常系数线性方程组
第三章 一阶线性微分方程组 第四讲 常系数线性微分方程组的解法(1)
第四讲 常系数线性微分方程组的解法（4课时）一、目的与要求: 理解常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念, 掌握常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 二、重点：常系数线性微分方程组的基本解组的求法.三、难点：常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念. 四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程：1 新课引入由定理3.6我们已知道，求线性齐次方程组(3.8)的通解问题，归结到求其基本解组. 但是对于一般的方程组(3.8)，如何求出基本解组，至今尚无一般方法. 然而对于常系数线性齐次方程组dYAY dx= (3.20) 其中A 是n n ⨯实常数矩阵，借助于线性代数中的约当(Jordan)标准型理论或矩阵指数，可以使这一问题得到彻底解决. 本节将介绍前一种方法，因为它比较直观.由线性代数知识可知，对于任一n n ⨯矩阵A ，恒存在非奇异的n n ⨯矩阵T ，使矩阵1T AT -成为约当标准型. 为此，对方程组(3.20)引入非奇异线性变换Y TZ = (3.21)其中()(,1,2,,),ij T t i j n == det 0T ≠,将方程组(3.20)化为1dZT ATZ dx-= (3.22) 我们知道，约当标准型1T AT -的形式与矩阵A 的特征方程111212122212det()0n n n n nn a a a a a a A E a a a λλλλ---==-2的根的情况有关. 上述方程也称为常系数齐次方程组(3.20)的特征方程式.它的根称为矩阵A 的特征根.下面分两种情况讨论.(一) 矩阵A 的特征根均是单根的情形. 设特征根为12,,,,n λλλ这时12100n T AT λλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦方程组(3.20)变为11122200n n n dz dx z dz z dx z dz dx λλλ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦(3.23)易见方程组(3.23)有n 个解1110(),00xZ x e λ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 220010(),,()0001n x x n Z x e Z x e λλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦把这n 个解代回变换(3.21)之中，便得到方程组(3.20)的n 个解12()i i i i x x i i ni t t Y x e e T t λλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦(1,2,,)i n =陇东学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李相锋 李万军3这里i T 是矩阵T 第i 列向量，它恰好是矩阵A 关于特征根i λ的特征向量，并且由线性方程组()0i i A E T λ-=所确定. 容易看出，12(),(),,()n Y x Y x Y x 构成(3.20)的一个基本解组，因为它们的朗斯基行列式()W x 在0x =时为(0)det 0W T =≠. 于是我们得到定理3.11 如果方程组(3.20)的系数阵A 的n 个特征根12,,,,n λλλ彼此互异，且12,,,n T T T 分别是它们所对应的特征向量，则121122(),(),,()n x xxn n Y x e T Y x e T Y x e T λλλ===是方程组(3.20)的一个基本解组. 例1 试求方程组353dxx y z dt dyx y z dt dzx y z dt ⎧=-+⎪⎪⎪=-+-⎨⎪⎪=-+⎪⎩的通解.解 它的系数矩阵是311151313A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦特征方程是311det()1510313A E λλλλ---=---=--4即 321136360λλλ-+-=所以矩阵A 的特征根为1232,3,6λλλ===．先求12λ=对应的特征向量1a T b c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,,a b c 满足方程1111()1310111a a A E b b c c λ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦即0300a b c a b c a b c -+=⎧⎪-+-=⎨⎪-+=⎩可得,0a c b =-=. 取一组非零解，例如令1c =-，就有1,0,1a b c ===-. 同样，可求出另两个特征根所对应的特征向量，这样，这三个特征根所对应的特征向量分别是110,1T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 211,1T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 3121T ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦故方程组的通解是236123()111()012()111t t t x t y t C e C e C e z t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(二) 常系数线性微分方程组的解法复特征根 从上一讲我们已经知道，求解方程组dYAY dx= （3.20） 归结为求矩阵A 的特征根和对应的特征向量问题．现在考虑复根情形．因为A 是实的矩阵，所以复特征根是共轭出现的，设1,2i λαβ=±是一对共轭根，由定理3.11，对应解是陇东学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李相锋 李万军5111(),x Y x e T λ= 222()x Y x e T λ=其中12,T T 是特征向量，这是实变量的复值解，通常我们希望求出方程组（3.20）的实值解，这可由下述方法实现．定理3.12 如果实系数线性齐次方程组()dYA x Y dx= 有复值解()()()Y x U x iV x =+其中()U x 与()V x 都是实向量函数，则其实部和虚部12()()(),()n u x u x U x u x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12()()()()n v x v x V x v x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦证明 因为()()()Y x U x iV x =+是方程组(3.8)的解，所以[]()()()()d dU x dV x U x iV x i dx dx dx+≡+ ()[()()]()()()()A x U x iV x A x U x iA x V x ≡+≡+由于两个复数表达式恒等相当于实部及虚部恒等，所以上述恒等式表明：()()()dU x A x U x dx = , ()()()dV x A x V x dx= 即()U x ,()V x 都是方程组(3.8)的解.证毕.定理3.13 如果12(),(),,()n Y x Y x Y x 是区间(,)a b 上的n 个线性无关的向量函数，12,b b 是两个不等于零的常数，则向量函数组112[()()],b Y x Y x + 212[()()],b Y x Y x - 3(),,()n Y x Y x (3.24)在区间(a, b )上仍是线性无关的.6证明 (反证法) 如果(3.24)线性相关，那么依定义3.1存在n 个不全为零的常数12,,,n C C C ，使得对区间(,)a b 上的所有x 皆有1112221233[()()][()()]()()0n n C b Y x Y x C b Y x Y x C Y x C Y x ++-+++≡所以112211122233()()()()()()0n n C b C b Y x C b C b Y x C Y x C Y x ++-+++≡因为12(),(),,()n Y x Y x Y x 线性无关，从而11220,C b C b += 11220,C b C b -= 30,,0n C C ==从上式可知，11220C b C b ==, 因为12,0b b ≠, 故120C C ==. 即所有常数12,,,n C C C 都等于零，矛盾. 证毕.由代数知识知, 实矩阵A 的复特征根一定共轭成对地出现.即，如果a ib λ=+是特征根，则其共轭a ib λ=-也是特征根. 由定理3.11，方程组(3.20)对应于a ib λ=+的复值解形式是1111222122()()()112()a ib x a ib x a ib x n n n t t it t t it x e T e e t t it ++++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦1Y1112212212(cos sin )axn n t it t it e bx i bx t it +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦11121211212222211221cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin ax ax n n n n t bx t bx t bx t bx t bx t bx t bx t bx eie t bx t bx t bx t bx -+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦陇东学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李相锋 李万军7这里1T 是对应于a ib λ=+的特征向量.由于矩阵A 是实的，所以上述向量的共轭向量是方程组(3.20)对应于特征根a ib λ=-的解，记作()2(),a ib x x e -=2Y T =21T T . 现将上述两个复值解，按下述方法分别取其实部和虚部为1112212212cos sin cos sin 1[()()]2cos sin ax n n t bx t bx t bx t bx x x e t bx t bx -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦12YY 1211222121cos sin cos sin 1[()()]2cos sin ax n n t bx t bx t bx t bx x x e it bx t bx +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦12YY由定理3.12和定理3.13，它们分别是方程组(3.20)的解， 并且由此得到的n 个解仍组成基本解组.例2 求解方程组3dxx y z dt dyx y dt dzx z dt ⎧=--⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩解 它的系数矩阵为111110301--⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A特征方程是8111det()110301λλλλ----=--A E 即2(1)(25)0λλλ--+=特征根为11,λ= 2,312i λ=±先求11λ=对应的特征向量为1011⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦T再求212i λ=+所对应的特征向量2T . 它应满足方程组2211((12))120302i a i i b i c ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A E T 0即2020320ia b c a bi a ci ⎧---=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪⎩ 用2i 乘上述第一个方程两端，得422020320a bi ci a bi a ci ⎧--=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪⎩陇东学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李相锋 李万军9显见，第一个方程等于第二与第三个方程之和. 故上述方程组中仅有两个方程是独立的，即20320a bi a ci -=⎧⎨-=⎩求它的一个非零解.不妨令2,a i = 则1,3b c ==. 于是212i λ=+对应的解是(12)222sin 22cos 21(cos 2sin 2)1cos 2sin 2333cos 23sin 2i t t t t i i t t e e t i t e t ie t t t +-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故原方程组的通解为123()02sin 22cos 2()1cos 2sin 2()13cos 23sin 2t t t x t t t y x C e C e t C e t z x t t -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(三) 矩阵A 的特征根有重根的情形由定理3.11，我们已经知道，当方程组(3.20)的系数矩阵A 的特征根均是单根时，其基本解组的求解问题，归结到求这些特征根所对应的特征向量. 然而，当矩阵A 的特征方程有重根时，定理3.11不一定完全适用，这是因为，若i λ是A 的i k 重特征根，则由齐次线性方程组()i i λ-=A E T 0所决定的线性无关特征向量的个数i γ, 一般将小于或等于特征根i λ的重数i k . 若i γ=i k ,那么矩阵A 对应的约当标准型将呈现对角阵，其求解方法与3.5.1情形相同.若i γ＜i k ，由线性代数的知识，此时也可以求出i k 个线性无关的特征向量，通常称为广义特征向量，以这些特征向量作为满秩矩阵T 的列向量，可将矩阵A 化成若当标准型10121m ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦-J J T AT J 其中未标出符号的部分均为零无素，而1010i ii i λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦J (1,2,,)i m =是i k 阶约当块，12,m k k k n +++= 12,,,m λλλ是(3.20)的特征根，它们当中可能有的彼此相同.于是，在变换(3.21)下方程组(3.20)化成12m d dx ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦J J Z Z J (3.25) 根据(3.25)的形式，它可以分解成为m 个可以求解的小方程组.为了说清楚这个问题，我们通过一个具体重根的例子，说明在重根情形下方程组(3.20)的基本解组所应具有的结构．对于一般情形，其推导是相似的.设方程组d Dx=YAY （3.26） 中A 是5.5矩阵，经非奇异线性变换=Y TZ 其中()(,1,2,,5)ij t i j ==T 且det 0≠T ，将方程组(3.26)化为d dx=ZJZ (3.27) 我们假定陇东学院数学系常微分方程精品课程教案1112210000100000000010000λλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦J 这时，方程组(3.27)可以分裂为两个独立的小方程组 1112212313dz z z dx dz z dxdz z dx λλλ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩(3.28)4245525dz z z dx dz z dxλλ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (3.29) 在(3.28)中自下而上逐次用初等积分法可解得11123121232332!()xxxC z x C x C e z C x C e z C e λλλ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭=+= 同样对(3.29)可解得2245455()xx z C x C e z C eλλ=+= 这里125,,,C C C 是任意常数.由于在方程(3.28)中不出现45,,z z 在(3.29)中不出现123,,z z z ．我们依次取12345123451234512345123451,00,1,00,1,00,1,00,1C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C =========================可以得到方程组(3.27)的五个解如下11111121232!0,,00000000x xx x x x x e xe e e xe e λλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦Z Z Z , 222450000,000x x x e xe e λλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Z Z 从而1111112222002!000()00000000000x x x x x x x x x x exe e e xe x e e xe e λλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Z (3.31) 是方程组(3.27)的一个解矩阵. 又det (0)10=≠Z ,所以(3.31)是方程组(3.27)的一个基本解矩阵.而(3.30)是(3.27)的一个基本解组.现在把(3.30)的每个解分别代入到线性变换Y =TZ 中可得原方程组(3.26)的五个解，1111111211314151,x x x x x t e t e t e t e t e λλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y 11111111221222313241425152()(),()()()x x x x x t x t e t x te t x t e t x te t x t e λλλλλ⎡⎤+⎢⎥+⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦Y陇东学院数学系常微分方程精品课程教案11111211121322122232313323324142432515253()2!()2!()2!()2!()2!x x x x x t x t x t e t x t x t e t x t x t e t x t x t e t x t x t e λλλλλ⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎣⎦Y ,222222222214141524242545343435444445545455()(),()()()x x x x x x x x x x t e t x t e t e t x t e t e t x t e t e t x t e t e t x t e λλλλλλλλλλ⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦Y Y而且这五个解构成方程组的一个基本解组.这是因为，若把上面五个解写成矩阵形式12345()[(),(),(),(),()]x x x x x x =Y Y Y Y Y Y 则显然有det (0)0=≠Y T .至此我们已清楚地看到，若J 中有一个三阶若当块，1λ是(3.26)的三重特证根，则(3.26)有三个如下形式的线性无关解，12345()()()(),1,2,3()()i i i x i i i i p x p x x p x e i p x p x λ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y (3.32) 其中每个()(1,2,3,1,2,3,4,5)ki p x i k ==是x 的至多二次多项式.因此(3.32)也可以写成如下形式12012()x x x e λ++R R R其中012,,R R R 都是五维常向量.而对于J 中的二阶若当块，2λ是(3.26)的二重根，它 所对应的(3.26)的两个线性无关解应是如下形式234()x x e λ+R R其中34,R R 也都是五维常向量.最后，我们还应指出，对于方程组(3.20)，若i λ是A 的一个i k 重特征根，则i λ所对应的若当块可能不是一块而是几块，但是它们每一块的阶数都小于或等于i k ，而且这些阶数的和恰好等于i k . 这样，由以上分析我们得到定理3.14 设12,,,m λλλ是矩阵A 的m 个不同的特征根，它们的重数分别为12,,,m k k k . 那么，对于每一个i λ，方程组(3.20)有i k 个形如1122()(),()(),,()()i i i i i x x x k k x x e x x e x x e λλλ===Y P Y P Y P 的线性无关解，这里向量()(1,2,,)i i x i k =P 的每一个分量为x 的次数不高于1i k -的多项式. 取遍所有的(1,2,,)i i m λ=就得到(3.20)的基本解组.上面的定理既告诉了我们当A 的特征根有重根时，线性方程组(3.20)的基本解组的形式，同时也告诉了我们一种求解方法，但这种求解方法是很繁的.在实际求解时，常用下面的待定系数法求解. 为此，我们需要线性代数中的一个重要结论.引理3.1 设n 阶矩阵互不相同的特征根为(1,2,,)i i m λ=，其重数分别是,1212,,,()m m k k k k k k n +++=, 记n 维常数列向量所组成的线性空间为V ，则(1) V 的子集合 {()0,}j kj j λ=-=∈V R A E R R V 是矩阵A 的(1,2,,)j k j m =维不变子空间，并且(2) V 有直和分解 12m =⊕⊕⊕V V V V ;现在，在定理3.14相同的假设下，我们可以按下述方法求其基本解组.陇东学院数学系常微分方程精品课程教案定理3.15 如果j λ是(3.20)的j k 重特征根，则方程组(3.20)有个j k 形如1011()()j j j k x k x x x e λ--=+++Y R R R (3.33) 的线性无关解，其中向量011,,,j k -R R R 由矩阵方程0112210()()2()(1)()0j j j j j j k j k k j k λλλλ--⎧-=⎪⎪-=⎪⎨⎪-=-⎪⎪-=⎩A E R R A E R R A E R R A ER (3.34)所确定.取遍所有的(1,2,,)j j m λ=，则得到(3.20)的一个基本解组.证明 由定理3.14知，若j λ是（3.20）的j k 重特征根，则对应解有（3.30）的形式.将（3.33）代入方程组（3.20）有21121011[2(1)]()j j j j j j k x k x j k j k x k xe x x e λλλ----+++-++++R R R R R R 1011()j j j k x k A x x e λ--=+++R R R消去j x e λ，比较等式两端x 的同次幂的系数（向量），有0112211()()2()(1)()0j j j j j j k j k j k k λλλλ---⎧-=⎪⎪-=⎪⎨⎪-=-⎪⎪-=⎩A E R R A E R R A E R R A ER （3.35）注意到方程组（3.35）与（3.34）是等价的.事实上，两个方程组只有最后一个方程不同，其余都相同．（3.35）与（3.34）同解的证明请见教材．这样，在方程组(3.31)中，首先由最下面的方程解出0R ，再依次利用矩阵乘法求出121,,,j k -R R R . 由引理3.1得知，线性空间V 可分解成相应不变子空间的直和，取遍所有的(1,2,,)j j m λ=，就可以由(3.34)最下面的方程求出n 个线性无关常向量，再由(3.31)逐次求出其余常向量，就得到(3.20)的n 个解. 记这n 个解构成的解矩阵为()x Y ，显然，(0)Y 是由(3.34)最下面的方程求出的n 个线性无关常向量构成，由引理3.1的2)矩阵(0)Y 中的各列构成了n 维线性空间V 的一组基，因此det (0)0≠Y ，于是()x Y 是方程组(3.20)的一个基本解组.例3 求解方程组123213312dy y y dx dy y y dxdy y y dx ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩解 系数矩阵为011101110⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 特征方程为2(2)(1)0λλ-+=特征根为 1232, 1.λλλ===-其中12λ=对应的解是211()11x x e ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y 下面求231λλ==-所对应的两个线性无关解.由定理3.15，其解形如陇东学院数学系常微分方程精品课程教案01()()x x x e -=+Y R R并且01,R R 满足0120()()0=⎧⎨=⎩A +E R R A +E R 由于111()111,111⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A +E 2333()333333⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A +E 那么由20()0=A +E R 可解出两个线性无关向量11,0-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 101-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦将上述两个向量分别代入01()=A +E R R 中，均得到1R 为零向量.于是231λλ==-对应的两个线性无关解是21()1,0x x e --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y 31()01x x e --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y 最后得到通解2123111()110101x x x x C e C e C e ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦Y 例4 求解方程组11232123312332dy y y y dx dy y y y dxdy y y y dx⎧=+-⎪⎪⎪=-++⎨⎪⎪=++⎪⎩ 解 系数矩阵是311121111-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦A特征方程为3(2)0λ-= , 有三重特征根1,2,32λ=由定理3.15，可设其解形如22012()()xx x x e =++Y R R R012,,R R R 满足方程组0121230(2)(2)(2)-=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩A E R R A E RR A E R 0由于23111101000(2)101,(2)000,(2)000111101000--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦A E A E A E 故0R 可分别取10,0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 01,0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦陇东学院数学系常微分方程精品课程教案再将它们依次代入上面的方程，相应地求得1R 为11,1⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 10,1⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 111-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦2R 为120,12⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ 00,0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12012⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是，可得原方程组三个线性无关解 22212111012()010,()10,011012x x Y x x x e Y x x e ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+-+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦2231012()0101112xY x x x e ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦最后方程的通解可写成22112222233111()22()1()11122x x x x x x y x C y x e x x C y x C x x x x x ⎡⎤+--+⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--+⎢⎥⎣⎦本讲要点：1 . 常系数线性微分方程组的解法归结为求出系数阵A的特征根和特征向量。
常系数线性微分方程组解法
dy (1) dx = 3 y 2 z , 例1 解微分方程组 dz = 2 y z . ( 2) dx 解 设法消去未知函数 y ， 由(2)式得 式得
1 dz y = + z ( 3) 2 dx dy 1 d 2 z dz = 2 + , 两边求导得， 两边求导得， dx 2 dx dx
原方程组的通解为
1 y = ( 2C1 + C 2 + 2C 2 x )e x 2 , z = ( C + C x )e x 1 2
d 用 D 表示对自变量 x求导的运算 , dx
例如， 例如， y
(n)
+ a1 y ( n 1 ) + L + a n 1 y ′ + a n y = f ( x )
类似解代数方程组消去一个未知数,消去 类似解代数方程组消去一个未知数 消去 x
(1) ( 2) × D :
x D3 y = et , ( D 4 + D 2 + 1) y = De t .
4 2 t
(３) ３ (４) ４ (５) ５
( 2) ( 3) × D :
即
( D + D + 1) y = e
二、常系数线性微分方程组的解法
步骤: 步骤: １． 从方程组中消去一些未知函数及其各阶导 数，得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性 微分方程． 微分方程． ２．解此高阶微分方程,求出满足该方程的未知 解此高阶微分方程, 函数. 函数. ３．把已求得的函数带入原方程组,一般说来， 把已求得的函数带入原方程组,一般说来， 不必经过积分就可求出其余的未知函数． 不必经过积分就可求出其余的未知函数．
代入(1)式并化简 把(3), (4)代入 式并化简 得 代入 式并化简,
常系数线性微分方程组
基解矩阵
d x Ax (33) dt
定理8 矩阵 (t) exp At
是常系数线性方程组(33)的基解矩阵（即基本解组),
且Φ(0)=E。方程组(33)的任一解可表为(expAt)c。
证 显然， Φ(0)=exp0=E ，且
'(t) exp At ' A A2t A3t2 Ak1tk
• 而由绝对收敛的乘法定理又有
exp
A exp B
i0
Ai i!
j0
Aj j!
k
k0 l0
Al l!
Bkl (k l)!
• 比较上两式，即得 exp(A+B)=expA·expB
3 第五章线性方程组§5.2
矩阵指数性质(3)(4)
矩阵指数性质(2)
(2) 矩阵A、B可交换，即AB=BA时有
exp(A+B)=expA·expB； 证 利用绝对收敛级数的重排定理证明。
• 由二项定理及AB=BA有
exp(A B) (A B)k k0 k !
k 0
l
k 0
l
Al Bk !(k
l l)!
5
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
u
u1 u2
5
3
2
6
34
0
必得须解满足u 线性1i代数此方即程为组对应(1特E 征A)值u λ155=i 3+55i5i的uu12 特 征55ui向u115量5iuu。22 0
消元法求解常系数线性微分方程组
消元法求解常系数线性微分方程组下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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常系数线性方程组基解矩阵的计算
常系数线性方程组基解矩阵的计算董治军（巢湖学院 数学系，安徽 巢湖 238000）摘 要：微分方程组在工程技术中的应用时非常广泛的，很多问题都归结于它的求解问题，基解矩阵的存在和具体寻求是分歧的两回事，一般齐次线性微分方程组的基解矩阵是无法通过积分得到的，但当系数矩阵是常数矩阵时，可以通过 方法求出基解矩阵，这时可利用矩阵指数exp A t ，给出基解矩阵的一般形式，本文针对应用最广泛的常系数线性微分方程组，结合微分方程，线性代数等知识，讨论常系数齐次线性微分方程的基解矩阵的几个一般的计算方法. 关键词；常系数奇次线性微分方程组；基解矩阵；矩阵指数Calculation of Basic solution Matrix of Linear Homogeneous System with Constant CoefficientsZhijun Dong(Department of Mathematics,Chaohu CollegeAnhui,Chaohu)Abstract:Differential equations application in engineering technology is very extensive, when many problems are attributable to its solving problem, base solution matrix existence and specific seek is different things, general homogeneous linear differential equations is not the base solution matrix by integral get, but when coefficient matrix is constant matrix, can pass out the base solution matrix method, then are available matrix exponential t, the general form base solution matrix, the paper discusses the most widely used differential equations with constant coefficients, combined with differential equations, linear algebra, discuss knowledge of homogeneous linear differential equation with constant coefficients of base solution matrix several general calculation method.Keyword:linear homogeneous system with constant coefficients; matrix of basic solutions; matrix exponent引言:线性微分方程组的求解历来是常微分方程的重点，根据线性微分方程组的解的结构理论，求解线性微分方程组的关键在于求出对应齐次线性微分方程组的基解矩阵，本文主要讨论齐次线性微分方程组 X’＝AX ★的基解矩阵的计算问题，这里A 是n n ⨯常数矩阵.一．矩阵指数exp A 的定义和性质： 1.矩阵范数的定义和性质 定义：对于n n ⨯矩阵A ＝ij a ⎡⎤⎣⎦n×n 和n 维向量X ＝()1,...,Tn X X 定义A 的范数为A ＝,1niji j a=∑ ，X =1nii x=∑设A ，B 是n×n 矩阵，x ，y 是n 维向量，易得下面两个性质： （1）AB ≤A B ，AX ≤A X ； （2）A B +≤A +B ，X Y +≤X +Y .2.矩阵指数exp A 的定义和性质：(!)定义：如果A 是一个n×n 常数矩阵，我们定义矩阵指数exp A 为下面的矩阵级数的和：exp A =!kA k k ∞=∑=E+A+22!A +…+!m A m +… （1.0）其中E 为n 阶单位矩阵，m A 是A 的m 次幂，这里我们规定0A =E ，0！=1 这个级数对于所有的A 都是收敛的.因次exp A 是一个确定的非负矩阵，特此外，对所有元均为0的零矩阵0，有exp0=E.事实上，由上面范数的性质（1），易知对于一切正整数k ，有!kA k ≤!k Ak ，又因对于任一矩阵A ，A 是一个确定的实数，所以数值级数E +A +22!A +…+!mA m +… 是收敛的.进一步指出，级数exp A t=!0kkA k k t ∞=∑在t 的任何有限区间上是一致收敛的. 事实上，对于一切正整数k ，当t ≤c （c是某一整数）时，有!k k A k t ≤!k kA k t ≤!k A k k c ，而数值级数()!kA c k k ∞=∑是收敛的，因而exp A t=!k kA k k t ∞=∑是一致收敛的.（2）矩阵指数exp A 的性质：①若矩阵A ，B 是可交换的，即AB=BA ，则exp A （A+B ）=exp A exp B ；②对于任何矩阵A ，()1exp A -存在，且()1exp A -=exp （-A ）； ③如果T 是非奇异矩阵，则 exp （1T -AT ）=1T -（exp A ）T . 3.有关常系数奇次线性微分方程组★的基本问题 定理1：矩阵Φ（t ）=exp A t （1.1） 是★的基解矩阵，且Φ（0）=E.证明：由定义易知Φ（0）=E ，将（1.1）对t 求导，得'Φ（t ）=()'exp At =A+21!A t+322!A t +…+1(1)!kk A k t --+… =A exp A t = A Φ（t ） 这就标明，Φ（t ）是★的解矩阵，又det Φ（0）=det E =1 因此φ（t ）是★的解矩阵. 证毕.注1：由定理1，我们可以利用这个基解矩阵推知★的任一解ϕ（t ）=（exp A t ）C 这里C 打、是一个常数向量.例1：如果A 是一个对角矩阵A=12n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（其中未写出的元均为零） 试找出x '=Ax 的基解矩阵.解：由（ 1.0）可得exp A t=E+12n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1!t +221222!2t n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦+12!k kk t k k n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦+…=12n a t a ta t e e e ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦根据定理1，这就是一个基解矩阵. 例2：试求x '=2102⎡⎤⎢⎥⎣⎦x 的基解矩阵. 解：因为A=2102⎡⎤⎢⎥⎣⎦=2002⎡⎤⎢⎥⎣⎦+0100⎡⎤⎢⎥⎣⎦而且后面的两个矩阵是可交换的，得到 exp A =exp 2002⎡⎤⎢⎥⎣⎦t ⋅exp 0100⎡⎤⎢⎥⎣⎦t=2200tt e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦222!01010000t E t ⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪+++⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭但是20100⎡⎤⎢⎥⎣⎦=0000⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以 级数只要两项，因此 基解矩阵是exp A t= 2101t t e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 二．基解矩阵的计算1.基于特征值和特征向量型计算基解矩阵类似于一阶齐次线性微分方程，希望方程组★有形如()t t e C λϕ=的解，其中λ为待定的参数，C 为待定的n 维非零向量，将之代入方程组，得到 tte C Ae C λλλ=，即有 ()0E A C λ-= （1.2）要使齐次线性代数方程组（1.2）有非零解向量，应有det()0E A λ-= （1.3）称式（1.3）为方程组★的特征方程，称λ为A 的特征值.称非零向量C 为A 的对应于特征值λ的特征向量.于是有如下结论:()t t e C λϕ=为方程组★的充分需要条件是λ为A 的特征值，且C 为对应于λ的特征向量.这样就提供了用代数方法求解的平台.（1）设A 具有n 个线性无关的特征向量12,,n v v v ，它们对应的特征向量分别为12,n λλλ（不必各不相同）易知矩阵1212()(,,)nt t t n t e v e v e v λλλΦ=t R ∀∈是常系数齐次线性微分方程组★的一个基解矩阵.事实上，由上面讨论知道向量函数i ti e v λ（1≤i ≤n ） 都是方程组★的一个解，因此()t Φ是方程★的解矩阵.计算12det (0)det(,,)0n v v v Φ=≠ 于是()t Φ是方程组★的基解矩阵.注2：当A 是n 个分歧的特征值时，就满足上述性质.注3：此处()t Φ纷歧定是尺度基解矩阵exp A t ，但由线性微分方程组的一般理论知：存在一个n 个非奇异矩阵C ，有exp A =()t C Φ⋅ 令t=0，得C=1(0)-Φ 即exp A t=1()(0)t -Φ⋅Φ于是当A 是实矩阵时，则exp A t 为实的，这样上式就给出了一个构造实基解矩阵的方法.例3：利用特征值与特征向量求基解矩阵的方法，求解例1中的一个基解矩阵.解:显然A 是对角矩阵，它有n 个特征值(1)i i a i n λ=≤≤对于每个特征值i λ易知其对应的特征向量为(0,1,0)T i C =即有()0i i E A C λ-=而这些特征向量12,n C C C 线性无关，由注2，于是方程组有基解矩阵()121212(),,n n a ta ta ta t a tna t e e t e C e C e C e ⎡⎤⎢⎥⎢⎥Φ==⎢⎥⎢⎥⎣⎦这与例1 的计算结论一样.例4：试求方程组x Ax '=，其中3553A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的一个基解矩阵. 解：A 的特征值就是特征方程235det()634053E A λλλλλ---==-+=-的根，解之得1,235i λ=± 对应与特征值135i λ=+的特征向量，计算齐次线性代数方程11255()055u i E A u u i λ-⎡⎤⎡⎤-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 因此1u i α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是对应于1λ的特征向量，类似的，可以求得对应于2λ的特征向量1i v β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 其中,0αβ≠为任意常数，而121,1i v v i ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦是对应于12,λλ的两个线性无关的特征向量.根据注2，于是矩阵()()()()()123535123535(),i ti tt ti t i te ie t e v e v ie e λλ+-+-⎡⎤Φ==⎢⎥⎢⎥⎣⎦就是方程组的一个基解矩阵. 再由注3，实基解矩阵为()()()()()()()()13535353513123535353511cos5sin 5exp ()(0)11sin 5cos5i ti ti ti tt i ti ti t i te ie i e ie i t t At t e i i t t iee iee -+-+--+-+-⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=ΦΦ===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（2）设A 有k 个分歧的特征值12,k λλλ它们的重数分别为12,,k n n n 其中12k n n n n +++=那么如何计算exp At ？回忆高等代数理论，对应于j n 重特征值j λ的如下线性代数方程组()0j nj E A u λ-= （1.4）的解全体构成n 维欧几里得空间的一个j n 维子空间()j U i j k ≤≤而且n 维欧几里得空间可暗示成12,k U U U 的直和，由此对于n 维欧几里得空间的每一个向量u ，存在唯一组向量12,ku u u 其中(1)j j u U j k ∈≤≤使得分解式为12k u u u u =+++（1.5）因此，一方面 对于★的初始值0(0)x x =，应用式（1.5）知存在j j v U ∈有012kx v v v =+++注意到空间j U 的构造，即知j v 是式（1.4）的解，即有()0j nj j E A v λ-=因而有()0l j j E A v λ-=,1j l n j k ≥≤≤ （1.6）另一方面，j E λ-为对角矩阵，因此由例1知exp()j j j ttj t e eEt e λλλλ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦故有()j t j e Et E λλ-= 计算(exp )(exp )j j At v At Ev =(exp )exp()j tj jAt e Et v λλ=-=(exp())j tj je A E t v λλ-=(()j tj e E t A E λλ+-+12122!(1)!()())n jj j n t t j j j n A E A E v λλ----++-所以方程组★满足初始条件()00x x =的解()t ϕ为()()()()012exp exp k t At x At v v v ϕ==+++=()()1!110exp i i j in kkttj j j i j j i At v e A E v λλ-===⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑ （1.7） 同时注意到()()()()()()12exp exp exp ,exp ,exp nAt At E At e At e At e ==其中[][][]121,0,0,0,1,00,0,1TTTn e e e ===即在上面初始条件中分别令01020,,n x e x e x e ===应用式（1.7）求得n 个解，然后以这n 个解作为列即得exp At .注4：当A 只有一个特征值时，即λ为n 重的，因此nv R ∀∈都有()0E A v λ-=这标明()nE A λ-为零矩阵.则()()exp exp exp exp tAt AtE At e Et λλ⎡⎤==-=⎣⎦()()1!0exp in itt i i e A E t A E λλλ-=-=-∑（1.8）注5：式（1.7）标明方程组的任一解都可以经过有限次代数运算求出.例5：若A 是例2中的矩阵，求初值问题()0,0x Ax x x '==的解和exp At . 解：本题用两种方法计算exp At 和()t ϕ方法一：易知1,22λ=是A 的二重特征值，此时，A 只有一个特征值，根据式（1.8）计算有exp At =()()()1222!12201i itttt i i t eA E e E t A E e =⎡⎤-=+-=⎢⎥⎣⎦∑和特解()t ϕ=（exp At ）0x .方法二：1,22λ=是A 的二重特征值，这时212,n R =只有一个子空间1U ，0x =12x x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦不需要分解，根据式（1.7）有()t ϕ=()1222022t tx tx e E t A E x e x +⎡⎤+-=⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 分别取010210,01x e x e ⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦代入上式中的()t ϕ中，则()()22121,01tt t t e t e ϕϕ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以()()()2121exp ,01t t At t t e ϕϕ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦和特解()t ϕ=()0exp At x . 例6：考虑方程组x Ax '=，其中311201112A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦试求满足初始条件()[]01230Tx x x x x ==的解，并求exp At .解：A 的特征方程为()()()2311det 21120112E A λλλλλλ--⎡⎤⎢⎥-=--=--=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦121,2λλ==分别为121,2n n ==重特征根，为了确定3R 的子空间12,U U 由式（1.4） 首先考虑齐次线性代数方程组()1232112110111u A E u u u λ-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦解得[]1011T u α=，其中α为任意常数. 因此1U 是由1u 构成的一维子空间，其次考虑齐次线性方程组()122300021100110u A E u u u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦解得2101001u βγ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦其中,βγ为任意常数.因此2U 是由2u 构成的二维子空间.下面对初值()00x x =进行分解，有012x u u =+ 即123010110101x x x αβγ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦于是112121213210,x v x x v x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦根据式（ 1.7） 有()()2122t t t e Ev e E t A E v ϕ=++-⎡⎤⎣⎦=()()13212211321213210t t x t x x x e x x e x t x x x x x x x x +-+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-++-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦最后为了得到exp At ，依次分别令0001000,1,0001x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦代入上式得到3个线性无关解()()()123,,t t t ϕϕϕ 于是()()()()()2222221232221exp 1tt t t tt t t t t t tt t e te te At t t t e t ee te te e e e e e ϕϕϕ⎡⎤+-⎢⎥==-++-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎢⎥-+-⎣⎦2：“哈密顿-凯莱”法：设A 是方程组★的n n ⨯实系数矩阵，()p λ是A 的特征多项式，()()111det n n n n p A E a a a λλλλλ--=-=++++特征方程为A 的()111nn n n p a a a λλλλ--=++++=0 （1.9）方程（ 1.9）的根12,n λλλ是矩阵A 的特征多项式，且有()()()()11n n p λλλλλλλ-=---哈密顿-凯莱定理：设()p λ是矩阵A 的特征多项式，则()1110n n n n p A A a A a A a E --=++++=亦即()()()()110n n p A A E A E A E λλλ-=---=定理：设12,n λλλ是矩阵A 的n 个特征值（它们纷歧定不相等）则()()110exp n i i i At r t p -+==∑（2.0）其中()()()011,i i i p E p A E A E A E λλλ-==---()1,2,i n =并有()()()12,n r t r t r t 是初值问题()()1111101,00j j j j j r r r r r r r λλ-⎧'=⎪⎪'=+⎨⎪==⎪⎩()2,3j n = （2.1）的解.推论：若A 只有一个特征值λ，则()1!exp exp in it i i At tA E λλ-==-∑上述定理将计算exp At 的问题转化为求方程组（2.1）满足初始条件的解的问题，由于方程组（2.1）是一个特殊的一阶常系数齐次线性方程组，容易直接求解.因而由公式（2.0）就可以直接求出方程组★的基解矩阵exp At .例7：求常系数齐次线性方程组x Ax '=，其中233453442A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的解. 解：A 的特征方程为()()()()233det 453122442A E λλλλλλλ--⎡⎤⎢⎥-=--=-++-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦=0 解得特征值为1231,2,2λλλ=-=-=求解初值问题：()()()112123231232201,00,00r r r r r r r r r r r ⎧'=-⎪⎪'=-⎪⎨'⎪=+⎪===⎪⎩ 得()()()2221111233412,,t t t t tr t e r t e e t r t e e e-----==-=-++又因()()11212333121212443,121212443121212p A E p A E A E λλλ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-=--=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦则由公式：得()2222222221022222exp tt t t t t tt t tt t i i i t t t tt e e e e e At r t p e e e e e e e e e e e e -----+=--⎡⎤--+⎢⎥==-++--+⎢⎥⎢⎥---⎣⎦∑. 3:算子构造法： 其构造步调是：① 利用已引入的微分算子dD dx=写出★的微分算子暗示; ② 用算子法求解★的微分算子暗示的方程组得其通解：()()()()11221212,,,,,n n n n y x c c c y x c c c y x y x c c c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； ③ 依次令12100010,,001n c c c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 代入上述通解，则得★得n 个线性无关的特解()()()12,,n y x y x y x ；④ 以()()()12,,n y x y x y x 为列作成的矩阵()()()()12n Y x y x y x y x =⎡⎤⎣⎦就是★的基解矩阵，且★夫人矩阵指数函数形式的基解矩阵为：()()10Axe Y x Y -=.例8：试求方程组1211,13y y y y y -⎡⎤⎡⎤'==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（2.2） 的基解矩阵，并求11.13Ax e A ⎛-⎫⎡⎤= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭. 解：①（2.2）的算子暗示就是()()12121030D y y y D y -+=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩ （2.3）②求解（2.3）111013D y D -⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦即()2120D y -= （2.4） 于是（2.4）的通解为()2112xy C C x e=+12,C C 为任意常数 （2.5）（2.5）代入（2.3）的第一个方程得()()2221111221xx y D y Dy y C C x eC xe =--=-+=-+-故（2.3）的通解为()()2112222122x x xy C C x e y C C e C xe ⎧=+⎪⎨=-+-⎪⎩12(,C C 为任意常数） ③依次令1210,01C C ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦得（ 2.3）的两个线性无关解()()()221222,1x x x x xe e y x y x x e e ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-+-⎣⎦⎣⎦； ④ 以12,y y 作列而成的矩阵：()[]()()2221221111xx x x x e xe Y x y y e x ex e ⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥--+--+⎣⎦⎣⎦ 就是（2.2）的一个基解矩阵. ⑤求（2.2）的基解矩阵Axe 因()10011Y ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，故()110011Y -⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦于是Axe =()22110111111xx x x x e x x x e --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 结束语：关于基解矩阵exp At 的计算，还可以利用矩阵的约当尺度型等有关线性代数知识进行计算，在此不作详述. 参考文献：[]1王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松 常微分方程 高等教育出版社； []2西南师范大学数学与财经学院 常微分方程 西南师范大学出版社； []3肖箭，盛立人，宋国强 常微分方程简明教程 科学出版社； []4王翊，陶怡 常系数齐次线性微分方程组的解法 牡丹江大学学报.。
李金城 25 数学08-1 常系数线性微分方程组的矩阵解法
摘要在常微分方程中，介绍了解常系数线性微分方程组的消元法，它是解常系数线性微分方程组的最初等的方法，适用于知函数较少的小型微分方程组。
对于未知函数较多时，用消元法则会非常不便，为此应寻求更为有效的方法。
在掌握线性代数的知识后，用矩阵法解常系数线性齐次微分方程组较为方便。
关键词：基解矩阵特征方程特征值特征向量AbstractIn the ordinary differential equation, introduced that understood often the coefficient linear simultaneous differential equation's elimination, it is the solution often the coefficient linear simultaneous differential equation's most primary method, is suitable in knows the function few small simultaneous differential equation. Are many when regarding the unknown function, will be inconvenient with the elimination, for this reason should seek a more effective method. After grasping the linear algebra the knowledge, the coefficient linearity homogeneous simultaneous differential equation is often more convenient with the matrix technique solution.Keywords: basic solution of matrix characteristic equation eigenvalue Characteristic vector第一章：矩阵指数A引言已知常系数线性微分方程组：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=n nn n n n nn n n xa x a x a dtdx x a x a x a dtdx x a x a x a dt dx (22112222121212121111)（1） 的求解方法，通常可以用消元法将方程组化为一元的高阶微分方程：0 (111)111=+++--x b dtx d b dt x d n n n nn 来求解。
常微分方程4.4常系数齐线性方程组
目录
• 常系数齐线性方程组的定义 • 常系数齐线性方程组的解法 • 常系数齐线性方程组的应用 • 常系数齐线性方程组的扩展
01
常系数齐线性方程组的 定义
定义与特性
定义
常系数齐线性方程组是由n个一阶常微分方程组成的方程组，形如$y' = f(x) = a_{1}y + a_{2}y' + ldots + a_{n}y^{(n-1)}$，其中$a_{1}, a_{2}, ldots, a_{n} FOR WATCHING
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02
常系数齐线性方程组的 解法
特征值与特征向量
特征值
对于常系数齐线性方程组，其特征值是方程组的解，对应于特征值的线性无关的解称为特征向量。
特征向量的求解
通过将特征值代入方程组，可以得到特征向量。
方程组的解法
代数解法
通过对方程组进行代数运算，求解出方 程组的解。
VS
微分方程解法
通过对方程组进行微分运算，求解出方程 组的解。
04
常系数齐线性方程组的 扩展
高阶线性方程组
01
高阶线性方程组是指微分方程中未知数的导数次数 高于一次的方程组。
02
高阶线性方程组在物理、工程和经济学等领域有广 泛应用。
03
解决高阶线性方程组的方法包括分离变量法、幂级 数法等。
非线性方程组
01 非线性方程组是指微分方程中包含未知数及其导 数的非线性项的方程组。
解的稳定性与不稳定性
要点一
稳定性
当方程组的解在时间变化过程中保持稳定时，称为稳定。
要点二
不稳定性
当方程组的解在时间变化过程中发生振荡或发散时，称为 不稳定。
三阶常系数线性方程组通解形式
三阶常系数线性方程组通解形式三阶常系数线性方程组通解形式是指一组三个未知数的三个线性方程组，其系数项均为常数，可以求出其通解的形式。
一、三阶常系数线性方程组的一般形式三阶常系数线性方程组的一般形式可以表示为：$$a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b_1$$$$a_4x_1+a_5x_2+a_6x_3=b_2$$$$a_7x_1+a_8x_2+a_9x_3=b_3$$其中，$a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7,a_8,a_9$ 均为常数，$x_1,x_2,x_3$ 为未知数，$b_1,b_2,b_3$ 为常数。
二、三阶常系数线性方程组通解的计算过程1. 求解方程组的系数矩阵首先，我们将上述三阶常系数线性方程组中的系数项构成一个系数矩阵：$$\left[\begin{matrix}a_1 & a_2 & a_3\\ a_4 & a_5 & a_6\\ a_7 & a_8 & a_9\end{matrix}\right]$$2. 求解系数矩阵的行列式接下来，我们求出这个系数矩阵的行列式：$$\Delta=a_1a_5a_9+a_2a_6a_7+a_3a_4a_8-a_7a_5a_3-a_1a_6a_8-a_2a_4a_9$$3. 求解未知数如果$\Delta\neq 0$，那么本组方程有唯一解，我们可以利用行列式的性质，求出三个未知数的值：$$\left[\begin{matrix}x_1\\x_2\\x_3\end{matrix}\right]=\frac{1}{\Delta}\left[\begin{mat rix}b_1a_5a_9+a_2a_6a_7+a_3a_4a_8-b_2a_4a_9-b_3a_6a_7-a_1a_8a_3\\b_2a_3a_9+a_1a_6a_8+a_2a_4a_7-b_1a_4a_7-b_3a_5a_8-a_2a_9a_3\\b_3a_2a_8+a_1a_5a_7+a_3a_4a_6-b_1a_4a_6-b_2a_5a_7-a_3a_8a_1\end{matrix}\right]$$4. 求解通解最后，我们可以得到三阶常系数线性方程组的通解：$$x_1=\frac{b_1a_5a_9+a_2a_6a_7+a_3a_4a_8-b_2a_4a_9-b_3a_6a_7-a_1a_8a_3}{a_1a_5a_9+a_2a_6a_7+a_3a_4a_8-a_7a_5a_3-a_1a_6a_8-a_2a_4a_9}$$ $$x_2=\frac{b_2a_3a_9+a_1a_6a_8+a_2a_4a_7-b_1a_4a_7-b_3a_5a_8-a_2a_9a_3}{a_1a_5a_9+a_2a_6a_7+a_3a_4a_8-a_7a_5a_3-a_1a_6a_8-a_2a_4a_9}$$ $$x_3=\frac{b_3a_2a_8+a_1a_5a_7+a_3a_4a_6-b_1a_4a_6-b_2a_5a_7-a_3a_8a_1}{a_1a_5a_9+a_2a_6a_7+a_3a_4a_8-a_7a_5a_3-a_1a_6a_8-a_2a_4a_9}$$三、三阶常系数线性方程组通解的应用三阶常系数线性方程组通解形式可以应用于求解一些物理、化学等自然科学方面的问题。
常系数线性微分方程组的解法举例
给定一个n阶常系数线性微分方程组，其一般形式为y' = Ay，其中y是一个n维向量，A是一个n×n的常数 矩阵。
线性微分方程组的分类
按照矩阵A的特征值分类
根据矩阵A的特征值，可以将线性微分方 程组分为稳定、不稳定和临界稳定三种 类型。
VS
按照解的形态分类
根据解的形态，可以将线性微分方程组分 为周期解、极限环解和全局解等类型。
总结解法技巧与注意事项
• 分离变量法：将多变量问题转化 为单变量问题，通过分别求解每 个变量的微分方程来找到整个系 统的解。
总结解法技巧与注意事项
初始条件
在求解微分方程时，必须明确初始条件，以便确定解 的唯一性。
稳定性
对于某些微分方程，解可能随着时间的推移而发散或 振荡，因此需要考虑解的稳定性。
常系数线性微分方程组的 解法举例
• 引言 • 常系数线性微分方程组的定义与性质 • 举例说明常系数线性微分方程组的解
法 • 实际应用举例 • 总结与展望
01
引言
微分方程组及其重要性
微分方程组是描述物理现象、工程问 题、经济模型等动态系统的重要工具。
通过解微分方程组，我们可以了解系 统的变化规律、预测未来的状态，并 优化系统的性能。
04
实际应用举例
物理问题中的应用
电路分析
在电路分析中，常系数线性微分方程组可以用来描述电流、电压和电阻之间的关系。通过解方程组，可以确定电 路中的电流和电压。
振动分析
在振动分析中，常系数线性微分方程组可以用来描述物体的振动行为。通过解方程组，可以预测物体的振动模式 和频率。
经济问题中的应用
供需关系
要点二
详细描述
初始条件是微分方程组中描述系统在初始时刻状态的约束 条件。它们对微分方程组的解具有重要影响，决定了解的 初始状态和行为。在求解微分方程组时，必须考虑初始条 件的影响，以确保得到的解是符合实际情况的。不同的初 始条件可能导致完全不同的解，因此在求解微分方程组时 ，需要仔细选择和确定初始条件。
常系数线性微分方程的求解
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%0（+）(11（+），仍是求如（4）的特解。如果由方程（4）求得的特解为"*（+），对应的方程（3）的特解
是："（+）%5*（"*（+）*（$&1"）+）。
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（’!）
利用通常的比较系数法要求出通解（’!）是相当困难的，作变量代换后把求解方程（’#）的问题
变得得容易了。
参考文献：
［’］ 王高雄等8常微分方程8北京：高等教育出版社，!###
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常系数线性齐次微分方程组的矩阵解法
常系数线性齐次微分方程组的矩阵
解法
常系数线性齐次微分方程组（LCCDE）是一类与定常差分方程组（LDE）类似的微分方程组，区别在于其中的系数是常数。
例如，LCCDE可以被表述为：
dy/dx + p_1(x)y + p_2(x)y' + ... + p_n(x)y^(n-1)=0
其中p_1(x),p_2(x),...,p_n(x)是常数。
矩阵解法是根据LCCDE来计算特解的一种解法，它基于Cramer规则对LCCDE给出解析解。
更具体地说，矩阵解法将LCCDE转换为一组线性方程组，采用矩阵乘法来求解此方程组，并将答案代入原微分方程组中，从而求得特解。
例如，考虑以下LCCDE：
dy/dx + 4y + 5y' + 6y''=0
我们可以将其转换为一组线性方程组：
a_0y+a_1y'+a_2y''=0 a_3y+a_4y'+a_5y''=0
a_6y+a_7y'+a_8y''=0
其中a_i (i=0,1,...,8)是常数，可以根据上面的LCCDE逐步求得。
然后，我们可以将上面的方程组转换为形如Ax=b的矩阵相乘方程，其中A是系数矩阵，x是未知向量，b是右端项向量。
矩阵相乘方程可以用Cramer规则计算得到解析解，然后将解代入原LCCDE，就可以求得特解。
常系数齐次线性微分方程组
dx (t ) du (t ) dv (t ) i A(t ) u (t ) iv (t ) dt dt dt A(t )u (t ) iA(t )v (t )
由于两个复数表达式相等等价于实部和虚部相等，
常系数线性方程组
所以有
du (t ) dv (t ) A(t )u (t ), A(t )v (t ) dt dt 即 u (t ) 和 v (t ) 是方程组（2）的解.
X (t ) X (t ) X 1 (0)
常系数线性方程组
1 0 0 3 3 t e cos 2t sin 2t cos 2t sin 2t . 2 2 3 1 sin 2t cos 2t sin 2t cos 2t 2
0
(1)矩阵A具有n个互不相同的特征值时 由线代知识知道A一定有对应的n个线性无关 的特征向量。
常系数线性方程组
5 28 18 dx x 的通解. 1 5 3 例1 求方程组 dt 3 16 10
解 系数矩阵A的特征方程为
det( E A) 3 (1 2 ) 0
§7.3 常系数线性方程组
常系数线性方程组
一阶常系数线性微分方程组:
dx Ax f (t ), dt
（ 1）
这里系数矩阵A为n n常数矩阵, f (t )在 a t b上连续的向量函数;
若f (t ) 0, 则对应齐线性微分方程组为
dx Ax (2) dt
本节先讨论(2)的基解矩阵的求法.
t
3e 0 et
t
故通解为
2 2et x (t ) (t )C 1 et 1 2et
常系数线性常微分方程
03 线性微分方程组的解法
矩阵表示法
矩阵表示法是一种将线性微分方程组 转换为矩阵形式的方法，通过矩阵运 算来求解微分方程组。
矩阵表示法可以简化计算过程，提高 求解效率，尤其适用于高阶线性微分 方程组。
特征值和特征向量
特征值和特征向量是线性微分方程组解的重要性质，它们描述了微分方程 组的解的特性。
投资回报
在金融领域，常系数线性常微分方程可以用来描述投资回报率随时 间的变化，为投资者提供决策依据。
经济增长模型
通过建立常系数线性常微分方程，可以分析一个国家或地区的经济 增长趋势，预测未来的经济状况。
在生物中的应用
1 2 3
生态模型
常系数线性常微分方程在生态学中广泛应用于描 述种群数量的变化规律，如种群增长、竞争等。
积分因子法
总结词
通过寻找一个积分因子，将微分方程转化为 积分方程，从而求解。
详细描述
积分因子法是一种求解常系数线性常微分方 程的方法。通过寻找一个积分因子，可以将 微分方程转化为积分方程，然后通过求解积 分方程得到原微分方程的解。这种方法在求 解某些特定类型的微分方程时非常有效，例 如通过寻找适当的积分因子可以将一阶线性
热传导问题
在热传导过程中，常系数线性常 微分方程可以用来描述温度随时 间的变化，从而分析热量传递的 规律。
波动方程
在声学和电磁学中，常系数线性 常微分方程可以用来描述波动现 象，如声波和电磁波的传播。
在经济中的应用
供需模型
常系数线性常微分方程可以用来描述市场的供需关系，分析价格 随时间的变化，预测市场趋势。
02
线性微分方程组的解还具有唯 一性和存在性，即对于给定的 初始条件和边界条件，存在唯 一的解。
常系数线性微分方程组
微分方程组的分类
按阶数分类
根据微分方程中导数的最高阶数，可以将微分方程组分为一阶、二阶和高阶微分方程组。
按线性与非线性分类
根据微分方程中是否含有未知函数的非线性项，可以将微分方程组分为线性微分方程组和非线性微分方程组。
02 一阶常系数线性微分方程 组
定义与解法
定义
一阶常系数线性微分方程组是形如 `y' + p(t)y = q(t)` 的方程，其中 `p(t)` 和 `q(t)` 是已知函数， `y(t)` 是未知函数。
在经济中的应用
金融分析
常系数线性微分方程组可以用来 描述股票价格、汇率等金融变量 的变化规律。
供需模型
在经济学中，常系数线性微分方 程组可以用来描述商品价格随时 间的变化规律，以及供需关系的 变化。
经济增长模型
在经济研究中，常系数线性微分 方程组可以用来描述一个国家或 地区的经济增长趋势。
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解法
常用的解法有分离变量法、变量代换法、积分因子法等，这些方法可以将微分方程转化为代数方程， 从而求解未知函数。
特解的求解方法
1 2
特解的概念
特解是指满足微分方程的某个特定条件的解。
求解方法
对于给定的特解条件，可以通过代入法、常数变 易法等求解特解。
3
举例
对于方程 `y' + 2y = 3`，如果要求特解满足条件 `y(0) = 1`，可以通过代入法和常数变易法求解 得到特解为 `y = 3 - 2t`。
特解的求解方法
特解
满足特定初始条件的解称为特解。
求解方法
根据初始条件，将特解设为满足该条件的形式，然后代入原方程进行求解，得到特解的 具体形式。
二元一阶常系数线性微分方程组的新解法
二元一阶常系数线性微分方程组的新解法赵临龙【摘要】By employing the eigenvector K=(k1,k2) which satisfies the equations KT(A-λE)=0 of the characteristic equations |A-λE |=0,the bivariate first order linear differential equations with constant coefficients can be transformed into the bivariate linear algebraic equationsk1x1+k2x2=C1eλt+eλt∫(k1 f1+k2 f2)e-λtdt . Then combining the theories of the linear algebraic equations and the first order linear differential equations,the solutions of the original differential equations are given.%对于二元一阶常系数线性微分方程组:x′=Ax+f(t),引入特征根方程|A-λE|=0的特征行向量K=(k1,k2)(其中K满足:KT(A-λE)=0)概念,将二元一阶常系数线性微分方程组,化为二元一次代数线性方程:k1x1+k2x2=C1eλt+eλt∫(k1 f1+k2 f2)e-λtdt,并结合代数线性方程和一阶线性微分方程的理论,给出原微分方程组的解.【期刊名称】《河南科学》【年(卷),期】2017(035)005【总页数】5页(P673-677)【关键词】常系数线性微分方程组;代数线性方程组;特征根【作者】赵临龙【作者单位】安康学院数学与统计学院,陕西安康 725000【正文语种】中文【中图分类】O175.14对于二元一阶线性微分方程组：一般都是用基解矩阵或拉普拉斯变换等方法给出解，但这些方法都比较繁琐［1-15］.文献［16-17］讨论了二元一阶线性齐次微分方程组的特殊形式的解法，文献［18］对于二元一阶线性齐次微分方程组的解法进行研究，给出相应结论.本文将对二元一阶线性非齐次微分方程组的解法进行讨论.对于常系数线性方程组（1），设是不全为零的常数，使得因此，依然将方程称为方程（1）的特征方程，而将满足（3）的k1,k2称为各特征根λ所对应的特征行向量.引理1若特征方程有2重特征根λ，则引理2若特征方程有2重特征根λ，则对于有1.1 矩阵A的特征根均是单根定理1如果常系数线性齐次方程组（1）的特征方程有2个互异的特征根λ1,λ2，而对应的两组线性无关的特征行向量为则（1）化为代数线性方程组其中：C1,C2为常数.证明设方程组（1）的系数矩阵A的2个互异的特征根为λ1,λ2，由（8）得到线性无关的特征行向量为k1,k2，则方程（1）化为（5）.1.2 矩阵A的特征根是2重根定理2如果常系数线性齐次方程组（1）的特征方程是2重特征根λ，而对应的线性无关的特征行向量为满足（3），则（1）化为代数线性方程组其中：i=1,2，j=2,1；C1,C2为常数.证明若方程组（1）的特征方程特征根为λ，对应的线性无关的特征行向量满足则有代数线性方程若方程组（1）的特征方程是2重特征根λ，得到方程对于特征根λ，对应的线性无关的特征行向量由引理1，可取：现不妨取考虑新方程组其中：x0为常数，特征根为λ.根据引理2结论则由（7）和（9）得到结论（6）.同理，对于k2≠0，可得到即结论（6）依然成立.例1［19］解方程组解由特征方程得特征根为对于所对应的特征行向量满足求得有代数方程：对于所对应的特征数满足求得K1=(1,-i)，有代数方程：若设于是，可求得解.例2［20］解方程组解由特征方程得特征根为对于所对应的特征行向量满足【相关文献】［1］丁崇文.常微分方程习题与解答［M］.厦门：厦门大学出版社，1998.［2］丁崇文.常微分方程习题与解答［M］.2版.厦门：厦门大学出版社，2005.［3］王高雄，周之铭，朱思铭，等.常微分方程［M］.3版.北京：高等教育出版社，2006.［4］窦霁虹.常微分方程导教·导学·导考［M］.2版.西安：西北工业大学出版社，2007.［5］朱思铭.常微分方程学习辅导与习题解答［M］.北京：高等教育出版社，2009.［6］丁同仁.常微分方程［M］.北京：高等教育出版社，2010.［7］韩茂安.常微分方程［M］.北京：高等教育出版社，2011.［8］杜正东，徐冰，何志蓉.常微分方程学习指导［M］.北京：科学出版社，2011.［9］袁荣.常微分方程［M］.北京：高等教育出版社，2012.［10］蔡燧林.常微分方程［M］.3版.杭州：浙江大学出版社，2013.［11］马德高.常微分方程辅导及习题精解［M］.3版.延吉：延边大学出版社，2013.［12］郭玉翠.常微分方程习题解答与学习指导［M］.北京：清华大学出版社，2013.［13］李必文，赵临龙，张明波.常微分方程［M］.武汉：华中师范大学出版社，2014.［14］张伟年，杜正东，徐冰.常微分方程［M］.2版.北京：高等教育出版社，2014.［15］张祥.常微分方程［M］.北京：科学出版社，2015.［16］赵临龙.二元一阶常系数线性微分方程组初等解法的讨论［J］.河南科学，2013，31（12）：1685-1690.［17］赵临龙.一阶常系数线性微分方程组“对称型”的初等解法再讨论［J］.重庆三峡学院学报，2013（3）：8-11，32.［18］赵临龙.常系数线性方程组的一种新解法［J］.数学的实践与认识，2014（14）：302-308. ［19］赵临龙.常微分方程研究新论［M］.西安：西安地图出版社，2000.［20］孙清华.常微分方程内容、方法、技巧［M］.武汉：华中科技大学出版社.2006.。
常系数线性微分方程组的解法
即(p(t)二泌为(5.33)解o (肛-A)c = 0,有非零解
例3试求矩阵入= 特征值和特征向量.
-5 3
解掘特征值就是特征方程
与—3 ~5 一
det(4E — A) =
— X2 — 62 + 34 = 0
常系数线性方程组
筒壬一页帛啊下一页「'惭返回'
证明：由上面讨论知，每一个向量函数
都是(5①.3⑺3)/=的'v[e解j气=,,因le,2外此,・2矩，・阵…・，,n/"J* ]
是(5.33由)的于解*,矩V阵2,,v〃线性无关， de所t 0以(0 = det(e%i, e^v2，…,e^vn)。0 故①⑴是(5.33)的基解矩阵
⑴
(2) ^AB^BA^\eA+B =eAeB.
对任何矩阵A,(expA)T存在,且
(expA)"1=exp (-A).
(3) 若『是非奇异的，则 exp (T-1AT) = T-1(expA)T.
3常系数齐线性微分方程组的基解矩阵
(1)定理9矩阵
(0)二E.
0(0 = exp At 是(5.33)的基解矩阵，且①
程
类似第四章4.2.2,寻求
尤=Ax, (5.33)
形 口 (p(f) — e%c,c。0, (5.43)
的解，其中常数人和向量c是待定的
将(5.43)代入(5.33)得 人 = Ae^c,
因泌、0,上式变为 (2E - A)c = 0, (5.44)
方程(5.44)有非零解的充要条件是
det(2E -A) = 0,
常系数线性微分方程(组)
常系数线性微分方程(组)1.什么是常系数线性微分方程(组)常系数线性微分方程(组)是一类用来描述变量之间关系的数学方程(组)。
这类方程(组)可以用来求解变量随时间变化的规律。
常系数线性微分方程(组)的形式如下：对于一元方程：a1y' + a2y = b对于二元方程组：a1x' + a2y' = b1a3x' + a4y' = b2其中，a1、a2、a3、a4是常数，y'和x'分别表示y和x关于时间的导数。
2.常系数线性微分方程(组)应用常系数线性微分方程(组)在实际生活中有许多应用。
下面是几个具体的例子：在物理学中，常系数线性微分方程(组)可以用来描述物体运动的轨迹。
例如，对于一个物体在地面上匀加速直线运动的情况，我们可以用如下方程来描述：s = v0t + 0.5a*t^2其中，s是物体位移，v0是初始速度，a是加速度，t是时间。
在经济学中，常系数线性微分方程(组)可以用来描述经济变量之间的关系。
例如，对于一个国家的人口数量随时间变化的情况，我们可以用如下方程来描述：P' = rP - aP^2其中，P是人口数量，P'是人口数量关于时间的导数，r是人口增长率，a是人口密度。
在生物学中，常系数线性微分方程(组)可以用来描述生物群体数量随时间变化的情况。
例如，对于一种动物的数量随时间变化的情况，我们可以用如下方程来描述：N' = rN - dN其中，N是动物数量，N'是动物数量关于时间的导数，r是动物生长率，d是动物死亡率。
在自动控制工程中，常系数线性微分方程(组)可以用来描述系统的动态行为。
例如，对于一个机器人的运动控制系统，我们可以用如下方程来描述：x'' + kx' + cx = u其中，x是机器人的位置，x''是机器人位置关于时间的二次导数，k是阻尼系数，c是弹性系数，u是控制输入。