第7章 平稳时间序列模型预测

已知某地区每年常驻人口数量近似服从MA(3)模型 （单位：万人）：
X t 1 0 0 t 0 . 8 t 1 0 . 6 t 2 0 . 2 t 3 , 2 2 5
最近3年的常驻人口数量及一步预测数量如下：
年份
统计人数
预测人数
2002
104
110
2003
108
100
2004
105
在预测方差最小原则下得到的估计值 xˆ t l 是序列值Xt+1在
Xt ,Xt-1,…已知的情况下得到的条件无偏最小方差估计值。 预测方差只与预测步长 l 有关，而与预测起始点t无关。 预测步长越大，预测值的方差也越大；因而为了保证预测的
精度，时间序列数据通常只合适做短期预测。
4
AR(p)序列的预测
MA(q)序列的预测
当预测步长l小于等于MA模型的阶数q即l≤q时，Xt+l可以分解 为：
X tl tl 1tl1 2 tl2
q tlq
tl l1t1 l tl1t1 q tlq
etl
wenku.baidu.com
x ˆtl
预测误差
预测值
特别当 l=1时有 Xt1 t1xˆt 1 ，即 t1Xt1xˆt 1
今年第一季度该超市月销售额分别为： 101，96，97.2万元
请确定该超市第二季度每月销售额的95％的置信区间
7
解: (1) 预测值计算
X t 1 0 0 .6 X t 1 0 .3 X t 2t, t~N (0 ,3 6 )
x 1 1 0 1 ,x2 9 6 ,x 3 9 7 .2
四月份: x ˆ3 (1 ) 1 0 .6 x 3 0 .3 x 2 9.1 72
在AR(p)序列场合有：
X t 1 X t 1 2 X t 2 p X t p t
预测值
X ˆtlEXtl Xt,Xt-1，
E1Xtl12Xtl2 pXtlpt Xt,Xt-1，
1X ˆtl12X ˆtl2 pX ˆtlp
5
AR(p)序列的预测
预测方差 et(l)tlG 1tl1 G l1t1 var[et(l)](1G 12 G l2 1) 2
第七章 平稳时间序列模型预测
1
时间序列预测
定义：根据时间序列过去时刻的观测值，对序列在 未来某个时刻的取值进行估计。
设平稳时间序列{Xt} 是一个ARMA(p,q)过程，即
X t1X t 1pX tpt1t 1qt q,
t~W N0 ,2, st,E X st0
设当前时刻为t，已知时刻t和以前时刻的观测值xt-1,
五月份: x ˆ3 (2 ) 1 0 .6 x ˆ3 (1 ) 0 .3 x 3 9.4 732
六月份: x ˆ3 (3 ) 1 0 0 .6 x ˆ3 (2 ) 0 .3 x ˆ3 (1 ) 9.5 7952
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解: (2)预测方差的计算
计算Green函数: 根据递推公式
方差
G0 1
G1 1G0 0.6 G2 1G12G0 0.360.30.66
var[e3(1)]G022 36 var[e3(2)](G02G12)2 48.96 var[e3(3)](G02G12G22)2 64.6416
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解: (3)置信区间
l 步预测销售额的95%置信区间为：
( x ˆ 3 ( l) 1 .9 6 v a r [ e 3 ( l) ],x ˆ 3 ( l) 1 .9 6 v a r [ e 3 ( l) ] )
xˆt
(l)
q il
i tli
0
,l q ,l q
说明MA(q)序列理论上只能预测q步之内的序列走势， 超过q步预测值恒等于序列均值。这是由MA(q)序列 自相关q步截尾的性质决定的。
预测方差：var[et(l)]((1 1 1 12 2
l2 1) 2 q 2)2
,lq ,lq
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例7.3
估计结果
预测时期 四月份 五月份 六月份
95％置信区间 （85.36，108.88） （83.72，111.15） （81.84，113.35）
预测值 97.12 97.432 97.5952
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例:北京市城乡居民定期储蓄比例序列拟合 与预测图(预测1999-2003)
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X t t 1 t 1 2 t 2 q t q
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MA(q)序列的预测
当预测步长l大于等于MA模型的阶数q，即l >q时， Xt+l可以分解为：
X tl tl 1 tl1 2 tl2
q tlq
tl 1 tl1 2 tl2 q tlq 0
etl
X ˆtl
预测误差
预测值
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MA(q)序列的预测
l步的预测：
109
预测未来5年该地区常住人口的95％置信区间
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解: X t 1 0 0 t 0 . 8 t 1 0 . 6 t 2 0 . 2 t 3 ,2 2 5
年份 2002 2003 2004
统计人数 预测人数
104
110
108
100
105
109
t2 x2002xˆ2001(1)1041106 t1 x2003xˆ2002(1)1081008 t x2004xˆ2003(1)1051094
95％置信区间
X ˆt(l)
1
z11G 12 G l21 2 2
------假设总体服从正态分布
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例7.2
已知某超市月销售额近似服从AR(2)模型 (单位：万元/每月)
X t 1 0 0 . 6 X t 1 0 . 3 X t 2 t , t~ N ( 0 , 3 6 )
x ˆt lEX t l X t,X t 1,
E e t ( l ) 0 , v a r [ e t ( l ) ] G 0 2 G 1 2 G l 2 12
3
说明
x ˆt l EX t l X t,X t 1,
E et(l)0 , v ar[et(l)]G 0 2G 1 2G l2 1 2
xt-2, …，对观测值xt+l进行预测，用 xˆ t l 表示时间序
列Xt的第l步预测值(l>0)。
2
最小均方误差预测
用et(l)衡量预测误差： etlXtl xˆtl
显然，预测误差越小，预测精度就越高。
最小均方误差预测原则： E x ˆtl e t2l m inE e t2l