高一数学勾股定理知识点总结

高一数学勾股定理知识点总结

高一数学勾股定理知识点总结

一、勾股定理的证明方法

方法一：

作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条

直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.

∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,

∴∠EGF=∠BED，

∵∠EGF+∠GEF=90°，

∴∠BED+∠GEF=90°，

∴∠BEG=180°―90°=90°

又∵AB=BE=EG=GA=c，

∴ABEG是一个边长为c的正方形.

∴∠ABC+∠CBE=90°

∵RtΔABC≌RtΔEBD,

∴∠ABC=∠EBD.

∴∠EBD+∠CBE=90°

即∠CBD=90°

又∵∠BDE=90°，∠BCP=90°，

BC=BD=a.

∴BDPC是一个边长为a的正方形.

同理，HPFG是一个边长为b的正方形.

设多边形GHCBE的面积为S，则

,

∴BDPC的面积也为S，HPFG的面积也为S由此可推出：

a^2+b^2=c^2

方法二

作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a)，斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.

分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，

∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，

∴FI=a，

∴G,I,J在同一直线上，

∵CJ=CF=a，CB=CD=c，

∠CJB=∠CFD=90°，

∴RtΔCJB≌RtΔCFD，

同理，RtΔABG≌RtΔADE，

∴RtΔCJB≌RtΔCFD≌RtΔABG≌RtΔADE

∴∠ABG=∠BCJ,

∵∠BCJ+∠CBJ=90°,

∴∠ABG+∠CBJ=90°,

∵∠ABC=90°,

∴G,B,I,J在同一直线上，

所以a^2+b^2=c^2

二、勾股数的相关介绍

①观察3，4，5;5，12，13;7，24，25;…发现这些勾股数都是

奇数，且从3起就没有间断过。计算0.5(9-1)，0.5(9+1)与

0.5(25-1)，0.5(25+1)，并根据你发现的规律写出分别能表示7，24，25的股和弦的算式。

②根据①的规律，用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明。

③继续观察4，3，5;6，8，10;8，15，17;…可以发现各组的第

一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用上述类似的探索方法，之间用m的代数式来表示它们的股合弦。]在一个三角形中，两

条边的平方和等于另一条边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。

三、勾股定理的命题方向

命题1：以已知线段为边，求作一等边三角形。

命题2：求以已知点为端点，作一线段与已知线段相等。

命题3：已知大小两线段，求在大线段上截取一线段与小线段相等。

命题4：两三角形的两边及其夹角对应相等，则这两个三角形全等。

命题5：等腰三角形两底角相等。