正弦函数的图像与性质教案

《正弦函数的图像与性质》（第一课时）（教案）

神木职教中心 数学组 刘伟

教学目标：1、理解正弦函数的周期性；

2、掌握用“五点法”作正弦函数的简图；

3、掌握利用正弦函数的图像观察其性质；

4、掌握求简单正弦函数的定义域、值域和单调区间；

5、初步理解“数形结合”的思想；

6、培养学生的观察能力、分析能力、归纳能力和表达能力等

教学重点：1、用“五点法”画正弦函数在一个周期上的图像；

2、利用函数图像观察正弦函数的性质；

3、给学生逐渐渗透“数形结合”的思想

教学难点：正弦函数性质的理解和应用

教学方法：多媒体辅助教学、讨论式教学、讲议结合教学、分层教学 教学过程： Ⅰ 知识回顾

终边相同角的诱导公式：

)(sin )2sin(Z ∈=+k k απα

所以正弦函数是周期函数，即 ,6-,4-,2-,6,4,2ππππππ及都是它的周期，其中π2是它的最小正周期，也直接叫周期，故正弦函数的周期为π2

Ⅱ 新知识

1、用描点法作出正弦函数在最小正周期上的图象

x y sin =，[]π2,0∈x

（1）、列表

x 0

6

π

3

π

2

π

32π

6

5π π

67π 34π 23π 3

5π 611π π

2 y 0

21 2

3

1

23 21

0 -21 -23 -1 -2

3

-21 0

（2）、描点

（3）、连线

因为终边相同的角的三角函数值相同,所以x y sin =的图像在…，

[][][][]ππππππ4,2,2,0,0,2,2,4--- ，…与x y sin =，[]π2,0∈x 的图像相

同

2、正弦函数的奇偶性

由诱导公式x x sin )sin(-=-，R x ∈得： ①定义域关于原点对称 ②满足)()(x f x f -=-

所以，正弦函数为奇函数（观察上图，图像关于原点对称） 3、正弦函数单调性 、值域 由图像观察可得： 正弦函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-

ππ

ππ

k k 22,

22

是增函数，在⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡++ππππk k 223,22是减函数 得到最大值为1，最小值为-1，所以值域为[]1,1-

Ⅲ 知识巩固

例1 作下列函数的简图 （1）

x y sin =，[]π2,0∈x （2）x y sin 1+=，[]π2,0∈x

解：（1）①列表

x

0 2

π

π

2

3π π2

y

1

-1

②描点 ③连线

（2）①列表

x

0 2

π

π

2

3π π2

x sin

0 1 0 -1 0 y

1

2

1

1

②描点 ③连线

例2 求下列函数的单调区间

（1）)sin(x y -= （2）)4

sin(π

-=x y

解：（1）因

x x y sin )sin(-=-=

所以函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-

ππ

ππ

k k 22,

22

是减函数，在⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡++ππππk k 223,22是增函数 （2）由题知：ππ

π

ππ

k x k 22

4

22

+≤

-≤+-

ππππ

k x k 24

3

24+≤≤+-

⇒ πππ

ππ

k x k 2234

22

+≤

-

≤+ππππk x k 24

7

243+≤≤+⇒ 所以函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-

ππππ

k k 243,24是增函数，在⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡++ππππk k 247,243是减函数

练习（师生互动，分层次提问）

1． 课本第120页练习第1题 2． 求函数)4

sin(π

+=x y 的单调性

解：由题知：

ππ

π

ππ

k x k 22

4

22

+≤

+≤+-

ππ

ππk x k 24

243+≤≤+-

⇒ πππ

ππ

k x k 2234

22

+≤

+

≤+ππππk x k 24

5

24+≤≤+⇒ 所以函数在⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡++-

ππππk k 24,243是增函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 245,24是减函数

Ⅳ 小结

本节课我们学习了用“五点法”作正弦函数的图像，利用正弦函数的简图可以观察到正弦函数的一些基本性质，如奇偶性、单调性、周期性等。

“五点法”作图的关键点

Ⅴ作业

课本第122页习题：

A组：第1题（1）第3题（1）B组：第1题（1）