第6章 非参数检验
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选择“分析” “非参数检验” “2个相关样 本”，在弹出的对话框中将“Median”和“家庭月 收入”设定检验的一对变量；选中“符号检验”， 取消选择“Wilcoxon”，单击 “确定”
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结果（ ） 结果（1）
N 家庭月收入 负差分a - Median 正差分b 结c 总数
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6.3 两个样本和多个样本的 非参数检验
两个匹配样本的Wilcoxon符号秩检验 两个独立样本的Wlicoxon秩和检验 多个独立样本的Kruskal-Wallis检验
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32
匹配样本的非参数检验
如果t检验的假设条件不满足，t检验就不适 用了。符号检验和Wilcoxon符号秩检验都 可以用做替代的检验方法。 用样本数据中对应的数值相减得到新的序 列： 零假设：差值总体的中位数=0； 备择假设：差值总体的中位数≠0。
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特别说明
符号检验在匹配数据分析应用中只用到差 值的符号，而对差值数值的大小未能考虑， 因而失去了部分信息。Wilcoxon符号秩检 验既考虑差值的符号，又考虑差值的大小， 因此在所需的假设条件满足时其功效比符 号检验高。 Wilcoxon符号秩检验也可以用于单样本中 位数的非参数检验，这时只需要将第二个 样本的值设为零假设中的数值即可。
符号检验的基本思想
每个数据都减去零假设中的中位数，记录 其差值的符号。计算正、负符号的个数 （差值为0的不计算在任何一个中），当原 假设为真时二者应该很接近；若两者相差 太远，就有理由拒绝原假设。
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检验统计量
S=
min( S + , S − )
在原假设成立的条件下，检验统计量S服从 二项分布。 按照这个概率可以根据二项分布计算得到， 从而得出检验的结论。 当正号和负号个数之和大于25时，可以按 照正态分布进行近似计算。
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检验统计量
(Oi − Ei ) χ =∑ Ei i =1
k 2 2
k是样本分类的个数，表示实际观察到的频数，表 示理论频数。观察频数与期望频数越接近，则χ2 值越小。根据皮尔逊定理，当n充分大时， χ2统 计量渐近服从于k-1个自由度的χ2分布。
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软件操作： 软件操作：数据录入
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非参数检验的特点
（1）非参数检验不需要严格假设条件，因 而比参数检验有更广泛的适用面。 （2）非参数检验几乎可以处理包括定类数 据和定序数据在内的所有类型的数据，而 参数检验通常只能用于定量数据的分析。 （3）在参数检验和非参数检验都可以使用 的情况下，非参数检验的功效（power）要 低于参数检验方法。
第6章 非参数检验 章
6.1 非参数检验概述 6.2 单样本非参数检验 6.3 两个和多个样本的非参数检 验
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6.1 非参数检验概述
非参数检验（nonparametric tests）也称为 与总体分布无关的检验（distribution free tests） 与参数检验相比，在非参数检验中不需要 对总体分布的具体形式作出严格假设，或 者只需要很弱的假设。 大部分非参数检验都是针对总体的分布进 行的检验，但也可以对总体的某些参数进 行检验。
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软件操作
在SPSS软件中打开数据文件，选择“分析” “非参数检 验” “1样本K-S”，在弹出的对话框中将“时间”设定为 检验变量；检验分布为默认的“常规”（正态分布）。单 击 “确定”
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结果分析
时间 100 27.191 8.3728 .096 .096 -.039 .960 .315
结果分析（ ） 结果分析（3）
结论：计算出的χ2统计量的值为11.250，自 由度为2，相应的p值（渐近显著性）为 0.004，小于α=0.05。所以检验的结论是拒 绝总体中消费者对3种材料的偏好程度无差 异的零假设。
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特别说明
大样本、每个单元中的期望频数大于等于5 时可以使用χ2分布。 小样本时应该按照精确方法计算得到的p值 得出结论。 χ2检验也可以按照同样的思想对正态分布或 者任何想象的其他分布进行检验，但主要 用于对定性变量的检验。另外， χ2检验也 可以用于对两个总体分布的比较。
8.5
3 1
17
8.5
8 4
5 2
13 6
7 3
19 10
8+9 = 8.5 2
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Wilcoxon符号秩检验：基本原理 符号秩检验： 符号秩检验
分别计算出差值序列中正数的秩和以及负 数的秩和。 显然，如果零假设成立，W+与W-应该比较 接近。如果二者过大或过小，则说明零假 设不成立。 将正数的秩和或者负数的秩作为检验统计 量，根据其统计分布计算p值，从而可以得 出检验的结论。
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【例6.4】 】
从实施适时管理（JIT）的企业中随机抽取 10家进行效益分析，得到它们在实施JIT前 后三年的平均资产报酬率如表6-6（数据文 件： JIT管理.sav）。在5％的显著性水平 下企业在实施JIT前后的资产报酬率是否有 显著差异？
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10
软件操作： 软件操作：方法设定
选择“分析” “非参数检验” “卡方”，在弹出的对 话框中将“材料”设定为检验变量；单击对话框中的“精 确…”，选中弹出对话框中的“精确”，单击“继续”、 “确定”
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软件操作：结果分析（ ） 软件操作：结果分析（1）
1.00 2.00 3.00 总数
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秩（rank） ）
秩就是该数据按照升序排列之后，每个观 测值的位置。 Xi Ri 15 7 9 5 18 9 3 1 17 8 8 4 5 2 13 6 7 3 19 10
下面一行Ri就是上面一行数据Xi的秩。
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秩（rank）的计算 ）
数据中有相同的数值，称为结。结中数字 的秩为它们所占位置的平均值 Xi Ri 15 7 9 5 17
37 22 1 60
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结果（ ） 结果（2）
家庭月收入 - Median Z -1.823 渐近显著性(双侧) .068 用正态分布进行近似计算时，Z统计量的值 为-1.823，双侧检验的p值为0.068。由于p 值大于0.05，检验的结论是不能拒绝原假设。
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特别说明
如果样本量较小，则需要使用软件输出的 精确检验的p值进行推断 在小样本时，如果要求进行精确检验， SPSS会自动按照二项分布进行概率计算。
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【例6.2】 】
例4.1中有100名儿童每周看电视时间的数 据（数据文件：电视时间.sav）。检验能否 认为总体中儿童每周看电视的时间服从正 态分布（显著性水平a=0.05）。 这里K-S检验的零假设和备择假设为： H0：总体中儿童每周看电视的时间服从正 态分布。 H1：总体中儿童每周看电视的时间不服从 正态分布。
χ2拟合优度检验 K-S拟合优度检验 中位数的符号检验
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6
χ2拟合优度检验
【例6.1】一种饮料的容器材料可以选择玻 璃、塑料或者金属。为了比较消费者对包 装材料的偏好，抽Biblioteka Baidu调查了120名消费者发 现，最喜欢玻璃、塑料和金属容器的分别 有55、25和40人。根据调查结果，能否认 为消费者对3种材料的偏好程度是无差异的 （显著性水平a=0.05）？
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【例6.3】 】
在某地区随机调查了60个家庭的月收入 （数据文件：家庭月收入.sav）。根据样本 数据能否认为总体中家庭月收入的中位数 等于6000元（显著性水平α=0.05）？
H 0 : M e = 6000 ↔ H 1 : M e ≠ 6000
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特别说明
在K-S检验中如果使用的是小样本，则根据 渐进分布计算p值的误差会增大。这时应该 通过相应的设定要求软件输出精确检验的p 值，根据精确检验的p值得出检验结论。 K-S检验也可以用于对两个总体分布是否一 致的检验。
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单样本中位数的符号检验
在数据呈偏态分布的情况下，我们可能对 总体的中位数更感兴趣，希望对总体的中 位数作出推断，这时可以使用符号检验 （sign test）的方法。 在非正态总体小样本的情况下，如果要对 总体分布的位置进行推断，由于t检验不适 用，也可使用符号检验的方法。
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符号检验
对于差值序列中正数的个数和负数的个数 按照符号检验的方法进行假设检验
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Wilcoxon符号秩检验：基本原理 符号秩检验： 符号秩检验
计算差值绝对值的秩 。 将差值绝对值从小到大排序，其位次就是 的秩（rank），等于0值不参与排序。
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软件操作（ ） 软件操作（1）
在SPSS中打开数据文件。为了对中位数进行检验，先在 SPSS中生成一个新的变量Median，取值为6000：单击 “转换” “计算变量”，在弹出的对话框中按照图6-3 进行设置，单击确定。
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软件操作（ ） 软件操作（2）
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以下情况下应当首选非参数方法
（1）参数检验中的假设条件不满足，从而 无法应用。例如总体分布为偏态或分布形 式未知，且样本为小样本时。 （2）检验中涉及的数据为定类或定序数据。 （3）所涉及的问题中并不包含参数，如判 断某样本是否为随机样本，判断某样本是 否来自正态分布等。 （4）对各种资料的初步分析。
N 正态参数a,,b 均值 标准差 最极端差别 绝对值 正 负 Kolmogorov-Smirnov Z 渐近显著性(双侧)
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检验结论
相应的p值（渐近显著性）为0.315。由于 0.315大于0.05，所以在5%的显著性水平下 不能拒绝原假设，也就是说根据样本数据 不能认为总体分布是非正态的。 注意这里并不能得出总体服从正态分布的 严格结论。总体服从正态分布的结论可能 犯第二类错误（取伪错误），这个概率是 未知的，在有些情况下可能会很大。
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单样本K-S检验 检验 单样本
单样本K-S检验是以两位苏联数学家 Kolmogorov和Smirnov命名的。K-S检验通 过对两个分布差异的分析确定能否认为样 本的观察值来自所设定的理论分布总体。
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基本原理和检验统计量
定义 D = Fn ( x ) − F ( x) ，显然若对每 一个x值来说，如果经验分布函数与特定分 布函数的拟合程度很高，则有理由认为样 本数据来自具有该理论分布的总体。 检验统计量： Dmax = max Fn ( x) − F ( x) 根据检验统计量的精确分布或渐进分布， 我们可以计算出假设检验的p值，从而得出 检验的结论。
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常用的非参数检验方法
用于单个样本的χ2拟合优度检验、K-S拟合 优度检验、中位数的符号检验 用于两个匹配样本的Wilcoxon符号秩检验 用于两个独立样本的Wlicoxon秩和检验 用于多个独立样本的Kruskal-Wallis检验。
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6.2单样本的非参数检验方法 单样本的非参数检验方法
观察数 期望数 残差 55 40.0 15.0 25 40.0 -15.0 40 40.0 .0 120
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软件操作：结果分析（ ） 软件操作：结果分析（2）
材料 卡方 df 渐近显著性 精确显著性 点概率
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11.250 2 .004 .003 .000
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χ2拟合优度检验的基本原理
如果消费者对3种材料的偏好程度是无差异的，也 就是说消费者对材料的偏好服从均匀分布，则理 论上来说，调查120名消费者，偏好每种材料的 人数应该是相等的，也就是40人。各组观测到的 人数与理论人数（期望值）之间的差异应该都是 由于抽样的随机性造成的，因此不应该太大。如 果二者之间的差异特别大，则说明我们所作的假 设（消费者对3种材料的偏好程度是无差异的）很 可能不成立。
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结果（ ） 结果（1）
N 家庭月收入 负差分a - Median 正差分b 结c 总数
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6.3 两个样本和多个样本的 非参数检验
两个匹配样本的Wilcoxon符号秩检验 两个独立样本的Wlicoxon秩和检验 多个独立样本的Kruskal-Wallis检验
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匹配样本的非参数检验
如果t检验的假设条件不满足，t检验就不适 用了。符号检验和Wilcoxon符号秩检验都 可以用做替代的检验方法。 用样本数据中对应的数值相减得到新的序 列： 零假设：差值总体的中位数=0； 备择假设：差值总体的中位数≠0。
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特别说明
符号检验在匹配数据分析应用中只用到差 值的符号，而对差值数值的大小未能考虑， 因而失去了部分信息。Wilcoxon符号秩检 验既考虑差值的符号，又考虑差值的大小， 因此在所需的假设条件满足时其功效比符 号检验高。 Wilcoxon符号秩检验也可以用于单样本中 位数的非参数检验，这时只需要将第二个 样本的值设为零假设中的数值即可。
符号检验的基本思想
每个数据都减去零假设中的中位数，记录 其差值的符号。计算正、负符号的个数 （差值为0的不计算在任何一个中），当原 假设为真时二者应该很接近；若两者相差 太远，就有理由拒绝原假设。
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检验统计量
S=
min( S + , S − )
在原假设成立的条件下，检验统计量S服从 二项分布。 按照这个概率可以根据二项分布计算得到， 从而得出检验的结论。 当正号和负号个数之和大于25时，可以按 照正态分布进行近似计算。
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检验统计量
(Oi − Ei ) χ =∑ Ei i =1
k 2 2
k是样本分类的个数，表示实际观察到的频数，表 示理论频数。观察频数与期望频数越接近，则χ2 值越小。根据皮尔逊定理，当n充分大时， χ2统 计量渐近服从于k-1个自由度的χ2分布。
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软件操作： 软件操作：数据录入
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非参数检验的特点
（1）非参数检验不需要严格假设条件，因 而比参数检验有更广泛的适用面。 （2）非参数检验几乎可以处理包括定类数 据和定序数据在内的所有类型的数据，而 参数检验通常只能用于定量数据的分析。 （3）在参数检验和非参数检验都可以使用 的情况下，非参数检验的功效（power）要 低于参数检验方法。
第6章 非参数检验 章
6.1 非参数检验概述 6.2 单样本非参数检验 6.3 两个和多个样本的非参数检 验
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6.1 非参数检验概述
非参数检验（nonparametric tests）也称为 与总体分布无关的检验（distribution free tests） 与参数检验相比，在非参数检验中不需要 对总体分布的具体形式作出严格假设，或 者只需要很弱的假设。 大部分非参数检验都是针对总体的分布进 行的检验，但也可以对总体的某些参数进 行检验。
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软件操作
在SPSS软件中打开数据文件，选择“分析” “非参数检 验” “1样本K-S”，在弹出的对话框中将“时间”设定为 检验变量；检验分布为默认的“常规”（正态分布）。单 击 “确定”
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结果分析
时间 100 27.191 8.3728 .096 .096 -.039 .960 .315
结果分析（ ） 结果分析（3）
结论：计算出的χ2统计量的值为11.250，自 由度为2，相应的p值（渐近显著性）为 0.004，小于α=0.05。所以检验的结论是拒 绝总体中消费者对3种材料的偏好程度无差 异的零假设。
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特别说明
大样本、每个单元中的期望频数大于等于5 时可以使用χ2分布。 小样本时应该按照精确方法计算得到的p值 得出结论。 χ2检验也可以按照同样的思想对正态分布或 者任何想象的其他分布进行检验，但主要 用于对定性变量的检验。另外， χ2检验也 可以用于对两个总体分布的比较。
8.5
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19 10
8+9 = 8.5 2
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Wilcoxon符号秩检验：基本原理 符号秩检验： 符号秩检验
分别计算出差值序列中正数的秩和以及负 数的秩和。 显然，如果零假设成立，W+与W-应该比较 接近。如果二者过大或过小，则说明零假 设不成立。 将正数的秩和或者负数的秩作为检验统计 量，根据其统计分布计算p值，从而可以得 出检验的结论。
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【例6.4】 】
从实施适时管理（JIT）的企业中随机抽取 10家进行效益分析，得到它们在实施JIT前 后三年的平均资产报酬率如表6-6（数据文 件： JIT管理.sav）。在5％的显著性水平 下企业在实施JIT前后的资产报酬率是否有 显著差异？
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软件操作： 软件操作：方法设定
选择“分析” “非参数检验” “卡方”，在弹出的对 话框中将“材料”设定为检验变量；单击对话框中的“精 确…”，选中弹出对话框中的“精确”，单击“继续”、 “确定”
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软件操作：结果分析（ ） 软件操作：结果分析（1）
1.00 2.00 3.00 总数
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秩（rank） ）
秩就是该数据按照升序排列之后，每个观 测值的位置。 Xi Ri 15 7 9 5 18 9 3 1 17 8 8 4 5 2 13 6 7 3 19 10
下面一行Ri就是上面一行数据Xi的秩。
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秩（rank）的计算 ）
数据中有相同的数值，称为结。结中数字 的秩为它们所占位置的平均值 Xi Ri 15 7 9 5 17
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结果（ ） 结果（2）
家庭月收入 - Median Z -1.823 渐近显著性(双侧) .068 用正态分布进行近似计算时，Z统计量的值 为-1.823，双侧检验的p值为0.068。由于p 值大于0.05，检验的结论是不能拒绝原假设。
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如果样本量较小，则需要使用软件输出的 精确检验的p值进行推断 在小样本时，如果要求进行精确检验， SPSS会自动按照二项分布进行概率计算。
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【例6.2】 】
例4.1中有100名儿童每周看电视时间的数 据（数据文件：电视时间.sav）。检验能否 认为总体中儿童每周看电视的时间服从正 态分布（显著性水平a=0.05）。 这里K-S检验的零假设和备择假设为： H0：总体中儿童每周看电视的时间服从正 态分布。 H1：总体中儿童每周看电视的时间不服从 正态分布。
χ2拟合优度检验 K-S拟合优度检验 中位数的符号检验
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【例6.1】一种饮料的容器材料可以选择玻 璃、塑料或者金属。为了比较消费者对包 装材料的偏好，抽Biblioteka Baidu调查了120名消费者发 现，最喜欢玻璃、塑料和金属容器的分别 有55、25和40人。根据调查结果，能否认 为消费者对3种材料的偏好程度是无差异的 （显著性水平a=0.05）？
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【例6.3】 】
在某地区随机调查了60个家庭的月收入 （数据文件：家庭月收入.sav）。根据样本 数据能否认为总体中家庭月收入的中位数 等于6000元（显著性水平α=0.05）？
H 0 : M e = 6000 ↔ H 1 : M e ≠ 6000
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特别说明
在K-S检验中如果使用的是小样本，则根据 渐进分布计算p值的误差会增大。这时应该 通过相应的设定要求软件输出精确检验的p 值，根据精确检验的p值得出检验结论。 K-S检验也可以用于对两个总体分布是否一 致的检验。
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单样本中位数的符号检验
在数据呈偏态分布的情况下，我们可能对 总体的中位数更感兴趣，希望对总体的中 位数作出推断，这时可以使用符号检验 （sign test）的方法。 在非正态总体小样本的情况下，如果要对 总体分布的位置进行推断，由于t检验不适 用，也可使用符号检验的方法。
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对于差值序列中正数的个数和负数的个数 按照符号检验的方法进行假设检验
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Wilcoxon符号秩检验：基本原理 符号秩检验： 符号秩检验
计算差值绝对值的秩 。 将差值绝对值从小到大排序，其位次就是 的秩（rank），等于0值不参与排序。
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软件操作（ ） 软件操作（1）
在SPSS中打开数据文件。为了对中位数进行检验，先在 SPSS中生成一个新的变量Median，取值为6000：单击 “转换” “计算变量”，在弹出的对话框中按照图6-3 进行设置，单击确定。
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软件操作（ ） 软件操作（2）
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以下情况下应当首选非参数方法
（1）参数检验中的假设条件不满足，从而 无法应用。例如总体分布为偏态或分布形 式未知，且样本为小样本时。 （2）检验中涉及的数据为定类或定序数据。 （3）所涉及的问题中并不包含参数，如判 断某样本是否为随机样本，判断某样本是 否来自正态分布等。 （4）对各种资料的初步分析。
N 正态参数a,,b 均值 标准差 最极端差别 绝对值 正 负 Kolmogorov-Smirnov Z 渐近显著性(双侧)
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检验结论
相应的p值（渐近显著性）为0.315。由于 0.315大于0.05，所以在5%的显著性水平下 不能拒绝原假设，也就是说根据样本数据 不能认为总体分布是非正态的。 注意这里并不能得出总体服从正态分布的 严格结论。总体服从正态分布的结论可能 犯第二类错误（取伪错误），这个概率是 未知的，在有些情况下可能会很大。
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单样本K-S检验 检验 单样本
单样本K-S检验是以两位苏联数学家 Kolmogorov和Smirnov命名的。K-S检验通 过对两个分布差异的分析确定能否认为样 本的观察值来自所设定的理论分布总体。
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基本原理和检验统计量
定义 D = Fn ( x ) − F ( x) ，显然若对每 一个x值来说，如果经验分布函数与特定分 布函数的拟合程度很高，则有理由认为样 本数据来自具有该理论分布的总体。 检验统计量： Dmax = max Fn ( x) − F ( x) 根据检验统计量的精确分布或渐进分布， 我们可以计算出假设检验的p值，从而得出 检验的结论。
中央财经大学统计学院 4
常用的非参数检验方法
用于单个样本的χ2拟合优度检验、K-S拟合 优度检验、中位数的符号检验 用于两个匹配样本的Wilcoxon符号秩检验 用于两个独立样本的Wlicoxon秩和检验 用于多个独立样本的Kruskal-Wallis检验。
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6.2单样本的非参数检验方法 单样本的非参数检验方法
观察数 期望数 残差 55 40.0 15.0 25 40.0 -15.0 40 40.0 .0 120
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材料 卡方 df 渐近显著性 精确显著性 点概率
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11.250 2 .004 .003 .000
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χ2拟合优度检验的基本原理
如果消费者对3种材料的偏好程度是无差异的，也 就是说消费者对材料的偏好服从均匀分布，则理 论上来说，调查120名消费者，偏好每种材料的 人数应该是相等的，也就是40人。各组观测到的 人数与理论人数（期望值）之间的差异应该都是 由于抽样的随机性造成的，因此不应该太大。如 果二者之间的差异特别大，则说明我们所作的假 设（消费者对3种材料的偏好程度是无差异的）很 可能不成立。