函数性态的研究
函数的简单性态
函数的简单性态
⑴、函数的有界性：如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。
注：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数
例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的.
⑵、函数的单调性：如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有，则称函数在区间(a,b)内是单调增加的。
如果函数在区间(a,b)内随着x增大而减小，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有，则称函数在区间(a,b)内是单调减小的。
例题：函数=x2在区间(-∞,0)上是单调减小的，在区间(0,+∞)上是单调增加的。
⑶、函数的奇偶性
如果函数对于定义域内的任意x 都满足=，则叫做偶函数；如果函数对于定义域内的任意x 都满足=-，则叫做奇函数。
注：偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称。
⑷、函数的周期性
对于函数，若存在一个不为零的数l，使得关系式对于定义域内任何x 值都成立，则叫做周期函数，l 是的周期。
注：我们说的周期函数的周期是指最小正周期。
例题：函数是以2π为周期的周期函数；函数tgx是以π为周期的周期函数。
第三节 函数的性态研究
18
在许多实际问题中，往往用到求函数最值的下述 方法：
设函数 f ( x ) 在区间 I (开或闭， 可无限)上连续， 且在 I 内部 (即去掉端点 )只有一个驻点或不可导点x 0 ，则
若 f ( x 0 ) 是极小值，即为最小值；
若 f ( x 0 ) 是极大值，即为最大值。
19
四、曲线的凹凸性与拐点
17
例3
求函数 y 2 x 3x 12 x 14 在[3, 4]
3 2
上的最大值与最小值.
解 f ( x ) 6( x 2)( x 1)
令 f ( x) 0, 得
x1 2, x2 1.
计算 f ( 3) 23; f ( 2) 34; f (1) 7; f (4) 142; 比较得 最大值 f (4) 142，最小值 f (1) 7.
x
(, 0)
2 3
0
无
极 大 值
( 0, 1)
1
(1, )
f ( x )
f ( x)
0
极 小 值
极大值 f (0) 0 ，
1 极小值 f (1) . 2
14
求极值的步骤:
(1) 确定函数的定义域；
(2) 求导数 f ( x );
(3) 求定义域内部的极值嫌疑点(即驻点或 一阶导数不存在的点)； (4) 用极值的第一或第二充分条件判定.注意 第二充分条件只能判定驻点的情形.
(2) 求出端点的函数值 f (a ), f (b) ；
(3) 最大值 max max{f ( x1 ),, f ( xk ), f (a ), f (b)}
x[ a ,b ]
函数的性态分析
高考中函数的热点问题一、函数的性态例题1 已知函数xxx x f -+-=11log 1)(2,求函数f (x)的定义域,并讨论它的奇偶性和单调性.，并说明理由。
思路点拨：函数的奇偶性的范围应在定义域上加以分析，而函数增减单调性区间可选择定义域上或定义域的子集上考虑问题()()0()(1,0)(0,1).1011001x f x xxf x x ≠∴-⋃+>--⋃∴⎧⎪⎨⎪⎩ 解：函数的定义域为函数（）的定义域，，关于原点对称，对于定义域内的每一个，211log .1x f x f x f x xx--=--==-∴+ （）（），（）是奇函数()()121212222211221221()0,1,0,1,11111122()()log log ()[log 1log 1],1111f x x x x x f x f x x x x x x x x x <∈++-=--+=-+-------⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭研究在上的单调性设()()2212122111220,log 1log 10,()()0,110110.f x f x x x x x f x f x f x ->--->∴->---⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭即（）在，上单调递减，由于（）是奇函数，（）在，上单调递减在研究函数()()()F x f x g x =±的相关问题时，如果函数()f x 与函数()g x 具备相同的单调性或奇偶性，则可以借助此性质去研究其它问题。
例题2、若2525(log 3)(log 3)(log 3)(log 3)x x y y ---≥-，则有（ ）（A ）0x y +> （B ）0x y +< （C ）0x y +≥ （D ）0x y +≤解：令25()(log 3)(log 3)x x F x =-，2()(log 3)x f x = 与5()(log 3)x g x =-都是增函数，()F x ∴是增函数，又原式可转化为()()F x F y ≥-，则有x y ≥-，∴选取（C ）点评：把题中的不等式问题，转化为一个和差函数的单调性来研究，是解题的捷径。
回收函数与函数的性态研究
）一 ０ ＜ ＜ ；因为函 是正常 闭凸函数 ，则 Ａ
） ＜
）ｙ ＝ｌ 。 Ａ Ａ ｙ ＝ｌ 。Ａ （） ＾ ） ＾ ｉ Ｉ ｍ Ｉ ｉ Ｉ ｍ Ｊ
其 中 ． ＞０ 即 ． ｆｘ＋Ａ ）≤ｆｘ ＋ ０）ｙ ＝ ） （ ｙ （） Ａ （） 一Ａ ． 令 Ａ一 ＋∞，有 ＋Ａ ） 一∞．所 以－没有 下界 ． ｙ一 厂
Ａ
：一 ＜ ， ∈ 。 ｆ 占 ０ ｖ ｄｍ
定理 ２ 设 函数， Ｒ 一（ ∞，∞ 是正常闭凸函数 ，若函数， ． ２ ：“ 一 ＋ ］ 没有 回收方向 ，即对 Ｙｙ∈ Ｒ ，都有 （０） ＞０ 厂 （） ，则 函 在 上 有 有 限的极 小值 ，且 问题 （ ） Ｐ 的最优 解 集 为非 空有 界集 ． 证明：假设 ｉ ） ∞，则 ３ ｘ ∈ ｎ Ｉ ｌ ｆ ＝一 ｛ ） Ｒ ，使得
系问题 ．
１ 回收 函数 的特 征 与 函数 极 小 值 的关 系
设 ｃｃ尺 是非空凸集 ，称集合 ０Ｃ＝ｙ Ｒ Ｉ ＋， ｝ ｃ的回收锥 ，凸函数 Ｒ 一 ｎ ＋ ｛ｅ ）ｃ ｃ为 Ｃ 厂 ：
（ ∞， ∞） 回收 函数 ｆ பைடு நூலகம் 一 ＋ 的 ｏ定义 为 ：ｅｉｆ０） ｅ ｉ ． ｐ（ ＝０（ｐ
称 向量 Ｙ ／的 回收方 向 ，如果 对 每一 个 ∈ｄｍ ， （ ＋Ａ ） 于 Ａ（ ∈Ｒ 为 ｏｆ ｆｘ ｙ 关 Ａ＞０ 是非 ）
增的函数 ，￣ （Ｏ） ） ０ Ｉ Ｏ） ，≤ ｝ 厂 Ｏｆ （ ≤ ． （ （） ０为＿的回收方向集合 ． ｙ ｆ ） 我们有 ：（０） ） § ｆ （ ≤０
回收 函数 与 函数 的性 态 研 究
王 炜 ，袁 笑宇，冯 雪
１６ ２ ） ０ ９ １ （ 辽宁师范大学 数学学 院 ，辽 宁 ，大连
函数性态的研究(凹凸性和渐近线)
Proof. 设 f ( x) xlnx ， x0 ，（Step1 找准函数， ）
f
( x)lnx1，
f
( x)
1 x
0
，（Step2
判断函数凹凸性）
∴故Ef (fXx(E)x在 y(0)12, (1x[nf)(内xy)为n )f严(格y)x]凸，2函y数n，,
22
即
x
y
ln
x
y
1x [
0, y xlnx
0, x yln y] ，
y,
n1．
2 22
（Step3 利用凹凸性导结论）
从而 ( x y)ln x y xlnx yln y ． 2
（二）曲线的拐点
连续曲线上曲线向上凸与向下凸的分界点
f ( x) 0的 po int s f ( x)不存在的po int s 是拐点横坐标的可疑点．
o
Note：改“ f ( x) 0 ”为 f ( x) 0 ”，则为严格凸函数；
“ f ( x) 0 ”为 f ( x) 0 ”，则为严格凹函数． 反之未必成立，即 Thm 7 及注仅是充分条件，非必要．
例 9 证： ( x y)ln x y xlnx yln y , x, y0 且 x y ； 2
Note: (2) 定义中的不等式 对 x [x1, x2] (a, b) ，都有
f (x)
x2 x x2 x1
f ( x1 )
x x1 x2 x1
f ( x2 )
凸函数
f (x)
x2 x x2 x1
f ( x1 )
x x1 x2 x1
f ( x2 )
凹函数
y y f (x)
A DB C
函数的性态知识点总结
函数的性态知识点总结一、函数的定义与符号表示1. 函数的定义：函数是一种映射关系，指一个集合到另一个集合的特定对应关系。
2. 函数的符号表示：函数通常用f(x)表示，其中x是自变量，f(x)是因变量。
二、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数的输出范围。
2. 奇函数和偶函数：奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。
3. 周期函数：周期函数指f(x+T)=f(x)，其中T为周期。
4. 单调性：函数在定义域上的增减性质。
5. 有界性：函数是否有界，即是否存在上下界。
三、函数的极限1. 函数极限的定义：函数f(x)当x趋向于a时，f(x)的极限为L，表示为lim(f(x))=L。
2. 函数极限的性质：极限存在性与唯一性、有界性与无界性、单调性的保持。
四、导数与微分1. 导数的定义：函数f(x)在点x处的导数表示为f'(x)，即导数是函数在某一点处的变化率。
2. 导数的计算：通过求导法则、高阶导数来求函数的导数。
3. 微分的定义：微分是导数的几何意义，表示函数在某一点的局部线性逼近。
4. 导数与函数的关系：导数可以表示函数的增减性、凹凸性和拐点等性质。
五、函数的极值与拐点1. 极值的定义：函数的最大值和最小值称为极值，包括局部极值和全局极值。
2. 极值的求解：通过导数的零点、非常数项、边界点等方式求解函数的极值。
3. 拐点的定义：函数图像在拐点处的曲线方向发生变化，即曲线由凹变凸或由凸变凹。
4. 拐点的求解：通过计算函数的二阶导数，找出函数的拐点。
六、函数的泰勒展开1. 泰勒展开的定义：泰勒展开是将函数在某点进行多项式逼近，用于计算函数在该点附近的近似值。
2. 麦克劳林展开：泰勒展开在x=0处的情况，称为麦克劳林展开。
3. 泰勒级数：泰勒级数是泰勒展开的无穷级数形式，用于表示函数在某点附近的各阶导数。
七、函数的积分1. 定积分与不定积分：定积分是区间上的积分，不定积分是函数的反导数。
3-4函数单调性与凹凸性(09)
二、函数单调性的应用
——证明不等式和判断方程根的个数. ——证明不等式和判断方程根的个数. 证明不等式和判断方程根的个数 1. 证明不等式 关键是根据所证不等式及所给区间构造辅助函数 关键是根据所证不等式及所给区间构造辅助函数, 并讨论 构造辅助函数 它在指定区间内的单调性. 它在指定区间内的单调性. 例4 证明不等式 e x ≥ x + 1 证
令 f 2 ( x ) = ln(1 + x ) − x
因 为 f2 (0) = 0, 而 f2′( x) =
−x < 0 ( x > 0) 1+ x
则 f ( x )单减 即 f 2 ( x ) < f 2 (0)( x > 0) 故 单减.
ln(1 + x ) < x
证
x3 令 f ( x ) = tan x − x − 3
f ′(x) ≤ 0 A y = f (x)
B
o
a
b
x
o a
b x
各点处切线的斜率为正
各点处切线的斜率为负
在区间(a, 上单调递增 若 y = f (x)在区间 b)上单调递增 在区间 在区间(a, 上单调递减 若y = f (x)在区间 b)上单调递减 在区间
f ′( x) ≥ 0
f ′( x) ≤ 0
研究函数的单调性, 就是判断它在哪些区间内递增, 注1 研究函数的单调性 就是判断它在哪些区间内递增 哪些 区间内递减. 对可导函数的单调性, 区间内递减 由定理 1 对可导函数的单调性 可根据导数的正 负情况予以确定. 负情况予以确定 注2 包括无穷区间) 定理 1 的结论对其他各种区间 (包括无穷区间 也成立 包括无穷区间 也成立.
函数的性态研究(林威)
专题1 函数的性态研究（3课时）苍南龙港高中林威【考点透视】1、函数的性质主要涉及函数的定义域、对应法则，值域（最值）、奇偶性、单调性、周期性、对称性以及反函数的概念及性质。
在高考试题中常以选择题、填空题的形式出现，有时也以函数内容为主的综合性解答题的形式进行考查。
函数是一种思想，它重在渗透。
函数的图象是函数的直观体现，运用函数的图象研究函数的性质是高考命题的热点之一。
函数由定义域和对应法则所确定，函数的值域由函数的定义域所确定，函数的单调区间是定义域的子集，奇（偶）函数的定义域必须关于原点对称，在解题时，应重视定义域在解决函数问题中的作用。
函数的综合运用主要是指综合运用函数的知识，思想和方法解决问题。
近年来，高考试题中经常在函数与其他方面知识的交汇点编制试题，这样的试题通常以中高档题的形式出现。
对函数以及函数思想方法应用的考查是数学高考的一大热点和亮点。
解函数综合题首先要仔细审题，弄清题意，然后把握问题的本质，展开广泛的联系，再是要运用转化和化归、分类讨论等数学思想，将一个较为复杂的问题转化为一次、二次函数的问题加以解决。
解函数综合问题，还必须要加强对向量、导数等新增内容与函数的交汇问题的剖析和训练，熟练掌握用导数的工具来研究函数的有关性质，因为这将是高考考查的一个新的着眼点。
3、合理预测单调性、性质会在解答题中出现。
分值会在10—15分左右。
一、 2004高考题汇总【高考风向标】以客观题的形式考查函数的概念、性质和图象。
（一）选择题1 (2004. 某某卷)若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a =( A ) (A)42 (B)22 (C)41 (D)21 2. （2004.某某）设k>1，f(x)=k(x-1)(x ∈R ) . 在平面直角坐标系xOy 中，函数y=f(x)的图象与x 轴交于A 点，它的反函数y=f -1(x)的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P 点. 已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于 ( B )(A)3 (B)32 (C)43 (D)653．(2004.全国理)已知函数=-=+-=)(.)(.11lg )(a f b a f xxx f 则若 （ B ）A ．bB ．－bC ．b 1D ．－b1 4．(2004.全国理)函数)1(11≥+-=x x y 的反函数是 （ B ） A ．y=x 2－2x +2(x <1) B ．y=x 2－2x +2(x ≥1)C ．y=x 2－2x (x <1)D ．y=x 2－2x (x ≥1)5、（2004.某某理）若函数y=f(x)的图象可由函数y=lg(x+1)的图象绕坐标原点O 逆时针旋转2π得到,则 f(x)=( A )(A) 10-x -1. (B) 10x -1. (C) 1-10-x . (D) 1-10x. 6、（2004. 某某卷文科)若函数y=f(x)的图象与函数y=lg(x+1)的图象关于直线x-y=0对称,则 f(x)=(A )(A)10x -1. (B) 1-10x . (C) 1-10-x . (D) 10-x -1.7．（2004.某某理）已知)(,11)11(22x f x x x x f 则+-=+-的解析式可取为（ C ）A ．21x x + B ．212x x +- C ．212x x + D ．21x x+- 8．（2004. 某某理）已知函数y=log 2x 的反函数是y=f —1(x )，则函数y= f —1(1－x )的图象是 （ B ）9．（2004. 某某理）定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x +2)，当x ∈[3，5]时，f(x)=2－|x －4|，则（ D ）A ．f (sin 6π)<f (cos 6π) B ．f (sin1)>f (cos1)C ．f (cos 32π)<f (sin 32π) D ．f (cos2)>f (sin2)10．（2004. 某某理）一元二次方程2210,(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是： （C ） A ．0a <B ．0a >C ．1a <-D ．1a > 11．（2004. 某某卷）对于10<<a ，给出下列四个不等式D①)11(log )1(log a a a a +<+②)11(log )1(log a a a a +>+③aaaa111++<④aaaa111++>其中成立的是 A ．①与③ B ．①与④ C ．②与③ D ．②与④12．（2004.某某理）设)(1x f -是函数)1(log )(2+=x x f 的反函数，若8)](1)][(1[11=++--b f a f ，则 )(b a f +的值为 （ B ）A ．1B ．2C ．3D ．3log 213．（2004.某某理）设函数,2)2(),0()4(.0,2,0,0,)(2-=-=-⎩⎨⎧>≤≤++=f f f x x x c bx x x f 若则关于x 的方程x x f =)(解的个数为（ C ）A ．1B ．2C ．3D ．414．（2004.某某理）设)(),(x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0<x 时，,0)()()()(>'+'x g x f x g x f 且,0)3(=-g 则不等式0)()(<x g x f 的解集是（ D ）A ．),3()0,3(+∞⋃-B ．)3,0()0,3(⋃-C ．),3()3,(+∞⋃--∞D ．)3,0()3,(⋃--∞（二）填空题15．（04. 某某春季高考）方程1)3(lg lg =++x x 的解=x __________.216．（04. 某某春季高考）已知函数)24(log )(3+=xx f ，则方程4)(1=-x f 的解=x __________.1xx 11-+ (x ≠0)， 17．（2004. 某某理）设函数f(x)= a (x =0). 在x =0处连续，则实数a 的值为 1/2 . 18．（2004. 某某理）如图1，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一 个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的 底面边长为2/3 时，其容积最大. 19、（2004.某某理）若函数f(x)=a 2+-b x 在[0,+∞)上为增函数,则实数a 、b 的取值X 围是a>0且b≤0 .20、（2004. 人教版理科）设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+=1,141,)1()(2x x x x x f ，则使得1)(≥x f 的自变量x 的取值X 围为（ ）A 、(][]10,02, -∞-B 、(][]1,02, -∞-C 、(][]10,12, -∞-D 、[)[]10,10,2 -二、错解分析 1．已知函数2221()log log (1)log (),(1)()1x f x x p x f x x +=+-+--求的定义域;(2)求f(x)的值域。
函数性态的描述、刻画与应用分析研究
函数性态的描述、刻画与应用分析研究函数性态的描述、刻画与应用分析研究引言函数性态描述、刻画与应用分析是函数理论中的一个重要研究方向。
函数是数学中的基本概念，它描述了元素之间的映射关系。
函数性态的描述与刻画研究不仅可以帮助我们深入理解函数的性质，还可以为函数的应用提供理论支持。
本文将对函数性态的描述、刻画与应用分析进行综合研究。
一、函数性态的描述1.1 定义函数是一个关系，它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。
函数通常用公式、图像、表格等方式进行描述。
对于给定的输入，函数能够唯一确定一个输出，而且对于同一个输入，函数的输出是确定的。
函数的描述可以通过函数的定义域、值域、映射关系等元素来进行完整阐述。
1.2 性态的描述函数性态的描述主要从函数的连续性、可导性、单调性等方面展开。
连续性描述了函数在定义域上是否存在间断点，以及间断点的类型；可导性描述了函数在某个点是否存在导数，以及导数的存在条件；单调性描述了函数在定义域上的递增或递减性质。
这些性态描述可以帮助我们深入了解函数在不同区间的变化规律。
二、函数性态的刻画2.1 数学工具函数性态的刻画离不开一些数学工具的支持。
常见的刻画工具有极限、导数、积分等。
通过这些工具，我们可以对函数的性态进行定量描述。
比如，极限可以描述函数在某个点上的趋近性；导数可以描述函数在某个点上的变化率；积分可以描述函数在某个区间上的累积效应。
这些数学工具为函数性态的刻画提供了重要依据。
2.2 图像刻画函数的图像是刻画函数性态的重要工具之一。
通过绘制函数的图像，可以直观地显示函数在定义域上的性态特征。
比如，函数的连续性可以通过图像上是否存在间断点来观察；函数的单调性可以通过图像上的上升或下降趋势来判断；函数的可导性可以通过图像上的平滑性来体现。
图像刻画可以帮助我们更直观地了解函数的性态。
三、函数性态的应用分析3.1 实际问题的建模函数性态的应用主要体现在实际问题的建模中。
函数性态的研究(最值、凹凸性与渐近线).ppt
驻点
可能最值
极值点处 端点处
f 不存在的点
（应是f 的连续点）
(3) 如何判定：
驻点
可能最值
极值点处 端点处
f
不存在的点
（应是f 的连续点）
(3) 如何判定： 若 f (x)C ，则
只要比较 f 在驻点、 f 不存在的点、端点处的值， 最大者为最大值，最小者为最小值．
两个结论：
两个结论：
(1) 若 f (x)C[a, b] ，且在 (a, b) 内有唯一极值点 x0 ，
(6)
f
二阶连续可导， y sin
f ( x2 ) ，
求d2y ．
dx 2
推广到一般情况： 设 f ( x) 在 x0 处有 n 阶导数， f ( x0 ) f (x0 ) f (n1)(x0 ) 0 ，且 f (n)( x0 ) 0 ．则
10 n为奇数时，点 x0 为非极值点； 20 n为偶数时，
“ f ( x) 0 ”为 f ( x) 0 ”，则为严格凹函数． 反之未必成立，即 Thm 7 及注仅是充分条件，非必要．
例 9 证： ( x y)lnx y xlnx ylny , x, y0且 x y ；
2
Proof. 设 f ( x) xlnx ， x0 ，（Step1 找准函数， ）
Def. 2 设 f ( x) C[a, b] ．对 x 1 , x2 (a, b) ，
及 0 1 ，若总有
f ( x1 (1 )x2) f (x1) (1 ) f (x2) (a, b) 内的凸函数； f ( x1 (1 )x2) f (x1) (1 ) f (x2) (a, b) 内的凹函数．
补充作业 (1)
ae2x cos x, x 0,
函数性态的研究(精)
10
f ( x2 ) f ( x1 ) 或 f ( x2 ) ( x1 x2 ) x2 x1 f ( x2 ) f ( x1 ) 从而当 x2 x1 , f ( x2 ) f ( x1 ), x2 x1
这表明 f ( x )在 I 上单调增 , 于是
(3) 得证.
第二章
§6 函数性态的研究 (2)
0.1 0.05 -1 -0.5 -0.05 -0.1 -0.15 -0.2 -0.25
1
0.5
1
1.5
四、函数的凹凸性(concavity)
凸函数的第一几何特征
以下凸函数为例，如图，
( x1 , f ( x1 ))
B( x2 , f ( x2 ))
x
A
x1
定义 1 (凸函数的分析定义)
若 x1 , x2 I , 及 [0， 1]，恒有
f ( x1 (1 ) x2 ) f ( x1 ) (1 ) f ( x2 )
则称f ( x )在I上是下凸函数 (或凸函数 )。
对下凸第一几何特征可简述为： 曲线在相应点间弦的下方。
4
凸函数的第二几何特征
下凸的光滑函数上任一点的切线在曲
线的下方，且 f 是单调增加的。
见下一页图示
5
6
定理 5 (凸性的判定法一, P.155.定理6.5)
设 f ( x )在I上可微, 则下列命题等价:
( 1 ) f ( x )在 I上是下凸函数 ;
(2) x1 , x2 I ,
0
Байду номын сангаас
利用: x0 x1 (1 ) x2
函数的整体性态
f(x)有界:给定函数f(x),xI, M>0,
xI,| f(x) | M.
f(x) 无界:给定函数f(x),xI, M>0,
xI,| f(x) |> M.
6
(二)奇偶性 设函数f的定义域 I=(–a,a)关于原点对称.若 f(– x)= – f(x),xI,则说f是奇函数; 若 f(– x)=f(x),xI,则说f是偶函数. 奇函数: xI, f(– x)= – f(x), 偶函数: xI, f(– x)=f(x). 非奇函数: x0I, f(– x0) – f(x0), 非偶函数: x0I, f(– x0) f(x0).
csch 2 x 1 coth 2 x
sinh( x y) sinh x cosh y cosh x sinh y
cosh( x y) cosh x cosh y sinh x sinh y 17
(四)周期性 设f:D(f)R.若存在T1>0使 得xD必有x+T1 D,并且f(x+T1)=f(x), 则称f为周期函数,T1是它的一个周期, 最小正周期T称为它的(基本)周期.
§2 函数的整体性态 所谓函数的整体性态就是与整 个定义域有关的函数性质而且都在 其图象上体现出来.
(一)有界性
定义 给定函数f(x),xI.若存在 M>0(M,m),使得对任意xI,| f(x) | M则说f是有界函数, M 称为f(x)的一 个界.
1
定义 给定函数f(x),xI.若存在 M(m),使得对任意xI, 都有f(x) M(f(x)m),则说f是有上(下)界, M (m)称为f(x)的一个上(下)界有下 界)的函数.
15
双
曲
正
切
及
同济大学高等数学2.5导数在研究函数性态上的应用
进一步，如果在实际问题中根据问题的性质可 以判定可导函数 f (x) 确有最值，且一定在定义区间 内部取得，则唯一的驻点 x0 必是 f (x)的最值点。
怎样选择它的直径与高，使得所用的材料最省？
解 设圆柱体的底面直径为 d，高为h，表面积为S，则有：
S
d
h
d2
V d 2h 4
S 4V d 2，
d 0
4
d4
令S 0，解得唯一驻点 d 23 V 。
又由问题的实际意义可 知最小表面积 S一定存在，
所以唯一驻点d 23 V 就是最小点，
此时 h 4V 3 V
()
(2) f (x) 0 f (x) 在区间 I 上严格单调增加
()
（减少）.
定理 2 设函数 f 在区间 I 上可导，则 f 在区间 I 上 严格单调增加（减少）充要条件是
(1) 对x I,有 f (x) 0（ 0）； (2) 在I的任一部分区间上f (x) 都不恒等于零.
例1 讨论下列函数的单调性,并指出单调区间：
当 x ( x , x ) 时， f (x) 0 ， 则 f (x) 在点 x 取得极小值； （3）若 f (x) 在点 x 的左、右邻域内保持同号， 则 f (x) 在点 x 处无极值。
例5 求函数 f (x) (x 1) 3 x2的极值.
解：f ( x) 3 x 2 2( x 1) 5x 2
几点说明： （1）极值是指函数的值，而极值点是指自变量的值，
两者不要混淆。 （2）函数极值的概念是局部性的，它不一定是函数在
山中医《高等数学》期末考试题库
《高等数学》材料（答案） 第一章、 函数与极限1、函数的定义、函数的二要素——表达式和定义域，两个函数相等的条件；2、函数的分类:分段函数、反函数、复合函数—他们的特点和要点；3、函数的极限的定义、性质和要点，特别是0x x →时的情况；4、 无穷小量和无穷大量的定义、无穷小量的性质、他们之间的关系、无穷小量的比较p23 (10)；5、函数极限的运算；6、极限存在定理；7、两个重要极限；结构和使用方法 p238、函数的连续性 定义、函数连续的三要素、间断 9、初等函数的连续性——5个性质连续函数的四则运算还是连续函数、连续函数的复合函数还是连续函数、最值定理、介值定理、根存在定理；___________________________________________________________1、在下列各对函数中那些事相同的a 、 2(),()f x g x x ==b 、 22()sin cos ,()1f x x x g x =+=C 、 2()ln ,()2ln f x x g x x == d 、 21(),()11x f x g x x x -==+-2、()()f x x =-∞<<∞判定的奇偶性 奇3 、当0x →时，tan 2x ，1ln(12)2x + 和 (2)x x + 中与sin x 等价的无穷小量是1ln(12)2x +4、0x → 解：原式=012x →=5、0lim→x =+xkx )1ln( 解：原式1001lim ln(1)lim(ln(1))kkx x x kx kx k x →→=+=+= 6、=+→x x x 3sin )1ln(lim0 1000ln(1)ln(1)/31ln(1)1limlim lim sin 3sin 3/33sin 3/33xx x x x x x x x x x x x →→→+++===7、3113lim()11x x x →--++ 解：原式233211113(2)(1)2lim lim lim 1111x x x x x x x x x x x x →-→-→--+--+-====-++-+ 8、=∞→x x x sin limsin 1lim lim sin 0x x x x xx →∞→∞==9、 311lim(32)x x x -→- 13662(1)111lim(32)lim(12(1))x x x x x x e ----→→-=+-=10、函数2312+-=x x y 的间断点为 1,2x x ==11、函数)2)(1(1-+=x x y 的连续区间为 (,1)(1,2),(2,)-∞--∞12、tan ()arcsin()(0)2x f x x x=≠ 补充定义(0)f 之值，使()f x 在0x =处连续。
函数的性态分析与数项级数敛散性的研究
－ ＋ 存在，级 厂 ） 则 数∑＿ ） （ 厂 与ｊ （
）敛 性 ． ｄ 散 相同 ｘ
事上 窭 ｋｆ 实， ｕ 记 ＝
ｋ ＝１ ｋ＝ ｌ Ｉ
一
一Ｉ ． Ｊ（ ｆ ＝ “） ，
。 ｛
由 联 可 ，数∑ ｕ 敛 关 一 知级 ． 收
当 ｌ ） 凹 函数 时 ， ） 增 且有 厂 为 （ ＿ 厂（ 递
在高 等 数 学课 程 中 ， 函数 性 态 的 分 析 着 重 应 用 于 对 对 函 数 的性 质 、 图像 的 研 究 ． 者 在 教 学 实 践 中 发 现 ， 一 定 作 在 条件 下 ， 有 凹 凸性 的 函 数 的 一 些 特 性 与 某 些 数 项 级 数 的 具
敛散 性 有 着 一 定 的 联 系 ， 且 对 于 数 项 级 数 的 敛 散 性 的 判 并 别有 着 比较 优 化 的 方 法 ， 文 就 ［ ， ｏ） 具 有 凹 凸 性 的 本 ａ ＋ｏ 上 函数 在 数 项 级数 中某 些 应 用 进 行 一些 探 究 ． 在 大 多 数 高 等数 学 教 材 中 ， 函数 ｌ 的 凹 凸 性 是 指 ： 厂 （ ） 设 函数 ） （ ， ） 可导 ， 曲线 Ｙ＝ （ 位 于 每 点 处 切 线 在 。ｂ 内 若 ， ） 的上 方 或 下方 ， 称 曲线 在 （ ， ） 是 凹 的 （ 则 ａｂ 内 向下 凸 ） 凸 或 的（ 向上 凸 ） 我们 也 称 ｙ＝ ） 凹 （ 凸 ） ． 是 或 函数 ． 般 情 况 一 下 ， （ ｂ 换 成无 穷 区 间也 可 以 类似 定 义 ： 当 ａ， ） 如果 将 ｂ 改换成 ＋ ａ 存在 ， 厂 ａ ） 有－ ）＝ｌ 厂 且 仍满 （ ｉ （ ｍ＿ ）
收敛 ， 中 其
关于函数性态特征的应用研究
f " (1) = - 6 < 0 f " (3) = 6 > 0
百家论点
5 结语 综上所述， 通过以上三种函数形态的应用研究， 经比较， 我 们发现解决函数性态特征的问题， 方法并非一成不变， 而是具 （上接第 156 页） 载， 而驱动轴套筒扳手的疲劳寿命是由于生产环节残余应力及 工艺水平的影响。参照传统动力汽车驱动桥桥壳寿命检测方 式， 拟采取正弦载荷为仿真加载模型。测试最大负荷按最大负 载轴荷的 2.5 倍确定， 最小负载按满载轴荷的 0.1 倍确定。 表 1 影响驱动桥桥壳疲劳寿命的相关影响因素指标测试值
则 f (x) 单调递增 （或递减） 。
f (x 2) - f (x1) > 0 （或 f (x 2) - f (x1) < 0 ）
即
x1 + x 2 ≥ 4 x1 x 2 x1 + x 2
例 1， 设 f (x),g(x) > 0 且都为单调递增， 则 f (x)g(x) 单调递增
∀0 < x1 < x 2 ，f (x 2)g(x 2) - f (x1)g(x1) 证： > f (x1)g(x 2) - f (x1)g(x1) = f (x1)[g(x 2) - g(x1)] > 0
-k(x 2 - x1) ≤ sin x 2 - sin x1 ≤ k(x 2 - x1) ， 所以
' 时 f (x) > 0 ；
1 得 x= , 3
当 x<0
2.2 微分中值定理法
1 x 例 3， 证明 g(x) = (1 + ) （ x > 0 ） 单调递增 x 1 1 证： 因为 x < ξ < x + 1 ln(x + 1) - ln x = ξ > x + 1 ，