序列相关性
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i i
2、解析法
（1）回归检验法
~ 为被解释变量， 以e 以各种可能的相关量， 2 ~ ~ ~ e e e 诸如以 i 1 、 i 2 、 i 等为解释变量，建立各 种方程： ~ e ~ e i=2, „,n i i 1 i ~ e ~ e ~ e i 1 i 1 2 i 2 i i=3,„,n „
序列相关性 Serial Correlation
一、序列相关性 二、序列相关性的后果 三、序列相关性的检验 四、具有序列相关性模型的估计 五、案例
普通最小二乘法（OLS）要求计量模型 的随机误差项相互独立或序列不相关。
如果模型的随机误差项违背了互相独立 的基本假设的情况，称为序列相关性。
一、序列相关性
i=1,2,„,n i=2,„,n (2.5.10)
~ y (y e i i i ) 0ls
• 然后，通过分析这些“近似估计量”之间的相 关性，以达到判断随机误差项是否具有序列相关 性的目的。
2、图示法
~ 可以作为 的估计，因此如果 由于残差 e i ~ e 存在序列相关， 必然会由残差项 i 反映出来， ~ e 因此可利用 i 的变化图形来判断随机项的序 列相关性。
i 1
n n n
n
(2.5.6)
当n
~2 , e ~2 , e ~2 较大时， e i i 1 i
i 2 i 2 i 1
大致相等， 则(2.5.6)可以化简为：
D.W . 2(1
~e ~ e
i2 n
n
i i 1
~2 e i
i 1
) 2(1 )
式中，
~e ~ e i i 1
i
对各方程估计并进行显著性检验，如果存在某 一种函数形式，使得方程显著成立，则说明原模 型存在序列相关性。
• 具体应用时需要反复试算。
• 回归检验法的优点是：
一旦确定了模型存在序列相关性，也就同时 知道了相关的形式； 它适用于任何类型的序列相关性问题的检验。
（2）杜宾-瓦森（Durbin-Watson）检验法
1 2
1
1
2I
• 于是，可以用OLS法估计模型(2.5.8)，得
* * 1 * * (X X ) X Y
1 1 1 1 1 (X D D X) X D D Y
（2.5.9)
( X Ω1 X ) 1 X Ω1 Y
• 这就是原模型(2.5.7)的广义最小二乘估计量(GLS estimators)，是无偏的、有效的估计量。
在其他假设仍成立的条件下，序列相关即意味着 E ( i j ) 0 或
1 T E ( NN ) E n
1
12 1 n n E 2 n n 1
（4）回归含有截距项； （5）没有缺落数据。
Yi=0+1X1i+kXki+Yi-1+i
• D.W.统计量
Durbin 和 Watson 假设： H : 0 ， 即 i 不存在一阶自回归； H 1 : 0 ， 即 i 存在一阶自回归 并构如下造统计量：
0
D. W .
~ 源自文库 ~ (e
i 2 i
n
2 ) i 1
~2 e i
i 1
n
(2.5.5)
• 该统计量的分布与出现在给定样本中的X值有 复杂的关系，因此其精确的分布很难得到。 • 但是，Durbin和Watson成功地导出了临界值的 下限dL和上限dU ，且这些上下限只与样本的容 量n和解释变量的个数k有关，而与解释变量X 的取值无关。
• 可行的广义最小二乘法（FGLS, Feasible Generalized Least Squares）
文献中常见的术语
如果能够找到一种方法，求得到Ω的估计量， 使得GLS能够实现，都称为FGLS 前面提出的方法，就是FGLS
2、一阶差分法
一阶差分法是将原模型
Yi 0 1 X i i
•设 =DD’ 用D-1左乘(2.5.7)两边，得到一个新的模型： D-1 Y=D-1 XB+D-1 N (2.5.8) 即 Y*=X*B+N* 该模型具有同方差性和随机误差项互相独立性。
E ( ) E (D D
* *
1
1
1
)
D E ( )D D 1 2 WD 1 D DD D
四、具有序列相关性模型的估计
• 如果模型被检验证明存在序列相关性， 则需要发展新的方法估计模型。 • 最常用的方法是广义最小二乘法（GLS: Generalized least squares）、一阶差分 法（First-Order Difference)和广义差分 法(Generalized Difference)。
2
I
（2.5.1）
如果仅存在
E ( i i 1 ) 0
i=1,2,„,n-1
（2.5.2）
称为 一阶序列相关 ，或 自相关 （ autocorrelation ）。 这是最常见的一种序列相关问题。 自相关往往可写成如下形式：
t t 1 t
1 1
（2.5.3）
•注意： （ 1 ）从判断准则看到，存在一个不能确定的 D.W.值区域，这是这种检验方法的一大缺陷。 （2）D.W.检验虽然只能检验一阶自相关，但在 实际计量经济学问题中，一阶自相关是出现最多 的一类序列相关； （ 3 ）经验表明，如果不存在一阶自相关，一般 也不存在高阶序列相关。 所以在实际应用中，对于序列相关问题一般只 进行D.W.检验。
（2）设定偏误：模型中遗漏了显著的变量
例如：如果对牛肉需求的正确模型应为
Yt=0+1X1t+2X2t+3X3t+t 其中：Y=牛肉需求量，X1=牛肉价格，X2=消费者收入， X3=猪肉价格。 如果模型设定为： Yt= 0+1X1t+2X2t+vt 那么该式中的随机误差项实际上是：vt= 3X3t+t, 于是在猪肉价格影响牛肉消费量的情况下，这种模 型设定的偏误往往导致随机项中有一个重要的系统性 影响因素，使其呈序列相关性。
•
如何得到矩阵？
仍然是对原模型 (2.5.7) 首先采用普通最小二乘 法，得到随机误差项的近似估计量，以此构成矩 阵的估计量 ，即
~2 e 1 ~ ~ e2 e1 ~ ~ en e1
~e ~ e ~e ~ e 1 2 1 n 2 ~ ~ ~ e2 e2 en 2 ~ ~ ~ en e2 en
i2 n
~2 ~e ~ e e i i i 1
i 1 i2
n
n
~2 e i
i2
n
为一阶自相关模型
t t 1 t
的参数估计，
1 1
如果存在完全一阶正相关，即 =1， 则 D.W. 0 如果存在完全一阶负相关，即 = -1， 则 D.W. 4 如果完全不相关，即 =0， 则 D.W.2
例如，农产品供给对价格的反映本身存在一个 滞后期： 供给t= 0+1价格t-1+t 意味着，农民由于在年度t的过量生产（使该期价 格下降）很可能导致在年度t+1时削减产量，因此 不能期望随机干扰项是随机的，往往产生一种蛛 网模式。
(5)数据的“编造” 例如，季度数据来自月度数据的简单平均，这 种平均的计算减弱了每月数据的波动而引进了数 据中的匀滑性，这种匀滑性本身就能使干扰项中 出现系统性的因素，从而出现序列相关。 还有就是两个时间点之间的“内插”技术往往 导致随机项的序列相关性。
二、序列相关性的后果
1、参数估计量非有效 • OLS参数估计量仍具无偏性
• OLS估计量不具有有效性 • 在大样本情况下，参数估计量仍然不具有渐近有 效性，这就是说参数估计量不具有一致性
2、变量的显著性检验失去意义
在关于变量的显著性检验中，当存在序列相关 时，参数的OLS估计量的方差增大，标准差也增 大，因此实际的 t 统计量变小，从而接受原假设 i=0的可能性增大， 检验就失去意义。 采用其它检验也是如此。
E ( 12 ) E ( 1 n ) 12 E ( 1 n ) 2 E ( ) E ( 2 ) E ( ) n 1 n n 1 n 2 E ( 1 n ) 2 Ω E ( ) 2 n 1
• D-W检验是杜宾（J.Durbin）和瓦森(G.S. Watson) 于1951年提出的一种检验序列自相关的方法。 • 该方法的假定条件是：
（1）解释变量 X非随机；
（2）随机误差项i为一阶自回归形式： i=i-1+i （ 3 ）回归模型中不应含有滞后应变量作为解释变 量，即不应出现下列形式：
• 检验步骤 ①计算该统计量的值， ②根据样本容量n和解释变量数目k查D.W.分 布表，得到临界值dL和dU， ③按照下列准则考察计算得到的D.W.值，以判 断模型的自相关状态。
若
0<D.W.<d l
dl du du <D.W.<
则存在正自相关 不能确定 无自相关 不能确定 存在负自相关
<D.W.<4 - d u
1、广义最小二乘法
• 对于模型 Y=XB+N (2.5.7) 如果存在序列相关，同时存在异方差，即有
E ( ) 0 Cov ( ) E ( ) 2 w1 w12 w w2 21 w n1 w n 2 w1n w2 n wn
其 中 ： 被 称 为 自 协 方 差 系 数 （ coefficient of autocovariance ）或 一阶自相关系数 （ first-order coefficient of autocorrelation）。
2、序列相关产生的原因
（1）惯性 大多数经济时间数据都有一个明显的特点，就是 它的惯性。 GDP、价格指数、生产、就业与失业等时间序列都 呈周期性，如周期中的复苏阶段，大多数经济序列均 呈上升势，序列在每一时刻的值都高于前一时刻的值， 似乎有一种内在的动力驱使这一势头继续下去，直至 某些情况（如利率或课税的升高）出现才把它拖慢下 来。
3、模型的预测失效
区间预测与参数估计量的方差有关，在方差有 偏误的情况下，使得预测估计不准确，预测精度 降低。所以，当模型出现序列相关性时，它的预 测功能失效。
三、序列相关性的检验
1、基本思路
• 序列相关性检验方法有多种，但基本思路是相 同的。 • 首先采用普通最小二乘法估计模型，以求得随 机误差项的“近似估计量”：
(3)设定偏误：不正确的函数形式
例如：如果边际成本模型应为： Yt= 0+1Xt+2Xt2+t 其中：Y=边际成本，X=产出。 但建模时设立了如下模型： Yt= 0+1Xt+vt 因此，由于vt= 2Xt2+t, ，包含了产出的平方对随机 项的系统性影响，随机项也呈现序列相关性。
(4)蛛网现象
4 - d u <D.W.<4 - d l 4 - d l <D.W.<4
• 可以看出，当D.W.值在2左右时，模型不存在
一阶自相关。
证明：展开 D.W.统计量：
D. W . ~ e
i 2 n 2 i
~ 2 2 e ~e ~ e i 1 i i 1
i 2 i 2
n
n
~2 e i
1、序列相关的概念
对于模型
Yi 0 1 X 1i 2 X 2 i k X ki i
i=1,2,„,n
随机误差项互不相关的基本假设表现为：
Cov ( i , j ) 0
i≠j，i,j=1,2,„,n
如果对于不同的样本点，随机误差项之间不再是 不相关的，而是存在某种相关性，则认为出现了序 列相关性。
2、解析法
（1）回归检验法
~ 为被解释变量， 以e 以各种可能的相关量， 2 ~ ~ ~ e e e 诸如以 i 1 、 i 2 、 i 等为解释变量，建立各 种方程： ~ e ~ e i=2, „,n i i 1 i ~ e ~ e ~ e i 1 i 1 2 i 2 i i=3,„,n „
序列相关性 Serial Correlation
一、序列相关性 二、序列相关性的后果 三、序列相关性的检验 四、具有序列相关性模型的估计 五、案例
普通最小二乘法（OLS）要求计量模型 的随机误差项相互独立或序列不相关。
如果模型的随机误差项违背了互相独立 的基本假设的情况，称为序列相关性。
一、序列相关性
i=1,2,„,n i=2,„,n (2.5.10)
~ y (y e i i i ) 0ls
• 然后，通过分析这些“近似估计量”之间的相 关性，以达到判断随机误差项是否具有序列相关 性的目的。
2、图示法
~ 可以作为 的估计，因此如果 由于残差 e i ~ e 存在序列相关， 必然会由残差项 i 反映出来， ~ e 因此可利用 i 的变化图形来判断随机项的序 列相关性。
i 1
n n n
n
(2.5.6)
当n
~2 , e ~2 , e ~2 较大时， e i i 1 i
i 2 i 2 i 1
大致相等， 则(2.5.6)可以化简为：
D.W . 2(1
~e ~ e
i2 n
n
i i 1
~2 e i
i 1
) 2(1 )
式中，
~e ~ e i i 1
i
对各方程估计并进行显著性检验，如果存在某 一种函数形式，使得方程显著成立，则说明原模 型存在序列相关性。
• 具体应用时需要反复试算。
• 回归检验法的优点是：
一旦确定了模型存在序列相关性，也就同时 知道了相关的形式； 它适用于任何类型的序列相关性问题的检验。
（2）杜宾-瓦森（Durbin-Watson）检验法
1 2
1
1
2I
• 于是，可以用OLS法估计模型(2.5.8)，得
* * 1 * * (X X ) X Y
1 1 1 1 1 (X D D X) X D D Y
（2.5.9)
( X Ω1 X ) 1 X Ω1 Y
• 这就是原模型(2.5.7)的广义最小二乘估计量(GLS estimators)，是无偏的、有效的估计量。
在其他假设仍成立的条件下，序列相关即意味着 E ( i j ) 0 或
1 T E ( NN ) E n
1
12 1 n n E 2 n n 1
（4）回归含有截距项； （5）没有缺落数据。
Yi=0+1X1i+kXki+Yi-1+i
• D.W.统计量
Durbin 和 Watson 假设： H : 0 ， 即 i 不存在一阶自回归； H 1 : 0 ， 即 i 存在一阶自回归 并构如下造统计量：
0
D. W .
~ 源自文库 ~ (e
i 2 i
n
2 ) i 1
~2 e i
i 1
n
(2.5.5)
• 该统计量的分布与出现在给定样本中的X值有 复杂的关系，因此其精确的分布很难得到。 • 但是，Durbin和Watson成功地导出了临界值的 下限dL和上限dU ，且这些上下限只与样本的容 量n和解释变量的个数k有关，而与解释变量X 的取值无关。
• 可行的广义最小二乘法（FGLS, Feasible Generalized Least Squares）
文献中常见的术语
如果能够找到一种方法，求得到Ω的估计量， 使得GLS能够实现，都称为FGLS 前面提出的方法，就是FGLS
2、一阶差分法
一阶差分法是将原模型
Yi 0 1 X i i
•设 =DD’ 用D-1左乘(2.5.7)两边，得到一个新的模型： D-1 Y=D-1 XB+D-1 N (2.5.8) 即 Y*=X*B+N* 该模型具有同方差性和随机误差项互相独立性。
E ( ) E (D D
* *
1
1
1
)
D E ( )D D 1 2 WD 1 D DD D
四、具有序列相关性模型的估计
• 如果模型被检验证明存在序列相关性， 则需要发展新的方法估计模型。 • 最常用的方法是广义最小二乘法（GLS: Generalized least squares）、一阶差分 法（First-Order Difference)和广义差分 法(Generalized Difference)。
2
I
（2.5.1）
如果仅存在
E ( i i 1 ) 0
i=1,2,„,n-1
（2.5.2）
称为 一阶序列相关 ，或 自相关 （ autocorrelation ）。 这是最常见的一种序列相关问题。 自相关往往可写成如下形式：
t t 1 t
1 1
（2.5.3）
•注意： （ 1 ）从判断准则看到，存在一个不能确定的 D.W.值区域，这是这种检验方法的一大缺陷。 （2）D.W.检验虽然只能检验一阶自相关，但在 实际计量经济学问题中，一阶自相关是出现最多 的一类序列相关； （ 3 ）经验表明，如果不存在一阶自相关，一般 也不存在高阶序列相关。 所以在实际应用中，对于序列相关问题一般只 进行D.W.检验。
（2）设定偏误：模型中遗漏了显著的变量
例如：如果对牛肉需求的正确模型应为
Yt=0+1X1t+2X2t+3X3t+t 其中：Y=牛肉需求量，X1=牛肉价格，X2=消费者收入， X3=猪肉价格。 如果模型设定为： Yt= 0+1X1t+2X2t+vt 那么该式中的随机误差项实际上是：vt= 3X3t+t, 于是在猪肉价格影响牛肉消费量的情况下，这种模 型设定的偏误往往导致随机项中有一个重要的系统性 影响因素，使其呈序列相关性。
•
如何得到矩阵？
仍然是对原模型 (2.5.7) 首先采用普通最小二乘 法，得到随机误差项的近似估计量，以此构成矩 阵的估计量 ，即
~2 e 1 ~ ~ e2 e1 ~ ~ en e1
~e ~ e ~e ~ e 1 2 1 n 2 ~ ~ ~ e2 e2 en 2 ~ ~ ~ en e2 en
i2 n
~2 ~e ~ e e i i i 1
i 1 i2
n
n
~2 e i
i2
n
为一阶自相关模型
t t 1 t
的参数估计，
1 1
如果存在完全一阶正相关，即 =1， 则 D.W. 0 如果存在完全一阶负相关，即 = -1， 则 D.W. 4 如果完全不相关，即 =0， 则 D.W.2
例如，农产品供给对价格的反映本身存在一个 滞后期： 供给t= 0+1价格t-1+t 意味着，农民由于在年度t的过量生产（使该期价 格下降）很可能导致在年度t+1时削减产量，因此 不能期望随机干扰项是随机的，往往产生一种蛛 网模式。
(5)数据的“编造” 例如，季度数据来自月度数据的简单平均，这 种平均的计算减弱了每月数据的波动而引进了数 据中的匀滑性，这种匀滑性本身就能使干扰项中 出现系统性的因素，从而出现序列相关。 还有就是两个时间点之间的“内插”技术往往 导致随机项的序列相关性。
二、序列相关性的后果
1、参数估计量非有效 • OLS参数估计量仍具无偏性
• OLS估计量不具有有效性 • 在大样本情况下，参数估计量仍然不具有渐近有 效性，这就是说参数估计量不具有一致性
2、变量的显著性检验失去意义
在关于变量的显著性检验中，当存在序列相关 时，参数的OLS估计量的方差增大，标准差也增 大，因此实际的 t 统计量变小，从而接受原假设 i=0的可能性增大， 检验就失去意义。 采用其它检验也是如此。
E ( 12 ) E ( 1 n ) 12 E ( 1 n ) 2 E ( ) E ( 2 ) E ( ) n 1 n n 1 n 2 E ( 1 n ) 2 Ω E ( ) 2 n 1
• D-W检验是杜宾（J.Durbin）和瓦森(G.S. Watson) 于1951年提出的一种检验序列自相关的方法。 • 该方法的假定条件是：
（1）解释变量 X非随机；
（2）随机误差项i为一阶自回归形式： i=i-1+i （ 3 ）回归模型中不应含有滞后应变量作为解释变 量，即不应出现下列形式：
• 检验步骤 ①计算该统计量的值， ②根据样本容量n和解释变量数目k查D.W.分 布表，得到临界值dL和dU， ③按照下列准则考察计算得到的D.W.值，以判 断模型的自相关状态。
若
0<D.W.<d l
dl du du <D.W.<
则存在正自相关 不能确定 无自相关 不能确定 存在负自相关
<D.W.<4 - d u
1、广义最小二乘法
• 对于模型 Y=XB+N (2.5.7) 如果存在序列相关，同时存在异方差，即有
E ( ) 0 Cov ( ) E ( ) 2 w1 w12 w w2 21 w n1 w n 2 w1n w2 n wn
其 中 ： 被 称 为 自 协 方 差 系 数 （ coefficient of autocovariance ）或 一阶自相关系数 （ first-order coefficient of autocorrelation）。
2、序列相关产生的原因
（1）惯性 大多数经济时间数据都有一个明显的特点，就是 它的惯性。 GDP、价格指数、生产、就业与失业等时间序列都 呈周期性，如周期中的复苏阶段，大多数经济序列均 呈上升势，序列在每一时刻的值都高于前一时刻的值， 似乎有一种内在的动力驱使这一势头继续下去，直至 某些情况（如利率或课税的升高）出现才把它拖慢下 来。
3、模型的预测失效
区间预测与参数估计量的方差有关，在方差有 偏误的情况下，使得预测估计不准确，预测精度 降低。所以，当模型出现序列相关性时，它的预 测功能失效。
三、序列相关性的检验
1、基本思路
• 序列相关性检验方法有多种，但基本思路是相 同的。 • 首先采用普通最小二乘法估计模型，以求得随 机误差项的“近似估计量”：
(3)设定偏误：不正确的函数形式
例如：如果边际成本模型应为： Yt= 0+1Xt+2Xt2+t 其中：Y=边际成本，X=产出。 但建模时设立了如下模型： Yt= 0+1Xt+vt 因此，由于vt= 2Xt2+t, ，包含了产出的平方对随机 项的系统性影响，随机项也呈现序列相关性。
(4)蛛网现象
4 - d u <D.W.<4 - d l 4 - d l <D.W.<4
• 可以看出，当D.W.值在2左右时，模型不存在
一阶自相关。
证明：展开 D.W.统计量：
D. W . ~ e
i 2 n 2 i
~ 2 2 e ~e ~ e i 1 i i 1
i 2 i 2
n
n
~2 e i
1、序列相关的概念
对于模型
Yi 0 1 X 1i 2 X 2 i k X ki i
i=1,2,„,n
随机误差项互不相关的基本假设表现为：
Cov ( i , j ) 0
i≠j，i,j=1,2,„,n
如果对于不同的样本点，随机误差项之间不再是 不相关的，而是存在某种相关性，则认为出现了序 列相关性。