高三数学第一轮复习 命题及其关系 充分条件 必要条件教案 文
高考数学(理科)一轮复习命题及其关系、充分条件与必要条件学习型教学案
高考数学（理科）一轮复习命题及其关系、充分条件与必要条件学案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案2 命题及其关系、充分条件与必要条件导学目标：.能写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．自主梳理．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系四种命题一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p和綈q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若綈p则綈q；逆否命题：若綈q则綈p．四种命题间的关系四种命题的真假性①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．②两个命题为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件若p⇒q，则p叫做q的充分条件；若q⇒p，则p叫做q的必要条件；如果p⇔q，则p叫做q的充要条件．自我检测．下列命题中的假命题是A．∃x∈R，lgx＝0B．∃x∈R，tanx＝1c．∀x∈R，x3>0D．∀x∈R,2x>0答案 c解析对于c选项，当x＝0时，03＝0，因此∀x ∈R，x3>0是假命题．2．“a>0”是“|a|>0”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件c．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析a>0⇒|a|>0，|a|>0a>0，∴“a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件．3．“x>0”是“x≠0”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件c．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析对于“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立，因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要条件．4．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s 是p的逆命题t的A．逆否命题B．逆命题c．否命题D．原命题答案 c解析由四种命题逆否关系知，s是p的逆命题t的否命题．5．与命题“若a∈m，则bm”等价的命题是A．若am，则bmB．若bm，则a∈mc．若am，则b∈mD．若b∈m，则am答案 D解析因为原命题只与逆否命题是等价命题，所以只需写出原命题的逆否命题即可．探究点一四种命题及其相互关系例1 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．实数的平方是非负数；等底等高的两个三角形是全等三角形；弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．解题导引给出一个命题，判断其逆命题、否命题、逆否命题等的真假时，如果直接判断命题本身的真假比较困难，则可以通过判断它的等价命题的真假来确定．解逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．真命题．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．真命题．逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．真命题．否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．真命题．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．假命题．逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．真命题．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧．真命题．逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．真命题．变式迁移1 有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．其中真命题的序号为________．答案①③解析①的逆命题是“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真；②的否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，假；③若q≤1，则Δ＝4－4q≥0，所以x2＋2x＋q＝0有实根，其逆否命题与原命题是等价命题，真；④的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，假．探究点二充要条件的判断例2 给出下列命题，试分别指出p是q的什么条件．p：x－2＝0；q：＝0.p：两个三角形相似；q：两个三角形全等．p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0无实根．p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．解∵x－2＝0⇒＝0；而＝0x－2＝0.∴p是q的充分不必要条件．∵两个三角形相似两个三角形全等；但两个三角形全等⇒两个三角形相似．∴p是q的必要不充分条件．∵m<－2⇒方程x2－x－m＝0无实根；方程x2－x－m＝0无实根m<－2.∴p是q的充分不必要条件．∵矩形的对角线相等，∴p⇒q；而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴qp.∴p是q的充分不必要条件．变式迁移2 下列各小题中，p是q的充要条件的是①p：m<－2或m>6；q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点；②p：f－xfx＝1；q：y＝f是偶函数；③p：cosα＝cosβ；q：tanα＝tanβ；④p：A∩B＝A；q：∁UB⊆∁UA.A．①②B．②③c．③④D．①④答案 D解析①q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点⇔q：Δ＝m2－4>0⇔q：m<－2或m>6⇔p；②当f＝0时，由qp；③若α，β＝kπ＋π2，k∈Z时，显然cosα＝cosβ，但tanα≠tanβ；④p：A∩B＝A⇔p：A⊆B⇔q：∁UA⊇∁UB.故①④符合题意．探究点三充要条件的证明例3 设a，b，c为△ABc的三边，求证：方程x2＋2ax ＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.解题导引有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件”⇒“结论”是证明命题的充分性，由“结论”⇒“条件”是证明命题的必要性．证明要分两个环节：一是充分性；二是必要性．证明必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，则x20＋2ax0＋b2＝0，x20＋2cx0－b2＝0，两式相减可得x0＝b2c－a，将此式代入x20＋2ax0＋b2＝0，可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°，充分性：∵∠A＝90°，∴b2＋c2＝a2，b2＝a2－c2.①将①代入方程x2＋2ax＋b2＝0，可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，即＝0.将①代入方程x2＋2cx－b2＝0，可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，即＝0.故两方程有公共根x＝－．所以方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.变式迁移3 已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.证明必要性：∵a＋b＝1，∴a＋b－1＝0.∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝－＝＝0.充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，即＝0.又ab≠0，∴a≠0且b≠0.∵a2－ab＋b2＝2＋34b2>0.∴a＋b－1＝0，即a＋b＝1.综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.转化与化归思想的应用例已知两个关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，且m∈Z.求两方程的根都是整数的充要条件．【答题模板】解∵mx2－4x＋4＝0是一元二次方程，∴m≠0.[2分]另一方程为x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，两方程都要有实根，∴Δ1＝161－m≥0，Δ2＝16m2－44m2－4m－5≥0，解得m∈[－54，1]．[6分]∵两根为整数，故和与积也为整数，∴4m∈Z4m∈Z4m2－4m－5∈Z，∴m为4的约数，[8分]∴m＝－1或1，当m＝－1时，第一个方程x2＋4x－4＝0的根为非整数，而当m＝1时，两方程均为整数根，∴两方程的根均为整数的充要条件是m＝1.[12分]【突破思维障碍】本题涉及到参数问题，先用转化思想将生疏复杂的问题化归为简单、熟悉的问题解决，两方程有实根易想Δ≥0.求出m的范围，要使两方程根都为整数可转化为它们的两根之和与两根之积都是整数．【易错点剖析】易忽略一元二次方程这个条件隐含着m≠0，不易把方程的根都是整数转化为两根之和与两根之积都是整数．．研究命题及其关系时，要分清命题的题设和结论，把命题写成“如果……，那么……”的形式，当一个命题有大前提时，必须保留大前提，只有互为逆否的命题才有相同的真假性．2．在解决充分条件、必要条件等问题时，要给出p与q 是否可以相互推出的两次判断，同时还要弄清是p对q而言，还是q对p而言．还要分清否命题与命题的否定的区别．3．本节体现了转化与化归的数学思想．一、选择题．给出以下四个命题：①若ab≤0，则a≤0或b≤0；②若a>b，则am2>bm2；③在△ABc中，若sinA＝sinB，则A＝B；④在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，若b2－4ac<0，则方程有实数根．其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是A．①B．②c．③D．④答案 c解析对命题①，其原命题和逆否命题为真，但逆命题和否命题为假；对命题②，其原命题和逆否命题为假，但逆命题和否命题为真；对命题③，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为真；对命题④，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为假．2．设0<x<π2，则“xsin2x<1”是“xsinx<1”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件c．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析∵0<x<π2，∴0<sinx<1.∴xsinx<1⇒xsin2x<1，而xsin2x<1xsinx<1.故选B.3．“α＝π6＋2kπ”是“cos2α＝12”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件c．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析由α＝π6＋2kπ可得到cos2α＝12.由cos2α＝12得2α＝2kπ±π3．∴α＝kπ±π6．所以cos2α＝12不一定得到α＝π6＋2kπ．4．关于命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题，下列结论成立的是A．都真B．都假c．否命题真D．逆否命题真答案 D解析本题考查四种命题之间的关系及真假判断．对于原命题：“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题，但其逆命题：“若{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax2＋bx＋c<0的解集非空时，可以有a>0，即抛物线的开口可以向上．因此否命题也是假命题．5．集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x<a}，则“A⊆B”是“a>5”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件c．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析A＝{x|－4≤x≤4}，若A⊆B，则a>4，a>4a>5，但a>5⇒a>4.故选B.二、填空题6．“x1>0且x2>0”是“x1＋x2>0且x1x2>0”的________条件．答案充要7．已知p：＝0，q：2＋2＝0，则p是q的____________条件．答案必要不充分解析由＝0得x＝1或y＝2，由2＋2＝0得x＝1且y ＝2，所以由q能推出p，由p推不出q,所以填必要不充分条件．8．已知p：x2＋2x－m>0，如果p是假命题，p是真命题，则实数m的取值范围为________．答案[3,8)解析因为p是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3；又因为p是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8.故实数m的取值范围是3≤m<8.三、解答题9．分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．若q<1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根；若ab＝0，则a＝0或b＝0；若x2＋y2＝0，则x、y全为零．解逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q<1，为假命题．否命题：若q≥1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，为假命题．逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q≥1，为真命题．逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0，为真命题．否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0，为真命题．逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0，为真命题．逆命题：若x、y全为零，则x2＋y2＝0，为真命题．否命题：若x2＋y2≠0，则x、y不全为零，为真命题．逆否命题：若x、y不全为零，则x2＋y2≠0，为真命题．0．设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；q：实数x满足x2－x－6≤0，或x2＋2x－8>0，且綈p 是綈q的必要不充分条件，求a的取值范围．解设A＝{x|p}＝{x|x2－4ax＋3a2<0，a<0}＝{x|3a<x<a，a<0}，B＝{x|q}＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0}＝{x|x2－x－6≤0}∪{x|x2＋2x－8>0}＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x<－4或x>2}＝{x|x<－4或x≥－2}．∵綈p是綈q的必要不充分条件，∴綈q⇒綈p，且綈p綈q.则{x|綈q}{x|綈p}，而{x|綈q}＝∁RB＝{x|－4≤x<－2}，{x|綈p}＝∁RA＝{x|x≤3a或x≥a，a<0}，∴{x|－4≤x<－2}{x|x≤3a或x≥a，a<0}，则3a≥－2，a<0或a≤－4，a<0.综上，可得－23≤a<0或x≤－4.1．已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q，求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.证明充分性：当q＝－1时，a1＝S1＝p＋q＝p－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1．当n＝1时也成立．于是an＋1an＝pnp－1pn－1p－1＝p，即数列{an}为等比数列．必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1．∵p≠0，p≠1，∴an＋1an＝pnp－1pn－1p －1＝p.∵{an}为等比数列，∴a2a1＝an＋1an＝p，即pp－1p＋q ＝p，即p－1＝p＋q.∴q＝－1.综上所述，q＝－1是数列{an}为等比数列的充要条件．。
命题及其关系充分条件与必要条件教案
命题及其关系——充分条件与必要条件教案教学目标：1. 理解命题的概念，能够正确识别题设和结论。
2. 掌握充分条件和必要条件的定义，能够判断两者之间的逻辑关系。
3. 能够运用充分条件和必要条件解决实际问题。
教学重点：1. 命题的概念及识别。
2. 充分条件和必要条件的定义及判断。
教学难点：1. 命题的逻辑关系的理解。
2. 充分条件和必要条件在实际问题中的应用。
教学准备：1. PPT课件。
2. 教学案例或例题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入命题的概念，让学生回顾题设和结论的组成。
2. 提问：什么是有意义的故事？引导学生思考命题与故事之间的关系。
二、新课讲解（15分钟）1. 讲解充分条件和必要条件的定义。
解释：充分条件：一个条件如果能导致某个结果，这个条件就是充分条件。
必要条件：一个条件如果必须满足才能导致某个结果，这个条件就是必要条件。
2. 举例说明充分条件和必要条件的判断方法。
例1：如果下雨，地面湿润。
充分条件：下雨必要条件：地面湿润例2：如果一个人是学生，他有书包。
充分条件：是学生必要条件：有书包3. 引导学生思考充分条件和必要条件之间的关系。
解释：充分条件不一定必要，即满足充分条件不一定能导致结果。
必要条件不一定充分，即结果不一定是由满足必要条件引起的。
三、课堂练习（10分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固充分条件和必要条件的判断。
四、案例分析（10分钟）1. 提供案例，让学生分析案例中的充分条件和必要条件。
案例：小王考试及格了，他一定学习了。
分析：考试及格是充分条件，学习是必要条件。
2. 引导学生运用充分条件和必要条件解决实际问题。
五、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，让学生总结充分条件和必要条件的概念及关系。
2. 强调充分条件和必要条件在实际问题中的应用。
教学反思：本节课通过讲解、举例、练习和案例分析等多种教学方法，让学生掌握了充分条件和必要条件的概念及判断方法。
在课堂练习和案例分析环节，学生能够独立完成题目，并运用所学知识解决实际问题。
命题及其关系充分条件与必要条件教案
命题及其关系：充分条件与必要条件教案一、教学目标1. 让学生理解命题的概念，能够正确书写简单命题。
2. 让学生掌握充分条件和必要条件的定义，能够判断一个条件是充分还是必要。
3. 培养学生运用逻辑推理解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 命题的概念：命题是判断某件事情的语句，可以是真的，也可以是假的。
2. 充分条件和必要条件的定义：充分条件：如果一个条件能够保证结论的发生，这个条件就是结论的充分条件。
必要条件：如果一个条件是结论发生的前提，这个条件就是结论的必要条件。
三、教学重点与难点1. 教学重点：充分条件和必要条件的判断。
2. 教学难点：如何区分充分条件和必要条件，以及如何在实际问题中运用。
四、教学方法1. 采用案例分析法，通过具体例子让学生理解命题、充分条件和必要条件的概念。
2. 采用小组讨论法，让学生在小组内讨论如何判断一个条件是充分还是必要。
3. 采用练习法，让学生通过做练习题巩固所学知识。
五、教学过程1. 导入：通过一个生活中的例子，如“如果明天不下雨，我们就去公园玩”，引出命题、充分条件和必要条件的概念。
2. 讲解：讲解命题的定义，让学生明白命题是可以判断真假的语句。
讲解充分条件和必要条件的定义，并通过例子让学生判断一个条件是充分还是必要。
3. 互动：让学生在小组内讨论如何判断一个条件是充分还是必要，并分享彼此的看法。
4. 练习：给学生发放练习题，让学生运用所学知识判断题目中的条件是充分还是必要。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调如何区分充分条件和必要条件，以及如何在实际问题中运用。
6. 作业：布置一道课后作业，让学生巩固所学知识。
六、教学延伸1. 让学生了解充分条件和必要条件之间的关系：充分条件不一定必要，必要条件不一定充分。
2. 引导学生思考：如何找出一个命题中的充分条件和必要条件？七、案例分析1. 案例一：判断“如果一个人是男性，他一定有力气”这个命题中的条件是充分还是必要。
高考数学一轮复习 第1章 第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件学案 文
第二节命题及其关系、充分条件与必要条件【考纲下载】1．理解命题的概念．2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若p⇔q，则p与q互为充要条件．(3)若p⇒/ q，且q⇒/ p，则p是q的既不充分也不必要条件．1．在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中，其真命题的个数能否为1或3?提示：由于原命题与逆否命题是等价命题，逆命题与否命题是等价命题，所以真命题的个数可能为0,2,4，不可能为1或3.2．一个命题的否命题与这个命题的否定是同一个命题吗？提示：不是，一个命题的否命题是既否定该命题的条件，又否定该命题的结论，而这个命题的否定仅是否定它的结论．3．“p 是q 的充分不必要条件”与“p 的一个充分不必要条件是q ”两者的说法相同吗？提示：两者说法不相同．“p 的一个充分不必要条件是q ”等价于“q 是p 的充分不必要条件”，显然这与“p 是q 的充分不必要条件”是截然不同的．1．(2013·安徽高考)“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选B (2x －1)x ＝0⇒x ＝12或x ＝0；x ＝0⇒(2x －1)·x ＝0.2．命题“若x 2＞y 2，则x ＞y ”的逆否命题是( ) A ．“若x ＜y ，则x 2＜y 2” B ．“若x ＞y ，则x 2＞y 2” C ．“若x ≤y ，则x 2≤y 2” D ．“若x ≥y ，则x 2≥y 2”解析：选C 根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x 2＞y 2，则x ＞y ”的逆否命题是“若x ≤y ，则x 2≤y 2”．3．(教材习题改编)命题“如果b 2－4ac ＞0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实根”的否命题、逆命题和逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 原命题为真，则它的逆否命题为真，逆命题为“若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实根，则b 2－4ac ＞0”，为真命题，则它的否命题也为真．4．命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是 ( ) A ．若f (x )是偶函数，则f (－x )是偶函数 B ．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数 C ．若f (－x )是奇函数，则f (x )是奇函数 D ．若f (－x )不是奇函数，则f (x )不是奇函数解析：选B 原命题的否命题是既否定题设又否定结论，故“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是B 选项．5．下面四个条件中，使a ＞b 成立的充分而不必要的条件是 ( ) A ．a ＞b ＋1 B ．a ＞b －1 C ．a 2＞b 2D ．a 3＞b 3解析：选A 由a ＞b ＋1，且b ＋1＞b ，得a ＞b ；反之不成立.方法博览(一)三法破解充要条件问题1．定义法定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题——“若p ，则q ”与“若q ，则p ”的判断，根据两个命题是否正确，来确定p 与q 之间的充要关系．[典例1] 设0＜x ＜π2，则“x sin 2x ＜1”是“x sin x ＜1”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解题指导] 由0＜x ＜π2可知0＜sin x ＜1，分别判断命题“若x sin 2x ＜1，则x sin x＜1”与“若x sin x ＜1，则x sin 2x <1”的真假即可．[解析] 因为0<x <π2，所以0<sin x <1，不等式x sin x <1两边同乘sin x ，可得x sin 2x <sin x ，所以有x sin 2x <sin x <1.即x sinx <1⇒x sin 2x <1；不等式x sin 2x <1两边同除以sin x ，可得x sin x <1sin x ，而由0<sin x <1，知1sin x >1，故x sin x <1不一定成立，即x sin 2x <1⇒/ x sin x <1.综上，可知“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的必要不充分条件． [答案] C[点评] 判断p 、q 之间的关系，只需判断两个命题A ：“若p ，则q ”和B ：“若q ，则p ”的真假．(1)若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件； (2)若q ⇒p ，则p 是q 的必要条件； (3)若p ⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件； (4)若p ⇒q 且q ⇒/ p ，则p 是q 的充分不必要条件； (5)若p ⇒/ q 且q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件； (6)若p ⇒/ q 且q ⇒/ p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件． 2．集合法集合法就是利用满足两个条件的参数取值所构成的集合之间的关系来判断充要关系的方法．主要解决两个相似的条件难以进行区分或判断的问题．[典例2] 若A ：log 2a <1，B ：x 的二次方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一个根大于零，另一根小于零，则A 是B 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解题指导] 分别求出使A 、B 成立的参数a 的取值所构成的集合M 和N ，然后通过集合M 与N 之间的关系来判断．[解析] 由log 2a <1，解得0<a <2，所以满足条件A 的参数a 的取值集合为M ＝{a |0<a <2}；而方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一根大于零，另一根小于零的充要条件是f (0)<0，即a －2<0，解得a <2，即满足条件B 的参数a 的取值集合为N ＝{a |a <2}，显然M N ，所以A 是B 的充分不必要条件．[答案] B[点评] 利用集合间的关系判断充要条件的方法等价转化法就是在判断含有逻辑联结词“否”的有关条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断．[典例3] 已知条件p ：4x －1≤－1，条件q ：x 2－x <a 2－a ，且非q 的一个充分不必要条件是非p ，则a 的取值范围是________．[解题指导] “非q 的一个充分不必要条件是非p ”等价于“p 是q 的一个必要不充分条件”．[解析] 由4x －1≤－1，得－3≤x <1. 由x 2－x <a 2－a ，得(x －a )[x ＋(a －1)]<0， 当a >1－a ，即a >12时，不等式的解为1－a <x <a ；当a ＝1－a ，即a ＝12时，不等式的解为∅；当a <1－a ，即a <12时，不等式的解为a <x <1－a .由非q 的一个充分不必要条件是非p ，可知非p 是非q 的充分不必要条件，即p 为q 的一个必要不充分条件，即条件q 对应的x 取值集合是条件p 对应的x 取值集合的真子集．当a >12时，由{x |1－a <x <a } {x |－3≤x <1}，得⎩⎪⎨⎪⎧－3≤1－a ，1≥a ，解得12<a ≤1；当a ＝12时，因为空集是任意一个非空集合的真子集，所以满足条件；当a <12时，由{x |a <x <1－a } {x |－3≤x <1}，得⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ，1≥1－a ，解得0≤a <12.综上，a 的取值范围是[0,1]． [答案] [0,1][点评] 条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假.。
命题及其关系充分条件与必要条件教案
命题及其关系——充分条件与必要条件教案教学目标：1. 理解命题的概念，能够正确判断一个命题是真是假。
2. 掌握充分条件和必要条件的定义，能够判断一个条件是充分还是必要。
3. 能够运用充分条件和必要条件解决实际问题。
教学重点：1. 命题的真假判断2. 充分条件和必要条件的判断教学难点：1. 命题的真假判断2. 充分条件和必要条件的应用教学准备：1. PPT课件2. 教学案例教学过程：第一章：命题的概念1.1 命题的定义教师讲解命题的概念，引导学生理解命题是由题设和结论两部分组成的陈述句。
1.2 命题的真假判断学生通过举例判断命题的真假，教师讲解判断方法。
第二章：充分条件与必要条件的定义2.1 充分条件的定义教师讲解充分条件的概念，引导学生理解充分条件是指能够保证结论成立的条件。
2.2 必要条件的定义教师讲解必要条件的概念，引导学生理解必要条件是指结论成立的必要条件。
第三章：判断充分条件和必要条件3.1 判断充分条件学生通过举例判断充分条件，教师讲解判断方法。
3.2 判断必要条件学生通过举例判断必要条件，教师讲解判断方法。
第四章：充分条件和必要条件的运用4.1 运用充分条件解决问题学生通过案例运用充分条件解决问题，教师讲解解题方法。
4.2 运用必要条件解决问题学生通过案例运用必要条件解决问题，教师讲解解题方法。
第五章：总结与拓展5.1 总结学生总结本节课所学内容，教师进行点评。
5.2 拓展学生思考如何运用充分条件和必要条件解决更复杂的问题，教师进行引导。
教学评价：1. 课后作业：布置有关命题、充分条件和必要条件的练习题，检查学生掌握情况。
2. 课堂问答：提问学生关于命题、充分条件和必要条件的问题，检查学生理解程度。
3. 案例分析：让学生运用充分条件和必要条件解决实际问题，评估学生应用能力。
第六章：实例分析与判断6.1 实例分析教师提供实例，学生分析实例中的充分条件和必要条件，并判断其真假。
6.2 小组讨论学生分组讨论实例，交流判断方法和思路，教师巡回指导。
【课堂新坐标】高三数学一轮复习 第1章第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件课件 文 (广东专用)
如y＝f(x)＝x2不是奇函数．
故“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的充分而不
必要条件，选A.
【答案】 A
错因分析：(1)错选A，主要在于分不清谁是条件，谁是结论，颠倒 充分性与必要性．
(2)受思维定势影响，盲目认为y＝|f(x)|与函数f(x)的奇偶性无必然联 系，错选D.
A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3 B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2＜3 C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3 D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3 【解析】 命题“若p，则q”的否命题是“若 p，则 q”，将条 件与结论进行否定． ∴否命题是：若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3. 【答案】 A
有a＞0，即抛物线的开口可以向上．因此否命题也是假命题．
【答案】 D
(1)(2012·温州模拟)如果对于任意实数 x，〈x〉表示不小于 x 的
最小整数，例如〈1.1〉＝2，〈－1.1〉＝－1，那么“|x－y|＜1”是“〈x〉
＝〈y〉”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要件
∴“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的必要不 充分条件，选B.
【答案】 B
1．(2011·陕西高考)设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的 逆命题是( )
A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b| C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b 【解析】 交换条件与结论，逆命题是：若|a|＝|b|，则a＝－b. 【答案】 D
2．(2011·浙江高考)设 a，b 为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜1a”
高考数学一轮复习专题02充分条件、必要条件与命题的四种形式教学案文(new)
专题02 充分条件、必要条件与命题的四种形式1.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系；2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义。
1．充分条件、必要条件与充要条件（1)“若p,则q”形式的命题为真时，记作p⇒q，称p是q的充分条件，q是p的充要条件．(2）如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q,则p是q的充要条件，q也是p的充要条件．p是q的充要条件又常说成q当且仅当p，或p与q等价．2．命题的四种形式及真假关系互为逆否的两个命题等价（同真或同假)；互逆或互否的两个命题不等价．【特别提醒】等价命题和等价转化（1)逆命题与否命题互为逆否命题;（2)互为逆否命题的两个命题同真假;（3）当判断原命题的真假比较困难时，可以转化为判断它的逆否命题的真假．高频考点一四种命题的关系及其真假判断例1、（1)命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为( )A．“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为真命题B．“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为真命题C．“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为假命题D．“若x＝4，则x2－3x－4＝0"为假命题(2）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则｜z1|＝｜z2｜"，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( ）A．真、假、真B．假、假、真C．真、真、假D．假、假、假【答案】(1)C （2)B【感悟提升】(1)由原命题写出其他三种命题,关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若p，则q”的形式，应先改写成“若p，则q”的形式；如果命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提不变．(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明;判断一个命题为假命题，只需举出反例．(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假"这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．【变式探究】已知:命题“若函数f（x）＝e x－mx在(0，＋∞）上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是（）A．否命题是“若函数f(x）＝e x－mx在(0,＋∞）上是减函数,则m＞1”，是真命题B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x）＝e x－mx在（0，＋∞）上是增函数”，是假命题C．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x）＝e x－mx在（0,＋∞)上是减函数”，是真命题D．逆否命题是“若m＞1，则函数f（x)＝e x－mx在（0，＋∞)上不是增函数”，是真命题【解析】由f（x)＝e x－mx在(0，＋∞）上是增函数，则f′（x）＝e x－m≥0恒成立,∴m≤1.因此原命题是真命题，所以其逆否命题“若m＞1,则函数f(x）＝e x－mx在(0，＋∞）上不是增函数”是真命题．【答案】D高频考点二、充分条件与必要条件的判定例2、(1）函数f(x）在x处导数存在．若p：f′（x）＝0；q：x是f(x)的极值点，则( ）A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件,但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分要件，也不是q的必要条件(2）（2017·衡阳一模）“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的( ）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件故“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2）x－3y－2＝0垂直”的充分不必要条件．【答案】(1)C （2)B【感悟提升】充要条件的三种判断方法(1）定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．（2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断．（3）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1"是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件．【举一反三】(2016·山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b相交"是“平面α和平面β相交”的( ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交;反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．【答案】A高频考点三充分条件、必要条件的应用例3、已知P＝｛x｜x2－8x－20≤0}，非空集合S＝｛x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．解由x2－8x－20≤0,得－2≤x≤10，∴P＝{x｜－2≤x≤10｝．∵x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P。
新人教A版版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语命题及其关系充分条件与必要条件教案文
一、知识梳理１．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．２．四种命题及其关系（１）四种命题间的相互关系（２）四种命题的真假关系１两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；２两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．３．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q错误!pp是q的必要不充分条件p错误!q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p错误!q且q错误!pq”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题．常用结论１．充要条件的两个结论（１）若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件．（２）若p是q的充分不必要条件，则綈q是綈p的充分不必要条件．２．一些常见词语及其否定词语是都是都不是等于大于否定不是不都是至少一个是不等于不大于二、习题改编１．（选修１１P8A组T２改编）命题“若x２>y２，则x>y”的逆否命题是（）Ａ．“若x<y，则x２<y２”Ｂ．“若x>y，则x２>y２”Ｃ．“若x≤y，则x２≤y２”Ｄ．“若x≥y，则x２≥y２”解析：选Ｃ．根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x２>y２，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x２≤y２”．故选Ｃ．２．（选修１１P１0练习T３（２）改编）“（x—１）（x＋２）＝0”是“x＝１”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｂ．若x＝１，则（x—１）（x＋２）＝0显然成立，但反之不成立，即若（x—１）（x＋２）＝0，则x的值也可能为—２.故选Ｂ．一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）“x２＋２x—３<0”是命题．（）（２）命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．（）（３）若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．（）（４）当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．（）（５）q不是p的必要条件时，“p错误!q”成立．（）答案：（１）×（２）×（３）√（４）√（５）√二、易错纠偏错误!（１）不明确命题的条件与结论；（２）对充分必要条件判断错误；（３）含有大前提的命题的否命题易出错．１．命题“若△ABC有一内角为错误!，则△ABC的三个内角成等差数列”的逆命题（）Ａ．与原命题同为假命题Ｂ．与原命题的否命题同为假命题Ｃ．与原命题的逆否命题同为假命题Ｄ．与原命题同为真命题解析：选Ｄ．原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC的三个内角成等差数列，则△ABC有一内角为错误!”，它是真命题．２．已知p：a<0，q：a２>a，则綈p是綈q的________条件（填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）．解析：綈p：a≥0；綈q：a２≤a，即0≤a≤１，故綈p是綈q的必要不充分条件．答案：必要不充分３．已知命题“对任意a，b∈R，若ab>0，则a>0”，则它的否命题是____________．答案：存在a，b∈R，若ab≤0，则a≤0．四种命题的相互关系及其真假判断（师生共研）（２0２0·长春质量检测（二））命题“若x２<１，则—１<x<１”的逆否命题是（）Ａ．若x２≥１，则x≥１或x≤—１Ｂ．若—１<x<１，则x２<１Ｃ．若x>１或x<—１，则x２>１Ｄ．若x≥１或x≤—１，则x２≥１【解析】命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题为“若綈q，则綈p”的形式，所以“若x２<１，则—１<x<１”的逆否命题是“若x≥１或x≤—１，则x２≥１”．故选Ｄ．【答案】D错误!（１）判断命题真假的两种方法（２）由原命题写出其他三种命题的方法由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将原命题的条件与结论互换即得逆命题，将原命题的条件与结论同时否定即得否命题，将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．１．命题“若a２＋b２＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是（）Ａ．若a２＋b２≠0，则a≠0且b≠0Ｂ．若a２＋b２≠0，则a≠0或b≠0Ｃ．若a＝0且b＝0，则a２＋b２≠0Ｄ．若a≠0或b≠0，则a２＋b２≠0解析：选Ｄ．“若a２＋b２＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a２＋b２≠0”，故选Ｄ．２．（２0２0·甘肃酒泉敦煌中学一诊）有下列四个命题，其中真命题是（）１“若xy＝１，则lg x＋lg y＝0”的逆命题；２“若a·b＝a·c，则a⊥（b—c）”的否命题；３“若b≤0，则方程x２—２bx＋b２＋b＝0有实根”的逆否命题；４“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题．Ａ．１２Ｂ．１２３４Ｃ．２３４Ｄ．１３４解析：选Ｂ．１“若xy＝１，则lg x＋lg y＝0”的逆命题为“若lg x＋lg y＝0，则xy＝１”，该命题为真命题；２“若a·b＝a·c，则a⊥（b—c）”的否命题为“若a·b≠a·c，则a不垂直（b—c）”，由a·b≠a·c 可得a（b—c）≠0，据此可知a不垂直（b—c），该命题为真命题；３若b≤0，则方程x２—２bx＋b２＋b＝0的判别式Δ＝（—２b）２—４（b２＋b）＝—４b≥0，方程有实根，为真命题，则其逆否命题为真命题；４“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题为“三个内角均为60°的三角形为等边三角形”，该命题为真命题．综上可得，真命题是１２３４．故选Ｂ．充分条件、必要条件的判断（师生共研）（１）（２0１9·高考天津卷）设x∈R，则“x２—５x<0”是“|x—１|<１”的（）Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件（２）（２0１9·高考北京卷）设函数f（x）＝cos x＋b sin x（b为常数），则“b＝0”是“f（x）为偶函数”的（）Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件【解析】（１）由x２—５x<0可得0<x<５，由|x—１|<１可得0<x<２．由于区间（0，２）是（0，５）的真子集，故“x２—５x<0”是“|x—１|<１”的必要而不充分条件．（２）b＝0时，f（x）＝cos x，显然f（x）是偶函数，故“b＝0”是“f（x）是偶函数”的充分条件；f（x）是偶函数，则有f（—x）＝f（x），即cos（—x）＋b sin（—x）＝cos x＋b sin x，又cos（—x）＝cos x，sin（—x）＝—sin x，所以cos x—b sin x＝cos x＋b sin x，则２b sin x＝0对任意x∈R恒成立，得b＝0，因此“b＝0”是“f（x）是偶函数”的必要条件．因此“b＝0”是“f（x）是偶函数” 的充分必要条件，故选Ｃ．【答案】（１）B （２）C错误!充分条件、必要条件的三种判断方法（１）定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．（２）集合法：根据p，q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断．（３）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．１．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ａ．由A⊆C，B⊆∁U C，易知A∩B＝∅，但A∩B＝∅时未必有A⊆C，B⊆∁U C，如图所示，所以“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的充分不必要条件．２．设x∈R，则“２—x≥0”是“（x—１）２≤１”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｂ．２—x≥0，则x≤２，（x—１）２≤１，则—１≤x—１≤１，即0≤x≤２，据此可知，“２—x≥0”是“（x—１）２≤１”的必要不充分条件．３．已知p：x＋y≠—２，q：x，y不都是—１，则p是q的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ａ．因为p：x＋y≠—２，q：x≠—１或y≠—１，所以綈p：x＋y＝—２，綈q：x＝—１且y＝—１，因为綈q⇒綈p但綈p错误!綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．故选Ａ．充分条件、必要条件的应用（典例迁移）已知条件p：集合P＝{x|x２—8x—２0≤0}，条件q：非空集合S＝{x|１—m≤x≤１＋m}．若p 是q的必要条件，求m的取值范围．【解】由x２—8x—２0≤0，得—２≤x≤１0，所以P＝{x|—２≤x≤１0}，由p是q的必要条件，知S⊆P.则错误!所以0≤m≤３．所以当0≤m≤３时，p是q的必要条件，即所求m的取值范围是[0，３]．【迁移探究１】（变结论）若本例条件不变，问是否存在实数m，使p是q的充要条件．解：若p是q的充要条件，则P＝S，所以错误!所以错误!即不存在实数m，使p是q的充要条件．【迁移探究２】（变结论）本例条件不变，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．解：由例题知P＝{x|—２≤x≤１0}，因为綈p是綈q的必要不充分条件，所以p⇒q且q⇒p.所以[—２，１0][１—m，１＋m]．所以错误!或错误!所以m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞）．错误!已知充分、必要条件求参数取值范围的解题策略（１）解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后列出有关参数的不等式（组）求解．（２）涉及参数问题，直接解决较为困难时，可用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决，如将綈p，綈q之间的关系转化成p，q之间的关系来求解．[注意] （１）注意对区间端点值的处理；（２）注意条件的等价变形．设p：—错误!<x<错误!（m>0）；q：x<错误!或x>１，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为______．解析：因为p是q的充分不必要条件，又m>0，所以错误!≤错误!，所以0<m≤２．答案：（0，２]思想方法系列１等价转化思想在充要条件中的应用等价转化思想就是对原问题换一个方式、换一个角度、换一个观点加以考虑，把要解决的问题通过某种转化，再转化，化归为一类已经解决或比较容易解决的问题，从而使问题得到圆满解决的思维方式．已知条件p：|x—４|≤6；条件q：（x—１）２—m２≤0（m>0）．若綈p是綈q的充分不必要条件，则m的取值范围为______．【解析】条件p：—２≤x≤１0，条件q：１—m≤x≤１＋m，又綈p是綈q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件．故有错误!，所以0<m≤３．【答案】（0，３]错误!本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充分、必要条件问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是解此类问题的关键．１．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的（）Ａ．充要条件Ｂ．充分不必要条件Ｃ．必要不充分条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｃ．法一：设集合A＝{（x，y）|x≠y}，B＝{（x，y）|cos x≠cos y}，则A的补集C＝{（x，y）|x＝y}，B的补集D＝{（x，y）|cos x＝cos y}，显然C D，所以B A，于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．法二（等价转化法）：因为x＝y⇒cos x＝cos y，而cos x＝cos y错误!x＝y，所以“cos x＝cos y”是“x＝y”的必要不充分条件，故“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．２．（２0２0·宁夏银川一中模拟）王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（）Ａ．充分条件Ｂ．必要条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｂ．“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要非充分条件．故选Ｂ．[基础题组练]１．已知命题p：若x≥a２＋b２，则x≥２ab，则下列说法正确的是（）Ａ．命题p的逆命题是“若x＜a２＋b２，则x＜２ab”Ｂ．命题p的逆命题是“若x＜２ab，则x＜a２＋b２”Ｃ．命题p的否命题是“若x＜a２＋b２，则x＜２ab”Ｄ．命题p的否命题是“若x≥a２＋b２，则x＜２ab”解析：选Ｃ．命题p的逆命题是“若x≥２ab，则x≥a２＋b２”，故A，B都错误；命题p的否命题是“若x＜a２＋b２，则x＜２ab”，故C正确，D错误．２．已知p：a≠0，q：ab≠0，则p是q的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件C．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｂ．a≠0错误!ab≠0，但ab≠0⇒a≠0，因此p是q的必要不充分条件．３．已知a，b，c是实数，下列结论正确的是（）Ａ．“a２>b２”是“a>b”的充分条件Ｂ．“a２>b２”是“a>b”的必要条件Ｃ．“ac２>bc２”是“a>b”的充分条件Ｄ．“|a|>|b|”是“a>b”的充要条件解析：选Ｃ．对于A，当a＝—５，b＝１时，满足a２>b２，但是a<b，所以充分性不成立；对于B，当a＝１，b＝—２时，满足a>b，但是a２<b２，所以必要性不成立；对于C，由ac２>bc２得c≠0，则有a>b成立，即充分性成立，故正确；对于D，当a＝—５，b＝１时，|a|>|b|成立，但是a<b，所以充分性不成立，当a＝１，b＝—２时，满足a>b，但是|a|<|b|，所以必要性也不成立，故“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分也不必要条件．故选Ｃ．４．已知命题α：如果x<３，那么x<５；命题β：如果x≥３，那么x≥５；命题γ：如果x≥５，那么x≥３．关于这三个命题之间的关系中，下列说法正确的是（）１命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；２命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；３命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．Ａ．１３Ｂ．２Ｃ．２３Ｄ．１２３解析：选Ａ．本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题中的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故１正确，２错误，３正确．５．“（x＋１）（y—２）＝0”是“x＝—１且y＝２”的________条件．解析：因为（x＋１）（y—２）＝0，所以x＝—１或y＝２，所以（x＋１）（y—２）＝0错误!x＝—１且y＝２，x＝—１且y＝２⇒（x＋１）（y—２）＝0，所以是必要不充分条件．答案：必要不充分6．已知命题p：x≤１，命题q：错误!<１，则綈p是q的______．解析：由题意，得綈p：x>１，q：x<0或x>１，故綈p是q的充分不必要条件．答案：充分不必要条件7．若命题“ax２—２ax—３>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．解析：由题意知ax２—２ax—３≤0恒成立，当a＝0时，—３≤0成立；当a≠0时，得错误!解得—３≤a<0，故—３≤a≤0．答案：[—３，0]8．已知命题p：（x＋３）（x—１）>0；命题q：x>a２—２a—２．若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解：已知p：（x＋３）（x—１）>0，可知p：x>１或x<—３，因为綈p是綈q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，得a２—２a—２≥１，解得a≤—１或a≥３，即a∈（—∞，—１]∪[３，＋∞）．[综合题组练]１．（创新型）（２0２0·抚州七校联考）A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分为6５分．已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格．则下列四个命题中为p 的逆否命题的是（）Ａ．若及格分不低于70分，则A，B，C都及格Ｂ．若A，B，C都及格，则及格分不低于70分Ｃ．若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分Ｄ．若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分解析：选C.根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p的逆否命题是若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分．故选Ｃ．２．（２0２0·辽宁丹东质量测试（一））已知x，y∈R，则“x＋y≤１”是“x≤错误!且y≤错误!”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｂ．当“x＋y≤１”时，如x＝—４，y＝１，满足x＋y≤１，但不满足“x≤错误!且y≤错误!”．当“x≤错误!且y≤错误!”时，根据不等式的性质有“x＋y≤１”．故“x＋y≤１”是“x≤错误!且y≤错误!”的必要不充分条件．故选Ｂ．３．（２0２0·湖南雅礼中学３月月考）若关于x的不等式|x—１|<a成立的充分条件是0<x<４，则实数a的取值范围是（）Ａ．a≤１Ｂ．a<１Ｃ．a>３Ｄ．a≥３解析：选Ｄ．|x—１|<a⇒—a<x—１<a⇒１—a<x<１＋a，因为不等式|x—１|<a成立的充分条件是0<x<４，所以（0，４）⊆（１—a，１＋a），所以错误!⇒错误!⇒a≥３．故D正确．４．下列命题中为真命题的序号是______．１若x≠0，则x＋错误!≥２；３“a＝１”是“直线x—ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件；４命题“若x<—１，则x２—２x—３>0”的否命题为“若x≥—１，则x２—２x—３≤0”．解析：当x<0时，x＋错误!≤—２，故１是假命题；根据逆否命题的定义可知，２是真命题；“a＝±１”是“直线x—ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件，故３是假命题；根据否命题的定义知４是真命题．答案：２４。
高考数学统考一轮复习第1章 第2节命题及其关系充分条件与必要条件教师用书教案理新人教版
命题及其关系、充分条件与必要条件[考试要求] 1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．提醒：在四种形式的命题中，真命题的个数只能是0,2,4.3．充分条件、必要条件与充要条件的概念p⇒q p是q的充分条件，q是p的必要条件p⇒q，且q p p是q的充分不必要条件p q，且q⇒p p是q的必要不充分条件p⇔q p是q的充要条件p q，且q p p是q的既不充分也不必要条件提醒：A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B A，A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且A B，弄清它们区别的关键是分清谁是条件，谁是结论．[常用结论]1．等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．其他情况依次类推．2．充分、必要条件与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题．()(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则q”．( )(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”． ( )[答案](1)×(2)×(3)√(4)√二、教材习题衍生1．下列命题是真命题的是()A．矩形的对角线相等B．若a＞b，c＞d，则ac＞bdC．若整数a是素数，则a是奇数D．命题“若x2＞0, 则x＞1”的逆否命题A[令a＝c＝0，b＝d＝－1，则ac＜bd，故B错误；当a＝2时，a是素数但不是奇数，故C错误；取x＝－1，则x2＞0，但x＜1，故D错误．]2．命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是()A．“若x＜y，则x2＜y2”B．“若x＞y，则x2＞y2”C．“若x≤y，则x2≤y2”D．“若x≥y，则x2≥y2”C[根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是“若x ≤y ，则x 2≤y 2”．故选C ．]3．“(x －1)(x ＋2)＝0”是“x ＝1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [若x ＝1，则(x －1)(x ＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x －1)(x ＋2)＝0，则x 的值也可能为－2.故选B ．]4．命题“若α＝π3，则sin α＝32”的逆命题为________命题，否命题为________命题．(填“真”或“假”)假 假 [若α＝π3，则sin α＝32的逆命题为“若sin α＝32，则α＝π3”是假命题；否命题为“若α≠π3，则sin α≠32”是假命题．]考点一 命题及其关系判断命题真假的两种方法A ．若x ≠y ≠0(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2＝0B ．若x ＝y ≠0(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2≠0C ．若x ≠0且y ≠0(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2≠0D ．若x ≠0或y ≠0(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2≠0D [x 2＋y 2＝0的否定为x 2＋y 2≠0，x ＝y ＝0的否定为x ≠0或y ≠0，因此逆否命题为“若x ≠0或y ≠0(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2≠0，”故选D ．]2．给出命题：若a ＞－3，则a ＞6.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是()A．3 B．2 C．1 D．0B[原命题是假命题，则其逆否命题也是假命题．其逆命题“若a＞6，则a＞－3”是真命题，则其否命题为真命题，因此真命题的个数为2，故选B．]3．下列命题为假命题的是()A．命题“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题B．命题“若x＞y，则x＞|y|”的否命题C．命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题D．命题“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题D[对于A，逆命题“若x，y互为倒数，则xy＝1”为真命题．对于B，逆命题“若x＞|y|，则x＞y”为真命题，从而否命题也为真命题．对于C，由Δ＝4－4m≥0知，原命题正确，从而逆否命题正确．对于D，由A∩B＝B知，B⊆A，则原命题错误，从而逆否命题错误，故选D．]点评：在判断一个命题的逆命题、否命题、逆否命题的真假时，只需判断原命题和它的逆命题的真假即可．考点二充分、必要条件的判定判断充分、必要条件的三种方法A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件(2)(2019·浙江高考)若a＞0，b＞0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(3)设a ，b ∈R ，则“a ≠1或b ≠2”是“a ＋b ≠3”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(1)B (2)A (3)B [(1)p ：x <3，q ：－1<x <3，可得q ⇒p ，而p 推不出q .则q 是p 成立的充分不必要条件．故选B ．(2)由a ＞0，b ＞0，若a ＋b ≤4，得4≥a ＋b ≥2ab ，即ab ≤4，充分性成立；当a ＝4，b ＝1时，满足ab ≤4，但a ＋b ＝5＞4，不满足a ＋b ≤4，必要性不成立．故“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的充分不必要条件，选A ．(3)(等价转化法)问题转化为判断“a ＋b ＝3”是“a ＝1且b ＝2”的什么条件．由a ＋b ＝3a ＝1且b ＝2，反之，a ＝1且b ＝2⇒a ＋b ＝3，因此“a ＋b ＝3”是“a ＝1且b ＝2”的必要不充分条件，从而“a ≠1或b ≠2”是“a ＋b ≠3”的必要不充分条件，故选B ．]点评：判断充要条件时，要双向推导，说明推不出时，可恰当取特殊值作反例．[跟进训练]1．已知a ，b 都是实数，那么“3a ＞3b ”是“a 3＞b 3”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件C [3a ＞3b ⇒a ＞b ⇒a 3＞b 3，反之a 3＞b 3⇒a ＞b ⇒3a ＞3b ，因此3a ＞3b 是a 3＞b 3的充要条件，故选C ．]2．设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [由⎪⎪⎪⎪x －12＜12得0＜x ＜1，由x 3＜1得x ＜1， 因为0＜x ＜1⇒x ＜1，但x ＜10＜x ＜1，所以“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的充分不必要条件，故选A ．] 考点三 充分条件、必要条件的探求与应用1．充分、必要条件的探求方法(与范围有关)先求使结论成立的充要条件，然后根据“以小推大”的方法确定符合题意的条件．2．利用充要条件求参数的两个关注点(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍．[典例2－1]不等式x(x－2)＜0成立的一个必要不充分条件是()A．x∈(0,2) B．x∈[－1，＋∞)C．x∈(0,1) D ．x∈(1,3)B[解不等式x(x－2)＜0得0＜x＜2，因此x∈(0,2)是不等式x(x－2)＜0成立的充要条件，则所求必要不充分条件应包含集合{x|0＜x＜2}，故选B．]利用充分、必要条件求参数的取值范围[典例2－2]已知P＝{x|－2≤x≤10}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S 的必要条件，则m的取值范围为________．[0,3] [由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.又S为非空集合，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m≤1＋m，1－m≥－2，1＋m≤10，∴0≤m≤3.即所求m的取值范围是[0,3]．][母题变迁]把本例中的“必要条件”改为“充分条件”，求m的取值范围．[解]由x∈P是x∈S的充分条件，知P⊆S，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m≤1＋m，1－m≤－2，1＋m≥10，解得m≥9，即所求m的取值范围是[9，＋∞)．[跟进训练]1．命题“∀x ∈[1,3]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥9B ．a ≤9C ．a ≥10D ．a ≤10C [由题意知，a ≥x 2对x ∈[1,3]恒成立，则a ≥9.因此a ≥10是命题“∀x ∈[1,3]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件，故选C ．]2．使a ＞0，b ＞0成立的一个必要不充分条件是( )A ．a ＋b ＞0B ．a －b ＞0C ．ab ＞1D ．a b ＞1 A [a ＞0，b ＞0⇒a ＋b ＞0，但a ＋b ＞0a ＞0，b ＞0.因此a ＋b ＞0是a ＞0，b ＞0的一个必要不充分条件，故选A ．]3．设p ：1＜x ＜2；q ：(x －a )(x －1)≤0.若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．[2，＋∞) [由题意知{x |1＜x ＜2}{x |(x －a )(x －1)≤0}，则a ＞1，即{x |1＜x ＜2}{x |1≤x ≤a }，从而a ≥2.]。
高三数学一轮复习优质教案6：1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件教学设计
1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件一、必记个知识点1．命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及相互关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．4．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．二、必明2个易误区1．易混否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．注意区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B ⇒/A)；与A的充分不必要条件是B(B⇒A 且A⇒/B)两者的不同．三、必会2个方法1．判断充分条件和必要条件的方法(1)命题判断法：设“若p，则q”为原命题，那么：①原命题为真，逆命题为假时，p是q的充分不必要条件；②原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件；③原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件；④原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分也不必要条件．(2)集合判断法：从集合的观点看，建立命题p，q相应的集合：p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}，那么：①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若A B 时，则p 是q 的充分不必要条件；②若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件；若B A 时，则p 是q 的必要不充分条件；③若A ⊆B 且B ⊆A ，即A ＝B 时，则p 是q 的充要条件．(3)等价转化法：p 是q 的什么条件等价于⌝q 是⌝p 的什么条件．2．转化与化归思想由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假． 考点一 命题及其相互关系1.命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( ) A ．若α≠π4，则tan α≠1 B ．若α＝π4，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π4 D ．若tan α≠1，则α＝π4『解析』选C 命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”． 考点二 充分必要条件的判定『典例』 (1)(2013·山东高考)给定两个命题p ，q .若⌝p 是q 的必要而不充分条件，则p 是⌝q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2013·北京高考)“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件『解析』 (1)由q ⇒⌝p 且⌝p ⇒/ q 可得p ⇒⌝q 且⌝q ⇒/p ，所以p 是⌝q 的充分而不必要条件．(2)由sin φ＝0可得φ＝k π(k ∈Z )，此为曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点的充要条件，故“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件．『答案』 (1)A (2)A『针对训练』下列各题中，p 是q 的什么条件？(1)在△ABC 中，p ：A ＝B ，q ：sin A ＝sin B ；(2)p ：|x |＝x ，q ：x 2＋x ≥0.解：(1)若A ＝B ，则sin A ＝sin B ，即p ⇒q .又若sin A ＝sin B ，则2R sin A ＝2R sin B ，即a ＝b .故A ＝B ，即q ⇒p .所以p 是q 的充要条件．(2)p ：{x ||x |＝x }＝{x |x ≥0}＝A ，q ：{x |x 2＋x ≥0}＝{x |x ≥0，或x ≤－1}＝B ，∵A B ，∴p 是q 的充分不必要条件． 考点三 充分必要条件的应用『典例』 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件，若存在，求出m 的范围；(2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件，若存在，求出m 的范围．『解』 (1)由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，∵x ∈P 是x ∈S 的充要条件，∴P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9， 这样的m 不存在．(2)由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P .∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴m ≤3. 综上，可知m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件．课后作业『试一试』1．(2013·福建高考)设点P (x ，y )，则“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件『解析』选A “x ＝2且y ＝－1”满足方程x ＋y －1＝0，故“x ＝2且y ＝－1”可推出“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”；但方程x ＋y －1＝0有无数多个解，故“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”不能推出“x ＝2且y ＝－1”，故“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”的充分不必要条件．2．“在△ABC 中，若∠C ＝90°，则∠A 、∠B 都是锐角”的否命题为：____________________. 『解析』原命题的条件：在△ABC 中，∠C ＝90°，结论：∠A 、∠B 都是锐角．否命题是否定条件和结论．即“在△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A 、∠B 不都是锐角”．『答案』“在△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A 、∠B 不都是锐角”『练一练』1．(2014·济南模拟)设x ∈R ，则“x 2－3x >0”是“x >4”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件『解析』选B 由x 2－3x >0得x >3或x <0，此时得不出x >4，但当x >4时，不等式x 2－3x >0恒成立，所以正确选项为B.2．与命题“若a ∈M ，则b ∉M ”等价的命题是________．『解析』原命题与其逆否命题为等价命题．『答案』若b ∈M ，则a ∉M做一做1．(2013·安徽高考)“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件『解析』选B 由(2x －1)x ＝0可得x ＝12或0，因为“x ＝12或0”是“x ＝0”的必要不充分条件．2．(2013·九江一模)命题“若x 2>y 2，则x >y ”的逆否命题是( )A ．“若x <y ，则x 2<y 2”B ．“若x >y ，则x 2>y 2”C ．“若x ≤y ，则x 2≤y 2”D ．“若x ≥y ，则x 2≥y 2”『解析』选C 根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x 2>y 2，则x >y ”的逆否命题是“若x ≤y ，则x 2≤y 2”．3．(2014·福建质检)已知向量a ＝(m 2,4)，b ＝(1,1)，则“m ＝－2”是“a ∥b ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件『解析』选A 依题意，当m ＝－2时，a ＝(4,4)，b ＝(1,1)，所以a ＝4b ，a ∥b ，即由m ＝－2可以推出a ∥b ；当a ∥b 时，m 2＝4，得m ＝±2，所以不能推得m ＝－2，即“m ＝－2”是“a ∥b ”的充分而不必要条件．4．(2013·聊城期末)设集合A ，B 是全集U 的两个子集，则A B 是(∁U A )∪B ＝U 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件『解析』选A 如图所示，A B ⇒(∁U A )∪B ＝U ；但(∁U A )∪B ＝U ⇒/A B ，如A ＝B ，因此A B 是(∁U A )∪B ＝U 的充分不必要条件．5．命题“若a >b ，则a －1>b －1”的否命题是________．『答案』若a ≤b ，则a －1≤b －1 6.创新题已知集合A ＝{x |y ＝lg(4－x )}，集合B ＝{x |x <a }，若P ：“x ∈A ”是Q ：“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．『解析』A ＝{x |x <4}，由题意得A B 结合数轴易得a >4.『答案』(4，＋∞)『课下提升考能』1．设集合M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件『解析』选B M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，所以NM ，故a ∈M 是a ∈N 的必要不充分条件．2．(2013·潍坊模拟)命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( )A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题『解析』选D 原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π3”，它是真命题． 3．(2013·乌鲁木齐质检)“a >0”是“a 2＋a ≥0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件『解析』选A a >0⇒a 2＋a ≥0；反之a 2＋a ≥0⇒a ≥0或a ≤－1，不能推出a >0，选A.。
高中数学《命题及其关系充分条件与必要条件》教案苏教版选修
一、教材分析本节课选自苏教版高中数学选修2-3《命题及其关系-充分条件与必要条件》。
这部分内容是学生在学习了简单逻辑用语和复合命题之后，对命题及其关系的进一步拓展。
充分条件和必要条件是描述命题之间关系的重要概念，对于学生理解命题的内在联系，提高逻辑思维能力具有重要意义。
二、教学目标1. 理解充分条件和必要条件的概念，掌握判断充分条件和必要条件的方法。
2. 能够运用充分条件和必要条件分析实际问题，提高解决问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和口头表达能力。
三、教学重点与难点1. 教学重点：充分条件和必要条件的概念及其判断方法。
2. 教学难点：充分条件和必要条件的区分和应用。
四、教学方法采用问题驱动法、案例分析法和小组合作法，引导学生通过自主学习、合作交流，掌握充分条件和必要条件的概念及判断方法。
五、教学过程1. 导入新课：通过一个生活实例，引导学生思考充分条件和必要条件的关系。
2. 自主学习：学生自主阅读教材，理解充分条件和必要条件的概念。
3. 案例分析：分析具体案例，让学生判断其中的充分条件和必要条件。
4. 小组讨论：学生分组讨论，交流判断充分条件和必要条件的心得。
5. 总结提升：教师引导学生总结充分条件和必要条件的判断方法。
6. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
教案连载，请期待后续章节。
六、教学反思在课后，教师应认真反思本节课的教学效果，包括学生的学习兴趣、参与度、理解程度等，以便对教学方法和策略进行调整，提高教学质量。
七、课后作业1. 请用充分条件和必要条件判断下列命题：（1）如果一个人是学生，他一定有身份证。
（2）一个三角形是等边三角形当且仅当它的三条边相等。
2. 结合生活中的实例，运用充分条件和必要条件分析问题。
八、课后辅导针对学生在课后作业中出现的问题，教师应及时给予辅导，帮助学生巩固知识点，提高解题能力。
九、拓展与延伸为了激发学生的学习兴趣，提高学生的综合素质，可以布置一些拓展与延伸的课题，如：1. 研究充分条件和必要条件在实际问题中的应用，举例说明。
高考数学一轮复习讲义第一章命题和其关系充分条件与必要条件
例 1 以下关于命题的说法正确的有_______ (填写所有正确
命题的序号)．
①“若 log2a>0，则函数 f(x)＝logax (a>0，a≠1)在其定义 域内是减函数”是真命题；
②命题“若 a＝0，则 ab＝0”的否命题是“若 a≠0，则
ab≠0”；
③命题“若 x，y 都是偶数，则 x＋y 也是偶数”的逆命
一轮复习讲义
命题及其关系、充 分条件与必要条件
高考数学一轮复习讲义第 一章命题与其关系充分条
要点梳理
忆一忆知识要点
1．命题的概念
在数学中把用语言、符号或式子表达的，能够 判断真假 的
陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假
的语句叫假命题．
2．四种命题及其关系
(1)四种命题
命题
表述形式
原命题
高考数学一轮复习讲义第 一章命题与其关系充分条
对于①，若 log2a>0＝log21，则 a>1，所以函数 f(x) ＝logax 在其定义域内是增函数，因此①是假命题，故①不 正确；
对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；
对于③，原命题的逆命题是“若 x＋y 是偶数，则 x、y 都 是偶数”，是假命题，如 1＋3＝4 是偶数，但 3 和 1 均为 奇数，故③不正确；
对于④，不难看出，命题“若 a∈M，则 b∉M”与命题“若 b∈M，则 a∉M”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④ 正确．
综上可知正确的说法有②④.
答案 ②④
高考数学一轮复习讲义第 一章命题与其关系充分条
探究提高
(1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判四种命题真假 的关键；(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与 否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进 行时，可转化为判断其等价命题的真假；(3)认真仔细读题， 必要时举特例．
高三数学第一轮复习 命题及其关系 充分条件 必要条件教案 文
p q 命题及其关系,充分条件,必要条件一、 知识梳理：（阅读教材选修1-1第2页—第13页）1、 四种命题（1）、命题是可以 可以判断真假的语句 ，具有 “若P,则q 的形式；（2）、一般地用P 或q 分别表示命题的条件或结论,用 或 分别表示P 和q 的否定,于是四种命题的形式就是:原命题:逆命题:否命题:逆否命题:(3)、四种命题的关系：两个互为逆否命题的真假是相同的，原命题的逆命题与原命题的否命题同真同假。
2、 充分条件、必要条件与充要条件（1）“若p ，则q ”为真命题，记p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。
（2）如果既有p q ⇒，又有q p ⇒，记作p q ⇔，则p 是q 的充要条件，q 也是p 的充要条件。
3、 判断充分性与必要性的方法：（一）、定义法（1）、 且q ，则p 是q 的 充分不必要条件 ；（2）、 ，则p 是q 的 必要不充分条件 ；（3）、 ，则p 是q 的 既不充分也不必要条件 ；（4）、 且 ，则p 是q 的 充要条件 ；（二）、集合法：利用集合间的包含关系判断命题之间的充要关系，设满足条件p 的元素构成集合A ，满足条件q 的元素构成集合B ；（1）、若A ，则p 是q 的 充分条件 若 ，则p 是q 的必要条件;（2）、若A ，则p 是q 的充要条件 ；（3）、若A ，且A ，则p 是q 的充分不必要条件；q 是p 的必要不充分条件；q p （4）、若A ，且，则p 是q 的既不充分也不必要条件 ；二、题型探究【探究一】：四种命题的关系与命题真假的判断例1:[2014·陕西卷] 原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(B )A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假例2：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断其真假。
高三数学(文一轮复习课件第一章3命题及其关系充分条件与必要条件
考纲呈现 1．了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，并理解全称量词与 存在量词的含义． 2．能正确的对含有一个量词的命题进行否定.
诊断型·微题组
课前预习·诊断双基
1．简单的逻辑联结词 (1)命题中的 且、或、非 叫做逻辑联结词． (2)命题p且q、p或q、非p的真假判断
命题角度2 含一个量词的命题的否定
(2018河南郑州预测(二))已知命题p：∀x>2，x3－8>0，那么¬p是 ()
A．∀x≤2，x3－8≤0 B．∃x0>2，x30－8≤0 C．∀x0>2，x30－8≤0 D．∃x≤2，x3－8≤0 【答案】B
【解析】依题意，知¬p是“∃x0>2，x30－8≤0”，故选B.
当a＝0时，不等式为－x≥0，解得x≤0，显然不成立；当a≠0 时，不等式恒成立的条件是
a>0， Δ＝－12－4a2≤0，
解得a≥12.
综上，命题q为真时，a的取值集合为Q＝aa≥12
.
由“p∨q是真命题，p∧q是假命题”可知命题p，q一真一
假．当p真q假时，a的取值范围是P∩(∁RQ)＝{a|0<a<1}∩
4．(教材习题改编)命题“任意两个等边三角形都相似”的否定 为________．
【答案】存在两个等边三角形，它们不相似
形成型·微题组
归纳演绎·形成方法
含有逻辑联结词的命题的真假判断
1．(2018山东枣庄第一学期期末)如果命题“p∨q”与命题 “¬p”都是真命题，则( )
A．命题q一定是真命题 B．命题p不一定是假命题 C．命题q不一定是真命题 D．命题p与命题q真假相同 【答案】A
【解】因为函数y＝cx在R内单调递减， 所以0<c<1，即p：0<c<1. 因为c>0，且c≠1，所以¬p：c>1. 又因为f(x)＝x2－2cx＋1在12，＋∞内为增函数， 所以c≤12，即q：0<c≤12. 因为c>0，且c≠1，所以¬q：c>12，且c≠1. 又因为“p或q”为真，“p且q”为假， 所以p真q假或p假q真．
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第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题及其关系(1)理解命题的概念．(2)了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．2．充分条件与必要条件理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．知识点一命题、四种命题及相互关系1．命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及相互关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．易误提醒易混否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．必备方法由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．[自测练习]1．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝－4”的逆否命题及其真假性为( )A．“若x＝－4，则x2＋3x－4＝0”为真命题B．“若x≠－4，则x2＋3x－4≠0”为真命题C．“若x≠－4，则x2＋3x－4≠0”为假命题D．“若x＝－4，则x2＋3x－4＝0”为假命题解析：根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝－4或1，故选C.答案：C知识点二充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．易误提醒注意区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒/ A)；与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇒/ B)两者的不同．必备方法充分条件与必要条件判定的三种方法1．定义法：(1)若p⇒q，则p是q的充分条件；(2)若q⇒p，则p是q的必要条件；(3)若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件；(4)若p⇒q且q ⇒/p，则p是q的充分不必要条件；(5)若p ⇒/ q 且q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件；(6)若p ⇒/ q 且q ⇒/ p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．2．利用集合间的包含关系判断：记条件p ，q 对应的集合分别是A ，B ，则(1)若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件或q 是p 的必要条件；(2)若A B ，则p 是q 的充分不必要条件，或q 是p 的必要不充分条件；(3)若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；(4)若A B ，且A ⊉B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．3．等价法：利用p ⇒q 与綈q ⇒綈p ，q ⇒p 与綈p ⇒綈q ，p ⇔q 与綈q ⇔綈p 的等价关系．[自测练习]2．“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由(2x －1)x ＝0可得x ＝12或0，所以“x ＝12或0”是“x ＝0”的必要不充分条件．答案：B3．已知条件p ：x ≤1，条件q ：1x<1，则綈p 是q 的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由x >1得1x <1；反过来，由1x<1不能得知x >1，即綈p 是q 的充分不必要条件，选A.答案：A4．(2015·高考湖北卷)l 1，l 2表示空间中的两条直线，若p ：l 1，l 2是异面直线；q ：l 1，l 2不相交，则( )A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件解析：两直线异面，则两直线一定无交点，即两直线一定不相交；而两直线不相交，有可能是平行，不一定异面，故两直线异面是两直线不相交的充分不必要条件，故选A.答案：A考点一 命题及其相互关系|1．(2015·高考山东卷)设m ∈R ，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( )A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m >0D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0解析：由原命题和逆否命题的关系可知D 正确．答案：D2．下列命题中为真命题的是( )A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题解析：A中逆命题为“若x>|y|，则x>y”是真命题；B中否命题为“若x≤1，则x2≤1”是假命题；C中否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”是假命题；D中原命题是假命题，从而其逆否命题也为假命题．答案：A3．以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．①“若log2a>0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价．解析：对于①，若log2a>0＝log21，则a>1，所以函数f(x)＝log a x 在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x＋y 是偶数，则x，y都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④.答案：②④命题真假的两种判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．(2)利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断．考点二充分条件和必要条件的判定|(1)(2015·高考四川卷)设a，b为正实数，则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件[解析] 因为y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以a>0，log2a>log2b>log21＝0，所以“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的充要条件．[答案] A(2)(2015·高考北京卷)设a，b是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析] 若a·b＝|a||b|，则a与b的方向相同，所以a∥b.若a∥b，则a·b＝|a||b|，或a·b＝－|a||b|，所以“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件，选A.[答案] A判断充分条件与必要条件的两个注意点：(1)要注意弄清条件p和结构q分别是什么，然后尝试p⇒q，q ⇒p.(2)要注意对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．1．(2015·高考湖南卷)设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：结合韦恩图(图略)可知，A∩B＝A，得A⊆B，反之，若A ⊆B，即集合A为集合B的子集，故A∩B＝A，故“A∩B＝A”是“A ⊆B”的充要条件，选C.答案：C考点三充要条件的应用|已知p：x2－2mx－15m2≤0(m>0)；q：x2－3x－10≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________．[解析] 本题考查充分必要条件、一元二次不等式等基础知识． 若p 真，则－3m ≤x ≤5m ；若q 真，则－2≤x ≤5；因为綈p 是綈q 的必要不充分条件，所以p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，－3m ≥－2，5m ≤5，∴0<m≤23， 所以实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤0，23. [答案] ⎝⎛⎦⎥⎤0，23利用充要条件求参数的值或范围的一个关键点、一个注意点：(1)关键点：是合理转化条件，准确将每个条件对应的参数的范围求出来，然后转化为集合的运算．(2)注意点：注意区间端正值的检验，易忽视．2．已知α：x ≥a ，β：|x －1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为________．解析：α：x ≥a ，可看作集合A ＝{x |x ≥a }，∵β：|x －1|<1，∴0<x <2，∴β可看作集合B ＝{x |0<x <2}．又∵α是β的必要不充分条件，∴B A ，∴a ≤0.答案：(－∞，0]1.等价转化思想在充要条件中的应用【典例】 已知条件p ：4x －1≤－1，条件q ：x 2－x <a 2－a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是________．[思路点析] “綈q 的一个充分不必要条件是綈p ”等价于“p 是q 的一个必要不充分条件”．[解析] 由4x －1≤－1，得－3≤x <1. 由x 2－x <a 2－a ，得(x －a )[x ＋(a －1)]<0，当a >1－a ，即a >12时，不等式的解为1－a <x <a ； 当a ＝1－a ，即a ＝12时，不等式的解为∅； 当a <1－a ，即a <12时，不等式的解为a <x <1－a . 由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，即p 为q 的一个必要不充分条件，即条件q 对应的x 取值集合是条件p 对应的x 取值集合的真子集．当a >12时，由{x |1－a <x <a }{x |－3≤x <1}，得⎩⎪⎨⎪⎧－3≤1－a ，1≥a ，解得12<a ≤1； 当a ＝12时，因为空集是任意一个非空集合的真子集，所以满足条件；当a <12时，由{x |a <x <1－a }{x |－3≤x <1}，得⎩⎪⎨⎪⎧ －3≤a ，1≥1－a ，解得0≤a <12. 综上，a 的取值范围是[0,1]．[答案] [0,1][思路点评] (1)本题用到的等价转化①将綈p ，綈q 之间的关系转化成p ，q 之间的关系． ②将条件之间的关系转化成集合之间的关系．(2)对一些复杂、生疏的问题，利用等价转化思想转化成简单、熟悉的问题在解题中经常用到．[跟踪练习] 若“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为________．解析：由x 2>1，得x <－1，或x >1，又“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，知由“x <a ”可以推出“x 2>1”，反之不成立，所以a ≤－1，即a 的最大值为－1.答案：－1A 组 考点能力演练1．命题“若a 2＋b 2＝0，则a ＝0且b ＝0”的逆否命题是( )A ．若a 2＋b 2≠0，虽a ≠0且b ≠0B ．若a 2＋b 2≠0，则a ≠0或b ≠0C ．若a ＝0且b ＝0，则a 2＋b 2≠0D ．若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0解析：先确定逆命题为“若a ＝0且b ＝0，则a 2＋b 2＝0”，再将逆命题否定为“若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0”，故选D.答案：D2．“x 1>3且x 2>3”是“x 1＋x 2>6且x 1x 2>9”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：x 1>3，x 2>3⇒x 1＋x 2>6，x 1x 2>9；反之不成立，例如x 1＝12，x 2＝20.故选A.答案：A3．(2016·沈阳一模)“x <0”是“ln(x ＋1)<0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：设命题p ：x <0，命题q ：ln(x ＋1)<0，由对数函数的定义域和对数函数的单调性可知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，x ＋1<1，所以－1<x <0，即命题q 为－1<x <0.可知命题q ⇒p ，而p ⇒/ q ．所以p 是q 的必要不充分条件，所以选B.答案：B4．设a ，b 为两个非零向量，则“a·b ＝|a·b |”是“a 与b 共线”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：设a，b的夹角为θ.由a·b＝|a·b|得：|a||b|·cos θ＝|a||b|·|cos θ|，|a||b|(cos θ－|cos θ|)＝0，即|a||b|＝0(舍)因为a，b非零，或cos θ≥0，所以由a·b＝|a·b|⇒/ a 与b共线，反过来，当a＝－b时，虽然“a与b共线”，但是“a·b ＝|a·b|”不成立，所以“a·b＝|a·b|”是“a与b共线”的既不充分也不必要条件．故选D.答案：D5．已知p：x>1或x<－3，q：x>a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是( )A．[1，＋∞) B．(－∞，1]C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3]解析：法一：设P＝{x|x>1或x<－3}，Q＝{x|x>a}，因为q是p 的充分不必要条件，所以Q P，因此a≥1，故选A.法二：令a＝－3，则q：x>－3，则由命题q推不出命题p，此时q不是p的充分条件，排除B，C，D，选A.答案：A6．(2016·成都一诊)设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是________．解析：找出命题的条件和结论，将命题的条件与结论互换，“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，故命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是“若|a|＝|b|，则a＝－b”．答案：若|a|＝|b|，则a＝－b7．(2015·盐城一模)给出以下四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤－1，则x 2＋x ＋q ＝0有实根”的逆否命题；④若ab 是正整数，则a ，b 都是正整数．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)解析：①命题“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，显然①为真命题；②不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab 是正整数，则a ，b 不一定都是正整数，例如a ＝－1，b ＝－3，故④为假命题．答案：①③8．设条件p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0；条件q ：实数x 满足x 2＋2x －8>0，且q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：本题考查必要不充分条件的应用与一元二次不等式的解法．由x 2－4ax ＋3a 2<0得3a <x <a ，由x 2＋2x －8>0得x <－4或x >2，因为q 是p 的必要不充分条件，则⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，a ≤－4，所以a ≤－4.答案：(－∞，－4]9．写出命题“已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2≥4b ”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：(1)逆命题：已知a ，b ∈R ，若a 2≥4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，则a 2<4b ，为真命题．(3)逆否命题：已知a ，b ∈R ，若a 2<4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，为真命题．10．已知(x ＋1)(2－x )≥0的解为条件p ，关于x 的不等式x 2＋mx －2m 2－3m －1<0⎝ ⎛⎭⎪⎫m >－23的解为条件q . (1)若p 是q 的充分不必要条件时，求实数m 的取值范围．(2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件时，求实数m 的取值范围． 解：(1)设条件p 的解集为集合A ，则A ＝{x |－1≤x ≤2}， 设条件q 的解集为集合B ，则B ＝{x |－2m －1<x <m ＋1}， 若p 是q 的充分不必要条件，则A 是B 的真子集⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1>2，－2m －1<－1m >－23.，解得m >1， (2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则B 是A 的真子集⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2，－2m －1≥－1m >－23.解得－23<m ≤0. B 组 高考题型专练1．(2014·高考新课标全国卷Ⅱ)函数f (x )在x ＝x 0处导数存在．若p ：f ′(x 0)＝0；q ：x ＝x 0是f (x )的极值点，则( )A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件解析：由于q ⇒p ，则p 是q 的必要条件；而p ⇒/ q ，如f (x )＝x 3在x ＝0处f ′(0)＝0，而x ＝0不是极值点，故选C.答案：C2．(2015·高考重庆卷)“x >1”是“log 12(x ＋2)<0”的( ) A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：由log 12(x ＋2)<0，得x ＋2>1，解得x >－1，所以“x >1”是“log 12(x ＋2)<0”的充分而不必要条件，故选B. 答案：B3．(2015·高考安徽卷)设p ：1<x <2，q ：2x >1，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：q ：2x >1⇔x >0，且(1,2)⊆(0，＋∞)，所以p 是q 的充分不必要条件．答案：A4．(2015·高考福建卷)“对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，k sin x cos x <x ”是“k <1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin 2x >0.任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，k sinx cos x <x ，等价于任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，k <2x sin 2x .当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，0<2x <π，设t ＝2x ，则0<t <π.设f (t )＝t －sin t ，则f ′(t )＝1－cos t >0，所以f (t )＝t －sin t 在(0，π)上单调递增，所以f (t )>0，所以t >sin t >0，即tsin t >1，所以k ≤1.所以任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，k <2x sin 2x，等价于k ≤1.因为k ≤1⇒/ k <1，但k ≤1⇐k <1，所以“对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，k sin x cos x <x ”是“k <1”的必要而不充分条件，故选B.答案：B5．(2015·高考北京卷)设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α.“m ∥β”是“α∥β”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若m ⊂α且m ∥β，则平面α与平面β不一定平行，有可能相交；而m ⊂α且α∥β一定可以推出m ∥β，所以“m ∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．答案：B。
高三数学一轮复习精品教案3：1.3充分条件与必要条件教学设计
第三节充分条件与必要条件1．理解命题的概念．2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．『梳理自测』一、命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．二、四种命题及其关系设a，b是向量，针对下列四种命题，填空并判定真假：A．若a≠－b，则|a|≠|b|B．若a＝－b，则|a|≠|b|C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”，其逆命题为______，______(真假)，其否命题为______，________(真假)，其逆否命题为________，________(真假)．『答案』D假A假C真◆此题主要考查了下列内容：1．四种命题若原命题为“若p，则q”，则其逆命题是若q，则p；否命题是若p⌝，则q⌝；逆否命题是若q⌝，则p⌝．2．四种命题间的关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 三、充分条件，必要条件，充要条件 1．若a ∈R ，则“a ＝1”是“|a |＝1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．(2014·温州适应性测试)设集合A ，B ，则A ⊆B 是A ∩B ＝A 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．(2012·高考北京卷)设a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 『答案』1.A 2.C 3.B◆以上题目主要考查了以下内容：(1)“若p ，则q ”为真命题，记作：p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． (2)如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，记作：p ⇔q ，则p 是q 的充要条件，q 也是p 的充要条件．『指点迷津』1．否命题和命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．若命题为：“若p ，则q ”，则该命题的否命题是“若p ⌝，则q⌝”；命题的否定为“若p ，则q⌝”．2．四种命题的三种关系，互否关系，互逆关系，互为逆否关系，只有互为逆否关系的命题是等价命题．3．判断p 与q 之间的关系时，要注意p 与q 之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆．如：a ＝0是“a ·b ＝0”的充分不必要条件，“a ·b ＝0”是“a ＝0”的必要不充分条件．考向一 四种命题及其关系(1)(2014·潍坊市三模)命题“若a＞b，则2a＞2b”的否命题是()A．若a＞b，则2a≤2b B．若2a＞2b，则a＞bC．若a≤b，则2a≤2b D．若2a≤2b，则a≤b(2)(2012·高考浙江卷)设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数()A．若e a＋2a＝e b＋3b，则a＞bB．若e a＋2a＝e b＋3b，则a＜bC．若e a－2a＝e b－3b，则a＞bD．若e a－2a＝e b－3b，则a＜b『审题视点』(1)根据否命题的定义改写．(2)利用逆否命题真假关系判定．『典例精讲』(1)否命题为“若a≤b，则2a≤2b”．(2)通过逆否命题判断真假．当0＜a≤b时，显然e a≤e b，且2a≤2b＜3b，∴e a＋2a＜e b＋3b，即e a＋2a≠e b＋3b成立，所以它的逆否命题：若e a＋2a＝e b＋3b，则a＞b成立，故A正确，B错误；当0＜a≤b时，由e a≤e b，2a＜3b，知e a－2a与e b－3b的大小关系不确定，故C错误；同理，D错误．『答案』(1)C(2)A『类题通法』在根据给出的命题构造其逆命题、否命题、逆否命题时，首先要把原命题的条件和结论弄清楚，这样逆命题就是把原命题的条件和结论交换了的命题，否命题就是把原命题中否定了的条件作条件、否定了的结论作结论的命题，逆否命题就是把原命题中否定了的结论作条件、否定了的条件作结论的命题．在这四种命题中原命题和逆否命题等价、否命题和逆命题互为逆否命题也是等价的．1．下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题；②“若ab＝0，则a＝0”的否命题；③“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题；④“若x≤－3，则x2＋x－6＞0”的否命题；⑤“若a2＋b2＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题．其中真命题的序号是________(把所有真命题的序号填在横线上)．『解析』①“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”，显然该命题为假命题；②“若ab＝0，则a＝0”的否命题为“若ab≠0，则a≠0”，而由ab≠0可得a，b都不为零，故a≠0，所以该命题是真命题；③由于原命题“正三角形的三个角均为60°”是一个真命题，故其逆否命题也是真命题；④易判断原命题的逆命题假，则原命题的否命题假；⑤逆命题为“a，b∈R，若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”为真命题．『答案』②③⑤考向二 充分条件与必要条件的判定(1)(2014·济南市高考模拟)设x ∈R ，则“x 2－3x ＞0”是“x ＞4”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件(2)(2014·福建省普通高三质量检查)已知向量a ＝(m 2，4)，b ＝(1，1)，则“m ＝－2”是“a ∥b ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件『审题视点』 (1)从解不等式x 2－3x ＞0入手，求x 的取值，寻找推导关系． (2)从判断a ∥b 的条件入手，寻找推导关系．『典例精讲』 (1)由x 2－3x ＞0，得x ＞3或x ＜0，此时得不出x ＞4，但当x ＞4时，不等式x 2－3x ＞0恒成立，所以正确选项为B.(2)依题意，当m ＝－2时，a ＝(4，4)，b ＝(1，1)，所以a ＝4b ，a ∥b ，即由m ＝－2可以推出a ∥b ；当a ∥b 时，m 2＝4，得m ＝±2，所以不能推得m ＝－2，即“m ＝－2”是“a ∥b ”的充分而不必要条件． 『答案』 (1)B (2)A『类题通法』 命题的充要关系的判断方法 (1)定义法：直接判断若p 则q 、若q 则p 的真假．(2)等价法：利用A ⇒B 与綈B ⇒綈A ，B ⇒A 与綈A ⇒綈B ，A ⇔B 与綈B ⇔綈A 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．2．(2012·高考上海卷)对于常数m 、n ，“mn ＞0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件『解析』选B.分别判断条件的充分性、必要性是否成立．∵mn ＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，n ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，n ＜0，当m ＞0，n ＞0且m ≠n 时，方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆，但m ＜0，n ＜0时，方程mx 2＋ny 2＝1不表示任何图形，所以条件不充分；反之，当方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线是椭圆时有mn ＞0，所以“mn ＞0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．考向三 充分、必要、充要条件的应用已知条件p ：4x －1≤－1，条件q ：x 2＋x ＜a 2－a ，且q⌝的一个充分不必要条件是p ⌝，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－2，－12B.⎣⎡⎦⎤12，2 C ．『－1，2』 D.⎝⎛⎦⎤－2，12∪『2，＋∞) 『审题视点』q⌝的充分不必要条件是p ⌝，等价于p 是q 的必要不充分条件，化简p和q 后，借助集合间的包含关系即可求得a 的范围． 『典例精讲』 由4x －1≤－1，即4x －1＋1≤0，化简，得x ＋3x －1≤0，解得－3≤x ＜1；由x 2＋x ＜a 2－a ，得x 2＋x －a 2＋a ＜0， 由q⌝的一个充分不必要条件是p ⌝，可知p ⌝是q⌝的充分不必要条件，即p 是q 的必要不充分条件，即条件q 对应的x 取值集合是条件p 对应的x 取值集合的真子集． 设f (x )＝x 2＋x －a 2＋a ，如图，则⎩⎪⎨⎪⎧f （－3）＝－a 2＋a ＋6＞0f （1）＝－a 2＋a ＋2≥0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－2＜a ＜3－1≤a ≤2， ∴－1≤a ≤2，故选C. 『答案』 C『类题通法』 (1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解． (2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若p ⌝是q⌝的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p 是q 的必要不充分(充分不必要、充要)条件．3．已知p ：－4＜x －a ＜4，q ：(x －2)(x －3)＜0，且q 是p 的充分条件，则实数a 的取值范围为( )A ．－1＜a ＜6B ．－1≤a ≤6C ．a ＜－1或a ＞6D ．a ≤－1或a ≥6『解析』选B.设q ，p 表示的范围分别为集合A ，B ， 则A ＝(2，3)，B ＝(a －4，a ＋4)． 因为q 是p 的充分条件，则有A ⊆B ，即⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，所以－1≤a ≤6.故选B.充分、必要条件的判定方法(2013·高考陕西卷)设a ，b 为向量，则“|a·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 『正解』 ①弄清题目中谁是条件，谁是结论： 条件是“|a·b |”＝|a ||b |， 结论是“a ∥b ”． 解题目标是什么？判定|a·b |＝|a ||b |⇒a ∥b 还是a ∥b ⇒|a·b |＝|a ||b |. ②探究转化关系一方面：由|a·b |＝|a ||b |，讨论零向量与非零向量，结合数量积定义探究a 与b 的关系． 另一方面：由a ∥b ，计算|a·b | 解答过程 若|a ·b |＝|a ||b |，若a ，b 中有零向量，显然a ∥b ； 若a ，b 均不为零向量，则 |a ·b |＝|a||b ||cos 〈a ，b 〉|＝|a ||b |， ∴|cos 〈a ，b 〉|＝1， ∴〈a ，b 〉＝π或0， ∴a ∥b ，即|a ·b |＝|a ||b |⇒a ∥b . 若a ∥b ，则〈a ，b 〉＝0或π， ∴|a ·b |＝||a ||b |cos 〈a ，b 〉|＝|a ||b |， 其中，若a ，b 有零向量也成立，即a ∥b ⇒|a ·b |＝|a ||b |.综上知，“|a ·b|＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分必要条件． 『答案』 C『回归反思』 ①此题在推导过程中易忽略零向量的存在，导致解答不全面．②此类题务必要从两方面探究关系：即探究|a·b |＝|a |·|b |⇒a ∥b 后，还要探究a ∥b ⇒|a·b |＝|a ||b |，结合充要条件的概念，才能正确作答．1．(2013·高考湖南卷)“1＜x ＜2”是“x ＜2”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 『解析』选A.利用集合间的关系转化． 设A ＝{x |1＜x ＜2}，B ＝{x |x ＜2}， ∴A⊆B ，即当x 0∈A 时，有x 0∈B ，反之不一定成立．因此“1＜x ＜2”是“x ＜2”成立的充分不必要条件．2．(2013·高考天津卷)已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； ③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切．其中真命题的序号是( ) A ．①②③ B ．①② C ．①③ D ．②③『解析』选C.对各个命题逐一进行判断，得出结论．对于命题①，设球的半径为R ，则43π⎝⎛⎭⎫R 23＝18·43·πR 3，故体积缩小到原来的18，命题正确；对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1，3，5和3，3，3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于命题③，圆x 2＋y 2＝12的圆心(0，0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝12＝22，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确． 3．(2013·高考山东卷)给定两个命题p ，q .若p ⌝是q 的必要而不充分条件，则p 是q⌝的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件『解析』选A.借助原命题与逆否命题等价判断．若p ⌝是q 的必要不充分条件，则q ⇒p ⌝但p ⌝⇒/ q ，其逆否命题为p ⇒q⌝但q⌝⇒/ p ，∴p 是q⌝的充分不必要条件．4．(2013·高考安徽卷)“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件『解析』选B.先解一元二次方程(2x －1)x ＝0，再利用充分条件、必要条件的定义判断． 当x ＝0时，显然(2x －1)x ＝0；当(2x －1)x ＝0时，x ＝0或x ＝12，所以“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件．。
高中数学《命题及其关系充分条件与必要条件》教案苏教版选修
高中数学《命题及其关系-充分条件与必要条件》教案苏教版选修一、教学目标：1. 让学生理解充分条件和必要条件的概念，掌握判断充分条件和必要条件的方法。
2. 培养学生运用充分条件和必要条件分析问题、解决问题的能力。
3. 帮助学生建立充分条件和必要条件之间的联系，理解它们在数学论证中的应用。
二、教学内容：1. 充分条件和必要条件的定义。
2. 判断充分条件和必要条件的方法。
3. 充分条件和必要条件与数学论证的关系。
三、教学重点与难点：重点：充分条件和必要条件的定义及判断方法。
难点：充分条件和必要条件在数学论证中的应用。
四、教学过程：1. 导入：通过生活实例引入充分条件和必要条件的概念。
2. 新课讲解：讲解充分条件和必要条件的定义，举例说明判断方法。
3. 课堂练习：让学生运用充分条件和必要条件判断给出的命题。
4. 案例分析：分析充分条件和必要条件在数学论证中的应用。
5. 总结提升：总结本节课的主要内容，强调充分条件和必要条件的重要性。
五、课后作业：1. 复习本节课的内容，理解充分条件和必要条件的概念及判断方法。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
3. 思考充分条件和必要条件在实际问题中的应用，准备下一节课的分享。
六、教学策略：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过实例发现充分条件和必要条件的规律。
2. 利用逻辑推理和反证法，让学生在实践中掌握充分条件和必要条件的判断方法。
3. 设计具有针对性的练习题，及时巩固所学知识，提高学生的应用能力。
4. 组织小组讨论，鼓励学生分享自己的思路和经验，培养学生的合作意识。
七、教学准备：1. 准备相关的生活实例和数学案例，用于引导学生理解和应用充分条件和必要条件。
2. 设计课后练习题，包括基础题和拓展题，以满足不同层次学生的学习需求。
3. 准备教学PPT，用于辅助讲解和展示教学内容。
八、教学评价：1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，以及小组讨论的表现。
高三数学一轮复习精品教案2：1.3充分条件与必要条件教学设计
第三节充分条件与必要条件考纲传真1.理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．2．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系：(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．(3)如果pD/⇒q，且qD/⇒p，则p是q的既不充分又不必要条件．1．(人教A版教材习题改编)下列命题正确的是()①“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；②“|a|＞|b|”是“a2＞b2”的必要条件；③“a ＞b ”是“a ＋c ＞b ＋c ”的充要条件； ④“a ＞b ”是“ac 2＞bc 2”的充要条件．A ．②④B ．②③C ．②③④D ．③④『解析』 由于|a |＞|b |⇔a 2＞b 2，a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ，故②③正确．由于a ＞bD /⇒a 2＞b 2，且a 2＞b 2D /⇒a ＞b ，故①错；当c 2＝0时，a ＞bD /⇒ac 2＞bc 2，故④错．『答案』 B2．已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是( ) A ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2＜3 B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2＜3 C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3 D ．若a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝3『解析』 命题“若p ，则q ”的否命题是“若綈p ，则綈q ”，将条件与结论进行否定． ∴否命题是：若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2＜3. 『答案』 A3．(2012·湖南高考)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4『解析』 由命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的逆否命题是：若tan α≠1，则α≠π4.『答案』 C4．命题“若a ＞－3，则a ＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4『解析』 原命题正确，从而其逆否命题正确；其逆命题为“若a ＞－6，则a ＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题，故选B.『答案』 B5．(2012·天津高考)设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件『解析』 若φ＝0，则f (x )＝cos x 是偶函数，但是若f (x )＝cos(x ＋φ)是偶函数，则φ＝π也成立．故“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的充分而不必要条件．『答案』 A四种命题及其关系(1)命题p：“若a≥b，则a＋b＞2 012且a＞－b”的逆否命题是()A．若a＋b≤2 012且a≤－b，则a＜bB．若a＋b≤2 012且a≤－b，则a＞bC．若a＋b≤2 012或a≤－b，则a＜bD．若a＋b≤2 012或a≤－b，则a≤b(2)下列命题中为真命题的是()A．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题B．命题“x＞1，则x2＞1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2＞0，则x＞1”的逆否命题『思路点拨』(1)直接根据逆否命题的定义写出，但应注意“且”的否定是“或”．(2)分清命题的条件与结论，写出原命题的逆命题、否命题后再判断真假．『尝试解答』(1)“且”的否定是“或”，根据逆否命题的定义知，逆否命题为“若a＋b≤2 012或a≤－b，则a＜b”，故选C.(2)A中逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”是真命题；B中否命题为“若x≤1，则x2≤1”是假命题；C中否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”是假命题；D中原命题是假命题，从而其逆否命题为假命题．『答案』(1)C(2)A,1．本例(1)中应注意“且”的否定是“或”，本例(2)中可利用原命题与逆否命题同真假来判断．2．(1)在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再考查每个命题的条件与结论之间的关系．(2)当一个命题有大前提而需写出其他三种命题时，必须保留大前提不变．3．判定命题为真，必须推理证明；若说明为假，只需举出一个反例．互为逆否命题是等价命题，根据需要，可相互转化．(1)命题“若x 、y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( )A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数(2)(2013·启东模拟)已知命题p ：若a ＞0，则方程ax 2＋2x ＝0有解，则其原命题、否命题、逆命题及逆否命题中真命题的个数为________．『解析』 (1)“x ＋y 是偶数”的否定为“x ＋y 不是偶数”，“x ，y 都是偶数”的否定为“x ，y 不都是偶数”．因此其逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”．故选C.(2)命题p 是真命题，从而其逆否命题也是真命题；命题p 的逆命题是“若方程ax 2＋2x ＝0有解，则a ＞0”是假命题， 从而命题p 的否命题也是假命题，故真命题的个数为2. 『答案』 (1)C (2)2充分条件与必要条件的判定(1)(2013·郑州模拟)已知条件p ：(1－x )(x ＋1)＞0，条件q ：lg(1＋x ＋1－x 2)有意义，则綈p 是綈q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2013·泰安模拟)设集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，则B 是A 的真子集的一个充分不必要条件是________．『思路点拨』 (1)把条件和结论转化为x 的取值范围，通过集合间的关系来判断． (2)根据BA 可求m 的值，取其中的一个m 值即可．『尝试解答』 (1)由(1－x )(x ＋1)＞0得－1＜x ＜1， 即条件p ：－1＜x ＜1；由⎩⎨⎧1＋x ≥0，1－x 2≥0，1＋x ＋1－x 2＞0得－1＜x ≤1， 即条件q ：－1＜x ≤1；从而綈p ：x ≤－1或x ≥1，綈q ：x ≤－1或x ＞1，由于{x |x ≤－1或x ＞1}{x |x ≤－1或x ≥1}，故綈p 是綈q 的必要不充分条件． (2)A ＝{－3，2}，当B ＝∅时，BA ，此时m ＝0，当B ≠∅时，B ＝{－1m }，则－1m ＝－3或－1m＝2，∴m ＝13或m ＝－12故B 是A 的真子集的一个充分不必要条件是m ＝0(答案不唯一)．『答案』 (1)B (2)m ＝0(答案不唯一),充分、必要条件的判断方法．(1)命题判断法：通过判断p ⇒q 与q ⇒p 是否成立确定p 是q 的什么条件．(2)集合判断法：建立命题p ，q 相应的集合p ：A ＝{x |p (x )成立}，q ：B ＝{x |q (x )成立}，那么从集合的观点看，①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，若A B ，则p 是q 的充分不必要条件； ②若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件，若BA ，则p 是q 的必要不充分条件；③若A ⊆B 且B ⊆A ，即A ＝B ，则p 是q 的充要条件．下面四个条件中，使a ＞b 成立的充分而不必要的条件是( )A ．a ＞b ＋1B ．a ＞b －1C ．a 2＞b 2D ．a 3＞b 3『解析』 由a ＞b ＋1，且b ＋1＞b ，得a ＞b ；反之不成立．故选A. 『答案』 A充分条件、必要条件的应用(2013·大同模拟)设命题p ：2x 2－3x ＋1≤0；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．『思路点拨』 先解不等式把命题p 、q 具体化，再由互为逆否命题的等价性确定p 、q 之间的关系，最后根据集合的关系列不等式求解．『尝试解答』 由2x 2－3x ＋1≤0得12≤x ≤1，由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0得a ≤x ≤a ＋1，由綈p 是綈q 的必要不充分条件知，p 是q 的充分不必要条件，即{x |12≤x ≤1}{x |a ≤x ≤a ＋1}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12a ＋1≥1∴0≤a ≤12.『答案』 『0，12』,1．本题也可先求出綈p ，綈q ，再根据綈p 、綈q 之间的关系，确定集合间的关系求解．2．解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．3．注意利用转化的方法理解充分必要条件：若綈p 是綈q 的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p 是q 的必要不充分(充分不必要、充要)条件．(2013·苏北四市模拟)已知命题p ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －10≤0，命题q ：1－m ≤x ≤1＋m ，m＞0，若q 是p 的必要而不充分条件，则m 的取值范围为________．『解析』 命题p ：－2≤x ≤10，由q 是p 的必要不充分条件知， {x |－2≤x ≤10}{x |1－m ≤x ≤1＋m }， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞01－m ≤－21＋m ＞10或⎩⎪⎨⎪⎧m ＞01－m ＜－21＋m ≥10， ∴m ≥9，即m 的取值范围是『9，＋∞)． 『答案』 『9，＋∞)一个区别_“A 是B 的充分不必要条件”中，A 是条件，B 是结论；“A 的充分不必要条件是B ”中，B 是条件，A 是结论．在进行充分、必要条件的判断中，要注意这两种说法的区别．两条规律1.逆命题与否命题互为逆否命题； 2．互为逆否命题的两个命题同真假． 三种方法充分条件、必要条件的判断方法1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p⇒q与綈q⇒綈p，q⇒p与綈p⇒綈q，p⇔q与綈q⇔綈p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B 的充要条件．从近两年高考命题来看，本节多是对充要条件的考查，少数涉及到四种命题及其真假判断，题型以客观题为主，属中、低档题，内容以数学概念、几何定理、函数或不等式的性质为载体，主要考查逻辑推理能力．常见错误是充要条件的两种不同的叙述方式不清致误．易错辨析之一两种不同的叙述方式不清致误(2012·山东高考)设a＞0且a≠1，则“函数f(x)＝a x在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件『错解』“函数f(x)＝a x在R上是减函数”的充要条件是p：0＜a＜1.因为g′(x)＝3(2－a)x2，而x2≥0，又因为a＞0且a≠1，所以“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充要条件是0＜a＜2且a≠1.故“函数f(x)＝a x在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的必要不充分条件，故选B.『答案』 B错因分析：(1)错选B，究其原因是将“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”混淆，导致颠倒充分性与必要性．(2)不会用集合法判断充要条件．防范措施：(1)在判断充要条件的问题中，“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”这两种叙述的含义是不同的，“p的一个充分不必要条件是q”等价于“q是p的充分不必要条件”，解决此类问题时应先将问题转化为第一种基本的叙述方式，然后再进行判断．(2)设p，q对应的集合分别为A，B，则p，q之间的关系可转化为相应的两个集合之间的关系，“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”为真时，a 的取值集合A ＝(0，1)；“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”为真时，a 的取值集合B ＝(0，1)∪(1，2)．显然AB ，故p 是q 的充分不必要条件．『正解』 “函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”的充要条件是p ：0＜a ＜1.因为g ′(x )＝3(2－a )x 2，而x 2≥0，所以“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充要条件是2－a ＞0，即a ＜2.又因为a ＞0且a ≠1，所以“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充要条件是q ：0＜a ＜2且a ≠1.显然p ⇒q ，但qD /⇒p ，所以p 是q 的充分不必要条件，即“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件，故选A.『答案』 A1．(2012·北京高考)设a ，b ∈R .“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件『解析』 当a ＝0，且b ＝0时，a ＋b i 不是纯虚数；若a ＋b i 是纯虚数，则a ＝0. 故“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的必要而不充分条件． 『答案』 B2．(2013·西安模拟)设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________．『解析』 ∵x 2－4x ＋n ＝0有整数根， ∴x ＝4±16－4n 2＝2±4－n ，∴4－n 为某个整数的平方且4－n ≥0，∴n ＝3或n ＝4. 当n ＝3时，x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3； 当n ＝4时，x 2－4x ＋4＝0，得x ＝2. ∴n ＝3或n ＝4. 『答案』 3或4。
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p q 命题及其关系,充分条件,必要条件 一、 知识梳理：（阅读教材选修1-1第2页—第13页）
1、 四种命题
（1）、命题是可以 可以判断真假的语句 ，具有 “若P,则q 的形式；
（2）、一般地用P 或q 分别表示命题的条件或结论,用 或 分别表示P 和q 的否定,于是四种命题的
形式就是:
原命题:
逆命题:
否命题:
逆否命题:
(3)、四种命题的关系：
两个互为逆否命题的真假是相同的，原命题的逆命题与原命题的否命题同真同假。
2、 充分条件、必要条件与充要条件
（1）“若p ，则q ”为真命题，记p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。
（2）如果既有p q ⇒，又有q p ⇒，记作p q ⇔，则p 是q 的充要条件，q 也是p 的充要条件。
3、 判断充分性与必要性的方法：
（一）、定义法
（1）、 且q ，则p 是q 的 充分不必要条件 ；
（2）、 ，则p 是q 的 必要不充分条件 ；
（3）、 ，则p 是q 的 既不充分也不必要条件 ；
（4）、 且 ，则p 是q 的 充要条件 ；
（二）、集合法：利用集合间的包含关系判断命题之间的充要关系，设满足条件p 的元素构成集合A ，满足条件q 的元素构成集合B ；
（1）、若A ，则p 是q 的 充分条件 若 ，则p 是q 的必要条件;
（2）、若A ，则p 是q 的充要条件 ；
（3）、若A ，且A ，则p 是q 的充分不必要条件；q 是p 的必要不充分条件；
q p （4）、若A ，且，则p 是q 的既不充分也不必要条件 ；
二、题型探究
【探究一】：四种命题的关系与命题真假的判断
例1:[2014·陕西卷] 原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(B )
A ．真，假，真
B ．假，假，真
C ．真，真，假
D ．假，假，假
例2：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断其真假。
（1）等底等高的两个三角形是全等三角形；
（2）若ab=0，则a=0或b=0。
解析：
（1）逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高。
真命题；
否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等。
真命题；
逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等或不等高。
假命题。
（2）逆命题：若a=0或b=0，则ab=0。
真命题；
否命题：若ab ≠0,则a ≠0且b ≠0.真命题；
逆否命题：若a ≠0且b ≠0，则ab ≠0。
真命题。
例3：命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是(B)
A.若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数
B.若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数
C.若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数
D.若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数
解析:否命题是既否定题设又否定结论.因此否命题应为“若函数f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数.”答案:B
【探究二】:充分必要条件的判定
例4：[2014上海15] 设,a b ∈R ，则“+4a b >”是“2a >且2b >”的（ ）.
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分又非必要条件
【解析】B ；由“2a >且2b >”可以推出“+4a b >”；由“+4a b >”推不出“2a >且2b >”，故选B.
【考点】充分条件、必要条件、充分必要条件
【探究三】：利用充分、必要条件解决待定系数问题
例5：已知p ：,q:, 若 是 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围。
解:P:-2; q:1-mm+1 由题意可知：P 是q 的充分不必要条件，所以
所以，{m|3<m<9}
三、方法提升
1、判断命题的真假要以真值表为依据，原命题与其逆否命题为等价命题，逆命题与否命题是同真同假，
2、判断条件时注意事项：
（1）条件已知证明结论成立是充分性，结论已知证明条件成立是必要性；
（2）要善于将文字语言转化成符号语言进行推理，要注意等价命题的应用。
四、思想感悟：。
五、课后作业：
一､选择题:
1. 【15年安徽文科】设p ：x<3，q ：-1<x<3，则p 是q 成立的( )
（A ）充分必要条件 （B ）充分不必要条件
（C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
试题分析：∵3: x p ，31: x q -∴p q ⇒，但p ⇒/q ，∴p 是q 成立的必要不充分条件，故选
C.
考点：充分必要条件的判断.
2. （15年陕西文科）“sin cos αα=”是“cos20α=”的（ ）
A 充分不必要条件
B 必要不充分条件
C 充分必要条件
D 既不充分也不必要
【答案】A
3. 【2015高考新课标1，文1】已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B 中的元素个数为( )
（A ） 5 （B ）4 （C ）3 （D ）2
【答案】D
【解析】
试题分析：由条件知，当n=2时，3n+2=8，当n=4时，3n+2=14，故A ∩B={8,14},故选D.
考点：集合运算
4.x 2<4的必要不充分条件是(A)
A.-2≤x ≤2
B.-2<x<0
C.0<x ≤2
D.1<x<3 解析:x 2<4即为-2<x<2,因为-2<x<2⇒-2≤x≤2,而-2≤x≤2不能推出-2<x<2,所以x 2<4的必要不充分条件是-2≤x≤2.选A.
5、【2015高考重庆，文2】“x 1”是“2x 210x ”的（ ）
(A) 充要条件 (B) 充分不必要条件
(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由“x 1 ”显然能推出“2x 210x ”，故条件是充分的，又由“2x 210x ”可得10)1(2=⇒=-x x ，所以条件也是必要的，故选A.
【考点定位】充要条件.
6、【2015高考天津，文4】设x R ,则“12x ”是“|2|1x ”的（ ）
(A) 充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】由2112113x x x -<⇔-<-<⇔<<,可知“12x ”是“|2|1x ”的充分而不必要条
件,故选A.
【考点定位】本题主要考查不等式解法及充分条件与必要条件.
7. 【2015高考四川，文4】设a ，b 为正实数，则“a ＞b ＞1”是“log 2a ＞log 2b ＞0”的( )
(A )充要条件 (B )充分不必要条件
(C )必要不充分条件 (D )既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】a ＞b ＞1时，有log 2a ＞log 2b ＞0成立，反之当log 2a ＞log 2b ＞0成立时，a ＞b ＞1也正确.选A
【考点定位】本题考查对数函数的概念和性质、充要条件等基本概念，考查学生综合运用数学知识和方法解决问题的能力.
8.（2013年高考（浙江卷））已知函数f (x )=A cos(ωx +φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ=π2
”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【命题意图】本题考查简易逻辑以及函数的奇偶性，属于中档题
【答案解析】B 由f (x )是奇函数可知f (0)=0，即cos φ=0，解出φ=π2
+k π，k ∈Z ，所以选项B 正确 9. 【2014安徽】“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的（B ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
10. 【2014北京】设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（D ）
.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件
.C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件
11．[2014·福建卷] 6.直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的
面积为12
”的(A) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件
12. 【2015高考浙江，文3】设a ，b 是实数，则“0a b +>”是“0ab >”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】本题采用特殊值法：当3,1a b ==-时，0a b +>，但0ab <，故是不充分条件；当3,1a b =-=-时，0ab >，但0a b +<，故是不必要条件.所以“0a b +>”是“0ab >”的即不充分也不必要条件.故选D.
【考点定位】1.充分条件、必要条件；。