第1章利息的基本概念0

合集下载

(荐)保险事务专业保险精算习题及答案(财经类)保险事务)

2014年保险事务专业保险精算习题及答案第一章：利息的基本概念练习题1．已知()2a t at b =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。

2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。

(2)假设()()100 1.1nA n =⨯，试确定 135,,i i i 。

3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。

4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 110%i =，第2年的利率为28%i =，第3年的利率为 36%i =，求该笔投资的原始金额。

5．确定10000元在第3年年末的积累值:(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。

(2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。

6．设m ＞1，按从大到小的次序排列 ()222x x v b q e p +与δ。

7．如果0.01t t δ=，求10 000元在第12年年末的积累值。

8．已知第1年的实际利率为10%，第2年的实际贴现率为8%，第3年的每季度计息的年名义利率为6%，第4年的每半年计息的年名义贴现率为5%，求一常数实际利率，使它等价于这4年的投资利率。

9．基金A 以每月计息一次的年名义利率12%积累，基金B 以利息强度6t tδ=积累，在时刻t (t=0)，两笔基金存入的款项相同，试确定两基金金额相等的下一时刻。

10. 基金X 中的投资以利息强度0.010.1t t δ=+(0≤t ≤20), 基金Y 中的投资以年实际利率i 积累；现分别投资1元，则基金X 和基金Y 在第20年年末的积累值相等，求第3年年末基金Y 的积累值。

11. 某人1999年初借款3万元，按每年计息3次的年名义利率6%投资，到2004年末的积累值为（）万元。

A. 7.19B. 4.04C. 3.31D. 5.2112.甲向银行借款1万元，每年计息两次的名义利率为6%，甲第2年末还款4000元，则此次还款后所余本金部分为（）元。

利息理论教案02

5、复利与单利的区别 (1)若利率水平为一常数,那么单利条件下的实际利率是时间的递减函数;.而复利条件下的实际利率与时间无关,仍然等于常数的复利的利率.
(2)当0 t 1 , 有1 it (1 i )t 时当t=1 , 有1 it (1 i )t 时当t 1 , 有1 it (1 i )t 时
t t
练习:某人同他人签订一张一年期1000元借据,并立即收到940元,在第8个月末,该人提前还款392元,并要求修改借据,问在单贴现假设下, 新借据的面值为多少?
A. 540
B. 560
C. 580
D.600
E.620
第六节名义利率与名义贴现率
一、实际利率、名义利率与实际贴现率、名义贴现率的概念
d I ( 1 ) A( 1 ) A( 1 ) A(0) A( 1 ) a( 1 ) a (0) a( 1 ) 1 i 1 1 i i 1 i
三、实际利率(i)与实际贴现率(d)的关系
d (1)i 1 d (2) d iv 1 v (3) a 1 (t ) v t (1 d ) t (4) a (t ) v t (1 d ) t (5)i d id
第三节
一、复利的定义
复利
复利是指前期赚取的利息在后期会赚取附加利息.这就意味着前期的利息将自动进行再投资.
二、复利累积函数的性质
1、复利累积函数: a(t ) (1 i)t (t为非负数) 2、1元本金经过时期(t+s)后的累积值,等于将1元本金经过时期t的累积值再投资s期所形成的累积值.
a(t ) 1 it
(t为非负数)
3、1元本金经过时期t+s赚取的利息,等于它经过时期t赚取的利息加上它经过时期s赚取的利息. 4、单利条件下的累积函数的变化率为一常数. 请同学们思考:这一常数为什么﹖

1-1利息基本函数

(1) (1 i(m) )m (1 d( p) )p
m
p
(2) i(m) d(m) i(m) d(m) mm mm
.
33
例11：有以下两种5年期的投资选择， A：年利率7%，每半年计息一次； B：年利率7.05% 每年计息一次；
比较两种选择的收益。
解：法一：比较等价的年实利率
i(2 ) 7 % iA ( 1 , 7 2 % )2 1 7 .12 % i 2 B 7 3 .0% 5
a(t)= A(t) / A(0) ，t≥0
.
7
且总量函数A(t)在时间[t1,t2]内的变化量称为利息,记为It1,t2,则
I t1,t2 =A(t1)-A(t2) 利率——一定的货币量在一段时间计息期内的
变化量利息与期初货币量的比值，即
利率 = 利息 / 期初本金
这里定义的利率被称为实利率；通常计息期为
.
9
三、单利和复利
在实际金融活动中通常用到的两种计息方式分别为单利和复利
假设在期初投资1个单位的本金，在每一
个时期中都得到完全相同的利息金额，即利息
为常数
a(t) = 1+ i t，t≥0
这种类型的利息产生方式称为单利，i 称为单
利率。
.
10
说明：
(1)相应单利的累积函数为时间的线性函数 (2)常数的单利率并不意味着常数的实利率
.
4
二、累积函数
本金——初始投资的资本金额累积值——过一定时期后收到的总金额利息——累积值与本金之间的金额差值累积函数——假设在初始时刻0投资了1个单
位的本金则在时刻t的累积值，记为a(t)
.
5
累积函数a(t)是关于时间的函数,且满足 (1) a(0)=1 (2)a(t)关于时间严格单调递增,即当t1<t2时,

寿险精算原理第一章

4、实际利率、名义利率、实际贴现率、名义贴现率、利息强度和折现因子之间的等价关系（单位时间为1年的情况下）：
m
m
i 1 m

d 1 i 1 v 1 d p 1 1
p

p
e

例3、已知年度实际利率为8%，求等价的利息强度。例4、一笔业务按利息强度6%计息，求投资500元经8年的积累值。
a
a
n

1 i

n
dn
n a
a
n 1
1 i
n
1 i
n
n 1
n
1 i

i 1 i
※ d n 与 n无关，为常数，通常把这种情况下的贴现率叫做复贴现率。
②与实际贴现率 d 等价的实际利率为 1 d 。如果某人以实际贴现率 d 借款1元，则实际上的本金为1 d ，而利息（贴现，意味着期初支付）金额为 d ，则实际利率为：
例2、某银行以单利计息，年息为2%，某人存入5000元，问5年后的积累值是多少？

例3、如果例2中银行以复利计息，其他条件不变，问5年后的积累值是多少？
1.1.3 实际贴现率
某一个度量期的实际贴现率，是指该度量期内得到的利息金额与此度量期期末积累值金额之比。实际利率通常用字母 d 表示。从投资日算起第 n 个度量期的实际贴侠率用 d n 表示，则有
In a
n
a
n
n 1
1 i a
1 i n
n

1 i
n 1
i 1 i
1

保险精算第二版复习ppt

死亡即刻赔付的含义
死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内的死亡，保险公司将在死亡事件发生之后，立刻给予保险赔付。它是在实际应用场合，保险公司通常采用的理赔方式。
4.1.1 精算现值的概念
精算现值即趸缴纯保费，未来保险金给付在签单时的现值，即一次性缴清的纯保费，它是以预定利率和预定死亡率为基础计算的。
续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。
分布函数 t qx ：
t qx Pr(T (X ) t) pr(x X x t X x) s(x) s(x t) s(x)
剩余寿命的生存函数 t px ：
t px Pr(T (x) t) Pr(X x t X t) s(x t) s(x)
vt , t n
1 , t n bt 0 , t n
zt
btvt
0
,
tn
符号：
1
A x:n
厘定：
1
n
Ax:n E(zt ) 0 zt fT (t)dt
n 0
vt
t
px xt dt
en t
0
t
px xt dt
方差公式：
Var(zt ) E(zt2 ) E(zt )2
0
e2 t
fT
(t)dt
E(zt
)2
记
2 Ax
0
e2 t
fT
(t )dt
所以方差等价为
Var(zt )2Ax ( Ax )2
4.1.4 延期终身寿险
定义
保险人对被保险人在投保m年后发生的保险责任范围内的死亡均给付保险金的险种。
假定: (x)岁的人，保额1元，延期m年的终身寿险基本函数关系

利息理论第一章——利息度量

n
n
lim
x0
exp
ln(1 x
ix)
lim
x0
exp
1
i
ix
ei
24
1.4 复利 (compound interest)
单利：本金保持不变。复利：前期的利息收入计入下一期的本金，即 “利滚利”。例：
假设年初投资1000元，年利率为5％，则年末可获利50元，因此在年末有1050元可以用来投资。
21
（1）精确天数为238，在“实际/365”规则下，t = 238/365，利息金额为：
10000 0.08 238 521.6 365
（2）在“实际/360”规则下，t = 238/360，利息金额为：
10000 0.08 238 528.9 360
（3）在“30/360”规则下，两个日期之间的天数为：
累积函数：时间零点的1元在时间 t 的累积值, 记为a (t) 。性质：
a (0) = 1； a (t) 通常是时间的增函数；当利息是连续产生时，a (t) 是时间的连续函数。
注：一般假设利息是连续产生的。
7
例：
常见的几个积累函数（1）常数：a (t) = 1 （2）线性：a (t) = 1 + 0.1 t （3）指数：a (t) = (1+0.1) t
(1 i)t
t 年累积因子：t-year accumulation factor
34
实际贴现率：d
(effective rate of discount with compound interest)
实际贴现率等于一个时期的利息收入与期末累积值之比：
实际贴现率(d
)

利息理论第一章 1 优质课件

注意：积累和贴现是相反的过程。
a(t)是1单位的本金在t个周期末的积累值，而a1(t) 是为使在t个周期期末的积累值为1，而在开始时投资的本金金额。
23
例题1-5
已知年实际利率为8%，求4年后支付10000元的现值。
解：由于i=8%，故
a(4)=(1+8%) 4 从而现值
pv=10000 a1(4)=
27
（2）实际利率是对期末支付的利息的度量，而实际贴现率是对期初支付的利息的度量。
例:（1）张三到一家银行去，以年实际利率6% 向银行借100元，为期1年，则张三的借款流程如下： 0时刻张三收到100元，。 1时刻张三支付100+100×6%=106元。
（2）张三到一家银行去，以年实际贴现率6% 向银行借款100元，为期1年，则张三的借款流程如下:
（2）从积累形式来看
在单利下，上一个度量期上所产生的利息并不作为
投资本金在以后的时期再赚取利息。
16
在复利下，在任何时刻，本金和到该时刻为止所得到的利息，总是用于投资以赚取更多的利息。
（3）单利与复利在计算上的区别在常数的单利i下，积累函数a(t)=1+it；在常数的复利i下积累函数a*(t)=(1+i)t。
28
0时刻银行预收6%（即6元）的利息，而仅付给张三94元；1年后，张三支付给银行100元。分析：从上面两个例子来看，实际利率是对期末支付利息的度量，而实际贴现率是对期初支付利息的度量。即实际利率说明了资本在期末获得利息的一种能力。而实际贴现率说明了资本在期初获得利息的一种能力。
29
25
a(1) 1 i，a1(1) 1 。根据实际贴现率的定义，知 1 i

苏教版六年级下册数学利息的计算方法

苏教版六年级下册数学利息的计算方法
一、利息的基本概念
利息是借款人因使用借入货币而支付给贷款人的报酬。

它是借款人使用资金所付出的代价。

利息的计算基于本金、利率和时间三个因素。

二、利息的计算公式
利息的计算公式为：I = P ×r ×t
其中，I表示利息，P表示本金，r表示利率，t表示时间。

三、利息的种类
1. 简单利息：在一定时期内，只按本金计算利息，不计算复利。

2. 复利：在一定时期内，除按本金计算利息外，还要将已产生的利息并入本金再计利息。

四、实际利率的计算
实际利率是指考虑到复利影响后的年化收益率。

实际利率的计算公式为：
(1 + r/n)^n - 1
其中，r表示名义年利率，n表示每年计息次数。

五、税收与利息
利息收入需要缴纳个人所得税，税率根据国家规定执行。

在计算税后利息时，需要将利息收入乘以税率后再进行计算。

六、综合实例
假设某储户在银行存入本金10000元，年利率为3%，存款期限为1年，不考虑税收因素，计算简单利息和复利下的利息收益。

1. 简单利息：
I = P ×r ×t = 10000 ×3% ×1 = 300元。

2. 复利：
本金和利息的总和为：P ×(1 + r/n)^n = 10000 ×(1 + 3%/12)^12 ≈10309.32元。

税后利息收益为：10309.32 - 10000 = 309.32元。

利息理论

1 解：
20001 0.05 . 20001 0.05 .
0.75
例1 若复利单利)的年利率为％，试计算 ( 5 2000 本金：元
207454元 . 223206元 .
2
2.25
20001 0.05 0.75 2075 元 . 20001 0.05 2.25 2225 元 .
at (1 i )t ln( i )t ta0 1
t ln( i ) ta0 1 ln( i ) a0 1 lnat t ln( i ) 1
at (1 i )t
19个月后的累积值 22年零3个月后的累积值
10 11.11% 实际利率：i 90
注 : 实际利率大于实际贴现率
a t s a ( t ).a ( s )(t , s 0)
下求复利条件下累积函at 的变化率：数
a t t a t at l i m t 0 t a t .a t a t lim t 0 t t . ti0 at 1 at . ti0 at a0 a l m l m t t
t s i ti si
其中： s是任意的正实数 t,
t s i ti si 1 t s i (1 ti ) (1 si ) 1
at s a(t ) a( s) 1 下求单利条件下累积函 at 的变化率：数
利息的来源与本质
利息－资金所有者由于借出资金而取得的报酬，它来自生产者使用该笔资金发挥营运职能而形成的利润的一部分．
货币利息理论－利息是借钱和出售证券的成本，同时又是贷款和购买证券的收益．中国学者的看法－利息来源于国民收入或社会财富的增值部分．

第一章利息理论

30
p P-300
P+336 p
0
1.

336 i p
p 2800 300 i
p 300
1

2.

Байду номын сангаас
336 p 336 300
d
d

p

2800
p
31
3.pi 336,pd=300 i d 336 300 1 i i 0.12 p 2800
4.i d id (产生36元利息差的原因是本金少了300元) 336-300=300i i=0.12 Q 0.12p 336 p=2800
32
1.2名义利率与名义贴现率
名义利率：
（1）一个度量周期内结转m次利息的利率
（2）度量的是资本在一个小区间
1 内的实际利率
m
（3）必须于一个度量周期内所包含的小区间的个数相
12
保险精算的基本原理
➢ 大数法则：即对于大量的随机现象
（事件），由于偶然性相互抵消所呈现的必然数量规律的一系列定理的统称。常见的有三个大数法则： ✓切比雪夫（Chehyshev）大数法则 ✓贝努里（Bermulli）大数法则 ✓泊松（Poisson）大数法则
13
教材
李秀芳，傅安平，王静龙《保险精算》，中国人民大学出版社（教育部，保监会推荐教材）
➢ 进入20世纪以来，保险精算学得到了长足发展，精算技术发生了根本的变化，精算水平显著提高，精算在保险业务中具有核心作用。
5
保险精算的产生与发展
保险精算是在上世纪80年未90年代初才开始了入我国的，虽然起步较晚，但在开始引进时就与国际接轨，通过“派出去，请进来”的直接学习方式，直接使用国际上最权威的原版教材，直接吸收国际上最新成果，直接与国外学者进行交流。

徐景峰《金融数学》1-4章习题解答

《利息理论》习题详解第一章利息的基本概念1.解：（1）)()0()(t a A t A =又()25A t t =+(0)5()2()1(0)55A A t a t t A ∴===++ （2）3(3)(2)11(92 2.318I A A =-=== （3）4(4)(3)0.178(3)A A i A -===2.解：15545(4)(3)(1)100(10.04)0.05 5.2nn n I i A I A i A i i -=∴==+=+⨯=3.证明：（1）123(1)()(2)(1)(3)(2)()(1)m m m m k I A m A m I A m A m I A m A m I A m k A m k ++++=+-=+-+=+-+=+-+-123123()()()()()m m m m k m m m n I I I I A m k A m n m k A n A m I I I I m n +++++++∴++++=+-=+-=++++<令有（2）()(1)()1(1)(1)n A n A n A n i A n A n --==---()1(1)()(1)(1)n n A n i A n A n i A n ∴+=-∴=+-4.证明：（1）112123123(1)(0)(0)(2)(0)(0)(0)(3)(0)(0)(0)(0)()(0)(0)(0)(0)(0)k nk i a a a i a a a i a i a a a i a i a i a n a a i a i a i a i ∴=+=++=+++=+++++第期的单利利率是又(0)1a =123123()1()(0)()1nna n i i i i a n a a n i i i i ∴=+++++∴-=-=++++（2）由于第5题结论成立，当取0m =时有12()(0)n A n A I I I -=+++5.解：（1）以单利积累计算1205003i =⨯1200.085003i ∴==⨯800(10.085)1120∴+⨯=（2）以复利积累计算3120500500(1)i +=+0.074337i ∴=5800(10.074337)1144.97∴+=6.解：设原始金额为(0)A 有(0)(10.1)(10.08)(10.06)1000A +++=解得 (0)794.1A =7.证明：设利率是i ，则n 个时期前的1元钱的当前值为(1)ni +，n 个时期后的1元钱的当前值为1(1)ni +又22211[(1)](1)20(1)(1)n n n ni i i i +-=++-≥++，当且仅当221(1)(1)1(1)n n n i i i +=⇒+=+，0i =即或者n=0时等号成立。

2020年春季中国精算师《金融数学》过关必做1000题（含历年真题）

目　录第一篇　利息理论第1章　利息的基本概念第2章　年　金第3章　收益率第4章　债务偿还第5章　债券及其定价理论第二篇　利率期限结构与随机利率模型第6章　利率期限结构理论第7章　随机利率模型第三篇　金融衍生工具定价理论第8章　金融衍生工具介绍第9章　金融衍生工具定价理论第四篇　投资组合理论第10章　投资组合理论第11章　CAPM和APT附　录　2011年秋季中国精算师考试《金融数学》真题及详解第一篇　利息理论第1章　利息的基本概念单项选择题（以下各小题所给出的5个选项中，只有一项最符合题目要求，请将正确选项的代码填入括号内）1．已知在未来三年中，银行第一年按计息两次的名义年利率10%计息，第二年按计息四次的名义年利率12%计息，第三年的实际年利率为6.5%。

某人为了在第三年末得到一笔10000元的款项，第一年年初需要存入银行（　）元。

[2011年秋季真题］A．7356B．7367C．7567D．7576E．7657【答案】C【解析】由名义年利率和实际年贴现因子的等价关系，可得：每年的贴现因子分别为，，。

因此，第三年末10000元的款项在第一年初的现值为：。

2．已知0时刻在基金A中投资1元到2t时的积累值为（3t＋1）元，在基金B中投资1元到3t时的积累值为元。

假设在T时基金B的利息强度为基金A的利息强度的两倍，则0时刻在基金中B投资1000元在5T时的积累值为（）元。

［2011年秋季真题］A．27567B．27657C．27667D．27676E．27687【答案】C【解析】由题得，0时刻在基金A中投资1元到t时的积累值为（1.5t＋1）元，即积累因子，利息强度在基金B中投资1元到3t时的积累值为元，因此在基金B中投资1元到t时的积累值为元，因此。

当时，即，解得，因此0时刻在基金中B投资1000元在5T时的积累值为元。

3．已知某基金的积累函数a（t）为三次函数，每三个月计息一次，第一季度每三个月计息一次的年名义利率为10%，第二季度每三个月计息一次的年名义利率为12%，第三季度每三个月计息一次的年名义利率为15.2%，则为（）。

利息理论第一章利息的基本概念

A′(t ) a′(t ) δt = = A(t ) a(t )
称 δ t 该投资在t时的利息强度，即 δ t 为利息在时刻t一该投资在t 为利息在时刻t 种度量，通过如上定义可将 δ 表示为如下形式：
t
d d δ t = ln A(t ) = ln a (t ) dt dt
对两边积分可得，
A(t ) ∫0 δ s ds = ∫0 d ln A(s) = ln A(s) | = ln A(0)
利息理论
绪论
利息是债务人（borrower）利息是债务人（borrower）对债权人（lender）因为资金被借用而牺牲了当前消费， lender）以及对其面对的机会成本的一种补偿。不同经济学以及货币银行学等课程讨论利息是如何形成的以及分析决定利息大小的具体因素，在本门课程中假定存在于债权人和债务人之间的利息是一种既定的事实，并在此基础上分析债权人和债务人之间的权利与义务的关系。
假如不是以年实际利率6%,而是以年实际贴现率假如不是以年实际利率6%,而是以年实际贴现率 6%向银行借款，为期一年，则银行将预收6% 6%向银行借款，为期一年，则银行将预收6% （即6元）的利息，仅付给张三94元。一年后，（即6元）的利息，仅付给张三94元。一年后，张三将还给银行100元。张三将还给银行100元。由此可见，实际利率和实际贴现率反映的是一个先后付息的问题。
就是只有本金生息，本金产生的利息并不积累生息。（2）如果单位投资在t时的积累值为：）如果单位投资在t a(t)=(1+i)t )=(1+i) 那么，则称该笔投资以每期复利i计息, 那么，则称该笔投资以每期复利i计息,并将这样产生的利息称为复利。实际上，复利就是指民间俗称的“利滚利”，即当其产生的利息计入本金，在下一期可以生息。

利息理论课后习题答案

第一章利息的基本概念1.)()0()(t a A t A =2.，11)0(=∴=b a 180)5(100=a 508)8()5(300=a a 3~5.用公式(1-4b)7~9.用公式（1-5）、（1-6）11.第三个月单利利息1%，复利利息23%)11(%)11(+−+12.1000)1)(1)(1(321=+++i i i k 14.nn nni i i i −−+⋅+>+++)1()1(2)1()1(16.用p.6公式17.用P.7最后两个公式19.用公式（1-26）20.(1)用公式（1-20）;(2)用公式（1-23）22.用公式（1-29）23.(1)用公式（1-32）;(2)用公式（1-34）及题6（2）结论24.用公式（1-32）25.44216%1(1)(110%)118%45%12i ⎛⎞+=++⎜⎟−⎝⎠⎛⎞−⎜⎟⎝⎠26.对于c)及d)，，，c)中，，δn e n a =)(1111)1(−=−=+==∴v di e a δ∴v ln −=δd)中，δ−−=ed 128.∫=tdxx e t a 0)()(δ29.；4411⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=+j i h e j =+131.（1）902天39.，两边同时求导，，类似t e tA dr +=∫10δ)1ln(0t dr tA +=∫∴δtt A +=11)(δ)(t B δ46.，10009200.081000d −==9202108.01(288)08.01(=×−+−x 第二章年金4.解：12010.087110.0870.08712160001000110.087121212A −−⎛⎞−+⎜⎟⎛⎞⎛⎞⎝⎠=+⋅++⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠5.解：()()()()22211111111(*)nnn nn i a x i xiii xi a y i i −−−−+==⇒+=−−+−−===将代入（*）1d i d=−7.解：100010001000011718…()51218100010.0839169.84s −+=&&8.解：100.1100.15000s Ra =&&&&9.解：100.1100.155000s Ra =&&&&14.解：永续年金每年支付R112n n Ra R a i ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠17.解：解得即正常还款次数为95次0.0081500100000m a =95.6m ≈解得95950.0081500(10.008)100000a f −++=965.74f =19.解：()()()(2)(2)(2)1055222105100020001700011171150i i i s s s i i i ⎛⎞−+=⎜⎟⎜⎟⎝⎠∴+++−++=令105()1715f t t t t =+−+0(1.03)(1.035)(1.03)1.03 1.035 1.03f f f i −−=−−(1.032)0.003186f =−23.解：，()4660.0411 1.04i a i −−−++40.04114i ⎛⎞+=+⎜⎟⎝⎠24.解：R 1.1025R 1.205R 01423得4321.05 1.1025 1.05 1.1025 1.05 1.205 1.0511000R R R R ×+++=2212.147R =25.解：()()()1211111nn nn n a i n i i i a iii −−−−∂−++−++=∴=∂其中通过公式（2-76）得到0.1020.116.8670.10.002n n n n i a a a i==∂−∴==∂L n29.解:7777111v a v i a iKi−=∴=−=−类似地，111811181111v ia iL v ia iM=−=−=−=−，从而71118(1)(1)1v v v iK iL iM =∴−−=−Q L K M i KL+−=31.解：(2)(12)(2)(12)(12)1112nn nnnv v i i aaa id i−−⎛⎞===+⎜⎟⎝⎠&&，32.解：()500lim 110000tn i n a i −→∞+=&&半半，()()122111111i i i d d−+==+⇒+=−−半半()1211i d −=−−半()1120ti i −+∴=半半36.解：()()()2020201195.36n n anv a i n i Ia ii−−+−+=∴=&&37.解：110123……1该永续年金现值为1i11123……6541该永续年金现值为：()()24111(2)i i i i−−++++=+L ∴所求年金现值为：113(2)(2)i i i i i i++=++39.解：()01ntkt v dt f g h−=−−∫11lim lim n n n n v f a δδ→∞→∞−===1(1)ng kn v δ=−⋅40.解：011()1tdrr a t e t+∫==+1001()ln(1)1nnn a a t dt dt n t−===++∫∫42.解：后五年等比()()()551051111000105011k i s s i i i k+⎛⎞−⎜⎟+⎝⎠−+×++−&&&&43.解：120567……10983…414684468111v v v v a a a i i i i i i i vd−+−+−+=+++=−L L 45.解：2300.015251.0215KsKa−=+&&&&46.解：1010120180180300300 1.03 1.03i i i iia a a a a −−++=月月新月新月月11x110000047.解：011()1tdrr a t e t+∫==+231414212111(0)(1)()(1)84.51v t a t dt t dt t−=−=−=+∫∫48.解：11tn t n v v a a δδ−−==，()001111144010%t n nnt n v v a dt dt n n a δδδδ⎛⎞−−==−=−=×=⎜⎟⎝⎠∫∫49.解：1）()11t n nt tt t atv Ia i==−=∑∑&&第三章收益率2.解：234000 1.120000.93382×−×=3.解：237000100040005500(0)v v v v v −−++=110.090.11.09 1.1i v i v ====时，；时，令(0)0v v i=⇒及7.解：81.516.510(1)11.995%x x i i ⋅⋅=+⇒=8.解：11100.250.751(1)1(1)1(1)100000150002000011000kkkdtdtdtt k t k t k e ee+−+−+−∫∫∫+−=解得：0.14117k =10.解：1234567810911111i 2i 3i 4i 5i5i5i5i5i5i本金利息560.0450.0461000 1.04550.04s i is −⎛⎞++⎜⎟⎝⎠13.解：50000068000060000500055000A B I ===−=，，29.78%Ii A B I=≈+−14.解：()11144320000112%5000180001112%196104B i −⎛⎞⎡⎤⎛⎞=×++×+−×+−×=⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦⎝⎠15.解：书后答案是，不知我对它对。

《利息理论》期末复习

基本年金图示
1 1 1 ---- 1 1 1 ----期末付永续年金
1 11
----
1 1 1 ----期初付永续年金
1 1 1 ---- 1 0 0 0 --- 期初付年金
1 1 1 ---- 1 0 0 --- 期末付年金
0 1 2 3 ------- n n+1 n+2---
基本年金公式总结
– 单贴现
a1(t) 1 dt
dn
d 1 (n 1)d
• 指数积累
– 复利 a(t) (1 i)t in i
– 复贴现 a1(t) (1 d )t dn d
利息度量三：利息转换频率不同
• 名义利率 i(m)
1
i(m) m
m
1 i
• 名义贴现率 d (m)
1
d (m) m
• 在其他条件相同的情况下，应优先选择净现值较大的项目进行投资。
收益率的存在性与唯一性
• 收益率唯一性判定定理一 (Descartes符号定理)
– 若整个投资期间，净现金流入只改变过一次符号，那么该项目的收益率唯一存在。
• 收益率唯一性判定定理二
– 整个投资期间未动用投资余额始终为正。
币值加权收益率
收益率法
• 收益率：使得净现金流入的现时值为零时的利
率。
n
V (0) vt Rt 0 t 0
• 用收益率进行投资决策时，当投资项目的收益
率大于或等于投资者要求的收益率时，该项目
是可行的，否则便不可行。
净现值法
• 净现值(net present value)：净现金流入的现值。
n
NPV (i) vt Rt t 0
未知时间问题

利息理论第一章

本课程以北美精算师协会考试课程2中利息理论部分的内容为主要线条，对其中基础部分进行了压缩，介绍利息的基本计算概念和方法，以及年金计算基本工具函数，这些内容是进入金融定量分析领域的基础。随后是金融计算和分析中的常用的两大类方法：投资收益率分析和现金流的本金利息分解过程。

从实务的角度看，金融学可以分为投资和融资两大部分，在金融市场中，大多数参与者及其进行的活动都可以归在这两类中。而其中尤以投资学中的计算问题为多。本课程在引进基本的现金流计算方法之后，对主要的投资工具：固定收益产品（债券为主）的计算问题进行了详细的介绍。
利息理论及其应用
福州大学管理学院财金系陈志军
课程简介

金融领域的许多计算问题具有共同的数学特征和模型，大量的计算和分析实践的基础是现金流分析和货币的时间价值（累积和贴现）计算。例如：银行的资产负债分析、融资成本和投资收益分析、金融市场产品的定价和保险精算分析等。本课程的基本目的：掌握基本的金融计算的概念和原则，同时对一些基础性的金融工具的进行现金流价值分析。

利息理论是北美精算师协会（Society of Actuaries, SoA）的准精算师（Associate-ship）资格考试中的经济金融课程的主要部分。北京大学金融系从1997-1998学年第一学期（1997年秋季）开始，将课程“利息理论与应用”作为金融系本科生的第一门专业基础课。

最后，用两章的篇幅介绍学生深入进行金融数学学习的准备知识：利率风险分析和随机模型。利率风险分析和管理是金融领域很重要的一个主题，已有一些现成的工具和算法；随机模型在金融风险分析，特别是衍生工具定价和套期保值技术中成为基本和必不可少的一部分，本课程只是介绍了最基本的工具和方法，希望对进入这个领域有一定的帮助。

利息知识点

利息知识点
定义：利息是货币在一定时期内的使用费，指货币持有者（债权人）因贷出货币或货币资本而从借款人（债务人）手中获得的报酬。

包括存款利息、贷款利息和各种债券发生的利息。

计算公式：利息的计算公式为：利息=本金×利率×时间。

其中，本金是我们存入银行的钱，利息是取款时，银行多付的钱，利率是利息与本金的百分比。

利息理论：利息理论是金融数学的一个重要部分，主要研究的是利息的计算方法和利息的应用。

包括单利、复利、连续复利等不同的计算方式。

利率：利率是计算利息的一个重要参数，它表示的是单位本金在单位时间内产生的利息。

例如，如果你在银行里存了1000块钱，一年后，你的银行账户钱变成了1025元。

那么，多出来的25块钱就是利息，1000块就是你的本金，25÷1000 x 100%=2.5%。

这个2.5%就是利息率，也就是利率。

保险精算第二版习题及答案

保险精算第二版习题及答案-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1保险精算（第二版）第一章：利息的基本概念练习题1．已知()2a t at b =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。

(0)1(5)25 1.80.8,125300*100(5)300180300*100300*100(8)(64)508180180a b a a b a b a a a b ===+=⇒===⇒=+= 2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。

135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.0833,0.0714(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======(2)假设()()100 1.1nA n =⨯，试确定 135,,i i i 。

135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.1,0.1(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。

11132153500(3)500(13)6200.08800(5)800(15)1120500(3)500(1)6200.0743363800(5)800(1)1144.97a i i a i a i i a i =+=⇒=∴=+==+=⇒=∴=+=4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 110%i =，第2年的利率为28%i =，第3年的利率为 36%i =，求该笔投资的原始金额。

123(3)1000(0)(1)(1)(1)(0)794.1A A i i i A ==+++⇒=5．确定10000元在第3年年末的积累值:(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。

利息的基本概念

方法一：比较等价的年实质利率： iA2=7%
于是
iA
=
1+
7% 2
2
1=7.1225%>iB
=7.05，%应选择A。
方法二：比较实际收益：
aA
5
1
7% 2
10
1.4106
aA
5
aB
5
aB 5 1 7.05%5 1.4058
应选择A。
41
课堂练习2答案
由题意知
iA2 =7%
所以解得
an a n 1 An An 1 I n in a n 1 An 1 An 1
如果利息计算时期与基本时间单位相同，此时的利率就是实际利率。
8
三、利息的累积方式
线形积累
单利（Simple Interest）仅在本金上生息
a n __1___i__n__
i
in _1___(_n____1_)_i
5%复贴现率计息
10000(1－5%)2 9025
期初投资9025元，两年后获得10000元
两年共现象
在现实的金融市场中，人们常常将各种收益率称为利息率，但它们的含义会有所不同。
以美国市场为例，在短期债券中以美国财政部（United States Treasury）发行的短期国券库“Tbills”（Treasury Bill）为主，期限通常为三个月（13周）、六个月（26周）和十二个月（52周）。三月期和六月期的每星期一发行，十二月期的每月第四个星期发行。它们的利息通常是用贴现率表示的。
d (4) 4
3
d (4) 2
1
4
1 d (4) 4
1
1 d

复利数学第一章讲义

(1-4)
n≥1 为整数 (1-5)

例1-1 某人到银行存入1000元，第一年末他存折上的余额为1050元，第二年末他存折上的余额为1100元，问：第一年、第二年银行存款的实质利率分别是多少?
例1-2 某人借款10000元，为期一年，年实质利率为10%。问：一年后，此人需要还款多少？其中利息为多少？
例1-7 重新考虑例1-1中存款，所述的事件不变，求第一、第二年的实质贴现率。
“等价”
对于同一笔业务，用不同的率去度量，其结果是“等价”的。
等价关系式
i=d/(1-d) i-id=d d(1+i)=i d=i/(1+i) d=iv d= i/(1+i)=1-1/(1+i) =1-v v=1-d d =iv=i(1-d) =i-id i-d=id (1-12A) (1-12B) (1-12C) (1-12D) (1-12E) (1-12F) (1-12G) (1-12H) (1-12I)
一般用字母I表示利息, In表示第n期上的利息
In=A(n)-A(n-1)=P×a(n)-P×a(n-1) = P×[a(n)-a(n-1)] 对整数n≥1 (1-2A) 而n个时期上总的利息金额则为 I=A(n)-A(0)=P×a(n)-P×a(0) =P×[a(n)-1]=I1+ I2+…+ In (1-2B)
图(1-2A) 名义利率图
名义贴现率

用符号d(m) 记每一度量期付m次利息的名义贴现率。所谓名义贴现率d(m)，是指每1/m个度量期支付利息一次，而在每1/m个度量期上的实质贴现率为d(m)/m。如d是对每个度量期初支付的利息的度量一样，名义贴现率d(m)是一种对1/m个度量期初支付的利息的度量。