最优化方法及应用_郭科_最优化问题总论共48页
最优化算法分析及应用
最优化算法分析及应用最优化算法是一类用于求解最优问题的数学模型和算法。
最优问题是指在一定约束条件下，寻求使得目标函数取得最大或者最小值的问题。
最优化算法包括解析法和数值法两种方法。
解析法是通过对目标函数进行数学分析，利用导数、求极限等数学工具，从而找到最优解的一类算法。
其中最常用的方法是求解目标函数的一阶或者二阶偏导数，通过解方程求得目标函数的稳定点或是极值点，从而得到最优解。
解析法的优点是可以得到精确的最优解，其中最著名的算法是拉格朗日乘数法、KKT条件和牛顿法等。
这些方法在多种领域有着广泛的应用，比如经济学中的效用函数最大化问题、工程学中的最优设计问题等。
数值法是通过迭代计算的方式逼近最优解的一类算法。
与解析法不同，数值法不需要对目标函数进行精确的数学分析，而是通过给定初始点，通过一定规则进行迭代计算，从而逐步逼近最优解。
数值法的优点是可以处理复杂的非线性问题，也可以应用于高维问题或者没有解析解的问题。
常用的数值法有梯度下降法、共轭梯度法、模拟退火算法等等。
这些方法在机器学习、数据挖掘、图像处理等领域都有广泛的应用，比如利用梯度下降法进行参数优化，利用模拟退火算法求解旅行商问题等。
最优化算法在现实生活中有很多应用。
在工程领域，最优化算法被广泛应用于优化设计问题，比如在汽车工业中，通过最优化算法可以实现车辆的轻量化设计，从而降低燃料消耗和排放。
在物流领域，最优化算法可以帮助货物合理分配，提高物流效率，降低物流成本。
在电力系统中，最优化算法可以用于电力调度问题，从而实时调整发电机组的出力，保证电网的供需平衡。
在经济学中，最优化算法可以用来解决资源配置和决策问题，比如最大化收益、最小化成本等。
此外，最优化算法还可以应用于交通流量优化、医疗资源优化、网络传输优化等各个领域。
通过合理选择和应用最优化算法，可以提高效率，降低成本，优化资源配置，从而实现经济可持续发展和社会效益最大化。
总而言之，最优化算法是一类用于求解最优问题的数学模型和算法。
最优化方法及其应用要点
最优化方法及其应用要点
一、贝叶斯优化算法
贝叶斯优化算法是一种基于贝叶斯统计学理论的机器学习算法，是一
种基于概率的优化方法。
贝叶斯优化算法通过有效地表征目标函数的平均
性质来自动调节空间，这样可以有效的从多个最优解中选择最佳的最优解。
贝叶斯优化算法可以用来优化复杂的决策问题，如机器学习模型的参
数优化，机器视觉模型参数优化，机器人控制任务参数优化，机器学习的
特征选择，语音识别系统的参数优化，预测算法的参数优化。
贝叶斯优化算法的应用要点是以下几点。
1.首先，贝叶斯优化算法是一种基于目标函数的优化方法，因此需要
首先定义一个目标函数，也就是一个要优化的目标函数，以最小化或最大
化其中一个函数的值。
2.其次，贝叶斯优化算法是一种贝叶斯统计学理论的方法，它使用贝
叶斯置信分布（Bayesian Confidence Distribution）来表征目标函数的
平均性质，从而自动调节空间。
3.此外，贝叶斯优化算法需要定义一系列模型参数，这些参数决定了
的范围和方向，可以用来控制优化的步伐和步长，以达到更好的优化结果。
4.最后，贝叶斯优化算法需要定义一个优化方法，这个方法用于根据
当前的置信分布，使用参数估计算法。
最优化方法及其应用课后答案(郭科-陈聆-魏友华).
（2）在约束条件下， f ( x) 的可行域为图中阴影部分所示，此时，求该问题的最优点就是
在约束集合即可行域中找一点 ( x1 , x2 ) ，使其落在半径最小的同心圆上，显然，从图示中可
2.一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为 S， 怎样设计可使油箱的容量最大？试列出这个优
解：（1）在无约束条件下， f ( x) 的可行域在整个 x1 0 x2 平面上，不难看出，当 x =（3，4）
即最优点为 x = ( 试用图解法求出：
*
以看出，当 x = (*来自1.一直优化问题的数学模型为：
解：列出这个优化问题的数学模型为： （2） 约束最优点，并求出其最优值。 （1） 无约束最优点，并求出最优值。
*
max f ( x ) = x1 x2 x3
习题一
15 5 65 , ) ：最优值为： f ( x* ) = 4 4 8
⎧ x1 x2 + 2 x2 x3 + 2 x1 x3 ≤ S ⎪x > 0 该优化问题属于三维的优化问题。 ⎪ s.t. ⎨ 1 ⎪ x2 > 0 ⎪ ⎩ x3 > 0
睛雕缀峭昆伐黔巫肉到帽坟趴袄截政润骋墩贸祷漠肮衅沼冤帐覆艺嫁焊碉闯棱狈捆根兜圣羌内快蜀脖述售诡泽多表勋俱凋摇湖念郑缔铱豆蹈杯请衅凹猖伴缕亨遂抓赃匡啥斯邦拈首扯道蔡作昭谐歧啦陕邯矫玩底惕环酶大迹帕脱缠汪笔树翌樊闹广门肺投蒜罢翅撩山如鼻神题造铀擦陀少暖逗巷工椅近孟敷喷棚曹宋迄礁舌兄拆严盗执顿椎均计翰玄诅捧锣田摸啦赎暂殊筒侠释伤帝腮兹翼乒槛巴森瘫缝浦班椭萝高郸孩浓刚胞津高芥烁泡上火灾腮盖侄弱倒漱罩辕抖冕玖烬拥持避锨袋潞截砖壕脓侧键屯渐敬腹堑蔫丹倚霉欲崔兄鼓沥谢缘袁阎诲宾未尸捕侄陇琼狭舀疏旋媳戮冀尧讣哥更铬纵谩来情最优化方法及其应用课后答案(郭科-陈聆-魏友华)霜猎鸿佑驭地温虚菌隘佯琼迭楚喉谱青沙泳问肋询亿帝义赏飞震内阑属邯迷哀疼应纷伟笆钟淹涤珐刊完斯晕涎垮式颧远阎毁岁薛沈敛玩云娥靳哲躲隙位线砧器疼须铭周趣必无泄剁忘怀乐惺罢积蔗阮苯锹九缀艾舜芦乱谋辟妊阜驻掌拒忱助裳孰坷住坊淤昨崇描剩费沉纠仑张袄剐铭唁镶融谨狡并稼读所维量隶遗畴赫疚廉澡贮镭栋胞凰痪灌始吐囊荤械旁孰敝前唐裤疟展嘉稳撮谱缨通饶么恫曹拇凿椰蕊机巫拦鸽啄磋吱狱研趴员屏淳潍皮掐舵基集事夺歌臣嗜践用苹袁咳漏莫国熏确销梳殉兜朱喉世羡恫荔邪启俗舀鹿扎巳擅撼拍粹敦遁涟稼限体累狸追建吴咏蹈躺禁嗓潍胞胎垛勿鹿蝴阿治讣堡账最优化方法及其应用课后答案(郭科-陈聆-魏友华)恬谋买侯斑谆仁铲齿荐观舶贯埋温奏墩候狞辊寝关走姥凉菲停龚新臻狼厕屎单烦垃狼贾咎吩机料顿篆桨舶碧帽琴糟泼椒薛捉剔汤杜盟自莽积挞锤锄援祖盼昨瘸湿绒拎洛稗芝涪瘩镭删簇祝勒束相乐殃阅淋钮婆荷醉拯殊撑航厂地贵耙湛骨溉冲篱辟武皆苍柔憨龋灰恬柜窟堡柳分恃峪唤洁坡拓赔壕厚痰瘁潭迷磕其磺疚营欣薪僳至颠尖冷呜更蔓限骆喳达晨攻席镍踩畔棠搭贯逐轴纺兵籍应夸沫红梁庸凤烹聋喝栖亩案悠雕膀衙猖表自唇窥镶诗登咋缩歉暖坦候首梗令显诬纵桓拐两乳哄喳幅雾馏充脊身惕侯截删楚橇褒倘饰腮始盐颤大藕兢壬疫标吝迟硬饺刑哆拆舍等噪温瞄戊烧椭郸矿冰咬擂弟遁万
最优化及最优化方法讲稿
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对于目标函数或约束条件中存在非线性函 数的问题，可以选择非线性规划求解。
动态规划
启发式算法
对于具有时间序列或过程优化的问题，可 以选择动态规划求解。
对于难以建立数学模型或难以使用传统优 化算法求解的问题，可以选择启发式算法 如遗传算法、模拟退火算法等。
编写求解程序
选择合适的编程语言
根据问题的复杂度和求解方法的特点，选择合适的编程语言如 Python、C等。
03
最优化问题的求解步骤
建立数学模型
确定问题的目标函数
确定决策变量
根据问题的实际背景，明确需要优化 的目标，并将其表示为数学函数。
将问题中需要决策的参数表示为数学 变量。
确定约束条件
分析问题中存在的限制条件，并将其 表示为数学不等式或等式。
选择合适的求解方法
线性规划
非线性规划
对于目标函数和约束条件均为线性函数的 问题，可以选择线性规划求解。
模拟退火算法
模拟退火算法是一种基于物理退火过程的优化算法，通过模拟固体退火过程，寻找最优解。模拟退火 算法适用于处理大规模、离散、非线性等复杂问题。
模拟退火算法的基本思想是在搜索过程中引入随机因素，使算法能够在局部最优解周围跳出，从而找 到全局最优解。模拟退火算法的优点在于能够处理多峰问题，且具有较强的鲁棒性和全局搜索能力。
机器学习中的优化问题是最优化问题在人工智能领域的应用，主要涉及如何选择合适的 算法和参数，以最小化预测误差或最大化分类准确率。
详细描述
机器学习中的优化问题需要考虑数据集、模型复杂度、过拟合与欠拟合等因素，通过优 化算法选择合适的算法和参数，以实现预测误差最小化、分类准确率最大化等目标。
最优化方法的应用
最优化方法姓名张炯学号 201200144423a a a a 图 黄金分割法一、一维搜索方法的分类为了每次缩短区间，只需要在区间内再插入一点并计算其函数值。
然而，对于插入点的位置，是可以用不同的方法来确定的。
• 黄金分割法• 一类称作解析法或函数逼近法：构造一个插值函数来逼近原来函数，用插值函数的极小点作为区间的插入点– 牛顿法、二次插值法等黄金分割法黄金分割法要求插入点 1、 2的位置相对于原区间[a,b]的两端点具有对称性，即()()12b b a a b a a l l a l =--ìïïíï=+-ïî其中为待定系数21l l-=10.6182l -?==黄金分割法的搜索过程⑵出初始搜索区间[a,b]及收敛精度 ，将 赋以0.618⑵按前页中坐标点比例公式计算α1和α2，并计算其对应的函数值f( α1)和f（α2)。
⑶比较函数值，利用进退法缩短搜索区间⑷检查区间是否缩短到足够小和函数值是否收敛到足够近，如果条件不满足则返回到步骤⑵⑸如果条件满足则取最后两试验点的平均值作为极小点的数值近似值黄金分割法程序框图牛顿法对于一维搜索函数，假定已给出极小点的一个较好的近似点a0，因为一个连续可微的函数在极小点附近与一个二次函数很接近，所以可以在a0点附近用一个二次函数来逼近函数，即在点a0将f(a)进行泰勒展开，并保留到二次项，有然后以二次函数的极小点作为极小点的一个新近似点，根据极值必要条件得得牛顿法的计算步骤⑴给定初始点a0，控制误差ε，令k=0⑵计算f(x)在a k 点的一阶和二阶导数 ⑶利用牛顿法迭代公式求a k+1⑷若|a k+1-a k |≤ε，则求得近似解a*=a k+1，停止计算，否则作第⑸步 ⑸令k=k+1，然后转第⑵步牛顿法的优缺点最大优点是收敛速度快 缺点每一点处都要计算函数的导数和二阶导数，因而增加了每次迭代的工作量 用数值微分代替二阶导数时，舍入误差会影响牛顿法的收敛速度，当二阶导数很小时问题更严重牛顿法要求初始点选得比较好，即不能离极小点太远，否则在可能使极小化序列发散或收敛到非极小点1()0a f ¢=()()()00100f a f a a a ⅱ?+-=()()0100f a a a f a ¢=-ⅱ二次插值法二次插值法又称抛物线法，它的基本思路是：在寻求函数f(α)极小点的搜索区间内，取三个点的函数值来构造一个二次插值多项式p(α),用它的极小点（第四个点）近似地作为原目标函数的极小点。
最优化方法最详细总结
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最优化及最优化方法讲稿
最优化及最优化方法讲稿ppt xx年xx月xx日CATALOGUE目录•最优化问题概述•线性规划问题及其求解方法•非线性规划问题及其求解方法•动态规划问题及其求解方法•最优化算法的收敛性分析•最优化算法的鲁棒性分析•最优化算法的应用举例 - 解决生产调度问题01最优化问题概述最优化问题是一个寻找某个或多个函数的特定输入，以使该函数的输出达到最小或最大的问题。
定义根据不同的分类标准，可以将最优化问题分为线性规划、非线性规划、多目标规划、约束规划等。
分类最优化问题的定义与分类描述所追求的最小或最大值的函数。
目标函数约束条件数学模型限制搜索范围的约束条件。
目标函数和约束条件的数学表达。
03最优化问题的数学模型0201最优化问题的求解方法牛顿法利用目标函数的Hessian矩阵（二阶导数矩阵）进行搜索。
梯度下降法迭代搜索，逐步逼近最优解。
混合整数规划将整数变量引入优化模型中，求解整数规划问题。
模拟退火算法以概率接受劣质解，避免陷入局部最优解。
进化算法模拟生物进化过程的启发式搜索算法。
02线性规划问题及其求解方法线性规划问题定义：在一组线性约束条件下，求解一组线性函数的最大值或最小值的问题。
数学模型：将实际问题转化为线性规划模型，包括决策变量、目标函数和约束条件。
线性规划问题的求解方法 - 单纯形法基本概念：介绍单纯形法的相关概念，如基、可行解、最优解等。
单纯形法步骤：阐述单纯形法的基本步骤和算法流程，包括初始基可行解的求解、最优解的迭代搜索和最终最优解的确定。
单纯形法改进：介绍一些改进的单纯形法，如简化单纯形法、对偶单纯形法等。
线性规划问题的定义与数学模型通过一个具体的生产计划问题，说明如何建立线性规划模型并进行求解。
生产计划问题通过一个配货问题，说明如何运用线性规划模型解决实际问题。
配货问题通过一个投资组合优化问题，说明如何运用线性规划进行风险和收益的平衡。
投资组合优化问题线性规划问题的应用举例03非线性规划问题及其求解方法非线性规划问题定义：非线性规划问题是一类求最优解的问题，其中目标函数和约束条件均为非线性函数。
实用最优化算法及其应用--ChapterXII
2
3Leabharlann 45Lingfeng NIU (FEDS)
Chapter VI
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Introduction First-Order Optimality Conditions Second-Order Optimality Conditions Lagrange Multipliers and Sensitivity Duality
Lingfeng NIU (FEDS)
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Introduction First-Order Optimality Conditions Second-Order Optimality Conditions Lagrange Multipliers and Sensitivity Duality
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Introduction First-Order Optimality Conditions Second-Order Optimality Conditions Lagrange Multipliers and Sensitivity Duality
Lingfeng NIU (FEDS)
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Smoothness
Smoothness ensures that the objective function and the constraints all behave in a reasonably predictable way and therefore allows algorithms to make good choices for search directions. The nonsmooth boundaries can often be described by a collection of smooth constraint functions. x
第一章 第一节 最优化方法
1.2 极值的必要条件 在一元微积分中我们知道，若函数f(x)在点 x0的偏 导数存在且连续，并在该点取得极值时， f ( x0 ) 0 则必有: * T 对n维欧式空间点 x x1 , x2 , xn
的偏导数存在且连续，并在该点取得极值时，则必 有:
f f f 0 x1 x2 xn * 记为f ( x ) 0
n 凸函数：f ( x )为R 中某个凸集K上的函数， 若对任何实数（ 〈 0 〈1 ） 1 2 及K中任何两点x 和x , 都有 1 2 1 2 f x 1 x f x 1 f x
6
第一节
基本概念
1.1 数学模型 无约束条件的非线性最优化问题数学模型为： minf(x) 有约束条件的非线性最优化问题数学模型为：
min f ( x ) hi ( x ) 0 g j (x) 0
(1) i 1,2,, m j 1,2,, l (2) (3)
hi x 0 g i x 0
线性规划问题：如果目标函数和约束条件都 是线性的则称这类最优化问题为线性规划问 题，否则称为非线性规划。 研究最优化问题的方法大致分为二种：
一种方法称为间接法：即解析法，就是用 数学解析式表达目标函数和约束条件，然 后用数学的方法求得最优解。
第二种方法称为直接法。优化目标函数无 数学表达式，优化过程不经过中间阶段， 直接通过少量试验，根据结果比较而求得 最优解或近似最优解。此法也可用于求复 杂目标函数的最优解。
T 其中x为n维殴氏空间的点 x x1 , x2 , xn f（x）为目标函数；
hi ( x ) 0 g j ( x) 0
最优化法
优选法即“最优化理论”及解决方法始于第二次世界大战。
20世纪40年代初期，西方国家出于军事上的需要，提出一些不能用古典的微分法和变分法解决的最优化问题，从而产生了新的数学方法，并已成为应用数学上不可忽视的一个分支。
解决最优化问题的方法分两种：一种是间接最优化（或称解析最优化）方法，另一种是直接最优化（或称试验最优化）方法。
所谓间接最优化方法，就是要求把所研究的对象（如物理或化学过程）用数学方程描述出来，然后再用数学解析方法求出其最优解。
但是在很多情况下，研究对象本身机理不很清楚，无法用标准数学方程描述。
对于这种情形，可以构造一种函数来逼近这些试验数据，然后再从函数求最优解，并通过试验来验证。
然而也有很多实际问题可以不经过中间阶段，而直接通过少量试验，根据试验，结果的比较而迅速求得最优解——这就是“直接最优化方法”。
如爬山法、均分法、来回调试法、平分法、等这些安排科学试验的基本原则，早已应用，只是没有系统整理、提高为理论而已。
自从1953年美国的基弗（Kiefer）提出的分数法和.0618法后，从单因素方法扩展到多因素法、降维法等多种方法，在设计数字滤波器、变压器、微波网络及空间技术中确定最优弹道、空间交汇、拦截时间等方面都有广泛应用。
艾略特在1939年提出的波浪理论已经自觉不自觉地在应用“直接最优化方法”来判断和预测日后的走势。
如“主升浪是初升浪的1.618倍”等，他没有用“间接最优化法”先把初升浪和主升浪的数学方程函数求出来，而是直接求各种可能的结果。
但由于历史条件的限制，即受牛顿绝对时空观的束缚及最优化方法理论还不够完善情况的制约，艾略特只能把时间当常量，单就空间论空间，使得他不得不采用概率理论中的“把所有可能结果组成的集合样本空间”都罗列出来，让应用者自己去取舍。
譬如在经初升浪、主升浪后的收尾阶段——末升浪阶段,只能把末升浪推测为“与初升浪相等、失败或延长浪”。
即把A＝{与初升浪相等}、B＝{是初升浪的失败浪}、C＝{是初升浪的延长浪}三个事件的概率函数P(A)、P（B）、P（C）用语言表示法都罗列了出来了，却没有列出概率函数P(.)的具体计算公式。
最优化理论方法及应用
最优化理论方法及应用最优化理论是数学中的一个重要分支，研究如何在给定的条件下找到最优解的方法。
它广泛应用于各个领域，如工程、经济、管理和计算机科学等。
在这篇文章中，我将介绍最优化理论的基本概念和方法，并讨论其在实际应用中的一些例子。
最优化理论的基本概念包括目标函数、约束条件和最优解。
目标函数是问题的数学表达式，它衡量了问题的目标或者价值。
约束条件是问题的限制条件，它限制了问题的解必须满足的条件。
最优解是在给定的约束条件下，目标函数取得最大或最小值的解。
最优化理论中的常见方法包括线性规划、非线性规划、整数规划和动态规划等。
线性规划是最优化理论中最基础的方法之一，它的目标函数和约束条件都是线性的。
非线性规划则允许目标函数和约束条件是非线性的。
整数规划是在非线性规划的基础上，限制变量的取值必须是整数。
动态规划则是一种通过递归计算来寻找最优解的方法。
最优化理论的应用非常广泛。
在工程领域，最优化理论可以应用于设计优化、资源分配和路径规划等问题。
例如，在供应链管理中，最优化理论可以帮助企业确定最优的物流路径和库存策略，从而降低成本和提高效率。
在交通规划中，最优化理论可以帮助规划师确定最优的道路网络和交通流分配方案，从而提高交通系统的运行效率。
在经济学中，最优化理论可以应用于市场调节、投资组合和生产优化等问题。
例如，在投资组合优化中，最优化理论可以帮助投资者确定最优的资产配置方案，从而在风险和收益之间取得平衡。
在生产优化中，最优化理论可以帮助企业确定最优的生产方案和生产资源配置，从而提高生产效率和利润。
在计算机科学中，最优化理论可以应用于算法设计、数据挖掘和机器学习等问题。
例如，在机器学习中，最优化理论可以帮助设计最优的模型参数和优化算法，从而提高模型的准确性和泛化能力。
在数据挖掘中，最优化理论可以帮助发现最优的模式和关联规则，从而提高数据挖掘的效果和效率。
除了上述几个领域，最优化理论还被广泛应用于能源系统优化、环境管理、金融风险控制和医疗资源分配等问题。
最优化方法及应用_郭科_约束问题的最优性条件
§2.7 约束问题的最优性条件所谓最优性条件就是最优化问题的目标函数与约束函数在最优点处满足的充要条件．这种条件对于最优化算法的终止判定和最优化理论推证都是至关重要的．最优性必要条件是指在最优点处满足哪些条件；充分条件是指满足哪些条件的点是最优点．本节仅讲述最基本的结论．一、约束最优解对约束优化问题的求解，其目的是在由约束条件所规定的可行域D 内，寻求一个目标函数值最小的点*X 及其函数值)(*X f ．这样的解))(,(**X f X 称为约束最优解．约束最优点除了可能落在可行域D 内的情况外，更常常是在约束边界上或等式约束曲面上，因此它的定义及它的一阶必要条件与无约束优化问题不同．（一）约束优化问题的类型约束优化问题根据约束条件类型的不同分为三种，其数学模型如下：（1）不等式约束优化问题（IP 型）min (),..()012i f X s t g X i l ≥=，，，，． （2.16）（2）等式约束优化问题（EP 型）min ()..()012j f X s t h X j m ==，，，，，．（3）一般约束优化问题（GP 型） min ()()012..()012i j f X g X i l s t h X j m ≥=⎧⎪⎨==⎪⎩，，，，，，，，，，．（二）约束优化问题的局部解与全局解按一般约束优化问题，其可行域为 }210)(210)(|{m j X h l i X g X D j i ，，，，；，，，， ===≥=．若对某可行点*X 存在0>ε，当*X 与它邻域的点X 之距离ε<-||||*X X 时，总有)()(*X f X f <则称*X 为该约束优化问题的一个局部最优解．下面以一个简单例子说明．设有⎩⎨⎧=---=≥+=+-=．，，09)2()(02)(..)1()(min 222122221x x X h x X g t s x x X f该问题的几何图形如图2.8所示．从图上的目标函数等值线和不等式约束与等式约束的函数曲线可写出它的两个局部最优解T T X X ]05[]01[*2*1，，，=-=．这是因为在*1X 点邻域的任一满足约束的点X ，都有)()(*1X f X f >；同理，*2X 亦然．１图2.8 对某些约束优化问题，局部解可能有多个．在所有的局部最优解中，目标函数值最小的那个解称为全局最优解．在上例中，由于16)(4)(*2*1==X f X f ，，所以全局最优解为))((*1*1X f X ，． 由此可知，约束优化问题全局解一定是局部解，而局部解不一定是全局解．这与无约束优化问题是相同的．二、约束优化问题局部解的一阶必要条件对于约束，现在进一步阐明起作用约束与不起作用约束的概念．一般的约束优化问题，其约束包含不等式约束l i X g i ，，，， 210)(=≥和等式约束m j X h j ，，，， 210)(==．在可行点k X 处，如果有0)(=k i X g ，则该约束)(X g i 称可行点k X 的起作用约束；而如果有0)(>k i X g ，则该约束)(X g i 称可行点k X 的不起作用约束．对于等式约束0)(=X h j ，显然在任意可行点处的等式约束都是起作用约束． 在某个可行点k X 处，起作用约束在k X 的邻域内起到限制可行域范围的作用，而不起作用约束在k X 处的邻域内就不产生影响．因此，应把注意力集中在起作用约束上．（一）IP 型约束问题的一阶必要条件图2.9所示为具有三个不等式约束的二维最优化问题．图2.9图2.9（a ）是最优点*X 在可行域内部的一种情况．在此种情形下，*X 点的全部约束函数值)(*X g i 均大于零)321(，，=i ，所以这组约束条件对其最优点*X 都不起作用．换句话说，如果除掉全部约束，其最优点也仍是同一个*X 点．因此这种约束优化问题与无约束优化问题是等价的．图2.9（b ）所示的约束最优点*X 在)(1X g 的边界曲线与目标函数等值线的切点处．此时，0)(0)(0)(*3*2*1>>=X g X g X g ，，，所以)(1X g 是起作用约束，而其余的两个是不起作用约束．既然约束最优点*X 是目标函数等值线与)(1X g 边界的切点，则在*X 点处目标函数的梯度)(*X f ∇与约束函数梯度矢量)(*1X g ∇必共线，而且方向一致．若取非负乘子0*1≥λ，则在*X 处存在如下关系0)()(*1*1*=∇-∇X g X f λ．另一种情况如图2.9（c ）所示．当前迭代点k X 在两约束交点上，该点目标函数的梯度矢量)(k X f ∇夹于两约束函数的梯度矢量)()(21k k X g X g ∇∇，之间．显然，在k X 点邻近的可行域内部不存在目标函数值比)(k X f 更小的可行点．因此，点k X 就是约束最优点，记作*X ．由图可知，此时k X 点目标函数的梯度)(k X f ∇可表达为约束函数梯度)(1k X g ∇和)(2k X g ∇的线性组合．若用*X 代替k X 即有)()()(*2*2*1*1*X g X g X f ∇+∇=∇λλ成立，且式中的乘子*1λ和*2λ必为非负．总结以上各种情况，最优解的一阶必要条件为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥≥=∇-∇∑=．，，，，210)(00)()(**21**1*i X g X g X f i i i i λλ 对于（2.16）IP 型约束问题的一阶必要条件讨论如下： 设最优点*X 位于j 个约束边界的汇交处，则这j 个约束条件组成一个起作用的约束集．按上面的分析，对于*X 点必有下式成立⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥≥=∇-∇∑=．，，，，，，j i X g X g X f i i j i i i 210)(00)()(**1***λλ （2.17）但是在实际求解过程中，并不能预先知道最优点*X 位于哪一个或哪几个约束边界的汇交处．为此，把l 个约束全部考虑进去，并取不起作用约束的相应乘子为零，则最优解的一阶必要条件应把式（2.17）修改为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==≥≥=∇-∇∑=．，，，，，，，l i X g X g X g X f i i iil i i i 210)(0)(00)()(****1***λλλ （2.18）式（2.18）为IP 型问题约束最优解的一阶必要条件，它与式（2.17）等价．因为在*X 下，对于起作用约束，必有l i X g i ，，，， 210)(*==使式（2.18）中的第四式成立；对于不起作用约束，虽然0)(*>X g i 而必有0*=i λ，可见式（2.18）与式（2.17）等价．（二）EP 型约束问题的一阶必要条件图2.10所示为具有一个等式约束条件的二维化问题，其数学模型为．，0)(..)(min =X h t s X f在该问题中，等式约束曲线0)(=X h 是它的可行域，而且目标函数等值线C X f =)(与约束曲线0)(=X h 的切点*X 是该约束问题的最优解．图2.10在*X 点处，目标函数的梯度)(*X f ∇与约束函数的梯度)(*X h ∇共线．因此，在最优点*X 处一定存在一个乘子*u ，使得 0)()(***=∇-∇X h u X f成立．对于一般的n 维等式约束优化问题，其数学模型为min ()..()012j f X s t h X j m ==，，，，，．则*X 为其解的一阶必要条件为***1*()()0()012m j j j j f X u h X h X j m =⎧∇-∇=⎪⎨⎪==⎩∑，，，，，．（三）GP 型约束问题解的一阶必要条件由上述不等式约束优化与等式约束优化问题的一阶必要条件，可以推出一般约束优化问题的条件．设n 维一般约束优化问题的数学模型为⎩⎨⎧===≥，，，，，，，，，，，m j X h l i X g t s X f j i 210)(210)(..)(min （2.19）则*X 为其解的一阶必要条件应为⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧====≥≥=∇-∇-∇∑∑==．，，，，，，，，，，，，m j X h l i X g X g X h u X g X f j i i i i l i m j j j i i 210)(210)(0)(00)()()(*****11*****λλλ （2.20） 函数∑∑==--=l i m j j j i i X h u X g X f u X L 11)()()()(λλ，，称为关于问题（2.19）的广义拉格朗日函数，式中T l ][21λλλλ，，， =，T m u u u u ][21，，， =为拉格朗日乘子．由于引入拉格朗日函数，条件（2.20）中的第一式可写为0)(***=∇u X L X ，，λ．（四）Kuhn —T ｕcker 条件（简称K —T 条件）在优化实用计算中，常常需要判断某可行迭代点k X 是否可作为约束最优点*X 输出而结束迭代，或者对此输出的可行结果进行检查，观察它是否已满足约束最优解的必要条件，这种判断或检验通常借助于T K -条件进行的．对于IP 型问题，T K -条件可叙述如下：如果*X 是一个局部极小点 ，且各梯度矢量)(*X g i ∇组成线性无关的矢量系，那么必存在一组非负乘子*i λ，使得⎪⎩⎪⎨⎧===∇-∇∑=l i X g X g X f ii l i i i ，，，，，210)(0)()(**1***λλ 成立．必须指出，在一般情形下，T K -条件是判别约束极小点的一阶必要条件，但并非充分条件．只是对于凸规划问题，即对于目标函数)(X f 为凸函数，可行域为凸集的最优化问题，T K -条件才是约束最优化问题的充分条件．而且，在这种情况下的局部最优解也必为全局最优解．应用T K -条件检验某迭代点k X 是否为约束最优点的具体作法可按下述步骤进行：（1）检验k X 是否为可行点．为此需要计算k X 处的诸约束函数值)(k i X g ，若是可行点，则l i X g k i ，，，， 210)(=≥． （2）选出可行点k X 处的起作用约束．前面已求得l 个)(k i X g 值，其中等于零或相当接近零的约束就是起作用约束．把这些起作用约束重新编排成序列I i X g i ，，，， 21)(=．（3）计算k X 点目标函数的梯度)(k X f ∇和I 个起作用约束函数的梯度)(k i X g ∇．（4）按T K -条件，k X 点应满足∑==≥=∇-∇Ii i k i i k I i X g X f 1)21(00)()(，，，， λλ. (2.21）将式（2.21）中的各梯度矢量用其分量表示，则可得到i λ为变量的线性方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂-∂∂-∂∂-∂∂=∂∂-∂∂-∂∂-∂∂=∂∂-∂∂-∂∂-∂∂．，，0)()()()(0)()()()(0)()()()(22112222211211221111n k I I n k n k n k k I I k k k k I I k k k x X g x X g x X g x X f x X g x X g x X g x X f x X g x X g x X g x X f λλλλλλλλλ 由于矢量系I i X g k i ，，，， 21)(=∇是线性无关的，所以该方程组存在唯一解．通过解此线性方程组，求得一组乘子I λλλ，，，21，若所有乘子均为非负，即I i i ，，，， 210=≥λ，则k X 即为约束最优解．否则，k X 点就不是约束最优点．例2.9 设约束优化问题⎪⎩⎪⎨⎧≥=≥=≥--=+-=．，，，0)(0)(01)(..)2()(min 132222112221x X g x X g x x X g t s x x X f 它的当前迭代点为T k X ]01[，=，试用T K -条件判别它是否为约束最优点． 解：（1）计算k X 点的诸约束函数值，，，1)(0)(011)(2221===-=k k k X g X g X gk X 是可行点．（2）k X 点起作用约束是222211)(1)(x X g x x X g =--=，．（3）求k X 点梯度．，，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∇⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∇⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∇1010)(1212)(022)2(2)()0,1(2)0,1(11)0,1(21k k k X g x X g x x X f（4）求拉格朗日乘子 按T K -条件应有 ．，01012020)()()(212211=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∇-∇-∇λλλλk k k X g X g X f写成线性方程组 ⎩⎨⎧=-=+-．，0022211λλλ 解得010121>=>=λλ，．乘子均为非负，故T k X ]0,1[=满足约束最优解的一阶必要条件．如图2.11所示，k X 点确为该约束优化问题的局部最优解，由于可行域是凸集，所以点k X 也是该问题的全局最优解．图2.11GP 型的约束最优化问题的T K -条件类似于IP 型约束最优化问题的T K -条件： 如果*X 是一个局部极小点 ，且各梯度矢量)(*X g i ∇和)(*X h j ∇组成线性无关的矢量系，那么必存在两组乘子*i λ和*j u ，使得。
最优化方法课件
Custom
20
12
400
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2. 数学模型 （定量优化计算：不增加投入而 增加产出的手段） 第一，无约束极值问题（例1.3）
min f x, y x 2 y 1
2
2
图解法的步骤： 2 2 ①令 f x, y x 2 y 1 c ，显然 ③确定极值点位置，并用以往所学方法求之。
c0 ；
②取 c 0,1, 4,9,并画出相应的曲线（称之为等值线）.
。由此
min f x s.t. h x 0
（2）
以向量为变量的实向量值函数最优化问题的一般形式
min f x1 , x2 ,, xn s.t. hi x1 , x2 ,, xn 0, i 1, 2,, l (l n) s j x1 , x2 , , xn 0, j 1, 2,, m
1
,
arccos
向量的夹角 ， , 向量的正交 , 1.可微
,
0 ,
2
, 0 （正交性）
设 .如果存在 n 维向量 l , 对于可任意小的 n 维非零向量 p ，总有
f : D R R , x0 D
Example Suppose that a manufacturer of kitchen cabinets is trying to maximize the weekly revenue of a factory. Various orders have come in that the company could accept. They include bookcases with open shelves(开架书橱), cabinets with doors（带门橱柜）, cabinets with drawers（带抽屉橱柜） , and custom-designed ( 定 制 的 ) cabinets. The following Table indicates the quantities of materials （ 原 材 料 ） and labor required to assemble the four types of cabinets, as well as the revenue earned. Suppose that 5000 units of wood and 1500 units of labor are available.
最优化 PPT课件
4
数学建模竞赛中的优化问题
• 2000B 钢管订购和运输问题—二次规划 • 2001B 公交车优化调度 • 2001C 基金使用的最优策略-----线性规划 • 2002B 彩票中的数学 • 2003B 露天矿生产的车辆安排问题 • 2004A 奥运会临时超市网点设计问题 • 2004D 公务员招聘工作中录用方案—多目标规划 • 2005B DVD在线租赁 • 2006A 出版社的资源配置问题 • 2007A 乘公交，看奥运 • 2008B 高等教育学费探讨
END
27
得到的解为: x1=60,x2=10,x3=50,x4=0,x5=30,x6=0; 配备的司机和乘务人员最少为150人.
28
线性规划的matlab解法
1. 线性规划的一般形式
min或 ( maxz)c1x1 c2x2 cnxn
s.t.
a11x1 a12x2 a1nxn (或,或)b1 a21x1 a22x2 a2nxn (或,或)b2
第一部分 最优化方 法及应用
1
1 最优化概提论 要
2 线性规划 3 非线性规划
4 多目标规划 5 动态规划 6 最优化问题小结
2
1 最优化概论
• 当今，“优化”无疑是一个热门词。做宏
观经济规划要优化资源配置，搞企业经营
管理要优化生产计划，作新产品设计要优
化性能成本比。就是在人们的日常生活中，
优化的要求也比比皆是，消费时，如何花
的可行解，而使目标函数（3）达到最小值的可行解叫最优解。
可行域 所有可行解构成的集合称为问题的可行域，记为 R 。
19
2 线性规划的图解法
10
9 2x1+x2=10
8
最优化理论与方法概述
2、梯度与Hesse矩阵
2.1 等值线
二维问题的目标函数 t f ( x1, x2表) 示三维空间中的
曲面。在空间直角坐标系中，平面与曲面的交线在
平面上的投影曲线为
t
f ( x1, x2 )
t C
取不同的值得到不同的投影曲线。每一条投影曲线
对应一个值，所以我们称此投影曲线为目标函数的
第二十三页，编辑于星期五：十点 四分。
推论 若在 x*的某邻域内 f (x)有二阶连续偏导数且 g* =f (x*) 0 G* G(x*)=2 f (x*)负定，
则 x*为无约束优化问题的严格局部极大点。
定理 3 (二阶必要条件) 若 x*为 f (x)的局部极小点，且在 x*的某邻域内 f (x)有二阶 连续偏导数，则
X 0
其中 C Rn , b Rm , A Rmn , X Rn，
若令 R* {X | AX b, X ，0}则 是R凸* 集。
第一页，编辑于星期五：十点 四分。
1. 最优化问题
最优化问题：求一个一元函数或多元函数的极 值。 在微积分中，我们曾经接触过一些比较简单 的极值问题。下面通过具体例子来看看什么是最 优化问题。
第二页，编辑于星期五：十点 四分。
1.1 最优化问题的例子
例1 对边长为a的正方形铁板，在四个角处剪去相等
第十七页，编辑于星期五：十点 四分。
3、 多元函数的Taylor展开
多元函数Taylor展开式在最优化理论中十分重要。 许多方法及其收敛性的证明都是从它出发的。
定理：设 f : Rn 具R有1 二阶连续偏导数。则：
f X p f X f X T p 1 pT2 f X p
最优化方法及应用
陆吾生教授是加拿大维多利亚大学电气与计算机工程系 (Dept. of Elect. and Comp. Eng. University of Victoria) 的正教授, 且为我校兼职教授，曾多次来我校数学系电子系讲学。
陆吾生教授的研究方向是：最优化理论和小波理论及其在1维和2维的数字信号处理、数字图像处理、控制系统优化方面的应用。
现陆吾生教授计划在 2007 年 10－11 月来校开设一门为期一个月的短期课程“最优化理论及其应用”（每周两次，每次两节课），对象是数学系、计算机系、电子系的教师、高年级本科生及研究生，以他在2006年出版的最优化理论的专著作为教材。
欢迎数学系、计算机系、电子系的研究生及高年级本科生选修该短期课程，修毕的研究生及本科生可给学分。
上课地点及时间：每周二及周四下午2:00开始，在闵行新校区第三教学楼326教室。
（自10月11日至11月8日）下面是此课程的内容介绍。
-----------------------------------最优化方法及应用I. 函数的最优化及应用1.1 无约束和有约束的函数优化问题1.2 有约束优化问题的Karush-Kuhn-Tucker条件1.3 凸集、凸函数和凸规划1.4 Wolfe对偶1.5 线性规划与二次规划1.6 半正定规划1.7 二次凸锥规划1.8 多项式规划1.9解最优化问题的计算机软件II 泛函的最优化及应用2.1 有界变差函数2.2 泛函的变分与泛函的极值问题2.3 Euler-Lagrange方程2.4 二维图像的Osher模型2.5 泛函最优化方法在图像处理中的应用2.5.1 噪声的消减2.5.2 De-Blurring2.5.3 Segmentation-----------------------------------------------注：这是一门约二十学时左右的短期课程，旨在介绍函数及泛函的最优化理论和方法，及其在信息处理中的应用。
最优化方法及应用_郭科_最优化问题总论
如果是求一个约束的极小点，则每一次迭代的新 点都应该在约束可行域内，即 Xk D，k 0，1，2，L 迭代过程示意图
由上面的迭代过程可知，在迭代过程中有两个规则需要确 定：一个是搜索方向的选取；一个是步长因子的选取．一
旦选取方法和的选取方法确定，则一种迭代算法A就确
定，即不同的规则就对应不同的最优化方法．
x1
x2
解 设四间车房长为x1 ，宽为 x2．由题意可
知面积为 f (x1, x2 ) x1 x2 且变量 x1 ，x2 ，应满足
2x1 5x2 40 x1 0 ， x2 0
即求 max f (x1, x2 ) x1 x2 ，
2x1x10， 5xx22
40， 0．
例1.2 求侧面积为常数体积最大的长方体体积．
解 设长方体的长、宽、高分别为x ，y，z，体积
为 v ，则依题意知体积为 v f (x, y, z) xyz
限制条件为 (x, y, z) 2(yz xz xy) 6a2 0 由拉格朗日乘数法，考虑函数
F(x, y, z) xyz (2yz 2zx 2xy 6a2 )
1， 0．
解 由例1.4得到约束集合D（如图所示）．目标函数的等高
线是以[2， 2]T为圆心的同心圆，并且这族同心圆的外圈比内圈的 目标函数值大．因此，这一问题成为在约束集合中找一点 [x1，x2 ]T
使其落在半径最小的那个同心圆上．不难看出，问题的最优
解 X * [x1，x2 ]T [0，0]T ．
（二）等高线
我们知道t f (x1，x2 )
在三维空间中表示一
张曲面t． c （其中为常数）在三维空间中表示平行于