黑龙江省2013届高三数学第一次模拟考试 文
黑龙江省大兴安岭漠河县第一中学2025届高三3月份第一次模拟考试数学试卷含解析
黑龙江省大兴安岭漠河县第一中学2025届高三3月份第一次模拟考试数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．执行如图所示的程序框图，若输入的3t =，则输出的i =( )A ．9B ．31C ．15D ．632．已知复数,z a i a R =+∈，若||2z =，则a 的值为（ ） A ．1B 3C ．±1D ．33．若关于x 的不等式1127k xx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭有正整数解，则实数k 的最小值为（ ）A ．9B ．8C ．7D ．64．设命题p:n ∃>1,n 2>2n ,则⌝p 为（ ） A ．21,2n n n ∀>> B ．21,2n n n ∃≤≤ C ．21,2n n n ∀>≤D ．21,2n n n ∃>≤5．如图，ABC 中260A B ∠=∠=︒，点D 在BC 上，30BAD ∠=︒，将ABD △沿AD 旋转得到三棱锥B ADC '-，分别记B A '，B D '与平面ADC 所成角为α，β，则α，β的大小关系是（ ）A ．2αβα<≤B ．23αβα≤≤C ．2βα≤，23αβα<≤两种情况都存在D ．存在某一位置使得3a β> 6．若复数221a ii++（a R ∈）是纯虚数，则复数22a i +在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为9，若点， 则的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．128．命题p ：2(1,2],20()x x x a a ∀∈--+≥∈R 的否定为A ．2000(1,2],20()x x x a a ∃∈--+≥∈R B ．2(1,2],20()x x x a a ∀∈--+<∈R C ．2000(1,2],20()x x x a a ∃∈--+<∈R D ．2(1,2],20()x x x a a ∀∉--+<∈R9．己知全集为实数集R ，集合A ={x |x 2 +2x -8>0}，B ={x |log 2x <1}，则()RA B ⋂等于（ ）A ．[-4,2]B ．[-4,2)C ．(-4,2)D ．(0,2)10．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：(2)()f x e f x +=-（其中 2.71828e =），且在区间[,2]e e 上是减函数，令ln 22a =，ln33b =，ln 55c =，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系（用不等号连接）为（ ）A ．()()()f b f a f c >>B ．()()()f b f c f a >>C ．()()()f a f b f c >>D ．()()()f a f c f b >>11．在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为A 1D 1的中点，若三棱锥P −ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A ．12πB ．21π2C ．41π4D ．10π12．已知定义在R 上的函数()f x 的周期为4，当[2,2)x ∈-时，1()43xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()()33log 6log 54f f -+=（ ） A ．32B ．33log 22- C ．12-D ．32log 23+ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
黑龙江省大庆市第十中学2024年高三数学试题期初模拟卷(1)
黑龙江省大庆市第十中学2024年高三数学试题期初模拟卷（1）请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量(,1)a m =，(1,2)b =-，若(2)a b b -⊥，则a 与b 夹角的余弦值为（ ） A ．21313-B ．21313C ．61365-D ．613652．集合{}2,A x x x R =>∈，{}2230B x x x =-->，则A B =（ ）A ．(3,)+∞B ．(,1)(3,)-∞-+∞C ．(2,)+∞D ．(2,3)3．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分； ②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关； ④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步． 其中正确的个数为（ ） A ．B ．C ．D ．4．设(),1,a b ∈+∞，则“a b > ”是“log 1a b <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（ ）．A ．收入最高值与收入最低值的比是3:1B ．结余最高的月份是7月份C ．1与2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元 6．把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一个对称中心为（ ） A ．(,0)3πB ．(,0)4πC ．(,0)12πD ．(0,0)7．若双曲线22214x y a -=3，则双曲线的焦距为（ ）A ．26B ．25C ．6D ．88．已知等差数列{a n }，则“a 2＞a 1”是“数列{a n }为单调递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件9．已知纯虚数z 满足()122i z ai -=+，其中i 为虚数单位，则实数a 等于（ ） A ．1-B ．1C ．2-D ．210．从集合{}3,2,1,1,2,3,4---中随机选取一个数记为m ，从集合{}2,1,2,3,4--中随机选取一个数记为n ，则在方程221x y m n +=表示双曲线的条件下，方程221x y m n+=表示焦点在y 轴上的双曲线的概率为（ ）A ．917B ．817C ．1735D ．93511．已知π3π,22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()3tan π4α-=-，则sin cos αα+等于（ ）． A ．15±B ．15-C ．15D ．75-12．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有一点(3,4)P -，则sin 2α=（ ）． A ．1225-B ．2425-C ．165D ．85二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
东北三省三校2013届高三数学一模试题 理
2013年哈师大附中第一次高考模拟考试理科数学本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U = R ，集合{|2}A x x =≥，{|05}B x x =≤<，则集合()U C A B =A ．{|02}x x <<B ．{|02}x x <≤C ．{|02}x x ≤<D ．{|02}x x ≤≤2．命题“若1x >，则0x >”的否命题是A ．若1x >，则0x ≤B ．若1x ≤，则0x >C ．若1x ≤，则0x ≤D ．若1x <，则0x < 3．在复平面内，复数341iz i+=-对应的点在 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知数列{}n a 是等差数列，且1232a a a π++=，则的值为A B ．C D ．5．与椭圆22:11612y x C +=共焦点且过点(1,3)的双曲线的标准方程为 A ．2213y x -= B ．2221y x -=C ．22122y x -= D ．2213y x -= 6．将4名实习教师分配到高一年级的3个班实习，若每班至少1名教师，则不同的分配方案种数为A ．12B ．36C ．72D ．1087．按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M 的值是A ．5B ．6C ．7D ．8 8．若31()2n x x-的展开式中第四项为常数项，则n =A ．4B ．5C ．6D ．79．已知sin()y A x k ωϕ=++函数的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2π，直线3x π=是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为A ．4sin(4)6y x π=+ B ．2sin(2)23y x π=++ C ．2sin(4)23y x π=++D ．2sin(4)26y x π=++10．点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，AB = BC = 2，AC = 2，若四面体ABCD 体积的最大值为23，则这个球的表面积为 A ．1256π B ．8πC ．254πD ．2516π11．若点P 在抛物线上，则点P 到点的距离与点P 到抛物线焦点的距离之差A ．有最小值，但无最大值B ．有最大值，但无最小值C ．既无最小值，又无最大值D ．既有最小值，又有最大值12．已知ln ()ln 1xf x x x=-+，()f x 在0x x =处取得最大值，以下各式正确的序号为①00()f x x < ②00()f x x = ③00()f x x > ④01()2f x < ⑤01()2f x > A ．①④B ．②④C ．②⑤D ．③⑤第II 卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题要求考生必须作答，第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答。
黑龙江省哈尔滨三中2013届高三数学一模试题 文(含解析)
2013年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
2
：集合
2．（5分）（2010•辽宁）已知a＞0，函数f（x）=ax2+bx+c，若x0满足关于x的方程2ax+b=0，
，∴
处取到最小值是
3．（5分）设S n为等比数列{a n}的前n项和，=（）
，∴
==
4．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（）
垂直于底面，高为
PD=
×（=
5．（5分）如图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）
用
，+
++，
6．（5分）将函数向右至少平移多少个单位，才能得到一个偶函
解：将函数
=，，才能得到一个偶函数．
7．（5分）椭圆，过右焦点F且斜率为k（k＞O）的直线与椭圆交于A，B两点，若=3，则k=（）
）的直线为．与椭圆的方程联立消去
二次方程，利用根与系数的关系及若=3
F
，其中．
．
．
=3，∴﹣
，得到，∴
．
8．（5分）向一个边长为的正三角形内随机投一点P，则点P到三边的距离都不小于1
，
=。
2013东北三省四市一模数学试题含答案_(word版)
2013年哈尔滨市高考复习质量检测（数学科理科答案）一、选择题ACDBD AABBC BD二、填空题xy 23.13±=36.14-6.15- 8204.1617（1）117cos 222cos 2cos 22225A A A A A ++==-, …….3分 27cos 22cos 125A A =-=-所以3cos 5A =……..6分（2）232517cos 525c A c +-==⨯⨯……..8分 得24c c ==或， …….10分 而4sin 5A =,……..11分所以ABC S ∆=4或8……..12分18.解：（1）由分层抽样比a+=10820900100得72=a ………1分………4分本地游客消费平均水平明显低于外地游客，同时外地游客消费水平更加集中，本地的消费水平相对分散。
（其它答法只要合理都给分） ………6分（2）消费]8,5[百元的概率为43，人数)43,3(~B X ， …….8分)3,2,1,0()41()43()(33===-i C i X P iii…….10分49=EX ………12分 19.【解】（1）以点D 为坐标原点，DA 为x 轴正方向，DC 为y 轴正方向，DP 为z 轴正方向，建立空间直角坐标系． …… 1分则()0,0,0D ，()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()0,0,2P ，因为4PE EB = ，4DF FA = ，所以4,0,05F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，442,,555E ⎛⎫⎪⎝⎭，…… 3分则420,,55EF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()1,0,0BC =-，． …… 5分0EF BC ⋅= ，同理0EF PB ⋅=，即EF 垂直于平面PBC 中两条相交直线，所以EF ⊥平面PBC ． …… 6分（2）()1,0,2PA =- ，可设()01PG PA λλ=≤≤，所以向量PG的坐标为(),0,2λλ-， …… 7分平面PBC 的法向量为420,,55EF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ．点G 到平面PCE的距离4PG EF d EFλ⋅=== ． …… 9分PBC ∆中，1BC =，PC =，PB =，所以PBC S ∆=． …… 10分三棱锥G PBC -的体积1113334PBC V S d λ∆=⋅===， 所以34λ=．…… 11分此时向量PG 的坐标为33,0,42⎛⎫- ⎪⎝⎭，PG = PG…… 12分 20.（1）圆心到直线的距离为12，所以半径r = ………1分 抛物线的焦点0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭在圆122=+y x 上，得2P =，所以y x 42= ……….2分设所求直线的方程为11222,(,),(,)y kx B x y c x y =+将直线方程代入抛物线方程，2480x kx --=得。
黑龙江省齐齐哈尔市2013届高三第三次数学模拟考试(文)试题含答案
齐齐哈尔市2013届高三第三次高考模拟考试数学（文）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.其中第II 卷第（22）-（24）题为选考题，其它题为必考题.全卷共150分，考试时间120分钟.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式：锥体体积公式：13V Sh =（其中S 为底面面积，h 为高） 球的体积公式：34π3V R =（其中R 为球的半径）第I 卷（选择题，共60分）一. 选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合1{|24}8x A x R =∈<<，{|24}B x R x =∈-<≤，则A B 等于 （ ） A. (2,2)- B. (2,4)- C. 1(,2)8 D. 1(,4)82. 在复平面内，复数z 满足20131i z i +⋅=（）（i 为虚数单位），则复数z 表示的点在 （ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 抛物线22y x =的准线方程是 （ ） A. 12x =-B. 18x =-C. 12y =D. 18y =- 4. 下列说法正确的是（ ）A. “1>a ”是“()log (01)(0)a f x x a a =>≠+∞，在，上为增函数”的充要条件B. 命题“,R x ∈∃使得0322<++x x ”的否定是：“,R x ∈∀032>”C. “1-=x ”是“0232=++x x ”的必要不充分条件D. 命题p ：“2cos sin ,≤+∈∀x x R x ”，则⌝p 是真命题 5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A. 18 B. 21 C.24 D.276. 执行右面的程序框图，如果输入72,3m n ==，则输出的n 是（ ）A. 12B. 6C. 3D. 0 7. 在一次对“学生的数学成绩与物理成绩是否有关”的独立性检验的试验中，由22⨯列联表算得2K 的观测值7.813k ≈，参照附表：判断在此次试验中，下列结论正确的是 （ ） A. 有99.9%以上的把握认为“数学成绩与物理成绩有关” B. “数学成绩与物理成绩有关” 的概率为99%C. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“数学成绩与物理成绩有关”D. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“数学成绩与物理成绩有关”8. 函数ln x y e x =-的图象是 （ ）9. 已知四棱锥P ABCD -中，侧棱都相等，底面是边长为O ，以PO 为直径的球经过侧棱中点，则该球的体积为 （ ）A.C. 43πD.323π 10. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列，则B 等于（ ） A .6π B.3π C.4π D.23π11. 过双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的右焦点F 作圆222x y a +=的切线FM ，交y轴于点P ，切圆于点M ，若2OM OF OP =+，则双曲线的离心率是 （ ）A.B. C. 2D.12. 函数()f x 的定义域为R ，(0)2f =，对x R ∀∈，有()()1f x f x '+>，则不等式()1x x e f x e ⋅>+的解集为（ ）A. {|0}x x >B. {|0}x x <C. {|1x x <-或1}x >D. {|1x x <-或01}x <<第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答.第（22）题～（24）题为选考题，考生根据要求做答. 二. 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知直线y x a =+与圆224x y +=交于,A B 两点，且0OA OB ⋅=,其中O 为坐标原点，则正实数a 的值为_______________.14. 已知x x 2sin ,31)4sin(则=-π的值为________________.15. 已知点(1,2)A -，点(,)P x y 为平面区域M ：203602x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩内一点，O 是坐标原点，则z OA AP =⋅的最大值为________________.16.已知=== ,a t 均为正实数，则由以上等式，可推测a t += . 三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 中，37a =，且1413,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令211n n b a =-（n N *∈），求数列{}n b 的前n 项和n S .18.（本小题满分12分）2012年伦敦奥运会前夕，在海滨城市青岛举行了一场奥运选拔赛，其中甲、乙两名运动员为争取最后一个参赛名额进行了7轮比赛,得分的情况如茎叶图所示（单位：分）.（Ⅰ）分别求甲、乙两名运动员比赛成绩的平均分与方差；（Ⅱ）若从甲运动员的7轮比赛的得分中任选3个不低于80分且不高于90分的得分，求这3个得分与其平均分的差的绝对值都不超过2的概率. 19.（本小题满分12分）如图，已知三棱锥A BCD -，,AB BD AD CD ⊥⊥，,E F 分别 为,AC BC 的中点，且BEC ∆为正三角形.（Ⅰ）求证：CD ⊥平面ABD ；（Ⅱ）若3CD =，10AC =，求点C 到平面DEF 的距离.BDC20.（本小题满分12分）如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的中心在原点，其上、下顶点分别为,A B ，点B在直线:1l y =-上，点A 到椭圆的左焦点的距离为2.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设P 是椭圆上异于,A B 的任意一点，点P 在y 轴上的射影为Q ，M 为PQ 的中点，直线AM 交直线l 于点C ，N 为BC 的中点，试探究：P 在椭圆上运动时，直线MN 与圆C:222x y b +=的位置关系，并证明你的结论.21.（本小题满分12分）已知函数()ln af x x x=-. （Ⅰ）若()f x 在3x =处取得极值，求实数a 的值； （Ⅱ）若()53f x x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号涂黑. 22.（本小题满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】如图, ⊙O 为ABC ∆的外接圆，直线l 为⊙O 的切线，切点为B ，直线AD ∥l ，交BC 于D ，交⊙O 于E ，F 为AC 上一点，且EDC FDC ∠=∠.求证：（Ⅰ）2AB BD BC =⋅；（Ⅱ）点A 、B 、D 、F 共圆.23.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 曲线1C 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），将曲线1C 上所有点的横坐标伸长为原来的22C . （Ⅰ）求曲线2C 的普通方程；（Ⅱ）已知点(1,1)B ，曲线2C 与x 轴负半轴交于点A ，P 为曲线2C 上任意一点， 求22PA PB -的最大值.（Ⅰ）若函数，求的取值范围；（Ⅱ）若不等式()()1-≥-m x g x f 有解，求m 的取值范围．齐齐哈尔市2013届高三第三次模拟考试数学（文科）答案一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20 分） 13. 2 14.9715. 1- 16. 41 三、解答题（本大题共6小题，共70分。
黑龙江省哈三中2013届高三第一次模拟试题 语文
2013年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试语文试题本试卷分第I卷（阅读题）和第II卷（表达题）两部分，其中第I卷第三、四题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．答题时使用0.5毫米的黑色签字笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I卷阅读题（共70分）甲必考题一、现代文阅读（9分，每小题3分）阅读下面的文字，完成1—3题。
《周易》与中国美学《周易》是中国古代重要的典籍之一，分为《经》、《传》两个部分，《经》大约起源于殷周之际，《传》则是战国或秦汉之际的作品，是用以解释《经》的。
《周易》对中国哲学和美学的发展都很重要。
《周易》对中国美学的影响，首先不在于它所提出的个别直接具有美学意义的概念、范畴，而在于它的整个的思想体系。
因此，在考察它所提出的那些具有美学意义的概念、范畴之前有必要先来考察它的整个思想体系同中国美学的关系。
《周易》的《经》本来是古代用以占卜的书，只是个别地方包含有一些原始的哲学概念。
但经过《传》的解释、引申和发挥，《周易》就远远不是一本占卜的书，而是一步哲学著作了。
《周易》有一个鲜明的特点，那就是企图对包含自然、人类的历史发展等范围极广的问题做出一种总体性的概括和说明，建立一个世界模式。
所以《周易》历来被看做是“弥纶天地，无所不包”。
以“仁”为核心的儒家思想所注意的主要是现实社会政治伦理问题，对于包括自然、社会、人类在内的整个世界的大问题缺乏研究和说明。
以“道”为核心的道家思想虽然确定了他们认为是贯穿整个自然、社会、人类的根本法则——“道”，但他们的兴趣主要集中在“道”的“无为而无不为”的特征上，即合规律性与合目的性的统一上，着眼点是在自然，并且常常流入玄虚，对包含自然和社会两者在内的整个人类世界产生形成及其内在的结构等等问题，仍然没有做出总体性的概括说明。
黑龙江省高三模拟考试数学(理)试卷附答案解析
黑龙江省高三模拟考试数学（理）试卷附答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知复数2z ai =-+(,a R i ∈是虚数单位)对应的点在复平面内第二象限，且6z z ⋅=，则=a AB．C ．2D ．2-2．全集[]1,10U =，集合{|(1)(8)0}A x x x =--≤和[]2,10B =，则()UA B =（ ）A ．()2,8B ．[]2,8C ．[][]1,28,10⋃D ．[)(]1,28,10⋃3．平面直角坐标系中角α的终边经过点()3,4P -，则2cos +π=2α⎛⎫ ⎪⎝⎭（ ）A ．110B ．15C ．45D ．9104．二项式1()(0,0)nax a b bx+>>的展开式中只有第6项的二项式系数最大，且展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍，则ab 的值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．105．下列命题正确的个数是（ ）①)0a b ab +≥>②若0a b >>，0c d << 则ac bd <；③不等式110x+>成立的一个充分不必要条件是1x <-或1x >； ④若i a 、i b 和()1,2i c i =是全不为0的实数，则“111222a b c a b c ==”是“不等式21110a x b x c ++>和22220a xb xc ++>解集相同”的充分不必要条件． A ．1B ．2C ．3D ．46．新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出版产品供给，实现了行业的良性发展.下面是2017年至2021年我国新闻出版业和数字出版业营收情况，则下列说法错误的是（ ）A ．2017年至2021年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加B ．2021年我国数字出版业营收超过2017年我国数字出版业营收的2倍C ．2021年我国新闻出版业营收超过2017年我国新闻出版业营收的3倍D ．2021年我国数字出版业营收占新闻出版业营收的比例未超过三分之一7．若函数()23f x x ax a =-++在[]1,2上单调递减，则a 的取值范围是（ ）A ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8．记单调递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2410a a +=，23464a a a =则A ．112n n n S S ++-=B ．2n n a =C ．21n n S =-D ．121n n S -=-9．已知平面l αβ=，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中错误．．的是（ ） A ．若//m β，则//m l B ．若//m l ，则//m β C ．若m β⊥，则m l ⊥D ．若m l ⊥，则m β⊥10．古希腊阿基米德被称为“数学之神”.在他的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱里内切着一个球，这个球的直径恰好等于圆柱的高，则球的表面积与圆柱的表面积的比值为（ ） A ．12B ．23C ．34D ．4511．已知向量,a b 满足1,a a b =⊥，则向量2a b -在向量a 方向上的投影向量为（ ） A ．a B ．1 C ．-1 D ．a -12．已知函数()()()()1ln ,0,0x x x f x xe x -⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，若关于x 的方程22()()0f x af x a a -+-=有四个不等实根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(0,1]B ．()[),11,-∞-⋃+∞C ．(,1){1}-∞-D ．(){}1,01-二、填空题13．已知(2,1),(,1)a b λ=-=-，若a 与b 夹角为钝角，则实数λ取值范围是___________.14．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布(0,4)N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间(2,4)内的概率为___________.（附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<<+=，(22)0.9545P μσξμσ-<<+=） 15．过抛物线2:4C x y =的焦点Fl ，交抛物线于A ，B 两点，抛物线在A ，B 处的两条切线交于点M ，则MF =______．三、双空题16．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象潮汐．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头：卸货后，在落潮时返回海洋．下表是某港口某天的时刻与水深关系的预报，我们想选用一个函数来近似描述这一天港口的水深y 与时间x 之间的关系，该函数的表达式为__________________________．已知一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与洋底的距离），则该船可以在此港口停留卸货的时间最长为_____________小时（保留整数）．四、解答题17．（1）已知数列{}n a 的前n 项和Sn =n 2+n ，求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的首项为a 1=1，递推公式为an=1+11n a - (2)n ≥，写出这个数列的前5项 18．如图，已知四棱锥V ABCD -的底面是矩形，VD ⊥平面,222,,,ABCD AB AD VD E F G ===分别是棱,,AB VC CD 的中点．(1)求证：EF ∥平面VAD ；(2)求平面AVE 与平面VEG 夹角的大小．19．甲乙丙三人进行竞技类比赛，每局比赛三人同时参加，有且只有一个人获胜，约定有人胜两局（不必连胜）则比赛结束，此人直接赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为12，乙获胜的概率为14，丙获胜的概率为14，各局比赛结果相互独立． (1)求甲在3局以内（含3局）赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值（数学期望）． 20．点(,)P x y 与定点(1,0)F 的距离和它到直线:4l x =距离的比是常数12. （1）求点P 的轨迹方程；（2）记点P 的轨迹为C ，过F 的直线l 与曲线C 交于点,M N ，与抛物线24y x =交于点,A B ，设(1,0)D -，记DMN 与DAB 面积分别是12,S S ，求21S S 的取值范围. 21．已知函数()2e ex xf x =和()221g x x x =-++. (1)求函数()f x 的单调区间和最值；(2)求证：当1x <时()()f x g x <；当1x >时()()f x g x >； (3)若存在12x x <，使得()()12f x f x =，证明122x x +>.22．已知双曲线C 的中心在原点，(1,0)D. (1)求双曲线C 的方程；(2)若过点(3,0)-任意作一条直线与双曲线C 交于A ，B 两点（A ，B 都不同于点D ），求证:DA DB ⋅为定值. 23．已知函数()2f x x =-.（1）解不等式()()242f x f x -+<；（2）若()()2133f x f x m m -++≥+对所有的x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案与解析1．A【详解】试题分析：2(2)(2)46z z ai ai a ⋅=-+--=+= 和 22a = ，z 对应点在第二象限，则0a >，所以a =A ．考点：复数的运算． 2．D【分析】解不等式确定集合A ，然后由集合的运算法则计算． 【详解】{|(1)(8)0}A x x x =--≤[1,8]=，[]2,10B = ∴[]2,8A B ⋂=. ∵[]1,10U =，∴()[)(]1,28,10UA B ⋂=⋃.故选：D ． 3．B【分析】首先根据三角函数定义得到3cos 5α=-，再根据余弦二倍角公式和诱导公式求解即可.【详解】角α的终边经过点()3,4P -，5r == 所以3cos 5α=-.()2311+cos +2π1+cos 15cos +π====22225-ααα⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：B 4．C【分析】根据给定条件求出幂指数n 的值，再求出二项展开式的通项，利用给定关系式即可计算得解. 【详解】因为1()(0,0)nax a b bx+>>的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式共有11项，即10n =于是得101ax bx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为1010102110101C ()()C r r r rr r r r a T ax x bx b ---+==⋅依题意得10210323101023C 3C a a b b--⋅=⋅⋅，化简得8ab =所以ab 的值为8. 故选：C 5．B【分析】利用基本不等式判断①，利用不等式的性质判断②，根据充分条件、必要条件的定义判断③④；【详解】解：对于①，当0a >，0b >时a b +≥当且仅当a b =时取等号，若1a =-、1b 满足0ab >，显然a b +<对于②，若0a b >>，0c d <<则0c d ->->，故ac bd ->-，故ac bd <，故②正确； 对于③，使不等式110x +>，整理得10x x +>，故0x >或1x <-，所以不等式110x+>成立的一个充分不必要条件是1x <-或1x >，故③正确；对于④，不等式210x x ++>与220x x ++>的解集都为R ，但是1112≠ 若111111==---，则不等式210x x ++>与210x x --->的解集不相同 故若i a 、i b 和(1,2)i c i =是全不为0的实数，则“111222a b c a b c ==”是 “不等式21110a x b x c ++>和22220a x b x c ++>解集相同”的既不充分也不必要条件，故④错误．故选：B ． 6．C【分析】根据统计图逐个分析判断即可【详解】解：对于A ，由统计图可知2017年至2021年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加，所以A 正确；对于B ，由统计图可得2021年我国数字出版业营收为5720.9亿元，2017年我国数字出版业营收为1935.5亿元，5720.921935.5>⨯ 所以B 正确；对于C ，由统计图可得2021年我国新闻出版业营收为23595.8亿元，2017年我国新闻出版业营收为16635.3亿元，因为23595.8316635.3<⨯，所以C 错误；对于D ，由统计图可得，2021年我国数字出版业营收为5720.9亿元，新闻出版业营收23595.8亿元，而123595.87865.35720.93⨯≈>，所以D 正确故选：C 7．D【分析】结合二次函数的性质求解函数()f x 的单减区间为3[,)2a +∞，即[]31,2,2a ∞⎡⎫⊆+⎪⎢⎣⎭，列出不等关系求解即可.【详解】由题意，函数()f x 是开口向下的二次函数，对称轴为32ax = 故函数()f x 的单减区间为3[,)2a+∞ 即[]31,2,2a ∞⎡⎫⊆+⎪⎢⎣⎭，故312a ≤解得：23a ≤则a 的取值范围是2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选：D 8．C【分析】先利用等比数列的性质得到3a 的值，再根据24,a a 的方程组可得24,a a 的值，从而得到数列的公比，进而得到数列的通项和前n 项和，根据后两个公式可得正确的选项.【详解】因为{}n a 为等比数列，所以2324a a a =，故3364a =即34a =由24241016a a a a +=⎧⎨=⎩可得2428a a =⎧⎨=⎩或2482a a =⎧⎨=⎩，因为{}n a 为递增数列，故2428a a =⎧⎨=⎩符合.此时24q =，所以2q或2q =-（舍，因为{}n a 为递增数列）.故3313422n n n n a a q ---==⨯= ()1122112n n n S ⨯-==--.故选C.【点睛】一般地，如果{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则有性质： （1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a =；（2）公比1q ≠时则有nn S A Bq =+，其中,A B 为常数且0A B +=；（3）232,,,n n n n n S S S S S -- 为等比数列（0n S ≠ ）且公比为n q .9．D【分析】A 选项.由线面平行的性质可判断；B 选项.由线面平行的判定可判断；C 选项.由线面垂直的性质可判断D 选项.由线面垂直的判定定理可判断. 【详解】A 选项：//m β,由l αβ=，又m α⊂，则由线面平行的性质可得//m l ，故A 正确．B 选项：//m l ，由l αβ=，m β⊄，l β⊂由线面平行的判定可得//m β，故B 正确． C 选项：由l αβ=，则l β⊂，又m β⊥所以m l ⊥，故C 正确．D 选项：因为一条直线垂直于平面内的一条直线不能推出直线垂直于平面，故D 错误．故选：D 10．B【分析】设球半径为R ，则圆柱底面半径为R ，圆柱的高为2R ，根据球和圆柱的表面积公式，即可求出比值.【详解】设球半径为R ，则圆柱底面半径为R ，圆柱的高为2R 则24S R π=球2222226S S S R R R R πππ=+=⋅+⨯=圆柱侧底所以23S S =球圆柱 故选：B. 11．A【分析】根据给定条件，求出(2)a b a -⋅，再借助投影向量的意义计算作答.【详解】因1,a a b =⊥，则2(2)21a b a a b a -⋅=-⋅=，令向量2a b -与向量a 的夹角为θ 于是得(2)|2|cos ||||||a ab a a a b a a a a θ-⋅-⋅=⋅= 所以向量2a b -在向量a 方向上的投影向量为a . 故选：A 12．A【分析】画出函数()f x 的图象，使用换元法，令()t f x =，并构造函数()22=-+-g t t at a a ，通过t 的范围，可得结果.【详解】当0x ≥时()1xf x xe -=，则()()'11-=-x f x x e令()'0f x >，则01x ≤<令()'0f x <，则1x >所以函数()f x 在[)0,1递增，在()1,+∞递减 则()()min 11==f x f ，且当0x ≥时()0f x > 函数()()()()1ln ,0,0x x x f x xe x -⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩图象如图关于x 的方程22()()0f x af x a a -+-=有四个不等实根令()t f x = ()22=-+-g t t at a a则①0=t ，t=1所以()()22001110g a a a g a a a ⎧=-=⎪⇒=⎨=-+-=⎪⎩②()0,1t ∈ ()(),01,∈-∞⋃+∞t 由()()2110=-≥g a则函数()g t 一个根在()0,1，另外一个根在(),0∞-中所以()20001=-<⇒<<g a a a综上所述：(0,1]a ∈ 故选：A【点睛】本题考查方程根的个数求参数，学会使用等价转化的思想以及换元法，考验分析能力以及逻辑推理能力，采用数型结合的方法，形象直观，化繁为简，属难题. 13．1,2(2,)2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】根据a 与b 夹角为钝角可得(2,1)(,1)0a b λ⋅=-⋅-<，求得λ的范围，再去掉向量反向时的值即可得解.【详解】根据题意可得：(2,1)(,1)210a b λλ⋅=-⋅-=--< 可得12λ>-当2λ=，a b =-时，a 与b 方向相反夹角为180，不符题意 所以12λ>-且2λ≠故答案为1,2(2,)2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭.14．0.1359【分析】利用正态分布的对称性计算给定区间内的概率作答.【详解】因长度误差ξ（单位：毫米）服从正态分布(0,4)N ，则0,2μσ== 于是得(22)0.6827P ξ-<<= (44)0.9545P ξ-<<= 所以1(24)(0.95450.6827)0.13592P ξ<<=-=.故答案为：0.1359 15．4【分析】先求出直线l ，设1122(,),(,)A x y B x y ，将直线方程代入抛物线方程化简利用根与系数的关系，再利用导数的几何意求出切线的斜率，从而可求出在A ，B 处的切线方程，再求出点M 的坐标，进而可求出MF【详解】抛物线2:4C x y =的焦点为(0,1)F ，则直线l 为1y =+，设1122(,),(,)A x y B x y由214y x y⎧=+⎪⎨=⎪⎩，得240x --=则12124x x x x +==- 由214y x =，得12y x '=，则过点11(,)A x y 的切线的斜率为112x所以过点11(,)A x y 的切线方程为21111()42x y x x x -=-，即211124x y x x =-同理可得过22(,)B x y 的切线方程222124x y x x =-两切线方程联立，得221212112424x x x x x x -=-，得121()2x x x =+= 所以2111212111()12244x y x x x x x =⋅+-==-所以点M 的坐标为)1-所以4MF =故答案为：416． () 2.5sin()5372f x x π=+ 4【分析】第一空根据表中数据的周期性规律判断为正弦型函数，先由周期计算出ω，再由最值计算出A 和b ，最后由最大值处的数据计算出ϕ，即可得到函数的表达式；第二空先判断出水深的最小值，再由前面求得的函数列不等式，求出解集的宽度即为安全停留时长.【详解】观察表中数据可知，水深与时间近似为正弦型函数.设该函数表达式为()sin()f x A x b ωϕ=++由表中数据可知，一个周期为12小时24分，即744分钟 所以2372T ππω== max min ()()7.5 2.5 2.522f x f x A --=== max ()7.5 2.55b f x A =-=-= (186) 2.5sin()57.52f πϕ=++= 0ϕ∴= 则该函数的表达式为：() 2.5sin()5372f x x π=+.由题可知，水深为4 2.25 6.25+=米以上时安全令() 6.25f x ≥解得62310x ≤≤即安全时间为31062248-=分钟，约4小时. 故答案为：() 2.5sin()5372f x x π=+；4.17．（1）=2n a n ；（2）1=1a ，2a =2 345358,,235a a a ===. 【分析】（1）Sn =n 2+n ，21(2)n S n n n -=-≥ 两式相减即得解；（2）利用递推公式直接求解.【详解】解：（1）由题得Sn =n 2+n 221(1)1(2)n S n n n n n -=-+-=-≥所以两式相减得=2n a n ，又11=2a S =所以=2n a n 适合1n =.所以数列{}n a 的通项公式为=2n a n .（2）由题得1=1a ，2a =1+11=2a 3451325381,1,1223355a a a =+==+==+=. 所以数列的前5项为1=1a ，2a =2 345358,,235a a a ===. 18．(1)证明见详解； (2)π3【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，求出平面VAD 的法向量，然后EF 与法向量垂直可证；（2）分别求出两个平面的法向量再根据平面AVE 与平面VEG 夹角公式可求得.【详解】（1）如图建系()()()()()()1000,100,0,0,1110,020,010,012D A V E C G F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，，， ()()100,001DA DV ∴==，，，，，设平面VAD 的法向量为()=,,,n a b c所以0,0DA n a DV n c ⎧⋅==⎪∴⎨⋅==⎪⎩不妨取()=0,1,0,n 又111,0,,100100,22EF EF n ⎛⎫=-∴⋅=-⨯+⨯+⨯= ⎪⎝⎭ 又EF ⊄平面VAD ，EF ∴∥平面VAD ；（2）由（1）知：()()()()0,1,0,1,0,1,1,0,0,0,1,1AE AV GE GV ==-==-设平面AVE 的法向量为()1=,,n x y z ，平面VEG 的法向量()2=,,n p q r所以110,0AE n y AV n x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩不妨取()1=1,0,1;n同理220,0GE n p GV n q r ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩不妨取()2=0,1,1;n 设平面AVE 与平面VEG 夹角为π,0,2θθ≤≤所以121πcos cos ,,.23n n θθ===∴= 19．(1)12(2)分布列见解析，()4516E X =【分析】（1）根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得.（2）依题意X 的可能取值为2、3、4，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.（1）解：用A 表示“甲在3局以内（含3局）赢得比赛”，k A 表示“第k 局甲获胜”，k B 表示“第k 局乙获胜”， k C 表示“第k 局丙获胜” 则()()()()12123213P A P A A P A A A P A A A =++11111111111222222222⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）解：依题意X 的可能取值为2、3、4所以()()()()121212111111322244448P X P A A P B B P C C ==++=⨯+⨯+⨯= ()()()()()()()1231231231231231234P X P A B C P AC B P B A C P BC A P C A B P C B A ==+++++1113624416=⨯⨯⨯= ()()()7312416P X P X P X ==-=-== 所以X 的分布列为所以()373452348161616E X =⨯+⨯+⨯=20．（1）22143x y +=（2）4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 【解析】（112=，化简即可求出； （2）当直线l 的斜率存在时将直线方程分别与椭圆和抛物线的方程联立，将两个三角形的面积比转化为弦长比，化为关于k 的关系式，求最值求值域即可，之后将直线l 的斜率不存在的情况求出，最后得到答案.【详解】（112= 化简得：223412x y +=，故1C 的方程为22143x y +=. （2）依题意21AB S S MN= ①当l 不垂直于x 轴时设l 的方程是()()10y k x k =-≠联立()21 4y k x y x⎧=-⎨=⎩，得()2222240k x k x k -++= 设()11,A x y ， ()22,B x y 则212224k x x k ++= ()2122412k AB x x k +=++=；联立()221 34120y k x x y ⎧=-⎨+-=⎩得：()22223484120k x k x k +-+-= 设()33,M x y ，()44,N x y 则2342834k x x k +=+ 234241234k x x k -=+()2212134k MN k +==+ 则2221234414,333AB S k S MN k k +⎛⎫===+∈+∞ ⎪⎝⎭②当l 垂直于x 轴时易知AB 4= 223b MN a== 此时1243AB S S MN ==综上，21S S 的取值范围是4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有动点轨迹方程的求解，直线被椭圆截得的弦长，直线被抛物线截得的弦长，属于较难题目.21．(1)单调递增区间为(),1-∞，单调递减区间为()1,+∞，最大值为2，无最小值(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）求出函数的导数，判断导数的正负，即可求得答案；（2）设()()()22e 21ex x h x f x g x x x =-=+--，求导，根据导数的正负，判断()h x 的单调性，结合()10h =，即可证明结论；（3）作出函数()2e e x x f x =，()221g x x x =-++的大致图象，数形结合，利用函数的图象，根据函数值判断根的情况，从而证明结论.(1)∵()()()()()22e e 2e e 2e 1e e x x x x x x x f x ''--'== ∴当1x <时0f x ，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞；当1x >时()0f x '<，函数()f x 的单调递减区间为()1,+∞.∴函数()f x 的最大值为()12f =，无最小值.(2)证明：设()()()22e 21ex x h x f x g x x x =-=+-- 则()()()()21e e 2e 122e e x x xx x h x x ---'=+-= ∴()0h x '≥，当且仅当1x =时等号成立∴函数()h x 单调递增，又()10h =∴当1x <时()0h x <，即()()f x g x <当1x >时()0h x >，即()()f x g x >.(3)证明：结合（1）（2）作出函数()2e e xx f x =，()221g x x x =-++的大致图象：当x →-∞时()f x →-∞；当x →+∞时()0f x →令()()12f x f x m ==，则()012m f <<=.又∵二次函数()g x 的图象开口向下，最大值为()12g =∴存在34x x <，使得()()()()3412g x g x f x f x ===.结合（2）的结论以及图象知3142x x x x <<<∵函数()g x 的图象关于直线1x =对称∴342x x +=∴12342x x x x +>+=【点睛】本题综合考查了导数的应用，考查导数与函数的单调性以及最值得关系，以及利用导数证明相关不等式问题，解答时要注意构造函数，从而利用导数判断新函数的性质，进而证明不等式.22．(1)2212y x -= (2)证明见解析【分析】（1）根据双曲线的性质及其点到直线的距离公式即可求解.（2）根据已知条件设出直线AB 方程及A ，B 的坐标，将直线与双曲线方程联立，得出关于y 的 一元二次方程，根据韦达定理得出12,y y 的关系，再根据向量的数量积的坐标运算即可求解.（1）因双曲线C 的中心在原点，一个顶点是(1,0)D ，则设双曲线C 的方程为：2221(0)y x b b -=>，则c()双曲线C 的渐近线为y bx ±=焦点()到渐近线y bx ±=的距离为d =b =所以双曲线C 的方程为2212y x -=. （2）显然直线AB 不垂直于y 轴，设直线AB 方程：3x ty =-由22322x ty x y =-⎧⎨-=⎩消去x 得：22(21)12160t y ty --+= 当2210t -≠时222(12)64(21)16(4)0t t t ∆=--=+>恒成立设1122(,),(,)A x y B x y ，则 所以1212221216,2121t y y y y t t +==-- 1122(1,),(1,)DA x y DB x y =-=-因此，12121212(1)(1)(4)(4)DA DB x x y y ty ty y y ⋅=--+=--+21212(1)4()16t y y t y y =+-++222216(1)481602121t t t t +=-+=-- 所以DA DB ⋅为定值0.23．（1）()2,2,3⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭；（2）[]4,1-. 【解析】（1）利用分段讨论法去掉绝对值，求出不等式()()242f x f x -+<的解集；（2）由绝对值不等式的意义求出()()13f x f x -++的最小值，得出关于m 的不等式，求解即可．【详解】解：（1）由题知不等式()(24)2f x f x -+< 即2222x x --+<等价于12222x x x <-⎧⎨-+++<⎩或122222x x x -≤≤⎧⎨-+--<⎩ 或22222x x x >⎧⎨---<⎩； 解得<2x -或223x -<≤或2x >，即<2x -或23x >-（2）由题知(1)(3)31(3)(1)4f x f x x x x x -++=-+--+≥+= (1)(3)f x f x ∴-++的最小值为4234m m ∴+≤解得41m -≤≤∴实数m 的取值范围为[4-，1]．。
黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024届高三学年第一次模拟考试数学试卷及答案
2024哈三中高三学年第一次模拟考试数学试卷考试说明：（1）本试卷满分150分．考试时间为120分钟；（2）回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．（3）考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若3-i1+iz =,i 为虚数单位，则z （）A ．2i -B ．12i -C ．12i+D ．2i+2．设集合1{1},12A xB x x ⎧⎫=<=-<<⎨⎩⎭，则A B = （）A ．(,1)-∞B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(1,1)-D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭3．冰嘎别名冰尜，是东北民间少年儿童游艺品，俗称“陀螺”．通常以木镟之，大小不一，一般径寸余，上端为圆柱形，下端为锥形．如图所示的是一个陀螺立体结构图．己知,B C 分别是上、下底面圆的圆心，6,2AC AB ==，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积为（）图1图2A ．803πB ．703πC ．20πD ．563π4．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin cos 2Bb Cc =，且||||CA CB CA CB +=- ，则A =（）A ．6πB ．3πC ．4πD ．2π5．已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m 元和n 元()m n ≠,甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为12,a a ，则（）A ．12a a =B ．12a a <C ．12a a >D ．12,a a 的大小无法确定6．已知数列{}n a 为等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，若4863,,5a a a 成等差数列，则1056S a a =+（）A ．1219B ．114C ．314D ．211367．有3台车床加工同一型号的零件，第1,2,3台加工的次品率分别为5%,2%,4%，加工出来的零件混放在一起．己知第1,2,3台车床加工的零件数的比为4: 5: 11，现任取一个零件，记事件i A =“零件为第i 台车床加工”(1,2,3)i =,事件B =“零件为次品”，则()1P A B =（）A ．0.2B ．0.05C ．537D ．10378．设0a >且1a ≠，若函数()()32223722,0()2log ,0e a x x a a x x f x x x x ⎧-+-++≤⎪=⎨->⎪⎩有三个极值点，则实数a 的取值范围是（）A ．10,(2,e)e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,1(1,e)e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,1(1,2)e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,1(1,2)3⎛⎫ ⎪⎝⎭二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．杭州亚运会于2023年9月23日至10月8日举办，某学校举办了一场关于杭州亚运会相关知识问答竞赛，比赛采用计分制（满分100分），该校学生成绩绘制成如下频率分布直方图，图中3b a =．则下列结论正确的是（）A ．0.01a =B ．该校学生成绩的众数为80分C ．该校学生成绩的75%分位数是85分D ．该校学生成绩的平均分是76.510．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 与椭圆22154x y +=的右焦点重合，,A B 是抛物线C 上不同的两点，O 为坐标原点，则（）A ．抛物线C 的标准方程为24y x=B ．若直线AB 经过点F ,则以线段AB 为直径的圆与y 轴相切C ．若点(1,1),Q P 为抛物线C 上的动点，则PQF 周长的最小值为3+D ．若0OA OB ⋅=,则||||32OA OB ⋅≥11．如图，已知正三棱台111ABC A B C -是由一个平面截棱长为6的正四面体所得，其中12AA =,以点A 为球心，11BCC B 的交线为曲线,P Γ为Γ上一点，则下列结论中正确的是（）A ．点A 到平面11BCCB 的距离为B ．曲线Γ的长度为4πC ．CP 的最小值为2D ．所有线段AP 所形成的曲面的面积为3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则1a =_______．（用数字作答）13．已知圆221:3C x y +=,圆222:(1)(2)3C x y -+-=,直线:2l y x =+．若直线l 与圆1C 交于,A B 两点，与圆2C 交于,D E 两点，,M N 分别为,AB DE 的中点，则||MN =________．14．设*{1,2,,}m N m = 表示不超过()*m m N∈的正整数集合，kA 表示k 个元素的有限集，()S A 表示集合A中所有元素的和，集合(){}*,m k k k m T S A A =⊆N ，则3,2T =_________；若(),32024m S T ≤，则m 的最大值为_________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数21()sincos (0)2f x x x x ωωωω=->．（1）当1ω=时，求函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域；（2）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c AD 为BAC ∠的平分线，若()f x 的最小正周期是2,0,23A f a AD π⎛⎫===⎪⎝⎭，求ABC 的面积．16．如图1，在平行四边形ABCD 中，60,22D DC AD =︒==，将ADC 沿AC 折起，使点D 到达点P 位置，且PC BC ⊥,连接PB 得三棱锥P ABC -,如图2．图1图2（1）证明：平面PAB ⊥平面ABC ;（2）在线段PC 上是否存在点M ,使平面AMB 与平面MBC 的夹角的余弦值为58，若存在，求出||||PM PC 的值，若不存在，请说明理由．17．已知函数()e xf x ax =+．（1）若1a =-,求函数()f x 的单调区间；（2）当0x >时，2()1f x x >+恒成立，求实数a 的取值范围．18．这个冬季，哈尔滨文旅持续火爆，喜迎大批游客，冬天里哈尔滨雪花纷飞，成为无数南方人向往的旅游胜地，这里的美景，美食，文化和人情都让人流连忘返，严寒冰雪与热情服务碰撞出火花，吸引海内外游客纷至沓来．据统计，2024年元旦假期，哈尔滨市累计接待游客304.79万人次，实现旅游总收入59.14亿元，游客接待量与旅游总收入达到历史峰值．现对某一时间段冰雪大世界的部分游客做问卷调查，其中75%的游客计划只游览冰雪大世界，另外25%的游客计划既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人．每位游客若只游览冰雪大世界，则得到1份文旅纪念品；若既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人，则获得2份文旅纪念品．假设每位来冰雪大世界景区游览的游客与是否参观群力音乐公园大雪人是相互独立的，用频率估计概率．（1）从冰雪大世界的游客中随机抽取3人，记这3人获得文旅纪念品的总个数为X ，求X 的分布列及数学期望；（2）记n 个游客得到文旅纪念品的总个数恰为1n +个的概率为n a ,求{}n a 的前n 项和n S ；（3）从冰雪大世界的游客中随机抽取100人，这些游客得到纪念品的总个数恰为n 个的概率为n b ，当n b 取最大值时，求n 的值．19．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222:1(0,0)x y H a b a b-=>>的实轴长为4，渐近线方程为20x y ±=．（1）求双曲线H 的标准方程；（2）过点(4,0)P 作直线l 交双曲线H 左右两支于,A B 两点（异于顶点），点A 关于x 轴的对称点为E ，证明直线BE 过定点Q ；（3）过双曲线H 上任意不同的两点,C D 分别作双曲线H 的切线，若两条切线相交于点M ，且0MC MD ⋅=，在第（2）的条件下，求MPQ S 的最大值及此时点M 的坐标．2024哈三中高三学年第一次模拟考试数学答案1-4CCDA5-8BADC9ACD10AD11ACD12．2401314．{3,4,5}；2215．（1）1,12⎛⎤-⎥⎝⎦（2）216．（1）略（2）2317．（1）单调递减区间(,0)-∞单调递增区间(0,)+∞（2）2a e>-18．（1）2727(3)(4)6464P X P X ====91(5)(6)6464P X P X ====15()4E X =（2）34(4)4nn S n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（3）12519．（1）2214x y -=（2）(1,0)Q （3）(0,MPQ S M =。
黑龙江省哈尔滨十九中2024学年高三数学第一学期期末经典模拟试题含解析
黑龙江省哈尔滨十九中2024学年高三数学第一学期期末经典模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在线段1CB 上，且12B P PC =，平面α经过点1,,A P C ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面面积为（ ）A ．36B ．26C ．5D 532．已知EF 为圆()()22111x y -++=的一条直径，点(),M x y 的坐标满足不等式组10,230,1.x y x y y -+≤⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩则ME MF ⋅的取值范围为（ ）A ．9,132⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]4,13C ．[]4,12D ．7,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．若直线240x y m ++=经过抛物线22y x =的焦点，则m =（ ） A ．12B ．12-C ．2D ．2-4．已知2π()12cos ()(0)3f x x ωω=-+>.给出下列判断： ①若12()1,()1f x f x ==-，且12minπx x -=，则2ω=；②存在(0,2)ω∈使得()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到的图象关于y 轴对称；③若()f x 在[]0,2π上恰有7个零点，则ω的取值范围为4147,2424⎡⎫⎪⎢⎭⎣； ④若()f x 在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.其中，判断正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．已知向量()3,2AB =，()5,1AC =-，则向量AB 与BC 的夹角为（ ） A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒6．已知向量()()1,3,2a m b ==-，，且()a b b +⊥，则m =( ) A ．−8 B ．−6 C ．6D ．87．集合{}2|30A x x x =-≤，(){}|lg 2B x y x ==-，则A B ⋂=( )A ．{}|02x x ≤<B ．{}|13x x ≤<C ．{}|23x x <≤D ．{}|02x x <≤8．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的-一个公共点，且1223F PF π∠=，设椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则12,e e 的关系为（ ）A ．2212314e e += B ．221241433e e += C ．2212134e e += D ．221234e e +=9．小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00~12：10之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（ ） A ．12B ．45C ．38D ．3410．在复平面内，复数(2)i i +对应的点的坐标为（ ） A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)-D ．(2,1)-11．已知定义在[)1,+∞上的函数()f x 满足()()33f x f x =，且当13x ≤≤时，()12f x x =--，则方程()()2019f x f =的最小实根的值为（ ）A ．168B ．249C ．411D ．56112．数列{}n a 满足：21n n n a a a +++=，11a =，22a =，n S 为其前n 项和，则2019S =（ ） A ．0B ．1C ．3D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
黑龙江省哈尔滨市黑龙江省实验中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学学科试题(无答案)
黑龙江省实验中学2024-2025学年度高三学年上学期第一次月考数学试题考试时间：120分钟总分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，.则（ ）A. B. C. D.2.函数的大致图象是（ ）A. B.C. D.3.“”是“函数在区间上存在零点”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若，则的值为（ ）A. B.C. D.5.已知函数为偶函数，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.6.定义在R 上的奇函数，满足，当时，，若{}2,,12,0A =-{}2,A B y y x x x ==+∈{}260C Z x x x =-≤∈B C = {}0,2{}0,2,6{}1,2,0,2-{}0,2,6,2()()e 211x x f x x -=-2a ≤-()3f x ax =+[1,2]-1tan 1421tan 4πθπθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫-- ⎪⎝⎭sin 2θ35-3545-45||()2()x m f x m +=∈R ()2log 0.8a f =()0.23b f =c f=a b c <<c a b<<a c b<<b c a<<()f x (2)()f x f x -=[0,1]x ∈2()log (2)f x x a =++，则（ ）A. B. C. D.7.若函数与在处有相同的切线，则（ ）A. B.0C.1D.28.已知函数，，对任意，存在，使，则的最小值为（ ）.A.1C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设，则（ ）A. B.C. D.10.已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ）A. B.的最大值为C.的最小值为4 D.的最小值为11.已知，，下列说法正确的是（ ）A.若方程有两个不等的实数根，则B.C.若仅有一个极值点，则实数D.当时，恒成立三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则______.(15)3(5)f f b =+a b +=233log 3-243log 3-234log 3-244log 3-ln ()x f x x=()e x ag x b -=-1x =a b +=1-2()e xf x =()1g x x =-1x ∈R 2(0,)x ∈+∞()()12f x g x =21x x -2ln 2+31ln 222+sin100t ︒=cos100︒=cos 40cos502t ︒︒=22sin 851t︒-=-tan 370︒=x 2(23)(3)10a m x b m x +--->()0,0a b >>1(,1),2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭21a b +=ab 1812a b +11a b+3+2()xe f x x=()ln 2g x x x =+()0g x k -=12k e>-(3)(1)(4)f f f <<()()()kh x f x g x x=-k e ≤0x >()2f x e ex ≥-sin cos αα-=9cos 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭13.已知是定义域为的偶函数，且，当时，，则使得成立的的取值范围是______.14.已知函数，若函数，当恰有3个零点时，求的取值范围为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，以轴为始边的锐角和钝角的终边分别交单位圆于，两点.已知点.（1）求；（2）求的值.16.（本小题满分15分）已知函数.（1）当时，求的最大值；（2）讨论函数在区间上零点的个数.17.（本小题满分15分）（1）求的值.（2）已知函数.若，，求的值.18.（本小题满分17分）()f x (,0)(0,)-∞+∞ (2)0f =0x<()()0xf x f x '->()0f x >x 211(0)()2242(0)x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪++≤⎩()(())2g x f f x m =--()g x m xOy Ox αβA B A B sin()αβ+2αβ-21()ln (R)2f x x ax a =-∈1a =()f x ()f x 21,e ⎡⎤⎣⎦)tan 70cos10201︒︒︒-23()2sin()cos 2f x x x x ππ⎛⎫=-+--⎪⎝⎭014625f x π⎛⎫-=⎪⎝⎭03,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦0sin 2x已知是定义在上的奇函数，当时，.（1）求函数在上的解析式；（2）若对任意的，都有不等式恒成立，求实数的取值范围.19.（本小题满分17分）已知函数，.（1）求函数的单调区间；（2）若函数的两个极值点分别为，，证明：()y f x =R 0x <2()log (1)f x x =-()f x R [)1,x ∈+∞()()22210f x m f x mx ++-+<m 2()2ln f x x ax x =-+R a ∈()f x ()f x 1x 2x ()()121282f x f x a x x a ->--。
黑龙江省教研联合体2013届高三第一次模拟考试数学(文)试题
2012~2013学年度高三年级第一次模拟考试数 学 试 题（文）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知{1,2,3,4,5,6,7,8},{1,3,5,7},{2,4,5}U A B ===,则()U C A B ⋃等于 （ ）A ．{6,8}B ．{5,7}C ．{4,6,7}D ．{1,3,5,6,8} 2．已知i 为虚数单位，复数122iz i -=-，则复数z 的虚部是 （ ） A ．35i -B ．35-C ．45iD ．453．函数1(,1)a e -∈，则函数|||log |x a y a x =-的零点的个数为（ ）.1A B. 2 C. 3 D. 44.已知12F F 、是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，以线段12F F 为边作正12MF F ∆，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A ．423+ B ．31- C ．3+12D ．3+1 5.阅读右边的程序框图，若输出的S 的是-14，则判断框内可填写（ ）A ．6?i <B ．8?i <C ．5?i <D ．7?i <开始i=1S=2S=S-ii=i+2输出S结束是否第5题图6．将函数2cos()36x y π=+的图像按向量(,2)4a π=--平移，则平移后所得的图像解析式为 （ ）A ．2cos()2312x y π=++B ．2cos()234x y π=-+ C ．2cos()2312x y π=--D ．2cos()234x y π=+-7．若某几何体的三视图如图所示，则几何体的体积是（ ）212第7题图A ．13B ．23C ．1D ．28．已知点O 是边长为1的等边ABC ∆的中心，则()()OA OB OA OC +∙+等于（ ）A ．19B ．19-C ．36-D ．16-9．某变量x 与y 的数据关系如下： x 174 176 176 176 178 y175175176177177则对的线性回归方程为（ ）A ．1y x =-B ．1y x =+C ．1882y x =+D ．176y =10．在直角坐标系xoy 中，已知三边所在的方程分别为0,0,2330x y x y ==+=，则AOB ∆内部和边上的挣点（即横纵坐标均是整数的点）的总数为（ ） A ．95 B ．91 C ．88D ．7511．已知抛物线23y x =-+上存在关于直线0x y +=对称相异两点A B 、，则||AB 等于（ ） A ．3B ．4C ．32D ．4212．已知数列{}n a 的通项公式为21(*)n a n n N +-∈，现在将该数列{}n a 的各项排列成如图的三角阵：记M (,)a b 表示该数阵中第a 行的第b 个数，则数阵中的奇数2013对应于（ ）第1行 1 第2行 3 5第3行 7 9 11第4行 13 15 17 19................................................................................................................... A ．M (46,16)B ．M (46,25)C ．M (45,17)D ．M (45,18)13．函数20.3y=log (2)x x --的单调递增区间是 。
度高三数学上学期第一次强化训练试题文(2021年整理)
编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（黑龙江省五常市2017-2018学年度高三数学上学期第一次强化训练试题文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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文一、选择题1。
设全集U=R ，集合A={x ｜x 2log ≤2｝，B=｛x|（x ﹣3）(x+1）≥0},则（B C U ）∩A=（ ） A ．（﹣∞，﹣1] B ．(﹣∞，﹣1]∪(0，3） C ．[0，3） D ．（0,3） 2。
复数ii3在复平面上对应的点位于（ ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3。
已知向量和,若，则=（ ）A ．64B ．8C ．5D ．4。
如图，侧棱垂直于底面的三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的各棱长均为2，其正视图如图所示,则此三棱柱侧视图的面积为（ ）A ．2B ．4C ．D ．25。
为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况,将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3,第1小组的频数为6,则报考飞行员的学生人数是（ )A ．36B ．40C ．48D ．506。
双曲线2221y x b-=的离心率5e =，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．12y x =±B ．15y x =± C 。
y =±2x D ．y =±5x7。
已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为n s ,若12543=++a a a ,则7s 的值为（ ） A ．56 B ．42 C ．28 D ．14 8.已知函数f （x ）=sin2x ﹣cos2x+1，下列结论中错误的是（ ) A ．f(x ）的图象关于(,1）中心对称 B ．f （x ）在（,）上单调递减 C ．f （x ）的图象关于x=对称D ．f （x ）的最大值为39.某程序框图如图所示，运行该程序输出的k 值是( ）A ．4B ．5C ．6D ．710。
哈三中2013年一模数学文科
黑龙江省哈三中2013届高三第一次模拟数学文试题考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考 试时间120分钟.一、选择題(本大題共12小题，每小题5分，共60分，在每小題给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.）A . φB. [0,+ ∞)C. [1,+ ∞)D. [－1,+ ∞)2.已知a>0,函数f(x)=ax 2+bx +c.若；x 0满足关于x 的方程2ax+b=0，则下列选项的命题中为假命题的是A. )()(,0x f x f R x ≤∈∃B. )()(,0x f x f R x ≥∈∃C. )()(,0x f x f R x ≤∈∀D. )()(,0x f x f R x ≥∈∀A. 11B. 5 C -8 D -114.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的外接球的表 面积为框图，其中判断框内应填入的条件是A. i>12?B. i>11?C. i>10?D. i>9?2sin(3)(+x x f B.125π C. 142=+y，过右焦点F 且斜率为k(k > O)的直线与椭圆交于A ，B 两 点，若'=，则k =8.向一个边长为率为A.919.掷同一枚骰子两次，则向上点数之和不小于6的概率是A.4310. 在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,O 为底面ABCD 的中心,E 、F 分别是CC 1与AD 中点，那么异面直线OE 与FD 1所成的角的余弦值是11. 若函数f(x)=2x 2-lnx 其定义域的一个子区间（k-1,k+1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是A. 23>kB. -<k 2321><-k D 1<≤k 12. )0,0(122>>=-b a by左支上的一点，F 1,F 2分别是双曲线的左、右焦点，，双曲线离心率为A.1122+-e e二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上.）13.已知i 为虚数单位，则复数. =14.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽 出了一个容量为n 且支出在[20,60)元的样本，其频率分布直方图如图所示，根据此图估计学生在课外 读物方面的支出费用的中位数为______元15. ΔABC 中，AB = 3，AC = 4,BC=5，P 为BC 边上一动点，则|2|PC PA +的最小值为：_______16. 已知{a n }为等差数列，首项与公差均为非负整数，且满足，则⎩⎨⎧≥+57321a a a 则a 3+2a 2的最小值为________三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. (本小题满分12分）已知函数)0(cos)3sin(sin )(2>++=ωωπωωx x x x f 的最小正周期为π.(1)求w 的值；(II )求函数f(x)在区间]127,6[ππ-的取值范围.18. (本小题满分12分）某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品， 称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据茎叶图.(I) 根据样本数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间 的产品的重量相对稳定；(II) 若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取两件样品重量之差不超过2克的概率.19. (本小题满分12分）如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1= AB = AC = 1,AB丄AC, M是CC1的中点，N是B C的中点，N是B C中点，K是AC中点，点P在A1B1上.(I)求证：PN丄 AM(II)求三棱锥P-MNK的体积20.(本小题满分12分）已知：圆O 1过点(0,1),并且与直线y = - 1相切，则圆O 1的轨迹为C ,过一点A (1,1)作直线l,直线l 与曲线C 交于不同两点M ，N ，分别在M 、N 两点处作曲线C 的切线l 1、l 2,直线l 1 ,l 2的交点为K(I )求曲线C 的轨迹方程；(II)求证：直线l 1 ,l 2的交点K 在一条直线上，并求出此直线方程.21.(本小题满分12分）已知函数)(x f (I) 求a ，b 的值；(II)若，x f <)(请考生在第22、23、24三題中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. (本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲 如图，已知O 1与O 2相交于A 、B 两点，过点A 作O 1的切线交O 2于点c ,过点B 作两圆的割线，分别交O 1、O 2于点D 、E ,DE 与AC 相交于点P. (I)求证：ADH //E C ;(II) 若 AD 是O 3 的切线，且PA= 6,PC=2,BD = 9,求AD 的长23. (本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系x O y 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 22y x若曲线C 2与曲线C 1关于直线:y =x 对称(I )求曲线C 2的直角坐标方程；(II)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=交点为A ，与C 2的异于极点的交点B ，求|AB|.24. (本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 设函数f(x)=|x-1|+|2x-3|-a .(I)当a = 2时，求不等式f(x)≥0的解集； (II )若f(x) ≥O 恒成立,求a 的取值范围.2013年哈三中第一次高考模拟考试 数学试卷（文史类）答案及评分标准一、选择题：二、填空题： 13．511 14．9400 15．512 16．13三、解答题： 17. (Ⅰ)整理得43)62sin(21)(++=πωx x f ……………………………… 4分由最小正周期为π，所以1=ω ……………………………… 6分(Ⅱ) 由（1）知 43)62sin(21)(++=πx x f ，]127,6[ππ-∈x所以 ]34,6[62πππ-∈+x ……………………………………… 8分所以 ]1,23[)62sin(-∈+πx …………………………………… 10分所以]45,433[)(-∈x f …………………………………… 12分18. （Ⅰ）设甲、乙两个车间产品重量的均值分别为X 甲 、X 乙，方差分别为2s 甲 、2s 乙，则1221141131111111071136X +++++==甲，1241101121151081091136X +++++==乙， ………2分()()()222211221131141131131136s ⎡=-+-+-⎣甲()()()222111113111113107113⎤+-+-+-⎦21=， ………4分 ()()()222211241131101131121136s ⎡=-+-+-⎣乙()()()222115113108113109113⎤+-+-+-⎦29.33=， ………………6分由于 22s s <甲乙，所以 甲车间的产品的重量相对稳定； ……………7分（Ⅱ）从乙车间６件样品中随机抽取两件，结果共有15个：()()()()()124,110,124,112,124,115,124,108,124,109, ()()()()()110,112,110,115,110,108,110,109,112,115,()()()()()112,108,112,109,115,108,115,109,108,109 ． ………9分设所抽取两件样品重量之差不超过２克的事件为A ，则事件A 共有4个结果：()()()()110,112,110,108,110,109,108,109． ……11分所以 ()415P A =． ………12分19. (Ⅰ)因为1////N K AB A P ，所以1,,,N K A P 四点在一个平面内由于1AA ABC ⊥平面，所以1AA AB ⊥又AB AC ⊥，所以11AB ACC A ⊥，所以AB AM ⊥，又//AB NK 所以AM NK ⊥， ………………………………3 分在正方形中，利用相似可知1AM A K ⊥，故1AM A K N P ⊥平面 所以AM PN ⊥ ……………………………… 6 分 (Ⅱ) 因为1//A P N K ，所以1P M N K A M N K V V --= ………………… 9 分又11111316A M N K N A M K A M K V V N K S --==⋅=. ………………12 分20. (Ⅰ)由定义可知C 的轨迹方程为：24x y = . ……………… 4 分 (Ⅱ)设1122(,),(,)M x y N x y ，直线M N 方程为：1(1)y k x -=- 在M 处切线方程为：112()x x y y =+在N 处切线方程为：222()x x y y =+. ……………… 6 分 解得K 点坐标为1212(,)24x x x x + . ……………… 8分 而21(1)4y k x x y-=-⎧⎨=⎩，整理得24440x kx k -+-=所以2,1k k x k y k ==-， . ……… 11分 故K 点所在直线方程为：220x y --=. . ……… 12分21. （Ⅰ）由2(1)(ln )ln ()()1(1)bx a b x a b x xf x f x x x +-++=⇒'=++·········2分而点))1(,1(f 在直线2=+y x 上, 所以1)1(=f ，又直线2=+y x 的斜率为1-，则1)1(-='f .·········4分 故有⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧-==⇒-=-=1214212b a a b a ···········6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得)0(1ln 2)(>+-=x x xx f由xm x f <)(及,0>x 得m x x x x <+-1ln 2.···········7分 令22)1(ln 1)1()ln 2()1)(ln 1()(,1ln 2)(+--=+--+-='+-=x x x x x x x x x x g x x x x x g .令1()1ln ()10(0)h x x x h x x x=--⇒'=--<>，故)(x h 在区间),0(+∞上是减函数，故当10<<x 时，0)1()(=>h x h ，当1>x 时，0)1()(=<h x h .······10分 从而当10<<x 时，()0g x '>，当1>x 时，0)(<'x g ,则)(x g 在)1,0(是增函数，在),1(+∞是减函数，故1)1()(max ==g x g . 要使m x x x x <+-1ln 2成立，只需1>m . 故m 的取值范围是),1(+∞ ····12分22. 解：（I ）∵AC 是⊙O 1的切线，∴∠BAC ＝∠D ，又∵∠BAC ＝∠E ，∴∠D ＝∠E ，∴AD ∥EC. ············5分 （II ）设BP ＝x ，PE ＝y ，∵PA ＝6，PC ＝2， ∴xy ＝12 ① ∵AD ∥EC ，∴PD PE ＝APPC ，∴9＋x y ＝62② 由①、②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝4 (∵x>0，y>0)∴DE ＝9＋x ＋y ＝16，∵AD 是⊙O 2的切线，∴AD 2＝DB·DE ＝9×16，∴AD ＝12. ·············10分23. （Ⅰ）1C 的直角坐标方程为：22(2)4x y -+= ··········· 3分 所以2C 的直角坐标方程为：22(2)4x y +-= ··········· 6 分（Ⅱ）||2OA =，||OB =，所以||2AB =-. ··········· 10分 24. （Ⅰ） ()0f x ≥解集为：2{|2}3x x x ≥≤或 ·········· 5 分（Ⅱ）12a·········· 10 分。
黑龙江省哈尔滨市第三中学2022-2023学年高三下学期3月第一次模拟考试 数学 Word版含答案
2023年哈三中高三学年 第一次高考模拟考试数学试卷一、选择题（共60分）（一）单项选择题（共8小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合{}2023,1xM y y x -==>，{}2023log ,01N x y x x ==<<，则M N ⋂=（ ） A ．102023y y ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．{}01y y <<C ．112023yy ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．∅2．在△ABC 中，0AB BC ⋅>是△ABC 为钝角三角形的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-．当[]0,1x ∈时，()33f x x x =+，则()2023f =（ ） A ．-4B ．4C ．14D ．04．苏轼是北宋著名的文学家、书法家、画家，在诗词文书画等方面都有很深的造诣．《蝶恋花春景》是苏轼一首描写春景的清新婉丽之作，表达了对春光流逝的叹息词的下阙写到：“墙里秋千墙外道．墙外行人，墙里佳人笑．笑渐不闻声渐悄，多情却被无情恼．”假如将墙看作一个平面，秋千绳、秋千板、墙外的道路看作直线，那么道路和墙面平行，当秋千静止时，秋千板与墙面垂直，秋千绳与墙面平行．在佳人荡秋千的过程中，下列说法中错误的是（ ）A ．秋千绳与墙面始终平行B ．秋千绳与道路始终垂直C ．秋千板与墙面始终垂直D ．秋千板与道路始终垂直5．已知()1,0A -，()1,0B ，若在直线()2y k x =-上存在点P ，使得∠APB =90°，则实数k 的取值范围为（ ）A ．⎡⎢⎣⎦B ．⎡⎫⎛⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦⋃C ．33⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．,33⎛⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋃ 6．哈尔滨市第三中学古诗词大赛中，12强中有3个种子选手，将这12人任意分成3组（每组4个人），则3个种子选手恰好被分在同一组的概率为（ ） A ．14B ．13C ．155D ．3557．在边长为3的菱形ABCD 中，∠BAD =60°，将△ABD 绕直线BD 旋转到．A BD '△，使得四面体A BCD '外接球的表面积为18π，则此时二面角A BD C '--的余弦值为（ ）A ．13- B ．12- C ．1 3D ．8．已知（ln1.21a =，b =0.21，0.21c e =-，则（ ）A ．a >b >cB ．c >a >bC ．c >b >aD ．b >c >a（二）多项选择题（共4小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分） 9．已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则下列说法中正确的是（ ） A ．()y f x =的最小正周期为π B ．()y f x =的图象关于3x π=对称C ．若()y f x =的图象向右平移ϕ（0ϕ>）个单位后关于原点对称，则ϕ的最小值为53π D ．()f x 在,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,1-10．已知圆锥SO （O 是圆锥底面圆的圆心，S 是圆锥的顶点）的母线长为3P ，Q 为底面圆周上的任意两点，则下列说法中正确的是（ ）A ．圆锥SO 的侧面积为B ．△SPQ 面积的最大值为C ．三棱锥O -SPQ 体积的最大值为53D ．圆锥SO 的内切球的体积为43π11．已知抛物线2:4C x y =，O 为坐标原点，F 为抛物线C 的焦点，点P 在抛物线上，则下列说法中正确的是（ ）A ．若点()2,3A ，则PA PF +的最小值为4B ．过点()3,2B 且与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有两条C ．若正三角形ODE 的三个顶点都在抛物线上，则△ODE的周长为D ．点H 为抛物线C 上的任意一点，()0,1G -，HG t HF =，当t 取最大值时，△GFH 的面积为2 12．已知a ≠0，b ≠0且b >-1，()()1ln 1a ab e b =-+，则下列说法中错误的是（ ） A ．a b ≤B ．若关于b 的方程1bm a+=有且仅有一个解，则m =e C ．若关于b 的方程1bm a+=有两个解1b ，2b ，则122b b e +> D ．当a >0时，11222a b b <++ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．()41212x x ⎛⎫--⎪⎝⎭的展开式中，常数项为______． 14．已知x +y =4，且x >y >0，则21x y y+-的最小值为______． 15．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，23n n S a n =+-，令4(log 1)n n b a =-，则12125125b b b ++⋅⋅⋅+=______．16．如图，椭圆22221x y a b +=（a >b >0）与双曲线22221x y m n-=（m >0，n >0）有公共焦点()1,0F c -，()2,0F c （c >0），椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，点P 为两曲线的一个公共点，且1260F PF ∠=︒，则221213e e +=______；I 为12F PF △的内心，1F ，I ，G 三点共线，且0GP IP ⋅=，x 轴上点A ，B 满足AI IP λ=，BG GP μ=，则22λμ+的最小值为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分10分）已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设△ABC 外接圆的半径为R ，且()2212cos cos bc R B C =+．（1）求角A 的大小；（2）若D 为BC 边上的点，AD =BD =2，CD =1，求tan B ． 18．（本题满分12分）已知递增等差数列{}n a 满足：26727a a a ++=，1a ，2a ，5a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12122n a n n n n a b a a +++⋅=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（本题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，△P AD 为等边三角形，平面P AD ⊥平面ABCD ，PB ⊥BC ．（1）求点A 到平面PBC 的距离；（2）E 为线段PC 上一点，若直线AE 与平面ABCD所成的角的正弦值为10，求平面ADE 与平面ABCD 夹角的余弦值． 20．（本题满分12分）在数学探究实验课上，小明设计了如下实验：在盒子中装有红球、白球等多种不同颜色的小球，现从盒子中一次摸一个球，不放回．（1）若盒子中有8个球，其中有3个红球，从中任意摸两次． ①求摸出的两个球中恰好有一个红球的概率；②记摸出的红球个数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．（2）若1号盒中有4个红球和4个白球，2号盒中有2个红球和2个白球，现甲、乙、丙三人依次从1号盒中摸出一个球并放入2号盒，然后丁从2号盒中任取一球．已知丁取到红球，求甲、乙、丙三人中至少有一人取出白球的概率． 21．（本题满分12分）已知平面内动点M 到定点F （0，1）的距离和到定直线y =4的距离的比为定值12． （1）求动点M 的轨迹方程；（2）设动点M 的轨迹为曲线C ，过点()1,0的直线交曲线C 于不同的两点A 、B ，过点A 、B 分别作直线x =t 的垂线，垂足分别为1A 、1B ，判断是否存在常数t ，使得四边形11AA B B 的对角线交于一定点?若存在，求出常数t 的值和该定点坐标；若不存在，说明理由． 22．（本题满分12分）已知函数()2ln 1f x x ax x =-++．（1）当a =0时，求函数()()xg x xe f x =-的最小值；（2）当()y f x =的图象在点()()1,1f 处的切线方程为y =1时，求a 的值，并证明：当*n N ∈时，)211ln 112knk k =⎛⎫+<+- ⎪⎝⎭∑．答案一、选择题：二、填空题： 13．-10 14．215．3116．4；1+三、解答题： 17．（1）2sin sin b cR B C==，24sin sin bc R B C = 2sin sin 1cos cos B C B C =+，1cos()cos 2B CA +=-=- 1cos 2A =，(0,)A π∈，3A π= （2）2CDA B ∠=∠，23C B π=- sin sin CD ADDAC C=∠，即2sin sin 33CD ADB B ππ=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11cos sin 2sin 2222B B B B ⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭ 3sin 22B B = tan B =18．（1）()()12111312274a d a a d a d +=+=+⎧⎪⎨⎪⎩，∵d >0，∴112a d =⎧⎨=⎩． ∴21n a n =-（2）1(21)222(21)(23)2321n n nn n b n n n n +-⋅==-++++ ∴122233n n T n +=-+19．（1）取AD 中点O ，连接OB ，OP∵PAD △为等边三角形，∴OP AD ⊥，OA =1，OP =又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD⋂平面ABCD =AD ，OP ⊂平面P AD∴OP ⊥平面ABC ，又∵OB ⊂平面ABCD ，∴OP OB ⊥ ∵PB BC ⊥，∴BC AD ∥，∴PB AD ⊥又∵OP AD ⊥，OP ⊂平面POB ，PB ⊂平面POB ，OP PB P ⋂= ∴AD ⊥平面PO ，又∵OB ⊂平面POB ，∴AD OB ⊥∴OB =PB =设点A 到平面PBC 的距离为h 则1133PBC ABC S h S OP ⋅=⋅△△∴2h =（2）分别以OA ，OB ，OP 为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系则P ，()C -，()1,0,0A ，()1,0,0D -设PE PC λ=，则(2)E λ-，(2)AE λ=--- ∵OP ⊥平面ABC ，D 平面AB 的法向量1(0,0,1)n =130cos ,10AE n =13λ=，∴2,33E ⎛- ⎝ ∴平面ADE 的法向量2(0,2,1)n =-∴平面ADE 与平面ABCD 夹角的余弦值为125cos ,5n n =20．（1）①设事件A =“摸出的两个球中恰好有一个红球”11352815()28C C P A C ==（2）X 可取0，1，2，23528()k kC C P X k C -==，k =0，1，2 ∴X 的分布列为33()284E X =⨯=（2）设事件B =“丁丁取到红球”，事件C =“甲、乙、丙三人中至少有1人取出白球”211234444433388832112344444433338888432()77744()5432()497777C C C C C P BC C C C P C B C C C C C C P B C C C C ⨯+⨯+⨯===⨯+⨯+⨯+⨯∣ 21．（1）22143y x +=（2）22341201y x x my +-==+⎧⎨⎩，()2234880m y my ++-=122843m y y m -+=+，122843y y m -=+，1212y y my y += 若存在常数t ，使得四边形11AA B B 的对角线交于一定点，由对称性知，该定点一定在x 轴上，设该定点为(),0D s ，则1A ，B ，D 共线，A ，1B ，D 共线 设()11,A x y ，()22,B x y ，()11,A t y ，则()1221,A B x t y y =--，()11,A D s t y =--，则()()1221()y x t y y s t --=--()1212121221212121(1)2y y y ty my y y ty t y y s y y y y y y -+-+--+--===---则t -1=2，t =3，s =2同理，A ，1B ，D 共线，t =3，s =2∴存在常数t =3，使得四边形11AA B B 的对角线交于一定点，该定点为()2,0 22．（1）当a =0时，()1ln xg x xe x x =---． 方法一：()g x 定义域(0,)+∞，1()(1)x g x x e x ⎛⎫'=+-⎪⎝⎭令1()xh x e x =-，21()0xh x e x'=+>，∴()h x 在(0,)+∞上递增 ∵(1)10h e =->，1202h ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，∴()h x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一零点0x即()00010x h x ex =-= 在()00,x 上，()0h x <，即()0g x '<，()g x 在()00,x 递减 在()0,x +∞上，()0h x >，即()0g x '>，()g x 在()0,x +∞上递增 ∵01x ex =，∴00ln x x =- ∴()0min 000000ln ()1110xg x g x x e x x x x ==---=+--= 方法二：先证：1xe x ≥+，当x =0时，取“=”ln ln 1x x x xe e x x +=≥++（存在0x 使00ln 0x x +=）∴ln 10xxe x x ---≥成立 （2）1()21f x ax x'=-+，依题意，(1)0f '=∴a =1 即2()ln 1f x x x x =-++，(21)(1)()x x f x x-+-'=∴()f x 在()0,1递增，(1,)+∞递减．∴max ()(1)1f x f == ∴在(1,)+∞上，2ln 11x x x -++<，即ln (1)x x x <-，ln 1xx x <-取11x n =+，则1ln 1111n n n⎛⎫+ ⎪⎝⎭<+，即11ln 11n n n ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭∴()11111ln 112ln 1ln 11223n n n n ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅++<+++⋅⋅⋅++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭而11111231n +++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅+1<+++⋅⋅⋅+11)2=+++⋅⋅⋅+1=∴21111ln 1ln(11)2ln 1ln 111)22knk n n k n =⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++++⋅⋅⋅++<-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑。
黑龙江省牡丹江地区六市县2013届高三数学第一次模拟考试试题 文(含解析)新人教A版
某某省某某地区六市县2013年高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）（2013•某某一模）设集合A={x|y=log2（x﹣2）}，B={x|x2﹣5x+4＜0}，则A∩B=（）A．∅B．（2，4）C．（﹣2，1）D．（4，+∞）考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：分别化简集合A，B，容易计算集合A∩B．解答：解：∵A={x|y=log2（x﹣2）}=（2，+∝），B={x|x2﹣5x+4＜0}=（1，4），∴A∩B=（2，4）．故选B．点评：本题主要考查了集合的交运算，是基础题型，较为简单．2．（5分）（2013•某某一模）复数（1+i）z=i（ i为虚数单位），则=（）A．﹣B．C．﹣D．i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：由题意可得z=，再利用两个复数代数形式的乘除法法则，虚数单位i的幂运算性质，求得结果．解答：解：∵复数（1+i）z=i，∴z===，故=，故选B．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．（5分）（2008•某某）平面向量，共线的充要条件是（）A．，方向相同B．，两向量中至少有一个为零向量C．∃λ∈R，D．存在不全为零的实数λ1，λ2，考点：向量的共线定理；必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：根据向量共线定理，即非零向量与向量共线的充要条件是必存在唯一实数λ使得成立，即可得到答案．解答：解：若均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数λ1，λ2，使得；若，则由两向量共线知，存在λ≠0，使得，即，符合题意，故选D．点评：本题主要考查向量共线及充要条件等知识．在解决很多问题时考虑问题必须要全面，除了考虑一般性外，还要注意特殊情况是否成立．4．（5分）（2011•某某）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．3B．4C．5D．6考点：程序框图．专题：图表型．分析：通过程序框图的要求，写出前四次循环的结果得到输出的值．解答：解：该程序框图是循环结构经第一次循环得到i=1，a=2；经第二次循环得到i=2，a=5；经第三次循环得到i=3，a=16；经第四次循环得到i=4，a=65满足判断框的条件，执行是，输出4故选B点评：本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环结果，找规律．5．（5分）（2013•某某一模）已知下列命题：①命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1＜3x”；②“a＞2”是“a＞5”的充分不必要条件；③“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题为真命题．④已知p、q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“￢p∧￢q”为真命题．其中真命题的个数为（）A．3个B．2个C．1个D．0个考点：命题的真假判断与应用．专题：常规题型；阅读型．分析：①特称命题的否定为全称命题；②若p是q的充分不必要条件，则对应的集合满足P⊊Q；③原命题与其逆否命题有相同的真假性，故可判断原命题的真假性；④原命题若是假命题，则其否定为真命题．解答：解：①命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”，故①是假命题；②由于a＞5成立，则a＞2一定成立，而a＞2成立，a＞5不一定成立，故②是假命题；③由于命题“若xy=0，则x=0且y=0”是假命题，故③是假命题；④由于“p∨q”的否定是“￢p∧￢q”，故④是真命题．故答案为C．点评：本题考查的知识点是，判断命题真假，属于简单题，我们需对四个结论逐一进行判断，可以得到正确的结论．6．（5分）（2013•某某一模）已知数列{a n}满足log3a n+1=log3a n+1（n∈N*），且a2+a4+a6=9，则的值是（）A．﹣5 B．C．5D．考点：等比数列的性质．专题：计算题；压轴题；方程思想．分析：先由“log3a n+1=log3a n+1”探讨数列，得到数列是以3为公比的等比数列，再由a2+a4+a6=a2（1+q2+q4），a5+a7+a9=a5（1+q2+q4）得到a5+a7+a9=q3（a2+a4+a6）求解．解答：解：∵log3a n+1=log3a n+1∴a n+1=3a n∴数列{a n}是以3为公比的等比数列，∴a2+a4+a6=a2（1+q2+q4）=9∴a5+a7+a9=a5（1+q2+q4）=a2q3（1+q2+q4）=9×33=35lo{g}_{\frac{1}{3}}（{a}_{5}+{a}_{7}+{a}_{9}）={log}_{\frac{1}{3}}^{{3}^{5}}=﹣5故选A点评：本题主要考查等比数列的定义，通项及其性质，在等比数列中用“首项与公比”法是常用方法，往往考查到方程思想．7．（5分）（2013•某某二模）空间几何体的三视图如图所示，则此空间几何体的直观图为（）A．B．C．D．考点：由三视图还原实物图．专题：作图题．分析：根据已知中的三视图，结合三视图几何体由两部分组成，上部是锥体，下部为柱体，将几何体分解为简单的几何体分析后，即可得到答案．解答：解：由已知中三视图的上部分是锥体，是三棱锥，满足条件的正视图的选项是A与D，由左视图可知，选项D不正确，由三视图可知该几何体下部分是一个四棱柱选项都正确，故选A．点评：本题考查的知识点是由三视图还原实物图，如果三视图均为三角形，则该几何体必为三棱锥；如果三视图中有两个三角形和一个多边形，则该几何体为N棱锥（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为矩形和一个多边形，则该几何体为N 棱柱（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为梯形和一个多边形，则该几何体为N棱柱（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个三角形和一个圆，则几何体为圆锥．如果三视图中有两个矩形和一个圆，则几何体为圆柱．如果三视图中有两个梯形和一个圆，则几何体为圆台．8．（5分）（2013•某某一模）设{a n}为公比q＞1的等比数列，若a2009和a2010是方程4x2﹣8x+3=0的两根，则a2011+a2012=（）A．18 B．10 C．25 D．9考点：根与系数的关系；等比数列的性质．专题：计算题．分析：根据{a n}为公比q＞1的等比数列，若a2009和a2010是方程4x2﹣8x+3=0的两根，可得a2009=，a2010=，从而可确定公比q，进而可得a2011+a2012的值．解答：解：∵{a n}为公比q＞1的等比数列，若a2009和a2010是方程4x2﹣8x+3=0的两根∴a 2009=，a2010=∴q=3∴a2011+a2012=故选A．点评：本题考查根与系数的关系，考查等比数列，确定方程的根是关键．9．（5分）（2013•某某一模）已知a是实数，则函数f（x）=acosax的图象可能是（）A ．B．C．D．考点：余弦函数的图象．专题：数形结合．分析：根据函数的奇偶性排除不满足题意的选项，根据函数的表达式确定函数的最值与周期的关系，推出正确结果．解答：解：函数f（x）=acosax，因为函数f（﹣x）=acos（﹣ax）=acosax=f（x），所以函数是偶函数，所以A、D错误；结合选项B、C，可知函数的周期为：π，所以a=2，所以B不正确，C正确．故选C点评：本题是基础题，考查视图能力，发现问题解决问题的能力，排除方法的应用，函数的周期与最值的关系是解题的关键，好题．10．（5分）（2013•某某一模）在球O内任取一点P，使得P点在球O的内接正方体中的概率是（）A．B．C ．D．考点：几何概型；球内接多面体．专题：计算题．分析：先根据球的内接正方体的体对角线长即为球的直径求出边长，然后分别求出球和正方体的体积，最后利用几何概型的概率公式进行计算即可．解答：解：设球的半径为R ，则球O的内接正方体的体对角线为2R根据边长为a 的正方体的体对角线长为a，可知正方体的体对角线为2R则正方体的边长为=球的体积为，球O的内接正方体的体积为（）3=∴在球O内任取一点P，使得P点在球O的内接正方体中的概率是=故选C．点评：本题主要考查了球的内接正方体，以及球的体积和正方体的体积，同时考查了几何概型的概率计算，属于中档题．11．（5分）（2013•某某一模）已知函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，若对于任意的实数x≥0，都有f（x+2）=f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），则f（﹣2011）+f（2012）的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．2D．1考点：函数奇偶性的性质；函数的值．专题：计算题．分析：由题设知函数在[0，+∞）内一个周期T=2，函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（﹣2011）+f（2012）=﹣f（2011）+f（2012）=﹣f（1）+f（0），再由当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），能求出f（﹣2011）+f（2012）的值．解答：解：∵对于任意的实数x≥0，都有f（x+2）=f（x），∴函数在[0，+∞）内的一个周期T=2，∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（﹣2011）+f（2012）=﹣f（2011）+f（2012）=﹣f（2011）+f（2012）=﹣f（1）+f（0）又当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），∴f（1）=log2（1+1）=1f（0）log2（0+1）=0因此f（﹣2011）+f（2012）=﹣f（1）+f（0）=﹣1+0=﹣1．故选A．点评：本题考查函数的奇偶性、周期性的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理运用等价转化．12．（5分）（2013•某某一模）如图所示，F1和F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点，A和B是以O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB 是等边三角形，则离心率为（）A．B．C．+1 D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：连接AF1，根据△F2AB是等边三角形可知∠AF2B=60°，F1F2是圆的直径可表示出|AF1|、|AF2|，再由双曲线的定义可得c﹣c=2a，从而可求双曲线的离心率．解答：解：连接AF1，则∠F1AF2=90°，∠AF2B=60°∴|AF1|=c，|AF2|= c∴c﹣c=2a∴故选C．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生综合分析问题和数形结合的思想的运用．属基础题．二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2013•某某一模）已知抛物线y=ax2的准线方程为y=﹣2，则实数a的值为．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：首先把抛物线方程转化为标准方程x2=my的形式，再根据其准线方程为y=﹣，即可求之．解答：解：抛物线y=ax2的标准方程是x2=y，则其准线方程为y=﹣=﹣2，所以a=．故答案为：．点评：本题考查抛物线在标准方程下的准线方程形式．14．（5分）（2013•某某一模）已知球与棱长均为2的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为2π．考点：球内接多面体；球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：如图，将三棱锥放入棱长为的正方体，可得正方体的内切球恰好是与三棱锥各条棱都相切的球，根据三棱锥棱长算出正方体的棱长为，由此算出内切球半径，用公式即可得到该球的表面各．解答：解：将棱长均为2的三棱锥放入棱长为的正方体，如图∵球与三棱锥各条棱都相切，∴该球是正方体的内切球，切正方体的各个面切于中心，而这个切点恰好是三棱锥各条棱与球的切点由此可得该球的直径为，半径r=∴该球的表面积为S=4πr2=2π故答案为：2π点评：本题给出棱长为2的正四面体，求它的棱切球的表面积，着重考查了正多面体的性质、多面体内切球和球的表面积公式等知识，属于基础题．15．（5分）（2013•某某一模）如图矩形ORTM内放置5个大小相同的边长为1的正方形，其中A，B，C，D都在矩形的边上，若向量，则x2+y2= 13 ．考点：相等向量与相反向量．专题：计算题；压轴题．分析：根据题意，根据向量加法的三角形法则，表示出向量，根据已知可得，两边平方即可求得结果．解答：解：∵，∴两边平方得：即：1+4+4+2=x2+y2又，，，∴x2+y2=1+4+4+4=13故答案为：13．点评：此题考查平面向量基本道理和数量积的运算，在应用平面向量基本道理用已知向量表示未知向量，把未知向量放在封闭图形中是解题的关键，属中档题．16．（5分）（2013•某某一模）已知点M（a，b）在不等式组确定的平面区域内运动，则动点N（a+b，a﹣b）所在平面区域的面积为16 ．考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；数形结合．分析：将点的坐标设出，据已知求出点的横坐标、纵坐标满足的约束条件，画出可行域，求出图象的面积．解答：解：令s=a+b，t=a﹣b，则P（a+b，a﹣b）为P（s，t）由s=a+b，t=a﹣b可得 2a=s+t，2b=s﹣t因为a，b是正数，且a+b≤4有，在直角坐标系上画出P（s，t） s横坐标，t纵坐标，即可得知面积为：=16．故答案为：16．点评：求出点满足的约束条件，画出不等式组表示的平面区域，求出图象的面积，属于基础题．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，满分60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）（2013•某某一模）已知函数．（1）求f（x）的周期和及其图象的对称中心；（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值X围．三角函数的周期性及其求法；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的对称性．考点：专计算题．题：分（1）化简函数f（x）的解析式为 sin（+）+1，故f（x）的周期为4π，由析：，故f（x）图象的对称中心为．（2）利用正弦定理可得（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，化简可得，从而得到的X围，进而得到函数f（A）的取值X围．解答：解：（1）由，∴f （x ）的周期为4π．由，故f （x ）图象的对称中心为．（2）由（2a ﹣c ）cosB=bcosC ，得（2sinA ﹣sinC ）cosB=sinBcosC ，∴2sinAcosB﹣cosBsinC=sinBcosC ，∴2sinAcosB=sin （B+C ），∵A+B+C=π，∴sin （B+C ）=sinA ，且sinA≠0， ∴．∴，故函数f （A ）的取值X 围是．点评： 本题考查三角函数性质及简单的三角变换，要求学生能正确运用三角函数的概念和公式对已知的三角函数进行化简求值． 18．（12分）（2013•某某一模）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，其中PA=PD=AD=2，∠BAD=60°，Q 为AD 的中点． （1）求证：AD⊥平面PQB ； （2）若平面PAD⊥平面ABCD ，且，求四棱锥M ﹣ABCD 的体积．考点： 平面与平面垂直的性质；直线与平面垂直的判定． 专题： 计算题；空间位置关系与距离． 分析：（1）连接BD ，等边三角形PAD 中，中线PQ⊥AD；因为菱形ABCD 中∠BAD=60°，所以AD⊥BQ，最后由线面垂直的判定定理即可证出AD⊥平面PQB ；（2）连接QC ，作MH⊥QC 于H ．因为平面PAD⊥平面ABCD ，PQ⊥AD，结合面面垂直性质定理证出PQ⊥平面ABCD ．而平面PQC 中，PQ∥MH，可得MH⊥平面ABCD ，即MH 就是四棱锥M ﹣ABCD 的高线．最后利用锥体体积公式结合题中数据即可算出四棱锥M ﹣ABCD 的体积． 解答： 解：（1）连接BD∵PA=PD=AD=2，Q 为AD 的中点， ∴PQ⊥AD又∵∠BAD=60°，底面ABCD 为菱形， ∴△ABD 是等边三角形， ∵Q 为AD 的中点，∴AD⊥BQ∵PQ、BQ 是平面PQB 内的相交直线，∴AD⊥平面PQB ． （2）连接QC ，作MH⊥QC 于H ．∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD∴PQ⊥平面ABCD，结合QC⊂平面ABCD，可得PQ⊥QC∵平面PQC中，MH⊥QC且PQ⊥QC，∴PQ∥MH，可得MH⊥平面ABCD，即MH就是四棱锥M﹣ABCD的高线∵，可得，∴四棱锥M﹣ABCD的体积为V M﹣ABCD==．点评：本题给出特殊四棱锥，求证线面垂直并求锥体体积，着重考查了直线与平面垂直的判定、平面与平面垂直的性质和体积公式等知识，属于中档题．19．（12分）（2013•某某一模）某大学高等数学老师这学期分别用A，B两种不同的教学方式试验甲、乙两个大一新班（人数均为60人，入学数学平均分数和优秀率都相同；勤奋程度和自觉性都一样）．现随机抽取甲、乙两班各20名的高等数学期末考试成绩，得到茎叶图：（Ⅰ）依茎叶图判断哪个班的平均分高？（Ⅱ）现从甲班高等数学成绩不得低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为86分的同学至少有一个被抽中的概率；（Ⅲ）学校规定：成绩不低于85分的为优秀，请填写下面的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？”甲班乙班合计优秀不优秀合计下面临界值表仅供参考：P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（参考公式：，其中n=a+b+c+d）考点：古典概型及其概率计算公式；茎叶图；独立性检验的应用．专题：计算题；概率与统计．分析：（Ⅰ）甲班高等数学成绩集中于60分﹣90分之间，而乙班数学成绩集中于80﹣100分之间，可得乙班的平均分高．（Ⅱ）记成绩为86分的同学为A，B其他不低于80分的同学为 C、D、E、F，一切可能结果组成的基本事件有15个，“抽到至少有一个86分的同学”所组成的基本事件有9个，由此求得所求事件的概率．（Ⅲ）计算K2=≈5.584＞5.024，由此得出结论．解答：解：（Ⅰ）甲班高等数学成绩集中于60分﹣90分之间，而乙班数学成绩集中于80﹣100分之间，所以乙班的平均分高．﹣﹣﹣﹣﹣（3分）（Ⅱ）记成绩为86分的同学为A，B其他不低于80分的同学为 C、D、E、F，“从甲班高等数学成绩不得低于80分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有：（A，B）、（A，C）、（A，D）、（A，E）、（A，F）、（B，C）、（B，D）、（B，E）、（B，F）、（C，D）、（C，E）、（C，F）、（D，E）、（D，F）、（E，F），一共15个，“抽到至少有一个86分的同学”所组成的基本事件有：（A，B）、（A，C）、（A，D）、（A，E）、（A，F）、（B，C）、（B，D）、（B，E）、（B，F）共9个，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）故所求事件的概率为 P==．﹣﹣﹣﹣﹣（7分）甲班乙班合计优秀 3 10 13不优秀17 10 27合计20 20 40﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（Ⅲ）K2=≈5.584＞5.024，因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下，可以认为成绩优秀与教学方式有关．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题主要考查古典概型及其概率计算公式，茎叶图以及独立性检验，属于基础题．20．（12分）（2013•某某一模）已知椭圆的右焦点为F（1，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且△OMF是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心（垂心：三角形三边高线的交点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题．分析：（Ⅰ）由△△OMF是等腰直角三角形，可得b=1，a=b=，从而可得椭圆方程；（Ⅱ）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心，设直线l的方程为y=x+m，代入椭圆方程，利用韦达定理结合，即可求得结论．解答：解：（Ⅰ）由△OMF是等腰直角三角形，得b=1，a=b=，故椭圆方程为．…（5分）（Ⅱ）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心，设P（x1，y1），Q（x2，y2），因为M（0，1），F（1，0），所以k PQ=1．…（7分）于是设直线l的方程为y=x+m，代入椭圆方程，消元可得3x2+4mx+2m2﹣2=0．由△＞0，得m2＜3，且x1+x2=﹣，x1x2=．…（9分）由题意应有，所以x1（x2﹣1）+y2（y1﹣1）=0，所以2x1x2+（x1+x2）（m﹣1）+m2﹣m=0．整理得2×﹣（m﹣1）+m2﹣m=0．解得m=﹣或m=1．…（12分）经检验，当m=1时，△PQM不存在，故舍去．当m=﹣时，所求直线l存在，且直线l的方程为y=x﹣．…（13分）点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．21．（12分）（2013•某某一模）已知函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）求函数f（x）的极值点；（Ⅱ）若直线l过点（0，﹣1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程；（Ⅲ）设函数g（x）=f（x）﹣a（x﹣1），其中a∈R，求函数g（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e为自然对数的底数）考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：综合题．分析：（I）先对函数求导，研究函数的单调区间，根据F′（x）＞0求得的区间是单调增区间，F′（x）＜0求得的区间是单调减区间，求出极值．（II）求出曲线方程的导函数，利用导函数中即可求出切线方程的斜率，根据求出的斜率和已知点的坐标写出切线方程即可；（III）求导：g'（x）=lnx+1﹣a解g'（x）=0，得x=e a﹣1，得出在区间（0，e a﹣1）上，g（x）为递减函数，在区间（e a﹣1，+∞）上，g（x）为递增函数，下面对a进行讨论：当e a﹣1≤1，当1＜e a﹣1＜e，当e a﹣1≥e，从而得出g（x）的最小值．解答：解：（Ⅰ）f'（x）=lnx+1，x＞0，…（2分）由f'（x）=0得，…（3分）所以，f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增．…（4分）所以，是函数f（x）的极小值点，极大值点不存在．…（5分）（Ⅱ）设切点坐标为（x0，y0），则y0=x0lnx0，…（6分）切线的斜率为lnx0+1，所以，，…（7分）解得x0=1，y0=0，…（8分）所以直线l的方程为x﹣y﹣1=0．…（9分）（Ⅲ）g（x）=xlnx﹣a（x﹣1），则g'（x）=lnx+1﹣a，…（10分）解g'（x）=0，得x=e a﹣1，所以，在区间（0，e a﹣1）上，g（x）为递减函数，在区间（e a﹣1，+∞）上，g（x）为递增函数．…（11分）当e a﹣1≤1，即a≤1时，在区间[1，e]上，g（x）为递增函数，所以g（x）最小值为g（1）=0．…（12分）当1＜e a﹣1＜e，即1＜a＜2时，g（x）的最小值为g（e a﹣1）=a﹣e a﹣1．…（13分）当e a﹣1≥e，即a≥2时，在区间[1，e]上，g（x）为递减函数，所以g（x）最小值为g（e）=a+e﹣ae．…（14分）综上，当a≤1时，g（x）最小值为0；当1＜a＜2时，g（x）的最小值a﹣e a﹣1；当a≥2时，g（x）的最小值为a+e﹣ae．点评：本题考查了导数的应用：利用导数判断函数的单调性及求单调区间；函数在区间上的最值的求解，其一般步骤是：先求极值，比较函数在区间内所有极值与端点函数．若函数在区间上有唯一的极大（小）值，则该极值就是相应的最大（小）值．四、选考题：（请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号，满分10分.）22．（10分）（2013•某某一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠A BC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB．（Ⅰ）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；（Ⅱ）若，求EC的长．考点：圆的切线的性质定理的证明．专题：综合题．分析：（Ⅰ）要证明AC是△BDE的外接圆的切线，故考虑取BD的中点O，只要证明OE⊥AC，结合∠C=90°，证明BC∥OE即可（Ⅱ）设⊙O的半径为r，则在△AOE中，由OA2=OE2+AE2，可求r，代入可得OA，2OE，Rt△AOE中，可求∠A，∠AOE，进而可求∠CBE=∠OBE，在BCE中，通过EC与BE的关系可求解答：证明：（Ⅰ）取BD的中点O，连接OE．∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE．又∵OB=OE，∴∠OBE=∠BEO，∴∠CBE=∠BEO，∴BC∥OE．…（3分）∵∠C=90°，∴OE⊥AC，∴AC是△BDE的外接圆的切线．…（5分）（Ⅱ）设⊙O的半径为r，则在△AOE中，OA2=OE2+AE2，即，解得，…（7分）∴OA=2OE，∴∠A=30°，∠AOE=60°．∴∠CBE=∠OBE=30°．∴在Rt△BCE中，可得EC=．…（10分）点评：本题主要考查了切线的判定定理的应用，直角三角形基本关系的应用，属于基本知识的简单综合．23．（2013•某某一模）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），已知过点P（﹣2，﹣4）的直线L的参数方程为：，直线L与曲线C分别交于M，N．（Ⅰ）写出曲线C和直线L的普通方程；（Ⅱ）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．考点：参数方程化成普通方程；等比数列的性质．专题：计算题．分析：（1）消去参数可得直线l的普通方程，曲线C的方程可化为ρ2sin2θ=2aρcosθ，从而得到y2=2ax．（II）写出直线l的参数方程为，代入y2=2ax得到，则有，由|BC|2=|AB|，|AC|，代入可求a的值．解答：解：（Ⅰ）根据极坐标与直角坐标的转化可得，C：ρsin2θ=2acosθ⇒ρ2sin2θ=2aρcosθ，即 y2=2ax，直线L的参数方程为：，消去参数t得：直线L的方程为y+4=x+2即y=x﹣2（3分）（Ⅱ）直线l的参数方程为（t为参数），代入y2=2ax得到，则有…（8分）因为|MN|2=|PM|•|PN|，所以即：[2（4+a）]2﹣4×8（4+a）=8（4+a）解得a=1…（10分）点评：本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线的参数方程中参数的几何意义，是一道基础题．24．（2013•某某一模）《选修4﹣5：不等式选讲》已知函数．f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|（1）求不等式f（x）≤6的解集；（2）若关于x的不等式f（x）＜|a﹣1|的解集非空，某某数a的取值X围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）由不等式f（x）≤6 可得①，或②，或③．分别求得①、②、③的解集，再取并集，即得所求．（2）由题意可得|a﹣1|应大于函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|的最小值，而由绝对值的意义可得f（x）的最小值为4，故有|a﹣1|＞4，由此求得实数a的取值X围．解答：解：（1）不等式f（x）≤6 即|2x+1|+|2x﹣3|≤6，∴①，或②，或③．解①可得﹣1≤x＜﹣，解②可得﹣≤x＜，解③可得≤x≤2．综上可得，不等式的解集为 {x|﹣1≤x≤2}．（2）∵关于x的不等式f（x）＜|a﹣1|的解集非空，∴|a﹣1|应大于函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|的最小值．而由绝对值的意义可得，f（x）表示数轴上的x对应点到﹣和对应点的距离之和的2倍，故函数f（x）的最小值为2×2=4，故有|a﹣1|＞4，化简可得 a﹣1＞4，或a﹣1＜﹣4，解得 a＞5，或a＜﹣3，故实数a的取值X围为 { a|a＞5，或a＜﹣3}．点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。
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2013年哈尔滨市第六中第一次高考模拟考试数学试卷（文史类）考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置2.做答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.3.做答第Ⅱ卷时，请按题号顺序在各题目规定的答题区域内做答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.保持答题卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准用涂改液、修正带、刮纸刀. 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合}1,0,1{},2|{-==∈=B y R y A x ，则下列结论正确的是（ ）（A ）}1,0{=B A （B ）),0(+∞=B A（C ）)0,()(-∞=B A C R （D ）}0,1{)(-=B A C R2．若复数z 满足i z i 31)3(+-=-（其中i 是虚数单位），则z 的实部为（ ）（A ）6 （B ）1 （C ）1- （D ）6-3．某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加视力测试，则一班和二班分别被抽取的人数是（ ）（A ）8，8 （B ）9，7 （C ）10，6 （D ）12，4 4．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图可能为：①长、宽不相等的长方形；②正方形；③圆；④椭圆．侧视图正视图- 8 - 其中正确的是（ ） （A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④ 5．函数xx x f 1ln )(-=的零点所在区间是（ ） （A ）1(0,)2（B ）1(,1)2（C ）(1,2) （D ）(2,3)6．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出S 的 值为（ ）（A ）4 （B ）8 （C ）10 （D ）127．对于命题p ：双曲线)0(14222>=-b b y x 的离心率为2；命题q ：椭圆)0(1222>=-b y bx 的离心率为23，则q 是p 的（ ） （A ） 充要条件 （B ） 充分不必要条件 （C ） 必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件8． 在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边为c b a ,,，若222a bc cb =-+，且3=ba，则角C 的值为（ ）（A ）︒45 （B ）︒60 （C ）︒90 （D ）︒120 9．已知首项是1的等比数列{}n a 的前n 项的和为n S ，08462=-a a a ，则=24S S （ ） （A ）5 （B ）8 （C ）8- （D ）1510．已知函数x e x f x+=)(，b ax x g +=)((0>a )，若对]2,0[1∈∀x ，]2,0[2∈∃x ，使得)()(21x g x f =，则实数a ,b 的取值范围是（ ）（A ）2102+≤<e a ,1≥b （B ）2102+≤<e a ,1≤b（C ）212+≥e a ,1≥b （D ）212+≥e a ,1≤b11．已知函数①x x y cos sin +=，②x x y cos sin 22=，则下列结论正确的是（ ） （A ）两个函数的图象均关于点(,0)4π-成中心对称- 8 -（B ）两个函数的图象均关于直线4x π=-成轴对称 （C ）两个函数在区间(,)44ππ-上都是单调递增函数 （D ）两个函数的最小正周期相同12． 函数2cos sin )(x x x x x f ++=，则不等式)1()(ln f x f <的解集为（ ）（A ）),0(e （B ）),1(e （C ）),1(e e （D ）),1(),1(e e e第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题~24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知数列}{n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若279=S ,则423a a -等于 ． 14．设c b a ,,是单位向量，且+=，则向量b a ,的夹角等于____________．15．已知抛物线)0(2:2>=p px y C 的准线为l ，过点)0,1(M 且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ，若MB AM =，则p 等于____________． 16．正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为1，此时四面体ABCD 外接球表面积为____________．三、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的一段图象如图所示．- 8 - （1）求函数)(x f 的解析式；（2）求函数)(x f 的单调减区间，并求出)(x f 的最大值及取到最大值时x 的集合；（18）（本小题满分12分）某校从参加高三一模考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为100分），数学成绩分组及各组频数如下：分组频数 频率 )50,40[ 2 0.04 )60,50[3 0.06 )70,60[ 14 0.28 )80,70[ 15 0.30 )90,80[ )100,90[4 0.08 合计（1） 请把表中的空格都填上，并估计高三学生成绩在85分以上的比例和平均分； （2）为了帮助成绩差的同学提高成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从)100,90[成绩中选两名同学，共同帮助)50,40[中的某一位同学。
已知甲同学的成绩为42分，乙同学的成绩为95分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率（19）（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥ABCD P -中，四边形ABCD 为菱形，PAD ∆为等边三角形，平面⊥PAD 平面ABCD ，且2,60=︒=∠AB DAB ，E 为AD 的中点． （1）求证：PB AD ⊥； （2）求点E 到平面PBC 的距离.- 8 -（20）（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为32，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1，过点(3,0)M 的直线与椭圆C 相交于两点,A B （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=（O 为坐标原点），当3||=AB 时，求实数t 的值．（21）（本小题满分12分）已知函数xe x g x xf ==)(,ln )( （1）若函数11)()(-+-=x x x f x ϕ，求函数)(x ϕ的单调区间； （2）设直线l 为函数)(x f 的图像上的一点))(,(00x f x A 处的切线，证明：在区间),1(+∞上存在唯一的0x ，使得直线l 与曲线)(x g y =相切．请考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，弦CA BD ,的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F ．求证：（1）2CE CE AC DE BE =⋅+⋅； （2）B C F E ,,,四点共圆．- 8 -（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=--=t y tx 322（t 为参数），直线l 与曲线1)2(:22=--x y C 交于B A ,两点（1）求||AB 的长；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P 的极坐标为)43,22(π，求点P 到线段AB 中点M 的距离．（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数)|5||1(|log )(2a x x x f --+-= （1）当5=a 时，求函数)(x f 的定义域；（2）当函数)(x f 的值域为R 时，求实数a 的取值范围．哈六中2013届第一次高考模拟考试文科数学参考答案 一、选择题1D 2A 3B 4D 5 C 6B 7C 8C 9A 10 D 11C 12C 二、填空题 13、6- 14、3π15、2 16、313π三、解答题：17．解（1）解（1）由图知πππ4154443,3=-==T A ， ∴π5=T ，∴52=ω，∴)52sin(3)(ϕ+=x x f …… 2分 ∵)(x f 的图象过点)3,4(-π，∴)58sin(33ϕπ+=-， ∴Z k k ∈-=+,2258ππϕπ，∴Z k k ∈-=,10212ππϕ，- 8 -∵2||πϕ<，∴10πϕ-=，∴)1052sin(3)(π-=x x f …… 6分（2）由Z k k x k ∈+≤-≤+,232105222πππππ 解得函数)(x f 的单调减区间为Z k k k ∈++],45,235[ππππ，…… 9分 函数)(x f 的最大值为3，取到最大值时x 的集合为},235|{Z k k x x ∈+=ππ .…… 12分 18解：（1）分组频数 频率 )50,40[ 2 0.04 )60,50[ 3 0.06 )70,60[ 14 0.28 )80,70[ 15 0.30 )90,80[ 12 0.24 )100,90[4 0.08 合计高三学生成绩在85分以上的比例约为0.2；8.7308.09524.0853.07528.06506.05504.045=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 估计平均分约为8.73分 …… 6分（2）将)100,90[中的4人记为,,,321a a a 甲；)50,40[中的2人记为b 和乙则所有的分组结果为乙）,,(),,,(2121a a b a a ，乙）,,(),,,(3131a a b a a ，甲，乙）甲，（,(),,11a b a ，乙）,,(),,,(3232a a b a a ，甲，乙）甲，（,(),,22a b a ，甲，乙）甲，（,(),,33a b a ，共12种，甲乙恰好在一组的结果有甲，乙）,(1a ，甲，乙）,(2a ，甲，乙）,(3a 3种， 设“甲乙恰好在一组”为事件A ，则41123)(==A P …… 12分 19．解（1）证明：连接PE ，EB ，因为平面⊥PAD 平面ABCD ，PAD ∆为等边三角形，E 为AD 的中点，所以⊥PE 平面ABCD ，AD PE ⊥ …… 2分- 8 - 因为四边形ABCD 为菱形，且︒=∠60DAB ，E 为AD 的中点，所以AD BE ⊥…… 4分E BE PE = ，所以⊥AD 平面PBE ，所以PB AD ⊥ …… 6分（2）过E 作PB EF ⊥由（1）知⊥AD 平面PBE ，∵AD ∥BC ∴⊥BC 平面PBE 平面PBC ⊥平面PBE,又 平面PBC ∩平面PBE =PB,故⊥EF 平面PBC26=⋅=PB EB PE EF …… 12分20解（1）由已知c e a ==，所以2234c a=，所以22224,3a b c b ==所以222214x y b b+= …… 1分又由过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为221b a= 所以1b = …… 3分所以2214x y += …… 4分 （2）设1122(,),(,),(,)A x y B x y P x y设:(3)AB y k x =-与椭圆联立得22(3)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得2222(14)243640k x k x k +-+-=24222416(91)(14)0k k k ∆=--+> 得215k <2212122224364,1414k k x x x x k k-+=⋅=++ …… 6分1212(,)(,)OA OB x x y y t x y +=++= 121()x x x t =+=2224(14)k t k +[]12122116()()6(14)ky y y k x x k t t t k -=+=+-=+- 8 -由点P 在椭圆上得22222(24)(14)k t k ++22221444(14)k t k =+ 22236(14)k t k =+ …… 8分又由34)(1||212212=-++=x x x x k AB , 所以2212(1)()3k x x +-<2(1)k +3]41)436(4)41(24[222242=+--+kk k k 解得812=k …… 10分 由22236(14)k t k =+得222236991414k t k k==-++ 所以3±=t …… 12分21解：（1）222)1(1)1(21)(-+=-+='x x x x x x ϕ …… 2分 1,0≠>x x ，0)(>'∴x ϕ，增区间为（0,1）和（1，+∞） …… 4分（2）,1)(,1)(00x x f x x f ='∴=' 切线方程为)(1ln 000x x x x y -=-① ……6分 设)(x g y l =与切于点),,(11xe x 010ln ,1,)(1x x x ee x g x x-=∴=∴=' ， l ∴方程00001ln 1x x x x x y ++=，② …… 8分 由①②可得11ln ,1ln 1ln 0000000-+=∴+=-x x x x x x x ， 由（1）知，11ln )(-+-=x x x x ϕ在区间),1(+∞上单调递增， 又01211ln )(<--=-+-=e e e e e ϕ，01311ln )(222222>--=-+-=e e e e e e ϕ， 由零点存在性定理，知方程0)(=x ϕ必在区间),(2e e 上有唯一的根，这个根就是0x ，故在区间),1(+∞上存在唯一的0x ，使得直线l 与曲线)(x g y =相切 …… 12分 22证明：（1）,~CDE ABE ∆∆ DE AE CE BE ::=∴，∴2CE CE AC DE BE =⋅+⋅ …… 5分- 8 - （2） AB 是⊙O 的直径，所以︒=∠90ECB ，BE CD 21=∴， BF EF ⊥，BE FD 21=∴，∴B C F E ,,,四点与点D 等距，∴B C F E ,,,四点共圆 …… 10分 23解（1）直线l 的参数方程为标准型⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=t y t x 232212（t 为参数） …… 2分代入曲线C 方程得01042=-+t t设B A ,对应的参数分别为21,t t ，则421-=+t t ，1021-=t t ，所以142||||21=-=t t AB …… 5分 （2）由极坐标与直角坐标互化公式得P 直角坐标)2,2(-， …… 6分 所以点P 在直线l ， …… 7分 中点M 对应参数为2221-=+t t ， 由参数t 几何意义，所以点P 到线段AB 中点M 的距离2||=PM ……1 0分 24解（1）当5=a 时，求函数)(x f 的定义域，即解05|5||1|>--+-x x 不等式…… 2分所以定义域为21|{<x x 或}211>x …… 5分 （2）设函数)(x f 的定义域为A ，因为函数)(x f 的值域为R ，所以A ⊆+∞),0(…… 7分 由绝对值三角不等式a a x x a x x -=-+--≥--+-4|51||5||1| …… 9分 所以04≤-a所以4≥a …… 10分。