最新弹性直梁问题的变分原理及有限元素法

弹性直梁问题的变分原理及有限元素法第二章 弹性直梁问题的变分原理及有限元素法●讨论的问题：一变剖面的梁，一端()0=x 固支，另一端()l x =简支。

承受轴向拉力N ，分布横向载荷()x q 以及端点弯矩l M 的作用。

●控制微分方程及边界条件（以梁的挠度w 表示）q Nw dx w d EJ dxd q dx w d N dx w d EJ dx d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⇐=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2222222222 支）基本边界条件（广义固处：在处：在⎪⎭⎪⎬⎫=====lw w l x dx dw w w x 00,0ϕ 0)(22=+=-l lM M M dxwd EJ 自然边界条件● 称谓：把满足方程及全部边界条件的挠度叫真实挠度，精确解；把满足基本边界条件但不满足微分方程和自然边界条件的挠度叫（变形）可能挠度。

i) 最小势能原理（变分原理）● 把载荷看作是不变的已知函数，把挠度看作是可变的自变函数。

● 整个系统的势能包括三部分： （1） 梁的应变能：⎪⎭⎫⎝⎛⇐⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∏⎰⎰θMd dx dx w d EJ l b 212102222(2) 轴向应变能：⎰⎪⎭⎫⎝⎛=∏l Ndxdx dw N 02221+d w 222111⎪⎭⎫ ⎝⎛≈-+⎪⎭⎫⎝⎛=-dx dw dx dw dxdxds(3) 横向载荷势能：()l w M qwdx l lp'+-=∏⎰0(4) 系统总势能∏：()⎰'+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∏ll l w M dx qw dx dw N dx w d EJ 022222121 * 除w 为可变外，其余变量假定为已知的不变量。

● 最小势能原理：在所有变形可能的挠度中，精确解使系统的总势能取最小值。

●由于()w ∏是w 的二次函数，不用变分法而用较初等的方法也能作出数学证明。

证明过程：设()x w 是精确解，它满足微分方程及所有边界条件。

设()x w k 是某一变形可能的挠度，仅知道它满足：lw w l x dxdww w x =====处：在处：在00,0ϕ 令：()分是一有限量，而不是变w ww w w w w k k ∆∆+=⇒-=∆当0→∆w 时，才是w 的变分。

由上式关系知w ∆满足： 在0=x 处，0,0='∆=∆w w 在l x =处，0=∆w 与k w 相应的总势能：()()l w M dx qw dx dw N dx w d EJ w k l l k k k k '+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∏⎰022222121 ()()()()()w w w w w w w k ∆∏+∆∏+∏=∆+∏=∏⇒211,2后项取加号，是为着能够得到自然边界条其中：()()l w M dx w q dx wd dx dw N dx w d dx w d EJ w w l l'∆+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆+∆=∆∏⎰0222211,2 ()⎰⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫⎝⎛∆+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆=∆∏ldx dx w d N dx w d EJ w 022******* Note ：w w ,∆满足基本边界条件，可得 (功的互等定理)()⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∆+∆='∆-∆lll dx dx dw dx w d N dx w d dx w d EJ l w M wdx q 002222 ✶ 功的互等定理：第一组力在第二组位移上所做的功等于第二组力在第一组位移上所做的功。

（真实力状态关于虚拟位移作功；虚拟位移产生的虚拟力关于真实位移作功）此式表明：()0,11=∆∏w w ()()()w w w k ∆∏+∏=∏⇒2由()w ∆∏2的算式，当0≥N 时，()02≥∆∏w 或当0<N （轴受压）未达到临界压力时，()02≥∆∏w 。

所以： ()()w w k ∏≥∏式中的等号只有在w ∆为刚体位移时才能成立（即弹性能仅为零的情况）。

以上即是证明的最小势能原理。

✶ 上述的证明可普遍适用于其他类型的边界条件；也适用于其他复杂弹性力学体系。

✶ 精确解既然是使总势能取最小值，那么必有：()0=∏w δ即：()[]()00222222='+''+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∏⎰l w M l w EJ wdx q dx wd N dx w d EJ dx d l lδδδ q dx w d N dx w d EJ dx d =-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒222222()0=+''l M l w EJ （正好补足了可能挠度尚未满足的边界平衡条件）所以，最小势能原理与平衡条件（边界及内部）完全等价。

✶ 说明：尽管变分法与原问题的微分方程系统等价，但具体求解时，变分法涉及的导数阶次要低（这是能量法的优点，求得的解可能满足微分方程的连续性要求，也可能不满足）。

✶ 能量逼近解（不是真解）不能满足力的自然边界条件（选取可能位移时一般很难取得满足力的边界条件，故一般情况有限元不能获得满足力边界条件的解）。

从这点上看，只能是近似解。

当然，如果在满足力的边界条件的那些函数集合中选，则解的精度要大大提高（即更为逼近）。

强调三点：✶ 上述证明的是真实挠度使 系统 势能取最小值。

✶ 又通过变分法证明了系统能量的极值曲线满足梁的微分控制方程（平衡方程）。

需要深入认识的是：系统能量泛函中要求的挠度为可能挠度（即满足连续性与位移边界条件的曲线，但不满足微分方程）；变分的结果恰使极值曲线应满足微分方程及自然边界条件，补足了真实解的所需条件（理论上的等价性）。

微分方程解与能量泛函解对函数连续性的要求是不同的，故能量方法对函数的连续性要求较放松。

以后在广义变分原理中会看到对解函数的连续性要求更低。

ii) 用Ritz 法求解梁的弯曲问题考虑：0=x 端固支，l x =端简支，变剖面梁在轴向拉力和横向载荷联合作用下的平衡问题，求挠度函数（当EJ 为变数时很难求解精确解）。

求解：设挠度表达式为：∑=+=ni i i w 10ϕξϕ式中，0ϕ是变形可能的某一特解，即0ϕ和dxd 0ϕ是x 的连续函数，且满足下列非齐次的位移边界条件：在0=x 处，0000,ϕϕϕ==dxd w 在l x =处，l w =0ϕi ϕ为n 个适当选定的变形可能的齐次解，即i ϕ和dxd iϕ都是x 的连续函数，并且满足齐次的位移边界条件，即：在0=x 处，0,0==dxd ii ϕϕ 在l x =处，0=i ϕi ξ是n 个待定常数。

改成用矩阵表示（便于计算机运算及与有限元方法对比）记：ϕ()T n ϕϕϕ,,,21 = ξ()Tn ξξξ,,,21 = +=0ϕw ξϕT未定系数矢量ξ由最小势能原理确定。

（1） 代入能量泛函： ()⎰⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∏ldx qw dx dw N dx w d EJ w 022222121 （2）代入w 的计算举例：=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222dx w d (0ϕ''+ξϕT '')(0ϕ''+ξϕT''） ()0202ϕϕ''+''=ξϕT ''+(ξϕT ''ξϕT ''） Note ：① ()2ϕ''代入积分式后成为常数，对变分无意义，故可在变分意义下忽略掉。

② (ξϕT ''ξϕT ''）∑∑∑∑''''=''''=jj j i ii jj j ii i ξϕϕξξϕξϕ∑∑∑===iii i jj ij i Q A ξξξξξξA Q T T =[]j i ϕϕ''''=A ϕϕ''⊗''= ()ξϕϕξT T ''•''=⇒原式③ 同理得其他项的计算结果。

最终有：ξξξT F G K -+=∏)(21N T（刚度矩阵）TlTdx dxd dx d EJ K K K =⇒⋅=⎰02222ϕϕ（几何刚度矩阵）TlTdxdxd dx d G G G =⋅=⎰0ϕϕ ()(⎰⎰-'-=ll lEJ l M dx q 00ϕϕF 202dx d ϕ22dx d ϕ20dx d N ϕ+dx dxd )ϕ（3） 计算 ⇒=∏0δξ∂∏∂0=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∏∂==ni i ,,2,1 ξ ()()()F F 0F G K G K TTTT N N ξξξξξ==-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=∂∏∂221注意求导运算的规则：在行乘列的数中，对行变量求导，列向量不变；对列向量求导得行向量的转置。

同时注意到上式中的矩阵对称性，即：()[]()ξξG K G K N N T T +=+2121于是得：()0F G K =-+=∂∏∂∴ξξN ()F G K =+⇒ξN上面的计算推导显粗，细做： 令： ()TK K KG K ==+N∑∑∑-=∏∴i ii i j j ij i F K ξξξ21021=∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂=∂∏∂∑∑∑∑∑i k i ii j k j ij i i j j ij k i k F K K ξξξξξξξξξ 021=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∑∑∑∑iik i i j i jk ij i j ij ik F K K δδξξδ⇓ 记号Kronec sr s r rs ⎩⎨⎧≠==01δ021=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∂∏∂∑∑k j i i ik j kj k F K K ξξξ ∑∑∑==⇒=jj kj ii ki ii ik ki ik K K K K K ξξξ ⇓==-=∂∏∂∴∑nk F K jk j kj k ,,2,10 ξξ()（刚度方程）FξG K 0F K =+⇒=-N ξ Ritz 法中的关键取决于可能挠度n ϕϕϕ，，， 10的选取是否恰当。

若问题中的位移边界条件是齐次的，则00=ϕ； 若问题中的位移边界条件是非齐次的，0ϕ不可少。

若级数的前n 项已颇接近精确解，级数的后几项只起“修正”作用，那么少取几项也能解决问题。

反之，级数的前n 项与精确解相差颇远，则加重了后面各项的“修正”负担，那么级数项只好取得多一些。

iii ).有限元素法求解梁的弯曲问题 基本步骤：① 先将梁分割成若干个（如n 个）有限单元。

② 构造单元的无量纲局部坐标系（用于几何构造） 取第e 个元素分析（如右图）e j i l x x =-取无量纲局部坐标系: ,11(),()01e i e i e e e e x x x x l l αβαβ=-=-≤≤ 线性构造几何坐标：i e j e k i x x x x αβξ=+=∑ (后者为规范式)局部坐标实际上为坐标基函数（也称形状函数，或参数坐标）。