组合教案

1． 2．2组合

教学目标：

知识与技能：理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合。明确组合与排列的联系与

区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题。

过程与方法：了解组合数的意义，理解排列数m n A 与组合数

之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算。

情感、态度与价值观：能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力。 教学重点：组合的概念和组合数公式 教学难点：组合的概念和组合数公式 授课类型：新授课

教 具：多媒体、实物投影仪

第一课时

一、复习引入：

分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种

不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方那么完成这件事共有 12n N m m m =++

+

2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯

⨯ 种不同的方法

3．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．

4．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号m n A

5．排列数公式：(1)(2)(1)m

n

A n n n n m =---+（,,m n N m n *∈≤）

阶乘：!n 表示正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘0!1=．

7．排列数的另一个计算公式：m n A =

!

()!

n n m -

8.提出问题：

示例1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？

示例2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？ 引导观察：示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示例2只要求选出2名同学，是与顺序无关的引出课题：组合．．

m

n C

二、讲解新课：

组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同

元素中取出m 个元素的一个组合

说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同 例1．判断下列问题是组合还是排列

（1）在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？

（2）高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？

（3）从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？选出三人参加某项劳动，有多少种不同的选法？

（4）10个人互相通信一次，共写了多少封信？ （5）10个人互通电话一次，共多少个电话？ 问题：（1）1、2、3和3、1、2是相同的组合吗？ （2）什么样的两个组合就叫相同的组合

2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个

不同元素中取出m 个元素的组合数．．．

．用符号m n C 表示． 例2．用计算器计算7

10C ．

解：由计算器可得

例3．计算：（1）47C ； （2）710C ；

（1）解： 4

77654

4!

C ⨯⨯⨯=

＝35； （2）解法1：7

10109876547!

C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯=

＝120． 解法2：7

1010!10987!3!3!

C ⨯⨯==

＝120． 第二课时

3．组合数公式的推导：

（1）从4个不同元素,,,a b c d 中取出3个元素的组合数34C 是多少呢？

启发：由于排列是先组合再排列．．．．．．．．．

，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数3

4A 可以求得，故我们可以考察一下34C 和3

4A 的关系，如下：

组 合 排列

由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个

元素的排列数3

4A ，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有34C 个；② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有33A 种方法．由分步计数原理得：

34

A ＝⋅34

C 33

A ，所以，3334

34

A A C =．

（2）推广：一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数m n A ，可以分如下两步： ① 先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数m n C ；

② 求每一个组合中m 个元素全排列数m m A ，根据分步计数原理得：m n A ＝m n C m m A ⋅．

（3）组合数的公式： 或)!

(!!

m n m n C m n -=

,,(n m N m n ≤∈*且

规定: 0

1n

C =. 三、讲解范例：

例4．求证：1

1+⋅-+=m n m n C m

n m C ． 证明：∵)!

(!!

m n m n C m n -=

＝

1!

(1)!()(1)!m n m n m n m +⋅+---

＝

!

!()!

n m n m -

∴1

1+⋅-+=

m n m n C m

n m C 例5．设,+∈N x 求3

21132-+--+x x x x C C 的值

解：由题意可得：⎩⎨

⎧-≥+-≥-3

211

32x x x x ，解得24x ≤≤， ∵x N +∈， ∴2x =或3x =或4x =，

当2x =时原式值为7；当3x =时原式值为7；当4x =时原式值为11．

∴所求值为4或7或11．

第三课时

例6． 一位教练的足球队共有 17 名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：

(l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案？

(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？

分析：对于（1)，根据题意，17名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个从 17 个不同元素中选出11个元素的组合问题；对于（ 2 ) ，守门员的位置是特殊的，其