平面曲线曲率之研究与动画模拟
第七节平面曲线的曲率
为半径的圆为 L 在点 M 的曲率圆.
为曲率半径.
二、曲率
1．曲率就是曲线在某点处的弯曲程度.如路 弯度大，车子离心率越大；梁一般在弯的最厉害 的地方断裂；……圆的半径越小弯的越厉害，于 是 2. 定义： 1 k
2 y 0 . 4 x 例3 一工件内表面截线为 ，用砂轮磨 削其内表面，半径多大合适？ 解：砂轮半径 抛物 y 线上各点处曲率半径 2 y 0 . 4 x 的最小者，才不会破 坏工件内表面， 由例2 知抛物线在顶点处曲 曲率半径最小. 率最大， y 0.8 x ， y 0.8 x O 0.8 k (0,0) 0.8 ， 32 (1 0) 1 k 1.25 ， 所以砂轮半径不能大于1.25.
( x0 a ) [ f ( x0 ) ] f ( x0 ) 0
(5)
(6)
1 [ f ( x0 )]2 [ f ( x0 ) ] f ( x0 ) 0
从(6)式解出:
1 [ f ( x0 )]2 f ( x0 ) f ( x0 )
第七节 平面曲线的曲率
讲解方法一：
一、曲率圆
1、实际问题： 一质点作曲线运动， 考察 y 运动在某点 M ( x0 , f ( x0 )) 处的情形. 局部情形时， 可用圆周曲线来替代这点 附近的曲线 L ， 这样就可 以用圆周运动的知识来析 o 这点处的曲线运动.
D
y f ( x)
L
M
x0
x
再代入(5)式解出：
1 [ f ( x 0 )] x 0 f ( x 0 ) f ( x0 )
代入(2)式解出：
最新24-平面曲线的曲率汇总
解
x 0 1 , y0 1 ,
y x 1 2 xx 1 2 , yx12, 在点(1,1)处的曲率半径为
R
(1
y2
)
3 2
(122)23 125
y
2
2
曲率中心为
x0
y(1y2) y
12(122)4 2
y0
1 y2 y
1122 2
7 2
曲率中D(心 4, ： 7). 2
曲率圆的方程为
(x4)2(y7)2125 24
在M 点 处可用一个相应的圆来描述曲线的弯曲程度
曲率中心的坐标
设曲y 线 f(x )方 ,f(x )程 存为 在
f(x0)0,则曲线在点 M(x0, y0)处的曲率
中心 D(, )的坐标为
x0
y(1y2), y
y0
1 y2 y
,
式 y 与 中 y 是 y f(x )在 M 处 点的 .
求抛 yx2 物 在(1 线 ,点 1 )处的 例5 曲率半径、曲率中心和曲率圆方程 .
,
2
,
3,
2
因a为 b, 故在各象限中
dk
d
的符号依次为
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
+
+
由此当 可得:2当 , 32时 0,,k时 取 ,k最 取小 km最 in 值 kab大 m2ax b值 a2
在有些实际问题中 , 若 |y|1 , 则可 k|y 取 |.
k 1, R5. 5
O
M
O
M
曲率圆 曲率半径 曲率中心 曲率半径曲1率
24-平面曲线的曲率
例1 求半径为 R 的圆上任意一点处的曲率 .
曲线的曲率曲率半径
.
O点处抛物线轨道的曲率半径
y
x0
x 2000
x0
0,
y
x0
1. 2000
得曲率为
k
x x0
1. 2000
曲率半径为 2000 米.
F 70 4002 5600(牛) 571.4(千克), 2000
Q 70(千克力) 571.4(千克力),
641.5(千克力).
即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.
§2-8
曲线的曲率.曲率半径
一、平面曲线的曲率及其计算公式
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量．
1
2
M2 S2 M3
S1
M1
弧段弯曲程度 越大转角越大
S1
M
M
N
S2 N
转角相同弧段越 短弯曲程度越大
y
M0 是基点. MM s ,
C
M.
M M 切线转角为 .
S
. M0 S M
)
定义
o
x
弧段MM的平均曲率为K .
s
曲线C在点M处的曲率 K lim s0 s
在 lim d 存在的条件下,
s0 s ds
K
d .
ds
注意: (1) 直线的曲率处处为零; (2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数, 对于半径为R的圆周 Δ S = RΔθ
1
s R
（3）曲率的倒数称为 曲率半径 = 1/K
1 cos t
sin3 t
2
y
1 4a
1 sin4
t
,
代入公式K
(1
y y2 )3/ 2
1 4a sin
t
微分几何论文——曲率
姓名： 学号：摘要曲率是用来刻画曲线的弯曲程度，直观上当一点沿曲线以单位速度进行时，方向向量转动的快慢反应了曲线的弯曲程度。
半径小的圆的弯曲得厉害。
曲率的弯曲程度在工程技术、自然科学和日常生活中有着重要的作用。
曲线曲率的应用广泛，本文就此简单介绍一下曲线曲率。
关键词：空间曲线 ；平面曲线 ；曲线曲率 ；全曲率 ；相对曲率1.空间曲线的曲率设给定的空间曲线)(:s r r=Γ是3C 类曲线，其中s 为曲线的自然参数，在其上赋予Frenet 标架[])(),(),();(s s s s r γβα，则参数s 的变化导致标架基本向量的变化，而标架的变化刻画出曲线Γ在一点邻近的形状[2]。
•••=rα是)(s α对s 的旋转速度，它刻画出Γ在s 点邻近的弯曲程度。
对于曲线)(:s r r=Γ，称)()(s r s k ••= 为曲线Γ在s 点的曲率，当0)(≠s k 时，其倒数)(1)(s k s =ρ称为曲线Γ在s 点的曲率半径。
注：曲率)(s k 为α 对s 的旋转速度，并且)()()(s s k s βα=•。
事实上，ββααk rrr r ====••••••••••.定理：空间曲线)(:s r r=Γ为直线的充分必要条件是其曲率0)(≡s k .证明：若Γ为直线b a s s r +=)(，其中a 和b 都是常量，并且1=a ，则0)()(==••s r s k；反之，若0)()(≡=••s r s k ，则o s r ≡••)(，两次积分后有b a s s r+=)(，所以该曲线是直线。
设曲线Γ的一般参数表示为)(t r r=，则有222"')()()(dts d r dt ds r t r dt ds r dt ds ds r d t r ••••+=== ， 于是3222"')()(dtds r r dt s d r dt ds r dt ds r r r •••••••⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯=⨯3"')(,sin dtds r r r r r r ><=⨯•••••• 因为',,1r dtds r r r =⊥=••••，所以3'"'r k r r =⨯。
平面曲线曲率半径的运动学探究
平面曲线曲率半径的运动学探究以曲线和曲面为代表的几何特征在现代生活中随处可见，研究者对其在现代大型建筑设计、工业生产制造、物体运动学规律等诸多领域进行了广泛深入的探究。
本文详细分析了平面曲线曲率几何学特征以及其对应的运动学规律，试图从多个角度对曲线曲率问题进行全方位的解读与探索，同时利用电脑编程求解，进一步研究了椭圆曲线在不同长短半轴比下的曲率半径变化规律。
标签：平面曲线；曲率半径；运动学分析；椭圆曲线曲率；程序求解一、概述在现今社会生活中，以曲线和曲面为代表的几何特征处处可见。
建筑设计中的直曲结合、汽车外形流线型曲面的制造加工以及各种物体的曲线运动等，都是生活中对曲线、曲面的应用。
因此，在现实生活应用的基础上对各种曲线曲面几何特征的研究具有重要意义。
其中，平面曲线的曲率半径在数学和物理学中具有相通之处，由此又激发了我们从不同的学科角度对一个概念进行深入理解的灵感。
平面曲线在各种领域得到广泛应用。
在综合地质勘探的编录中，[1]地质学家利用曲率圆的某一段圆弧来近似地代表岩层的一段走向，即“以曲代直”；利用曲率半径来编录岩层走向变化大、有褶皱构造的坑道，并用这一编录结果与实际情况作比较。
勘测结果显示，这种方法具有一定的实用价值。
另外，科研人员根据平面曲线曲率半径的运动学规律制造各种机器零件。
例如，数控车床加工时，常常利用刀具切割多曲率圆弧面；在数控车床上加工多曲率圆弧面工件时，[2]不同曲率圆弧交接点的坐标值、加工工艺和刀具的应用非常重要，它不仅具备加工程序的简洁性，还会影响工件的加工质量和加工效率。
在工业制造中，加工特殊管道时，也需要对刀具的曲线加工路径以及刀具自身曲率半径进行深入的研究，用于工厂生产。
本文系统地从数学几何定理以及物理学物体曲线运动的角度探讨了平面曲线曲率的数学物理意义，从而全面认识平面曲线的几何特征的数学和运动学规律。
然后进一步以椭圆曲线为例，探讨了这一广泛存在于天体运动以及工业曲线加工领域的特征曲线的曲率半径变化规律，并通过数值程序的求解得到了不同位置的曲率半径，研究了椭圆曲线在不同位置的曲率半径大小。
平面曲线的曲率
( b , b2 4ac)
曲率表征曲线局部性质〔弯曲程度〕的量 砂轮的曲率应不小于抛物线顶点的曲率0.
2a 4a
K 2a
例2、设工件外表的截线为抛物线 y 0.4x2. 现在要用砂轮磨削其内外表.问用直径多大的砂轮 才比较适宜？
注: 直线上任意点处的曲率为 0 !
例2、设工件外表的截线为抛物线 y 0.
y 2a 思考：直线任意点处的曲率是多少?
K 注: 直线上任意点处的曲率为 0 !
现砂在轮要 的用曲砂率轮应磨不削小其于内抛外物表线顶. 点的曲率0.2
3 2
1y 1(2axb) 思考：直线任意点处的曲率是多少?
3 22
y
d
( 1
y2
)dx
0
故曲率计算公式为
y K (1 y2 )32
C:yf(x)
M
x
K d .
ds
例1 抛物线 yax2bxc在哪个点曲率最大？
1、引例：弯曲程度与哪些因素有关？
解: y2axb 砂轮的曲率应不小于抛物线顶点的曲率0.
例如：求半径为R 的圆上任意点处的曲率。
y 2a
25单位长 即直径不得超过2.
C
弧段 M M 平均曲率
K s
点 M 处的曲率
K lim d
s0 s
ds
M
s
M0 M
0
x
例如：求半径为R 的圆上任意点处的曲率。
M s
R M
思考：直线任意点处的曲率是多少?
注: 直线上任意点处的曲率为 0 !
二、曲率的计算公式
设曲线弧 y f (x)
平面曲线的弧长与曲率
O
ax
π
因此 s 4 2 x2(t ) y2(t )dt 0
π
4 2
3a cos2 t sin t
2
3a sin2 t cos t
2
dt
0
12a
π 2
sin
t
cos
tdt
12a
sin2
t
π 2
6a.
0
20
数学分析 第十章 定积分的应用
高等教育出版社
§3 平面曲线的弧长曲率
平面曲线的弧长
n
故 lim T 0 i1
x2(i ) y2(i )Δti
数学分析 第十章 定积分的应用
高等教育出版社
x2(t) y2(t) dt.
§3 平面曲线的弧长曲率
平面曲线的弧长
由第一章§1习题 6 可知
*平面曲线的曲率
x2(i ) y2(i ) x2(i ) y2(i ) y(i ) y(i ) . 又y(t)在[ , ]上连续，从而在[ , ]上一致连续，
b2
ab sin2 t
b2
32.
当 a b 0 时, 在 t 0, π 处曲率最大, 在 t π ,
3π 2
处曲率最小,
Kmax
a b2
, Kmin
b a2
.
2
数学分析 第十章 定积分的应用
高等教育出版社
§3 平面曲线的弧长曲率
平面曲线的弧长
*平面曲线的曲率
由例1可得,若
a
b
R,
则各点处曲率相等,
数学分析 第十章 定积分的应用
高等教育出版社
§3 平面曲线的弧长曲率
平面曲线的弧长
*平面曲线的曲率
数学分析-平面曲线的弧长与曲率
解: 利用对称性
绕 x 轴旋转
星形线
星形线是内摆线的一种.
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大圆半径 R＝a
小圆半径
参数的几何意义
(当小圆在圆内沿圆周滚动
时, 小圆上的定点的轨迹为是内摆线)
内容小结
3. 平面曲线的弧长
曲线方程
参数方程方程
上
半圆为
下
它也反映了环面微元的另一种取法.
第三节、平面曲线的弧长与曲率
定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 ,
当折线段的最大
边长 →0 时,
折线的长度趋向于一个确定的极限 ,
此极限为曲线弧 AB 的弧长 ,
即
并称此曲线弧为可求长的.
定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.
则称
(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:
弧长元素(弧微分) :
因此所求弧长
的弧长 .
解:
例12. 求阿基米德螺线
相应于 0≤≤2
一段的弧长 .
解:
第四节、旋转体的侧面积
设平面光滑曲线
求
积分后得旋转体的侧面积
它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .
取侧面积元素:
例19. 计算圆
x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S .
解: 对曲线弧
应用公式得
当球台高 h＝2R 时, 得球的表面积公式
极坐标方程
弧微分:
直角坐标方程
注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小
4. 旋转体的侧面积
侧面积元素为
(注意在不同坐标系下 ds 的表达式)
思考与练习
1.用定积分表示图中阴影部分的边界长 s .
高等数学 第四章 导数的应用 4-3曲线的曲率
α = a(t + sint), β = a(cos t −1).
O′
ξ = a(τ − sinτ ), 可得 η = a(1− cosτ ).
( 仍为摆线 )
备用题
1 3 例2-1 铁路常用立方抛物线 y = x 作缓和曲线 作缓和曲线, 6Rl 其中R是圆弧弯道的半径 是圆弧弯道的半径, 是缓和曲线的长度, 其中 是圆弧弯道的半径 l 是缓和曲线的长度
则通过 计算可得
K=
x′ y′′ − x′′ y′
3 ′2 + y′2)2 (x
.
例2 抛 线y = ax2 + bx + c 上 一 的 率 大 物 哪 点 曲 最 ? 解 y′ = 2ax + b,
y′′ = 2a,
= 2a
3 [1+ (2ax + b)源自]2∴ k =y′′
3 (1+ y′2)2
点击图片任意处播放\暂停 点击图片任意处播放 暂停
答： 直 AB 曲 ： 轨 的 率 k
AB
= 0,
A B
∴ 曲 半 ： AB = ∞. 率 径 ρ
圆 的 率 径 R= 0 数 而 弧 曲 半 ： = R (常 ). m2 v , 所 若 拐 点 以 在 弯 B 由 向 力 F 心力 = 于 心 ：向
1 曲率半径 R = = K
3 ′2)2 (1+ y
y′′
思考题
求双曲线 的曲率半径R, 并分析何处R最小 最小? 的曲率半径 并分析何处 最小
1 2 y ′ = − 2 , y′′ = 3 , 则 解 y x x 1 3 1 2 3 O 1 x (1+ 4 ) 2 2 (1+ y′ ) x = R= 2 y′′ x3 3 1 2 1 2 = (x + 2 ) ≥ 2, 2 x a2 + b2 ≥ 2ab 显 R x=±1 = 2 为 小 . 然 最 值
数学分析10.3平面曲线的弧长与曲率
第十章 定积分的应用 3 平面曲线的弧长与曲率一、平面曲线的弧长设平面曲线C=⌒AB. 如图所示，在C 上从A 到B 依次取分点： A=P 0,P 1,P 2,…,P n-1,P n =B ，它们成为曲线C 的一个分割，记为T. 用线段联结T 中每相邻两点，得到C 的n 条弦P i-1P i (i=1,2,…,n)，这n 条弦又成为C 的一条内接折线，记：T =ni 1max ≤≤|P i-1P i |，s T =∑=n1i i 1-i |P P |，分别表示最长弦的长度和折线的总长度。
定义1：对于曲线C 的无论怎样的分割T ， 如果存在有限极限：0T lim →s T =s ，则称曲线C 是可求长的， 并把极限s 定义为曲线C 的弧长.定义2：设平面曲线C 由参数方程x=x(t), y=y(t), t ∈[α,β]给出. 如果x(t)与y(t)在[α,β]上连续可微，且x ’(t)与y ’(t)不同时为零 (即x ’2(t)+y ’2(t)≠0, t ∈[α,β])，则称C 为一条光滑曲线.定理：设曲线C 由参数方程x=x(t), y=y(t), t ∈[α,β]给出. 若C 为一光滑曲线，则C 是可求长的，且弧长为：s=⎰'+'βα22(t)y (t)x dt.证：对C 作任意分割T={P 0,P 1,…,P n }，并设P 0与P n 分别对应t=α与t=β, 且P i (x i ,y i )=(x(t i ),y(t i )), i=1,2,…,n-1.于是，与T 对应得到区间[α,β]的一个分割T ’： α=t 0< t 1<t 2<…t n-1<t n =β.在T ’所属的每个小区间△i =[t i-1,t i ]上，由微分中值定理得△x i =x(t i )-x(t i-1)=x ’(ξi )△t i , ξi ∈△i ；△y i =y(t i )-y(t i-1)=y ’(ηi )△t i , ηi ∈△i . 从而C 的内接折线总长为s T =∑=∆+∆n1i 2i 2i y x =∑='+'n1i i 2i 2)(ηy )(ξx △t i .记σi =)(ηy )(ξx i 2i 2'+'-)(ξy )(ξx i 2i 2'+'，则s T =[]∑=+'+'n1i i i 2i 2σ)(ηy )(ξx △t i .又由三角形不等式可得：|σi |≤||y ’(ηi )|-|y ’(ξi )||≤|y ’(ηi )-y ’(ξi )|. 由y ’(t)在[α,β]上连续，从而一致连续，∴对任给的ε>0, 存在δ>0， 当T '<δ时，只要ηi , ξi ∈△i ，就有|σi |≤|y ’(ηi )-y ’(ξi )|<α-βε, i=1,2,…,n. ∴|s T -∑='+'n1i i 2i 2)(ξy )(ξx △t i |=|∑=n1i i σ△t i |≤∑=n1i i |σ|△t i <ε,∴0T lim →s T =∑=→''+'n1i i 2i 20T )(ξy )(ξx lim △t i ，即s=⎰'+'βα22(t)y (t)x dt.注：1、若曲线C 由直线坐标方程y=f(x), x ∈[a,b]表示，则看作参数方程：x=x, y=f(x), x ∈[a,b]. 因此，当f(x)在[a,b]上连续可微时，此曲线即为一光滑曲线，其弧长公式为：s=⎰'+ba 2(x )f 1dx. 2、若曲线C 由极坐标方程r=r(θ), θ∈[α,β]表示，则 化为参数方程：x=r(θ)cos θ, y=r(θ)sin θ, θ∈[α,β]. 由x ’(θ)=r ’(θ)cos θ-r(θ)sin θ, y ’(θ)=r ’(θ)sin θ+r(θ)cos θ, 得：x ’2(θ)+y ’2(θ)=r 2(θ)+r ’2(θ)，∴当r ’(θ)在[α,β]连续，且r(θ)与r ’(θ)不同时为零时，此极坐标曲线为一光滑曲线， 其弧长公式为：s=⎰'+βα22 )(θr )(θr d θ.例1：求摆线x=a(t-sint), y=a(1-cost)(a>0)一拱的孤长.解：∵x’(t)=a-acost; y’(t)=asint. ∴x’2(t)+y’2(t)=2a2(1-cost)=4a2sin22t.其弧长为s=⎰2π222tsin4a dt=4a⎰2π02tsin d⎪⎭⎫⎝⎛2t=8a.例2：求悬链线y=2ee-xx+从x=0到x=a>0那一段的弧长.解：∵y’=2ee-xx-. ∴1+y’2=2x-x2ee⎪⎪⎭⎫⎝⎛+.其弧长为s=⎰+a-xx2ee dx=2ee-aa-.例3：求心形线r=a(1+cosθ) (a>0)的周长.解：∵r’(θ)=-asinθ. ∴r2(θ)+r’2(θ)=4a2cos22θ.其周长为s=⎰2π02θacos2dθ=4a⎰2π02θcos d⎪⎭⎫⎝⎛2θ=8a.注：∵s(t)=⎰'+'tα22(t)y(t)x dt连续，∴dtds=22dtdydtdx⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛，即有ds=22dydx+. 特别称s(t)的微分dx为弧微分. (如左下图)PR为曲线在点P处的切线，在Rt△PQR中，PQ为dx，QR为dy，PR则为dx，这个三角形称为微分三角形。
高等数学上3.7平面曲线的曲率PPT
Q 70(千克力) 571.4(千克力),
641.5(千克力).
即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.
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小结
运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性质的数学分支—
—微分几何学.
1. 弧长微分 ds 1 y2 dx 或 ds (dx)2 (dy)2
3
要使 k最大， 必有 (4 5cos2 t )2 最小，
t , 3 此时 k最大，
22
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补充:参数方程曲率公式
设
x y
(t ), (t ),
二阶可导,
dy dx
(t ) (t )
,
d2y dx 2
(t)
(t) (t) 3(t)
(t) .
高等数学上3.7平面曲线的曲率
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一、 弧微分
设
在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB,
弧长 s AM s(x)
s M M M M x M M x
M M (x)2 (y)2
MM
x
y
y
f (x) M
B
A M y
x
oa x
bx
x x
M M 1 (y)2
的凹向一侧法线上取点 D 使
CR
T
M (x, y)
DM R 1
o
x
K
把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的
曲率圆 ( 密切圆 ) , R 叫做曲率半径, D 叫做 曲率中心.
第03章06节平面曲线的曲率
第6节 曲线的曲率6.1弧长微分在曲线()y f x =上取定一点000(,())P x f x 为起点，从000(,())P x f x 到(,())x f x 的曲线段长记为()s x ，并规定当0x x <时()0s x <。
()s x 是单调增加的函数。
下面求弧长微分ds 。
()()()()s x s x x s x ≤∆≤∆≤∆≤∆∆≤∆≤∆ds =,()ds s x '== 如果()()xt y t ϕψ=⎧⎨=⎩则,()ds s t '==如果()ρρθ=则,()ds s θ'==以后经常要用到以上弧长微分公式。
图6.1y +离 散数 学6.2曲线的曲率这节讨论曲线的曲率，也就是曲线的弯曲程度。
设曲线()y f x =在()00,()x f x 的切线0L 与x 轴正向的夹角为0θ，在()00,()x x f x x +∆+∆的切线x L ∆与x 轴正向的夹角为x θ∆。
经过x ∆，切线的夹角变化了0x θθθ∆∆=-设()00,()x f x 和()00,()x x f x x +∆+∆之间曲线的长为s ∆。
容易想见，()00,()x f x 和()00,()x x f x x +∆+∆之间曲线的曲率（弯曲程度）与θ∆成正比，与s ∆成反比，平均曲率()k x sθ∆∆=∆ 让0x ∆→求极限，就得到曲线()y f x =在()00,()x f x 的曲率（弯曲程度）000()lim ()limx x d k x k x s dsθθ∆→∆→∆=∆==∆ 下面我们求出d dsθ从而得到求曲率的计算公式。
用x 作参数 ()()s s x x θθ=⎧⎨=⎩()()2222tan ()1()cos 1tan ()1()()()1()f x d f x dx d f x dx f x d f x dxd f x dx f x θθθθθθθ'=''=''+='''+=''='+第1章集 合322()1()d f x d ds dxdxds f x θθ''=='⎡⎤+⎣⎦003220()()1()f x k x f x ''='⎡⎤+⎣⎦例子：求半径为r 的圆上一点的曲率。
空间曲线弯曲性的研究——曲率开题报告
（学生用表）
系（部）：数学系专业：数学与应用数学班级：本1106
课题名称
空间曲线弯曲性的研究——曲率
指导教师
张彩琴
学生
魏媛媛
学号
20110402624
一、课题的来源及意义
随着社会的发展，科技的进步，在实际问题中，经常会遇到需要考虑曲线弯曲程度的问题。例如，在材料力学上，常常要考虑梁的弯曲程度，在一定的外力作用下，梁会发生弯曲，弯曲到一定程度梁就有可能发生断裂。在公路建设方面，常常需要考虑高速公路弯道弯到什么程度，会影响车辆的高速行驶。在交通方面，道路线形与交通安全有着十分密切的联系，道路的几何要素或线形组合是否合理，都有可能导致交通事故的发生等等。在数学中，曲率作为导数的一个应用，恰恰是刻画曲线弯曲程度的数学工具。因此应用曲率的知识可以解决许多实际问题。在解决实际问题中，最经常用到的是有关曲率的计算问题。然而，通常我们知道如何求一个平面曲线的曲率，而空间曲线要比平面曲线复杂，没有现成的公式可以运用。因此，急需要对描述空间曲线弯曲程度的量——曲率及其计算方法进行深入探讨。
七、具体参考文献
[1]秦琳,张雪鑫.曲率在古塔的弯曲变形模型中的应用[期刊论文].吉林长春:装甲兵技术学院,2013,11(27).
[2]蔡奎生.曲率在机械加工中的应用[B].苏州:苏州经贸职业技术学院,2006,4(4).
[3]金光涛.浅析道路线形与交通安全[期刊论文].五常市运输管理站
[4]杨文茂.微分几何的理论与问题[M].南昌:江西教育出版社,1995.
五、进度安排
第一阶段：确定课题阶段(2014年秋第6-8周)
完成论文题目的确定，对论文背景资料进行学习，准备论文开题报告；
重要平面曲线
的交角 都相等:
(等角螺线)
等比性:
过极点的射线与曲线交于
各线段
成等比级数,
公比为
弧长 :
曲率半径 :
曲线与所有过极点的射线
动画走向为
等角性 :
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忙尾巧言撑宫斧裸醒丝崎乾渤玫宏溺僻飞押计汰执绸温罪绕班变螺的折壕重要平面曲线重要平面曲线
双曲螺线
渐近点 :
三叶玫瑰线
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织党读川刚缕笑榔媚塘棒耳变蛹内厌寝骂庞搓优离扑阁喜埂民定妆凳另曝重要平面曲线重要平面曲线
四叶玫瑰线
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疡践谊蹭柑津吞承圃剂晴法剔牛县刽寡厂歉和靛绩镇逊每辑鼎阀识傅攻咱重要平面曲线重要平面曲线
半径为 a 的定圆滚动时,
其上
定点 M 的轨迹即为星形线
的动圆圆周沿
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延飘鄙造嘶晶浴亚捧瘸棕听米掩您阅琐友标卑杯氮末宴砚寨背即炎商羌绘重要平面曲线重要平面曲线
摆线
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半径为 a 的圆周沿直线
无滑动地滚动时 ,
其上
定点 M 的轨迹即为摆线 .
轨迹:
犹探驱对培演盲荧面尘昆荷锁眩废鼻憋拆殆窜删漳憨徒后忌赞勿芳绒惮饯重要平面曲线重要平面曲线
伯努利双纽线
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结点(同拐点) :
在该点的切线为 x , y 轴
顶点:
极值点:
曲率半径:
双纽面积:
极 值 :
即
对应点:
储莎诸香微犬苔伙芋夜郊痊弧霹忍功戒挎婆眶匡歉背弥洪剿伙侯姥饮火淳重要平面曲线重要平面曲线
设 服从标准正态分布 ,
平面曲线的相对曲率公式的几种证明方法
平面曲线的相对曲率公式的几种证明方法
在上个世纪，许多著名的几何家试图证明,平面曲线的相对曲率公式——弗里斯特公式（Fresnel Formula），使用三种不同的方法: 牛顿-古典，几何统计，和古典分析。
这些证明方法在证明这个公式时，具有独特的一面。
本文将介绍牛顿-古典，几何统计，和古典分析三种不同的证明方法。
牛顿-古典证明方法是最古老的一种，由著名的科学家牛顿发展。
在这种定义方法中，弗里斯特公式被视为一种牛顿力的函数，即在曲线的拐角处，力的改变和曲线的曲率之间存在关系。
几何统计方法是由克里穆奇数学家于一九九三年提出的，他认为，当曲线是连续不变的时候，它的相对曲率也应该是连续不变的，而不是分开考虑。
因此，这种方法把曲线抽象为曲线的统计运动，旋转曲线，和不断细分曲线。
它们通过把曲线上的点作为独立的抽象元素，用坐标表示曲线，并用克里穆厄方程计算出曲率的函数。
最后，古典分析方法使用一种简单的数学模型来表达曲线的相对曲率，模型通过分析曲线上各类特有点来确定特定曲率，然后根据曲率推导出曲率的函数。
若曲线的问题如果可以改变弯曲角度，古典分析方法就可以计算出曲率的更精确的表达式。
通过以上三种定义方法，弗里斯特公式可以得到正确的结果，它有助于我们更深入理解平面曲线，并利用它们的特性来制作不同的产品和实现各种美学的形状。
2.4.4平面曲线的曲率
o
x
证 如图
1 y3 y K 6 Rl x 2
(1 y )
3
2
y
R
l
B
x的负半轴表示直道， OA是缓冲段, AB是圆弧轨道.
A( x0 , y0 ) C ( x 0 ,0 )
在缓冲段上,
1 2 y x , 2 Rl 1 y x. Rl
o
x
在x 0处, y 0, y 0, 故缓冲始点的曲率k0 0.
抛物线在顶点处的曲率 最大.
K
y (1 y )
2
3 2
说明:
x x(t ) 给出, 则 (1) 若曲线由参数方程 y y (t )
dy yt , dx xt
2
d y dy dt xt yt xtyt yt 2 3 dx dt dx xt ( xt )
t
0
2
b2
3 2
2
b2
y b
f (t )
b2
a2
a2
设 0 b a , 则t 0 , , 2 时
f (t ) 取最小值 , 从而 K 取最大值 .
这说明椭圆在点 ( a , 0 ) 处曲率 最大.
a
b
a x
例
铁轨由直道转入圆弧弯 道时，若接头处
的曲率突然改变, 容易发生事故，为了行 驶平 稳，往往在直道和 弯道之间接入一段 缓冲段(如图), 使曲 率连续地由零过渡 1 到 ( R为圆弧轨道 R 的半径).
K | cos x |
3 2 2
K
y (1 y )
2
3 2
例 抛物线 y ax2 bx c 上哪一点的曲率最大 ? 解 y 2ax b,
2.15平面曲线的曲率
平面曲线的曲率曲率是描述曲线弯曲程度的量。
曲线的弯曲程度一般与曲线的切线转角和曲线的长度这两个量有关1M 3M )2α∆2M 2S ∆1S ∆M M '1S ∆2S ∆N N 'α∆)转角越大弧段弯曲程度越大转角相同弧段越短弯曲程度越大1α∆)y xo 0',,;,.M M s M s s ααα+∆+∆设曲线C是光滑的,点为C的起点设曲线上点处切线的倾角为对应弧长为另一点处切线的倾角为对应弧长为' .K MM s α∆=∆称为曲线弧的平均曲率'lim .M M K M sα→∆=∆并且称为曲线在点处的曲率'(,),(,),M x y M x x y y +∆+∆设则'0lim lim x M M x K s sxαα∆→→∆∆∆==∆∆∆0lim x d x dx αα∆→∆=∆tan ,y x α'=而对求导得2sec d y dxαα''=22sec 1()d y y dx y αα''''∴=='+''''0002220lim lim lim ()() lim 1()x x x x MM s MM MM x x x MM x y y x ∆→∆→∆→∆→∆==⋅∆∆∆∆+∆'==±+∆弧弧322[1()]y K y ''∴='+(),,(),x t y t φψ=⎧⎨=⎩设二阶可导曲线方程为参数形式的曲线曲率：(),()dy t dx t ψφ'=' 223()()()().()d y t t t t dx t φψφψφ''''''-='3222()()()().[()()]t t t t k t t φψφψφψ''''''-∴=''+曲率的计算例1、求曲率。
平面曲线的曲率
知识点：平面曲线的曲率（MC20306） 1 背景知识与引入方法在微分几何学中,与平面曲线有关的是三个基本概念：长度、切线和曲率. 瑞士数学家L ⋅欧拉在1736年首先引进了平面曲线内在坐标这一概念.从而开始了曲线内在几何的研究.欧拉将曲率描述为曲线的切线方向和一固定方向的交角相对于弧长的变化率,这也成为一些教材引入曲率概念的方法之一.1847年弗雷内得出了曲线的基本微分方程,亦即统称弗雷内公式.后来,G ⋅达布创造了空间曲线的活动标架概念,完整地建立起曲线理论.所以有些教材把空间的弗雷内标架改造为平面弗雷内公式而导出带有正负号平面曲线曲率公式，它既表示曲线的弯曲程度，又表示曲线的弯曲方向.（如：萧树铁、居余马主编的《高等数学》第Ⅲ卷,或马知恩、王锦森主编的《工科数学分析基础》）.大多教材通常在直角坐标系下,在曲线上相邻两点的切向量()t s 和()t s s +∆之间夹角α∆关于弧长s ∆的变化率||lim 0ss ∆∆→∆α引出曲率公式. 由实际问题先引出曲率圆、曲率半径概念,由曲率半径概念自然给出曲率定义,我们认为方法简洁省事（如章栋恩等人编写《高等数学》上册）.2 该知识点讲解方法2.1讲解方法一：曲率是一个构造型的定义,通常由解决某一具体实际问题的方法来讲清其构造的道理,再引出曲率概念其教法更为简捷,例如力学问题中质点做曲线运动,在某点局部情形的研究,可用圆周曲线来代替,而此圆周曲线（曲率圆）的建立仅仅使用了一阶导、二阶导的简单应用,却以最好的方式接近已知曲线,进而引出了曲率半径定义.2.1.1曲率圆1、实际问题： 一质点作曲线运动,考察此运动在某点))(,(00x f x M 局部情形时,可用圆周曲线来替代这点附近的曲线L,这样就可以用圆周运动的知识来分析这点处的曲线运动.（问题：什么样的圆周曲线在点M 更接近曲线L 呢？）2、试求一个圆周曲线C ： 222()()x y αβρ-+-= （1） 使之满足C 过点))(,(00x f x M ： 22200()()x y αβρ-+-= （2） C 与L 在点M 有相同斜率： )(000x f y y y x x '='== （3）C 与L 在点M 有相同凹性： 0000≠''=''==)(x f y y y x x （4）（1）式两边对x 求二阶导： 0)(2)(2='-+-y y x βα0)(2)(222=''-+'+y y y β（3）（4）式代入上面两式有：0)(])([)(000='-+-x f x f x βα （5） 0)(])([)]([10020=''-+'+x f x f x f β （6）从（6）式解出： )()]([1)(0200x f x f x f '''++=β 将其代入（5）式解出200001[()]()()f x x f x f x α'+'=-'' βα,代入（2）式解出：|)(|])(1[02/320x f x f '''+=ρ. 3、定义： 曲线L 即 )(x f y =上的点)(,(00x f x M 处，在其凹向一侧的法线上取一点),(βαD 为圆心,以)()]([023021x f x f MD '''+==ρ为半径所得到的圆为L 在点M 处的曲率圆,ρ为曲率半径.2.1.2曲率1、曲率就是曲线在某点处的弯曲程度.如路弯度大,车子离心率越大；梁一般在弯的最厉害的地方断裂；……圆的半径越小弯的越厉害,于是2、定义：23020)](1[)(1x f x f k '+''==ρ为曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处曲率.2.2讲解方法二：通常与分析曲线弯曲程度与曲线上相邻两点的切向量()t s 和()t s s +∆之间的夹角α∆大小有关,当转角相同时,又与弧段的长短有关,于是曲率由α∆关于s ∆的变化率0lim s sα∆→∆∆来叙述.2.2.1弧微分 （这里只介绍弧微分公式的初等几何解释）设函数()f x 在区间(,)a b 内具有连续导数.基点为00(,)A x y ,(,)M x y 为曲线上任意点,规定：（1） 曲线的正向与x 增大的方向一致； （2） 有向弧段AM 的值表为：s AM =；当AM 的方向与曲线的正向一致时, s 取正号；相反时, s 取负号.设弧MN 是从点(,)M x y 起弧长的改变量s ∆，而x ∆和y ∆是相应的y x 和的改变量，由直角三角形得到：,)()()(222y x MN ∆+∆=由此，,)(1)()(222xy x MN ∆∆+=∆ 当0x ∆→时，假定这条曲线具有连续导数，可用弧长代替,MN 再对0x ∆→时取极限，得到22)d d (1)d d (xy x s +=由此得到弧长微分表达式x y s d 1d 2'+±=或22)d ()d (d y x s +±=如果弧长是朝增加的方向变化的，则s d 取正号，反之取负号.2.2.2曲率及其计算公式1、曲率的定义1、曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量. 设曲线C是光滑的,0M 是基点.Δs ='M M ,'M M →切线转角为α∆.定义：弧段M M '的平均曲率为sK ∆∆=α,曲线C 在点M 处的曲率0lims K sα∆→∆=∆. 在0lims d s dsαα∆→∆=∆存在的条件下,s K d d α=.注 意：（1）直线的曲率处处为零；（2）圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大.2、曲率的计算公式 （ⅰ）设()y f x =二阶可导,tan 'y α=,有arctan 'y α=,dx 1d 2y y '+''=α, x y d 1ds 2'+=,232)1(y y k '+''=∴.（ⅱ）设⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ,二阶可导,)()(d d t t s y ϕψ''= , )()()()()(d d 322t t t t t x y ϕψϕψϕ''''-'''=， 3222()()()().[()()]t t t t k t t ϕψϕψϕψ''''''-∴=''+2.2.3 曲率圆与曲率半径定义：设曲线()y f x =在点(,)M x y 处的曲率为(0)k k ≠.在点M 处的曲线的法线上,在凹的一侧取一点D,使1DM kρ==.以D 为圆心,ρ为半径作图（如图）,称此圆为曲线在点M 处的曲率圆.D —曲率中心, ρ—曲率半径注意：1、线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数.即1kρ=,1k ρ=.2、曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小（曲线越平坦）；曲率半径越小,曲率越大（曲线越弯曲）.3、一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧（称为曲线在该点附近的二次近似）.2.3 讲解方法三用曲线离开切线的速度刻画曲率；在已知弧长积分表达式的前提下推导曲率计算公式. 2.3.1曲率：曲率是表示曲线方向改变快慢的量.设A 是曲线L 上点,M 是接近A 的点(图1).由A 沿曲线到M 其切线的转角为ϕ,长度s ∆的弧段AM 的平均旋转速度k sϕ=∆.定义曲线L 在点A 处曲率lims k sϕ∆→=∆.例：讨论圆的曲率（图2） 角ϕ所张的弧AM 长度s r ϕ∆=,于是1s rϕ=∆, 所以圆所有点处的曲率都相同，等于半径的倒量.2.3.2曲率公式：平面曲线L 由函数()y f x =给出,具有连续导数，取固定点N 作为计算弧长的起点（图3）,切线倾斜角从点A 到M 的改变量ϕα=∆，s xs x s sk x s s ''=∆∆∆∆=∆∆=∆=→∆→∆→∆||lim limlim00αααϕ， 其中⎰'+=xa x x y s d )(12,y '=αtan ,故y '=arctan α，得21y y '+''='α.最终有232)1(y y k '+''= .2.4讲解方法四：曲线的解析表达式以矢量形式给出,在已有矢函数微分积分知识的前提下给出曲率概念.给定曲线：()r r t =,（t αβ≤≤）,图3 图 2图 1弧长()s t ：⎰'=βαt t r t s d )()(,r s d d =是弧微分.单位切矢：)()(t r t r τ''= ，则n k sτ=d d .n 是曲线的单位法矢.这样s τk d d=是曲率,1R k =是曲率半径, 以n R r +为矢径的点是曲率中心.具体形式，若j t y i t x r )()(+=, 则2322])()([)()()()(t y t x t y t x t y t x k +''''-'''=. 若j y i x r+=, 则232''(1')y k y =+.例题的选择方法：曲率的实际应用,根据专业特点选择为好.3 例题例1 直线的曲率恒为零.解：直线b ax y +=,因0=''y ,故各点处曲率为零,所以直线不弯. 例2 抛物线c bx ax y ++=2上哪点曲率最大？ 解：由于b ax y +='2,a y 2='',故3222[1(2)]a k axb =++,当02=+b ax ,即2bx a=-时,k 取最大值a 2, 故抛物线c bx ax y ++=2在顶点处),(ab ac a b 4422--处曲率最大. 例3 一工件内表面截线为24.0x y =,用砂轮磨削其内表面,半径多大合适？ 解：砂轮半径≤抛物线上各点处曲率半径的最小者,才不会破坏工件内表面,由例2知抛物线在顶点处曲率最大,曲率半径最小.x y 8.0=',8.0=''y ,320.8(0,0)0.8(10)k ==+,25.11==kρ,所以砂轮半径不能大于1.25．4 扩展知识黎曼流形的曲率是微分几何中最重要的几何量之一，曲率和流形的拓扑结构之间的联系是一个十分重要的问题．对于黎曼流形来说,有三种不同层次的曲率,一种是截面曲率,它相应于在每点某一平面方向所相应的曲率.另一种是里奇曲率,它是由截面曲率以适当的形式作和而成.第三种是数量曲率,它是里奇曲率的迹.这三种曲率和流形的拓扑性质之间有很强的相互制约作用,这方面的研究成果非常丰富,而且是微分几何主要研究方向之一．5 参考文献[1] 章栋恩，金元怀．高等数学．北京：中国标准出版社，1998[2] 同济大学应用数学系．高等数学．北京：高等教育出版社，2002[3] A.Д.亚历山大洛夫．数学——它的内容、方法和意义．北京：科学技术出版社，19596 参考教案MC20306.ppt。
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(3)
利用弧長表示式，可表示如下，其中 為半徑，ds為弧長
d ds
(4)
其中
1
ds
(dx)2
(dy)2
1
(
dy dx
)2
2
dx
(5)
根據(4)式得到
ds d
(6)
將(3)式及(5)式代入(6)式得
1
1
(
dy dx
)
2
2
•探討彼此間的關係，並整理出平面曲線曲率的各種 計算公式。 •透過Mathematica軟體建構軌跡動畫。
一、研究方法與數學推導：曲率與曲率半徑
• 平面座標系的微積分推導
給一平面曲線y(x)，如圖(一)所示：
y(x)在(x , y(x))處的切線斜率可表示為：
y ' dy tan
eJt eit 0 1
t
t2 2!
(29)
0 0 1 t
0 0 0 1
3.矩陣餘式定理應用
有一矩陣Ａ，特徵方程式為 f () 0，特徵值為 1 n。由Cayley-Hamilton theorem知 f ( A) 0。透過餘式定理可知
et f ()q() an-1 (t) n-1 an-2 (t) n-2 a1 (t)1 a0 (t)
dx
1
3
(
dy dx
)2
2
(7)
d2y
d2y
dx2
dx
dx2
1
(
dy dx
)2
所以可得曲率κ如下：
d2y
1
dx 2
3
1+(
dy dx
)2
2
(8)
• 平面座標系的弧長表示法
(25)
所以
eAt VeDtV 1
(26)
2.重根問題-Jordan Canonical Form
令有一 n n 矩陣A，其特徵值為重根。利用Jordan Canonical Form
解決重根問題。矩陣特徵值有二重根時Jordan Form表示為
1 0 0 0 0
0
2
0
0
1.無重根問題-傳統方法 假設有一矩陣A，其特徵向量組成的矩陣為V。vn為矩陣V之列向量
V v1vn
(22)
Av j jv j ， j 1,, n N
(23)
且
AV VD ， D diag(1,n )
(24)
則
eDt diag(e1t ,, ent )
= 1
(19)
則其長度為
(s) = 1
(20)
所以曲率半徑可藉由弧長參數表示法，變成
x2 + y2
=
(21)
x y x
二、研究方法與結果
• eAt矩陣函數運算：
運算矩陣特徵值時，若為相異根，則以傳統相似轉換法，即可求得。 若出現重根，則相似矩陣法無法解出 eAt 真正的解。故需使用Jordan Canonical Form解決重根問題。
圖(二) 位移向量 r(s)
定義單位切向量 為
dr
(15)
ds
則
s= r(s) =( x(s) , y(s) )
(16)
r(s) x(s)2+y(s)2 x(s)2+y(s)2
因為 為單位切向量，其長度為1，亦即
=1
(17)
取微分得
= 0
(18)
所以 與單位法向量 平行，因此我們可定義
(30)
將1 n 分別代入(32)式，可求得 an1 a0，再由實數和矩陣可互換性質，
實數 換為矩陣Ａ可得
eAt f ( A)Q( A) an-1 (t) An-1 an-2 (t) An-2 a1 (t) A a0 (t)I
(31)
代入矩陣Ａ解得 eAt
(x)3
• Frenet Formula
給一平面曲線，其時間參數表示式為( x(t), y(t)) ，藉由弧長關係式
(ds)2 (dx)2 (dy)2
(13)
可將時間參數表示法轉成至空間弧長參數表示如下:
r (x(t), y(t)) (x(s), y(s))
(14)
其中， r 為位置向量，ds為微小段路徑長，如下圖(二)所示。
0
A V 0 0 0 0 V 1
0
0
0 i
1
0 0 0 0 i
(27)
若特徵值為四重根，則Jordan矩陣可表示如下
i 1 0 0
J
0
i
1
0
(28)
0
0
0 0
i 0
1
i
1
t
t2 2!
t3 3!
前言
•在土木工程領域的範疇中，工程上的數學應用與計 算，一直扮演著極為重要的角色。
•土木工程應用上， e A 與 eAt 矩陣的計算在力學方面應用 相當廣泛。
• eAt 的幾何與力學意義就是本研究想要了解的重點。
研究議題
•以向量微積分觀點，探討平面曲線。
•利用曲線弧長參數表示法作為切入點。以不同的參 數表示式求得曲率半徑。 •矩陣函數 eAt 的求解技巧與應用。
d( )
y" = x(s) 1 = y x y x 1 = y x y x
(11)
ds x(s)
(x)2 x
(x)3
將(9)式和(11)式代入(7)式，曲率半徑可轉成如下表示式
=
1+(
y x
)2
3
(x2 +y2 ) 2 =
(12)
(y x y x) y x y x
給一平面曲線，其弧長參數表示式為(x(s),y(s))，則
y = dy = dy ds = y(s)
(9)
dx ds dx x(s)
y'' = d ( y') = d ds ( y')= d ( y') 1
(10)
dx
ds dx
ds x(s)
將(9)式代入(10)式，可得
y(s)
4.算例
例題1：已知矩陣
A
1 0
2 2
，求
(1)
dx
再對x做一次微分，可得
圖(一) 曲線y(x)的微小路徑變化
d 2 y d tan sec2 d (1 tan2 )d
dx2 dx
dx
dx
(2)
移項整理可得
d2y
d2y
d
dx2 (1 tan2 )
dx
dx2
1
(
dy dx
)
2
dx