Erlang_平稳二项过程模型结构可靠度一致最小方差无偏估计_柯俊斌
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nT U - U( u+ v ) T - 1 ( n - 1)T - 1 e u v , u > 0, v > 0, )Γ [ ( n - 1)T] p ( u , v ) = Γ(T 0, 其它 . 由于 U = R 1 , V = nR - R 1 , 利用雅可比变换 ,得到 ( R1 , R ) 的联合密度函数为 n m n
第 23 卷 第 6 期 2007 年 11月 文章编号 :
福建师范大学学报 (自然科学版 ) Jo urnal of Fujian N or mal U niv e rsity ( Na tural Science Edition)
V o l. 23 No. 6 Nov . 2007
1000-5277( 2007) 060028-04
工程结构可靠性设计与估计是可靠性理论的重要组成部分 . 在以前的研究中 , 结构荷载与强度大都 用随机变量来描述 , 也就是所谓的随机变量模型 . 但是 ,作用在结构上的荷载不但具有随机性 ,还随时间 而变化 , 是一类关于时间 t 的可变荷载 . 从统计数学的观点来看 , 可变荷载必须用非负随机过程 { S ( t , k) , t ∈ [ 0, T ] , k ∈ K} 来描述 . 结构所处状态可以用函数 Z ( t ) = R - S ( t ) , t ∈ [ 0, T ] 表示 ,它是一个 半随机过程模型 . 结构分析与设计的基本目标是使结构任一部分在设计基准期 [ 0, T ] 内保持可靠的概 率达到某一可接受的程度 . 或者说 ,失败状态的概率 pf ( T ) = P { Z ( t ) < 0, t∈ [ 0, T ] } 低到人们可以接 受的水平 . 在一般情况下 ,探讨极限状态过程 { Z ( t ) , t ∈ [ 0, T ] } 的统计特征是一个相当复杂的问题 . 从 实用的角度出发 , 普遍采用最小变化模型 , 即 ZM = 0≤ mi n Z ( t ) = R - 0≤ max S ( t ) = R - SM . t≤ T t≤ T 式中 SM = 0max S ( t ) 为荷载在 [ 0, T ] 上的最大值 . 林升光在 [ 1 - 4 ], 林忠民在 [ 5] 中对几类常见的随机 ≤t≤ T 过程模型给出相当完善的结论 . 本文将在此基础上 , 考虑应力为平稳二项过程 , 强度服从 Erlang 分布的 半随机过程模型 , 给出应力随机过程的样本函数的最大值分布 , 并获得其相应的模型结构可靠度的最小 方差无偏估计 .
U T . 因此 pr = λ i+ U
∑C
Leabharlann Baidu
i N
( - 1) i
2 Erlang 平稳二项过程模型结构可靠度的最小方差无偏估计
当T 已知 , λ ,U未知时 ,需要对 R , S 作抽样观测 ,获得两个样本: R1 , … , Rn ; S1 , … , Sm ,它们的均值分 1 1 Ri , S= Si . R, S 分别是参数 λ ,U 的充分完备统计量 . 令 U = R 1 , V = ∑ Ri , 已 n∑ m∑ i= 1 i= 1 i= 2 知 U 服从参数为 T ,U 的 Erla ng 分布 , 由于 Erlang 分布有可加性 , V 服从参数为 (n - 1)T ,U 的 Erlang 分 别记为 R= 布 . 由独立性可知 , 随机向量 ( U , V ) 的联合密度函数为
平稳二项过程模型结构可 靠度一致最小方差无偏估计 Er la ng -
29
1 Erlang -平稳二项过程模型结构可靠度
定义 1 非负随机过程 { S ( t ) , t ∈ ( a , b ) } 叫做平稳二项过程 , 如果它满足 ( 1) 将时间区间 ( a , b ) 划分为 N 个相等时段 ,记为 f 1 ,f 2 ,… ,f N; ( 2) 对任意给定的时间 t ∈ f i (i = 1, 2, … , N ) , P [ S( t ) = a i > 0] = p , P [ S ( t ) = 0] = 1 - p = q;
p ( r1 , r) =
nT - - 1 nU - - r1 ) ( n - 1)T- 1 . e- Unr rT 1 ( nr Γ(T )Γ [ ( n - 1)T]
30
福 建 师 范 大 学 学 报 ( 自 然 科 学 版 ) 2007年
利用 Erlang 分布的可加性 ,得 R 的密度函数为 p (r) =
Ux e- Ux dx = Γ(T )
∑C
i= 0
i N
( - 1)i
∫
利用
∫g ( x ,T,U) dx =
0 ∞ 0
∞
1,知 Γ(T ) T = U
∫x
0 N i= 0
∞
T - 1 -U x
e
dx , U T . λ i+ U
( 1)
则
∫
T T U x - 1 - (λ e i+ U) x dx = Γ(T )
收稿日期 :
2007-01-16
基金项目 : 福建省教育厅基金资助项目 ( JB03146) ; 福建省自然科学基金资助项目 ( 2006 J0193) 作者简介 : 柯俊斌 ( 1974 — ) , 男 , 福建福州人 , 讲师 , 硕士 .
第 6期 柯俊斌等 :
1 ,a 2 , … ,a N 互相独立 ,服从同一分布 . ( 3)a
假定荷载随机过程 S ( t ) 为平稳二项过程 , 其截口分布为 F ( x ) , 那么其最大值 SM 的概率分布为 FM ( x ) = P ( S M ≤ x ) = P ( 0max S (t) ≤ x ) = ≤t ≤T P ( 0max S (t) ≤ x, x ∈ f 1 )… P ( max S ( t ) ≤ x , x ∈ f N ) = [p F ( x ) + ( 1 - p ) ]N , ≤ t≤ T 0 ≤ t≤ T 其中 N 为总时段数 , 当 S ( t ) 在每一时段上 f i 都不为零时 ,即 p = 1, 有 FM ( x ) = [ F( x ) ] . 定义 2 若连续型随机变量 a 的密度函数为 g ( x ,T ,U )= Ux - Ux Γ(T ) e , x ≥ 0, 0, x < 0, 其中 T > 0, U> 0为两个常数 , 这时称 a 是参数为 (T ,U ) 的 Γ分布的随机变量 . 特别地 , 当 T 为自然数时 , 称a 服从 Erlang 分布 . 定理 1 设应力随机过程 S ( t ) 为平稳二项过程 ,其截口分布为 F ( x ) = 1 - e 从参数为 (T ,U) 的 Erlang 分布 , 则 Erlang -平稳二项过程模型结构可靠度为
N
EQ ( R 1 , S1 ) =
∑
EQi ( R 1 , S 1 ) =
i= 1
∑∫ ∫( 1
N
∞ 0
ir 0
1)i+ 1CiN
i= 1 N
TT U r 1- 1 - Ur 1 - λS 1 e λ e ds1 dr 1 = Γ(T )
∑∫( i= 1 0 N
∞
1)i+ 1CiN
T
Ur 1 - Ur 1 ir 1 e ( 1 - e- λ ) dr 1 = Γ(T )
∫
0 i N
∞
F M ( x ) g ( x ,T ,U ) dx =
T T - 1
∫
0
∞
x N ( 1 - e- λ ) N
T T U x - 1 - Ux e dx = Γ(T ) ∞ 0 T T U x - 1 - (λ e i+ U) x dx . Γ(T )
∫∑ C
0 i= 0
∞
N
λ ix ( - 1) i e
N -λ x T T - 1 N
, x > 0, 强度 R 服
pr =
∑
CiN ( - 1) i
i= 0
U . λ i+ U
T
证明 由上述讨论可知 ,当 S ( t ) 在每一时段 f i 上都不为零时 , 即 p = 1, 有 F M ( x ) = [F ( x ) ]N . 那 么 Erlang -平稳二项过程模型结构可靠度为 pr =
TT - 1
∑
利用 ( 1) 式 , 得
i= 1
( - 1) i+ 1CiN U Γ(T )
∫r
0 + 1 i N
∞
T - 1 -U r 1 1
e
- 1 - (U - rT 1 e + λi ) r 1 dr 1.
EQ ( R 1 , S1 ) =
N
∑
N
( - 1)
CN
i
i= 1
U Γ(T ) Γ(T ) T T = Γ(T ) U (U+ λ i) ( - 1) i CiN U U+ λ i
UMVUE of Structural Reliability for Erlang-stationary Binomial Process Model
-bin1 , LIN Sheng-guang2 KE Jun
( 1. School of Mathematics and Computer Science , Fujian N ormal University , Fuzhou 350007, China; 2. Department of Mathematics , Minjiang University , Fuzhou 350108, China ) Abstract : Discusses th e law of str uctura l str ess va ria nce during the standa rd period of the design of [0,
N i+ 1 i m- 2 T - 1
r1 rn T -)nT- 1 n (r
( n- 1) T - 1
.
, m ≥ 2, 0 < s1 ≤ m s.
CN , R 1 >
令 Q( R 1 , S 1 ) =
∑ Q (R
i i= 1
1
, S1 ) , 这个统计量是 pr 的无偏估计 . 事实上 ,
平稳二项过程模型结构可靠度一致最小方差无偏估计 Erlang柯俊斌 , 林升光
1 2
( 1. 福建师范大学数学与计算机科学学院 , 福建 福州 350007; 2. 闽 江学院数学系 , 福建 福州 350108) 摘要 : 讨论结构 在设计基准期 [ 0, T ] 内应力变动 规律 ,考虑 应力为平稳二项过 程 、强度服 从 Er lang 分布 的半随机过程模 型 ,给出 应力随机过程的样 本函数的最大值分布 ,并获得 其相应的模型结构可 靠度最小方差 无偏估计 . 关键词 : 平稳二项过程 ; 结构可靠度 ; 最小方差无偏估计 中图分类号 : O 213. 2 文献标识码 : A
nU e- Unr -)nT- 1 , 当 r -> 0时 . ( nr Γ( nT ) nT
-条件下 R1 的条件密度函数为 因此 ,在 r r1 -) p (r1, r Γ( nT ) p ( r1| r) = p (r = -) Γ(T )Γ [ ( n - 1)T] 式中 , n ≥ 2, 0 < r 1 ≤ nr . 作与 p ( r1| r ) 类似计算 ,可得 -) = m - 1 ( s -) 1- m s -- s1 p ( s1| s m m 建立统计量 S1 , i i = 1, 2, … , N . S1 0, R1 ≤ , i ( - 1) Qi ( R 1 , S1 ) =
T ]. Co nsidering the pr ocess o f the str ess is sta tio na ry binomial pro cess and streng th o beys the distribution of Er lang , gives the dist ributio n of the ma ximum of stress and then obtains the U M V U E o f structura l r elia bility. Key words : sta tionar y bino mial process; str uc tur al reliability; U MV U E
第 23 卷 第 6 期 2007 年 11月 文章编号 :
福建师范大学学报 (自然科学版 ) Jo urnal of Fujian N or mal U niv e rsity ( Na tural Science Edition)
V o l. 23 No. 6 Nov . 2007
1000-5277( 2007) 060028-04
工程结构可靠性设计与估计是可靠性理论的重要组成部分 . 在以前的研究中 , 结构荷载与强度大都 用随机变量来描述 , 也就是所谓的随机变量模型 . 但是 ,作用在结构上的荷载不但具有随机性 ,还随时间 而变化 , 是一类关于时间 t 的可变荷载 . 从统计数学的观点来看 , 可变荷载必须用非负随机过程 { S ( t , k) , t ∈ [ 0, T ] , k ∈ K} 来描述 . 结构所处状态可以用函数 Z ( t ) = R - S ( t ) , t ∈ [ 0, T ] 表示 ,它是一个 半随机过程模型 . 结构分析与设计的基本目标是使结构任一部分在设计基准期 [ 0, T ] 内保持可靠的概 率达到某一可接受的程度 . 或者说 ,失败状态的概率 pf ( T ) = P { Z ( t ) < 0, t∈ [ 0, T ] } 低到人们可以接 受的水平 . 在一般情况下 ,探讨极限状态过程 { Z ( t ) , t ∈ [ 0, T ] } 的统计特征是一个相当复杂的问题 . 从 实用的角度出发 , 普遍采用最小变化模型 , 即 ZM = 0≤ mi n Z ( t ) = R - 0≤ max S ( t ) = R - SM . t≤ T t≤ T 式中 SM = 0max S ( t ) 为荷载在 [ 0, T ] 上的最大值 . 林升光在 [ 1 - 4 ], 林忠民在 [ 5] 中对几类常见的随机 ≤t≤ T 过程模型给出相当完善的结论 . 本文将在此基础上 , 考虑应力为平稳二项过程 , 强度服从 Erlang 分布的 半随机过程模型 , 给出应力随机过程的样本函数的最大值分布 , 并获得其相应的模型结构可靠度的最小 方差无偏估计 .
U T . 因此 pr = λ i+ U
∑C
Leabharlann Baidu
i N
( - 1) i
2 Erlang 平稳二项过程模型结构可靠度的最小方差无偏估计
当T 已知 , λ ,U未知时 ,需要对 R , S 作抽样观测 ,获得两个样本: R1 , … , Rn ; S1 , … , Sm ,它们的均值分 1 1 Ri , S= Si . R, S 分别是参数 λ ,U 的充分完备统计量 . 令 U = R 1 , V = ∑ Ri , 已 n∑ m∑ i= 1 i= 1 i= 2 知 U 服从参数为 T ,U 的 Erla ng 分布 , 由于 Erlang 分布有可加性 , V 服从参数为 (n - 1)T ,U 的 Erlang 分 别记为 R= 布 . 由独立性可知 , 随机向量 ( U , V ) 的联合密度函数为
平稳二项过程模型结构可 靠度一致最小方差无偏估计 Er la ng -
29
1 Erlang -平稳二项过程模型结构可靠度
定义 1 非负随机过程 { S ( t ) , t ∈ ( a , b ) } 叫做平稳二项过程 , 如果它满足 ( 1) 将时间区间 ( a , b ) 划分为 N 个相等时段 ,记为 f 1 ,f 2 ,… ,f N; ( 2) 对任意给定的时间 t ∈ f i (i = 1, 2, … , N ) , P [ S( t ) = a i > 0] = p , P [ S ( t ) = 0] = 1 - p = q;
p ( r1 , r) =
nT - - 1 nU - - r1 ) ( n - 1)T- 1 . e- Unr rT 1 ( nr Γ(T )Γ [ ( n - 1)T]
30
福 建 师 范 大 学 学 报 ( 自 然 科 学 版 ) 2007年
利用 Erlang 分布的可加性 ,得 R 的密度函数为 p (r) =
Ux e- Ux dx = Γ(T )
∑C
i= 0
i N
( - 1)i
∫
利用
∫g ( x ,T,U) dx =
0 ∞ 0
∞
1,知 Γ(T ) T = U
∫x
0 N i= 0
∞
T - 1 -U x
e
dx , U T . λ i+ U
( 1)
则
∫
T T U x - 1 - (λ e i+ U) x dx = Γ(T )
收稿日期 :
2007-01-16
基金项目 : 福建省教育厅基金资助项目 ( JB03146) ; 福建省自然科学基金资助项目 ( 2006 J0193) 作者简介 : 柯俊斌 ( 1974 — ) , 男 , 福建福州人 , 讲师 , 硕士 .
第 6期 柯俊斌等 :
1 ,a 2 , … ,a N 互相独立 ,服从同一分布 . ( 3)a
假定荷载随机过程 S ( t ) 为平稳二项过程 , 其截口分布为 F ( x ) , 那么其最大值 SM 的概率分布为 FM ( x ) = P ( S M ≤ x ) = P ( 0max S (t) ≤ x ) = ≤t ≤T P ( 0max S (t) ≤ x, x ∈ f 1 )… P ( max S ( t ) ≤ x , x ∈ f N ) = [p F ( x ) + ( 1 - p ) ]N , ≤ t≤ T 0 ≤ t≤ T 其中 N 为总时段数 , 当 S ( t ) 在每一时段上 f i 都不为零时 ,即 p = 1, 有 FM ( x ) = [ F( x ) ] . 定义 2 若连续型随机变量 a 的密度函数为 g ( x ,T ,U )= Ux - Ux Γ(T ) e , x ≥ 0, 0, x < 0, 其中 T > 0, U> 0为两个常数 , 这时称 a 是参数为 (T ,U ) 的 Γ分布的随机变量 . 特别地 , 当 T 为自然数时 , 称a 服从 Erlang 分布 . 定理 1 设应力随机过程 S ( t ) 为平稳二项过程 ,其截口分布为 F ( x ) = 1 - e 从参数为 (T ,U) 的 Erlang 分布 , 则 Erlang -平稳二项过程模型结构可靠度为
N
EQ ( R 1 , S1 ) =
∑
EQi ( R 1 , S 1 ) =
i= 1
∑∫ ∫( 1
N
∞ 0
ir 0
1)i+ 1CiN
i= 1 N
TT U r 1- 1 - Ur 1 - λS 1 e λ e ds1 dr 1 = Γ(T )
∑∫( i= 1 0 N
∞
1)i+ 1CiN
T
Ur 1 - Ur 1 ir 1 e ( 1 - e- λ ) dr 1 = Γ(T )
∫
0 i N
∞
F M ( x ) g ( x ,T ,U ) dx =
T T - 1
∫
0
∞
x N ( 1 - e- λ ) N
T T U x - 1 - Ux e dx = Γ(T ) ∞ 0 T T U x - 1 - (λ e i+ U) x dx . Γ(T )
∫∑ C
0 i= 0
∞
N
λ ix ( - 1) i e
N -λ x T T - 1 N
, x > 0, 强度 R 服
pr =
∑
CiN ( - 1) i
i= 0
U . λ i+ U
T
证明 由上述讨论可知 ,当 S ( t ) 在每一时段 f i 上都不为零时 , 即 p = 1, 有 F M ( x ) = [F ( x ) ]N . 那 么 Erlang -平稳二项过程模型结构可靠度为 pr =
TT - 1
∑
利用 ( 1) 式 , 得
i= 1
( - 1) i+ 1CiN U Γ(T )
∫r
0 + 1 i N
∞
T - 1 -U r 1 1
e
- 1 - (U - rT 1 e + λi ) r 1 dr 1.
EQ ( R 1 , S1 ) =
N
∑
N
( - 1)
CN
i
i= 1
U Γ(T ) Γ(T ) T T = Γ(T ) U (U+ λ i) ( - 1) i CiN U U+ λ i
UMVUE of Structural Reliability for Erlang-stationary Binomial Process Model
-bin1 , LIN Sheng-guang2 KE Jun
( 1. School of Mathematics and Computer Science , Fujian N ormal University , Fuzhou 350007, China; 2. Department of Mathematics , Minjiang University , Fuzhou 350108, China ) Abstract : Discusses th e law of str uctura l str ess va ria nce during the standa rd period of the design of [0,
N i+ 1 i m- 2 T - 1
r1 rn T -)nT- 1 n (r
( n- 1) T - 1
.
, m ≥ 2, 0 < s1 ≤ m s.
CN , R 1 >
令 Q( R 1 , S 1 ) =
∑ Q (R
i i= 1
1
, S1 ) , 这个统计量是 pr 的无偏估计 . 事实上 ,
平稳二项过程模型结构可靠度一致最小方差无偏估计 Erlang柯俊斌 , 林升光
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( 1. 福建师范大学数学与计算机科学学院 , 福建 福州 350007; 2. 闽 江学院数学系 , 福建 福州 350108) 摘要 : 讨论结构 在设计基准期 [ 0, T ] 内应力变动 规律 ,考虑 应力为平稳二项过 程 、强度服 从 Er lang 分布 的半随机过程模 型 ,给出 应力随机过程的样 本函数的最大值分布 ,并获得 其相应的模型结构可 靠度最小方差 无偏估计 . 关键词 : 平稳二项过程 ; 结构可靠度 ; 最小方差无偏估计 中图分类号 : O 213. 2 文献标识码 : A
nU e- Unr -)nT- 1 , 当 r -> 0时 . ( nr Γ( nT ) nT
-条件下 R1 的条件密度函数为 因此 ,在 r r1 -) p (r1, r Γ( nT ) p ( r1| r) = p (r = -) Γ(T )Γ [ ( n - 1)T] 式中 , n ≥ 2, 0 < r 1 ≤ nr . 作与 p ( r1| r ) 类似计算 ,可得 -) = m - 1 ( s -) 1- m s -- s1 p ( s1| s m m 建立统计量 S1 , i i = 1, 2, … , N . S1 0, R1 ≤ , i ( - 1) Qi ( R 1 , S1 ) =
T ]. Co nsidering the pr ocess o f the str ess is sta tio na ry binomial pro cess and streng th o beys the distribution of Er lang , gives the dist ributio n of the ma ximum of stress and then obtains the U M V U E o f structura l r elia bility. Key words : sta tionar y bino mial process; str uc tur al reliability; U MV U E