2021年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题(1)

2021年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题 1．已知集合()()()

{

}

22

,211A x y x y =

-+-≤，(){},211B x y x y a =

-+-≤，

A B ⊆．则实数a 的取值范围是__________．

2．若不全相等的三个实数a 、b 、c 满足3333a b c abc ++=，则a b c ++=__________． 3．已知a 、b 为实数．若二次函数()2

f x x ax b =++满足()()()()010f

f f f ==，

且()()01f f ≠，则()2f 的值为__________．

4．若小张每天的睡眠时间在69~小时之间随机均匀分布，则小张连续两天平均睡眠时间不少于7小时的概率为__________． 5．已知函数()2

1log 2a f x ax x ⎛

⎫

=-+

⎪⎝⎭

在区间[]1,2内的值恒正．则实数a 的取值范围是__________．

6．已知复数1z 、2z 满足1220z z +=，221216z z +=．则33

12z z +的最小值为__________．

7

．设正四面体的棱长为O 为球心作球，球面与正四面体四个面相交所成曲线的总长度为4π．则球O 的半径为__________．

8．在86⨯的方格表中，每个格被染上红、蓝、黄、绿四种颜色之一，若每个22⨯的子方格表包含每种颜色的格均为一，称此染法为“均衡”的．则所有不同的均衡的染法有__________种．

二、解答题

9．已知函数()()2

,f x ax bx

a b +=-∈R ．

（1）若对于任意的x ∈R ，均有()1f x ≤，证明：a ≤

（2）当1b >时，证明：对于任意的[]0,1x ∈，()1f x ≤成立的充分必要条件为

1b a -≤≤

10．在平面直角坐标系xOy 中，点()2,1P 在椭圆22

:163

x y C +=上，不经过坐标原点O

的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，且线段AB 的中点为D ，直线OD 的斜率为1．记直线

PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，证明：12k k 为定值．

11．在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，这样的操作称为该数列的一次“Z 扩展”．已知数列1，2，3第一次Z 扩展后得到数列1，3，2，5，3；第二次Z 扩展后得到数列1，4，3，5，2，7，5，8，3；……设第n 次Z 扩展后所得数列1，

1x ，2x ，…，m x ，3，并记1213n m a x x x =+++

++．

（1）求1a 、2a 、3a 的值；

（2）若2n n b a =-，证明：{}n b 为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式．

12．如图，在圆内接四边形ABCD 中，边BA 、CD 的延长线交于点P ，

1O 、2O 分别为ABC △、DBC △的内心，直线1BO 与2CO 交于点H ．证明：12PH O O ⊥．

131=的实数解．

14．某台函数计算器上有一个显示屏和两个操作键．若按一下第一个操作键，则将原显

示屏上的数变为2x ⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

（[]x 表示不超过实数x 的最大整数）；若按一下第二个操作键，

则将原显示屏上的数变为41x +．称按一下任意一个操作键为一次操作．现在显示屏上的数为1．问：

（1）是否可以经过有限次操作，显示屏上出现整数2000？说明理由． （2）小于2000的整数中有多少个数可以经过有限次操作在显示屏上出现？ 15．设数列{}n a 满足11a =，23a =，()123,3n n n a a a n n --+=-∈≥Z ． 是否存在正整数n ，使得2016

2

n a ，（2016

2

n a 且20172n a ）？若存在，求出最小的正整数n 的值；若不存在，请说明理由．

参考答案

1．)

2⎡+∞⎣

【解析】 【详解】

作图可知，若A B ⊆，则0a >，且点()2,1到直线230x y a +--=的距离不小于1，

12a ≥⇒≥+)

2a ⎡∈++∞⎣．

2．0 【解析】 【详解】

注意到，()()

3

3

3

2

2

2

3a b c ab a b c a b c ab bc ca ++-=++++---

()()()()()

222

102

a b c a b b c c a =

++-+-+-=． 因为a 、b 、c 不全相等，

所以，()()()2

2

2

0a b b c c a -+-+-≠．故0a b c ++=． 3．3 【解析】 【详解】

易知，()0f b =，()11f a b =++均为方程()0f x =的根． 则()()()

2

112x ax b x b x a b a a b ++≡--++⇒=---，

()1

12

b b a b a =++⇒=-

，()023b f =⇒=． 4．

79

【解析】 【详解】

设小张连续两天睡眠的时间分别为x 、y []()

,6,9x y ∈小时．

将可能出现的事件记作(),x y ，其对应坐标平面中正方形ABCD 的边及其内的点． 小张连续两天平均睡眠时间不少于7小时，即14x y +≥，(),x y 对应五边形EBCDF 边及其