从梯子的倾斜程度谈起

《从梯子的倾斜程度谈起》第一课时
——教案设计
武进区寨桥初级中学王小松
一、教学目标
1、经历探索直角三角形边角关系的过程，理解正切的意义。

2、能运用tanA表示直角三角形的两边比，并进行简单的计算及运用。

3、经历将实际问题转化成数学问题过程，培养学生自主探究的能力及数形结合的思想。

二、重点难点
1、理解tanA的意义。

2、能运用tanA进行简单计算及解决一些实际问题。

三、教具准备
例题投影片、实物展示台、数码投影仪
四、教学过程
Ⅰ课堂导入
师：大家听到这样一个消息没有，常州红梅公园对外免费开放了。

红梅公园中现在有两座高塔，其中一座叫做文笔塔。

同学们，有谁能利用所学的知识来求得文笔塔的实际高度吗生：（可能会用相似的方法）我明白这位同学的意思，也就是用相似的方法来求塔高。

师：但利用影子的方法来求塔高的要求很高，比如高塔旁不能有建筑物和树，而实际上文笔塔旁既有建筑，也有树。

师：70年代位于南京西路的国际饭店还一直是上海最高的大厦，但经过多少年的发展，“上海最高大厦”的桂冠早已被其他高楼取代，你们知道目前上海最高的大厦叫什么名字吗生：。

师：这大厦名叫金茂大厦，它的高度要比文笔塔高得多。

大家能应用所学得的知识求出金茂大厦的实际高度吗
生：。

师：通过本章的学习，相信大家一定能够解决以上这些问题。

今天这节课，我们就先从梯子的倾斜程度谈起，继续来研究直角三角形的相关知识。

(板书课题§1.1.1从梯子的倾斜程度谈起)。

Ⅱ讲授新课
师：梯子是我们日常生活中常见的物体。

我们经常听人们说这个梯子放的“陡”，那个梯子放的“平缓”，他们是如何判断的呢“陡”或“平缓”是用来描述梯子的倾斜程度的。

现在我们也一起来研究一下梯子的倾斜程度。

请同学们拿出课前发给大家的材料。

师:在图中，梯子AB和EF哪个更陡你是怎样判断的你有几种判断方法（请同学们在讨论时，结合图中所反映的信息来寻找判断梯子陡的方法）
（1）（2）
（3）（4）
(学生讨论5分钟)
师：经过刚才的讨论，大家一定得出了判断哪个梯子陡的方法了。

如图1，你有没有发现判断梯子陡的方法
生1：当AC=DE时，比较BC、FD的长度就可知哪个梯子陡。

因为BC<FD，所以梯子AB比梯子EF陡。

师：他讲得对吗有没有不同的看法
生：没有。

师：这个方法不错，但大家需注意一点，用梯子的水平宽度BC、FD的长度来比较哪个梯子更陡时，前提必须保证梯子的垂直高度AC和DE相等。

师：图2呢
生2：当AC=DE时，比较AB、EF的长度也可知哪个梯子更陡些。

因为AB<EF，所以梯子AB比梯子EF陡。

师：讲得很好。

当梯子的水平宽度相等时，梯子的垂直高度越高，梯子就越陡。

图3呢
生3：从图3中可以发现，当梯子的垂直高度和水平宽度都分别相等时，两个梯子一样陡。

师：讲得真好。

图4中有没有发现好的方法呢
分支一：
生4：我们可以通过比较AB：BC和DE：DF的比值来判断哪个梯子更陡。

师：能不能具体讲讲
生4：比如图1中，AB：BC>DE：DF，所以梯子AB陡，与我们刚才的判断一样。

图2中，AB：BC<DE：DF，所以梯子EF更陡些。

图3中，AB：BC=DE：DF，所以梯子一样陡。

而在图4中，AB：BC<DE：DF，所以梯子EF更陡。

师：讲得太好了。

采用梯子的垂直高度与水平宽度的比值，来判断梯子的的倾斜程度的方法值得大家好好掌握。

比值越大，梯子越陡。

分支二：
生4：我们可以通过测量∠ABC和∠EFD角度的大小，来判断哪个梯子更陡。

角度大的梯子就陡。

∠ABC=65°，∠EFD=69°所以∠ABC<∠EFD，则梯子EF比梯子AB陡。

师：他讲的对吗有没有不同的看法
生：对，补充一点，当这两个角相等时，两个梯子一样陡。

师：讲得非常好！谢谢你的补充。

根据倾斜角的大小，来判断梯子的倾斜程度，这得确是个好方法。

师：还有没有其它的方法呢刚才我们从图3中发现AB：BC=DE：DF时，两个梯子一样陡。

哪如果这两个比值不一样时，将会有什么结论产生
生：比值大的，梯子就陡。

师：能不能具体讲讲
生：比如图1中，AB：BC>DE：DF，所以梯子AB陡，与我们刚才的判断一样。

图2中，AB：BC<DE：DF，所以梯子EF更陡些。

图3中，AB：BC=DE：DF，所以梯子一样陡。

而在图4中，AB：BC<DE：DF，所以梯子EF更陡。

师：讲得太好了。

采用梯子的垂直高度与水平宽度的比值，来判断梯子的的倾斜程度的方法值得大家好好掌握。

比值越大，梯子越陡。

师：除了刚才我们发现的几种方法外，同学们还有没有什么方法可以来判断梯子倾斜程度的方法呢 生：（可能没有，可能有同学想到平移等方法）
师：到现在我们有哪能些方法可以用来判断梯子的倾斜程度了呢谁能来帮大家总结一下。

生：。

师：从刚才的活动中，可以看出同学们非常聪明。

师：判断一个人聪明不聪明，可以从他做事所采用的方法好不好来比较。

下面请同学们看到书上第二页的想一想，我们一起来分辩小明和小亮谁最聪明。

请同学们仔细审题，先思考三个问题，然后我们再来讨论小明和小亮的做法。

（让学生思考3分钟）
想一想：
如图，小明想通过测量B 1C 1：及AC 1，算出它们的比，来说明梯
子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B 2C 2及AC 2，算出它们的比，
也能说明梯子的倾斜程度。

你同意小亮的看法吗
（1）直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系
（2）和111AC C B 2
22AC C B 和有什么关系 （3）如果改变B2在梯子上的位置呢由此你能得出什么结论
生1：在上图中我们可以知道Rt △AB 1C 1，和Rt △AB 2C 2是相似的.因为∠B 2C 2A ＝∠B 1C 1A ＝90°，∠B 2AC 2＝∠B 1AC 1，根据相似的条件，得Rt △AB 1C 1∽Rt △AB 2C 2。

生2：相似三角形的对应边成比例，得2
221111212211,AC C B C A C B C A AC C B C B ==即。

师：如果我们改变B 2在梯子上的位置，比如。

，此时B2C2:AC2还等于B1C1:AC1吗
生：如果我们再在梯子上任取一点呢这个结论还成立吗
师：由此你能得出什么结论呢
生：无论改变B 2在梯子上的位置，总可以得到Rt △B 2C 2A ∽Rt △Rt △B 1C 1A ，仍能得到222111AC C B AC C B =。

因此，无论B 2在梯子的什么位置(除A 外)， 2
22111AC C B AC C B =总成立。

师：换句话说，在直角三角形中，如果一个锐角确定以后，它的对边与邻边之比也随之确定。

现在我们再返回去看一下小明和小亮的做法，你作何评价
生：小明和小亮的做法都可以说明梯子的倾斜程度，因为图中直角三角形中的锐角A 是确定的，因此它的对边与邻边的比值也是唯一确定的，与B 1、B 2在梯子上的位置无关，即与直角三角形的大小无关。

生：但我觉得小亮的做法更实际，因为要测量B 1C 1的长度，需攀到梯子的最高端，危险并且复杂，而小亮只需站在地面就可以完成。

师：这位同学能将数学和实际生活紧密地联系在一起，值得提倡.我们学习数学就是为了更好地应用数学。

师：由于直角三角形中的锐角A 确定以后，它的对边与邻边之比也随之确定，因此我们有如下定义：
如图，在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与邻边之比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切（tangent ），记作tanA ，即
tanA=的邻边的对边
A A ∠∠。

师：如图，在这个Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与邻边之比便随之确定，此
时我们把这个比叫做∠A 的正切(tangent)，记作tanA ，即可表示为tanA=的邻边的对边
A A ∠∠。

师：这个符号请大家一起跟我读两遍。

师：对于∠A 的正切，即tanA 它不表示“tan ”乘以“A ”，是一个完整的符号，它表示∠A 的正切值，也就是在直角三角形中∠A 的对边与邻边的比值。

正因为它表示一个比值，所以它没有单位。

师：在表示一个角的正切时，如果这个角是用一个大写字母或小写字母来表示的，那么记号里可以省去角的符号“∠”；比如tanA ，tan α；但如果是用其它形式表示的角，记号里则不能把角的符号省略。

比如tan ∠1,tan ∠BAC 。

师：在我们初中阶段，只学习直角三角形中锐角的正切值。

思考：
师1：∠B 的正切如何表示它的数学意义是什么
生：∠B 的正切记作tanB ，表示∠B 的对边与邻边的比值，即tanB=的邻边
的对边B B ∠∠ 师2：前面我们讨论了梯子的倾斜程度，梯子的倾斜程度与tanA 有关系吗
生：我们用梯子的倾斜角的对边与邻边的比值刻画了梯子的倾斜程度，因此，梯子越陡，tanA 的值越大；反过来，tanA 的值越大，梯子越陡。

师：正切在日常生活中的应用很广泛，例如工程上,斜坡的倾斜程度通常用坡度来表示,而坡度就是坡角的正切。

比如：有一山坡在水平方向上每前进100m ，就升高60m ，那么山坡的坡度就
是坡角α的正切（tan α），tan α=5
310060=. 师：这里我们一定要注意区分坡角和坡度。

师：坡角就是这里的∠α，即山坡与水平面的夹角。

而坡度指的是坡角的正
切，也就是坡面的铅直高度与水平宽度的比值。

当坡度越大，坡面就越陡。

师：由此我们又得出了一种判断山坡的倾斜程度的方法，也就是通过比较山坡的坡度就行了。

下面就请同学们一起来判断一下这两个自动扶梯的倾斜程度。

请看例1.
例1、 如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡
师：如何判断哪个自动扶梯陡呢
生：我们只需分别求出tan α、tan β的值，比较大小，坡度
越大，扶梯就越陡。

（学生板演）
解：甲梯中，tan α= 12551352
2=-=∠∠的邻边的对边αα。

乙梯中，tan β=4
386==∠∠的邻边的对边ββ。

因为tan β＞tan α，所以乙梯更陡。

师：今后大家在解题的过程中，计算中如果用到正切，一定要看清角的对边和邻边。

Ⅲ练习巩固
1、 判断
（1）如图（1）tan BC A AC
=
（ ） （2）如图（2）tan AC A BC
= （ ） （3）如图（2）tan BC A AB = （ ） （4）如图（2）10tan 7
B = （ ） 2、在Rt ΔAB
C 中，∠C=90°，C
D ⊥AB 于D ，AD=3，CD=4根据给出的条件，你能得出哪些结论 （按边、角、边角和图形关系）
3、思考：
在红顶工程中，要求许多楼顶是人字型并挂红瓦装饰，现知道楼顶的坡度超过时瓦片挂不住。

下图是某一建筑楼顶的初步设计方案。

你根据图中数据说明这一建筑的楼顶是否能挂住红瓦
Ⅳ课堂小结
师：通过这节课的学习，你有哪些收获呢
1、 如何判断梯子的倾斜程度
2、 什么是∠A 的正切
3、 什么是山坡的坡度
Ⅴ课堂作业
书P 6随堂练习 1、2
习题 1、2、3。