三角函数常用结论总结
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三角函数常用结论总结
1、角的概念的推广:平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角,一条射线没有作任何旋转时,称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边,终止位置称为终边。
2、象限角的概念:在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限。
3. 终边相同的角的表示:
(1)α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔2()k k αθπ=+∈Z ,注意:相等的角的终边一定相同,终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同,且绝对值最小的角的度数是___,合__
_弧度。(答:25-;5
36
π-)
(2)α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ⇔()k k αθπ=+∈Z .
(3)α终边与θ终边关于x 轴对称⇔2()k k αθπ=-+∈Z . (4)α终边与θ终边关于y 轴对称⇔2()k k απθπ=-+∈Z . (5)α终边与θ终边关于原点对称⇔2()k k απθπ=++∈Z .
(6)α终边在x 轴上的角可表示为:,k k Z απ=∈;α终边在y 轴上的角可表
示为:,2k k Z παπ=+∈;α终边在坐标轴上的角可表示为:,2k k Z π
α=∈.如α
的终边与6
π
的终边关于直线x y =对称,则α=____________。(答:
Z k k ∈+
,3
2π
π)
4、α与2α的终边关系:由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第
二象限角,则
2
α
是第_____象限角(答:一、三) 5.弧长公式:||l R α=,扇形面积公式:211||22
S lR R α==,1弧度
(1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ,该扇形的中心角是1弧度,求该扇形的面积。(答:22cm )
6、任意角的三角函数的定义:设α是任意一个角,P (,)x y 是α的终边上的
任意一点(异于原点),它与原点的距离是0r =>,那么
sin ,cos y x r r αα==,()tan ,0y x x α=≠,cot x y α=(0)y ≠,sec r
x
α=()0x ≠,
()csc 0r
y y
α=≠。三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点P 的位置无关。
如(1)已知角α的终边经过点P(5,-12),则ααcos sin +的值为__。(答:7
13
-)
;
(2)设α是第三、四象限角,m
m --=
43
2sin α,则m 的取值范围是_______(答:(-1,)2
3
);(3)若0|cos |cos sin |sin |=+αααα,试判断)tan(cos )cot(sin αα⋅的符号(答:负) 7.三角函数线的特征是:正弦线MP “站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM “躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT “站在点(1,0)A 处(起点是A )”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。如(1)若08
π
θ-
<<,则sin ,cos ,tan θθθ的大小关系
为_____(答:tan sin cos θθθ<<);(2)若α为锐角,则,sin ,tan ααα的大小关
系为_______ (答:sin tan ααα<<);(3)函数)
3sin 2lg(cos 21+++=x x y 的定义域是_______(答:2(2,2]()33
k k k Z ππ
ππ-+∈)
(1)平方关系:222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= (2)倒数关系:sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1,
(3)商数关系:sin cos tan ,cot cos sin αα
αααα
==
同角三角函数的基本关系式的主要应用是,已知一个角的三角函数值,求此角的其它三角函数值。在运用平方关系解题时,要根据已知角的范围和三角函数的取值,尽可能地压缩角的范围,以便进行定号;在具体求三角函数值时,一般不需用同角三角函数的基本关系式,而是先根据角的范围确定三角函数值的符
号,再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。如(1)函数sin tan cos cot y αα
αα+=
+的值的符号为____(答:大于0);(2)若π220≤≤x ,则使x x 2cos 2sin 12=-成立的x 的取值范围是____(答:[0,
]4
π
y
T
A x
α
B
S
O M P
],4
3[ππ);(3)已知53sin +-=m m θ,)2(524cos πθπ
θ<<+-=m m ,
则θtan =____(答:12
5-)
;(4)已知11tan tan -=-αα,则ααααcos sin cos 3sin +-=____;2cos sin sin 2++ααα=_________(答:35-;513
)
;(5)已知a = 200sin ,则 160tan 等于 A 、21a a -- B 、21a
a
- C 、a a 21-- D 、a a 2
1-(答:B );(6)已知x x f 3cos )(cos =,
则)30(sin f 的值为______(答:-1)。
10.三角函数诱导公式(2
k
πα+)的本质是:奇变偶不变(对k 而言,指k 取
奇数或偶数),符号看象限(看原函数,同时可把α看成是锐角).诱导公式的应用是求任意角的三角函数值,其一般步骤:(1)负角变正角,再写成
2k π+α,02απ≤<;(2)转化为锐角三角函数。如(1)97cos tan()sin 2146
ππ
π
+-+
的值为________(答:-);(2)已知5
4)540sin(-=+α ,则=-)270cos( α______,若α为第二象限角,则
=+-+-)180tan()]360cos()180[sin(2ααα
________。(答:54-;1003-)
11、正弦函数和余弦函数的图象:正弦函数sin y x =和余弦函数cos y x =图
象的作图方法:五点法:先取横坐标分别为0,3,,,222
ππ
ππ的五点,再用光滑
的曲线把这五点连接起来,就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。
12、正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的性质:
(1)定义域:都是R 。
(2)值域:都是[]1,1-,对sin y x =,当()22
x k k Z π
π=+∈时,y 取最大值
1;当()322
x k k Z π
π=+
∈时,y 取最小值-1;对cos y x =,当()2x k k Z π=∈时,y 取最大值1,当()2x k k Z ππ=+∈时,y 取最小值-1。如(1)若函数
sin(3)6y a b x π=-+的最大值为23,最小值为21
-,则=a __,=b _(答:1,12a b ==或1b =-);(2)函数x x x f cos 3sin )(+=(]2
,2[π
π-∈x )的值域是____(答:
[-1, 2]);(3)若2αβπ+=,则6y cos sin βα=-的最大值和最小值分别是____ 、
_____(答:7;-5);(4)函数2()2cos sin()3f x x x x π
=+sin cos x x +的
最小值是_____,此时x =__________(答:2;()12
k k Z π
π+
∈);(5)己知
21cos sin =
βα,求αβcos sin =t 的变化范围(答:1
[0,]2
);(6)若