌△CBO，∴∠COH＝∠COB.∵∠AOH＋∠BOH＝180°，∴∠DOH＋∠COH＝90°，∴∠DOC＝90°，即OC⊥OD.(3)解：延长CD交BA的延长线于点F，如图．(第22题)∵∠OHC＝∠OBC＝90°，∴易得∠FOH＝∠DCB，∵sin∠BCD＝2 3，∴sin∠FOH＝FHFO＝2 3，∴可设FH＝2m，FO＝3m，∵OH＝2，∴(3m)2－(2m)2＝22，解得m＝2 55(负值已舍去)，∴FH＝4 55，FO＝6 55.∵∠FHO ＝∠FBC ＝90°，∠F ＝∠F ，∴△FOH ∽△FCB ，∴OH ∶FO ＝BC ∶FC ，∴易得2 ∶6 55＝BC ∶⎝⎛⎭⎪⎫BC ＋4 55，解得BC ＝3＋5，∴tan ∠BOC ＝BC OB ＝3＋52.23．解：(1)∵AB ＝OA ＋OB ＝8，OA ＝3OB ，∴OB ＝2，OA ＝6，∴A (－6，0)，B (2，0)．将点A ，B 的坐标代入y ＝ax 2＋bx －6，得⎩⎨⎧36a －6b －6＝0，4a ＋2b －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝2.∴y ＝12x 2＋2x －6.(2)6 2(3)令x ＝0，则y ＝－6，∴C (0，－6)．设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋m ，将点A ，C 的坐标代入，得⎩⎨⎧－6k ＋m ＝0，m ＝－6，解得⎩⎨⎧k ＝－1，m ＝－6.∴y ＝－x －6.设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，12t 2＋2t －6，其中－6<t <0，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12t 2－2t ，12t 2＋2t －6， ∴PE ＝－12t 2－2t －t ＝－12t 2－3t ＝－12(t ＋3)2＋92，∴当t ＝－3时，PE 取得最大值92.即PE的最大值为9 2.(4)点N的坐标为(－2，17－3)或(－2，－17－3)．。

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》寒假自主达标测试(附答案)

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》寒假自主达标测试（附答案）一．选择题（共10小题，满分50分）1．函数y＝x2﹣6x+9向左平移m个单位后其图象恰好经过坐标原点，则m的值为（）A．﹣3B．﹣1C．3D．﹣1或32．如图，抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝kx+m的交点为A（1，﹣3），B（6，1）．当y1＞y2时，x的取值范围是（）A．1＜x＜6B．﹣3＜x＜1C．x＜﹣3或x＞1D．x＜1或x＞6 3．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝60t ﹣1.5t2，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来（）A．10s B．20s C．30s D．40s4．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为（5，0），点B的坐标为B（m，m）．若m＞0，△OAB的面积为，过A、B、O三点的抛物线上有异于A、B、O的一点M，点M的坐标为M（a，3），则a的值为（）A．2B．3C．4D．55．在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y＝﹣x2﹣（3m+n）x+n 关于x轴对称，则符合条件的m，n的值为（）A．m＝，n＝B．m＝5，n＝﹣6C．m＝﹣1，n＝6D．m＝1，n＝﹣26．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②b2＜4ac；③9a+3b+c＜0；④2c＜3b．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．正方形ABCD中，AB＝4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP＝PF，则△APF的面积最大值为（）A．8B．6C．4D．28．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣1，0）和（0，﹣1）两点，则抛物线y＝cx2+bx+a 的图象大致为（）A．B．C．D．9．已知二次函数y＝2x2﹣8x+6的图象交x轴于A，B两点．若其图象上有且只有P1，P2，P3三点满足＝＝＝m，则m的值是（）A．1B．C．2D．410．若点A（m﹣1，y1），B（m，y2）都在二次函数y＝ax2+4ax+3（a＜0）的图象上，且y1＞y2，则m的取值范围是（）A．m≤﹣1B．m≥﹣1C．m＜﹣D．m＞﹣二．填空题（共6小题，满分,30分）11．如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，则△ABC的面积为．12．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点是（3，0），则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根是．13．如图，单孔拱桥的形状近似抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度OA为12m，拱桥的最高点B到水面OA的距离为6m．则抛物线的解析式为．14．为了在体育中考中取得更好的成绩，小明积极训练，体育老师对小明投掷铅球的录像进行技术分析，如图，发现铅球在行进过程中高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y＝﹣（x﹣2）2+2，由此可知小明此次投掷的成绩是m．15．如图，P是抛物线y＝x2﹣2x﹣3在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为．16．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）中，4a﹣b＝0，a﹣b+c＞0，抛物线与x轴的两交点之间的距离小于2，且经过点（0，3）．下列四个结论：①对称轴为直线x＝﹣2；②若点（m﹣2，y1）和（n﹣2，y2）在抛物线上，且m＞n，则y1＞y2；③一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根在﹣2和﹣3之间；④0＜a＜1；其中结论正确结论是（填写序号）．三．解答题（共4小题，满分40分）17．已知关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）二次函数y＝x2+x﹣m的部分图象如图所示，求一元二次方程x2+x﹣m＝0的解．18．已知抛物线：y＝x2﹣2x﹣3，抛物线图象与x轴交于A，B两点（点B在点A的右边）．（1）求A，B两点间的距离及抛物线的顶点坐标．（2）若将该抛物线沿垂直方向向上平移1个单位，再沿水平方向向右平移若干个单位后，新的抛物线刚好经过点B．求平移后新的抛物线表达式．19．近期多次出现进口冷冻牛肉外包装新冠病毒核酸呈阳性，国内的新鲜牛肉价格出现了大幅度涨价．某牛肉摊位购进一批国产新鲜牛肉，进价为每千克40元，物价部门规定其销售价不低于成本价且不高于成本价的2倍．经试销发现，日销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）符合如图所示的一次函数关系：（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若在销售过程中每天还要支付其他费用300元，当销售单价为多少时，该批国产新鲜牛肉的日获利最大？最大获利是多少元？20．如图，点A、B在y＝x2的图象上．已知A、B的横坐标分别为﹣2、4，直线AB与y 轴交于点C，连接OA、OB．（1）求直线AB的函数表达式；（2）求△AOB的面积；（3）若函数y＝x2的图象上存在点P，使△P AB的面积等于△AOB的面积的一半，则这样的点P共有个．参考答案一．选择题（共10小题，满分50分）1．解：∵y＝x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，∴向左平移m个单位后的函数解析式为y＝（x﹣3+m）2，∵函数图象经过坐标原点，∴（0﹣3+m）2＝0，解得m＝3．故选：C．2．解：∵二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝kx+m的交点A、B的坐标分别为（1，﹣3）、（6，1），∴当y1＞y2时，x的取值范围是x＜1或x＞6，故选：D．3．解：∵a＝﹣1.5＜0，∴函数有最大值，当t＝﹣＝﹣＝20（秒），即飞机着陆后滑行20秒能停下来，故选：B．4．解：∵点A的坐标为（5，0），∴OA＝5，∵点B的坐标为B（m，m），且m＞0，△OAB的面积为，∴＝．∴m＝3，∴B（3，3），∵抛物线经过原点和点A（5，0），∴抛物线对称轴为直线x＝，∵点M（a，3），∴＝，∴a＝2，故选：A．5．解：∵抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y＝﹣x2﹣（3m+n）x+n关于x轴对称，∴﹣y＝x2+（3m+n）x﹣n，∴x2+（3m+2n）x﹣n＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4，∴，解得，故选：B．6．解：①函数对称轴在y轴右侧，则ab＜0，c＞0，故①错误，不符合题意；②抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，所以b2＞4ac，故②错误，不符合题意；③x＝3时，y＝9a+3b+c＜0，故正确，符合题意；④函数的对称轴为：x＝1，故b＝﹣2a，而由②知：b＞a+c，故2c＜3b正确，符合题意；故选：B．7．解：作PM⊥AD与M，∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠ADB＝45°，∴△PDM是等腰直角三角形，∴PM＝DM，设PM＝DM＝x，则AM＝4﹣x，∵AP＝PF，∴AM＝FM＝4﹣x，∴AF＝2（4﹣x），∵S△APF＝AF•PM，∴S△APF＝×2（4﹣x）•x＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴当x＝2时，S△APF有最大值4，故选：C．8．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣1，0）和（0，﹣1）两点，∴开口向上，对称轴在y轴的右侧，∴a﹣b+c＝0，a＞0，b＜0，c＝﹣1，∴抛物线y＝cx2+bx+a的开口向下，对称轴直线x＝﹣＜0，交y轴正半轴，当x＝﹣1时，y＝c﹣b+a＝0，∴抛物线y＝cx2+bx+a经过点（﹣1，0），故选：B．9．解：∵二次函数y＝2x2﹣8x+6的图象上有且只有P1，P2，P3三点满足＝＝＝m，∴三点中必有一点在二次函数y＝2x2﹣8x+6的顶点上，∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2＝2（x﹣1）（x﹣3），∴二次函数y＝2x2﹣8x+6的图象的顶点坐标为（2，﹣2），令y＝0，则2（x﹣1）（x﹣3）＝0，解得x＝1或x＝3，∴与x轴的交点为（1，0），（3，0），∴AB＝3﹣1＝2，∴m＝＝2．故选：C．10．解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，∵m﹣1＜m，y1＞y2，∴当点A（m﹣1，y1）和B（m，y2）在直线x＝﹣2的右侧，则m﹣1≥﹣2，解得m≥﹣1；当点A（m﹣1，y1）和B（m，y2）在直线x＝﹣2的两侧，则﹣2﹣（m﹣1）＜m﹣（﹣2），解得m＞﹣；综上所述，m的范围为m＞﹣．故选：D．二．填空题（共6小题，满分30分）11．解：∵抛物线y＝﹣x2﹣x+，∴当y＝0时，x1＝﹣3，x2＝1，当x＝0时，y＝，∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，），∴AB＝1﹣（﹣3）＝1+3＝4，OC＝，∴△ABC的面积为：＝3，故答案为：3．12．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点是（3，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为x＝3或x＝﹣1．故答案为：x＝3或x＝﹣1．13．解：∵水面宽度OA为12m，拱桥的最高点B到水面OA的距离为6m．∴B（6，6），A（12，0），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+6，∴y＝a（12﹣6）2+6，∴0＝a•62+6，解得a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣6）2+6；故答案为：y＝﹣（x﹣6）2+6．14．解：由题意，得当y＝0时，﹣（x﹣2）2+2＝0，化简，得：（x﹣2）2＝25，解得：x1＝7，x2＝﹣3（舍去），故答案为：7．15．解：设P（x，x2﹣2x﹣3），∵过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，∴四边形OAPB为矩形，∴四边形OAPB周长＝2P A+2OA＝﹣2（x2﹣2x﹣3）+2x＝﹣2x2+6x+6＝﹣2（x2﹣3x）+6，＝﹣2+．∴当x＝时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为．故答案为．16．解：①∵4a﹣b＝0，∴b＝4a，对称轴是直线：x＝﹣＝﹣＝﹣2，所以①正确，符合题意；②∵m＞n，∴m﹣2＞n﹣2，只能确定出m﹣2和n﹣2的大小关系，即横坐标的大小关系，而要进一步确定纵坐标y1，y2，的大小关系，是必须知道横坐标与对称轴的关系，而题目中没办法给出在对称轴的同侧还是异侧，若都在对称轴的左侧故②错误，不合题意；③由①知，对称轴是直线x＝﹣2，抛物线与x轴的两交点就是在点（﹣2，0）左右两侧，且关于直线x＝﹣2对称，又知道抛物线与x轴的两交点之间的距离小于2，所以一个根在﹣2和﹣3之间，另一个根在﹣2和﹣1之间，所以③正确，符合题意；④，解得＜a＜1，故④错误，不合题意．故答案是：①③．三．解答题（共4小题，满分40分）17．解：（1）∵一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，即1+4m＞0，∴m＞﹣；（2）二次函数y＝x2+x﹣m图象的对称轴为直线x＝﹣，∴抛物线与x轴两个交点关于直线x＝﹣对称，由图可知抛物线与x轴一个交点为（1，0），∴另一个交点为（﹣2，0），∴一元二次方程x2+x﹣m＝0的解为x1＝1，x2＝﹣2．18．解：（1）由x2﹣2x﹣3＝0，得：x＝﹣1或＝3，∴AB＝|﹣1﹣3|＝4，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点坐标为（1，﹣4）；（2）设新抛物线表达式：y＝（x﹣m）2﹣3，把（3，0）代入得：m＝3±，∴新抛物线表达式：y＝（x﹣3+）2﹣3或y＝（x﹣3﹣）2﹣3．19．解：（1）设一次函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由图象可得，当x＝50时，y＝180；x＝70时，y＝140，∴，解得：，销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，40≤x≤80，∴y与x之间的关系式为：y＝﹣2x+280（40≤x≤80）；（2）设该公司日获利为W元，由题意得W＝（x﹣40）（﹣2x+280）﹣300＝﹣2（x﹣90）2+4700，∵a＝﹣2＜0，∴抛物线开口向下，∵对称轴直线x＝90，∴当x＜90时，W随x的增大而增大，∵40≤x≤80，∴x＝80时，W有最大值，W max＝﹣2×（80﹣90）2+4700＝4500，故当销售单价为每千克80元时，日获利最大，最大获利为4500元．20．解：（1）∵点A、B在y＝x2的图象上，A、B的横坐标分别为﹣2、4，∴A（﹣2，1），B（4，4），设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝+2；（2）在y＝+2中，令x＝0，则y＝2，∴C的坐标为（0，2），∴OC＝2，∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝+＝6．（3）过OC的中点，作AB的平行线交抛物线两个交点P1、P2，此时△P1AB的面积和△P2AB的面积等于△AOB的面积的一半，作直线P1P2关于直线AB的对称直线，交抛物线两个交点P3、P4，此时△P3AB的面积和△P4AB的面积等于△AOB的面积的一半，所以这样的点P共有4个，故答案为4．。

2023年春学期北师大版九年级数学下册第二章【二次函数】检测卷附答案解析

2023年春学期九年级数学下册第二章【二次函数】检测卷一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分)1．抛物线2y ax bx c =++经过点()1,0-、()3,0，且与y 轴交于点()0,5-，则当2x =时，y 的值为（）A ．5-B ．3-C ．1-D ．52．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线呈抛物线形，羽毛球距地面的高度()m y 与水平距离()m x 之间的关系如图所示，点B 为落地点，且1m OA =，4m OB =，羽毛球到达的最高点到y 轴的距离为3m 2，那么羽毛球到达最高点时离地面的高度为（）A ．25m 4B ．9m 4C ．3m2D ．25m 163．二次函数222=++y x x 的图象的对称轴是（）A ．=1x -B ．2x =-C ．1x =D ．2x =4．已知二次函数()20y ax bx c a =+-≠，其中0b >、0c >，则该函数的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．5．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为2x =-，下列结论正确的是（）A ．a<0B ．0c >C ．当<2x -时，y 随x 的增大而减小D ．当2x >-时，y 随x 的增大而减小6．已知抛物线22()1y x =-+，下列结论错误的是（）A ．抛物线开口向上B ．抛物线的对称轴为直线2x =C ．抛物线的顶点坐标为(2,1)D ．当2x <时，y 随x 的增大而增大7．关于二次函数22(4)6y x =-+的最大值或最小值，下列说法正确的是（）A ．有最大值4B ．有最小值4C ．有最大值6D ．有最小值68．抛物线y ＝x 2+3上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若y 1＜y 2，则下列结论正确的是()A ．0≤x 1＜x 2B ．x 2＜x 1≤0C ．x 2＜x 1≤0或0≤x 1＜x 2D ．以上都不对9．如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O ，B ，以点O 为原点，水平直线OB 为x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y =-0.01（x -20）2+4，桥拱与桥墩AC 的交点C 恰好位于水面，且AC ⊥x 轴，若OA =5米，则桥面离水面的高度AC 为（）A ．5米B ．4米C ．2.25米D ．1.25米10．下表中列出的是一个二次函数的自变量x 与函数y 的几组对应值：x …-2013…y …6-4-6-4…下列各选项中，正确的是A ．这个函数的图象开口向下B ．这个函数的图象与x 轴无交点C ．这个函数的最小值小于-6D ．当1x >时，y 的值随x 值的增大而增大11．用配方法将二次函数21242y x x =--化为2()y a x h k =-+的形式为（）A ．21(2)42y x =--B ．21(1)32y x =--C ．21(2)52y x =--D ．21(2)62y x =--12．向空中发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 米，且时间与高度的函数表达式为()20y ax bx c a =++≠，若此炮弹在第6秒与第13秒时的高度相等，则下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A ．第7秒B ．第9秒C ．第11秒D ．第13秒二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分)13．某快餐店销售A 、B 两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A 种快餐的利润，同时提高每份B 种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A 种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B 种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．14．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的一边AB 在x 轴上，顶点B 在x 轴正半轴上．若抛物线y ＝x 2﹣5x +4经过点C 、D ，则点B 的坐标为______．15．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点(2,0)-，对称轴为直线12x =-．对于下列结论：①<0abc ；②240b ac ->；③0a b c ++=；④21(2)4am bm a b +<-（其中12m ≠-）；⑤若()11,A x y 和()22,B x y 均在该函数图象上，且121x x >>，则12y y >．其中正确结论的个数共有_______个．16．二次函数23y ax ax c =-+（a<0，a ，c 均为常数）的图象经过()12A y -，、()22B y ，、()30C y ，三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是_____．17．如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是21251233y x x =-++，则铅球推出的水平距离OA 的长是_____m ．18．抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，其与x 轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x ＝﹣1，则当y ＜0时，x 的取值范围是_____．19．如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线20.2 2.25y x x =-++运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m ，则他距篮筐中心的水平距离OH 是_________m ．20．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在正常水位的情况下，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．则当水位下降m=________时，水面宽为5m ？三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分)21．如图，隧道的截面由抛物线DEC 和矩形ABCD 构成，矩形的长AB 为4m ，宽BC 为3m ，以DC 所在的直线为x 轴，线段CD 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系．y 轴是抛物线的对称轴，最高点E 到地面距离为4米．(1)求出抛物线的解析式．(2)在距离地面134米高处，隧道的宽度是多少？(3)如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高3.6米，宽2.4米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．22．2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x 轴，过跳台终点A 作水平线的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线2117C :1126y x x =-++近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O 正上方4米处的A 点滑出，滑出后沿一段抛物线221:8C y x bx c =-++运动．（1）当运动员运动到离A 处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线2C 的函数解析式（不要求写出自变量x 的取值范围）；（2）在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b 的取值范围．23．如图，抛物线y ＝x 2+x ﹣2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求点A ，点B 和点C 的坐标；（2）抛物线的对称轴上有一动点P ，求PB +PC 的值最小时的点P 的坐标．24．李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．(1)请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；(2)若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？25．如图，抛物线的顶点为A(h，－1)，与y轴交于点B1(0,)2 ，点F(2，1)为其对称轴上的一个定点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知直线l是过点C(0，－3)且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P(m，n)到直线l的距离为d，求证：PF＝d；（3）已知坐标平面内的点D(4，3)，请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时 DFQ周长的最小值及点Q的坐标．参考答案：1．A2．D3．A4．C5．C6．D7．D8．D9．C10．C11．D12．B13．126414．（2，0）15．316．132y y y <<17．1018．﹣3＜x ＜119．420．1.12521．(1)2114y x =-+(2)23(3)能通过22．（1）213482y x x =-++；（2）12米；（3）3524b ≥．23．（1）A （﹣2，0），B （1，0），C （0，﹣2）．（2）P （12-，12-）24．(1)0.28.4y x =-+(110x ≤≤且x 为整数)．(2)李大爷每天应购进这种水果7箱，获得的利润最大，最大利润是140元．25．（1）()21218y x =--；（2）1（3）26，14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭。

2022-2023学年北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》解答压轴题优生辅导训练(附答案)

2022-2023学年北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》解答压轴题优生辅导训练（附答案）1．如图1所示，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，与y轴的交点为点A（0，2），且过点．（1）求抛物线y＝ax2+bx+c的表达式；（2）连接AB．若抛物线的对称轴上存在两点C，D（点D位于点C下方），使△ABC和△ABD均是以AB为斜边的直角三角形，求点C和点D的坐标；（3）在（2）的条件下，如图2所示，点P是线段AB上一点，连接DP．一动点Q从D 点出发沿D→P→B运动，至点B时停止．如果点Q在DP上的运动速度与点Q在PB上的运动速度之比为，要使点Q在整个运动过程中用时最少，求点P的坐标．2．如图1，已知抛物线y＝﹣x2+x与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E．（1）求线段DE的长度；（2）如图2，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为直线PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的最大值是多少；（3）在（2）问的条件下，将得到的△CFP沿直线AE平移得到△C′F′P′，将△C′F′P′沿C′P′翻折得到△C′P′F″，记在平移过称中，直线F′P′与x轴交于点K，当△F′F″K为等腰三角形，直接写出OK的值．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A（1，0）、C，交y轴于点B（0，3）．（1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的对称轴与x轴的交点为D，点E在该抛物线的对称轴上，若以点A、D、E所组成的三角形与△AOB相似（相似比不为1），求点E的坐标．4．已知一个二次函数的图象经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）三点，顶点为D．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求经过A、D两点的直线的表达式；（3）设P为直线AD上一点，且以A、P、C、B为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标．5．已知抛物线L：y＝x2﹣4x+2，其顶点为C．（1）求点C的坐标；（2）若M为抛物线L上一点，抛物线L关于点M所在直线x＝m对称的抛物线为L'，点C的对应点为C'，在抛物线L上是否存在点M，使得△CMC′为等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求二次函数的表达式及顶点坐标；（2）连接BC，在抛物线的对称轴上是否存在一点E，使△BCE是直角三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，抛物线y＝ax2+2x+c与直线y＝kx+b交于点A（3，0）和B（0，3），点D是抛物线上的动点，过点D作DE⊥AB于点E，交x轴于点F，连接BF．（1）求抛物线的解析式：（2）当点D在第一象限且S△BEF＝2S△AEF时，求点D的坐标；（3）连接AD，在抛物线上是否存在点D，使tan∠DAE＝，若存在，请直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．8．已知抛物线y＝x2﹣2mx+2m+1．（1）写出抛物线y＝x2﹣2mx+2m+1的顶点坐标（用含m的式子表示）．（2）当x≥1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是．（3）当﹣1≤x≤2时，函数y＝x2﹣2mx+2m+1的图象记为G，设图象G的最低点的纵坐标为y0．当y0＝﹣1时，求m的值．（4）当m＞0时，分别过点A（2，1）、B（2，4）作y轴垂线，垂足分别为点D、点C，抛物线在矩形ABCD内部的图象（包括边界）的最低点到直线y＝﹣2的距离等于最高点到x轴的距离，直接写出m的值．9．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线+bx+c 经过点A，B，且与x轴交于点C，连接BC．（1）求b，c的值．（2）点P为线段AC上一动点（不与点A，C重合），过点P作直线PD∥AB，交BC于点D，连接PB，设PC＝t，△PBD的面积为S．求S关于t的函数关系式，并求出S的最大值．（3）若点M在抛物线的对称轴上运动，点N在x轴运动，当以点B，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，称这样的点N为“美丽点”．请直接写出“美丽点”N的坐标．10．如图1，已知抛物线y＝x2﹣4mx+4m2+2m﹣4（m是常数）的顶点为P，直线l：y＝x﹣4．（1）求证：点P在直线l上；（2）已知直线l与抛物线的另一个交点为Q，当以O、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形时，求m的值；（3）如图2，当m＝0时，抛物线交x轴于A、B两点，M、N在抛物线上，满足MA⊥NA，判断MN是否恒过一定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由．11．如图，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx﹣2过点B（﹣2，2），点C是直线OB与抛物线的另一个交点，且点B与点C关于原点对称．（1）求抛物线的解析式；（2）P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为点Q．①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；②若点P的横坐标为t（﹣2＜t＜2），当t为何值时，四边形PBQC面积最大，说明理由．12．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，﹣2）、B（8，﹣2）两点，点C为抛物线的对称轴与x轴的交点，连接AC、AB．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点E在AB下方的抛物线上，过点E作EF⊥AB于点F，连接AE，是否存在点E，使得△AEF与△AOC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B，与y轴正半轴交于C，OB＝OC＝3OA．（1）求这条抛物线的解析式．（2）如图1，在抛物线对称轴上求一点P，使CP⊥BP．（3）如图2，若点E在抛物线对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使以B，C，E，F 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．14．已知二次函数解析式为y＝x﹣1（a≠0），该抛物线与y轴交于点A，其顶点记为B，点A关于抛物线对称轴的对称点记为C．已知点D在抛物线上，且点D的横坐标为2，DE⊥y轴交抛物线于点E．（1）求点D的纵坐标．（2）当△ABC是等腰直角三角形时，求出a的值．（3）当0≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为2时，求a的取值范围．（4）设点R（a﹣3，﹣1），点A、R关于直线DE的对称点分别为N、M，当抛物线在以A、R、M、N为顶点的四边形内部的图象中，y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出a的取值范围．15．已知抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）的对称轴是直线x＝，且与x轴交于A、B（4，0）两点，与y轴交于C点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，设点D是线段BC上的一动点，过D作x轴的垂线，交抛物线于E，当线段DE的长度最大时，判断此时四边形OCDE的形状并说明理由；（3）如图2，设P是抛物线上且位于直线BC上方的点，求△BCP面积的最大值．16．已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）点D（m，0）是x轴上一动点，且m＜3，过点D作直线l⊥x轴交直线BC于点E，交抛物线于点P，过点P作PH⊥BC于点H．当△BDE与△PHE全等时，求点P的坐标．17．如图，抛物线与x轴交于A和B两点（点B位于点A右侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x＝2，且OA＝1，OC＝3，连接AC，BC．（1）求此抛物线的函数解析式；（2）设抛物线的顶点为点P，请在x轴上找到一个点D，使以点P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似？18．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a，b是常数，a≠0）的图象经过点，，与y轴交于点C，点P（m，n）．（Ⅰ）求抛物线解析式和点C的坐标；（Ⅱ）过点作直线l⊥y轴，将抛物线向上平移，顶点E落在直线l上，若P 为抛物线一点，平移后对应点为P'，当DP＝DP'时，求P点坐标；（Ⅲ）若点P（m，n）为抛物线对称轴上一动点，连接P A，PC，若∠APC不小于60°，求n的取值范围．19．平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣a（a＜0）交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点D，直线l：y＝kx+b与抛物线交于点C．（1）若C（﹣，﹣），直线l过点B．①连接DC，BC，求△DCB的面积；②抛物线上两点M，N，点M在点N的左侧，且都在直线l上方，MG⊥直线l于点G，NH⊥直线l于点H，当四边形MGHN是正方形时，求点N的横坐标；（2）已知点Q（0，﹣2a），连接QA，QB，直线l交QA，QB分别于点E，F，且直线l 与抛物线只有一个公共点C，若此时QE+QF＝3，求a的值．20．如图，在平面直角坐标系中，将抛物线C1：y＝﹣（其中m为常数，且m＜0）关于原点对称得到抛物线C2，抛物线C1，C2的顶点分别为M，N．（1）请直接写出抛物线C2的表达式；（用含有m的式子表示）（2）若抛物线C1与x轴的交点从左到右依次为A，B，抛物线C2与x轴的交点从左到右依次为C，D．①若A，B，C，D四点从左到右依次排列，且AD＝3BC，求m的值；②是否存在这样的m，使以点M，A，N，D为顶点的四边形是矩形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由；（3）在抛物线C1对称轴右侧的部分任取一点G，设直线MG，NG分别与y轴相交于P，Q两点，且GM＝pGP，GN＝qGQ，求p﹣q的值．参考答案1．解：（1）∵函数y轴的交点为点A（0，2），∴c＝2，∵抛物线的对称轴为x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴y＝ax2﹣2ax+2，将点代入y＝ax2﹣2ax+2，∴＝a﹣5a+2，解得a＝2，∴y＝2x2﹣4x+2；（2）∵y＝2x2﹣4x+2＝2（x﹣1）2，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，设C（1，m），D（1，n），∵A（0，2），点，∴AB＝，AB的中点H（，），∵△ABC和△ABD均是以AB为斜边的直角三角形，∴CH＝DH＝AB，∴＝，解得m＝5或m＝，∵点D位于点C下方，∴D（1，），C（1，5）；（3）过点P作PQ⊥BC于Q，∵A（0，2），，C（1，5），∴AC＝，AB＝，BC＝，∵AC⊥BC，∴PQ∥AC，∴＝，即＝，∴PQ＝2BQ，∴tan∠PBQ＝2，BP＝BQ，sin∠PBQ＝，∵点Q在DP上的运动速度与点Q在PB上的运动速度之比为，∴设Q点在DP上的运动时间为t，在PB上的运动时间为k，∴DP＝2t，PB＝k，∴PQ＝BP•sin∠PBQ＝k•＝2k，∴从P点到B所用的时间与从P点到Q点所用的时间相同，∴当D、P、Q三点共线时，PD+PQ的路程最短，用时间也最短，∴PD+PQ＝2t+2k＝2（t+k），设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝3x+2，∵AC∥DQ，∴设DQ的解析式为y＝3x+b'，∴3+b'＝，解得b'＝﹣，∴y＝3x﹣，设直线AB的解析式为y＝k'x+b''，∴，解得，∴y＝x+2，联立方程组，解得，∴P（，）．2．解：（1）令x＝0，则y＝，∴C（0，），∴CO＝，∵y＝﹣x2+x＝﹣（x﹣1）2+，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∴D（2，），∵DH⊥x轴，∴H（2，0），令y＝0，则﹣x2+x＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴OA＝1，∵AE⊥AC，∴∠CAO+∠OAE＝90°，∠CAO+∠ACO＝90°，∴∠OAE＝∠ACO，∴＝，即＝，∴HE＝，∴DE＝2；（2）如图1，作C点关于直线DE的对称点H，作C点关于直线AE的对称点G，连接GH交AE于点F，交DE于点P，连接CP，CF，∴CP＝PH，CF＝GF，∴CF+PF+CP＝GF+PF+PH＝GH，∴当G、F、P、H四点共线时，△CPF的周长最小，∵C（0，），D（2，），∴H（4，），∵A（﹣1，0），∴G（﹣2，﹣），设直线GH的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x﹣，设直线AE的解析式为y＝k'x+b'，∴，解得，∴y＝﹣x﹣，联立方程组，解得，∴F（0，﹣），∴P（2，），过点M作y轴的平行线交GN于点Q，设M（m，﹣m2+m），则Q（m，m﹣），∴MQ＝﹣m2+m+，∴S△MPF＝×2×（﹣m2+m+）＝﹣（m﹣）2+，∵0＜t＜2，∴t＝时，△PMF的面积有最大值；（3）由（2）可得CF＝，CP＝，∵OC＝，OA＝1，∴∠OCA＝30°，∴∠CFP＝60°，∴△CFP是等边三角形，边长为，∴翻折后形成边长为的菱形C'F'P'F''，且F'F''＝4，①当KF'＝KF''时，如图2，点K在F'F''的垂直平分线上，∴K与B重合，∴K（3，0），∴OK＝3；②当F'F''＝F'K时，如图3，如图4，∴F'F''＝F'K＝4，∵PF的解析式为y＝x﹣，∴在平移的过程中，F'K与x轴的夹角为30°，∵∠OAF＝30°，∴F'K＝F'A，∴AK＝4，∴OK＝4﹣1或OK＝4+1；③当F'F''＝F''K时，如图5，∵在平移的过程中，F'F''始终与x轴的夹角为60°，∵∠OAF＝30°，∴∠AF'F''＝90°，∵F'F''＝F''K＝4，∴AF''＝8，∴AK＝12，∴OK＝11；综上所述：OK的值为3或11或4﹣1或4+1．3．解：（1）将点A（1，0）、B（0，3）代入y＝x2+bx+c，∴，解得，∴y＝x2﹣4x+3；（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，∴D（2，0），设E（2，t），∴DE＝|t|，AD＝1，∵A（1，0）、B（0，3），∴OA＝1，OB＝3，∴tan∠OBA＝，当∠OBA＝∠AED时，＝＝，解得t＝3或t＝﹣3，当t＝±3时，DE＝OB＝3，AD＝OA＝1，∴△AOB≌△ADE，∴此时E不存在；当∠OBA＝∠EAD时，＝＝，解得t＝或t＝﹣，∴E（2，）或（2，﹣）；综上所述：E点的坐标为（2，）或（2，﹣）．4．解：（1）设y＝ax2+bx+c，将点A（1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，∴，解得，∴y＝﹣x2+4x﹣3；（2）∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴D（2，1），设直线AD的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x﹣1；（3）设P（t，t﹣1），①当AB为平行四边形的对角线时，t＝1+3＝4，∴P（4，3）；②当AC为平行四边形的对角线时，1＝3+t，∴t＝﹣2，∴P（﹣2，﹣3）；③当AP为平行四边形的对角线时，t+1＝3，∴t＝2，∴P（2，1），此时﹣3+0≠1+0，∴P（2，1）不符合题意；综上所述：P点的坐标为（4，3）或（﹣2，﹣3）．5．解：（1）∵y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2，∴顶点C（2，﹣2）；（2）存在点M，使得△CMC′为等腰直角三角形，理由如下：∵M点在直线x＝m上，∴M（m，m2﹣4m+2），∵C（2，﹣2），∴C'（2m﹣2，﹣2），∵C点与C'点关于x＝m对称，∴CM＝C'M，过点M作EF∥x轴，过点C作CE⊥EF交于点E，过点C'作C'F⊥EF交于点F，∴∠EMC+∠FMC'＝90°，∵∠EMC+∠ECM＝90°，∴∠FMC'＝∠ECM，∴△ECM≌△FMC'（AAS），∴EM＝C'F，EC＝MF，∵△CMC′为等腰直角三角形，∴EM＝MF＝CE＝C'F，∵EM＝|m﹣2|，CE＝m2﹣4m+2+2，∴|m﹣2|＝m2﹣4m+2+2，解得m＝2（舍）或m＝3或m＝1，∴M（3，﹣1）或（1，﹣1）．6．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），将点C（0，3）代入y＝a（x﹣1）（x﹣3），∴3a＝3，∴a＝1，∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴顶点为（2，﹣1）；（2）存在一点E，使△BCE是直角三角形，理由如下：∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，设E（2，t），∵△BCE是直角三角形，∴BE⊥CE，∵B（3，0），C（0，3），∴BC＝3，BE＝，CE＝，①当BC为斜边时，∴18＝（）2+（）2，解得t＝，∴E点坐标为（2，）或（2，）；②当BE为斜边时，∴18+（）2＝（）2，解得t＝5，∴E点坐标为（2，5）；③当CE为斜边时，∴18+（）2＝（）2，解得t＝﹣1，∴E点坐标为（2，﹣1）；综上所述：E点坐标为（2，）或（2，）或（2，5）或（2，﹣1）．7．解：（1）将点A（3，0）和B（0，3）代入y＝ax2+2x+c，∴，解得，∴y＝﹣x2+2x+3；（2）∵A（3，0）和B（0，3），∴OA＝OB＝3，∴∠BAO＝45°，∵DF⊥AB，∴EF＝AE，∵AB＝3，S△BEF＝2S△AEF，∴AE＝，∴AF＝2，∴F（1，0），∴E（2，1），∴设直线DF的解析式为y＝k'x+b'，∴，解得，∴y＝x﹣1，联立方程组，解得x＝或x＝，∵点D在第一象限，∴x＝，∴D（，）；（3）存在点D，使tan∠DAE＝，理由如下：设D（m，﹣m2+2m+3），∴DF的解析式为y＝x﹣m2+m+3，联立方程组，解得x＝，∴E（，），∴DE＝||，AE＝||，∵tan∠DAE＝，∴＝，解得m＝1或m＝3（舍）或m＝﹣，∴D（1，4）或D（﹣，）．8．解：（1）∵y＝x2﹣2mx+2m+1＝（x﹣m）2﹣m2+2m+1，∴顶点坐标为（m，﹣m2+2m+1）；（2）∵抛物线开口向上，∴m≤1时，y随x的增大而增大，故答案为：m≤1；（3）当m＜﹣1时，x＝﹣1，函数有最小值，∴y0＝2+4m，∵y0＝﹣1，∴2+4m＝﹣1，解得m＝﹣（舍）；当m＞2时，x＝2，函数有最小值，∴y0＝5﹣2m，∵y0＝﹣1，∴5﹣2m＝﹣1，解得m＝3；当﹣1≤m≤2时，x＝m，函数有最小值，∴y0＝﹣m2+2m+1，∵y0＝﹣1，∴﹣m2+2m+1＝﹣1，解得m＝+1（舍）或m＝﹣+1；综上所述：m的值为3或﹣+1；（4）当0＜m≤时，﹣m2+2m+1+2＝4，解得m＝1（舍）；当＜m≤1时，﹣m2+2m+1+2＝4﹣2m+1，解得m＝+2（舍）或m＝﹣+2；当1＜m≤时，﹣m2+2m+1+2＝2m+1，解得m＝或m＝﹣（舍）；当＜m≤2时，﹣m2+2m+1+2＝4，解得m＝1（舍）；当m＞2时，最高点纵坐标是4，最低点纵坐标是1，∴3≠4，∴此时不符合题意；综上所述：m的值为或2﹣．9．解：（1）令y＝0，则﹣x+＝0，解得x＝3，∴A（3，0），令x＝0，则y＝，∴B（0，），将点A（3，0），B（0，），代入+bx+c，∴，解得；（2）由（1）可得+x+，令y＝0，则﹣x2+x+＝0，解得x＝3或x＝﹣2，∴C（﹣2，0），∵A（3，0），B（0，），∴AC＝5，OB＝，∴S△ABC＝××5＝，S△PBC＝××t＝t，∵PD∥AB，∴△PDC∽△ABC，∴＝（）2，即＝（）2，∴S△PCD＝t2，∴S＝S△PBC﹣S△PCD＝t﹣t2，（0＜t＜5）；∵S＝t﹣t2＝﹣（t﹣）2+，∴当t＝时，S的最大值为；（3）∵+x+＝﹣（x﹣）2+，∴抛物线的对称轴为直线x＝，设M（，m），N（n，0），B（0，），①如图1，当∠BMN＝90°，N点在x轴负半轴时，BM＝MN，过点M作KL∥y轴交x轴于点L，过点B作BK⊥KL交于K，∴∠BMK+∠NML＝90°，∵∠BMK+∠MBK＝90°，∴∠NML＝∠MBK，∴△BMK≌△MNL（AAS），∴BK＝ML，NL＝KM，∵BK＝，KM＝﹣m，ML＝m，NL＝﹣n，∴＝m，﹣m＝﹣n，∴n＝1﹣，∴N（1﹣，0）；②如图2，当∠BMN＝90°，N点在x轴正半轴时，BM＝MN，过点M作EF⊥y轴交于点E，过点N作NF⊥EF交于点F，∵∠BME+∠NMF＝90°，∠BME+∠EBM＝90°，∴∠NMF＝∠EBM，∴△BEM≌△MFN（AAS），∴EM＝NF，BE＝NF，∵BE＝﹣m，EM＝，MF＝n﹣，NF＝﹣m，∴﹣m＝n﹣，＝﹣m，∴n＝+1，∴N（+1，0）；③如图3，当∠BNM＝90°，N点在x轴的负半轴上是，BN＝MN，过点N作ST⊥x轴，过点B作BS⊥ST交于S，过点M作MT⊥ST交ST于T，∴∠SNB+∠TNM＝90°，∵∠SNB+∠SBN＝90°，∴∠TNM＝∠SBN，∴△SBN≌△TNM（AAS），∴SB＝NT，SN＝TM，∵SB＝﹣n，SN＝，NT＝﹣m，MT＝﹣n+，∴﹣n＝﹣m，＝﹣n+，∴n＝﹣，∴N（﹣，0）；④如图4，当∠BNM＝90°，N点在x轴的正半轴上是，BN＝MN，过点N作UV⊥x轴，过点B作BU⊥UV交于点U，过点M作MV⊥UV交于点V，∴∠BNU+∠MNV＝90°，∵∠BNU+∠NBU＝90°，∴∠MNV＝∠NBU，∴△BNU≌△NMV（AAS），∴BU＝VN，UN＝MV，∵BU＝n，UN＝，NV＝﹣m，MV＝n﹣，∴n＝﹣m，＝n﹣，∴n＝+，∴N（+，0）；综上所述；N点坐标为（1﹣，0）或（+1，0）或（﹣，0）或（+，0）．10．证明：（1）∵y＝x2﹣4mx+4m2+2m﹣4＝（x﹣2m）2+2m﹣4，∴顶点P（2m，2m﹣4），当x＝2m时，y＝2m﹣4，∴点P在直线l上；解：（2）联立方程组，整理得x2﹣4mx﹣x+4m2+2m＝0，∵P点在直线y＝x﹣4上，∴x＝2m是方程的一个解，∴方程的另一个解为2m+1，∴Q（2m+1，2m﹣3），∴OQ＝，QP＝，OP＝，当OP＝OQ时，＝，解得m＝；当OP＝PQ时，＝，∴m无解；当OQ＝PQ时，＝，∴m无解；综上所述：m＝；（3）∵m＝0，∴y＝x2﹣4，令y＝0，则x＝±2，∴A（2，0），B（﹣2，0），设直线MN的解析式为y＝kx+b，M（x1，﹣4），N（x2，﹣4），联立方程组，∴x2﹣kx﹣b﹣4＝0，∴x1+x2＝k，x1•x2＝﹣b﹣4，过点M作ME⊥x轴交于点E，过点N作NF⊥x轴交于点F，∵MA⊥NA，∴∠MAN＝90°，∵∠MAE+∠NAF＝90°，∠MAE+∠AME＝90°，∴∠NAF＝∠AME，∴△AME∽△NAF，∴＝，∵ME＝﹣4，NF＝﹣4，AE＝2﹣x1，AF＝x2﹣2，∴＝，∴2k﹣b+1＝0，∴y＝（1+x）b﹣x，∴当x＝﹣2时，y＝1，∴直线MN经过定点（﹣2，1）．11．解：（1）∵B（﹣2，2），点B与点C关于原点对称，∴C（2，﹣2），将点B（﹣2，2），C（2，﹣2）代入y＝ax2+bx﹣2，∴，解得，∴y＝x2﹣x﹣2；（2）①设P（t，t2﹣t﹣2），∵P、Q关于原点的对称，∴Q（﹣t，﹣t2+t+2），∵点B与点C关于原点对称，∴O是对角线PQ、BC的交点，∴PQ⊥BC，∵B（﹣2，2），∴OB2＝8，OP2＝t2+（t2﹣t﹣2）2，PB2＝（t+2）2+（t2﹣t﹣4）2，∴（t+2）2+（t2﹣t﹣4）2＝8+t2+（t2﹣t﹣2）2，∴（t+2）2﹣8﹣t2＝（t2﹣t﹣2）2﹣（t2﹣t﹣4）2，∴2t﹣2＝t2﹣2t﹣6，解得t＝﹣2+2或t＝2+2，∴P（﹣2+2，2﹣2）或（2+2，2+2）；②∵点B与点C关于原点对称，P、Q关于原点的对称，∴BC与PQ互相平分，∴四边形PBQC是平行四边形，过点P作PG∥y轴交直线BC于点G，设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x，∵P（t，t2﹣t﹣2），∴G（t，﹣t），∴PG＝﹣t﹣（t2﹣t﹣2）＝﹣t2+2，∴S△BCP＝×4×（﹣t2+2）＝﹣t2+4，∴S四边形BPCQ＝2S△BCP＝﹣2t2+8，当t＝0时，四边形PBQC面积最大为8．12．解：（1）将A（0，﹣2）、B（8，﹣2）代入y＝x2+bx+c，∴，解得，∴y＝x2﹣3x﹣2；（2）存在点E，使得△AEF与△AOC相似，理由如下：∵AE⊥EF，OC⊥OA，∴∠COA＝∠AEF，∵y＝x2﹣3x﹣2＝（x﹣4）2﹣8，∴抛物线的对称轴为直线x＝4，∴C（4，0），∴OC＝4，∵A（0，﹣2），∴OA＝2，∴tan∠OCA＝，设E（t，t2﹣3t﹣2），则F（t，﹣2），∴EF＝﹣t2+3t，AF＝t，当∠OCA＝∠AEF时，△OAC∽△F AE，∴＝，解得t＝，∴E（，﹣）；当∠F AE＝∠OCA时，△OAC∽△FEA，∴＝，解得t＝，∴E（，﹣）；综上所述：E点的坐标为（，﹣）或（，﹣）．13．解：（1）∵A（﹣1，0），∴OA＝1，∵OB＝OC＝3OA，∴BO＝3，OC＝3，∴B（3，0），C（0，3），将点A、B、C代入y＝ax2+bx+c，∴，∴，∴y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，设P（1，t），∵B（3，0），C（0，3），∴BP2＝4+t2，CP2＝1+（t﹣3）2，BC2＝18，∵CP⊥BP，∴18＝4+t2+1+（t﹣3）2，解得t＝，∴P（1，）或（1，）；（3）存在点F，使以B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：设E（1，m），F（n，﹣n2+2n+3），①当BC为平行四边形的对角线时，3＝1+n，∴n＝2，∴F（2，3）；②当BE为平行四边形的对角线时，3+1＝n，∴n＝4，∴F（4，﹣5）；③当BF为平行四边形的对角线时，3+n＝1，∴n＝﹣2，∴F（﹣2，﹣5）；综上所述：F点的坐标为（2，3）或（4，﹣5）或（﹣2，﹣5）．14．解：（1）当x＝2时，y＝﹣3，∴D（2，﹣3）；（2）令x＝0，则y＝﹣1，∴A（0，﹣1），∵y＝x﹣1＝（x﹣）2﹣，∴顶点B（，﹣），∵抛物线的对称轴为直线x＝，∴C（a+2，﹣1），∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB⊥BC，∴||＝|﹣1+|，解得a＝±2或a＝﹣，当a＝2时，B（0，1），C（0，﹣1），此时C点与A点重合，∴a＝2（舍）；∴a＝﹣2或a＝﹣；（3）∵抛物线的对称轴为直线x＝，①当＜0时，a＜﹣2，此时当x＝0时，函数有最大值﹣1，当x＝2时，函数有最小值﹣3，∴函数的最大值与最小值的差为2；②当＞2时，a＞2，此时当x＝0时，函数有最大值﹣1，当x＝2时，函数有最小值﹣3，∴函数的最大值与最小值的差为2；③当0≤≤1时，﹣2≤a＜0，此时当x＝，函数有最大值﹣，当x＝2时，函数有最小值﹣3，∵函数的最大值与最小值的差为2，∴﹣+3＝2，∴＝1，解得a＝﹣2；④当1＜≤2时，0＜a≤2，此时当x＝0时，函数有最大值﹣1，当x＝时，函数有最小值﹣，∵函数的最大值与最小值的差为2，∴﹣1+＝2，∴＝3，解得a＝2；综上所述：a≤﹣2或a≥2时，函数的最大值与最小值的差为2；（4）∵D（2，﹣3），DE⊥y轴，∴DE所在直线为y＝﹣3，∵A（0，﹣1），R（a﹣3，﹣1），∴N（0，﹣5），R（a﹣3，﹣5），当a＞0且≥a﹣3时，∴0＜a≤8，∵a﹣3＞0，∴3＜a≤8；此时抛物线在以A、R、M、N为顶点的四边形内部的图象，y随x的增大而减小；当a＞0且＜a﹣3时，解得a＞8，∵a﹣3＞0，∴a＞3，∵（a﹣3）2﹣•（a﹣3）﹣1≤﹣5，解得a≥15；此时抛物线在以A、R、M、N为顶点的四边形内部的图象，y随x的增大而减小；当a＜0时，﹣≥﹣1，解得a＜0，此时抛物线在以A、R、M、N为顶点的四边形内部的图象，y随x的增大而增大；综上所述：a≥15或a＜0或3＜a≤8时，符合题意．15．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣4的对称轴是直线x＝，∴＝﹣，∴b＝﹣5a，∴y＝ax2﹣5ax﹣4，将点B（4，0）代入y＝ax2﹣5ax﹣4，∴16a﹣20a﹣4＝0，解得a＝﹣1，∴y＝﹣x2+5x﹣4；（2）四边形OCDE是平行四边形，理由如下：令x＝0，则y＝﹣4，∴C（0，﹣4），令y＝0，则﹣x2+5x﹣4＝0，解得x＝4或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x﹣4，设D（t，t﹣4），则E（t，﹣t2+5t﹣4），∴DE＝﹣t2+5t﹣4﹣t+4＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4，∴当t＝2时，DE的长度最大为4，∴D（2，﹣2），E（2，2），∵OC＝DE＝4，DE∥OC，∴四边形OCDE是平行四边形；（3）过点P作PG∥y轴交BC于点G，设P（m，﹣m2+5m﹣4），则G（m，m﹣4），∴PG＝﹣m2+5m﹣4﹣m+4＝﹣m2+4m，∴S△BCP＝×4×（﹣m2+4m）＝﹣2m2+8m＝﹣2（m﹣2）2+8，∴当m＝2时，S△BCP的值最大为8．16．解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）两点的坐标代入抛物线y＝x2+bx+c，∴，解得．∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣．令x＝0，则y＝﹣，∴C（0，﹣）．（2）由（1）可知，OC＝，OB＝3，∴BC＝2，即BC＝2OC，∴∠OBC＝30°，∠OCB＝60°，∵DE⊥x轴，∴DE∥OC，∴∠E＝60°，∵PH⊥BC于点H，∴∠PHC＝∠BOC＝90°，∴若△BDE与△PHE全等，只需要BE＝PE即可．∵D（m，0）（m＜3），∴BD＝3﹣m，∴BE＝（3﹣m），∵PE⊥x轴，∴P（m，m2﹣m﹣），∵B（3，0），C（0，﹣），∴y＝x﹣．∴E（m，m﹣），∴PE＝|m2﹣m﹣﹣（m﹣）|＝|m2﹣m|，∴|m2﹣m|＝（3﹣m），∴m＝3（舍去）或m＝﹣2或m＝2．∴P（﹣2，）或P（2，﹣）．17．解：（1）∵抛物线的对称轴x＝2，∴设此抛物线的函数解析式为y＝a（x﹣2）2+h，∵OA＝1，OC＝3，∴A（1，0），C（0，3），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1，即y＝x2﹣4x+3；（2）∵点A（1，0），抛物线的对称轴x＝2，∴B（3，0），∴OC＝OB＝3，AB＝2，∴BC＝，∠ABC＝45°，∴∠CAB＜135°，又∠CAB是△AOC的外角，∴90°＜∠CAB＜135°，由y＝（x﹣2）2﹣1可知点P的坐标是（2，﹣1），∴∠PBO＝45°，PB＝，∴∠PBO≠∠BAC，∴点D不可能在B点右侧的x轴上，∴要使以点P、B、D为顶点的三角形与△ACB相似，则∠PBD＝∠ABC＝45°，且或，故分以下两种情况考虑：①当时，∠PBD＝∠ABC＝45°时，△PBD∽△ABC，∴，解得BD＝3，又OB＝3，∴点D与点O重合，即D1（0，0）；②当时，∠DBP＝∠ABC＝45°时，△DBP∽△ABC，∴，解得DB＝，又OB＝3，∴OD＝OB﹣DB＝3﹣＝，∴D2的坐标是（，0），综上所述，满足要求的点D的坐标是（0，0）或（，0）．18．解：（Ⅰ）将点，代入y＝ax2+bx﹣3，得，解得，∴y＝x2﹣x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3）；（Ⅱ）∵过点作直线l⊥y轴，∴直线l的解析式为y＝，∵y＝x2﹣x﹣3＝（x﹣）2﹣，∵抛物线向上平移，顶点E落在直线l上，∴平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣）2+＝x2﹣x+1，∴抛物线向上平移+＝4个单位，∵点P（m，n）平移后的点为P'（m，n+4），∵DP＝DP'，∴m2+（﹣n）2＝m2+（﹣n﹣4）2，解得n＝﹣，∴m＝2+或m＝﹣2+，∴P（2+，﹣）或（﹣2+，﹣）；（Ⅲ）∵y＝x2﹣x﹣3＝（x﹣）2﹣，∴抛物线的对称轴为直线x＝，∴P（，n），∵点，C（0，﹣3），∴AC＝2，∴∠ACO＝30°，∠CAO＝60°，作∠CAO的角平分线交y轴于点M，以M为圆心，AM为半径做圆交抛物线的对称轴于点P，连接MP，∴∠MAC＝∠MCA＝30°，∴∠AMC＝120°，∴∠APC＝60°，在Rt△AOM中，∠OAM＝30°，∴OM＝1，∴M（0，﹣1），∵MP＝CM＝2，∴+（n+1）2＝4，∴n＝﹣1或n＝﹣﹣1，∴P点坐标为（，﹣1）或（，﹣﹣1），∵∠APC不小于60°，∴﹣﹣1≤n≤﹣1．19．解：（1）①令y＝0，则ax2﹣a＝0，∴x＝﹣1或x＝1，∴A（﹣1，0），B（1，0），令x＝0，则y＝﹣a，∴D（0，﹣a），∵C（﹣，﹣），B（1，0）在直线y＝kx+b上，∴，解得，∴y＝x﹣1，∵C（﹣，﹣）在y＝ax2﹣a上，∴a﹣a＝﹣，∴a＝﹣2，∴D（0，2），∵直线y＝x﹣1与y轴的交点为（0，﹣1），∴S△BCD＝×3×（1+）＝；②∵MN∥直线l，设直线MN的解析式为y＝x+m，∵M、N在直线l的上方，∴m＞﹣1，设M（x1，﹣2x12+2），N（x2，﹣2x22+2），联立方程组，整理得2x2+x+m﹣2＝0，∴x1+x2＝﹣，x1•x2＝，∴|x1﹣x2|＝，∴MN＝＝|x1﹣x2|＝•，设直线MN与y轴的交点为T，直线l与y轴的交点为L，过点T作TK⊥直线l交于K 点，∵L（0，﹣1），B（1，0），∴∠TLK＝45°，∵TL＝m+1，∴TK＝，∵四边形MGHN是正方形，∴TK＝MN，∴•＝，解得m＝﹣5+或m＝﹣5﹣，∵m＞﹣1，∴m＝﹣5+，∴直线MN的解析式为y＝x﹣5+，∴2x2+x+﹣7＝0，解得x＝或x＝，∴N（，）；（2）联立方程组，整理得ax2﹣kx﹣a﹣b＝0，∵直线l与抛物线只有一个公共点，∴Δ＝k2+4a（a+b）＝0，∴k2＝﹣4a（a+b），∵A（﹣1，0），Q（0，﹣2a），设直线AQ的解析式为y＝k2x+b2，∴，解得，∴y＝﹣2ax﹣2a，联立方程组，解得x＝，∴E点的横坐标为，∵B（1，0），Q（0，﹣2a），设直线BQ的解析式为y＝k3x+b3，∴，解得，∴y＝2ax﹣2a，联立方程组，解得x＝，∴F点的横坐标为，过点E作EP⊥y轴交于P点，过点F作FJ⊥y轴交于J点，∵A、B关于y轴对称，∴∠AQO＝∠BQO，∵OA＝1，OQ＝﹣2a，∴AQ＝，∴sin∠AQO＝，∴EQ＝＝＝•，FQ＝＝•，∵QE+QF＝3，∴•+•＝•（2a+b）•（+）＝•（2a+b）•（）＝•（2a+b）•（）＝•（2a+b）•（）＝＝3，∴a＝±，∵a＜0，∴a＝﹣．20．解：（1）设抛物线c2上任意一点（x，y），则点（x，y）关于原点的对称点为（﹣x，﹣y），将点（﹣x，﹣y）代入抛物线，∴抛物线c2的解析式为y＝（x+m）2﹣；（2）①对函数，令y＝0，解得x＝﹣1+m或x＝1+m，∵m＜0，∴A（﹣1+m，0），B（1+m，0），对函数c2y＝（x+m）2﹣，令y＝0，解得x＝1﹣m或x＝﹣1﹣m，∵m＜0，∴C（﹣1﹣m，0），D（1﹣m，0），∴AD＝2﹣2m，BC＝﹣2﹣2m，∵AD＝3BC，∴2﹣2m＝3（﹣2﹣2m），∴m＝﹣2；②存在m，使以点M，A，N，D为顶点的四边形是矩形，理由如下：∵抛物线c1的对称轴为x＝m，∴M（m，），∵抛物线c2的对称轴为x＝﹣m，∴N（﹣m，﹣），∵M、N关于原点对称，A、D关于原点对称，∴MN为矩形的对角线，∴AM2+AN2＝MN2，∴1+3+（2m﹣1）2+3＝12+4m2，解得m＝﹣1；（3）设G点的横坐标为t，过点G作x轴的平行线交y轴于点I，过点M作x轴的平行线交y轴于点H，过点N作y轴的平行线交GI于点K，∴GI∥MH，∴＝，∵GM＝pGP，∴＝＝，∴|t|＝，∵NK∥y轴，∴＝，∵GN＝qGQ，∴＝＝，∴|t|＝，∴＝，∴p﹣q＝2．。

人教版九年级数学上册《第二十二章二次函数》单元测试卷-附含答案

人教版九年级数学上册《第二十二章二次函数》单元测试卷-附含答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题 1．若二次函数图象的顶点坐标为2,1，且过点()0,3，则该二次函数的解析式为（） A ．()21122x y --= B ．()221y x =+- C ．()221y x =-- D ．()221y x =---2．平面直角坐标系中，抛物线y ＝12（x ＋2）（x ﹣5）经变换后得抛物线y ＝12（x ＋5）（x ﹣2），则这个变换可以是（）A ．向左平移7个单位B ．向右平移7个单位C ．向左平移3个单位D ．向右平移3个单位 3．已知二次函数()2213y x =--，则下列说法正确的是( ) A ．y 有最小值0，有最大值－3 B ．y 有最小值－3，无最大值 C ．y 有最小值－1，有最大值－3 D ．y 有最小值－3，有最大值0 4．二次函数()2y x k h =++的图象与x 轴的交点的横坐标分别为-1和3，则()22y x k h =+++的图象与x 轴的交点的横坐标分别为（）A ．-3和1B ．1和5C ．-3和5D ．3和5 5．若二次函数2y a x bx c =++的图象经过不同的六点()1,A n -、()5,1B n -和()6,1C n +、()14,D y 和()22,E y 、()32,F y 则1y 、2y 和3y 的大小关系是（） A ．123y y y <<B ．132y y y <<C ．213y y y <<D ．321y y y << 6．已知二次函数()24119y x =--上的两点()()1122,,,P x y Q x y 满足123x x =+，则下列结论中正确的是（） A ．若112x <-，则121y y >>- B ．若1112x -<<，则210y y >> C ．若112x <-，则120y y >> D ．若1112x -<<，则210y y >> 7．已知抛物线()2<0y ax bx c a =++的对称轴为=1x -，与x 轴的一个交点为()2,0．若关于x 的一元二次方程()20ax bx c p p ++=>有整数根，则P 的值有多少个？（）A ．1B ．2C ．3D ．48．如图，直线y=x 与抛物线y=x 2﹣x ﹣3交于A 、B 两点，点P 是抛物线上的一个动点，过点P 作直线PQ⊥x轴，交直线y=x 于点Q ，设点P 的横坐标为m ，则线段PQ 的长度随m 的增大而减小时m 的取值范围是（）﹣1或1＜m ＜3 9．小明周末外出游玩时看到某公园有一圆形喷水池，如图1，简单测量得到如下数据：圆形喷水池直径为20m ，水池中心O 处立着一个圆柱形实心石柱OM ，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈拋物线型，水柱在距水池中心4m 处到达最大高度为6m ，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点M 处101110．如图，在ABC 中90,3cm,6cm B AB BC ∠=︒==，动点P 从点A 开始沿AB 向点B 以1cm/s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿BC 向点C 以2cm /s 的速度移动，若P ，Q 两点分别从A ，B 两点同时出发，P 点到达B 点运动停止，则PBQ 的面积S 随出发时间t 的函数图象大致是（）A ．B ． C. D ．二、填空题11．抛物线22(1)3y x =---与y 轴交点的纵坐标为12．已知实数x 、y 满足x 2﹣2x +4y =5，则x +2y 的最大值为．13．今年三月份王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝等进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，当销售单价是元时，王大伯获得利润最大．14．已知抛物线224y mx mx c =-+ 与x 轴交于点()1,0A -、()2,0B x 两点，则B 点的横坐标2x ＝．15．已知抛物线的函数关系式：()22212y x a x a a =+-+-（其中x 是自变量）．（1）若点()1,3P 在此抛物线上，则a 的值为．（2）设此抛物线与x 轴交于点()1,0A x 和()2,0B x ，若122x x <<，且抛物线的顶点在直线34x =的右侧，则a 的取值范围为．16．设二次函数2y ax bx c =++（,a b c ,是常数，0a ≠），如表列出了x ，y 的部分对应值． x … 5- 3- 1 2 3 …y … 2.79- m 2.79- 0n … 则不等式20ax bx c ++<的解集是．17．二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，对称轴为1x =，图象过点A ，且930a b c ++=，以下结论：⊥420a b c -+<；⊥关于x 的不等式220ax ax c -+->的解集为：13x -<<；⊥3c a >-；⊥()21(1)0m a m b -+-≥（m 为任意实数）；⊥若点()1,B m y ，()22,C m y -在此函数图象上，则12y y =．其中错误的结论是．三、解答题设该超市在第x 天销售这种商品获得的利润为y 元．(1)求y 关于x 的函数关系式；(2)在这30天中，该超市销售这种商品第几天的利润最大？最大利润是多少？21．如图所示，二次函数2y ax bx c =++的图象经过()1,0-、()3,0和()03-，三点．(1)求二次函数的解析式；(2)方程2++=有两个实数根，m的取值范围为__________．ax bx c m(3)不等式23++>-的解集为__________；ax bx c x22．一次足球训练中，小明从球门正前方12m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为8m时，球达到最高点，此时球离地面4m．已知球门高OB为2.58m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.56m处？参考答案：1．C2．C3．B4．A5．D6．B。

2022-2023学年北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》单元综合达标测试题(附答案)

2022-2023学年北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》单元综合达标测试题（附答案）一．选择题（共10小题，满分30分）1．在下列关于x的函数中，一定是二次函数的是（）A．y＝﹣3x B．xy＝2C．y＝ax2+bx+c D．y＝2x2+52．下列各点中，在抛物线y＝x2﹣4上的是（）A．（1，3）B．（﹣1，﹣3）C．（1，﹣5）D．（﹣1，﹣5）3．抛物线y＝﹣（x﹣5）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣5，3）B．（5，3）C．（3，5）D．（5，﹣3）4．将抛物线y＝x2﹣3向左平移2个单位后得到的抛物线表达式是（）A．y＝x2﹣1B．y＝x2﹣5C．y＝（x+2）2﹣3D．y＝（x﹣2）2﹣3 5．已知b＞0时，二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象如下列四个图之一所示：根据图象分析，a的值等于（）A．﹣2B．﹣1C．1D．26．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加（）A．1m B．2m C．（2﹣4）m D．（﹣2）m 7．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y28．如图，抛物线y1＝a（x+1）2﹣5与抛物线y2＝﹣a（x﹣1）2+5（a≠0）交于点A（2，4），B（m，﹣4），若无论x取任何值，y总取y1，y2中的最小值，则y的最大值是（）A．4B．5C．2D．19．已知函数y＝，若使y＝k成立的x值恰好有两个，则k的值为（）A．﹣1B．1C．0D．±110．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标（﹣2，3），抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，有下列说法：①4a﹣b＝0；②a﹣b+c＝0；③若（﹣4，y1），（1，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2；④b2+3b＝4ac．其中正确的个数有（）A．4B．3C．2D．1二．填空题（共7小题，满分21分）11．已知抛物线y＝（a+3）x2开口向下，那么a的取值范围是．12．请写出一个开口向下，对称轴为直线x＝2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式．13．已知二次函数y＝x2+2mx+2，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是．14．抛物线y＝（m2﹣2）x2﹣4mx+n的对称轴是直线x＝2，且它的最高点在直线y＝x+2上，则m＝，n＝．15．二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值如下表：x…﹣3﹣20135…y…70﹣8﹣9﹣57…则当x＝2时对应的函数值y＝．16．如图在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+2的图象与x轴交于A、B两点，与y 轴交于C点，其顶点为D，若△ABC与△ABD的面积比为3：5，则m值为．17．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝﹣x2+2x+1与y轴交于C点，若点E在抛物线的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，则CE+EF的最小值为．三．解答题（共9小题，满分69分）18．用配方法把二次函数y＝x2﹣4x+5化为y＝a（x﹣m）2+k的形式，并写出该函数图象的顶点坐标．19．已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．（1）求a，b的值；（2）若（5，n），（m，n）是抛物线上不同的两点，求m的值．20．已知二次函数的图象经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），且有最小值为﹣2．（1）求这个函数的解析式；（2）函数的开口方向、对称轴；（3）当y＞0时，x的取值范围．21．已知函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）（1）当m，n取何值时，此函数是我们学过的哪一类函数？它一定与x轴有交点吗？请判断并说明理由；（2）若它是一个二次函数，假设n＞﹣1，那么：①当x＜0时，y随x的增大而减小，请判断这个命题的真假并说明理由；②它一定经过哪个点？请说明理由．22．如图所示，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B（5，0），与y轴交于点C（0，5）．（1）求抛物线的表达式；（2）若点M是抛物线在x轴下方的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值．23．如图1，地面OB上两根等长立柱AO，CB之间悬挂一根近似成抛物线y＝x2﹣x+3的绳子．（1）求绳子最低点离地面的距离；（2）因实际需要，在离AO为3米的位置处用一根立柱MN撑起绳子（如图2），使左边抛物线F1的最低点距MN为1米，离地面1.8米，求MN的长；（3）保持（2）中点N的位置不变，将立柱MN的长度提升为3米，发现抛物线F1和F2的形状和大小都一样，测得抛物线F1和F2的最低点到地面的高度相差0.5米，求抛物线F1对应函数的二次项系数．24．已知二次函数y＝x2+px+q图象的顶点M为直线y＝x与y＝﹣x+m的交点．（1）用含m的代数式表示顶点M的坐标；（2）若二次函数y＝x2+px+q的图象经过点A（0，3），求二次函数的表达式；（3）当m＝6且x满足t﹣1≤x≤t+3时，二次函数y＝x2+px+q的最小值为2，求t的取值范围．25．某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件．如果该商品的售价每上涨1元，就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x 元（x为整数）时，月销售利润为y元．（1）求y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．（2）当每件商品的售价定为多少元时，可获得的月利润最大？最大月利润是多少？26．在平面直角坐标系中，点A（0，4），点B（2m，4）（m为常数，且m＞0），将点A绕线段AB中点顺时针旋转90°得到点C．经过A、B、C三点的抛物线记为G．（1）当m＝2时，求抛物线G所对应的函数表达式．（2）用含m的式子分别表示点C的坐标和抛物线G所对应的函数表达式．（直接写出即可）（3）当抛物线G在直线x＝﹣2和x＝2之间的部分（包括边界点）的最高点与最低点的纵坐标之差为8时，直接写出m的取值范围．（4）连结AC，点R在线段AC上，过点R作x轴的平行线与抛物线G交于P、Q两点，连结AP、AQ．当点R将线段PQ分成1：3两部分，且△APQ的面积为时，求m的值．参考答案一．选择题（共10小题，满分30分）1．解：A、y＝﹣3x是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；B、xy＝2不是二次函数，故此选项不符合题意；C、a＝0时不是二次函数，故此选项不符合题意；D、y＝2x2+5是二次函数，故此选项符合题意；故选：D．2．解：当x＝1时，y＝x2﹣4＝﹣3；当x＝﹣1时，y＝x2﹣5＝﹣3；∴点（﹣1，﹣3）在抛物线上，点（1，3）、（1，﹣5）、（﹣1，﹣5）都不在抛物线上．故选：B．3．解：抛物线y＝﹣（x﹣5）2+3的顶点坐标是（5，3）．故选：B．4．解：将抛物线y＝x2﹣3向左平移2个单位后得到的抛物线表达式是y＝（x+2）2﹣3．故选：C．5．解：因为前两个图象的对称轴是y轴，所以﹣＝0，又因为a≠0，所以b＝0，与b＞0矛盾；第三个图的对称轴﹣＞0，a＞0，则b＜0，与b＞0矛盾；故第四个图正确．由于第四个图过原点，所以将（0，0）代入解析式，得：a2﹣1＝0，解得a＝±1，由于开口向下，a＝﹣1．故选：B．6．解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，可求出OA和OB为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a＝﹣0.5，所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y＝﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y＝﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±，所以水面宽度增加到2米，比原先的宽度当然是增加了2﹣4．故选：C．7．解：∵函数的解析式是y＝﹣（x+1）2+a，如右图，∴对称轴是直线x＝﹣1，∴点A关于对称轴的点A′是（0，y1），那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小，于是y1＞y2＞y3．故选：A．8．解：由题意可知：y的函数图象如图所示：观察函数图象可知：点A为函数y的图象的最高点，∴y的最大值为4．故选：A．9．解：函数y＝的图象如图：根据图象知道当y＝﹣1或y＝1时，对应成立的x有恰好有2个，则k的值为±1．故选：D．10．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2，∴﹣＝﹣2，∴4a﹣b＝0，因此①正确；∵抛物线的对称轴为x＝﹣2，图象与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）和点（0，0）之间，∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，因此②不正确；∵|﹣4﹣（﹣2）|＜|1﹣（﹣2）|，∴（﹣4，y1）到对称轴的水平距离小于（1，y2）到对称轴的水平距离，且抛物线开口向下，∴y1＞y2，故③正确；∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，3），∴＝3，∴b2+12a＝4ac，∵4a﹣b＝0，∴b＝4a，∴b2+3b＝4ac，故④正确；∴正确的有：①③④，故选：B．二．填空题（共7小题，满分21分）11．解：∵抛物线y＝（a+3）x2开口向下，∴a+3＜0，∴a＜﹣3．故答案为：a＜﹣3．12．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，令a＝﹣1，设抛物线的关系式为y＝﹣（x﹣h）2+k，∵对称轴为直线x＝2，∴h＝2，把（0，3）代入得，3＝﹣（0﹣2）2+k，解得，k＝7，∴抛物线的关系式为：y＝﹣（x﹣2）2+7，故答案为：y＝﹣（x﹣2）2+7（答案不唯一）．13．解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣m，∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，∵当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，∴﹣m≤2，解得m≥﹣2．故答案为：m≥﹣2．14．解：∵抛物线y＝（m2﹣2）x2﹣4mx+n的对称轴是直线x＝2，且它的最高点在直线y ＝x+2上，∴，当x＝2时，y＝×2+2＝3，∴m＝﹣1，该抛物线的顶点坐标为（2，3），∴3＝[（﹣1）2﹣2]×22﹣4×（﹣1）×2+n，解得，n＝﹣1，故答案为：﹣1，﹣1．15．解：观察表格可知，当x＝﹣3或5时，y＝7，根据二次函数图象的对称性，（﹣3，7），（5，7）是抛物线上两对称点，对称轴为直线x＝＝1，顶点（1，﹣9），根据对称性，x＝2与x＝0时，函数值相等，都是﹣8．16．解：∵y＝x2+mx+2＝（x+）2+2﹣，∴顶点D（﹣，2﹣），C（0，2），∴OC＝2，∵S△ABC＝AB•OC＝AB×2＝AB，S△ABD＝AB•|2﹣|，△ABC与△ABD的面积比为3：5，∴AB：AB•|2﹣|＝3：5，解得：m＝﹣．故答案是：﹣．17．解：如图，设C点关于抛物线对称轴的对称点为C′，由对称的性质可得CE＝C′E，∴CE+EF＝C′E+EF，∴当F、E、C′三点一线且C′F与AB垂直时CE+EF最小，直线AB的解析式为y＝x+3，∵C（0，1），∴C′（2，1），∴直线C′F的解析式为y＝﹣x+，联立直线C′F和直线AB得：x+3＝﹣x+，解得x＝，代入解得y＝，∴F（，），∴C′F＝＝，即CE+EF的最小值为．故答案为．三．解答题（共9小题，满分69分）18．解：y＝x2﹣4x+5＝（x2﹣8x）+5＝（x2﹣8x+16）+5﹣8＝（x﹣4）2﹣3，∴顶点（4，﹣3）．19．解：（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y＝ax2+bx+1得，，解得：；（2）由（1）得函数解析式为y＝x2﹣4x+1，∴对称轴是直线x＝﹣＝2，∵（5，n），（m，n）是抛物线上不同的两点，纵坐标相同，∴（5，n），（m，n）是对称点，∴＝2，解得m＝﹣1．20．解：（1）由题意得：函数的对称轴为x＝1，此时y＝﹣2，则函数的表达式为：y＝a（x﹣1）2﹣2，把点A坐标代入上式，解得：a＝，则函数的表达式为：y＝x2﹣x﹣（2）a＝＞0，函数开口向上，对称轴为：x＝1；（3）当y＞0时，x的取值范围为：x＞3或x＜﹣1．21．解：（1）①当m＝1，n≠﹣2时，函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）是一次函数，它一定与x轴有一个交点，∵当y＝0时，（n+1）x m+mx+1﹣n＝0，∴x＝，∴函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）与x轴有交点；②当m＝2，n≠﹣1时，函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）是二次函数，当y＝0时，y＝（n+1）x m+mx+1﹣n＝0，即：（n+1）x2+2x+1﹣n＝0，△＝22﹣4（1+n）（1﹣n）＝4n2≥0；∴函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）与x轴有交点；③当n＝﹣1，m≠0时，函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n是一次函数，当y＝0时，x＝，∴函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）与x轴有交点；（2）①假命题，若它是一个二次函数，则m＝2，函数y＝（n+1）x2+2x+1﹣n，∵n＞﹣1，∴n+1＞0，抛物线开口向上，对称轴：﹣＝＝﹣＜0，∴对称轴在y轴左侧，当x＜0时，y有可能随x的增大而增大，也可能随x的增大而减小，②当x＝1时，y＝n+1+2+1﹣n＝4．当x＝﹣1时，y＝0．∴它一定经过点（1，4）和（﹣1，0）．22．解：（1）将（5，0），（0，5）代入y＝x2+bx+c得，解得，∴y＝x2﹣6x+5．（2）设直线BC解析式为y＝kx+n，将（5，0），（0，5）代入y＝kx+n得，解得，∴y＝﹣x+5，设点M坐标为（m，m2﹣6m+5），则点N坐标为（m，﹣m+5），∴MN＝﹣m+5﹣（m2﹣6m+5）＝﹣m2+5m＝﹣（m﹣）2+，∴MN最大值为．23．解：（1）∵＞0，∴抛物线开口向上，抛物线的顶点为最低点，∵y＝x2﹣x+3＝（x﹣4）2+，∴绳子最低点离地面的距离为m；（2）由（1）可知，对称轴为x＝4，则BO＝8，令x＝0得y＝3，∴A（0，3），C（8，3），由题意可得：抛物线F1的顶点坐标为：（2，1.8），设F1的解析式为：y＝a（x﹣2）2+1.8，将（0，3）代入得：4a+1.8＝3，解得：a＝0.3，∴抛物线F1为：y＝0.3（x﹣2）2+1.8，当x＝3时，y＝0.3×1+1.8＝2.1，∴MN的长度为2.1米；（3）∵MN＝3，点M（3，3），∵抛物线F1和F2的形状和大小都一样，∴设抛物线F1的解析式为y＝a（x﹣）2+k1，F2的解析式为y＝a（x﹣）2+k2，抛物线F1和F2的最低点到地面的高度分别为k1和k2，由题意，得k1﹣k2＝0.5，把点M（3，3）分别代入y＝a（x﹣）2+k1和y＝a（x﹣）2+k2，得k1＝3﹣a，k2＝3﹣a，∴3﹣a﹣（3﹣a）＝0.5，解得：a＝．∴抛物线F1对应函数的二次项系数为．24．解：（1）由，得，即顶点M坐标为（m，m）；（2）∵此时二次函数为y＝（x﹣m）2+m过点A（0，3），∴3＝（0﹣m）2+m得m1＝﹣3，m2＝，∴y＝（x+2）2﹣1或y＝（x﹣）2+；（3）当m＝6时，顶点为M（4，2），∴抛物线为y＝（x﹣4）2+2，函数的最小值为2，∵x满足t﹣1≤x≤t+3时，二次函数的最小值为2，∴，解得1≤t≤5．25．解：（1）y＝（30﹣20+x）（180﹣10x）＝﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）；（2）由（1）知，y＝﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）．∵﹣10＜0，∴当x＝＝4时，y最大＝1960元；∴每件商品的售价为34元．答：每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元；26．解：（1）由题意可知，点C为抛物线G的顶点，当m＝2时，C（2，6），设G所对应的函数的表达式为y＝a（x﹣2）2+6（a≠0），将点A（0，4）代入y＝a（x﹣2）2+6得4＝4a+6，解得a＝﹣．∴y＝﹣（x﹣2）2+6．（2）∵抛物线对称轴为直线x＝＝m，∴点C坐标为（m，m+4），设抛物线解析式为y＝a（x﹣m）2+m+4，把（0，4）代入y＝a（x﹣m）2+m+4得4＝am2+m+4，解得a＝﹣，∴y＝﹣（x﹣m）2+m+4．（3）①0＜m≤2时，在直线x＝﹣2和x＝2之间的部分的抛物线最高点为顶点（m，m+4），最低点为直线x＝﹣2与抛物线交点（﹣2，﹣），m+4﹣（﹣）＝8时，解得m＝2．②当m＞2时，图象最高点为直线x＝2与抛物线交点（2，﹣+8），最低点为直线x＝﹣2与抛物线交点（﹣2，﹣），﹣+8﹣（﹣）＝8，∴m＞2符合题意，∴m≥2．（4）作CD⊥PQ于点D，∵点R将线段PQ分成1：3两部分，∴PQ＝4PR＝2PD，∴PR＝RD，∴CD＝RD，∴PQ＝4CD，设CD＝t，则PQ＝4t，∴点Q的坐标为（m+2t，m+4﹣t），∴＝﹣（m+2t﹣m）2+m+4＝m+4﹣t．解得t＝m．∴点Q坐标为（m，m+4），PQ＝m，∵△APQ的面积为，∴m（m+4﹣4）＝，解得m＝或m＝﹣（舍）．∴m＝．。

人教版九年级数学上册第22章《二次函数》测试卷2(附答案)

人教版九年级数学上册第22章《二次函数》测试卷2（附答案）时间：100分钟总分100分一、选择题（每小题3分，共30分。

每小题只有一个选项是符合题意的）1.下列函数关系中，y 是x 的二次函数的是（）A . y =2x +2B . y =√x 2+1C . y =x 2-xD . y =1x 2+1 2.下列函数中，当x ＞0时，y 随x 增大而增大的是（）A . y =-xB . y =3x 2C . y =-x 2D . y =-2x +13.下表是二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的自变量x 与函数y 的对应值，则方程 ax 2+bx +c =0的一个解x 的范围是（）A . 3.1＜x ＜3.2B . 3.2＜x ＜3.3C . 3.3＜x ＜3.4D . 以上都不正确4.若抛物线y =（x +n ）2+n （n 是常数）的顶点恰好在直线y =-2x -1上，则n 的值为（）A . -2B . -1C . 1D . 25.已知二次函数y =-x 2-2x +2，当0≤x ≤3时，函数y 的最小值为（）A . -13 B. -6 C . 1 D . 86.把二次函数y =x 2-4x -1的图象向左平移3个单位，再向上平移2个单位后，得到的图象所对应的二次函数表达式为（）A . y =x 2+2x +3B . y =（x -1）2+3C . y =x 2-2x -3D . y =x 2+2x -27.二次函数y =ax 2+4x +2（a ≠0）和一次函数y =ax -a （a ≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A .B .C .D .8.现某农产品专卖店销售某种特产，其进价为每千克6元，按每千克12元出售。

为了扩大促销，实现如下方案：顾客一次购买这种特产不超过10千克时，每千克按12元销售；若一次购买该特产超过10千克时，每多购买1千克，销售单价降低0.2元，则该专卖店获得的最大利润为（）A . 150元B . 120元C . 100元D .80元x 3.1 3.2 3.3 3.4 y -0.4 -0.2 0.3 0.59.如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，有下列结论：①方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-3，x2=2；②3a+c＞0；③a-b＜m（am+b）（m≠-1,m为实数）；④若点A（x1，y1），B（x2，y2）为抛物线上两点，当x1＜-1＜x2，且x1+x2＞-2时，有y1＜y2，其中正确的是（）A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④10.如图，在矩形ABCD中，AB=2，∠ACB=30°，动点P由点A出发，沿A→B→C的路径匀速运动，过点P作对角线AC的垂线，垂足为Q，设AQ=x，△APQ的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A. B. C. D.二、填空题（每小题3分，共18分）11.二次函数y=x2+4x-3图象的顶点坐标为_____________.12.如果二次函数y=（2m-4）x2+10x+m2-4的图象经过原点，那么m=________.13.已知矩形的周长是12cm，那么这个矩形的面积s（单位：cm2）与一条边长x（单位：cm）之间的关系式是______________.（要求写出自变量的取值范围）14.已知抛物线y=x2-bx-1的顶点坐标为[b2 ,−1−(b2)2]，由此可知抛物线y=x2-bx-1的顶点运动轨迹为抛物线y=-x2-1，称顶点运动轨迹的函数为原函数的母函数，则二次函数y=x2-2mx-3的母函数为___________.15.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（-2，2），（-4，2），若抛物线y=ax2（a＞0）与线段AB没有交点，则a的取值范围是_______________.16.已知二次函数y=x2-2ax+2a，其中a为实数，对称轴为直线x=3，将二次函数的图象向上平移6个单位，当m-1≤x≤m+2时，函数有最小值为12，则m的值为_________.三、解答题（共52分.解答应写出过程）17.（6分）已知y=y1-y2，其中y1与2x2+1成正比例，y2与x-2成正比例，且函数y的图象经过点（1，2）与点（2，9）。

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3-4圆周角与圆心角的关系》自主达标测试(附答案)

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3-4圆周角与圆心角的关系》自主达标测试（附答案）一．选择题（共12小题，满分36分）1．如图，AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的点．若∠D＝120°，则∠CAB的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°2．如图，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为，AC＝2，则sin B的值是（）A．B．C．D．3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝105°，则∠BOD的度数是（）A．150°B．120°C．105°D．85°4．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD＝140°，则∠BOD的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，若∠CBE＝45°，则∠DAC的度数为（）A．70°B．67.5°C．62.5°D．65°6．如图，A，B，C，D都是⊙O上的点，OA⊥BC，垂足为E，若∠ADC＝35°，则∠OBC ＝（）A．15°B．20°C．30°D．35°7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD垂直平分半径OC，若∠ABD＝50°，则∠ADC的大小为（）A．130°B．120°C．110°D．100°8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC、BD为其两条对角线，CB＝CD，∠CAD＝30°，∠ACD＝45°，连接OA，OB，则∠OAB的大小为（）A．15°B．20°C．22.5°D．25°9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点（点P不与点A，D重合）连接CP．若∠B＝120°，则∠APC的度数可能为（）A．30°B．45°C．50°D．65°10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD＝CD，过点D作DE⊥AB于点E．连接AC交DE于点F．若cos∠CBA＝，EF＝3．则AB的长为（）A．10B．12C．16D．2011．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝80°，则∠C的度数是（）A．80°B．100°C．110°D．120°12．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP ＝QO，则的值为（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题，满分24分）13．如图，AB是⊙O的直径，O为圆心，点C是半圆O上的点，若∠CAB＝4∠CBA，点D 是上任意一点，则∠BDC的度数为度．14．⊙O内一点P，OP＝3cm，过点P的最短的弦AB＝6cm，Q是⊙O上除AB两点之外的任一点，则∠AQB＝．15．如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝30°，D是弧AC上任意一点，则∠D＝．16．如图，AB是半圆O的直径，AB＝4，点C，D在半圆上，OC⊥AB，＝2，点P 是OC上的一个动点，则BP+DP的最小值为．17．如图，点A、B、C是半径为4的⊙O上的三个点，若∠BAC＝45°，则弦BC的长等于．18．如图，在⊙O中，∠BOC＝80°，则∠BAC的度数是．19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝138°，则它的一个外角∠DCE等于．20．如图，⊙O中弦AB，CD相交于点P，已知AP＝3，BP＝2，CP＝1，则DP＝．三．解答题（共10小题，满分60分）21．如图，AB为⊙O的直径，点C为的中点，CD⊥AE交直线AE于D点．（1）求证：OC∥AD；（2）若DE＝1，CD＝2，求⊙O的直径．22．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠A＝15°，AB＝4．求弦CD的长．23．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，且PD＜PC．（1）求证：△P AD∽△PCB；（2）若P A＝3，PB＝8，CD＝10，求PD．24．如图，在⊙O中，弦AD，BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB．（1）求证：AB＝CD；（2）如果⊙O的直径为10，DE＝1，求AE的长．25．如图，已知圆O，弦AB、CD相交于点M．（1）求证：AM•MB＝CM•MD；（2）若M为CD中点，且圆O的半径为3，OM＝2，求AM•MB的值．26．如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，AE＝5，BE＝1，CD＝4，求EC的长．27．如图，在⊙O中，过弦AB的中点E作弦CD，且CE＝2，DE＝4，求弦AB的长．28．如图，已知圆O，弦AB、CD相交于点M．（1）求证：AM•MB＝CM•MD；（2）若M为CD中点，且圆O的半径为3，OM＝2，求AM•MB的值．29．如图，（1）已知：P为半径为5的⊙O内一点，过P点最短的弦长为8，则OP＝（2）在（1）的条件下，若⊙O内有一异于P点的Q点，过Q点的最短弦长为6，且这两条弦平行，求PQ的长．（3）在（1）的条件下，过P点任作弦MN、AB，试比较PM•PN与P A•PB的大小关系，且写出比较过程．你能用一句话归纳你的发现吗？（4）在（1）的条件下，过P点的弦CD＝，求PC、PD的长．30．如图，已知BC是⊙O的直径，AH⊥BC，垂足为D，点A为的中点，BF交AD于点E，且BE•EF＝32，AD＝6．（1）求证：AE＝BE；（2）求DE的长；（3）求BD的长．参考答案一．选择题（共12小题，满分36分）1．解：∵∠D+∠B＝180°，∠D＝120°，∴∠B＝60°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴CAB＝90°﹣∠B＝30°，故选：A．2．解：连接CD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∵⊙O的半径为，AC＝2，∴AD＝3，∴sin D＝＝，∵∠B＝∠D，∴sin B＝．故选：A．3．解：如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝105°，则∠A＝180°﹣∠BCD＝180°﹣105°＝75°．∴∠BOD＝2∠A＝2×75°＝150°，故选：A．4．解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠BCD＝140°，∴∠A＝40°，∵圆周角∠A和圆心角∠BOD都对着，∴∠A＝BOD，∴∠BOD＝2×40°＝80°，故选：C．5．解：∵∠CBE＝45°，∴∠ABC＝180°﹣∠CBE＝135°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D+∠ABC＝180°，∴∠D＝45°，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣∠D）＝67.5°，故选：B．6．解：如图所示：∵∠ADC＝35°，∴的度数是70°，∵OA⊥BC，OA过圆心O，∴＝，∴的度数是70°，∴∠AOB＝70°，∵OA⊥BC，∴∠OEB＝90°，∴∠OBC＝90°﹣∠AOB＝90°﹣70°＝20°，故选：B．7．解：设BD交OC于E，连接OD，OA，∵BD垂直平分OC，∴OE＝OC＝OD，∠OED＝90°，∴∠ODE＝30°，∴∠DOC＝90°﹣30°＝60°，∵OC＝OD，∴△OCD是等边三角形，∴∠ODC＝60°，∵∠ABD＝50°，∴∠AOD＝2∠ABD＝100°，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠OAD＝（180°﹣∠AOD）＝40°，∴∠ADC＝∠ADO+∠ODC＝40°+60°＝100°，故选：D．8．解：∵∠CAD＝30°，∴所对的圆心角的度数是60°，∵CB＝CD，∴＝，∴所对的圆心角的度数也是60°，∵∠ACD＝45°，∴所对的圆心角的度数是90°，∴所对的圆心角的度数是360°﹣60°﹣60°﹣90°＝150°，∴∠AOB的度数是150°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝（180°﹣150°）＝15°，故选：A．9．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠D＝180°，∵∠B＝120°，∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，∵∠APC为△PCD的外角，∴∠APC＞∠D，只有D满足题意．故选：D．10．解：连接BD，∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°,∠ABD+∠BDE＝90°，∵AB为直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∴∠EF A＝∠CBA，∵cos∠CBA＝，EF＝3，∴AF＝＝5，∴AE＝4，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA，而∠DCA＝∠ABD，∴∠DAC＝∠ABD，而∠ADE+∠BDE＝90°，∴∠ABD＝∠ADE，∴∠ADE＝∠DAC，∴DF＝AF＝5，∴DE＝5+3＝8，∵∠ADE＝∠DBE，∠AED＝∠BED，∴△ADE∽△DBE，∴DE：BE＝AE：DE，即8：BE＝4：8，∴BE＝16，∴AB＝4+16＝20．故选：D．11．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠C＝180°，∵∠A＝80°，∴∠C＝100°，故选：B．12．解：如图，设⊙O的半径为r，QO＝m，则QP＝m，QC＝r+m，QA＝r﹣m．在⊙O中，根据相交弦定理，得QA•QC＝QP•QD．即（r﹣m）（r+m）＝m•QD，所以QD＝．连接DO，由勾股定理，得QD2＝DO2+QO2，即，解得所以，故选：D．二．填空题（共8小题，满分24分）13．解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵∠CAB＝4∠ABC，∴5∠ABC＝90°，∴∠ABC＝18°，∠A＝72°，∵∠CDB+∠A＝180°，∴∠BDC＝108°，故答案为：108．14．解：如图，连接OA，OB，∵过点P的最短的弦AB＝6cm，∴OP⊥AB，∴AP＝BP＝AB＝3（cm），∵OP＝3cm，∴tan∠AOP＝＝＝，∴∠AOP＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠AQB＝AOB＝60°，∴∠AQ′B＝180°﹣∠AQB＝120°，故∠AQB＝60°或120°，故答案为：60°或120°．15．解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，∵∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠ADC＝180°﹣60°＝120°，故答案为：120°．16．解：如图，连接AD，P A，PD，OD．∵OC⊥AB，OA＝OB，∴P A＝PB，∠COB＝90°，∵＝2，∴∠DOB＝×90°＝60°，∵OD＝OB，∴△OBD是等边三角形，∴∠ABD＝60°∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴AD＝AB•sin∠ABD＝2，∵PB+PD＝P A+PD≥AD，∴PD+PB≥2，∴PD+PB的最小值为2，故答案为：2．17．解：连接OB，OC．∵∠BOC＝2∠BAC，∠BAC＝45°，∴∠BOC＝90°，∵OB＝OC＝4，∴BC＝＝4，故答案为：4．18．解：∵∠BOC与∠BAC是同弧所对的圆心角与圆周角，∠BOC＝80°，∴∠BAC＝∠BOC＝40°．故答案为：40°．19．解：∵∠BOD＝138°，∴∠A＝∠BOD＝69°，∴∠BCD＝180°﹣∠A＝111°，∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝69°．故答案为：69°．20．解：由相交弦定理得，AP•BP＝CP•DP，则DP＝＝6，故答案为：6．三．解答题（共10小题，满分60分）21．（1）证明：连接BE．∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，即AD⊥BE，∵点C为的中点，∴＝，∴OC⊥EB，∴OC∥AD；（2）解：设BE交OC于点T．∵CD⊥AD，∴∠D＝∠DET＝∠CTE＝90°，∴四边形DETC是矩形，∴CD＝ET＝2，DE＝CT＝1，∵OC⊥EB，∴BT＝TE＝2，设OB＝OC＝r，则r2＝（r﹣1）2+22，∴r＝，∴AB＝2r＝5，即⊙O的直径为5．22．解：∵∠A＝15°，∴∠COB＝30°．∵AB＝4，∴OC＝2．∵弦CD⊥AB于E，∴CE＝CD．在Rt△OCE中，∠CEO＝90°，∠COB＝30°，OC＝2，∴CE＝1．∴CD＝2．23．（1）证明：∵∠A＝∠C，∠D＝∠B（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），∴△P AD∽△PCB；（2）解：∵△P AD∽△PCB，∴＝，∵P A＝3，PB＝8，CD＝10，∴＝，解得：PD＝4或6，当PD＝4时，PC＝6，当PD＝6时，PC＝4，∵PD＜PC，∴PD＝4．24．（1）证明：如图，∵AD＝BC，∴＝，∴﹣＝﹣，即＝，∴AB＝CD；（2）如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．则AF＝FD，BG＝CG．∵AD＝BC，∴AF＝CG．在Rt△AOF与Rt△COG中，，∴Rt△AOF≌Rt△COG（HL），∴OF＝OG，∴四边形OFEG是正方形，∴OF＝EF．设OF＝EF＝x，则AF＝FD＝x+1，在直角△OAF中．由勾股定理得到：x2+（x+1）2＝52，解得x＝3．则AF＝3+1＝4，即AE＝AF+3＝7．25．解：（1）连接AD、BC．∵∠A＝∠C，∠D＝∠B，∴△ADM∽△CBM∴即AM•MB＝CM•MD．（2）连接OM、OC．∵M为CD中点，∴OM⊥CD在Rt△OMC中，∵OC＝3，OM＝2∴CD＝CM＝＝＝由（1）知AM•MB＝CM•MD．∴AM•MB＝•＝5．26．解：设EC＝x，则ED＝CD﹣CE＝4﹣x，根据题意得AE•BE＝CE•DE，所以x（4﹣x）＝5•1，整理得x2﹣4x+5＝0，解得x＝2±，即EC的长为2+或2﹣．27．解：∵过弦AB的中点E作弦CD，CE＝2，DE＝4，∴CE×DE＝AE×BE，∴2×4＝AE2，解得：AE＝2，∴弦AB的长为：AB＝2AE＝4．28．解：（1）∵∠A＝∠C，∠D＝∠B，∴△ADM∽△CBM∴，即AM•MB＝CM•MD．（2）连接OM、OC．∵M为CD中点，∴OM⊥CD在Rt△OMC中，∵OC＝3，OM＝2∴CM＝DM＝，由（1）知AM•MB＝CM•MD．∴AM•MB＝•＝5．29．解：（1）连接OP，过点P作CD⊥OP于点P，连接OD．根据题意，得CD＝8，OD＝5．根据垂径定理，得PD＝4，根据勾股定理，得OP＝3；（2）根据平行线的性质和垂线的性质，知O、P、Q三点共线．根据（1）的求解方法，得OQ＝4，则PQ＝1或7；（3）连接AM、BN．∵∠A＝∠N，∠M＝∠B，∴△APM∽△NPB，∴，即PM•PN＝P A•PB；（4）作直径AB，根据相交弦定理，得PC•PD＝P A•PB＝（5﹣3）（5+3）＝16，又CD＝，设PC＝x，则PD＝﹣x，则有x（﹣x）＝16，解得x＝3或x＝．即PC＝3或，PD＝或3．30．（1）证明：连AF，AB，AC．因为A是的中点，∴∠ABE＝∠AFB．又∠AFB＝∠ACB，∴∠ABE＝∠ACB．∵BC为直径，∴∠BAC＝90°，AH⊥BC．∴∠BAE＝∠ACB．∴∠ABE＝∠BAE．∴AE＝BE．（3分）（2）解：设DE＝x（x＞0），由AD＝6，BE•EF＝32，AE•EH＝BE•EF，则（6﹣x）（6+x）＝32，解得x＝2，即DE的长为2；（5分）（3）解：由（1）、（2）有：BE＝AE＝6﹣2＝4，在Rt△BDE中，BD＝＝．（7分）。

数学九年级上学期《二次函数》单元测试卷(附答案)

11.经过原点抛物线与x轴交于另一点，该点到原点的距离为2，且该抛物线经过（3，3）点，则该抛物线的解析式为____．
12.若实数A、B满足A+B2=2，则A2+5B2的最小值为_____．
13.某商店经营一种水产品，成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，销售单价定为__________元时，获得的利润最多．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若在抛物线上存在点Q，使得C D平分∠A CQ，请求出点Q 坐标；
（3）在直线C D的下方的抛物线上取一点N，过点N作NG∥y轴交C D于点G，以NG为直径画圆在直线C D上截得弦GH，问弦GH的最大值是多少？
（4）一动点P从C点出发，以每秒1个单位长度的速度沿C﹣A﹣D运动，在线段C D上还有一动点M，问是否存在某一时刻使PM+AM=4？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
人教版数学九年级上学期
《二次函数》单元测试
（满分120分，考试用时120分钟）
第Ⅰ卷（选择题）
一．选择题（共9小题）
1.对于二次函数y=2（x﹣2）2+1，下列说法中正确的是（）
A.图象的开口向下B.函数的最大值为1
C.图象的对称轴为直线x=﹣2D.当x＜2时y随x的增大而减小
2.抛物线y=﹣3x2向左平移2个单位，再向上平移5个单位，所得抛物线解析式为（）
A.8Cm2B.9Cm2C.16Cm2D.18Cm2
6.在抛物线y＝Ax2－2Ax－3A上有A(－0.5，y1)、B(2，y2)和C(3，y3)三点，若抛物线与y轴的交点在正半轴上，则y1、y2和y3的大小关系为（）

2021-2022学年九年级数学人教版上册《二次函数与一元二次方程》同步基础达标训练(附答案)

2021-2022学年人教版九年级数学上册《22.2二次函数与一元二次方程》同步基础达标训练（附答案）一．选择题（共8小题）1．已知A＝x2+a，B＝2x，若对于所有的实数，A的值始终比B的值大，则a的值可能是（）A．﹣1B．0C．1D．22．直线y＝x+2m经过第一、三、四象限，则抛物线y＝x2+2x+1﹣m与x轴的交点个数为（）A．0个B．1个C．2个D．1个或2个3．抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的一个交点是（﹣1，0），那么抛物线与x轴的另一个交点坐标是（）A．（0，0）B．（3，0）C．（﹣3，0）D．（0，﹣3）4．将抛物线y＝x2﹣4x+1向左平移至顶点落在y轴上，如图所示，则两条抛物线、直线y ＝﹣3和x轴围成的图形的面积S（图中阴影部分）是（）A．5B．6C．7D．85．若二次函数y＝x2+2x+kb+1图象与x轴有两个交点，则一次函数y＝kx+b的大致图象可能是（）A．B．C．D．6．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象于x轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，对于以下说法：①b2﹣4ac＞0；②x＝x0是方程ax2+bx+c＝y0的解；③x1＜x0＜x2④a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0；⑤x0＜x1或x0＞x2，其中正确的有（）A．①②B．①②④C．①②⑤D．①②④⑤7．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是（）A．x＜﹣2B．x＞4C．﹣2＜x＜4D．x＜﹣2或x＞4 8．二次函数y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则自变量x的取值范围是（）A．x＜﹣3B．x＞0C．﹣3＜x＜1D．x＞1二．填空题（共8小题）9．如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，则△ABC的面积为．10．下列关于二次函数y＝x2﹣（m+1）x+m（m为常数）的结论：①该函数图象是开口向上的抛物线；②该函数图象一定经过点（1，0）；③该函数图象与x轴有两个公共点；④该函数图象的顶点在函数y＝﹣（x﹣1）2的图象上．其中所有正确结论的序号是．11．已知二次函数y＝2x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则m＝．12．对于任意实数a，抛物线y＝x2+2ax+a+b与x轴都有公共点，则b的取值范围是．13．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，点D（4，y）在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点，当BE+DE的值最小时，△ACE的面积为．14．抛物线y＝a（x﹣）2+k经过A（﹣3，0），B（m，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x﹣）2+k＝0的解是．15．如图，二次函数y＝ax2+bx﹣4的图象与x轴的交点A的坐标为（n，0），顶点D的坐标为（m，t），若m+n＝0，则t＝．16．已知函数y＝（a﹣1）x2﹣2ax+a﹣3的图象与两坐标轴共有两个交点，则a的值为．三．解答题（共6小题）17．已知关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）二次函数y＝x2+x﹣m的部分图象如图所示，求一元二次方程x2+x﹣m＝0的解．18．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于B，C两点（点C在点B的右侧），与y轴交于点D．连接BD、CD，求△BCD的面积．19．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A（2，0）、B（0，﹣1）和C（4，5）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标．20．如图，已知经过原点的抛物线y＝2x2+mx与x轴交于另一点A（2，0）．（1）求m的值和抛物线顶点M的坐标；（2）求直线AM的解析式．21．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求△BOC的面积．22．如图，抛物线y＝﹣（x﹣m）2+9交x轴于A，B两点，点A在点B左侧，点C的坐标为（6，0），AC＜BC，过点C作CD⊥x轴交抛物线于点D，过点D作DE⊥CD交抛物线于点E．（1）若点A的坐标为（4，0），求DE的长．（2）当DE＝AB时，求m的值．参考答案一．选择题（共8小题）1．解：由题可得：∵A的值始终比B的值大，∴有x2+a＞2x，即x2﹣2x+a＞0，即y＝x2﹣2x+a的函数图象与x轴无交点，∴△＝4﹣4a＜0，∴a＞1．故选：D．2．解：∵直线y＝x+2m经过第一、三、四象限，∴2m＜0，又由抛物线y＝x2+2x+1﹣m的解析式可知，△＝22﹣4（1﹣m）＝4m＜0，∴抛物线与x轴无交点．故选：A．3．解：由抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）知，抛物线与x轴的交点坐标是（3，0）和（﹣1，0），故选：B．4．解：B，C分别是顶点，A、D是抛物线与x轴的两个交点，连接CD，AB，如图，阴影部分的面积就是平行四边形ABCD的面积，S＝2×3＝6；故选：B．5．解：∵二次函数y＝x2+2x+kb+1图象与x轴有两个交点，∴△＝22﹣4×1（kb+1）＞0，解得：kb＜0．当k＞0，b＜0时，一次函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；当k＜0，b＞0时，一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限．故选：A．6．解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象于x轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＞0，①正确；②∵图象上有一点M（x0，y0），∴a+bx0+c＝y0，∴x＝x0是方程ax2+bx+c＝y0的解，②正确；③当a＞0时，∵M（x0，y0）在x轴下方，∴x1＜x0＜x2；当a＜0时，∵M（x0，y0）在x轴下方，∴x0＜x1或x0＞x2，③错误；④∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象于x轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），∴y＝ax2+bx+c＝a（x﹣x1）（x﹣x2），∵图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，∴y0＝a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，④正确；⑤根据③即可得出⑤错误．综上可知正确的结论有①②④．故选：B．7．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣2，0）和（4，0）两点，函数开口向下，∴函数值y＜0时，自变量x的取值范围是x＜﹣2或x＞4，故选：D．8．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），∴当﹣3＜x＜1时，y＜0．故选：C．二．填空题（共8小题）9．解：∵抛物线y＝﹣x2﹣x+，∴当y＝0时，x1＝﹣3，x2＝1，当x＝0时，y＝，∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，），∴AB＝1﹣（﹣3）＝1+3＝4，OC＝，∴△ABC的面积为：＝3，故答案为：3．10．解：①抛物线系数a＝1，∴开口向上正确；②当x＝1时代入抛物线解析式y＝12﹣（m+1）×1+m＝0，∴该函数图象一定经过点（1，0）正确；③令x2﹣（m+1）x+m＝0，△＝（m+1）2﹣4m＝（m﹣1）2，当m＝1时该函数图象与x轴只有一个公共点，故该函数图象与x轴有两个公共点不正确；④∵y＝x2﹣（m+1）x+m＝（x﹣）2+，∴二次函数y＝x2﹣（m+1）x+m（m为常数）的顶点坐标为（，），又∵＝﹣＝﹣（﹣1）2，∴函数图象的顶点在函数y＝﹣（x﹣1）2的图象上正确，故答案为①②④．11．解：∵二次函数y＝2x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），∴0＝2×12﹣3×1+m，解得，m＝1，故答案为：1．12．解：∵对于任意实数a，抛物线y＝x2+2ax+a+b与x轴都有交点，∴△≥0，则（2a）2﹣4（a+b）≥0，整理得b≤a2﹣a，∵a2﹣a＝（a﹣）2﹣，∴a2﹣a的最小值为﹣，∴b≤﹣，故答案为b≤﹣．13．解：当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（﹣1，0），B（3，0），抛物线的对称轴为直线x＝1，当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，则C（0，﹣3），当x＝4时，y＝x2﹣2x﹣3＝5，则D（4，5），连接AD交直线x＝1于E，交y轴于F点，如图，∵BE+DE＝EA+DE＝AD，∴此时BE+DE的值最小，设直线AD的解析式为y＝kx+b，把A（﹣1，0），D（4，5）代入得，解得，∴直线AD的解析式为y＝x+1，当x＝1时，y＝x+1＝2，则E（1，2），当x＝0时，y＝x+1＝1，则F（0，1），∴S△ACE＝S△ACF+S△ECF＝×4×1+×4×1＝4．故答案为4．14．解：∵抛物线y＝a（x﹣）2+k的对称轴为直线x＝，而抛物线与轴的交点为A（﹣3，0），B（m，0），∴m﹣＝﹣（﹣3），解得m＝4，即B（4，0），∴关于x的一元二次方程a（x﹣）2+k＝0的解是x1＝﹣2，x2＝5．故答案为x1＝﹣2，x2＝5．15．解：∵m+n＝0，∴m＝﹣n，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣n，∵A点坐标为（n，0），∴B点坐标为（﹣3n，0），∴抛物线的解析式为y＝a（x﹣n）（x+3n），即y＝ax2+2anx﹣3an2，∴﹣3an2＝﹣4，∴an2＝，当x＝﹣n时，t＝an2﹣2an2﹣3an2＝﹣4an2＝﹣4×＝﹣．故答案为﹣．16．解：当a﹣1＝0时，即a＝1，函数为y＝﹣2x﹣2，此一次函数与坐标轴共有两个交点；当a﹣1≠0，此函数为二次函数，若a﹣3＝0，抛物线解析式为y＝2x2﹣6x，抛物线经过原点且抛物线与x轴有两个交点；若△＝0，抛物线的顶点在x轴上，即△＝（﹣2a）2﹣4（a﹣1）（a﹣3）＝0，解得a＝，抛物线解析式为y＝﹣x2﹣x﹣＝﹣（x+3）2，抛物线的顶点为（﹣3，0），则抛物线与两坐标轴共有两个交点．综上所述，a的值为1或3或．故答案为1或3或．三．解答题（共6小题）17．解：（1）∵一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个不相等的实数根，∴△＞0，即1+4m＞0，∴m＞﹣；（2）二次函数y＝x2+x﹣m图象的对称轴为直线x＝﹣，∴抛物线与x轴两个交点关于直线x＝﹣对称，由图可知抛物线与x轴一个交点为（1，0），∴另一个交点为（﹣2，0），∴一元二次方程x2+x﹣m＝0的解为x1＝1，x2＝﹣2．18．解：令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，解得，x1＝﹣1，x2＝3，∴C（﹣1，0），B（3，0），∴BC＝3﹣（﹣1）＝4；当x＝0时，代入y＝x2﹣2x﹣3，得y＝﹣3，∴D（0，﹣3），∴OD＝3，∴．19．解：（1）将A（2，0）、B（0，﹣1）和C（4，5）三点代入二次函数y＝ax2+bx+c得：，解得：，∴二次函数的解析式为y＝；（2）当y＝0时，＝0，∴x1＝2，x2＝﹣1，∴点D的坐标为（﹣1，0）．20．解：（1）∵抛物线y＝2x2+mx与x轴交于另一点A（2，0），∴2×22+2m＝0，∴m＝﹣4，∴y＝2x2﹣4x＝2（x﹣1）2﹣2，∴顶点M的坐标为（1，﹣2），（2）设直线AM的解析式为y＝kx+b（k≠0），∵图象过A（2，0），M（1，﹣2），∴，解得，∴直线AM的解析式为y＝2x﹣4．21．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）由（1）知，y＝﹣x2﹣2x+3，∴点C的坐标为（0，3），∴OC＝3，∵点B的坐标为（﹣3，0），∴OB＝3，∵∠BOC＝90°，∴△BOC的面积是＝＝．22．解：（1）把A（4，0）代入y＝﹣（x﹣m）2+9得﹣（4﹣m）2+9＝0，解得m＝1或m ＝7，∵点A在点B左侧，∴m＝7，即抛物线的对称轴为直线x＝7，∵CD⊥x轴，DE⊥CD，∴点E与点D关于直线x＝7对称，而D点的横坐标为6，∴DE＝2×（7﹣6）＝2；（2）当y＝0时，﹣（x﹣m）2+9＝0，解得x1＝m﹣3，x2＝m+3，∴A（m﹣3，0），B（m+3，0），∴AB＝m+3﹣（m﹣3）＝6，∴DE＝AB＝3，∵D点的横坐标为6，∴2（m﹣6）＝3，∴m＝．。

2022年春北师大版九年级数学中考一轮复习《一元二次方程的应用》专题达标测试(附答案)

2022年春北师大版九年级数学中考一轮复习《一元二次方程的应用》专题达标测试（附答案）一．选择题（共8小题，满分40分）1．某地区计划举行校际篮球友谊赛，赛制为主客场形式（每两队之间在主客场各比赛一场），已知共比赛了30场次，则共有（）支队伍参赛．A．4B．5C．6D．72．如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝8cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P，Q两点从出发开始几秒时，点P和点Q的距离是10cm．（）（若一点到达终点，另一点也随之停止运动）A．2s或s B．1s或s C．s D．2s或s3．某品牌足球2020年单价为200元，到2022年后，公司将该品牌足球的单价确定为162元，则2020年到2022年该品牌足球单价平均每年降低的百分率是（）A．10%B．19%C．20%D．30%4．现要在一个长为40m，宽为26m的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为950m2，那么小道的宽度应是（）A．1m B．1.5m C．2m D．2.5m5．某化肥厂生产的化肥产量经过两年增长21%，则每年比上一年平均增长的百分数为（）A．10%B．10.5%C．11%D．12%6．一个正方形的边长增加3cm，它的面积就增加了39cm2，这个正方形的边长为（）A．5cm B．6cm C．8cm D．10cm7．如图，学校建一长方形自行车棚，一边靠墙（墙长18米），另三边用总长50米的栏杆围成，留2米宽的门，若想建成面积为240平方米的自行车棚，则车棚垂直于墙的一边的长为（）A．6米B．20米C．20米或6米D．不存在8．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形APQC的面积为9cm2时，则点P运动的时间是（）A．3s B．3s或5s C．4s D．5s二．填空题（共8小题，满分40分）9．新冠肺炎全球蔓延，为防控疫情，做到有“礼”有“距”，“碰肘礼”逐渐流行起来．某次会议上，每两个参加会议的人都相互一次“碰肘礼”，经统计所有人共碰肘36次，则这次会议到会人数是人．10．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s；同时，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s，则经过s后，P，Q两点之间相距25cm．11．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是．12．某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元．已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为．13．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t﹣5t2，图象如图所示，则小球从抛出到落地共用时为s．14．某商店如果将进价为每件8元的商品按每件10元出售，那么每天可销售200件，现采用提高售价、减少进货量的方法增加利润，如果这种商品每件的售价每涨1元，那么每天的销售量就会减少20件，若要想每天获得640元的利润，则每件的售价定为最合适．15．小强用一根10m长的铁丝围成了一个面积为6m2的矩形，则这个矩形较大边的长是m．16．一个直角三角形的两条直角边的边长相差7cm，且三角形的面积为30cm2，则该三角形的斜边长为．三．解答题（共6小题，满分40分）17．某服装厂批发应季T恤衫，其单价y（元）与批发数量x（件）（x为正整数）之间的函数关系如图所示．（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）若每件T恤衫的成本价是45元，当100＜x≤500件（x为正整数）时，服装厂如果想获得8000元利润，求一次批发多少件时所获利润为8000元？18．新冠疫情全球爆发，口罩成了生活必需品，某药店销售一种口罩，每包进价为9元，日均销售量y（包）与每包售价x（元）成一次函数关系，且10≤x＜16．当每包售价为11元时，日均销售量是48包，当每包售价为15元时，日均销售量是16包．（1）求y关于x的函数表达式；（2）要使日均利润达到128元，每包售价应定为多少元？19．“疫情”期间，某商场积压了一批商品，现欲尽快清仓．老板决定在抖音直播间降价促销，据调查发现，若每件商品盈利50元，可售出500件，商品单价每下降1元，则可多售出20件，设每件商品降价x元．（1）每件商品降价x元后，可售出商品件（用含x的代数式表示）；（2）若要使销售该商品的总利润达到28000元，并能尽快清仓，则每件商品应降价多少元？20．近日，广西南宁苏爷爷自家果园的上千斤皇帝柑发生蓝变（即果皮白皮层变蓝），无法正常售卖，他决定将这些皇帝柑免费寄给科研人员．网友看到苏爷爷的故事，纷纷订购表示支持．已知苏爷爷自家果园的皇帝柑有两种类型在售，一种是实惠装中型果实（简称“中果”），一种是豪华装大型果实（简称“大果”）．（1）网友小张买了2箱中果，1箱大果，花了116元；网友小李买了1箱中果，2箱大果，花了124元．求每箱中果和大果的售价分别是多少元？（2）在（1）的条件下，正常情况平均每周可销售30箱大果．但为了减少库存，苏爷爷决定对大果降价销售，经调查发现，一箱大果的售价每降低2元，大果的销量每周可增加5箱，如果大果每周的销售额为1600元，且降低后的售价不低于（1）中大果售价的70%．求每箱大果的售价应该降低多少元？21．如图，点O为矩形ABCD内部一点，过点O作EF∥AD交AB于点E，交CD于点F，过点O作GH∥AB交AD于点G，交BC于点H，设CH＝x，BH＝8﹣2x，CF＝x+2，DF＝3x﹣3．（1）x的取值范围是：；（2）矩形BCFE的周长等于；（3）若矩形ABCD的面积为42，x的值为；（4）求矩形OFCH的面积S的取值范围．22．某公司自主研发一款健康的产品﹣﹣燕窝饮品，主要成分是水果和燕窝．经过一段时间的门店销售发现，当售价是40元/杯，每天可售出60杯．若每杯每降低1元，就会多售出3杯．已知每杯饮品的实际成本是20元，每天的其他费用是300元，物价局规定每件销售品的利润率不得高于成本的80%．若每天的毛利润可达到600元．（1）求该饮品的售价；（2）为支持今年的“洪灾”行动，该门店每卖一杯饮品，向某救助基金会捐款1元，求该店每月（按30天计算）的捐款金额．参考答案一．选择题（共8小题，满分40分）1．解：设邀请x个球队参加比赛，根据题意可列方程为：x（x﹣1）＝30．解得：x1＝6，x2＝﹣5（不合题意舍去），答：共有6支队伍参赛．故选：C．2．解：设当P、Q两点从出发开始x秒时（x＜），点P和点Q的距离是10cm，此时AP＝3xcm，DQ＝（16﹣2x）cm，根据题意得：（16﹣2x﹣3x）2+82＝102，解得：x1＝2，x2＝．答：当P、Q两点从出发开始到2秒或秒时，点P和点Q的距离是10cm．故选：D．3．解：设2020年到2022年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，依题意得：200（1﹣x）2＝162，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．故选：A．4．解：设小道的宽度为xm，依题意得：（40﹣2x）（26﹣x）＝950，整理得：x2﹣46x+45＝0，解得：x1＝1，x2＝45．又∵40﹣2x＞0，∴x＜20，∴x＝1．故选：A．5．解：设每年比上一年平均增长的百分数为x，原生产化肥a吨，根据题意可得：a（1+x）2＝a•（1+21%），解得：x1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意舍去），故选：A．6．解：设这个正方形原来的边长为x，则x2+39＝（x+3）2解得x＝5，故选：A．7．解：设垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边的长为（50+2﹣2x）米，依题意得：x（50+2﹣2x）＝240，整理得：x2﹣26x+120＝0，解得：x1＝6，x2＝20．当x＝6时，50+2﹣2x＝50+2﹣2×6＝40＞18，不合题意，舍去；当x＝20时，50+2﹣2x＝50+2﹣2×20＝12＜18，符合题意．故选：B．8．解：设动点P，Q运动t秒后，能使四边形APQC的面积为9cm2，则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，×（8﹣t）×2t＝（24﹣9），解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）．∴动点P，Q运动3秒时，能使四边形APQC的面积为9cm2．故选：A．二．填空题（共8小题，满分40分）9．解：设这次会议到会人数是x人，依题意得：x（x﹣1）＝36，整理得：x2﹣x﹣72＝0，解得：x1＝9，x2＝﹣8（不合题意，舍去）．故答案为：9．10．解：设x秒后P、Q两点相距25cm，则CP＝2xcm，CQ＝（25﹣x）cm，由题意得，（2x）2+（25﹣x）2＝252，解得，x1＝10，x2＝0（舍去），则10秒后P、Q两点相距25cm．故答案是：10．11．解：设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了3t步，甲斜向北偏东方向走了（7t﹣10）步，依题意得：102+（3t）2＝（7t﹣10）2，整理得：40t2﹣140t＝0，解得：t1＝，t2＝0（不合题意，舍去），∴7t＝7×＝．故甲走的步数是．故答案为：．12．解：设每次降价的百分率为x，依题意得：56（1﹣x）2＝31.5，解得：x1＝0.25＝25%，x2＝1.75（不合题意，舍去）．故答案为：25%．13．解：令h＝0，则30t﹣5t2＝0，解得：t＝0或t＝6，∴小球从抛出到落地共用时为6s，故答案为：6．14．解：设每件商品的售价定为x元，则每件商品的销售利润为（x﹣8）元，每天的进货量为200﹣20（x﹣10）＝（400﹣20x）件，依题意得：（x﹣8）（400﹣20x）＝640，整理得：x2﹣28x+192＝0，解得：x1＝12，x2＝16．又∵现采用提高售价，减少进货量的方法增加利润，∴x＝16．∴每件商品的售价定为16元最为合适．故答案为：16．15．解：设这个矩形较大边的长是xm，则较小的边是（5﹣x）m，根据题意，得x（5﹣x）＝6．解得x1＝2（舍去），x2＝3．所以，这个矩形较大边的长是3m．故答案是：3．16．解：设较短直角边的长为xcm，则较长直角边的长为（x+7）cm，依题意得：x（x+7）＝30，整理得：x2+7x﹣60＝0，解得：x1＝5，x2＝﹣12（不合题意，舍去）．∴该三角形的斜边长＝＝＝13（cm）．故答案为：13cm．三．解答题（共6小题，满分40分）17．解：（1）当0＜x≤100且x为正整数时，y＝80；当100＜x≤500且x为正整数时，设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），将（100，80），（500，60）代入y＝kx+b得：，解得：，∴此时y与x的函数关系式为y＝﹣x+85；当x＞500且x为正整数时，y＝60．故y与x的函数关系式为y＝．（2）当100＜x≤500且x为正整数时，y＝﹣x+85．依题意得：（y﹣45）x＝8000，即（﹣x+85﹣45）x＝8000，整理得：x2﹣800x+160000＝0，解得：y1＝y2＝400．答：一次批发400件时所获利润为8000元．18．解：（1）设y关于x的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），将（11，48），（15，16）代入y＝kx+b得：，解得：，∴y关于x的函数表达式为y＝﹣8x+136（10≤x＜16）．（2）依题意得：（x﹣9）（﹣8x+136）＝128，整理得：（x﹣13）2＝0，解得：x1＝x2＝13，∴要使日均利润达到128元，每包售价应定为13元．19．解：（1）∵若每件商品盈利50元，可售出500件，商品单价每下降1元，则可多售出20件，∴当每件商品降价x元时，每件商品的销售利润为（50﹣x）元，可售出商品（500+20x）件．故答案为：（500+20x）．（2）依题意得：（50﹣x）（500+20x）＝28000，整理得：x2﹣25x+150＝0，解得：x1＝10，x2＝15．又∵要尽快清仓，∴x＝15．答：每件商品应降价15元．20．解：（1）设每箱中果的售价为x元，每箱大果的售价为y元，依题意得：，解得：．答：每箱中果的售价为36元，每箱大果的售价为44元．（2）设每箱大果的售价应该降低m元，则每箱大果的售价为（44﹣m）元，每周的销售量为（30+5×）箱，依题意得：（44﹣m）（30+5×）＝1600，整理得：m2﹣32m+112＝0，解得：m1＝4，m2＝28．44×70%＝30.8（元）．当m＝4时，44﹣m＝44﹣4＝40＞30.8，符合题意；当m＝28时，44﹣m＝44﹣28＝16＜30.8，不合题意，舍去．答：每箱大果的售价应该降低4元．21．解：（1）由题意知，解得1＜x＜4，故答案为：1＜x＜4；（2）由题知（8﹣2x+x+x+2）×2＝20，故答案为：20；（3）由题知（8﹣2x+x）（3x﹣3+x+2）＝42，解得x＝2或x＝（舍去），故答案为：2；（4）由题知S＝x（x+2）＝（x+1）2﹣1，∵1＜x＜4，∴22﹣1＜S＜52﹣1，即3＜S＜24．22．解：（1）设该饮品的售价为x元，则每杯的销售利润为（x﹣20）元，每天的销售量为60+3（40﹣x）＝（180﹣3x）杯，依题意得：（x﹣20）（180﹣3x）﹣300＝600，整理得：x2﹣80x+1500＝0，解得：x1＝30，x2＝50．又∵每件销售品的利润率不得高于成本的80%，∴x＝30．答：该饮品的售价为30元．（2）（180﹣3×30）×1×30＝（180﹣90）×1×30＝90×1×30＝2700（元）．答：该店每月（按30天计算）的捐款金额为2700元．。

北师大版九年级数学下册第二章学情评估附答案 (2)

北师大版九年级数学下册第二章综合素质评价一、选择题(每题3分，共30分)1.【教材P30随堂练习T1改编】下列函数是二次函数的是()A．y＝1x B．y＝－x C．y＝x2＋2 D．y＝12x－22．【教材P39习题T3改编】【2021·徐州】在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为()A．y＝(x－2)2＋1 B．y＝(x＋2)2＋1 、C．y＝(x＋2)2－1 D．y＝(x－2)2－13．【教材P35想一想变式】下列抛物线中，开口向下且开口最大．．的是()A．y＝－x2B．y＝－23x2C．y＝13x2D．y＝－3x24．【2022·兰州】已知二次函数y＝2x2－4x＋5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是()A．x＜1 B．x＞1 C．x＜2 D．x＞2 5．【2021·广州】抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1，0)，(3，0)，且与y轴交于点(0，－5)，则当x＝2时，y的值为()A．－5 B．－3 C．－1 D．56．抛物线y＝x2＋2x＋m－1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是() A．m＜2 B．m＞2 C．0＜m≤2 D．m＜－2 7．如图，正方形ABCD的边长为5，点E是AB上一点，点F是AD延长线上一点，且BE＝DF. 四边形AEGF是矩形，则矩形AEGF的面积y与BE的长x 之间的函数关系式为()A．y＝5－x B．y＝5－x2C．y＝25－x D．y＝25－x28．【2022·广西】已知反比例函数y＝bx(b≠0)的图象如图所示，则一次函数y＝cx－a(c≠0)和二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是()9．【中考·河池】如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，则下列结论中，错误．．的是()A．ac＜0 B．b2－4ac＞0 C．2a－b＝0 D．a－b＋c＝0 10．【2022·嘉兴】已知点A(a，b)，B(4，c)在直线y＝kx＋3(k为常数，k≠0)上，若ab的最大值为9，则c的值为()A．1 B.32C．2 D.52二、填空题(每题3分，共24分)11．若抛物线y＝x2＋(a－2)x＋c的顶点在y轴上，则a的值是.12．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是__________．(第12题)(第16题)(第18题)13．已知二次函数y＝3(x＋1)2－m的图象上有三点A(1，y1)，B(2，y2)，C(－2，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为____________．14．某工厂今年八月份医用防护服的产量是50万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，那么十月份医用防护服的产量y(万件)与x之间的函数表达式为____________________________．15．抛物线y＝x2－2kx＋4k通过一个定点，这个定点的坐标是__________．16．廊桥是我国古老的文化遗产，如图是一抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y＝－140x2＋10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8 m的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏警示灯的水平距离EF 约是______________m(结果精确到1 m，5≈2.236)．17．【教材P50习题T2改编】某商店经营一种水产品，成本为每千克40元，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量减少10千克，针对这种水产品的销售情况，销售单价定为________元时，获得的月利润最大．18．如图，在边长为10 cm的正方形ABCD中，P为AB边上任意一点(P不与A，B两点重合)，连接DP，过点P作PE⊥DP，垂足为P，交BC于点E，则BE 的最大长度为__________．三、解答题(19～21题每题10分，其余每题12分，共66分)19．已知二次函数y＝x2＋2x＋m的图象过点A(3，0)．(1)求m的值；(2)当x取何值时，函数值y随x的增大而增大？20．【教材P39例1改编】已知抛物线y＝3x2－2x＋4.(1)通过配方将抛物线的表达式写成y＝a(x－h)2＋k的形式；(2)写出抛物线的开口方向和对称轴．21．【教材P44例2变式】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x…－1 0 2 4 …y…－5 1 1 m…求：(1)这个二次函数的表达式；(2)这个二次函数图象的顶点坐标及上表中m的值．22．如图，二次函数y＝x2－2x－3的图象与x轴交于点A，B(A在B的左侧)，与一次函数y＝－x＋b的图象交于A，C两点．(1)求b的值；(2)求△ABC的面积；(3)根据图象直接写出当x为何值时，一次函数的值大于二次函数的值．23．“双减”政策落地后，对校外培训机构的影响巨大，不管是机构还是机构老师都面临着转型，培训机构李老师推出了“热学文化”新零售项目．他新开了甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，甲店一天可售出某品牌科技产品20件，每件盈利26元；乙店一天可售出同一品牌科技产品32件，每件盈利20元．经调查发现，每件此种科技产品每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件．设甲店每件降价a元时，一天可盈利y1元，乙店每件降价b元时，一天可盈利y2元．(1)当a＝5时，求y1的值；(2)求y2关于b的函数表达式；(3)若李老师规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件此种科技产品下降多少元时，两家分店一天的盈利和最大，最大是多少元？24．【2022·大庆】某果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量．如果多种树，那么树之间的距离和每棵果树所受光照就会减少，每棵果树的平均产量随之降低．根据经验，增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为75 kg.在确保每棵果树平均产量不低于40 kg的前提下，设增种果树x(x＞0且x为整数)棵，该果园每棵果树平均产量为y kg，它们之间的函数关系满足如图所示的图象．(1)图中点P所表示的实际意义是______________________________，每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少________kg.(2)求y与x之间的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围．(3)当增种果树多少棵时，果园的总产量w(kg)最大？最大总产量是多少？答案一、1.C 2.B3.B 点要点:抛物线y ＝ax 2的开口大小由|a |决定，|a |越大，开口越小；|a |越小，开口越大．4．B 5.A 6.A 7.D 8.D 9.C10.C 点思路:由题意得ak ＋3＝b ，4k ＋3＝c .从而将ab 看成二次函数的因变量，化成顶点式：ab ＝k (a ＋32k )2－94k ，则ab 的最大值为－94k ＝9，解得k ＝－14.从而c ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＋3＝2. 二、11.2 12.－1＜x ＜3 13.y 3＜y 1＜y 2 14．y ＝50(x ＋1)2 15.(2，4) 16.18 17.70 18.52 cm 提示:如图，设AP ＝x cm ，BE ＝y cm.∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A ＝∠B ＝90°. ∴∠1＋∠2＝90°. ∵PE ⊥DP ， ∴∠2＋∠3＝90°. ∴∠1＝∠3. ∴△ADP ∽△BPE .∴AD BP ＝AP BE ，即1010－x ＝x y .整理，得y ＝－110(x －5)2＋52(0＜x ＜10)．∴当x ＝5时，y 有最大值52.三、19.解：(1)∵二次函数y ＝x 2＋2x ＋m 的图象过点A (3，0)，∴9＋6＋m ＝0，解得m ＝－15.(2)∵y ＝x 2＋2x －15＝(x ＋1)2－16， ∴二次函数的图象的对称轴为直线x ＝－1. ∵a ＝1＞0，∴当x ＞－1时，函数值y 随x 的增大而增大．20．解：(1)y ＝3x 2－2x ＋4＝3[x 2－23x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132－⎝ ⎛⎭⎪⎫132]＋4＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132－13＋4＝3(x －13)2＋113.(2)开口向上，对称轴是直线x ＝13.21．解：(1)将⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－5，⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1和⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧a －b ＋c ＝－5，c ＝1，4a ＋2b ＋c ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝4，c ＝1.∴这个二次函数的表达式为y ＝－2x 2＋4x ＋1. (2)∵y ＝－2x 2＋4x ＋1＝－2(x －1)2＋3， ∴图象的顶点坐标为(1，3)．当x ＝4时，y ＝－2×16＋16＋1＝－15，即m ＝－15.22．解：(1)令y ＝0，则y ＝x 2－2x －3＝0，解得x ＝3或x ＝－1. ∴A (－1，0)，B (3，0)．将点A (－1，0)的坐标代入y ＝－x ＋b ，得1＋b ＝0，解得b ＝－1. (2)解方程组⎩⎨⎧y ＝x 2－2x －3，y ＝－x －1，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－3，∴点C 的坐标为(2，－3)． ∴△ABC 的面积为12×4×3＝6.(3)当－1＜x ＜2时，一次函数的值大于二次函数的值． 23．解：(1)由题意可得y 1＝(26－a )(20＋2a )，当a ＝5时，y 1＝(26－5)×(20＋2×5)＝630.(2)由题意可得，y 2＝(20－b )(32＋2b )＝－2b 2＋8b ＋640.(3)设两家下降的价格都为x 元，两家的盈利和为w 元，则w ＝(26－x )(20＋2x )＋(－2x 2＋8x ＋640)＝－4x 2＋40x ＋1 160＝－4(x －5)2＋1 260. ∴当x ＝5时，w 取得最大值，此时w ＝1 260.答：每件此种科技产品下降5元时，两家分店一天的盈利和最大，最大是1 260元．24．解：(1)增种果树28棵时，每棵果树平均产量为66 kg ；12(2)设y 与x 之间的函数表达式为y ＝kx ＋b . 把⎩⎨⎧x ＝10，y ＝75，⎩⎨⎧x ＝28，y ＝66分别代入上式，得⎩⎨⎧10k ＋b ＝75，28k ＋b ＝66，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，b ＝80.∴y 与x 之间的函数表达式为y ＝－12x ＋80，自变量x 的取值范围是0≤x ≤80.(3)w ＝(60＋x )⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋80＝－12x 2＋50x ＋4 800.∵－12＜0，∴x ＝－502×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝50时，w 最大＝6 050.答：当增种果树50棵时，果园的总产量w (kg)最大，最大总产量是6 050 kg.。

九年级上册数学《二次函数》单元测试卷(附答案)

(1)求这条抛物线的顶点坐标和对称轴;
(2)求该抛物线在x轴上截得的线段长．
17.已知抛物线图象经过点(﹣1，0)，点(3，0);
(1)求抛物线函数解析式;(2)求函数的顶点坐标.
18.已知二次函数．
(1)求证:无论k取何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个交点;
(2)若此二次函数图象的对称轴为x=1，求它的解析式.
4.已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是()
A. ﹣1＜x＜4B. ﹣1＜x＜3C.x＜﹣1或x＞4D.x＜﹣1或x＞3
【答案】B
【解析】
试题分析:观察图象可知,抛物线y=x2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标分别为(﹣1,0)、(3,0),
所以当y＜0时,x的取值范围正好在两交点之间,即﹣1＜x＜3．
故选B．
考点:二次函数的图象．106144
5.关于二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象，下列说法中错误的是()
A.当x＜2，y随x的增大而减小B.函数的对称轴是直线x=1
C.函数的开口方向向上D.函数图象与y轴的交点坐标是(0，﹣3)
【答案】A
【解析】
试题分析:∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4，
∴抛物线开口向上，对称轴为x=1，当x＜1时y随x的增大而减小，故B、C正确，A不正确，
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【详解】①∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x= =﹣1，∴b=2a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＞0，所以①正确;
②∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2-4ac＞0，∴4ac <b2，所以②正确;