《高等代数》多项式试题库
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f (x) � g(x) � 0 .
B组
1. 设 f ( x), g (x), h(x) 是 实 数 域 上 的 多 项 式 , 证 明 : 若 f 2 (x) � xg 2 (x) � xh 2 (x), 则
2
f (x) � g(x) � h(x) � 0 . 2.求一组满足上式的不全为零的复系数多项式. 3. 次数定理中,式子
n ) � {a � b
n a, b � Q} 对加法减法乘法除法
封闭.即 Q( n ) � {a � b n a, b � Q} 是数域.
2�证明 因为 3 2 � {a � b3 2 a, b � Q} ,
3 2 � 3 2 � 3 4 � {a � b3 2 a, b � Q} .
即 {a � b3 2 a, b � Q} 对乘法不封闭.所以{a � b3 2 a, b � Q} 不是数域. 3�证明 由于任意数域都包含有理数, 故 P1 , P2 也包含有理数域, 从而 P1 � P2
�
(1 �
i)x 2
� 1 ;(vi) 1 �
1 2!
x
�
1 3!
x3
���
1 n!
xn
��
;
其中
是
多项式.
3. 零多项式是
, 零次多项式是
.
n
m
4.
� � 设 多 项 式 f ( x) � ai x i , g ( x) � bi x i
i �1
i �1
,
则 f (x)g(x) 的 k 次 项 系 数
§1 数域[达标训练题]
一 填空题
1�数集{0}对 2�自然数集 N 对 3�数集{a � bi a, b � Z} 对
二 判断题
运算封闭. 运算封闭.
封闭.
1. 数域必含有无穷多个数. 2. 所有无理数构成的集合是数域.
三 证明
1. 证明 Q( n ) � {a � b n a, b � Q} 是数域,这里 n 不是完全平方数. 2. 证明{a � b3 2 a, b � Q} 不是数域. 3. 若 P1 , P2 是 数 域 , 证 明 P1 � P2 也 是 数 域 , 而 P1 � P2 不 一 定 是 数
a2 � b2 n
. 当 � (a1a2 � b1bn2 ) � (a1b2 � a b2 1 ) n � Q ( n )
a1 � b1
n � 0 时,
a1 � b1
n
� a1 a 2 � b1b2 n � a1b2 � b1 a 2 �
a2 1
�
b2 1
n
a2 1
�
b2 1
n
n �Q(
n)
.故 Q(
§2 一元多项式[达标训练题]
A组
一 填空题
1. 式
数项是
系数在数域 P 上的关于文字 x 的一元多项式指的是形式表达
, 其中 i 次项是
, i 次项系数是
,常
.
1
2. 下列形式表达式(i)2;(ii) x ; (iii)0; (iv) 1 � ln( x � x 2 � 3x 3 ) ;
(v)
ix 3
P2
.
即
P1 � P2 是数域. 例如:
取 P1 = Q( 2 ) � {a � b 2 a, b � Q} , P2 � Q( 3 ) � {a � b 3 a, b � Q} , 容易验证 P1 � P2 不
一定是数域; 取 P1 = Q , P2 � Q( 3 ) � {a � b 3 a, b � Q} ,显然 P1 � P2 = {a � b 3 a, b � Q} 是 数域.
�( f ( x) � g (x)) � max{ �( f (x)), �( g (x))}
何时等号成立?何时小于号成立?
§2 一元多项式[达标训练题解答]
A组
一 填空题
1� an x n � an�1x n�1 � � a1x � a0 � ai x i � ai
k �1
3. 0�非零常数 �
a bi k � i
是
.
二 判断题
1. 0 是零次多项式. 2. 若 f (x)g (x) � f (x)h(x) ,则 g (x) � h(x) . 3. 若 f (x), g (x), h(x) 都是数域 P 上的多项式, 则 �( f (x) � g (x)) � �( f (x)) 或者 �( f ( x) � g ( x)) � �(g ( x)) .
� a�c�0
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2a
�
b
�
c
�
0
(i) ��4a � b � 2c � 0 (ii)
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�
b
�
c
�
0
��4a � b � 2c � 0 (iii)
� a�c�0
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域.
§1 数域[达标训练题解答]
一 填空题
1�加法、 减法、 乘法�2.加法、乘法 �3.加法、减法、乘法.
二 判断题 1. ( T)� 2. ( F) 三、解答题
1 � 证 明 显 然 0, 1� Q n . 对 任 意 的 a1 � b1 n , a 2 � b2 n � Q( n ) ,
(a1 � b1 n ) � (a 2 � b2 n ) = (a1 � a2 ) + (b1 � b2 ) n � Q ( n ) ; (a1 � b1 n ) � (a2 � b2 n )
三 解答题
1. 设 f (x) � a(x � 2) 2 � b(x � 1) � c(x 2 � x � 2) , 试确定 a, b, c , 使 f ( x) (i)零次多项式; (ii) 零多项式; (iii)一次多项式 x � 5 . 2. 若 f (x), g (x) 是实数域上的多项式, 证明:若 f 2 (x) � g 2 (x) � 0, 则
包 含 有 理 数 域 . 令 a , b � P1 � P2 , 则 a , b � P1 , a , b � P2 . 由 于 P1 , P2 是 数 域 , 故
1
a � b,
ab�P1
, a � b,
ab�P2
;当
b
�
0
时,
a b
� P1 ,
a b
�
P2
,
所以
a
� b,
ab ,
Baidu Nhomakorabea
a b
�
P1
�
4. � . i�1
� a0 �2.�i���iii��v� �
二 判断题
1�(F)� 2. (F).; 3.(F).
三 解答题
1�解 因为
f ( x) � a( x � 2)2 � b( x � 1) � c( x2 � x � 2) � (a � c) x2 � (2a � b � c) x
� (4a � b � 2c) .利用多项式相等的定义的:
B组
1. 设 f ( x), g (x), h(x) 是 实 数 域 上 的 多 项 式 , 证 明 : 若 f 2 (x) � xg 2 (x) � xh 2 (x), 则
2
f (x) � g(x) � h(x) � 0 . 2.求一组满足上式的不全为零的复系数多项式. 3. 次数定理中,式子
n ) � {a � b
n a, b � Q} 对加法减法乘法除法
封闭.即 Q( n ) � {a � b n a, b � Q} 是数域.
2�证明 因为 3 2 � {a � b3 2 a, b � Q} ,
3 2 � 3 2 � 3 4 � {a � b3 2 a, b � Q} .
即 {a � b3 2 a, b � Q} 对乘法不封闭.所以{a � b3 2 a, b � Q} 不是数域. 3�证明 由于任意数域都包含有理数, 故 P1 , P2 也包含有理数域, 从而 P1 � P2
�
(1 �
i)x 2
� 1 ;(vi) 1 �
1 2!
x
�
1 3!
x3
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;
其中
是
多项式.
3. 零多项式是
, 零次多项式是
.
n
m
4.
� � 设 多 项 式 f ( x) � ai x i , g ( x) � bi x i
i �1
i �1
,
则 f (x)g(x) 的 k 次 项 系 数
§1 数域[达标训练题]
一 填空题
1�数集{0}对 2�自然数集 N 对 3�数集{a � bi a, b � Z} 对
二 判断题
运算封闭. 运算封闭.
封闭.
1. 数域必含有无穷多个数. 2. 所有无理数构成的集合是数域.
三 证明
1. 证明 Q( n ) � {a � b n a, b � Q} 是数域,这里 n 不是完全平方数. 2. 证明{a � b3 2 a, b � Q} 不是数域. 3. 若 P1 , P2 是 数 域 , 证 明 P1 � P2 也 是 数 域 , 而 P1 � P2 不 一 定 是 数
a2 � b2 n
. 当 � (a1a2 � b1bn2 ) � (a1b2 � a b2 1 ) n � Q ( n )
a1 � b1
n � 0 时,
a1 � b1
n
� a1 a 2 � b1b2 n � a1b2 � b1 a 2 �
a2 1
�
b2 1
n
a2 1
�
b2 1
n
n �Q(
n)
.故 Q(
§2 一元多项式[达标训练题]
A组
一 填空题
1. 式
数项是
系数在数域 P 上的关于文字 x 的一元多项式指的是形式表达
, 其中 i 次项是
, i 次项系数是
,常
.
1
2. 下列形式表达式(i)2;(ii) x ; (iii)0; (iv) 1 � ln( x � x 2 � 3x 3 ) ;
(v)
ix 3
P2
.
即
P1 � P2 是数域. 例如:
取 P1 = Q( 2 ) � {a � b 2 a, b � Q} , P2 � Q( 3 ) � {a � b 3 a, b � Q} , 容易验证 P1 � P2 不
一定是数域; 取 P1 = Q , P2 � Q( 3 ) � {a � b 3 a, b � Q} ,显然 P1 � P2 = {a � b 3 a, b � Q} 是 数域.
�( f ( x) � g (x)) � max{ �( f (x)), �( g (x))}
何时等号成立?何时小于号成立?
§2 一元多项式[达标训练题解答]
A组
一 填空题
1� an x n � an�1x n�1 � � a1x � a0 � ai x i � ai
k �1
3. 0�非零常数 �
a bi k � i
是
.
二 判断题
1. 0 是零次多项式. 2. 若 f (x)g (x) � f (x)h(x) ,则 g (x) � h(x) . 3. 若 f (x), g (x), h(x) 都是数域 P 上的多项式, 则 �( f (x) � g (x)) � �( f (x)) 或者 �( f ( x) � g ( x)) � �(g ( x)) .
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b
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��4a � b � 2c � 0 (iii)
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域.
§1 数域[达标训练题解答]
一 填空题
1�加法、 减法、 乘法�2.加法、乘法 �3.加法、减法、乘法.
二 判断题 1. ( T)� 2. ( F) 三、解答题
1 � 证 明 显 然 0, 1� Q n . 对 任 意 的 a1 � b1 n , a 2 � b2 n � Q( n ) ,
(a1 � b1 n ) � (a 2 � b2 n ) = (a1 � a2 ) + (b1 � b2 ) n � Q ( n ) ; (a1 � b1 n ) � (a2 � b2 n )
三 解答题
1. 设 f (x) � a(x � 2) 2 � b(x � 1) � c(x 2 � x � 2) , 试确定 a, b, c , 使 f ( x) (i)零次多项式; (ii) 零多项式; (iii)一次多项式 x � 5 . 2. 若 f (x), g (x) 是实数域上的多项式, 证明:若 f 2 (x) � g 2 (x) � 0, 则
包 含 有 理 数 域 . 令 a , b � P1 � P2 , 则 a , b � P1 , a , b � P2 . 由 于 P1 , P2 是 数 域 , 故
1
a � b,
ab�P1
, a � b,
ab�P2
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b
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0
时,
a b
� P1 ,
a b
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P2
,
所以
a
� b,
ab ,
Baidu Nhomakorabea
a b
�
P1
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4. � . i�1
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二 判断题
1�(F)� 2. (F).; 3.(F).
三 解答题
1�解 因为
f ( x) � a( x � 2)2 � b( x � 1) � c( x2 � x � 2) � (a � c) x2 � (2a � b � c) x
� (4a � b � 2c) .利用多项式相等的定义的: