《高等数学》电子课件(同济第六版)04第十章第4节 重积分的应用

的质心：
x(x, y)d
y(x, y)d
x D
,
(x, y)d
y D
.
(x, y)d
D
D
当薄片是均匀的，质心称为形心.
x
1
A
D
xd ,
y
1 A
D
yd .
其中 A d
D
14
例1. 求位于两圆 2sin 和 4sin 之间均匀
薄片的重心.
解： 利用对称性可知 x 0
y
4
而
y
1 A
D
若炉内储有高为 h 的均质钢液，且不计
炉体的自重，试求它的重心。
h
解：利用对称性可知重心在 z 轴上，故
ox
x y0
则钢液体积
V
d xd yd z
h3(9 2h
92
h
0
1
4
d z
Dz
h2)
dxdy
h
0
9
z(3
z d
z)2d z
xd yd z
z
V
28
曲面方程为 9(x2 y2) z(3 z)2 ,
区域面积 A b h,
y
建立坐标系如图
h
因为矩形板均匀,
o
b
x
由对称性知形心坐标 x 0, y 0.
20
Ix y2dxdy
D
h 2
y2dy
b 2
dx bh3 .
h 2
b 2
12
Iy
D
x2dxdy
b3h
12
.
21
(五)、平面薄片对质点的引力
设有一平面薄片占有 xoy 平上的闭区域D，在点(x, y) 处的面密度为 (x, y），(x, y）在 D 上连续，求该薄片
cos
1
,
1
f
2 x
f
2 y
dA
1
f
2 x
f
2 y
d
曲面S的面积元素
A
1
f
2 x
f
2 y
d
1
(
z x
)2
(
z y
)2
dxdy
D
Dxy
所以当曲面的方程为： z f ( x, y)
在 xoy 面上的投影区域为 D,
曲面面积公式为： A
1
(
z x
)2
( z y
)2 dxdy
Dxy
7
同理可得
第四节 重积分的应用
一、二重积分的应用 二、三重积分的应用 三、小结
1
一、二重积分的应用 zz f (x, y)
(一)、立体的体积
y
１．曲顶柱体的体积
xD
V f ( x, y)d
D
2、一般立体的体积
V (z2( x, y) z1( x, y))d
D
z z2(x, y)
z z1( x, y)
D
0
0
R
8 (R2
x2 ) dx
16
R3
0
3
o x
R
y
x2 z2 R2
R2 x2dy
3
例2 求球体x2 y2 z2 R2与x2 y2 z2 2Rz
公共部分体积
z R2 x2 y2
解 : 求两球交线的投影
由
x x
2 2
y2 y2
z2 z2
R2 消 去z 2Rz
x2 y2 3 R2 4
0
0
a2 2
2a2 4a2.
10
例 2 求由曲面x2 y2 az 和z 2a
(a 0)所围立体的表面积.
解
解方程组
x2 y2 z 2a
az x2
, y2
得两曲面的交线为圆周
x2 y2 a2
,
z a
x2 y2
在xy 平面上的投影域为 Dxy : x2 y2 a2 ,
I y (x2 z2 ) (x, y, z)d xd yd z 30
例3. 求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量.
解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴, 设所占域为 z
: x2 y2 z2 a2
l
则 Iz (x2 y2) d xd yd z
用球坐标
r4 sin 3
o
由 z 1 ( x2 y2 )得 a
zx
2x , a
2y zy a ,
11
1
zx2
z
2 y
1
2x
2
2y
2
a a
1 a2 4x2 4y2 , a
由 z 2a x2 y2知
1
z
2 x
z
2 y
2,
故S
Dxy
1 a
a2 4x2 4 y2 dxdy
Dxy
2dxdy
2
0
d
a
0
1 a
类似于讨论物体重心的方法, 先用“大化小,常代变”得到
质点系对 z 轴 的转动惯量近似值:
n
z
I z (k2 k 2 ) (k ,k , k )vk
令 0 ,就得k到1物体对 z 轴 的转动惯量
o
Iz (x2 y2) (x, y, z)d xd yd z x
y
类似可得:
Ix ( y2 z 2 ) (x, y, z)d xd yd z
２．设曲面的方程为：x g( y, z)
曲面面积公式为：A
1
x y
2
x z
2 dydz;
D yz
３．设曲面的方程为：y h(z, x)
曲面面积公式为： A
1
y z
2
y x
2
dzdx.
Dzx
8
例 1 求球面 x2 y2 z2 a2，含在圆柱体 x2 y2 ax 内部的那部分面积.
mi xi
i1 n
mi
i1
n
y
Mx M
mi yi
i1 n
mi
i1
其中
n
M mi 为该质点系的总质量
i1
n
y mi xi
为该质点系对y轴的静矩。
i1
Mx
n
mi yi
为该质点系对x轴的静矩。
i1
13
设有一平面薄片占有 xoy 平上的闭区域 D，在点(x, y) 处的面密度为 (x, y），(x, y）在 D 上连续，则该薄片
a
(1
y b
)
x2dx
1
a3b.
00
12
oa
x
同理：对x 轴的转动惯量为
Ix
D
y2dxdy
1 12
ab3.
19
例 2 已知均匀矩形板（面密度为常数 ）的长
和宽分别为b 和h ，计算此矩形板对于通过其形
心且分别与一边平行的两轴的转动惯量.
解 先求形心
x 1 xdxdy, AD
y
1 A
D
ydxdy.
x y0
钢液体积 V h2 (9 2h 1 h2 )
92
4
M
z
zd
xd
yd
z
h
zd
z
dxdy
0
Dz
h z2 (3 z)2 d z h3(3 3 h 1 h2 )
09
9
25
z
MZ
60 30h 4h2 h
V
90 40h 5h2
29
3.物体的转动惯量
设物体占有空间区域 ,有连续分布的密度函数 (x, y, z)
a2 42 d
2a2
a2 (6 2 5 5 1).
6
12
(三)、平面薄片的质心
设在 xoy 平面上有n个质点，它们分别位于点
(x1, y2 )，(x2, y2 ) …… (xn , yn ) 处，质量分别为m1 m2…，mn ， 由力学知识知道该质点系的质心坐标(x, y) 为
n
x
My M
23
ak
2
0
d
R
0
(
2
1
a2
)
3 2
d
2ka
1 R2 a2
1 a
.
所求引力为
0,
0,
2ka
1 R2 a2
1 a
.
24
二、三重积分的应用
•
1. 立体体积
• 占有空间有界域 的立体的体积为
V d xd yd z
25
例1. 求半径为a 的球面与半顶角为
2a Z
的内接锥面所围成的立体的体积.
对位于z轴上的点 （0,0,a）处单位质量的质点的引力。
薄片对 z 轴上单位质点的引力 F {Fx , Fy , Fz },
Fx
k
D
(
x
2
(
x, y2
y)
x a
2
)
3 2
d
,
Fy
k
D
(
x
2
(
x, y2
y)
y a
2
)
3 2
d
,
Fz
ak
D
(x2
(x, y2
y
) a
2
)
3 2
d
.
k 为引力常数
30
3
说明:
当
2
时,
就得到球的体积
V
4
3
a3
26
2. 物体的重心
设物体占有空间区域 , 有连续密度函数 (x, y, z)
则其重心坐标为: x x (x, y, z)dxdydz , (x, y, z)dxdydz
y y (x, y, z)dxdydz , (x, y, z)dxdydz
物体对位于原点的单位质量质点的引力 利用元素法, 引力元素在三坐标轴上的投影分别为
d
Fy
G
(x, y, r3
z)
y
dv
d
Fz
G
(x, y, r3
z)
z
dv
在上积分即得各引力分量:
z dv
dF r y x
r x2 y2 z2
G 为引力常数
Fx
G
(x, y, r3
z)
x
d
v
Fy
G
(x, y, z) r3
内，且可近似认为是圆轨道．通
h
讯卫星运行的角速率与地球自转
的角速率相同，即人们看到它在
天空不动．若地球半径取为 R ，
o
问卫星距地面的高度h 应为多少？
x
通讯卫星的覆盖面积是多大？
5
１．设曲面的方程为：z f ( x, y)
在 xoy 面上的投影区域为 D,
如图， 设小区域 d D,
z
s
dA M
D
薄片对于y 轴的转动惯量
I y x2(x, y)d.
D
17
例 1 设一均匀的直角三角形薄板，两直角边长
分别 为a 、b ，求这三角形对其中任一直角边的
转动惯量.
解 设三角形的两直角边分别在
y
x轴和y 轴上，如图
b
对 y 轴的转动惯量为
o
a
x
I y x2dxdy,
D
18
y
b
bdy
yd xd
y
C。2D
1 2 sin d d
3
1
D
sin
4 sin
d 2d
56
sin
4
d
3 0
2 sin
9
0
o
x
56
9
2
2
sin 4
d
56
9
2
3 4
1 2
2
7 3
0
15
(四)、平面薄片的转动惯量
设 xoy平面上有 n个质点，它们分别位
于( x1 , y1 )，( x2 , y2 )， ,( xn , yn )处，质量分别 为m1, m2 , , mn．则该质点系对于 x轴和 y 轴的
转动惯量依次为
n
I x mi yi 2 ，
i 1
n
I y mi xi 2 .
i 1
16
设有一平面薄片占有 xoy 平上的闭区域D，在点(x, y) 处的面密度为 (x, y），(x, y）在 D 上连续，则该薄片
的对坐标轴的转到惯量：
薄片对于x 轴的转动惯量
Ix y2(x, y)d ,
解: 在球坐标系下空间立体所占区域为
M
0 ຫໍສະໝຸດ Baidur 2a cos
:
0
0 2 r2 sin d d d r
r
Oo x
y
则立体体积为
2
2 a cos
V d xd yd z d sin d r2d r
00
0
16 a3 cos3 sin d 4 a3 (1 cos4 )
投影域 x2 y2 3 R2
4
D
z R R2 x2 y2
投影柱面方程
V [ R2 x2 y2 (R R2 x2 y2 )]d
D
2 d
3 2
R
(2
0
0
R2 2 R)d 5 R3
12
4
(二)、曲面的面积
实例 一颗地球的同步轨道通讯
z
卫星
卫星的轨道位于地球的赤道平面
点 ( x, y) d ,
o
为 S 上过 M ( x, y, f ( x, y))
的切平面.
x
(x, y) y d
以 d 边界为准线，母线平行于 z 轴的小
柱面，截曲面 s 为 ds；截切平面 为 dA，
则有dA ds.
6
d 为 dA 在 xoy 面上的投影, d dA cos ,
z z (x, y, z)dxdydz (x, y, z)dxdydz
当 (x, y, z) 常数 时, 则得形心坐标：
x xdxdydz , y ydxdydz , z zdxdydz
V
V
V
V dxdydz
物体的体积
27
例2. 一个炼钢炉为旋转体形，它的
z
曲面方程为 9( x2 y2 ) z(3 z)2 , 0 z 3
解 由对称性知 A 4 A1,
D1： x2 y2 ax ( x, y 0)
曲面方程 z a2 x2 y2 ,
于是
1
z 2
x
z y
2
a
,
a2 x2 y2
9
面积A 4 1 zx2 z y2dxdy
D1
4
D1
a
dxdy
a2 x2 y2
4a
2 d
a cos
1
d
y
d
v
Fz
G
(x, y, r3
z)
z
d
v
例4. 求半径 R 的均匀球
对位于
点
的单位质量质点的引力.
解: 利用对称性知引力分量 Fx Fy 0
Fz
G
D
2
例1. 求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围立体的体积.
解: 设两个直圆柱方程为
x2 y2 R2, x2 z2 R2
利用对称性, 考虑第一卦限部分, 其曲顶柱体的顶为
z
x2 y2 R2
R
z R2 x2
(x,
y)
D
:
00
y x
R
R2
x2
则所求体积为:
R
R2 x2
V 8 R2 x2 dxdy 8 dx
y
x
( r2 sin2 cos2 r2 sin2 sin2 ) r2 sin d rd d
2
a
d sin 3 d r4d r
00
0
2 a5 2 2 1
5
3
8 a5
15
问题：如何用截面法和柱面坐标系计算三重积分？
31
四、物体的引力
设物体占有空间区域 , 其密度函数
22
例1 求面密度为常量、半径为R 的均匀圆形 薄片： x2 y2 R2，z 0对位于 z 轴上的 点M0(0,0,a)处的单位质点的引力．(a 0)
解 由积分区域的对称性知 Fx Fy 0, z
Fz
ak
D
(x2
(x, y)
y2
a )2
3 2
d
F
ak
D
(x2
1 y2
a2
3
)2
d
x
o
y