常微分期末考试试题和答案1
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《 常微分方程 》期末考试试卷（1）
班级 学号 姓名 成绩
一、填空（每格3分，共30分）
1、方程(,)(,)M x y d x
N x y d y +=有只与x 有关的积分因子的充要条件
是 。
2、若12(),(),,()n x t x t x t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件
是 。
3、若()t Φ和()t ψ都是'
()x A t x =的基解矩阵，则()t Φ和()t ψ具有的关系是
_____________________________。
4、函数),(y x f 称为在矩形域Ｒ上关于y 满足利普希兹条件，如
果 。 5、当 时，方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 称为恰当方程，
或称全微分方程。
6、若()t Φ是x t A x )(='的基解矩阵，则x t A x )(=')(t f =满足η=)(0t x
的解 。
7、若()(1,2,,)i x t i n = 为n 阶齐线性方程()()
1()()0n n n x a t x a t x +++= 的n 个线性无关解，
则这一齐线性方程的通解可表为 。 8、求
dx
dy =f(x,y)满足00()y x y =的解等价于求积分方程 的解。
9、如果),(y x f 在R 上 且关于y 满足李普希兹条件，则方程
),(y x f dx
dy =存在唯一
的解)(x y ϕ=，定义于区间h x x ≤-0上
，连续且满足初始条件00)(y x =ϕ，其中
h = ，),(max
),(y x f M R
y x ∈=。
二、计算题(每题10分,共50分)
10、求方程 22
1dy y
dx
xy x y
+=
+ 的解。
11、求方程
2
dy x y
dx
=-通过点(1,0)的第二次近似解。
12、求非齐线性方程sin x x t ''+=的特解。 13、求解恰当方程 0)4()3(2=---dy x y dx x y 。 14、求伯努利方程
的通解。2
6
xy x
y dx
dy -=
三、证明.（20分）
15、1)试验证初值问题2
11
4x x ⎡⎤'=⎢
⎥-⎣⎦，12(0)ηϕηη⎡⎤
==⎢⎥⎣⎦
的解为: 1123212()()()t
t t e
t ηηηϕηηη+-+⎡⎤
=⎢⎥+-+⎣⎦
; 2）求该微分方程组的expAt 。
试卷（1）答案
一、填空（每格3分，共30分）
1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只与x 有关的积分因子的充要条件
是
)(x N x
N y
M
ϕ=∂∂-∂∂。
2、若12(),(),,()n x t x t x t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件 是12[(),(),,()]0n w x t x t x t ≠ 。
3、若()t Φ和()t ψ都是'
()x A t x =的基解矩阵，则()t Φ和()t ψ具有的关系是
()()t t C
ψ=Φ，)(b t a ≤≤C 为非奇异常数矩阵。
4、函数),(y x f 称为在矩形域Ｒ上关于y 满足利普希兹条件，如果 存在常数Ｌ>0，对于所有
5、当
x
N y
M ∂∂=
∂∂时，方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 称为恰当方程，或称全微分方程。
6、若()t Φ是x t A x )(='的基解矩阵，则x t A x )(=')(t f =满足η=)(0t x
的解0
1
10()()()()()()t
t x t t t t s f s ds η--=ΦΦ+ΦΦ⎰。
7、若()(1,2,,)i x t i n = 为n 阶齐线性方程()()
1()()0n n n x a t x a t x +++= 的n 个线性无关解，
则这一齐线性方程的通解可表为)()(1
t x c
t x i n
i i
∑==
，其中n c c c ,,2,1 是任意常数。
8、求
dx
dy =f(x,y)满足00()y x y =的解等价于求积分方程y=y 0+⎰x
x dx y x f 0
),(的解。
9、如果),(y x f 在R 上 连续 且关于y 满足李普希兹条件，则方程
),(y x f dx
dy =存在唯一的
解)(x y ϕ=，定义于区间h x x ≤-0上，连续且满足初始条件00)(y x =ϕ，其中
),
min(M
b a h =，),(max
),(y x f M R
y x ∈=。
二、计算题(每题10分,共50分) 10、求方程
22
1dy y
dx
xy x y
+=
+ 的解。
解：原式可化为 2
2
1()dy
y
dx y x x +=
+
分离变量得
2
1(1)
y d y d x
y
x x =
++