《高等数学》电子课件(同济第六版)04第十章第4节重积分的应用

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《高等数学》电子课件(同济第六版)01第一章第1节函数

复合函数的实际应用
复合函数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用。
反函数
反函数的定义
反函数是原函数关于y=x对称的函数。
反函数的性质
反函数具有原函数的性质，如连续性、可导性等。
反函数的求导法则
反函数的求导法则与原函数有关，可以通过交换x和y的导数来实现。
反函数的应用
反函数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，如解方程、优化问题等。
函数单调性的定义
如果对于函数的定义域内的任意两个数$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时，都有$f(x_1) leq f(x_2)$（或$f(x_1) geq f(x_2)$），则称函数在该区间内单调递增（或单调递减）。
单调性的判定方法
通过比较函数在不同区间内的增减性，可以判断函数的单调性。此外，导数也是判断函数单调性的重要工具，如果函数在某区间内的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。
04
函数的图像与性质
函数的图像
函数图像的概念
函数图像是表示函数值的点在平面上的集合。通过函数图像，我们可以直观地了解函数的形态和变化趋势。
函数图像的绘制方法
绘制函数图像通常需要确定函数的定义域和值域，然后根据函数的解析式，在坐标系上标出对应的点，最后用光滑的曲线将它们连接起来。
函数的单调性
答案与解析
$|x|$ 是偶函数。
$x^3$ 是奇函数。
判断下列函数是否为奇函数或偶函数
01
03 02
答案与解析
$frac{1}{x}$ 是奇函数。
解析：奇函数的定义是对于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = -f(x)$；偶函数的定义是对于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = f(x)$。根据这些定义，可以判断出 $x^3$、$|x|$ 和 $frac{1}{x}$ 的奇偶性。

高等数学-重积分PPT课件

重积分的性质
线性性质
若α、β为常数，则∫[αf+βg]=α∫f+β∫g。
积分区域的可加性
若D1、D2是两个不相交的区域，则∫[D1∪D2]f=∫[D1]f+∫[D2]f。
保序性
若在D上，f(x,y)≤g(x,y)，则∫[D]f≤∫[D]g。
绝对可积性
若f在D上可积，则|f|在D上也可积，且|∫[D]f|≤∫[D]|f|。
课件内容与结构
课件内容
本课件主要介绍重积分的基本概念、性质、计算方法和应用实例，包括二重积分和三重积分的定义、性质、计算方法和应用等。
课件结构
课件按照“概念引入-性质探讨-计算方法-应用实例”的逻辑顺序进行编排，层次分明，条理清晰，便于学生理解和掌握。
02
重积分的定义与性质
重积分的定义
二重积分的定义
计算消费者剩余和生产者剩余
02 重积分可用于计算消费者剩余和生产者剩余，通过对
需求函数和供给函数进行积分得到。
计算社会福利
03
重积分可用于计算社会福利，通过对消费者剩余和生
产者剩余进行加总得到。
06
重积分的数值计算方法
矩形法则与梯形法则
矩形法则
将积分区间划分为若干个小矩形，每个小矩形的面积近似等于其底边长度与高的乘积，将所有小矩形的面积相加得到积分的近似值。
计算转动惯量
重积分可用于计算物体绕某轴的转动惯量，通过对物体质量分布和到轴距离的平方进行积分得到。
计算引力
重积分可用于计算两个物体之间的引力，通过对两物体间的质量分布和距离进行积分得到。
在工程学中的应用
计算面积和体积
重积分可用于计算平面图形或立体图形的面积和体积，通过对图形的边界函数进行积分得到。

《高等数学》第六版上册同济大学出版社课件PPT

1 x
0
1
1

1 t4

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d
t

t 2 0 1t4
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t
ห้องสมุดไป่ตู้
0
1
d
x x4

1 2

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d
x x4

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0 1 x4
d
x

1
2
1 01

x2 x4
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x
17
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1
2
0
1 x2
1
1 x2
二无界函数的反常积分第四节常义积分积分限有限被积函数有界推广一无穷限的反常积分反常积分广义积分反常积分第五章1一无穷限的反常积分引例
第四节反常积分
第五章
积分限有限常义积分被积函数有界
推广
反常积分 (广义积分)
一、无穷限的反常积分
二、无界函数的反常积分
1
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一、无穷限的反常积分

F (b)
F(c )
F(c ) F(a)
可相消吗?
12
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例4. 计算反常积分
解: 显然瑕点为 a , 所以
原式

arcsin x a

a 0

arcsin1
π 2
例5. 讨论反常积分
的收敛性 .
解所下:以述1反1解dx常x2法积是分0否1dx1x正x2 确11:0发1dxx散21.11x2 ,0∴1 积分 1x收敛01

x2

高等数学第十章重积分

高等数学第十章重积分1. 引言在高等数学中，积分是一个重要的概念。

在之前的学习中，我们学习了定积分和不定积分的概念和性质。

在本章中，我们将进一步学习一种扩展的积分形式，即重积分。

2. 重积分的引入和定义重积分是一种将函数在二维或更高维空间内的区域上进行积分的方法。

它的引入主要是为了解决在二维平面上对非矩形区域进行积分的问题。

在计算重积分之前，我们首先需要定义积分区域。

对于二维平面上的区域，我们可以使用极坐标或直角坐标来描述。

对于更高维的区域，我们则需要使用其他的坐标系。

一般来说，重积分可以分为两类：累次积分和二重积分。

累次积分是指先对一个变量进行积分，然后再对另一个变量进行积分。

而二重积分则是指在一个积分符号下同时对两个变量进行积分。

对于二重积分，我们可以使用迭代积分和换元积分的方法来计算。

迭代积分是将一个二重积分转化为两个累次积分的过程，而换元积分是利用变量替换的方法来简化计算。

3. 重积分的性质重积分具有一些和定积分相似的性质。

例如，重积分具有线性性质和保号性质。

线性性质指的是对于两个函数的重积分，其和函数的重积分等于两个函数分别取重积分后再相加。

保号性质指的是如果函数在积分区域上恒大于等于0，则函数的重积分也大于等于0。

此外，重积分还具有可加性和可积性。

可加性指的是如果一个积分区域可以被分割为多个不相交的子区域，则重积分可以拆分成多个子区域的重积分之和。

可积性指的是如果一个函数在有界闭区域上连续或只有有限个间断点，那么该函数的重积分存在。

4. 重积分的应用重积分在物理学、经济学和几何学等领域中有着广泛的应用。

在物理学中，我们可以使用重积分来计算物体的质心、面积、体积等性质。

在经济学中，我们可以使用重积分来计算市场需求曲线和供给曲线之间的面积，从而得到市场的总需求量和总供给量。

在几何学中，重积分可以用来计算平面和空间中的曲线长度、曲面面积和体积。

例如，我们可以使用重积分来计算球体的体积和球冠的体积。

高等数学同济第六版上册课件10-1二重积分的概念

D (x y) d x d y 0
四、曲顶柱体体积的计算
z
设曲顶柱的底为
y 2(x)
D
(
x,
y)
1
(
x) a
y x
b
2
(
x)
y
D
任取截面积为
平面
截柱体的
o a x0 b x y 1(x)
z y 2(x)
故曲顶柱体体积为
y
b
V D f (x, y) d a A(x)d x
c 1( y)
d
x 1(y)
y c
o
x 2(y)
x
内容小结
1. 二重积分的定义
n
D
f (x, y) d
lim
0 i1
f (i ,i ) i
(d dxdy)
2. 二重积分的性质 (与定积分性质相似)
3. 曲顶柱体体积的计算
二次积分法
思考与练习
1. 比较下列积分值的大小关系:
I2 xy d x d y
为D 的面积, 则
D1 d D d
5. 若在D上 f (x, y) (x, y) , 则
D f (x, y) d D (x, y) d
特别, 由于 f (x, y) f (x, y) f (x, y)
D f (x, y)d D f (x, y) d
6. 设
D 的面积为 ,
则有
cos y sin y 2
0
2
作业
• P136.
•
4(1,2),5(3,4)
D
b
[
2 (x) f (x,y) dy ]d x
a 1( x)
o a x0 b x y 1(x)

高数(同济第六版)下册多元函数的积分学及其应用知识点

第十章多元函数的积分学及其应用一、二重积分1．二重积分的概念�定义：设(,)f x y 是有界闭区域D 上的有界函数，“分割、近似、求和、取极限”：01(,)lim (,)n i iii D f x y d f λσξησ→==∆∑∫∫其中：D 为积分区域，(,)f x y 称为被积函数，d σ为面积元素。

�几何意义：当(,)0f x y ≥，(,)D f x y d σ∫∫表示以区域D 为底、以曲面(,)z f x y =为顶的曲顶柱体的体积。

�非均匀平面薄片的质量：(,)DM x y d µσ=∫∫。

2．二重积分的性质�性质1（线性性质）.),(),()],(),([∫∫∫∫∫∫±=±DD D d y x g d y x f d y x g y x f σβσασβα�性质2（区域具有可加性）如果闭区域D 可被曲线分为两个没有公共内点的闭子区域1D 和2D ,则.),(),(),(21∫∫∫∫∫∫+=D D Dd y x f d y x f d y x f σσσ�性质3如果在闭区域D 上,σ,1),(=y x f 为D 的面积,则.1σσσ==⋅∫∫∫∫DD d d 几何意义：以D 为底、高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。

�性质4（单调性）如果在闭区域D 上,有),,(),(y x g y x f ≤则.),(),(∫∫∫∫≤DD d y x g d y x f σσ推论1.|),(|),(∫∫∫∫≤DD d y x f d y x f σσ推论2设m M ,分别是),(y x f 在闭区域D 上的最大值和最小值,σ为D 的面积,则.),(σσσM d y x f m D≤≤∫∫这个不等式称为二重积分的估值不等式。

�性质5（积分中值定理）如果函数(,)f x y D 上连续，σ是D 的面积，那么在D 上至少存在一点(,)ξη，使得(,)(,)Df x y d f σξησ=⋅∫∫。

高等数学第六版上下册(同济大学出版社)课件

具有重要的作用。
不定积分的几何意义
不定积分表示的是一种曲线族，每一条曲线都有一个与之对
应的方程。
积分的应用场景
01
物理应用
积分在物理中有广泛的应用，例如计算物体的质量、重心、转动惯量等。
工程应用
02
03
经济应用
积分在工程中有广泛的应用，例如计算曲线的长度、面积、体积等。
积分在经济中有广泛的应用，例如计算总成本、总收益、总利润等。
05
多重积分与向量分析
二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维平面上的推广，表示一个二元函数在某个区域上的累积值。
二重积分的性质
二重积分具有可加性、可减性、可交换性等性质，这些性质使得二重积分在解决实际问题中具有广泛的应用。
三重积分的概念与性质
三重积分的定义
三重积分是定积分在三维空间上的推广，表示一个三元函数在某个区域上的累积值。
03
导数与微分
导数的概念与性质
导数的定义
导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数局部性质的一种体现。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些基本的性质，如线性性质、乘积法则、商的导数法则等。
微分的概念与性质
微分的定义
01
微分是函数在某一点附近的小变化量，用于近似计算函数的值
求函数的最值
导数可以用于求函数在一定区间内的最大值和最小值，这在优化问题中具有广泛的应用。
04
积分
定积分的概念与性质
01
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在区间上与区间的乘积在区间的两个端点

同济大学(高等数学)_第十章_重积分

第十章重积分一元函数积分学中，我们曾经用和式的极限来定义一元函数()f x在区间,a b⎡⎤⎣⎦上的定积分，并已经建立了定积分理论，本章将把这一方法推广到多元函数的情形，便得到重积分的概念. 本章主要讲述多重积分的概念、性质、计算方法以及应用.第1节二重积分的概念与性质二重积分的概念下面我们通过计算曲顶柱体的体积和平面薄片的质量，引出二重积分的定义.1.1.1. 曲顶柱体的体积曲顶柱体是指这样的立体，它的底是x Oy平面上的一个有界闭区域D，其侧面是以D的边界为准线的母线平行于z轴的柱面，其顶部是在区域D上的连续函数(),=，且z f x y (),0f x y≥所表示的曲面（图10—1）.图10—1现在讨论如何求曲顶柱体的体积.分析这个问题，我们看到它与求曲边梯形的面积问题是类似的.可以用与定积分类似的方法（即分割、近似代替、求和、取极限的方法）来解决（图10—2）.图10—2(1)分割闭区域D 为n 个小闭区域,n σσσ∆∆∆12,,,同时也用i Δσ表示第i 个小闭区域的面积，用()i d Δσ表示区域i Δσ的直径（一个闭区域的直径是指闭区域上任意两点间距离的最大值），相应地此曲顶柱体被分为n 个小曲顶柱体.(2)在每个小闭区域上任取一点()()()1122,, ,,, ,n n ξηξηξη对第i 个小曲顶柱体的体积，用高为，()i i f ξη而底为i Δσ的平顶柱体的体积来近似代替.(3)这n 个平顶柱体的体积之和1(,)niiii f ξησ=∆∑就是曲顶柱体体积的近似值.(4)用λ表示n 个小闭区域i Δσ的直径的最大值，即()max 1i i nλd Δσ≤≤=.当0λ→ (可理解为iΔσ收缩为一点)时，上述和式的极限，就是曲顶柱体的体积：1lim (,).ni i i i V f λξησ→==∆∑1.1.2 平面薄片的质量设薄片在x Oy 平面占有平面闭区域D ，它在点，()x y 处的面密度是,()ρρx y =.设()0x y ρ>,且在D 上连续，求薄片的质量(见图10-3).图10-3先分割闭区域D 为n 个小闭区域n σσσ∆∆∆12,,,在每个小闭区域上任取一点()()()1122,, ,,, ,n n ξηξηξη近似地，以点,()i i ξη处的面密度,()i i ρξη代替小闭区域i Δσ上各点处的面密度，则得到第i 块小薄片的质量的近似值为,()i i i ρξηΔσ，于是整个薄片质量的近似值是1(,)niiii ρξησ=∆∑用()max 1i i nλd Δσ≤≤=表示n 个小闭区域i Δσ的直径的最大值，当D 无限细分，即当0λ→时，上述和式的极限就是薄片的质量M ，即1lim (,)ni i i λi M ρξηΔσ→==∑.以上两个具体问题的实际意义虽然不同，但所求量都归结为同一形式的和的极限.抽象出来就得到下述二重积分的定义.定义1 设D 是x Oy 平面上的有界闭区域，二元函数,()z f x y =在D 上有界.将D 分为n 个小区域n σσσ∆∆∆12,,,同时用i Δσ表示该小区域的面积，记i Δσ的直径为()i d Δσ，并令()max 1i i nλd Δσ≤≤=.在i Δσ上任取一点,, 1,2,,()()i i ξηi n =，作乘积()Δ,i i i f ξησ并作和式Δ1(,)ni i i i n S f ξησ==∑.若0λ→时，n S 的极限存在(它不依赖于D 的分法及点(,)i i εη的取法)，则称这个极限值为函数,()z f x y =在D 上的二重积分，记作(,)d Df x y σ⎰⎰，即1(,)d lim (,)Δniiii Df x y f λσξησ→==∑⎰⎰， (10-1-1)其中D 叫做积分区域，,()f x y 叫做被积函数，d σ叫做面积元素，,d ()f x y σ叫做被积表达式，x 与y 叫做积分变量，Δ1(,)ni i i i f ξησ=∑叫做积分和.在直角坐标系中，我们常用平行于x 轴和y 轴的直线(y =常数和x =常数)把区域D 分割成小矩形，它的边长是x ∆和Δy ，从而ΔΔΔσx y =⋅，因此在直角坐标系中的面积元素可写成d dx dy σ=⋅，二重积分也可记作1(,)d d lim (,)niiii Df x y x y f λξησ→==∆∑⎰⎰.有了二重积分的定义，前面的体积和质量都可以用二重积分来表示.曲顶柱体的体积V 是函数,()z f x y =在区域D 上的二重积分(,)d DV f x y σ=⎰⎰；薄片的质量M 是面密度,()ρρx y =在区域D 上的二重积分(,)d DM x y ρσ=⎰⎰.因为总可以把被积函数,()z f x y =看作空间的一曲面，所以当,()f x y 为正时，二重积分的几何意义就是曲顶柱体的体积；当,()f x y 为负时，柱体就在x Oy 平面下方，二重积分就是曲顶柱体体积的负值. 如果,()f x y 在某部分区域上是正的，而在其余的部分区域上是负的，那么,()f x y 在D 上的二重积分就等于这些部分区域上柱体体积的代数和.如果,()f x y 在区域D 上的二重积分存在(即和式的极限(10-1-1)存在)，则称,()f x y 在D 上可积.什么样的函数是可积的呢与一元函数定积分的情形一样，我们只叙述有关结论，而不作证明.如果,()f x y 是闭区域D 上连续，或分块连续的函数，则,()f x y 在D 上可积.我们总假定,()z f x y =在闭区域D 上连续，所以,()f x y 在D 上的二重积分都是存在的，以后就不再一一加以说明.1.1.3 二重积分的性质设二元函数,,,()()f x y g x y 在闭区域D 上连续，于是这些函数的二重积分存在.利用二重积分的定义，可以证明它的若干基本性质.下面列举这些性质.性质1 常数因子可提到积分号外面.设k 是常数，则(,)d (,)d DDkf x y k f x y σσ=⎰⎰⎰⎰.性质2 函数的代数和的积分等于各函数的积分的代数和，即[]()()d ()d ()d DDDf x yg x y f x y g x y σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰,,,,.性质3 设闭区域D 被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则D 上的二重积分等于各部分闭区域上的二重积分的和.例如D 分为区域1D 和2D (见图10-4)，则12(,)d (,)d (,)d DD D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰. (10-1-2)图10-4性质3表示二重积分对积分区域具有可加性.性质4 设在闭区域D 上,1()f x y =，σ为D 的面积，则1d d DDσσσ==⎰⎰⎰⎰.从几何意义上来看这是很明显的.因为高为1的平顶柱体的体积在数值上就等于柱体的底面积.性质5 设在闭区域D 上有,,()()f x y g x y ≤，则(,)d (,)d DDf x yg x y σσ≤⎰⎰⎰⎰.由于 (,)(,)(,)f x y f x y f x y -≤≤ 又有(,)d (,)d DDf x y f x y σσ≤⎰⎰⎰⎰.这就是说，函数二重积分的绝对值必小于或等于该函数绝对值的二重积分.性质6 设、M m 分别为()f x y ,在闭区域D 上的最大值和最小值，σ为D 的面积，则有(,)d Dm f x y M σσσ≤≤⎰⎰.上述不等式是二重积分估值的不等式.因为()m f x y M ≤≤,，所以由性质5有d (,)d d DDDm f x y M σσσ≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰，即 d (,)d d DDDm m f x y M M σσσσσ=≤≤=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.性质7 设函数,()f x y 在闭区域D 上连续，σ是D 的面积，则在D 上至少存在一点,()ξη使得(,)d ()Df x y f σξησ=⋅⎰⎰,.这一性质称为二重积分的中值定理. 证显然0σ≠.因,()f x y 在有界闭区域D 上连续，根据有界闭区域上连续函数取到最大值、最小值定理，在D 上必存在一点()11x y ,使()11f x y ,等于最大值M ，又存在一点22()x y ,使22()f x y ,等于最小值m ，则对于D 上所有点,()x y ，有()()()2211.m f x y f x y f x y M =≤≤=,,,由性质1和性质5，可得d (,)d d DDDm f x y M σσσ≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰．再由性质4得(,)d Dm f x y M σσσ≤≤⎰⎰，或1(,)d Dm f x y M σσ≤≤⎰⎰．根据闭区域上连续函数的介值定理知，D 上必存在一点,()ξη，使得1(,)d ()Df x y f σξησ=⎰⎰,，即(,)d ()Df x y f σξησ=⎰⎰,， ,()ξηD ∈.证毕.二重积分中值定理的几何意义可叙述如下：当:,()S z f x y =为空间一连续曲面时，对以S 为顶的曲顶柱体，必定存在一个以D 为底，以D 内某点,()ξη的函数值,()f ξη为高的平顶柱体，它的体积,()f ξησ⋅就等于这个曲顶柱体的体积.习题10—11.根据二重积分性质，比较ln()d Dx y σ+⎰⎰与[]2ln()d Dx y σ+⎰⎰的大小，其中(1)D 表示以10,（）、1,0（）、1,1（）为顶点的三角形； (2)D 表示矩形区域(){}|35,2,0x y x y ≤≤≤≤. 2.根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值： (1)(22d Da x y σ+⎰⎰，()222{|}D x y x y a =+≤，；(2)222d Da x y σ--，()222{|}D x y x y a =+≤，.3.设(),f x y 为连续函数，求201lim (,)d πr Df x y rσ→⎰⎰,()()()22200{,}D x y x x y y r =-+-≤|.4.根据二重积分性质，估计下列积分的值：(1)4+d DI xy σ=，()22{|00}D x y x y =≤≤≤≤，，；(2)22sin sin d DI x y σ=⎰⎰，()ππ{,|00}D x y x y =≤≤≤≤，； (3)()2249d DI x y σ=++⎰⎰, ()224{,|}D x y x y =+≤.5.设[][]0,10,1D =⨯，证明函数()()()()1,,,,,为内有理点即均为有理数，，为内非有理点0x y D x y f x y x y D ⎧⎪=⎨⎪⎩在D 上不可积.第2节二重积分的计算只有少数二重积分(被积函数和积分区域特别简单)可用定义计算外，一般情况下要用定义计算二重积分相当困难．下面我们从二重积分的几何意义出发，来介绍计算二重积分的方法，该方法将二重积分的计算问题化为两次定积分的计算问题．直角坐标系下的计算在几何上，当被积函数(),0f x y ≥时，二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰的值等于以D 为底，以曲面,()z f x y =为顶的曲顶柱体的体积.下面我们用“切片法”来求曲顶柱体的体积V .设积分区域D 由两条平行直线,x a x b ==及两条连续曲线()()y x y x ϕϕ==12,(见图10—5)所围成，其中()()a b x x ϕϕ<<12,，则D 可表示为()()(){}12,,|D x y a x b φx y φx =≤≤≤≤.图10—5用平行于yOz 坐标面的平面()00x x a x b =≤≤去截曲顶柱体，得一截面，它是一个以区间()()1020x x φφ⎡⎤⎣⎦,为底，以,0()z f x y =为曲边的曲边梯形(见图10—6)，所以这截面的面积为()d 2010()0()0(,)φx φx f x y y A x =⎰.图10—6由此，我们可以看到这个截面面积是0x 的函数.一般地，过区间［,］a b 上任一点且平行于yOz 坐标面的平面，与曲顶柱体相交所得截面的面积为()d 21()()(,)φx φx f x y A y x =⎰，其中y 是积分变量，x 在积分时保持不变.因此在区间［,］a b 上，()A x 是x 的函数，应用计算平行截面面积为已知的立体体积的方法，得曲顶柱体的体积为d d d 21()()()(,)b b φx a a φx A x x f x y V y x ⎡⎤=⎢⎥⎣=⎦⎰⎰⎰，即得21()()(,)d (,)d d b x a x Df x y f x y y x ϕϕσ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰，或记作21()()(,)d d (,)d bx ax Df x y x f x y y ϕϕσ=⎰⎰⎰⎰.上式右端是一个先对y ，后对x 积分的二次积分或累次积分.这里应当注意的是：做第一次积分时，因为是在求x 处的截面积()A x ，所以x 是,a b 之间任何一个固定的值，y 是积分变量；做第二次积分时，是沿着x 轴累加这些薄片的体积()A x dx ⋅，所以x 是积分变量.在上面的讨论中，开始假定了,()0f x y ≥，而事实上，没有这个条件，上面的公式仍然正确.这里把此结论叙述如下：若,()z f x y =在闭区域D 上连续，()():D a x b x y x ϕϕ≤≤≤≤12,，则21()()(,)d d d (,)d bx ax Df x y x y x f x y y ϕϕ=⎰⎰⎰⎰. (10-2-1)类似地，若,()z f x y =在闭区域D 上连续，积分区域D 由两条平行直线y a y b ==,及两条连续曲线()()x y x y ϕϕ==12,(见图10—7)所围成，其中()()c d x x ϕϕ<<12,，则D 可表示为()()(){},|D x y c y d y x y ϕϕ=≤≤≤≤12,.则有21()()(,)d d d (,)d dx cx Df x y x y y f x y x ϕϕ=⎰⎰⎰⎰. (10-2-2)图10—7以后我们称图10-5所示的积分区域为X 型区域，X 型区域D 的特点是：穿过D 内部且平行于y 轴的直线与D 的边界的交点不多于两个．称图10—7所示的积分区域为Y 型区域，Y 型区域D 的特点是：穿过D 内部且平行于x 轴的直线与D 的边界的交点不多于两个.从上述计算公式可以看出将二重积分化为两次定积分，关键是确定积分限，而确定积分限又依赖于区域D 的几何形状．因此，首先必须正确地画出D 的图形，将D 表示为X 型区域或Y 型区域．如果D 不能直接表示成X 型区域或Y 型区域，则应将D 划分成若干个无公共内点的小区域，并使每个小区域能表示成X 型区域或Y 型区域，再利用二重积分对区域具有可加性相加，区域D 上的二重积分就是这些小区域上的二重积分之和(图10—8)．图10-8例1 计算二重积分d Dxy σ⎰⎰，其中D 为直线y x =与抛物线2y x =所包围的闭区域.解画出区域D 的图形，求出y x =与2y x =两条曲线的交点，它们是()0,0及()1,1.区域D (图10—9)可表示为：20.x x y x ≤≤≤≤1，图10—9因此由公式(10-2-1)得()221120d d d 2x x xxDx xy x x ydy y x σ==⎰⎰⎰⎰⎰d 135011()224x x x -==⎰.本题也可以化为先对x ，后对y 的积分，这时区域D 可表为：1，0y y y x ≤≤≤≤.由公式(10-2-2)得10d d d y yDxy y y x x σ=⎰⎰⎰⎰.积分后与上面结果相同.例2 计算二重积分221d Dy x y σ+-⎰⎰，其中D 是由直线，1y x x ==-和1y =所围成的闭区域.解画出积分区域D ，易知D ：11，1x x y -≤≤≤≤ (图10-10)，若利用公式(10-2-1)，得图10-1011222211d (1d )d xDy x yy x y y x σ-+-=+-⎰⎰⎰⎰ ()d 1312221113xx y x -⎡=⎤-+-⎢⎥⎣⎦⎰ ()d d 113310121(1)33x x x -=--=--⎰⎰x 12=.若利用公式(10-2-2)，就有()12222111d 1d d yDy x y y x y x y σ--+-=+-⎰⎰⎰⎰，也可得同样的结果.例3 计算二重积分22d Dx y σ⎰⎰,其中D 是直线2，y y x ==和双曲线1x y =所围之闭区域. 解求得三线的三个交点分别是1,(1,1)2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭及2,2().如果先对y 积分，那么当121x ≤≤时，y 的下限是双曲线1y x=，而当12x ≤≤时，y 的下限是直线y x =，因此需要用直线x =1把区域D 分为1D 和2D 两部分(图10—11).1211， 21:D x y x≤≤≤≤； 22， 2:1D x x y ≤≤≤≤.图10—11于是12222221222112222212d d d d d d d x x D D D x x x x x x y x y y y y y y σσσ=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ d d 2222121112x xx x x x y y ⎡⎤⎡⎤=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰d d 2212311222x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰1243231124626x x x x ⎡⎤⎡⎤=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦812719264==. 如果先对x 积分，那么:12， 1 D y x y y≤≤≤≤，于是223221222111d d d d 3yy y Dyx x x y x y y y y σ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰d 22254111136312y y y y y ⎡⎤⎡⎤=-=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰2764=. 由此可见，对于这种区域D ，如果先对y 积分，就需要把区域D 分成几个区域来计算.这比先对x 积分繁琐多了.所以，把重积分化为累次积分时，需要根据区域D 和被积函数的特点，选择适当的次序进行积分.例4 设,()f x y 连续，求证d d d d (,)(,)bx b baaayx f x y y y f x y x =⎰⎰⎰⎰.证上式左端可表为d d d (,)(,)bxaaDx f x y y f x y σ=⎰⎰⎰⎰，其中，:D a x b a y x ≤≤≤≤ (图10—12)区域D 也可表为：，a y b y x b ≤≤≤≤，图10—12于是改变积分次序，可得(,)d d (,)d b bayDf x y y f x y xσ=⎰⎰⎰⎰由此可得所要证明的等式.例5 计算二重积分d sin D x σx ⎰⎰，其中D 是直线y x =与抛物线2y x =所围成的区域.解把区域D 表示为x 型区域，即(){}2D =x ,y |0x 1,x y x ≤≤≤≤.于是d d d d 221100sin sin sin xx x x Dx x x σx y y x x x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ ()sin d 11x x x =-⎰()1cos cos sin x x x x =-+-1sin10.1585=-≈注：如果化为y 型区域即先对x 积分，则有d d d 10sin sin y y Dx x σy x x x =⎰⎰⎰⎰. 由于sin xx的原函数不能由初等函数表示，往下计算就困难了，这也说明计算二重积分时，除了要注意积分区域D 的特点（区分是x 型区域，还是y 型区域）外，还应注意被积函数的特点，并适当选择积分次序.二重积分的换元法与定积分一样，二重积分也可用换元法求其值，但比定积分复杂得多.我们知道，对定积分()d baf x x ⎰作变量替换()x φt =时，要把()f x 变成()()f φt ，d x 变成d ()φt t ',积分限,a b 也要变成对应t 的值.同样，对二重积分(),d Df x y σ⎰⎰作变量替换()(),,,,x x u v y y u v ⎧=⎪⎨=⎪⎩时，既要把(),f x y 变成()()(),,,f x u v y u v ，还要把x Oy 面上的积分区域D 变成uOv 面上的区域uv D ，并把D 中的面积元素d σ变成uv D 中的面积元素d *σ.其中最常用的是极坐标系的情形.2.2.1 极坐标系的情形下面我们讨论利用极坐标变换，得出在极坐标系下二重积分的计算方法.把极点放在直角坐标系的原点，极轴与x 轴重合，那么点P 的极坐标(),P r θ与该点的直角坐标(),P x y 有如下互换公式：πcos ,sin ;0,02x r θy r θr θ==≤<+∞≤≤； 22,arctan;,yr x y θx y x=+=-∞<<+∞. 我们知道，有些曲线方程在极坐标系下比较简单，因此，有些二重积分(),d Df x y σ⎰⎰用极坐标代换后，计算起来比较方便，这里假设(),z f x y =在区域D 上连续.在直角坐标系中，我们是以平行于x 轴和y 轴的两族直线分割区域D 为一系列小矩形，从而得到面积元素d d d σx y =.在极坐标系中，与此类似，我们用“常数r =”的一族同心圆，以及“常数θ=”的一族过极点的射线，将区域D 分成n 个小区域(),1,2,,ij σi j n ∆=，如图10—13所示.图10—13小区域面积()2212ij i i j i j σr r θr θ⎡⎤∆=+∆∆-∆⎣⎦212i i j i j r r θr θ=∆∆+∆∆.记 ()()()22,,1,2,,ij i jρr θi j n ∆=∆+∆=，则有()ij i i j ij σr r θορ∆=∆∆+∆,故有d d d σr r θ=.则()()d d d ,cos ,sin DDf x y σf r θr θr r θ=⎰⎰⎰⎰.这就是直角坐标二重积分变换到极坐标二重积分的公式.在作极坐标变换时，只要将被积函数中的,x y 分别换成cos ,sin r θr θ，并把直角坐标的面积元素d d d σx y =换成极坐标的面积元素d d r r θ即可.但必须指出的是：区域D 必须用极坐标系表示.在极坐标系下的二重积分，同样也可以化为二次积分计算.下面分三种情况讨论： (1) 极点O 在区域D 外部，如图10—14所示.图10—14设区域D 在两条射线,θαθβ==之间，两射线和区域边界的交点分别为,A B ，将区域D 的边界分为两部分，其方程分别为()()12,r r θr r θ==且均为［］,αβ上的连续函数.此时()()(){}12,|,D r θr θr r θαθβ=≤≤≤≤.于是()()()()d d d d 21cos ,sin cos ,sin βr θαr θDf r θr θr r θθf r θr θr r =⎰⎰⎰⎰(2) 极点O 在区域D 内部，如图10—15所示.若区域D 的边界曲线方程为()r r θ=，这时积分区域D 为()(){}π,|0,02D r θr r θθ=≤≤≤≤，且()r θ在π0,2⎡⎤⎣⎦上连续.图10—15于是()()()πd d d d 20cos ,sin cos ,sin r θDf r θr θr r θθf r θr θr r =⎰⎰⎰⎰.(3) 极点O 在区域D 的边界上，此时，积分区域D 如图10—16所示.图10—16()(){},|,0D r θαθβr r θ=≤≤≤≤,且()r θ在π0,2⎡⎤⎣⎦上连续，则有()()()d d d d 0cos ,sin cos ,sin βr θαDf r θr θr r θθf r θr θr r =⎰⎰⎰⎰.在计算二重积分时，是否采用极坐标变换，应根据积分区域D 与被积函数的形式来决定.一般来说，当积分区域为圆域或部分圆域，及被积函数可表示为()22f x y +或y f x ⎛⎫⎪⎝⎭等形式时，常采用极坐标变换，简化二重积分的计算.例6 计算二重积分22221d d 1Dx y I x y x y --=++⎰⎰，其中()(){}222,|01D x y x y a a =+≤<<.解在极坐标系中积分区域D 为(){}π,|0,02D r θr a θ=≤≤≤≤,则有2222π2220011d d d d 11Dx y r I x y r r x y r θ---==+++⎰⎰2222211πd πd 11aa t r t r r r t r t--=+-=⎰⎰令()()22220πarcsin 1πarcsin 11a t ta a =+-=+--.例7 计算二重积分2d Dxy σ⎰⎰，其中D 是单位圆在第I 象限的部分.解采用极坐标系. D 可表示为π， 1002θr ≤≤≤≤（图10-17），图10-17于是有π12222d d cos sin d Dxy r r r r σθθθ=⋅⋅⎰⎰⎰⎰ πd d 12421cos sin 15θθθr r ==⎰⎰.例8 计算二重积分Dx σ⎰⎰2d ，其中D 是二圆221x y +=和224x y +=之间的环形闭区域.解区域D ：2，120θπr ≤≤≤≤，如图10—18所示.图10—18于是2π22π22230111cos215d cos d d d π24Dx r r r r r θσθθθ+=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰2d . 2.2.2. 直角坐标系的情形我们先来考虑面积元素的变化情况.设函数组,，,()()x x u v y y u v ==为单值函数，在uv D 上具有一阶连续偏导数，且其雅可比行列式(,)0(,)J x y u v ∂≠∂=,则由反函数存在定理，一定存在着D 上的单值连续反函数,，,()()u u x y v v x y ==.这时uv D 与D 之间建立了一一对应关系，uOv 面上平行于坐标轴的直线在映射之下成为x Oy 面上的曲线,，,00()()u x y u v x y v ==.我们用uOv 面上平行于坐标轴的直线，1,,,1,,, (2;2)i j u u v v i n j m ====将区域uv D 分割成若干个小矩形，则映射将uOv 面上的直线网变成x Oy 面上的曲线网（图10—19）.图10—19在uv D 中任取一个典型的小区域Δuv D (面积记为*Δσ)及其在D 中对应的小区域ΔD (面积记为Δσ)，如图10—20所示.图10—20设ΔD 的四条边界线的交点为1211322,，,，,000000()()()P x y P x x y y P x x y y +∆+∆+∆+∆和ΔΔ433,00()P x x y y ++.当ΔΔ,u v 很小时，()ΔΔ123,,,i i x y i =也很小，ΔD 的面积可用12P P 与14P P 构成的平行四边形面积近似.即Δ1214P P P P σ⨯≈.而()()ΔΔ1112x y P P =+i j()()()ΔΔ［］［］00000000,,,(,x u u v x u v y u u v y u v =+-++-i j()()ΔΔ［］［］0000,,u u x u v u y u v u ≈'+'i j .同理()()ΔΔ［］［］001400,,v v P P x u v v y u v v ≈'+'i j .从而得ΔΔΔΔΔ1214y xu u u u P P P σP y x v v vv∂∂∂∂⨯=∂∂∂=∂的绝对值 *(,)(,)(,)(,)x y x y Δu Δv u v u v Δσ∂∂==∂∂.因此，二重积分作变量替换,,,()()x x u v y y u v ==后，面积元素d σ与d *σ的关系为*(,),(,)x y d d u v σσ∂=∂ 或(,)(,)x y dxdy dudv u v ∂=∂. 由此得如下结论：定理1 若,()f x y 在x Oy 平面上的闭区域D 上连续，变换：,,,()()T x x u v y y u v ==，将uOv 平面上的闭区域uv D 变成x Oy 平面上的D ,且满足:(1),,,()()x u v y u v 在uv D 上具有一阶连续偏导数， (2)在uv D 上雅可比式(0(,),)x y J u v ∂∂=≠；(3)变换：uv T D D →是一对一的，则有[](,)d d (,),(,)d d .uvDD f x y x y f x u v y u v J u v =⎰⎰⎰⎰例9 计算二重积分ed d y x y xDx y -+⎰⎰，其中D 是由x 轴，y 轴和直线2x y +=所围成的闭区域. 解令,u y x v y x =-=+，则，22x y v u v u-==+.在此变换下，x Oy 面上闭区域D 变为uOv 面上的对应区域D '(图10—21).图10—21雅可比式为11(,)122(,)21122x y u v J -∂==-∂=，则得1ed de d d 2y x u y xvDD x y u v -+'=-⎰⎰⎰⎰-1d e d (e e)d 22001122uv v v v u v v -==-⎰⎰⎰e e 1=--.例10 设D 为x Oy 平面内由以下四条抛物线所围成的区域：222,,x ay x by y px ===，2y qx =，其中＜＜, ＜＜00a b p q ，求D 的面积.解由D 的构造特点，引入两族抛物线22,y ux x vy ==，则由u 从p 变到q ，v 从a 变到b 时，这两族抛物线交织成区域D '（图10—22）.图10—22雅可比行列式为(,)1(,)(,)(,)J x y u v u v x y ∂=∂∂∂=222211322y yx xx x y y==---，则所求面积()()11d d d d 33D D S x y u v b a q p '===--⎰⎰⎰⎰.习题10—21.画出积分区域，把(,)d Df x y σ⎰⎰化为二次积分：(1)()1,1,{,0}D x y x y y x y =+≤-≤≥｜； (2)()22{,}D x y y x x y =≥-≥｜，. 2.改变二次积分的积分次序：(1)20d d 22(,)yy y f x y x ⎰⎰；(2)e 1d d ln 0(,)xx f x y y ⎰⎰； (3)()220,xxdx f x y dy ⎰⎰；(4)1-1d (,)d x f x y y ⎰.3.设(,)f x y 连续，且(,)(,)d Df x y xy f x y σ=+⎰⎰，其中D 是由直线0,1y x ==及曲线2y x =所围成的区域，求(,).f x y4.计算下列二重积分：(1)()22Dx y d σ+⎰⎰，(){},|1,1D x y x y =≤≤；(2)d sin D x σx ⎰⎰，其中D 是直线y x =与抛物线y x π=所围成的区域；(3)Dσ，(){}22,|D x y x y x =+≤；(4)22-y e d d ⎰⎰Dx x y ，D 是顶点分别为()0,0O ，()，11A ，()0,1B 的三角形闭区域. 5.求由坐标平面及2,3,4x y x y z ==++=所围的角柱体的体积.6.计算由四个平面0,0,1,1x y x y ====所围的柱体被平面0z =及236x y z ++=截得的立体的体积.7.在极坐标系下计算二重积分：(1)d Dx y ⎰⎰, ()ππ22224{,|}D x y x y =≤+≤；(2)()d d Dx y x y +⎰⎰， (){},|22D x y xy x y =+≤+；(3)d d Dxy x y ⎰⎰，其中D 为圆域222x y a +≤；(4)22ln(1)d d Dx y x y ++⎰⎰，其中D 是由圆周221x y +=及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.8. 将下列积分化为极坐标形式：(1) 2d d 2200)x x y y +⎰a;(2) d 0xx y ⎰⎰a .9.求球体2222x y z R ++≤被圆柱面222x y Rx +=所割下部分的体积. 10.作适当坐标变换，计算下列二重积分：(1)22d d D x x y y ⎰⎰,由12，，xy x y x ===所围成的平面闭区域；(2)d d y x yDex y +⎰⎰，(){,|0,0}1,D x y x y x y =+≤≥≥；(3)d Dx y , 其中D 是椭圆22221y x a b+=所围成的平面闭区域；(4)()()sin d d Dx y x y x y +-⎰⎰, (){,|0,0}D x y x y x y ππ=≤+≤≤-≤.11.设闭区域D 由直线100，，x y x y +===所围成，求证：1cos d d sin1.2Dx y x y x y +⎛⎫=⎪-⎝⎭⎰⎰ 12.求由下列曲线所围成的闭区域的面积：(1) 曲线334,8,5,15xy xy xy xy ====所围成的第一象限的平面闭区域； (2) 曲线,,,x y a x y b y x y x αβ+=+===所围的闭区域0,0（）a b αβ<<<<.第3节三重积分三重积分的概念三重积分是二重积分的推广，它在物理和力学中同样有着重要的应用.在引入二重积分概念时，我们曾考虑过平面薄片的质量，类似地，现在我们考虑求解空间物体的质量问题.设一物体占有空间区域Ω，在Ω中每一点,,()x y z 处的体密度为,,()ρx y z ，其中,,()ρx y z 是Ω上的正值连续函数.试求该物体的质量.先将空间区域Ω任意分割成n 个小区域12, ,, n Δv Δv Δv(同时也用i Δv 表示第i 个小区域的体积).在每个小区域i Δv 上任取一点,,()i i i ξηζ，由于,,()ρx y z 是连续函数，当区域i Δv 充分小时，密度可以近似看成不变的，且等于在点,,()i i i ξηζ处的密度，因此每一小块i Δv 的质量近似等于,,()i i i i ρξηζΔv ，物体的质量就近似等于1(,,)niiii ρξηζΔv=∑i.令小区域的个数n 无限增加，而且每个小区域i Δv 无限地收缩为一点，即小区域的最大直径()max 10i i nλd Δv ≤≤=→时，取极限即得该物体的质量1lim (,,)ni i i λi ρξηζΔv M →==∑i .由二重积分的定义可类似给出三重积分的定义：定义1 设Ω是空间的有界闭区域，,,()f x y z 是Ω上的有界函数，任意将Ω分成n 个小区域12,,,n Δv Δv Δv ，同时用i Δv 表示该小区域的体积，记i Δv 的直径为()i d Δv ，并令()max 1i i nλd Δv ≤≤=，在i Δv 上任取一点,,()i i i ξηζ，1,2,,()i n =，作乘积,,()i i i i f ξηζΔv ，把这些乘积加起来得和式1(,,)n i i i i f ξηζΔv =∑i ，若极限01lim (,,)ni i i λi f ξηζΔv →=∑i 存在(它不依赖于区域Ω的分法及点(,,)i i i ξηζ的取法)，则称这个极限值为函数,,()f x y z 在空间区域Ω上的三重积分，记作(),,f x y z dv Ω⎰⎰⎰,即 ()01,,lim (,,)ni i i i i f x y z dv f v λξηζ→=Ω=∆∑⎰⎰⎰,其中,,()f x y z 叫做被积函数，Ω叫做积分区域，d v 叫做体积元素.在直角坐标系中，若对区域Ω用平行于三个坐标面的平面来分割，于是把区域分成一些小长方体.和二重积分完全类似，此时三重积分可用符号(),,d d d f x y z x y z Ω⎰⎰⎰来表示，即在直角坐标系中体积元素d v 可记为d d d x y z .有了三重积分的定义，物体的质量就可用密度函数,,()ρx y z 在区域Ω上的三重积分表示，即(),,M x y z dv Ωρ=⎰⎰⎰,如果在区域Ω上,,1()f x y z =，并且Ω的体积记作V ，那么由三重积分定义可知1d v dv V ΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰.这就是说，三重积分dv Ω⎰⎰⎰在数值上等于区域Ω的体积.三重积分的存在性和基本性质，与二重积分相类似，此处不再重述. 三重积分的计算为简单起见，在直角坐标系下，我们采用微元分析法来给出计算三重积分的公式. 三重积分(,,)d f x y z v Ω⎰⎰⎰表示占空间区域Ω的物体的质量.设Ω是柱形区域，其上、下分别由连续曲面()()z z x y z z x y ==12,,,所围成，它们在x Oy 平面上的投影是有界闭区域D ；Ω的侧面由柱面所围成，其母线平行于z 轴，准线是D 的边界线.这时，区域Ω可表示为(){}12,,, ,,,|()()()Ωx y z z x y z z x y x y D =≤≤∈先在区域D 内点,()x y 处取一面积微元d d d σx y =，对应地有Ω中的一个小条，再用与x Oy 面平行的平面去截此小条，得到小薄片(图10—23).图10—23于是以d σ为底，以dz 为高的小薄片的质量为,,d d d ()f x y z x y z .把这些小薄片沿z 轴方向积分，得小条的质量为d d d 21(,)(,)(,,)z x y z x y f x y z z x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰. 然后，再在区域D 上积分，就得到物体的质量21(,)(,)(,,)d d d z x y z x y Df x y z z x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰. 也就是说，得到了三重积分的计算公式(),,f x y z dv Ω⎰⎰⎰=21(,)(,)(,,)d d d z x y z x y Df x y z z x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰21(,)(,)d d (,,)d z x y z x y Dx y f x y z z =⎰⎰⎰.(10-3-1)例1 计算三重积分d d d x x y z Ω⎰⎰⎰，其中Ω是三个坐标面与平面1x y z ++=所围成的区域（图10—24）.图10—24解积分区域Ω在x Oy 平面的投影区域D 是由坐标轴与直线1x y +=围成的区域：10x ≤≤，10y x ≤≤-，所以111100d d d d d d d d d x yxx yDx x y z x y x z x y x z -----Ω==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰d d 110(1)xx x x y y --=-⎰⎰d 210(1)1224x x x -==⎰. 例2 计算三重积分d z v Ω⎰⎰⎰，其中2222:，，， 000Ωx y z x y z R ≥≥≥++≤（见图10—25）.图10—25解区域Ω在x Oy 平面上的投影区域222:，，00D x y x y R ≥≥+≤.对于D 中任意一点,()x y ，相应地竖坐标从0z =变到222R x z y --=.因此，由公式(10-3-1)，得()22222201d d d d d d 2R x y DDz v x y z R x y x y --Ω==--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰π001d d 2222()R θR ρρρ-=⎰⎰ 221π240224RρρR ⎛⎫⋅⋅- ⎪ ⎪⎭=⎝π416R =. 三重积分化为累次积分时，除上面所说的方法外，还可以用先求二重积分再求定积分的方法计算.若积分区域Ω如图10-26所示，它在z 轴的投影区间为［,］A B ，对于区间内的任意一点z ，过z 作平行于x Oy 面的平面，该平面与区域Ω相交为一平面区域，记作D (z ).这时三重积分可以化为先对区域()D z 求二重积分，再对z 在[]A B ,上求定积分，得()(,,)d d (,,)d d BAD z f x y z v z f x y z x y Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰. (10-3-2)图10—26我们可利用公式(10-3-2)重新计算例2中的积分.区域Ω在z 轴上的投影区间为［,］0R ，对于该区间中任意一点z ，相应地有一平面区域():，00D z x y ≥≥与2222R x y z +≤-与之对应.由公式(10-3-2)，得()zd d d d RD z v z z x y Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.求内层积分时，z 可以看作常数：并且()2222:R D z x y z +≤-是14个圆，其面积为()π224R z =-，所以 ()01πzd π416Rv =z R z z R Ω⋅-=⎰⎰⎰⎰224d . 例3 计算三重积分2d z v Ω⎰⎰⎰，其中:1222222y x z a b Ωc +≤+. 解我们利用公式(10-3-2)将三重积分化为累次积分.区域Ω在z 轴上的投影区间为［,］c c -，对于区间内任意一点z ，相应地有一平面区域()D z ：122222222(1)(1)y x z z a b c c --≤+与之相应，该区域是一椭圆(图10—27)，其面积为π221z c ab ⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以22222()d d d d π1d ccc c D z z z v =z z x y abz z c --Ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰π3415abc =π3415abc =.图10—27三重积分的换元法对于三重积分(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰作变量替换：(,,)(,,)(,,)x x r s t y y r s t z z r s t =⎧⎪=⎨⎪=⎩它给出了Orst 空间到Ox yz 空间的一个映射，若()()(),,,,,,,,x r s t y r s t z r s t 有连续的一阶偏导数，且(,,)(,,)0x y z r s t ∂≠∂,则建立了Orst 空间中区域*Ω和Ox yz 空间中相应区域Ω的一一对应，与二重积分换元法类似，我们有d d d d (,,)(,,)x y z r s t v r s t ∂∂=.于是，有换元公式[]*(,,)(,,)(,,),(,,),(,,)d d d (,,)x y z f x y z dv f x r s t y r s t z r s t r s t r s t ΩΩ∂=⋅∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰.作为变量替换的实例，我们给出应用最为广泛的两种变换：柱面坐标变换及球面坐标变换. 3.3.1 柱面坐标变换三重积分在柱面坐标系中的计算法如下：变换cos ,sin ,x r θy r θz z =⎧⎪=⎨⎪=⎩称为柱面坐标变换，空间点(),,M x y z 与,,()r θz 建立了一一对应关系，把,,()r θz 称为点(),,M x y z 的柱面坐标.不难看出，柱面坐标实际是极坐标的推广.这里,r θ为点M 在x Oy 面上的投影P 的极坐标.π＜，2，＜＜00r θz ≤+∞≤≤-∞+∞（图10—28）.图10—28柱面坐标系的三组坐标面为 (1)常数r =，以z 为轴的圆柱面； (2)常数θ=，过z 轴的半平面； (3)常数z =，平行于x Oy 面的平面.由于cos sin 0(,,)sin cos 0(,,)001θr θx y z θr r r θθz -∂==∂，则在柱面坐标变换下，体积元素之间的关系式为：d d d d d d x y z r r θz =.于是，柱面坐标变换下三重积分换元公式为：(,,)d d d (cos ,sin ,)d d d f x y z x y z =f r r z r r z θθθ'ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰. (10-3-3)至于变换为柱面坐标后的三重积分计算，则可化为三次积分来进行.通常把积分区域Ω向x Oy 面投影得投影区域D ，以确定,r θ的取值范围，z 的范围确定同直角坐标系情形.例4 计算三重积分22d d d z x y x y z Ω+⎰⎰⎰，其中Ω是由锥面22z x y =+1z =所围成的区域.解在柱面坐标系下，积分区域Ω表示为π1，1，200r z r θ≤≤≤≤≤≤ (图10—29).图10—29所以有2π11222d d d d d d rz x y x y z r z r z θΩ+=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰ d ππ12212202(1)15r r r =-=⎰. 例5 计算三重积分()22d d d x y x y z Ω+⎰⎰⎰，其中Ω是由曲线22，0y z x ==绕z 轴旋转一周而成的曲面与两平面2，8z z ==所围之区域.解曲线2=2，0y z x =绕z 旋转，所得旋转面方程为222x y z +=.设由旋转曲面与平面2z =所围成的区域为1Ω，该区域在x Oy 平面上的投影为1D ,(){}4221|D x ,y x +y =≤.由旋转曲面与8z =所围成的区域为2Ω,2Ω在x Oy 平面上的投影为2D ，()21622{|}D x ,y x +y =≤.则有21ΩΩΩ=,如图10—30所示.图10—30()21288223322d d d d d d d d d r D D xy x y z r r z r r z θθΩ+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2d d d 8d222243300026ππθr r θr r ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰r π336=. 3.3.2 球面坐标变换三重积分在球面坐标系中的计算法如下：变换sin cos ,sin sin ,cos x r φθy r φθz r φ=⎧⎪=⎨⎪=⎩称为球面坐标变换，空间点(),,M x y z 与,,()r φθ建立了一一对应关系，把,,()r φθ称为点(),,M x y z 的球面坐标(图10-31)，其中ππ＜,,2000r φθ≤+∞≤≤≤≤.图10-31球面坐标系的三组坐标面为： (1)常数r =，以原点为中心的球面；(2)常数φ=，以原点为顶点，z 轴为轴，半顶角为φ的圆锥面； (3)常数θ=，过z 轴的半平面. 由于球面坐标变换的雅可比行列式为sin cos cos cos sin sin (,,)sin sin cos sin sin cos (,,)cos sin 0φθr φθr φθx y z φθr φθr φθr φθφr φ-∂=∂-2sin r φ=，则在球面坐标变换下，体积元素之间的关系式为:2d d d sin d d d x y z r φr θφ=.于是，球面坐标变换下三重积分的换元公式为2(,,)d d d (sin cos ,sin sin ,cos )sin d d d f x y z x y z =f r r r r r ϕθϕθϕϕϕθ'ΩΩ⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰. (10-3-4)例6 计算三重积分222()d d d xy z x y z Ω++⎰⎰⎰，其中Ω表示圆锥面222x y z +=与球面2222x y z R z ++=所围的较大部分立体.解在球面坐标变换下，球面方程变形为2cos r R φ=，锥面为π4φ=(图10—32).这时积分区域Ω表示为π2，， 2cos 4000θπφr R φ≤≤≤≤≤≤，图10—32所以22222()d d d sin d d d xy z x y z =r r r ϕϕθ'ΩΩ++⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰ππd d d 22cos 44sin R φθφr φr =⎰⎰⎰ππd π52cos 0540228sin ()515R φφr φR ==⎰. 例7 计算三重积分22(2)d d d y x z x y z Ω+⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面2222x y z a ++=，22224x y z a ++=22x y z +=所围成的区域.解积分区域用球面坐标系表示显然容易，但球面坐标变换应为sin cos sin sin cos ,,x r φθz r φθy r φ===，这时2d sin d d d v r φr φθ=，积分区域Ω表示为ππ224,00,a r a φθ≤≤≤≤≤≤ (图10—33).图10—33所以π2π2222400(2)d d d d d (2cos sin )sin d a a y x z x y z =r r r r θϕϕϕϕΩ+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ππ41515816a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=+.值得注意的是，三重积分的计算是选择直角坐标，还是柱面坐标或球面坐标转化成三次积分，通常要综合考虑积分域和被积函数的特点.一般说来，积分域Ω的边界面中有柱面或圆锥面时，常采用柱面坐标系；有球面或圆锥面时，常采用球面坐标系.另外，与二重积分类似，三重积分也可利用在对称区域上被积函数关于变量成奇偶函数以简化计算.习题10-31.化三重积分(,,)d d d I f x y z x y z Ω=⎰⎰⎰为三次积分，其中积分区域Ω分别是.(1) 由双曲抛物面x y z =及平面100x y z +-==，所围成的闭区域； (2) 由曲面22z x y =+及平面1z =所围成的闭区域. 2.在直角坐标系下计算三重积分：(1)()d d d 2+xy z x y z Ω⎰⎰⎰，其中[][][]-2,5-3,30,1Ω=⨯⨯；(2)23d d d xy z x y z Ω⎰⎰⎰,其中Ω是由曲面z x y =与平面1y x x ==，，和0z =所围成的闭区域；(3)()3d d d 1+++x y zx y z Ω⎰⎰⎰，其中Ω为平面1000x y z x y z ===++=，，，所围的四面体；。

高等数学第十章重积分PPT课件

总结词
矩形区域上的重积分计算是重积分中最基础的一种计算方法。
详细描述
在矩形区域上，可以将积分区域划分为若干个小矩形，然后对每个小矩形进行积分，最后将所有小矩形的积分结果相加即可得到整个矩形区域的积分值。
公式
$int_{a}^{b}int_{c}^{d}f(x,y)dxdy$
圆形区域上的重积分计算
公式
根据具体情况而定，一般需要通过微分几何和拓扑学知识进行推导和计算。
03
重积分的应用
重积分在几何学中的应用
80%
计算立体体积
通过重积分可以计算三维空间中物体的体积，如旋转体、曲面和不规则体的体积。
100%
计算表面积
重积分可以用来计算封闭曲面或复杂曲面的表面积，如球面、椭球面和抛物面等。
化简积分表达式
在计算过程中，尽量化简积分表达式，以减少计算量。
避免重积分的常见错误
上下限错误
确保上下限的确定是正确的，特别是对于复杂区域。
公式应用不当
使用不合适的公式可能导致计算错误或无法得出结果。
积分次序错误
选择错误的积分次序可能导致计算结果不正确。
计算失误
在计算过程中，可能会因为疏忽或笔误导致结果不准确。
求解流体动力学问题
重积分在流体动力学中有重要应用，如计算流体压力、速度和密度等。
重积分济活动中涉及到的成本和收益，如生产成本、销售收入和利润等。
预测经济趋势
通过重积分可以建立经济模型，预测未来经济趋势和市场变化，为决策提供依据。
优化资源配置
二重积分的定义
二重积分是计算平面区域上的面积的数学工具，其值等于二元函数在平面区域上的所有点的函数值与该点处面积微元相乘后累加的总和。

高等数学同济第六版第10章公式总结

高等数学同济第六版（下册）（第10章）第10章重积分10.1 二重积分的概念与性质一、二重积分的概念二、二重积分的性质1 性质 1 设、为常数，则2 性质 2 如果闭区域被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和。

(可加性)3 性质 3 如果在上，，为的面积，则4 性质 4 如果在上，，则有特殊地，由于又有5 性质 5 设、为分别是在闭区域上的最大值和最小值，是的面积，则有6 性质 6(二重积分的中值定理) 设函数在闭区域上连续，是的面积，则在上至少存在一点，使得10.2 二重积分的计算法一、利用直角坐标计算二重积分7 型(先后)型(先后)例 4 求两个底圆半径都等于的直交圆柱面所围成的立体的体积。

解设这两个圆柱面的方程分别为及由对称性，将其分为8部分在第一卦限中，所求立体的顶为柱面又积分区域则即所求立体的体积为二、利用极坐标计算二重积分8例 5 计算其中是由中心在原点、半径为的圆周所围成的闭区域。

解在极坐标系中，闭区域则例 6 求球体被圆柱面所截得的(含在圆柱面内的部分) 立体的体积。

解由对称性，有在极坐标系中，闭区域则*三、二重积分的换元法10.3 三重积分一、三重积分的概念二、三重积分的计算1 利用直角坐标计算三重积分9 (先一后二)其中，例 1 计算三重积分其中为三个坐标面及平面所围成的闭区域。

解闭区域则(先二后一)其中，是竖坐标为的平面截闭区域所得到的一个平面闭区域。

例 2 计算三重积分其中是由椭球面所围成的空间闭区域。

解闭区域则2 利用柱面坐标计算三重积分10 点的直角坐标与柱面坐标的关系为例 3 利用柱面坐标计算三重积分其中是由曲面与平面所围成的闭区域。

解闭区域则*3 利用球面坐标计算三重积分11 点的直角坐标与球面坐标的关系为例 4 求半径为的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积。

解设球面通过原点，球心在轴上，又内接锥面的顶点在原点，其轴与轴重合，则球面方程为，锥面方程为。

同济第六版《高等数学》教案WORD版-第10章曲线积分与曲面积分

第十章曲线积分与曲面积分教学目的：1. 2. 3.4.5.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。

掌握计算两类曲线积分的方法。

熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。

了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。

知道散度与旋度的概念，并会计算。

6．会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。

教学重点:1、两类曲线积分的计算方法；2、格林公式及其应用；3、两类曲面积分的计算方法；4、高斯公式、斯托克斯公式；5、两类曲线积分与两类曲面积分的应用。

教学难点：1、两类曲线积分的关系及两类曲面积分的关系；2、对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算；3、应用格林公式计算对坐标的曲线积分；4、应用高斯公式计算对坐标的曲面积分；5、应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。

§对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念与性质曲线形构件的质量设一曲线形构件所占的位置在x Oy面内的一段曲线弧L上已知曲线形构件在点(x y)处的线密度为(x y)求曲线形构件的质量把曲线分成n小段s1s2s( s也表示弧长)n i任取(i)isi得第i小段质量的近似值(i) si i整个物质曲线的质量近似为s令max{ s12(,)s M limi i i0i 1M (,)s i i ii 1s} 0n则整个物质曲线的质量为这种和的极限在研究其它问题时也会遇到定义设L为xOy面内的一条光滑曲线弧函数f(x y)在L上有界在L上任意插入一点列M1M2M把L分在n个小段.设第i个小段的长度为sn 1 i又(i)为第i个小段上任意取定的一点i作乘积f(i) si i(i 1 2n)并作和f (,)si i i如果当各小弧段的长度的最大值0这和的极限总存在i1则称此极限为函数f(x y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分记作L f(x,y)ds即Lf(x,y)ds limf (,)si i ii 1其中f(x y)叫做被积函数L叫做积分弧段设函数f(x y)定义在可求长度的曲线L上并且有界将L任意分成n个弧段s1s2sn并用s表示第iinnnn段的弧长在每一弧段s上任取一点(i)i i作和n f (,)si i ii 1令max{ s1s2s}n如果当0时这和的极限总存在则称此极限为函数f(x y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分记作f(x,y)ds即Lf(x,y)ds limLf (,)si i i i 1其中f(x y)叫做被积函数L叫做积分弧段曲线积分的存在性f(x,y)ds是存在的当f(x y)在光滑曲线弧L上连续时以后我们总假定f(x y)在L上是连续的对弧长的曲线积分L根据对弧长的曲线积分的定义曲线形构件的质量就是曲线积分(x,y)ds的值L其中(x y)为线密度对弧长的曲线积分的推广f(x,y,z)ds limf (,,)si i i i i 1如果L(或)是分段光滑的则规定函数在L(或)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和例如设L可分成两段光滑曲线弧L及L1 2则规定f(x,y)ds f(x,y)ds f(x,y)dsL L1 2闭曲线积分L1如果L是闭曲线L2那么函数f(x y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作Lf(x,y)ds 对弧长的曲线积分的性质性质1设c、c为常数1 2则nnL [c f(x,y)c g(x,y)]ds c121Lf(x,y)ds c2Lg(x,y)ds性质2若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L和L1 2则f(x,y)ds f(x,y)ds f(x,y)dsL L1L 2性质3设在L上f(x y) g(x y)则L f(x,y)ds g(x,y)dsL特别地有|f(x,y)ds|| f(x,y)|dsL L二、对弧长的曲线积分的计算法根据对弧长的曲线积分的定义构件L的质量为f(x,y)dsL如果曲线形构件L的线密度为f(x y)则曲线形另一方面若曲线L的参数方程为x(t)y(t)(t)则质量元素为f(x,y)ds f [(t),(t)]2(t)2(t)d t曲线的质量为f [(t),(t)]2(t)2(t)d t即f(x,y)ds f [(t),(t)]2(t)2(t)d tL定理设f(x y)在曲线弧L上有定义且连续L的参数方程为x(t)y(t)(t)其中(t)、(t)在[ ]上具有一阶连续导数且2(t)2(t)0则曲线积分f(x, y)ds 存在且Lf (x , y )dsf [(t ),(t )]2(t )2(t )d t(< )L证明（略）应注意的问题讨论定积分的下限一定要小于上限(1)若曲线 L 的方程为 y(x )(a x b )则f (x , y )ds?L提示L 的参数方程为x xy(x )(a xb )Lf (x , y )ds f [x ,(x )]1a2(x )d x(2)若曲线 L 的方程为 x(y )(c y d )则f (x , y )ds?L提示L 的参数方程为 x(y )yy (c y d )f ( x , y )dsd f [(y ), y ]2( y ) 1dyL c(3)若曲的方程为 x(t )y (t )z (t )( t)则f (x , y , z )ds?提示f (x , y , z )dsf [(t ),(t ),(t )]2 (t )2(t )2(t )d t例 1 计算yds其中 L 是抛物线 y x 2上点 O (00)与点 B (1 1)之间的一段 L弧解曲线的方程为 y x 2(0 x 1)因此Lydsx 21(x 2 )2dxx 14x 2 dx (5 5 1)12例 2 计算半径为 R 、中心角为 2 的圆弧 L 对于它的对称轴的转动惯量 I (设线密度为 1)b 1 11解取坐标系如图所示则I y2dsL曲线 L 的参数方程为x R cosy R sin(< )于是Iy 2dsR 2 sin 2(R sin)2 (R cos)2 dLR 3sin 2 dR 3(sin cos )例 3 计算曲线积分 (x2y2 z2 )ds其中为螺旋线 x a cos t 、y a sin t 、z kt上相应于 t 从 0 到达 2 的一段弧解在曲线上有 x 2 y 2z 2 (a cos t )2 (a sin t )2 (k t )2 a 2 k 2t 2并且ds (a sin t )2(a c os t )2 k 2dt a2k2dt于是(x2y 2 z2)ds2(a2k 2t 2) a 2k 2dta32 k 2 (3a242k 2)小结用曲线积分解决问题的步骤(1)建立曲线积分(2)写出曲线的参数方程 ( 或直角坐标方程) (3)将曲线积分化为定积分(4)计算定积分确定参数的变化范围§10一、对坐标的曲线积分的概念与性质变力沿曲线所作的功2 对坐标的曲线积分设一个质点在 xOy 面内在变力 F (x y ) P (x y )i Q (xy )j 的作用下从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B试求变力 F (x y )所作的功2用曲线 L 上的点 A AA 1A 2An1 A B 把 L 分成 n 个小弧段n设 A (xkky ) k有向线段 A A k k 1的长度为 sk它与 x 轴的夹角为k则A Ak k 1{cosk,sin k}s (k k0 1 2n 1)显然变力 F (xy )沿有向小弧段 A A 所作的功可以近似为k k 1F (x , y )A A kkk k 1[P (x , y )coskkkQ (x , y )sin kkk]sk于是变力 F (x y )所作的功W n 1 F (x , y ) A kkk k 1n 1[P (x , y )cos k kkQ (x , y )sin kkk]s kk 1k 1从而W[P (x , y )cos Q(x , y )sin]d sL这里切向量(x y ) {cossin }是曲线 L 在点(x y )处的与曲线方向一致的单位把 L 分成 n 个小弧段L 1L 2Ln变力在 L 上所作的功近似为iF ()iis P (i) x Q (iii) yi ii变力在 L 上所作的功近似为i 1[P (,)x Q (,)y ]i iii ii变力在 L 上所作的功的精确值W limi 1[P (,)x Q (,)y ]i iii ii其中是各小弧段长度的最大值Ann提示用 s { xiiy }表示从 L 的起点到其终点的的向量 i i用 s 表示 s 的模 i i对坐标的曲线积分的定义定义设函数 f (xy )在有向光滑曲线 L 上有界把 L 分成 n 个有向小弧段 L1L2Ln小弧段 L 的起点为(x ii1y )i 1终点为(xiy )ix x xiii1y y yiii1(i)为 L 上任意一点i为各小弧段长度的最大值如果极限limi 1f (,)x i i i总存在则称此极限为函数f (x y )在有向曲线 L 上对坐标 x 的曲线积分记作f (x , y)dx即LLf (x , y )dx limlim如果极限 0i 1i 1f (,)x i iif (,)y i i i总存在则称此极限为函数f (x y )在有向曲线 L 上对坐标 x 的曲线积分记作f (x , y)dy即LLf (x , y )dy limf (,)yi iii 1设 L 为 xOy 面上一条光滑有向曲线 {cossin }是与曲线方向一致的单位切向量函数 P (x y )、Q (x y )在 L 上有定义如果下列二式右端的积分存在我们就定义P (x , y )dxP (x , y )cosdsLLLQ(x , y )dyQ(x, y )sin dsL前者称为函数 P (x y )在有向曲线 L 上对坐标 x 的曲线积分后者称为函数 Q (x y )在n n nn有向曲线 L 上对坐标 y 的曲线积分定义的推广对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分设为空间内一条光滑有向曲线 {coscos cos }是曲线在点(x y z )处的与曲线方向一致的单位切向量函数 P (x y z )、Q (x y z )、R (x y z )在上有定义我们定义(假如各式右端的积分存在)P (x , y , z )dxP (x , y , z )cos dsQ (x , y , z )dyQ (x , y, z )cosdsR (x , y , z )dzR (x , y , z )cosdsLLLf (x , y , z )dx limf (,,)xi i ii0 i 1f (x , y , z )dy limf (,,)yi i ii0 i 1f (x , y , z )dz limf (,,)zi i ii0 i 1对坐标的曲线积分的简写形式P (x , y )dxQ (x , y )dyP (x , y)dx Q (x , y )dyL LLP (x , y, z )dxQ(x, y , z )dyR(x, y , z )dzP (x , y , z )dx Q (x , y , z )dy R (x , y , z )dz对坐标的曲线积分的性质(1) 如果把 L 分成 L 和 L12则Pdx QdyPdx QdyPdx QdyL LL12nn n(2)设L是有向曲线弧L是与L方向相反的有向曲线弧则LP (x , y )dxQ (x , y )d P(x,y )dx Q (x , y )dyL两类曲线积分之间的关系设{cosisin}为与 s 同向的单位向量 i i我们注意到{ xiy }isi所以x cos iisiy sin iisiLf (x , y )dx limi 1f (,)x i iilimi 1f(,)co s i iisiLf (x , y )cosdsLf (x , y )dy limf (,)yi ii0 i 1limi 1f (,)sin i iisiLf (x , y )sinds即Pdx Qdy[PcosQ s in]ds LL或A d rA t ds其中 A L{P Q }Lt {cossin }为有向曲线弧 L 上点 (x y )处单位切向量dr tds {dx dy }类似地有Pdx Qdy Rdz [Pc os Q cosR cos ]ds或A d rA t dsA dst其中 A{P Q R }T {coscoscos }为有向曲线弧上点(x y z )处单们切向量dr Tds{dx dy dz }A 为向量 A 在向量 t 上的投影tn n nn二、对坐标的曲线积分的计算定理设P(x y)、Q(x y)是定义在光滑有向曲线L x(t)y(t)上的连续函数点B则当参数t单调地由变到时点M(x y)从L的起点A沿L运动到终P(x,y)dx P[(t),(t)](t)dtLLQ(x,y)dy Q[(t),(t)](t)dt讨论P(x,y)dx Q(x,y)dy？L提示LP(x,y)dx Q(x,y)dy {P [(t),(t)](t )Q[(t),(t)](t)}dt 定理若P(x y)是定义在光滑有向曲线L x(t)y(t)(t)上的连续函数L的方向与t的增加方向一致则P(x,y)dx P[(t),(t)](t)dtL简要证明不妨设对应于t点与曲线L的方向一致的切向量为{(t) (t)}所以cos2(t) (t)2(t)从而P(x,y)dx P(x,y )cosds L LP [(t),(t)]2(t)(t)2(t)2(t)2(t)d tP [(t),(t)](t)dt应注意的问题下限a对应于L的起点上限对应于L的终点不一定小于讨论若空间曲线由参数方程x t)y= (t)z(t)给出那么曲线积分P(x,y,z)dx Q(x,y,z)dy R(x,y,z)dz ？如何计算提示P(x,y,z)dx Q(x,y,z)dy R(x,y,z)dz{P[(t),(t),(t)](t )Q[(t),(t),(t )](t )R[(t),(t),(t)](t)}dt其中对应于的起点例题对应于的终点例1 计算xydx其中L为抛物线y2 x上从点A(1 1)到点B(1 1)的一段L弧解法一以x为参数L分为AO和OB两部分AO的方程为y x x从1变到0OB的方程为y x x从0变到1因此xydx xydx xydxL AO OBx(x)dx x x dx2100x32dx 45第二种方法以y为积分变量L的方程为x y2y从1变到1因此L xydx1y2y(y2)dy211y4dy 45011 1例 2计算y 2d xL(1)L 为按逆时针方向绕行的上半圆周 x 2+y 2=a 2(2)从点 A (a0)沿 x 轴到点 B ( a0)的直线段解 (1)L 的参数方程为x a cos从 0 变到y a sin因此Ly 2dxa 2sin2(a sin)da3(1cos2)d cosa 33(2)L 的方程为 y 0x 从 a 变到 a因此y 2dxa 0dx 0La例 3 计算 2x ydxx 2d y(1)抛物线 y x 2 上从 O (0 0)到 B (1 1)的一段弧L(2)抛物线 x y 2 上从 O (0 0)到 B (1 1)的一段弧到 R (1 1)的有向折线 OAB(3)从 O (0 0)到 A (1 0)再解 (1)L y x 2x 从 0 变到 1所以2x ydx x 2dy(2 x x2x22x)dx 4x3dx 1L0 0 (2)L x y 2y 从 0 变到 1所以2x ydx x 2dy(2 y2y 2yy4)dy5y 4 dy 1L(3)OA y 0 0x 从 0 变到 1ABx 1y 从 0 变到 12x ydx x 2dy2x ydx x 2dy2x ydx x 2dyLOA AB(2x0x20)dx(2y 01)dy0 1 1例 4计算 x3 dx 3zy 2dy x2 ydz其中是从点 A (3 2 1)到点 B (00 0)4 1 1111 1的直线段AB解直线AB的参数方程为x3t y 2t x tt从1变到0所以所以I 01[(3t)333t(2t)22(3t)22t]d t871t3dt 874例5设一个质点在M(x y)处受到力F的作用F的大小与M到原点O的距离成正比F的方向恒指向原点此质点由点A(a0)沿椭圆1a2b2按逆时针方向移动到点B(0例5b)求力F所作的功W一个质点在力F的作用下从点A(a0)沿椭圆1a2b2按逆时针方向移动到点B(0b)F的大小与质点到原点的距离成正比方向恒指向原点求力F所作的功W解椭圆的参数方程为x a cos t y b sin t t从0变到2r OM x i y j其中k>0是比例常数于是F k|r |()k(x i y j)|r|k2(a2cos t sin t b2sin t c os t)dtk(a2b2)2sin t c os tdt k2(a2b2)三、两类曲线积分之间的联系由定义得2x2y2x2yrL Pdx Qdy (Pcos Q sin )dsL{P,Q }{cos,sin }ds F d r其中FL{P Q}LT{cos sin }为有向曲线弧L上点(x y)处单位切向量dr Tds {dx dy}类似地有Pdx Qdy Rdz (P cos Qcos R cos )ds{P,Q,R }{cos,cos ,cos }ds F d r其中F {P Q R}T{cos cos cos }为有向曲线弧上点(x y z)处单们切向量dr Tds{dx dy dz}区域§103格林公式及其应用一、格林公式单连通与复连通区域设D为平面区域如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D否则称为复连通区域则称D为平面单连通走时对平面区域D的边界曲线L我们规定L的正向如下D内在他近处的那一部分总在他的左边当观察者沿L的这个方向行L区域D的边界曲线的方向定理1设闭区域D由分段光滑的曲线L围成函数P(x y)及Q(x y)在D上具有一阶连续偏导数则有Q PD()dxdy Pdx Qdy x y L其中 L 是 D 的取正向的边界曲线简要证明仅就 D 即是 X －型的又是 Y －型的区域情形进行证明设 D {(xy )|1(x ) y(x ) 2a xb }因为Py连续所以由二重积分的计算法有DP b (x )y a(x )1P(x , y ) ydy }dx{P[x , (x )] P [x ,(x )]}dx21另一方面由对坐标的曲线积分的性质及计算法有PdxLL1PdxPdxL2P[x ,(x )]dxabP [x , (x )]dx2a{P [x , (x )] P [x , 1 ( x )]}dx2因此DPydxdy PdxL设 D {(x y )| (y ) x1(y ) 2c yd }类似地可证DQx dxdyLQdx由于 D 即是 X －型的又是 Y －型的所以以上两式同时成立两式合并即得DQ P x yLPdx Qdy应注意的问题对复连通区域 D格林公式右端应包括沿区域 D 的全部边界的曲线积分且边界的方向dxdy { b ab a1b dxdy对区域D来说都是正向设区域D的边界曲线为L取P y Q x则由格林公式得2dxdy xdy y dxLD 或ADdxdy 12Lxdy ydx例1椭圆x a cos y b sin所围成图形的面积A分析只要QPx y就有( )dxdyx ydxdy AD D解设D是由椭圆x=a cos y=b sin所围成的区域令P 12y Q x2则Q P11x y22于是由格林公式A dxdyLDydx xdy ydx xdy 222L(ab s in 202ab cos2)d abd20ab例2设L是任意一条分段光滑的闭曲线证明2x ydx x2dy 0L证令P 2xy Q x2则2x 2x 0x y因此由格林公式有2xydx x2dy 0dxdy(为什么二重积分前有“”号？)LD例3计算e y2dxdy其中D是以O(0 0)A(1 1)B(0 1)为顶点的D三角形闭区域分析要使Q Pxy y2只需P 0 1Q P1111111Q PeeQ xe y2解令P 0Q xe y2则QPx yy2因此由格林公式有e y dxdyDxe y dy xe y dy xe x dxOA AB BO OA12(1e1)例4计算Lxdy ydxx2y2其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线L的方向为逆时针方向解令Py x2y2Qx2xy2则当x2y20时有Q y2x2x(x2y2)2Py记L所围成的闭区域为D当(0 0) D时由格林公式得Lxdy ydxx2y2当(0 0) D时在D内取一圆周l x2y2r2(r>0)由L及l围成了一个复连通区域D1应用格林公式得Lxdy ydx xdy ydxx2y2l x2y2其中l的方向取逆时针方向于是Lxdy ydx xdy ydxx2y2l x2y22r2cos2rr22sin2d2解记L所围成的闭区域为D当(0 0) D时由格林公式得Lxdy ydx Q Px2y2x yD当(0 0) D时在D内取一圆周l x2 y2 r2(r0)由L及l围成了一个复连通区域D1应用格林公式得L lxdy ydx Q Px2y2x yD21222()dxdy 0()dxdy 01即Lxdy ydx xdy ydxx2y2l x2y2其中l的方向取顺时针方向于是Lxdy ydx xdy ydxx2y2l x2y22r2cos2r2sin20r2d2分析这里Py x2y2Qx2xy2当x2y20时有Q y2x2x(x2y2)2Py二、平面上曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关设G是一个开区域P(x y)、Q(x y)在区域G内具有一阶连续偏导数如果对于G内任意指定的两个点A、B以及G内从点A到点B的任意两条曲线L、L1 2等式Pdx Qdy Pdx QdyL L1 2恒成立就说曲线积分Pdx Qdy在G内与路径无关否则说与路径有关L设曲线积分LPdx Qdy在G内与路径无关L和L 是G内任意两条从点A到点B1 2的曲线则有Pdx Qdy Pdx QdyL L1 2因为Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy 0L L L L1 2 1 2Pdx Qdy P dx Qdy 0Pdx Qdy 0L1L2L (L1 2)所以有以下结论曲线积分Pdx Qdy在G内与路径无关相当于沿G内任意L闭曲线 C 的曲线积分Pdx Qdy等于零L定理 2 设开区域 G 是一个单连通域函数 P (x y )及 Q (x y )在 G 内具有一阶连续偏导数则曲线积分PdxQdy在 G 内与路径无关（或沿 G 内任意闭曲线的曲线积分L为零）的充分必要条件是等式PQyx在 G 内恒成立充分性易证若P Qyx则Q P x y由格林公式对任意闭曲线 L有LPdx QdyDQ P x y必要性假设存在一点 M G使0xy不妨设 >0则由QPxy的连续性存在 M 的一个邻域 U (M , )使在此邻域内有Q P x y 2于是沿邻域 U (M , )边界 l 的闭曲线积分lPdx QdyU (M ,)(QP xy2这与闭曲线积分为零相矛盾应注意的问题因此在 G 内0 dxdy 0QP 0 )dxdy2Q P x y定理要求区域G是单连通区域且函数P(x y)及Q(x y)在G内具有一阶连续偏导数如果这两个条件之一不能满足那么定理的结论不能保证成立破坏函数P、Q及P Q、连续性的点称为奇点y x例5计算2x ydx x2dy其中L为抛物线y x2上从O(0 0)到B(1 1)的一段L弧解因为2xy x在整个xOy面内都成立所以在整个xOy面内积分2x ydx x2dy与路径无关L2x ydx x2dy 2x ydx x2dy 2x ydx x2dyL12d y 1OA AB讨论设L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线L的方向为逆时针方向问L xdy ydxx2y20是否一定成立？提示这里Pxy2y2和Qx2xy2在点(0 0)不连续因为当x2 y20时Q y2x2x(x2y2)2Py所以如果(0 0)不在L所围成的区域内则结论成立而当(0 0)在L所围成的区域内时结论未必成立三、二元函数的全微分求积曲线积分在G内与路径无关表明曲线积分的值只与起点从点(x0y)与终点(xy)有关P Q 1如果LPdx Qdy与路径无关则把它记为(x,y)(x,y)0 0Pdx Qdy即Pdx Qdy (x,y)Pdx Qdy若起点(xL(x,y)0 0y)为G内的一定点终点(x y)为G内的动点则u(x y)(x,y)Pdx Qdy(x,y)0 0为G内的的函数二元函数u(x y)的全微分为du(x y) u(x y)dxxu(x y)dyy表达式P(x y)dx+Q(x函数的全微分y)dy与函数的全微分有相同的结构但它未必就是某个那么在什么条件下表达式P(x y)dx+Q(x y)dy是某个二元函数u(x y)的全微分呢？当这样的二元函数存在时怎样求出这个二元函数呢？定理3设开区域G是一个单连通域函数P(x y)及Q(x y)在G内具有一阶连续偏导数则P(x y)dx Q(x y)dy在G内为某一函数u(x y)的全微分的充分必要条件是等式PQy x在G内恒成立简要证明必要性假设存在某一函数u(x y)使得du P(x y)dx Q(x y)dy则有P u 2uy y xx yQ u 2ux x yy x2u P 2u Q因为、x y y y x x连续所以( )( )2u 2ux y y x充分性即P Qyx因为在 G 内P Qyx所以积分LP (x , y )dxQ (x , y )dy在 G 内与路径无关在 G 内从点(xy )到点(x y )的曲线积分可表示为考虑函数 u (x y )(x , y )P (x , y )dx Q (x , y )dy(x , y )因为u (x y )(x , y )P (x , y )dx Q (x , y )dy所以(x , y )Q(x , y )dy P(x , y )dx0 0 Q (x , y )dy P (x , y )dx P (x , y ) x x y x x 0 0类似地有 Q (x, y ) 从而 du P (x y )dx Q (x y )dy y即 P (x y )dx Q (xy )dy 是某一函数的全微分求原函数的公式u (x , y )(x , y )P (x , y )dx Q (x , y )dyu (x , y )(x , y ) 0 0 P (x , y )dxQ (x , y )dyu (x , y )yQ (x , y )dy 0 xP(x , y )dx例 6 验证xdy ydx x 2 y 2在右半平面(x >0)内是某个函数的全微分并求出一个这样的函数解这里Py x 2y 2Qx x 2 y 2因为 P 、Q 在右半平面内具有一阶连续偏导数且有y xyx u y x0 u xy x y yxQ y2x2x(x2y2)2Py所以在右半平面内xdy ydxx2y2是某个函数的全微分取积分路线为从A(1 0)到B(x0)再到C(x y)的折线则所求函数为u(x,y)(x,y)(1,0)xdy ydxx2y2xxdy2y2arctanyx问为什么(xy)不取(0 0)?例6验证在整个xOy面内xy2dx x2ydy是某个函数的全微分并求出一个这样的函数解这里P xy2Q x2y因为P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数Q Px y且有所以在整个xOy面内xy2dx x2ydy是某个函数的全微分取积分路线为从O(0 0)到A(x0)再到B(x y)的折线则所求函数为u(x,y)(x,y)(0,0)xy2dx x2ydy 0x2ydy x2ydyx2y22思考与练习1 在单连通区域G内Q P那么x y如果P(x y)和Q(x y)具有一阶连续偏导数且恒有(1)在G内的曲线积分P(x,y)dx Q(x,y)dy是否与路径无关?L(2)在G内的闭曲线积分P(x,y)dx Q(x,y)dy是否为零?Ly2xyy y(3)在G内P(x y)dx Q(x2 在区域G内除M点外0y)dy是否是某一函数u(x y)的全微分?如果P(x y)和Q(x y)具有一阶连续偏导数且恒有Q P x y G是G内不含M的单连通区域1 0那么(1)在G 内的曲线积分1LP(x,y)dx Q(x,y)dy是否与路径无关?(2)在G 内的闭曲线积分1LP(x,y)dx Q(x,y)dy是否为零?(3)在G内P(x y)dx Q(x1y)dy是否是某一函数u(x y)的全微分?3在单连通区域G内如果P(x y)和Q(x y)具有一阶连续偏导数P Qy x但QPx y非常简单那么(1)如何计算G内的闭曲线积分?(2)如何计算G内的非闭曲线积分?(3)计算(e x sin y 2y)dx (e x cos y 2)dy其中L为逆时针方向的L上半圆周(x a)2y2a2y0§104对面积的曲面积分一、对面积的曲面积分的概念与性质物质曲面的质量问题设为面密度非均匀的物质曲面其面密度为(x y z)求其质量把曲面分成n个小块S1S2S( S也代表曲面的面积)n i求质量的近似值n (,,)S i i ii((i i i)是S上任意一点)ii 1取极限求精确值M lim(,,)Si i i i(为各小块曲面直径的最大值)定义设曲面是光滑的函数f(x y z)在上有界把任意分成n小块S 1S2S( S也代表曲面的面积)n i在S上任取一点( i i ii )如果当各小块曲面的直径的最大值0时极限lim f (,,)Si i i i总存在则称此极限为函数f(x y z)在曲面上对面积的曲面积分或第一类曲面积分记作f(x,y,z)dS即f(x,y,z)dS limni 1f (,,)Si i i i其中f(x y z)叫做被积函数对面积的曲面积分的存在性叫做积分曲面我们指出当f(x y z)在光滑曲面上连续时对面积的曲面积分是存在的后总假定f(x y z)在上连续今根据上述定义面密度为连续函数(x y z)的光滑曲面的质量M可表示为(x y z)在上对面积的曲面积分M f(x,y,z)dS如果是分片光滑的我们规定函数在上对面积的曲面积分等于函数在光滑的各片曲面上对面积的曲面积分之和例如设可分成两片光滑曲面1及(记作21 2)就规定1f(x,y,z)dS21f(x,y,z)dS2f(x,y,z)dSni 1ni 1对面积的曲面积分的性质(1)设c、c为常数1 2则[c f(x,y,z)c g(x,y,z)]dS c 121f(x,y,z)dS c2g(x,y,z)dS(2)若曲面可分成两片光滑曲面1及2则f(x,y,z)dS f(x,y,z)dS f(x,y,z)dS12(3)设在曲面上f(x y z) g(x y z)则f(x,y,z)dS g(x,y,z)dS(4)dS A其中A为曲面的面积二、对面积的曲面积分的计算面密度为f(x y z)的物质曲面的质量为M nlim f (,,)Si i i if(x,y,z)dS另一方面如果由方程z z(x y)给出在xOy面上的投影区域为D那么曲面的面积元素为dA 1z2(x,y)z2(x,y)dxdyx y质量元素为f[x,y,z(x,y)]dA f[x,y,z(x,y)]1z2x (x,y)z2y(x,y)dxdy根据元素法曲面的质量为M f[x,y,z(x,y)]1z2x (x,y)z2y(x,y)d xdy因此Df(x,y,z)dS f[x,y,z(x,y)] 1z2(x,y)z2(x,y)d xdyx yD化曲面积分为二重积分设曲面由方程z z(x y)给出在xOy面上的投影区域为Dxyi 1连续则被积函数f(x y z)在上函数z z(x y)在D 上具有连续偏导数xyf(x,y,z)dS f[x,y,z(x,y)]1z2(x,y)z2(x,y)d xdyx yDxy如果积分曲面的方程为y y(z x)f(x y z)在上对面积的曲面积分为D为在zOx面上的投影区域zx则函数f(x,y,z)dS f[x,y(z,x),z]1y2z(z,x)y2x(z,x)d zdxD zx如果积分曲面的方程为x x(y z)f(x y z)在上对面积的曲面积分为D为在yOz面上的投影区域yz则函数f(x,y,z)dS f[x(y,z),y,z]1x2(y,z)x2(y,z)d ydzy zDyz例1计算曲面积分1zdS其中是球面x2y2z2 a2被平面z h(0 h a)截出的顶部解的方程为z a2x2y2Dxyx2 y2 a2 h2因为zxa2xx2y2zya2yx2y2dS 1z2z2dxdyx yaa2x2y2dxdy所以1zdSaxy2ax2y2dxdya 2da2h2ardr2r22a[ln(a2r2)] a22h22a ln ah提示1z2z2x y 1x2y aa x y a x y a2x2y2例2计算D12222222xyzdS其中是由平面x0y0z0及x y z1所围成的四面体的整个边界曲面解整个边界曲面在平面x0、y0、z0及x y z1上的部分依次记为、1 2、3及4于是xyzdS xyzdS xyzdS xyzdS xyzdS12340004xyzdSxy3xy (1x y)dxdy3xdx00y(1x y)dy 3x(1x)36120提示4z 1 x ydS1z x2z y2dxdy 3dxdy§105对坐标的曲面积分一、对坐标的曲面积分的概念与性质有向曲面通常我们遇到的曲面都是双侧的例如由方程z z(x y)表示的曲面分为上侧与下侧设n (cos cos cos )为曲面上的法向量在曲面的上侧cos0类似地在曲面的下侧cos 0闭曲面有内侧与外侧之分如果曲面的方程为y y(z x) 则曲面分为左侧与右侧在曲面的右侧cos 0在曲面的左侧cos 0如果曲面的方程为x x(y z)则曲面分为前侧与后侧在曲面的前侧cos0在曲面的后侧cos 0设是有向曲面在上取一小块曲面S把S投影到xOy面上得一投影区域这投影区域的面积记为() 假定S上各点处的法向量与z轴的夹角的余弦cosxy有相同的符号(即cos 都是正的或都是负的)我们规定S在xOy面上的投影( S)D11x13dxxy为()cos0x y(S)()cos0cos其中cos 0也就是( ) 0的情形xy类似地可以定义S在yOz面及在zOx面上的投影( S) 及( yz S)zx流向曲面一侧的流量设稳定流动的不可压缩流体的速度场由v(x y z) (P(x y z)Q(x y z)R(x y z))给出是速度场中的一片有向曲面函数P(x y z)、Q(x y z)、R(x y z)都在上连续求在单位时间内流向指定侧的流体的质量即流量如果流体流过平面上面积为A的一个闭区域且流体在这闭区域上各点处的流速为(常向量)v又设n为该平面的单位法向量那么在单位时间内流过这闭区域的流体组成一个底面积为A、斜高为|v|的斜柱体当(v^n)2时这斜柱体的体积为A|v|cos A v n当(v^n)2时显然流体通过闭区域A的流向n所指一侧的流量为零而Av n0,故Av n当(v^n)2时Av n0这时我们仍把Av n称为流体通过闭区域A流向n 所指一侧的流量它表示流体通过闭区域A实际上流向n所指一侧且流向n所指一侧的流量为Av n因此不论(v^n)为何值流体通过闭区域A流向n所指一侧n的流量均为Av把曲面分成n小块S1S2S( S同时也代表第i小块曲n i面的面积)在是光滑的和v是连续的前提下只要S的直径很小i 我们就可以用xy xyS上任一点( i,i,i i)处的流速v v( i,i,i i) P(,i,i i)i Q(,i,i i)j R(,i,i i)k代替S上其它各点处的流速i 以该点(, ,i i i)处曲面的单位法向量n cosi i i cosij cosik代替S上其它各点处的单位法向量i 从而得到通过S流向指定侧的流量的近似值为iv n Si i i(i1,2, ,n)于是通过流向指定侧的流量vn S ii ii 1[P (,,)cos Q(,,)cosi i i i i i iR(,,)cosi i i i i]Sii 1但cosi S( S)i i yzcosiS( S)i i zxcosiS( S)i i xy因此上式可以写成n[P (,,)(S)Q(,,)(S)R(,,)(S)]i i i i yz i i i i zx i i i i xyi 1令0取上述和的极限就得到流量的精确值这样的极限还会在其它问题中遇到抽去它们的具体意义就得出下列对坐标的曲面积分的概念提示把S看成是一小块平面i 其法线向量为ni则通过S流向指定侧的流量i近似地等于一个斜柱体的体积此斜柱体的斜高为|v|i 高为|v|cos(vi i^n) v ni i i体积为v n Si i i因为n cosi i i cosij cosikv v( i, , )P( i i i,i, )iQ( i i,i,i i)j R(,i,i i)kv n S[P( i i i, , )cos Q( ,i i i i i,i)cosi iR( , ,i i)cos i] S i inn而cosi S( S)i i yzcosiS( S)i i zxcosiS( S)i i xy所以v n SP( i i i,i,i)( S)i i yz Q(,i, )( S)R( i i i zx,i,i)( S)i i xy对于上的一个小块近似于以为底而高为显然在t时间内流过的是一个弯曲的柱体它的体积的柱体的体积V n t S (|V|t)cos(V这里n (cos^n) V n tcos cos )是上的单位法向量S表示的面积所以单位时间内流向指定侧的流体的质量近似于V n S(P(x y z)cos Q(x y z)cos R(x y z)cos ) S如果把曲面分成n小块(i 12 ···i n)单位时间内流向指定侧的流体的质量近似于n{P(x,y,z )cos Q(x,y,z )cosi i i i i i iR(x,y,z)cosi i i i}Sii 1按对面积的曲面积分的定义{P(x,y,z )cos Q(x,y,z)cos R(x,y,z)cos }dS V n dS 舍去流体这个具体的物理内容我们就抽象出如下对坐标的曲面积分的概念定义设为光滑的有向曲面函数R(x y z)在上有界把任意分成n块小曲面S( S同时也代表第i小块曲面的面积)i i 在xOy面上的投影为( S)i xy(,i,i i )是S上任意取定的一点inlim R (,,)(S)i i i i xy0i 1如果当各小块曲面的直径的最大值0时总存在则称此极限为函数R(x y z)在有向曲面上对坐标x、y的曲面积分:记作即R (x , y , z )dxdyR (x , y , z )dxdylim 0R (,,)(S ) ii ii xyi 1类似地有P (x , y , z )dydz limP (,,)(S ) ii ii yzi 1Q (x , y, z )dzdx lim Q (,,)(S ) i i i i zx其中 R (x y z )叫做被积函数叫做积分曲面定义设是空间内一个光滑的曲面n (coscoscos )是其上的单位法向量的向量场V (x y z ) (P (x y z )如果下列各式右端的积分存在Q (x y z )我们定义R (x y z ))是确在上P (x , y , z )dydzP(x,y ,z )cos dSQ(x,y ,z )dzdxQ(x , y , z )cosdSR(x,y ,z )dxdyR (x , y , z )cosdS并称P (x , y , z )dydz 为 P 在曲面上对坐标 y 、z 的曲面积分Q (x , y , z )dzdx为 Q 在曲面上对坐标 z 、x 的曲面积分R (x , y , z )dxdy为 R 在曲面上对坐标 y 、z 的曲面积分其中 P 、Q 、R 叫做被积函数叫做积分曲面以上三个曲面积分也称为第二类曲面积分nnni 1对坐标的曲面积分的存在性对坐标的曲面积分的简记形式在应用上出现较多的是P(x,y,z)dydz Q(x,y,z)dzdx R(x,y,z)dxdyP(x,y,z)dydz Q(x,y,z)dzdx R(x,y,z)dxdy流向指定侧的流量可表示为P(x,y,z)dydz Q(x,y,z)dzdx R(x,y,z)dxdy一个规定如果是分片光滑的有向曲面我们规定函数在上对坐标的曲面积分等于函数在各片光滑曲面上对坐标的曲面积分之和对坐标的曲面积分的性质对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分类似的一些性质例如(1)如果把分成1和2则Pdydz Qdzdx Rdxdy1Pdydz Qdzdx Rdxdy2Pdydz Qdzdx Rdxdy(2)设是有向曲面表示与取相反侧的有向曲面则Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy这是因为如果n(cos cos cos )是的单位法向量则上的单位法向量是n( cos cos cos )Pdydz Qdzdx Rdxdy{P(x,y,z )cos Q(x,y,z)cos R(x,y,z)cos }dSPdydz Qdzdx Rdxdy。

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a
(1
y b
)
x2dx
1
a3b.
00
12
oa
x
同理：对x 轴的转动惯量为
Ix
D
y2dxdy
1 12
ab3.
19
例 2 已知均匀矩形板（面密度为常数）的长
和宽分别为b 和h ，计算此矩形板对于通过其形
心且分别与一边平行的两轴的转动惯量.
解先求形心
x 1 xdxdy, AD
y
1 A
D
ydxdy.
mi xi
i1 n
mi
i1
n
y
Mx M
mi yi
i1 n
mi
i1
其中
n
M mi 为该质点系的总质量
i1
n
y mi xi
为该质点系对y轴的静矩。
i1
Mx
n
mi yi
为该质点系对x轴的静矩。
i1
13
设有一平面薄片占有 xoy 平上的闭区域 D，在点(x, y) 处的面密度为 (x, y），(x, y）在 D 上连续，则该薄片
第四节重积分的应用
一、二重积分的应用二、三重积分的应用三、小结
1
一、二重积分的应用 zz f (x, y)
(一)、立体的体积
y
１．曲顶柱体的体积
xD
V f ( x, y)d
D
2、一般立体的体积
V (z2( x, y) z1( x, y))d
D
z z2(x, y)
z z1( x, y)
解: 在球坐标系下空间立体所占区域为
M
0 r 2a cos
:
0
0 2 r2 sin d d d r
r
Oo x
y
则立体体积为
2
2 a cos
V d xd yd z d sin d r2d r
00
0
16 a3 cos3 sin d 4 a3 (1 cos4 )
解由对称性知 A 4 A1,
D1： x2 y2 ax ( x, y 0)
曲面方程 z a2 x2 y2 ,
于是
1
z 2
x
z y
2
a
,
a2 x2 y2
9
面积A 4 1 zx2 z y2dxdy
D1
4
D1
a
dxdy
a2 x2 y2
4a
2 d
a cos
1
d
转动惯量依次为
n
I x mi yi 2 ，
i 1
n
I y mi xi 2 .
i 1
16
设有一平面薄片占有 xoy 平上的闭区域D，在点(x, y) 处的面密度为 (x, y），(x, y）在 D 上连续，则该薄片
的对坐标轴的转到惯量：
薄片对于x 轴的转动惯量
Ix y2(x, y)d ,
D
2
例1. 求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围立体的体积.
解: 设两个直圆柱方程为
x2 y2 R2, x2 z2 R2
利用对称性, 考虑第一卦限部分, 其曲顶柱体的顶为
z
x2 y2 R2
R
z R2 x2
(x,
y)
D
:
00
y x
R
R2
x2
则所求体积为:
R
R2 x2
V 8 R2 x2 dxdy 8 dx
0
0
a2 2
2a2 4a2.
10
例 2 求由曲面x2 y2 az 和z 2a
(a 0)所围立体的表面积.
解
解方程组
x2 y2 z 2a
az x2
, y2
得两曲面的交线为圆周
x2 y2 a2
,
z a
x2 y2
在xy 平面上的投影域为 Dxy : x2 y2 a2 ,
z z (x, y, z)dxdydz (x, y, z)dxdydz
当 (x, y, z) 常数时, 则得形心坐标：
x xdxdydz , y ydxdydz , z zdxdydz
V
V
V
V dxdydz
物体的体积
27
例2. 一个炼钢炉为旋转体形，它的
z
曲面方程为 9( x2 y2 ) z(3 z)2 , 0 z 3
点 ( x, y) d ,
o
为 S 上过 M ( x, y, f ( x, y))
的切平面.
x
(x, y) y d
以 d 边界为准线，母线平行于 z 轴的小
柱面，截曲面 s 为 ds；截切平面为 dA，
则有dA ds.
6
d 为 dA 在 xoy 面上的投影, d dA cos ,
y
x
( r2 sin2 cos2 r2 sin2 sin2 ) r2 sin d rd d
2
a
d sin 3 d r4d r
00
0
2 a5 2 2 1
5
3
8 a5
15
问题：如何用截面法和柱面坐标系计算三重积分？
31
四、物体的引力
设物体占有空间区域 , 其密度函数
内，且可近似认为是圆轨道．通
h
讯卫星运行的角速率与地球自转
的角速率相同，即人们看到它在
天空不动．若地球半径取为 R ，
o
问卫星距地面的高度h 应为多少？
x
通讯卫星的覆盖面积是多大？
5
１．设曲面的方程为：z f ( x, y)
在 xoy 面上的投影区域为 D,
如图，设小区域 d D,
z
s
dA M
D
薄片对于y 轴的转动惯量
I y x2(x, y)d.
D
17
例 1 设一均匀的直角三角形薄板，两直角边长
分别为a 、b ，求这三角形对其中任一直角边的
转动惯量.
解设三角形的两直角边分别在
y
x轴和y 轴上，如图
b
对 y 轴的转动惯量为
o
a
x
I y x2dxdy,
D
18
y
b
bdy
yd xd
y
C。2D
1 2 sin d d
3
1
D
sin
4 sin
d 2d
56
sin
4
d
3 0
2 sin
9
0
o
x
56
9
2
2
sin 4
d
56
9
2
3 4
1 2
2
7 3
0
15
(四)、平面薄片的转动惯量
设 xoy平面上有 n个质点，它们分别位
于( x1 , y1 )，( x2 , y2 )， ,( xn , yn )处，质量分别为m1, m2 , , mn．则该质点系对于 x轴和 y 轴的
对位于z轴上的点（0,0,a）处单位质量的质点的引力。
薄片对 z 轴上单位质点的引力 F {Fx , Fy , Fz },
Fx
k
D
(
x
2
(
x, y2
y)
x a
2
)
3 2
d
,
Fy
k
D
(
x
2
(
x, y2
y)
y a
2
)
3 2
d
,
Fz
ak
D
(x2
(x, y2
y
) a
2
)
3 2
d
.
k 为引力常数
I y (x2 z2 ) (x, y, z)d xd yd z 30
例3. 求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量.
解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴, 设所占域为 z
: x2 y2 z2 a2
l
则 Iz (x2 y2) d xd yd z
用球坐标
r4 sin 3
o
D
0
0
R
8 (R2
x2 ) dx
16
R3
0
3
o x
R
y
x2 z2 R2
R2 x2dy
3
例2 求球体x2 y2 z2 R2与x2 y2 z2 2Rz
公共部分体积
z R2 x2 y2
解 : 求两球交线的投影
由
x x
2 2
y2 y2
z2 z2
R2 消去z 2Rz
x2 y2 3 R2 4
区域面积 A b h,
y
建立坐标系如图
h
因为矩形板均匀,
o
b
x
由对称性知形心坐标 x 0, y 0.
20
Ix y2dxdy
D
h 2
y2dy
b 2
dx bh3 .
h 2
b 2
12
Iy
D
x2dxdy
b3h
12
.
21
(五)、平面薄片对质点的引力
设有一平面薄片占有 xoy 平上的闭区域D，在点(x, y) 处的面密度为 (x, y），(x, y）在 D 上连续，求该薄片
由 z 1 ( x2 y2 )得 a
zx
2x , a
2y zy a ,
11
1
zx2
z
2 y
1
2x
2
2y
2
a a
1 a2 4x2 4y2 , a
由 z 2a x2 y2知
1